Nëse në kryqëzimin e dy drejtëzave një të tretën. Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave

1. Shenja e parë e paralelizmit.

Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet e brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore janë të barabarta, atëherë këto drejtëza janë paralele.

Lërini drejtëzat AB dhe CD të priten nga drejtëza EF dhe ∠1 = ∠2. Le të marrim pikën O - mesi i segmentit KL të sekantit EF (Fig.).

Le ta ulim OM pingul nga pika O në drejtëzën AB dhe ta vazhdojmë derisa të presë drejtëzën CD, AB ⊥ MN. Le të vërtetojmë se CD ⊥ MN.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh dy trekëndësha: MOE dhe NOK. Këta trekëndësha janë të barabartë me njëri-tjetrin. Në të vërtetë: ∠1 = ∠2 sipas teoremës; OK = ОL - nga ndërtimi;

∠MOL = ∠NOK, si kënde vertikale. Kështu, brinja dhe dy këndet ngjitur të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabarta me brinjën dhe dy këndet ngjitur të një trekëndëshi tjetër; prandaj, ΔMOL = ΔNOK, dhe kështu ∠LMO = ∠KNO,
por ∠LMO është i drejtë, që do të thotë ∠KNO është gjithashtu i drejtë. Kështu, drejtëzat AB dhe CD janë pingul me të njëjtën drejtëz MN, prandaj janë paralele, gjë që duhej vërtetuar.

Shënim. Kryqëzimi i drejtëzave MO dhe CD mund të përcaktohet duke rrotulluar trekëndëshin MOL rreth pikës O me 180°.

2. Shenja e dytë e paralelizmit.

Le të shohim nëse drejtëzat AB dhe CD janë paralele nëse, kur ato kryqëzojnë drejtëzën e tretë EF, këndet përkatëse janë të barabarta.

Le të jenë të barabartë disa kënde përkatëse, për shembull ∠ 3 = ∠2 (Fig.);

∠3 = ∠1, si kënde vertikale; kjo do të thotë se ∠2 do të jetë e barabartë me ∠1. Por këndet 2 dhe 1 janë kënde të brendshme ndërprerëse, dhe ne tashmë e dimë se nëse kur dy drejtëza kryqëzojnë të tretën, këndet e brendshme të kryqëzuara janë të barabarta, atëherë këto drejtëza janë paralele. Prandaj, AB || CD.

Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet përkatëse janë të barabarta, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

Ndërtimi i vijave paralele duke përdorur një vizore dhe një trekëndësh vizatimi bazohet në këtë veti. Kjo bëhet si më poshtë.

Le të bashkojmë trekëndëshin me vizoren siç tregohet në Fig. Ne do ta lëvizim trekëndëshin në mënyrë që njëra nga anët e tij të rrëshqasë përgjatë vizores dhe do të vizatojmë disa vija të drejta përgjatë një ane tjetër të trekëndëshit. Këto linja do të jenë paralele.

3. Shenja e tretë e paralelizmit.

Na tregoni se kur dy drejtëza AB dhe CD priten me një drejtëz të tretë, shuma e çdo këndi të brendshëm të njëanshëm është e barabartë me 2 d(ose 180°). A do të jenë paralele në këtë rast drejtëzat AB dhe CD (Fig.).

Le të jenë ∠1 dhe ∠2 kënde të brendshme të njëanshme dhe mblidhen deri në 2 d.

Por ∠3 + ∠2 = 2 d si kënde ngjitur. Prandaj, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Prandaj ∠1 = ∠3, dhe këto kënde të brendshme shtrihen në mënyrë tërthore. Prandaj, AB || CD.

Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është e barabartë me 2 d (ose 180°), atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

Shenjat e vijave paralele:

1. Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet e brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore janë të barabarta, atëherë këto drejtëza janë paralele.

2. Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet përkatëse janë të barabarta, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

3. Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është 180°, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

4. Nëse dy drejtëza janë paralele me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele me njëra-tjetrën.

5. Nëse dy drejtëza janë pingul me një drejtëz të tretë, atëherë ato janë paralele me njëra-tjetrën.

Aksioma e paralelizmit e Euklidit

Detyrë. Nëpër një pikë M të marrë jashtë drejtëzës AB, vizatoni një drejtëz paralele me drejtëzën AB.

Duke përdorur teoremat e provuara për shenjat e paralelizmit të drejtëzave, ky problem mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme,

Zgjidhje. Hapi i parë (vizatimi 199).

Vizatojmë MN⊥AB dhe përmes pikës M vizatojmë CD⊥MN;

marrim CD⊥MN dhe AB⊥MN.

Bazuar në teoremën (“Nëse dy drejtëza janë pingul me të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë paralele.”) arrijmë në përfundimin se CD || AB.

Metoda e dytë (vizatimi 200).

Vizatojmë një MK që pret AB në çdo kënd α, dhe përmes pikës M vizatojmë një drejtëz EF, duke formuar një kënd EMK me drejtëzën MK të barabartë me këndin α. Bazuar në Teoremën (), konkludojmë se EF || AB.

Pasi e kemi zgjidhur këtë problem, mund ta konsiderojmë të provuar se përmes çdo pike M të marrë jashtë drejtëzës AB, është e mundur të vizatohet një drejtëz paralele me të. Shtrohet pyetja: sa drejtëza paralele me një drejtëz të caktuar dhe që kalojnë nëpër një pikë të caktuar mund të ekzistojnë?

Praktika e ndërtimit na lejon të supozojmë se ekziston vetëm një vijë e tillë e drejtë, pasi me një vizatim të ekzekutuar me kujdes, vijat e drejta të tërhequra në mënyra të ndryshme përmes së njëjtës pikë paralele me të njëjtën drejtëz bashkohen.

Në teori, përgjigjen për pyetjen e parashtruar e jep e ashtuquajtura aksioma e paralelizmit të Euklidit; është formuluar si më poshtë:

Përmes një pike të marrë jashtë një drejtëze të caktuar, vetëm një drejtëz mund të tërhiqet paralelisht me këtë drejtëz.

Në vizatimin 201, një vijë e drejtë SC vizatohet përmes pikës O, paralel me të drejtën AB.

Çdo drejtëz tjetër që kalon nëpër pikën O nuk do të jetë më paralele me drejtëzën AB, por do ta presë atë.

Aksioma e miratuar nga Euklidi në Elementet e tij, e cila thotë se në një rrafsh, përmes një pike të marrë jashtë një drejtëze të caktuar, vetëm një drejtëz mund të vizatohet paralel me këtë drejtëz, quhet Aksioma e Euklidit për paralelizmin.

Më shumë se dy mijë vjet pas Euklidit, shumë matematikanë u përpoqën të provonin këtë propozim matematikor, por përpjekjet e tyre ishin gjithmonë të pasuksesshme. Vetëm në vitin 1826, shkencëtari i madh rus, profesori në Universitetin e Kazanit, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, vërtetoi se duke përdorur të gjitha aksiomat e tjera të Euklidit, ky propozim matematikor nuk mund të vërtetohet, se duhet pranuar vërtet si aksiomë. N.I. Lobachevsky krijoi një gjeometri të re, e cila, ndryshe nga gjeometria e Euklidit, quhet gjeometria e Lobachevsky.

Ky kapitull i kushtohet studimit të drejtëzave paralele. Ky është emri që u jepet dy drejtëzave në një rrafsh që nuk kryqëzohen. Ne shohim segmente të vijave paralele në mjedis - këto janë dy skajet e një tavoline drejtkëndore, dy skajet e një kopertine libri, dy shufrat e trolejbusit, etj. Vijat paralele luajnë një rol shumë të rëndësishëm në gjeometri. Në këtë kapitull do të mësoni se cilat janë aksiomat e gjeometrisë dhe cila është aksioma e drejtëzave paralele, një nga aksiomat më të famshme të gjeometrisë.

Në paragrafin 1, kemi vërejtur se dy drejtëza ose kanë një pikë të përbashkët, domethënë kryqëzohen, ose nuk kanë një pikë të vetme të përbashkët, domethënë nuk kryqëzohen.

Përkufizimi

Paralelizmi i drejtëzave a dhe b shënohet si më poshtë: a || b.

Figura 98 tregon drejtëzat a dhe b pingul me drejtëzën c. Në paragrafin 12, ne përcaktuam se drejtëza të tilla a dhe b nuk kryqëzohen, d.m.th. ato janë paralele.

Oriz. 98

Së bashku me linjat paralele, shpesh konsiderohen segmente paralele. Të dy segmentet quhen paralele, nëse shtrihen në drejtëza paralele. Në figurën 99, segmentet AB dhe CD janë paralele (AB || CD), por segmentet MN dhe CD nuk janë paralele. Paralelizmi i një segmenti dhe një vijë të drejtë (Fig. 99, b), një rreze dhe një vijë e drejtë, një segment dhe një rreze, dy rreze (Fig. 99, c) përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Oriz. 99 Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave

Drejtëza me quhet sekant në raport me drejtëzat a dhe b, nëse i pret në dy pika (Fig. 100). Kur drejtëzat a dhe b kryqëzohen me transversalin c, formohen tetë kënde, të cilat tregohen me numra në figurën 100. Disa çifte të këtyre këndeve kanë emra të veçantë:

kënde tërthore: 3 dhe 5, 4 dhe 6;
kënde të njëanshme: 4 dhe 5, 3 dhe 6;
këndet përkatëse: 1 dhe 5, 4 dhe 8, 2 dhe 6, 3 dhe 7.

Oriz. 100

Le të shqyrtojmë tre shenja të paralelizmit të dy drejtëzave të lidhura me këto çifte këndesh.

Teorema

Dëshmi

Le të jenë të barabarta drejtëzat ndërprerëse a dhe b këndet AB: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Le të vërtetojmë se një || b. Nëse këndet 1 dhe 2 janë të drejtë (Fig. 101, b), atëherë drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën AB dhe, rrjedhimisht, paralele.

Oriz. 101

Le të shqyrtojmë rastin kur këndet 1 dhe 2 nuk janë të drejtë.

Nga mesi O i segmentit AB vizatojmë një OH pingul në vijën e drejtë a (Fig. 101, c). Në vijën e drejtë b nga pika B ne do të heqim segmentin ВН 1, të barabartë me segmentin AH, siç tregohet në figurën 101, c, dhe do të vizatojmë segmentin OH 1. Trekëndëshat OHA dhe OH 1 B janë të barabartë në të dyja anët dhe këndi ndërmjet tyre (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), prandaj ∠3 = ∠4 dhe ∠5 = ∠6. Nga barazia ∠3 = ∠4 rezulton se pika H 1 shtrihet në vazhdimin e rrezes OH, pra pikat H, O dhe H 1 shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe nga barazia ∠5 = ∠6 rezulton se këndi 6 është një vijë e drejtë (pasi këndi 5 është një kënd i drejtë). Pra, drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën HH 1, pra janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Teorema

Dëshmi

Le të jenë të barabartë këndet përkatëse kur drejtëzat a dhe b priten me transversalin c, për shembull ∠1 =∠2 (Fig. 102).

Oriz. 102

Meqenëse këndet 2 dhe 3 janë vertikale, atëherë ∠2 = ∠3. Nga këto dy barazime del se ∠1 = ∠3. Por këndet 1 dhe 3 janë tërthore, kështu që drejtëzat a dhe b janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Teorema

Dëshmi

Lejo që kryqëzimi i drejtëzave a dhe b me tërthoren c të mbledhë këndet e njëanshme të barabartë me 180°, për shembull ∠1 + ∠4 = 180° (shih Fig. 102).

Meqenëse këndet 3 dhe 4 janë ngjitur, atëherë ∠3 + ∠4 = 180°. Nga këto dy barazime del se këndet kryq 1 dhe 3 janë të barabartë, prandaj drejtëzat a dhe b janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Mënyra praktike për të ndërtuar drejtëza paralele

Oriz. 103 Figura 104 tregon një metodë për ndërtimin e vijave paralele duke përdorur një shirit tërthor. Kjo metodë përdoret në praktikën e vizatimit.

Oriz. 104 Një metodë e ngjashme përdoret gjatë kryerjes së punimeve të zdrukthtarisë, ku një bllok (dy dërrasa druri të lidhura me një menteshë, Fig. 105) përdoret për të shënuar vija paralele.

Oriz. 105

Detyrat

186. Në figurën 106 drejtëzat a dhe b priten me drejtëzën c. Vërtetoni se një || b, nëse:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, dhe këndi 7 është tre herë më i madh se këndi 3.

Oriz. 106

187. Bazuar në të dhënat në figurën 107, vërtetoni se AB || D.E.

Oriz. 107

188. Segmentet AB dhe CD kryqëzohen në mesin e tyre të përbashkët. Vërtetoni se drejtëzat AC dhe BD janë paralele.

189. Duke përdorur të dhënat në figurën 108, vërtetoni se BC || A.D.

Oriz. 108

190. Në figurën 109, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Vërtetoni se DE || AC.

Oriz. 109

191. Segmenti BK është përgjysmues i trekëndëshit ABC. Një vijë e drejtë vizatohet përmes pikës K, duke e prerë anën BC në pikën M në mënyrë që BM = MK. Vërtetoni se drejtëzat KM dhe AB janë paralele.

192. Në trekëndëshin ABC, këndi A është 40° dhe këndi ALL, ngjitur me këndin ACB, është 80°. Vërtetoni se përgjysmuesja e këndit ALL është paralele me drejtëzën AB.

193. Në trekëndëshin ABC, ∠A = 40°, ∠B = 70°. Një drejtëz BD vizatohet përmes kulmit B në mënyrë që rrezja BC të jetë përgjysmues i këndit ABD. Vërtetoni se drejtëzat AC dhe BD janë paralele.

194. Vizatoni një trekëndësh. Nëpër çdo kulm të këtij trekëndëshi, duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore, vizatoni një vijë të drejtë paralele me anën e kundërt.

195. Vizatoni trekëndëshin ABC dhe shënoni pikën D në brinjën AC. Nëpër pikën D, duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore, vizatoni vija të drejta paralele me dy anët e tjera të trekëndëshit.

këndet përkatëse: 1 dhe 5, 4 dhe 8, 2 dhe 6, 3 dhe 7;

kënde të brendshme tërthore: 3 dhe 5, 4 dhe 6;

kënde të jashtme tërthore: 1 dhe 7, 2 dhe 8;

qoshet e brendshme të njëanshme: 3 dhe 6, 4 dhe 5;

qoshet e jashtme të njëanshme: 1 dhe 8, 2 dhe 7.

Pra, ∠ 2 = ∠ 4 dhe ∠ 8 = ∠ 6, por sipas asaj që është vërtetuar, ∠ 4 = ∠ 6.

Prandaj, ∠ 2 =∠ 8.

3. Këndet përkatëse 2 dhe 6 janë të njëjta, pasi ∠ 2 = ∠ 4, dhe ∠ 4 = ∠ 6. Le të sigurohemi gjithashtu që këndet e tjera përkatëse të jenë të barabarta.

4. Shuma qoshet e brendshme të njëanshme 3 dhe 6 do të jenë 2d sepse shuma qoshet ngjitur 3 dhe 4 është e barabartë me 2d = 180 0, dhe ∠ 4 mund të zëvendësohet me ∠ identike 6. Ne gjithashtu sigurohemi që shuma e këndeve 4 dhe 5 është e barabartë me 2d.

5. Shuma qoshet e jashtme të njëanshme do të jetë 2d sepse këto kënde janë përkatësisht të barabarta qoshet e brendshme të njëanshme si qoshe vertikale.

Nga justifikimi i provuar më sipër marrim teorema të kundërt.

Kur, në kryqëzimin e dy rreshtave me një vijë të tretë arbitrare, marrim se:

1. Këndet e brendshme tërthore janë të njëjta;

ose 2. Këndet e jashtme tërthore janë identike;

ose 3. Këndet përkatëse janë të barabarta;

ose 4. Shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është 2d = 180 0;

ose 5. Shuma e të njëanshmeve të jashtme është 2d = 180 0 ,

atëherë dy drejtëzat e para janë paralele.

Ky kapitull i kushtohet studimit të drejtëzave paralele. Ky është emri që u jepet dy drejtëzave në një rrafsh që nuk kryqëzohen. Ne shohim segmente të vijave paralele në mjedis - këto janë dy skajet e një tavoline drejtkëndore, dy skajet e një kopertine libri, dy shufrat e trolejbusit, etj. Vijat paralele luajnë një rol shumë të rëndësishëm në gjeometri. Në këtë kapitull do të mësoni se cilat janë aksiomat e gjeometrisë dhe cila është aksioma e drejtëzave paralele, një nga aksiomat më të famshme të gjeometrisë.

Në paragrafin 1, kemi vërejtur se dy drejtëza ose kanë një pikë të përbashkët, domethënë kryqëzohen, ose nuk kanë një pikë të vetme të përbashkët, domethënë nuk kryqëzohen.

Përkufizimi

Paralelizmi i drejtëzave a dhe b shënohet si më poshtë: a || b.

Figura 98 tregon drejtëzat a dhe b pingul me drejtëzën c. Në paragrafin 12, ne përcaktuam se drejtëza të tilla a dhe b nuk kryqëzohen, d.m.th. ato janë paralele.

Oriz. 98

Së bashku me linjat paralele, shpesh konsiderohen segmente paralele. Të dy segmentet quhen paralele, nëse shtrihen në drejtëza paralele. Në figurën 99, segmentet AB dhe CD janë paralele (AB || CD), por segmentet MN dhe CD nuk janë paralele. Paralelizmi i një segmenti dhe një vijë të drejtë (Fig. 99, b), një rreze dhe një vijë e drejtë, një segment dhe një rreze, dy rreze (Fig. 99, c) përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Oriz. 99 Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave

Drejtëza me quhet sekant në raport me drejtëzat a dhe b, nëse i pret në dy pika (Fig. 100). Kur drejtëzat a dhe b kryqëzohen me transversalin c, formohen tetë kënde, të cilat tregohen me numra në figurën 100. Disa çifte të këtyre këndeve kanë emra të veçantë:

kënde tërthore: 3 dhe 5, 4 dhe 6;
kënde të njëanshme: 4 dhe 5, 3 dhe 6;
këndet përkatëse: 1 dhe 5, 4 dhe 8, 2 dhe 6, 3 dhe 7.

Oriz. 100

Le të shqyrtojmë tre shenja të paralelizmit të dy drejtëzave të lidhura me këto çifte këndesh.

Teorema

Dëshmi

Le të jenë të barabarta drejtëzat ndërprerëse a dhe b këndet AB: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Le të vërtetojmë se një || b. Nëse këndet 1 dhe 2 janë të drejtë (Fig. 101, b), atëherë drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën AB dhe, rrjedhimisht, paralele.

Oriz. 101

Le të shqyrtojmë rastin kur këndet 1 dhe 2 nuk janë të drejtë.

Nga mesi O i segmentit AB vizatojmë një OH pingul në vijën e drejtë a (Fig. 101, c). Në vijën e drejtë b nga pika B ne do të heqim segmentin ВН 1, të barabartë me segmentin AH, siç tregohet në figurën 101, c, dhe do të vizatojmë segmentin OH 1. Trekëndëshat OHA dhe OH 1 B janë të barabartë në të dyja anët dhe këndi ndërmjet tyre (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), prandaj ∠3 = ∠4 dhe ∠5 = ∠6. Nga barazia ∠3 = ∠4 rezulton se pika H 1 shtrihet në vazhdimin e rrezes OH, pra pikat H, O dhe H 1 shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe nga barazia ∠5 = ∠6 rezulton se këndi 6 është një vijë e drejtë (pasi këndi 5 është një kënd i drejtë). Pra, drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën HH 1, pra janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Teorema

Dëshmi

Le të jenë të barabartë këndet përkatëse kur drejtëzat a dhe b priten me transversalin c, për shembull ∠1 =∠2 (Fig. 102).

Oriz. 102

Meqenëse këndet 2 dhe 3 janë vertikale, atëherë ∠2 = ∠3. Nga këto dy barazime del se ∠1 = ∠3. Por këndet 1 dhe 3 janë tërthore, kështu që drejtëzat a dhe b janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Teorema

Dëshmi

Lejo që kryqëzimi i drejtëzave a dhe b me tërthoren c të mbledhë këndet e njëanshme të barabartë me 180°, për shembull ∠1 + ∠4 = 180° (shih Fig. 102).

Meqenëse këndet 3 dhe 4 janë ngjitur, atëherë ∠3 + ∠4 = 180°. Nga këto dy barazime del se këndet kryq 1 dhe 3 janë të barabartë, prandaj drejtëzat a dhe b janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Mënyra praktike për të ndërtuar drejtëza paralele

Oriz. 103 Figura 104 tregon një metodë për ndërtimin e vijave paralele duke përdorur një shirit tërthor. Kjo metodë përdoret në praktikën e vizatimit.

Oriz. 104 Një metodë e ngjashme përdoret gjatë kryerjes së punimeve të zdrukthtarisë, ku një bllok (dy dërrasa druri të lidhura me një menteshë, Fig. 105) përdoret për të shënuar vija paralele.

Oriz. 105

Detyrat

186. Në figurën 106 drejtëzat a dhe b priten me drejtëzën c. Vërtetoni se një || b, nëse:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, dhe këndi 7 është tre herë më i madh se këndi 3.

Oriz. 106

187. Bazuar në të dhënat në figurën 107, vërtetoni se AB || D.E.

Oriz. 107

188. Segmentet AB dhe CD kryqëzohen në mesin e tyre të përbashkët. Vërtetoni se drejtëzat AC dhe BD janë paralele.

189. Duke përdorur të dhënat në figurën 108, vërtetoni se BC || A.D.

Oriz. 108

190. Në figurën 109, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Vërtetoni se DE || AC.

Oriz. 109

191. Segmenti BK është përgjysmues i trekëndëshit ABC. Një vijë e drejtë vizatohet përmes pikës K, duke e prerë anën BC në pikën M në mënyrë që BM = MK. Vërtetoni se drejtëzat KM dhe AB janë paralele.

192. Në trekëndëshin ABC, këndi A është 40° dhe këndi ALL, ngjitur me këndin ACB, është 80°. Vërtetoni se përgjysmuesja e këndit ALL është paralele me drejtëzën AB.

193. Në trekëndëshin ABC, ∠A = 40°, ∠B = 70°. Një drejtëz BD vizatohet përmes kulmit B në mënyrë që rrezja BC të jetë përgjysmues i këndit ABD. Vërtetoni se drejtëzat AC dhe BD janë paralele.

194. Vizatoni një trekëndësh. Nëpër çdo kulm të këtij trekëndëshi, duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore, vizatoni një vijë të drejtë paralele me anën e kundërt.

195. Vizatoni trekëndëshin ABC dhe shënoni pikën D në brinjën AC. Nëpër pikën D, duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore, vizatoni vija të drejta paralele me dy anët e tjera të trekëndëshit.

Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave

Teorema 1. Nëse, kur dy drejtëza priten me një sekant:

këndet e kryqëzuara janë të barabarta, ose

këndet përkatëse janë të barabarta, ose

shuma e këndeve të njëanshme është 180°, atëherë

vijat janë paralele(Fig. 1).

Dëshmi. Ne kufizohemi në vërtetimin e rastit 1.

Le të jenë drejtëzat ndërprerëse a dhe b tërthore dhe këndet AB të jenë të barabartë. Për shembull, ∠ 4 = ∠ 6. Le të vërtetojmë se a || b.

Supozoni se drejtëzat a dhe b nuk janë paralele. Pastaj ato kryqëzohen në një pikë M dhe, për rrjedhojë, një nga këndet 4 ose 6 do të jetë këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM. Për definicion, le të jetë ∠ 4 këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM, dhe ∠ 6 ai i brendshëm. Nga teorema mbi këndin e jashtëm të një trekëndëshi del se ∠ 4 është më i madh se ∠ 6, dhe kjo bie ndesh me kushtin, që do të thotë se drejtëzat a dhe 6 nuk mund të kryqëzohen, pra janë paralele.

Përfundimi 1. Dy drejtëza të ndryshme në një rrafsh pingul me të njëjtën drejtëz janë paralele(Fig. 2).

Komentoni. Mënyra se si sapo vërtetuam rastin 1 të Teoremës 1 quhet metoda e vërtetimit me kontradiktë ose reduktim në absurditet. Kjo metodë mori emrin e saj të parë sepse në fillim të argumentit bëhet një supozim që është në kundërshtim (të kundërt) me atë që duhet të vërtetohet. Quhet çon në absurd për faktin se, duke arsyetuar mbi bazën e supozimit të bërë, arrijmë në një përfundim absurd (në absurd). Marrja e një përfundimi të tillë na detyron të hedhim poshtë supozimin e bërë në fillim dhe të pranojmë atë që duhej vërtetuar.

Detyra 1. Ndërtoni një drejtëz që kalon nga një pikë e dhënë M dhe paralele me një drejtëz të caktuar a, që nuk kalon nga pika M.

Zgjidhje. Vizatojmë një drejtëz p përmes pikës M pingul me drejtëzën a (Fig. 3).

Pastaj vizatojmë një drejtëz b përmes pikës M pingul me drejtëzën p. Drejtëza b është paralele me drejtëzën a sipas përfundimit të teoremës 1.

Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga problemi i shqyrtuar:
përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, është gjithmonë e mundur të vizatohet një vijë paralele me atë të dhënë.

Vetia kryesore e drejtëzave paralele është si më poshtë.

Aksioma e drejtëzave paralele. Nëpër një pikë të caktuar që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon vetëm një drejtëz paralel me atë të dhënë.

Le të shqyrtojmë disa veti të drejtëzave paralele që rrjedhin nga kjo aksiomë.

1) Nëse një drejtëz pret një nga dy drejtëza paralele, atëherë ajo pret edhe tjetrën (Fig. 4).

2) Nëse dy drejtëza të ndryshme janë paralele me një vijë të tretë, atëherë ato janë paralele (Fig. 5).

Teorema e mëposhtme është gjithashtu e vërtetë.

Teorema 2. Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë:

këndet tërthore janë të barabarta;

këndet përkatëse janë të barabarta;

shuma e këndeve të njëanshme është 180°.

Përfundimi 2. Nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë ajo është gjithashtu pingul me tjetrën(shih Fig. 2).

Komentoni. Teorema 2 quhet inversi i Teoremës 1. Përfundimi i Teoremës 1 është kushti i Teoremës 2. Dhe kushti i Teoremës 1 është përfundimi i Teoremës 2. Jo çdo teoremë ka një të kundërt, domethënë nëse një teoremë e dhënë është e vërtetë, atëherë teorema e anasjelltë mund të jetë e gabuar.

Le ta shpjegojmë këtë duke përdorur shembullin e teoremës për këndet vertikale. Kjo teoremë mund të formulohet si më poshtë: nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta. Teorema e kundërt do të ishte: nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë ato janë vertikale. Dhe kjo, natyrisht, nuk është e vërtetë. Dy kënde të barabarta nuk duhet të jenë vertikale.

Shembulli 1. Dy drejtëza paralele kryqëzohen nga një e tretë. Dihet se ndryshimi midis dy këndeve të brendshme të njëanshme është 30°. Gjeni këto kënde.

Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 6 kushtin.