Hipoteza e Poincare dhe origjina e universit. Cili është thelbi i teoremës së Poincare-së?

Jules Henri Poincaré (1854-1912) drejtoi Akademinë e Shkencave të Parisit dhe u zgjodh në akademitë shkencore në 30 vende. Ai kishte shkallën e Leonardos: interesat e tij përfshinin fizikën, mekanikën, astronominë, filozofinë. Matematikanët në mbarë botën ende thonë se vetëm dy njerëz në histori e njihnin vërtet këtë shkencë: gjermani David Gilbert (1862-1943) dhe Poincaré.

Themelues i Topologjisë

Gjeniu matematikor Poincaré është mbresëlënës në numrin e degëve të shkencës ku ai zhvilloi bazat teorike të proceseve dhe dukurive të ndryshme. Në një kohë kur shkencëtarët po bënin përparime në botët e reja të hapësirës dhe në thellësitë e atomit, ishte e pamundur të bëhej pa një bazë të vetme për një teori të përgjithshme të universit. Degët e panjohura më parë të matematikës u bënë një bazë e tillë.

Poincaré po kërkonte një vështrim të ri në mekanikën qiellore, ai krijoi një teori cilësore të ekuacioneve diferenciale dhe teorinë e funksioneve automorfike. Hulumtimi i shkencëtarit u bë baza e teorisë speciale të relativitetit të Ajnshtajnit. Teorema e kthimit të Poincare-së thoshte, ndër të tjera, se vetitë e objekteve ose dukurive globale mund të kuptohen duke studiuar grimcat dhe elementët e tyre përbërës. Kjo i dha një shtysë të fuqishme kërkimit shkencor në fizikë, kimi, astronomi etj.

Gjeometria është një degë e matematikës ku Poincaré u bë një novator dhe lider i njohur botëror. Teoria e Lobaçevskit, pasi kishte hapur dimensione dhe hapësira të reja, kishte ende nevojë për një model të qartë dhe logjik, dhe Poincaré u dha ideve të shkencëtarit të madh rus një karakter të aplikuar.

Zhvillimi i gjeometrisë jo-Euklidiane ishte shfaqja e topologjisë - një degë e matematikës e quajtur gjeometria e vendosjes. Ajo studion marrëdhëniet hapësinore të pikave, vijave, rrafsheve, trupave etj. pa marrë parasysh vetitë e tyre metrike. Teorema e Poincare-së, e cila është bërë simbol i problemeve më të vështira në shkencë, u ngrit pikërisht në thellësinë e topologjisë.

Një nga Shtatë Sfidat e Mijëvjeçarit

Në fillim të shekullit të 21-të, një nga divizionet e Universitetit Amerikan në Kembrixh - një institut matematikor i themeluar nga biznesmeni Landon T. Clay - publikoi një listë të Problemeve të Çmimit të Mijëvjeçarit. Ai përmbante shtatë pika nga problemet klasike shkencore, për zgjidhjen e secilës prej të cilave u vendos një çmim prej një milion dollarësh:

Barazia e klasave P dhe NP (mbi korrespondencën e algoritmeve për zgjidhjen e një problemi dhe metodat për kontrollimin e korrektësisë së tyre).
. Hipoteza e Hodge (për lidhjen midis objekteve dhe ngjashmërisë së tyre, e përpiluar për studimin e tyre nga "tulla" me veti të caktuara).
. Hamendësimi i Poincare-së (çdo manifold kompakt tre-dimensional i lidhur thjesht pa kufi është homeomorfik ndaj një sfere tredimensionale).
. Hipoteza e Riemann-it (për modelin e vendosjes së numrave të thjeshtë).
. Teoria Yang-Mills (ekuacione nga fusha e grimcave elementare që përshkruajnë lloje të ndryshme ndërveprimesh).
. Ekzistenca dhe qetësia e zgjidhjeve të ekuacioneve Navier-Stokes (përshkruani turbulencën e rrjedhave të ajrit dhe lëngjeve).
. Hamendësimi i Birch-Swinnerton-Dyer (rreth ekuacioneve që përshkruajnë kthesat eliptike).

Secila prej këtyre problemeve kishte një histori shumë të gjatë, kërkimi i zgjidhjes së tyre çoi në shfaqjen e drejtimeve të reja shkencore, por të vetmet përgjigje të sakta për pyetjet e parashtruara nuk u gjetën. Të kuptuarit e njerëzve thanë se paratë e fondacionit Clay ishin të sigurta, por kjo ishte e vërtetë vetëm deri në vitin 2002 - u shfaq ai që vërtetoi teoremën e Poincare. Vërtetë, ai nuk i mori paratë.

Formulimi klasik

Një hipotezë për të cilën gjendet konfirmimi bëhet një teoremë me një provë të saktë. Kjo është pikërisht ajo që ndodhi me propozimin e Poincare-së për vetitë e sferave tredimensionale. Në një formë më të përgjithshme, ky postulat foli për homeomorfizmin e çdo shumëfishi të dimensionit n dhe një sfere të dimensionit n si një kusht i domosdoshëm për ekuivalencën e tyre homotopike. Teorema tashmë e famshme e Poincare-së vlen për rastin kur n=3. Ishte në hapësirën tredimensionale që matematikanët i prisnin vështirësitë për rastet e tjera, provat u gjetën më shpejt.

Për të kuptuar të paktën pak kuptimin e teoremës së Poincare-së, nuk mund të bëhet pa njohjen me konceptet bazë të topologjisë.

Homeomorfizmi

Topologjia, duke folur për homeomorfizmin, e përkufizon atë si një korrespodencë një-me-një midis pikave të një figure dhe një figure tjetër, në një kuptim të caktuar, padallueshmëri. Teorema e Poincare-së është e vështirë për të papërgatiturit. Për bedelet, mund të japim shembullin më të popullarizuar të figurave homeomorfe - një top dhe një kub, një donut dhe një turi janë gjithashtu homeomorfikë, por jo një turi dhe një kub. Shifrat janë homeomorfe nëse një figurë mund të merret me deformim arbitrar nga një tjetër, dhe ky transformim kufizohet nga disa veçori të sipërfaqes së figurës: ajo nuk mund të griset, shpohet ose pritet.

Nëse fryn një kub, ai mund të bëhet lehtësisht një top nëse e shtypni topin me lëvizje kundër, mund të merrni një kub. Prania e një vrime në një donut dhe një vrime e formuar nga një dorezë në një turi i bën ata homeomorfikë të njëjtën vrimë e bën të pamundur shndërrimin e një turi në një top ose kub.

Lidhshmëria

Një vrimë është një koncept i rëndësishëm që përcakton vetitë e një objekti, por kategoria nuk është aspak matematikore. U prezantua koncepti i lidhjes. Përmbahet në shumë postulate topologjike, duke përfshirë teoremën e Poincare-së. Me fjalë të thjeshta, mund të themi këtë: nëse sipërfaqja e topit është e mbështjellë me një lak prej gome, ajo do të tkurret dhe do të rrëshqasë. Kjo nuk do të ndodhë nëse ka një vrimë, si një torus donut, përmes së cilës mund të kaloni këtë shirit. Në këtë mënyrë, përcaktohet shenja kryesore e ngjashmërisë ose dallimit midis objekteve.

Shumëfishtë

Nëse një objekt ose hapësirë ​​ndahet në shumë pjesë përbërëse - lagje që rrethojnë një pikë - atëherë bashkësia e tyre quhet diversitet. Ky është pikërisht koncepti që përmban teorema e Poincare-së. Kompaktësia nënkupton një numër të kufizuar elementësh. Çdo lagje individuale u bindet ligjeve të gjeometrisë tradicionale - Euklidiane -, por së bashku ato formojnë diçka më komplekse.

Analogjia më adekuate e këtyre kategorive është sipërfaqja e tokës. Imazhi i sipërfaqes së saj përfaqësohet nga hartat e zonave të saj individuale, të mbledhura në një atlas. Në glob, këto imazhe marrin formën e një topi, i cili kthehet në një pikë në lidhje me hapësirën e Universit.

Sfera 3D

Sipas përkufizimit, një sferë është një koleksion pikash që janë të barabarta nga qendra - një pikë e caktuar fikse. Një sferë njëdimensionale është e vendosur në hapësirë ​​dydimensionale në formën e një rrethi në një plan. Një sferë dydimensionale është sipërfaqja e një topi, "korja" e saj është një koleksion pikash në hapësirën tre-dimensionale dhe, në përputhje me rrethanat, një sferë tredimensionale - thelbi i teoremës së Poincaré - është sipërfaqja e një sfere katër-dimensionale. top. Është shumë e vështirë të imagjinohet një objekt i tillë, por, thonë ata, ne jemi brenda një trupi të tillë gjeometrik.

Matematikanët japin gjithashtu përshkrimin e mëposhtëm të një sfere tredimensionale: le të supozojmë se në hapësirën tonë të zakonshme, të konsideruar të pakufizuar dhe të përcaktuar nga tre koordinata (X, Y, Z), një pikë (në pafundësi) shtohet në atë mënyrë që ju mund të futet gjithmonë në të duke lëvizur në çdo drejtim në një vijë të drejtë, d.m.th. çdo vijë e drejtë në këtë hapësirë ​​bëhet rreth. Ata thonë se ka njerëz që mund ta imagjinojnë këtë dhe të lundrojnë me qetësi në një botë të tillë.

Për ta, një torus tredimensional është një gjë e zakonshme. Një objekt i tillë mund të merret duke përsëritur dy herë kombinimin e dy fytyrave të vendosura në faqet e kundërta (për shembull, djathtas dhe majtas, sipër dhe poshtë) të kubit në një pikë. Për t'u përpjekur të imagjinojmë një torus tredimensional nga pozicionet tona të zakonshme, duhet të bëjmë një eksperiment absolutisht joreal: duhet të zgjedhim drejtimet pingule reciproke - lart, majtas dhe përpara - dhe të fillojmë të lëvizim në cilindo prej tyre në një vijë të drejtë. Pas një kohe (të fundme), nga drejtimi i kundërt do të kthehemi në pikën e fillimit.

Një trup i tillë gjeometrik ka një rëndësi thelbësore nëse doni të kuptoni se çfarë është teorema e Poincare-së. Prova e Perelman zbret në justifikimin e ekzistencës në hapësirën tre-dimensionale të vetëm një kolektori kompakt të lidhur thjesht - 3-sferat, të tjerat, si 3-torus, nuk janë thjesht të lidhura.

Rrugë e gjatë drejt së vërtetës

Kaloi më shumë se gjysmë shekulli përpara se të shfaqej një zgjidhje e teoremës së Poincare-së për dimensione më të mëdha se 3. Stephen Smail (l. 1930), John Robert Stallings (1935-2008), Eric Christopher Ziman (l. 1925) gjetën një zgjidhje për n të barabartë me 5, 6 dhe të barabartë ose më të madhe se 7. Vetëm në vitin 1982 Michael Friedman (l. 1951) ) iu dha çmimi më i lartë matematik - Medalja Fields - për vërtetimin e teoremës së Poincare-së për një rast më kompleks: kur n=4.

Në vitin 2006, ky çmim - Medalja Fields - iu dha një matematikani rus nga Shën Petersburg. Grigory Yakovlevich Perelman vërtetoi teoremën e Poincare-së për një shumëfish tre-dimensionale dhe një sferë tredimensionale. Ai refuzoi të merrte çmimin.

Gjeni i zakonshëm

Grigory Yakovlevich lindi më 13 qershor në Leningrad, në një familje inteligjente. Babai im, një inxhinier elektrik, u largua për qëndrim të përhershëm në Izrael në fillim të viteve '90 dhe nëna ime jepte mësime matematike në një shkollë profesionale. Përveç dashurisë për muzikën e mirë, ajo i rrënjosi djalit të saj edhe pasionin për zgjidhjen e problemeve dhe enigmave. Në klasën e 9-të Grigory kaloi në shkollën e fizikës nr.239, por nga klasa e 5-të ndoqi qendrën e matematikës në Pallatin e Pionierëve. Fitoret në Olimpiadat gjithë-Bashkimore dhe ndërkombëtare i lejuan Perelman të hynte në Universitetin e Leningradit pa provime.

Shumë ekspertë, veçanërisht ata rusë, vërejnë se Grigory Yakovlevich ishte përgatitur për një ngritje të paprecedentë nga klasa e lartë e shkollës së gjeometrisë së Leningradit, të cilën ai e ndoqi në Fakultetin e Mekanikës dhe Matematikës të Universitetit Shtetëror të Leningradit dhe në shkollën pasuniversitare në Matematikën. Instituti. V.A. Steklova. Pasi u bë kandidat i shkencave, ai filloi të punojë atje.

Kohët e vështira të viteve '90 e detyruan shkencëtarin e ri të shkonte për të punuar në SHBA. Ata që e njihnin më pas vunë re asketizmin e tij në jetën e përditshme, pasionin për punën, përgatitjen e shkëlqyer dhe erudicionin e lartë, gjë që u bë çelësi i faktit që Perelman vërtetoi teoremën e Poincare-së. Ai e mori këtë problem nga afër pasi u kthye në Shën Petersburg në vitin 1996, por filloi të mendojë për të përsëri në SHBA.

Drejtimi i duhur

Grigory Yakovlevich vëren se ai ishte gjithmonë i magjepsur nga problemet komplekse, siç është teorema e Poincare-së. Perelman filloi të kërkonte prova në drejtimin e nxjerrë nga një bisedë me profesorin e Universitetit të Kolumbisë, Richard Hamilton (l. 1943). Gjatë qëndrimit në SHBA, ai udhëtoi enkas nga një qytet tjetër për të ndjekur ligjëratat e këtij shkencëtari të jashtëzakonshëm. Perelman vë në dukje qëndrimin e shkëlqyer dhe miqësor të profesorit ndaj matematikanit të ri nga Rusia. Në bisedën e tyre, Hamilton përmendi rrjedhat e Ricci - një sistem ekuacionesh diferenciale - si një mënyrë për të zgjidhur teoremat e gjeometrizimit.

Perelman më pas u përpoq të kontaktonte Hamilton për të diskutuar përparimin në detyrë, por nuk mori asnjë përgjigje. Për një kohë të gjatë pasi u kthye në shtëpi, Grigory Yakovlevich kaloi vetëm me problemin më të vështirë, që ishte teorema e Poincare. Prova e Perelman është rezultat i përpjekjeve të mëdha dhe vetëmohimit.

Hamilton erdhi në një qorrsokak kur pa se kur transformon kthesat nën ndikimin e rrjedhave të Ricci, formohen zona singulare (duke u kthyer në pafundësi), të cilat nuk parashikoheshin nga teorema e Poincare-së. Me fjalë të thjeshta, Perelman arriti të neutralizojë formimin e zonave të tilla, dhe diversiteti u shndërrua me sukses në një sferë.

Ricci rrjedh

Një manifold 3-dimensional i lidhur thjesht është i pajisur me gjeometri, dhe futen elementë metrikë me distancë dhe kënde. Është më e lehtë për ta kuptuar këtë në shumëfishtë njëdimensionale. Një kurbë e qetë e mbyllur në rrafshin Euklidian është e pajisur me një vektor tangjent të njësisë së gjatësisë në secilën pikë. Kur kalon një kurbë, vektori rrotullohet me një shpejtësi të caktuar këndore, e cila përcakton lakimin. Aty ku vija është më e lakuar, lakimi është më i madh. Lakimi është pozitiv nëse vektori i shpejtësisë rrotullohet drejt pjesës së brendshme të rrafshit që ndan vija jonë, dhe negative nëse rrotullohet nga jashtë. Në vendet e përkuljes, lakimi është 0.

Tani secilës pikë të lakores i caktohet një vektor pingul me vektorin e shpejtësisë këndore dhe me një gjatësi të barabartë me madhësinë e lakimit. Drejtimi i tij është nga brenda për lakimin pozitiv dhe nga jashtë për lakimin negativ. Ne detyrojmë secilën pikë të lëvizë në drejtimin dhe shpejtësinë e përcaktuar nga vektori përkatës. Me këtë evolucion, një kurbë e mbyllur e tërhequr kudo në aeroplan kthehet në një rreth. Kjo është e vërtetë për dimensionin 3, që është ajo që duhej vërtetuar.

Nuk ka profet...

Ai u ngjit në Everestin e tij, pasi teorema e Poincare-së njihet nga matematikanët. Perelman e postoi provën në internet në formën e tre artikujve të vegjël. Ata bënë menjëherë bujë, megjithëse matematikani rus nuk ndoqi rrugën e pritshme - botim në një revistë të specializuar, shoqëruar me komente profesionale. Grigory Yakovlevich kaloi një muaj duke shpjeguar thelbin e zbulimit të tij në universitetet amerikane, por numri i atyre që e kuptuan plotësisht trenin e tij të mendimit u rrit shumë ngadalë.

Vetëm katër vjet më vonë u shfaq përfundimi i autoriteteve më të mëdha: provat e matematikanit rus ishin të sakta, problemi i parë i mijëvjeçarit ishte zgjidhur.

Epoka e mediave sociale

Ai duhej të duronte zhurmën dhe vrazhdësinë në rrjetet sociale, heshtjen e atyre që respektonte dhe klithmat e të tjerëve që e mësuan për jetën. Kinezët energjikë e vlerësuan fillimisht kontributin e tij në zgjidhjen e problemit në 25%, duke llogaritur 80% për veten dhe të tjerët! Më pas u duk sikur erdhi njohja botërore, por jo të gjithë mund ta përballojnë këtë.

Dua të besoj se ai mbijetoi, dhe në jetën e tij ka një harmoni dëshirash dhe mundësish.

Henri Poincaré është një nga shkencëtarët më të famshëm francezë të të gjitha kohërave. Gjatë jetës së tij ai arriti të arrijë shumë. Përveç zbulimeve të shumta në fusha të ndryshme të dijes, ai dha edhe mësime në Sorbonë për shumë vite dhe ishte anëtar i Akademisë Franceze të Shkencave dhe nga viti 1906 deri në vdekjen e tij më 1912 ishte president i saj.

Në botën moderne, arritja e tij më e famshme konsiderohet teorema e Poincare, e cila u vërtetua nga Grigory Perelman.

Përpjekjet për të provuar

Shumë shkencëtarë e kanë studiuar teoremën për shumë vite, por vetëm disa kanë arritur sukses. Një nga zbulimet kryesore u bë nga shkencëtari amerikan Thurston. Thelbi i punës së tij është se ai ishte në gjendje të ilustronte vizualisht shumëllojshmërinë e elementeve të një plani tredimensional. Puna e Thurston u quajt hipoteza e gjeometrizimit dhe për të iu dha Medalja Fields.

Disa shkencëtarë kinezë ishin gjithashtu të interesuar të shihnin teoremën e Poincare-së të provuar. Mes tyre spikat Shin Tun Yau, i cili madje bëri deklarata se ai dhe studentët e tij ia dolën ta bëjnë këtë.

Puna e Perelman

Grigory Perelman vërtetoi teoremën e Poincare-së pas vitesh punë të palodhur mbi të. Hulumtimet e tij i filloi gjatë qëndrimit në Amerikë, ku ligjëroi në universitete të ndryshme për një kohë të gjatë. Pas njohjes së tij me shkencëtarin amerikan Hamilton, i cili e ndihmoi të qartësonte disa pika, ai filloi të mendojë për vërtetimin e teoremës. Pas ca kohësh, ai vendosi të kthehej në vendlindjen e tij në Shën Petersburg, ku u nis me zell për të punuar.

Në vitin 2002, Perelman botoi pjesën e parë të punës së tij dhe i dërgoi një kopje të saj Shin Tun Yau në mënyrë që ai të mund t'i jepte një vlerësim objektiv. Edhe atëherë, bota shkencore u bë e vetëdijshme se teorema e Poincare-së ishte vërtetuar. Gjatë disa muajve, Perelman publikoi dy pjesë të tjera të artikullit, të cilat e prezantonin punën e tij në një formë shumë të përmbledhur.

Në botën shkencore, është zakon që përpara se të bëhet një deklaratë zyrtare për një zbulim, ai duhet të konfirmohet nga disa shkencëtarë të ndryshëm dhe vetëm atëherë puna mund të publikohet zyrtarisht. Para se të publikohej prova, teorema Poincaré-Perelman u testua shumë herë dhe puna u ndërlikua më tej nga fakti se përfshinte një numër të konsiderueshëm shkurtesash dhe pak shpjegime për një punë kaq serioze.

Sidoqoftë, pas ca kohësh u kuptua se Perelman arriti të zgjidhte një problem me të cilin kishin luftuar shumë breza shkencëtarësh.

Medalje Fields

Ky çmim u jepet vetëm një herë në katër vjet jo më shumë se katër shkencëtarëve që kanë dhënë kontribut të rëndësishëm në studimin e matematikës. Perelman iu dha gjithashtu në 2006 për prova, por, çuditërisht, ai refuzoi një çmim të tillë nderi dhe nuk ishte i pranishëm në prezantim. Sipas vetë shkencëtarit, titujt e nderit nuk janë të rëndësishëm për të, ai ishte i kënaqur nga fakti që hipoteza u vërtetua.

Teorema e Poincaré ishte një mister për shumë shkencëtarë, por ishte matematikani i çuditshëm rus ai që mundi të arrinte zgjidhjen e saj dhe të gjente përgjigje për pyetjet që kanë shqetësuar të gjithë botën shkencore për një kohë të gjatë.

Foto nga N. Chetverikova Arritja e fundit e madhe e matematikës së pastër quhet vërtetimi nga banori i Shën Petersburgut Grigory Perelman në 2002-2003 i hamendësimit të Poincare-së, i deklaruar në vitin 1904 dhe thotë: “çdo shumëfish i lidhur, thjesht i lidhur, kompakt tre-dimensional. pa kufi është homeomorfik ndaj sferës S 3.

Ka disa terma në këtë frazë që unë do të përpiqem t'i shpjegoj në mënyrë që kuptimi i tyre i përgjithshëm të jetë i qartë për jo-matematicienët (supozoj se lexuesi ka mbaruar shkollën e mesme dhe ende kujton disa nga matematikat e tij shkollore).

Le të fillojmë me konceptin e homeomorfizmit, i cili është qendror për topologjinë. Në përgjithësi, topologjia shpesh përkufizohet si "gjeometri e gomës", d.m.th., si shkenca e vetive të imazheve gjeometrike që nuk ndryshojnë gjatë deformimeve të lëmuara pa thyerje dhe ngjitje, ose më mirë, nëse është e mundur të vendoset një një dhe korrespodencë reciproke e vazhdueshme ndërmjet dy objekteve .

Ideja kryesore është më e lehtë për t'u shpjeguar duke përdorur shembullin klasik të një turi dhe një donut. E para mund të shndërrohet në të dytën nga një deformim i vazhdueshëm: Këto shifra tregojnë qartë se një filxhan është homeomorfik ndaj një donut, dhe ky fakt është i vërtetë si për sipërfaqet e tyre (manifoldet dydimensionale të quajtura torus) dhe për trupat e mbushur (tre -komplekse dimensionale me buzë).

Le të japim një interpretim të termave të mbetur që shfaqen në formulimin e hipotezës.

1. Manifold tredimensionale pa buzë. Ky është një objekt gjeometrik në të cilin çdo pikë ka një fqinjësi në formën e një topi tredimensional. Shembujt e 3-manifoldeve përfshijnë, së pari, të gjithë hapësirën tredimensionale, të shënuar me R 3 , si dhe çdo grup të hapur pikash në R 3 , për shembull, brendësinë e një torusi të fortë (donut). Nëse marrim parasysh një torus të plotë të mbyllur, d.m.th., shtojmë pikat e tij kufitare (sipërfaqja e torusit), atëherë marrim një shumëfish me një skaj - pikat e skajit nuk kanë fqinjësi në formën e një topi, por vetëm në formë e një gjysmë topi.

2. Lidhur. Koncepti i lidhjes këtu është më i thjeshtë. Një kolektor lidhet nëse përbëhet nga një pjesë, ose, diçka e njëjtë, çdo dy nga pikat e tij mund të lidhen me një vijë të vazhdueshme që nuk shtrihet përtej kufijve të saj.

3. Thjesht i lidhur. Koncepti i thjesht lidhjes është më kompleks. Do të thotë që çdo kurbë e mbyllur e vazhdueshme e vendosur tërësisht brenda një manifoldi të caktuar mund të tkurret pa probleme në një pikë pa u larguar nga ky manifold. Për shembull, një sferë e zakonshme dy-dimensionale në R 3 është thjesht e lidhur (një brez gome, i vendosur në çfarëdo mënyre në sipërfaqen e një mollë, mund të tërhiqet pa probleme në një pikë me deformim të butë pa e shkëputur brezin e gomës nga molla) . Nga ana tjetër, rrethi dhe torusi nuk janë thjesht të lidhur.

4. Kompakt. Një varietet është kompakt nëse ndonjë nga imazhet e tij homeomorfike ka dimensione të kufizuara. Për shembull, një interval i hapur në një vijë (të gjitha pikat e një segmenti përveç skajeve të tij) është jo kompakt, pasi mund të shtrihet vazhdimisht në një vijë të pafundme. Por një segment i mbyllur (me skaje) është një manifold kompakt me një kufi: për çdo deformim të vazhdueshëm, skajet shkojnë në disa pika specifike dhe i gjithë segmenti duhet të shkojë në një kurbë të kufizuar që lidh këto pika.

Dimensioni i një shumëfishi është numri i shkallëve të lirisë së pikës që "jeton" në të. Çdo pikë ka një fqinjësi në formën e një disku të dimensionit përkatës, d.m.th., një interval i një rreshti në një rast njëdimensional, një rreth në një plan në dy dimensione, një top në tre dimensione, etj. Nga pika Nga pikëpamja e topologjisë, ekzistojnë vetëm dy manifolde të lidhura njëdimensionale pa buzë: një vijë dhe një rreth. Nga këto, vetëm rrethi është kompakt.

Një shembull i një hapësire që nuk është shumëfish është, për shembull, një palë vijash kryqëzuese - në fund të fundit, në pikën e kryqëzimit të dy vijave, çdo lagje ka formën e një kryqi, ajo nuk ka një lagje që do të vetë të jetë thjesht një interval (dhe të gjitha pikat e tjera kanë lagje të tilla). Në raste të tilla, matematikanët thonë se kemi të bëjmë me një varietet të veçantë që ka një pikë të veçantë.

Koleksionet kompakte dydimensionale janë të njohura. Nëse marrim parasysh vetëm i orientuar 1 shumëfishtë pa kufi, pastaj nga pikëpamja topologjike ato formojnë një listë të thjeshtë, ndonëse të pafundme: e kështu me radhë. Çdo manifold i tillë merret nga një sferë duke ngjitur disa doreza, numri i të cilave quhet gjini e sipërfaqes.

1 Për mungesë hapësire, nuk do të flas për kolektorë jo-orientues, shembull i të cilave është shishja e famshme Klein - një sipërfaqe që nuk mund të futet në hapësirë ​​pa vetë-kryqëzime.

Figura tregon sipërfaqet e gjinisë 0, 1, 2 dhe 3. Çfarë e bën sferën të dallohet nga të gjitha sipërfaqet në këtë listë? Rezulton se është thjesht e lidhur: në një sferë çdo kurbë e mbyllur mund të tkurret në një pikë, por në çdo sipërfaqe tjetër mund të tregohet gjithmonë një kurbë që nuk mund të tkurret në një pikë përgjatë sipërfaqes.

Është kureshtare që manifoldet kompakte tredimensionale pa kufi mund të klasifikohen në një kuptim, domethënë të rregulluar në një listë të caktuar, megjithëse jo aq të drejtpërdrejtë sa në rastin dydimensional, por duke pasur një strukturë mjaft komplekse. Sidoqoftë, sfera 3D S 3 dallohet në këtë listë ashtu si sfera 2D në listën e mësipërme. Fakti që çdo kurbë në S 3 kontraktohet në një pikë vërtetohet po aq thjesht sa në rastin dydimensional. Por pohimi i kundërt, domethënë që kjo veti është unike posaçërisht për sferën, d.m.th., se në çdo manifold tjetër tredimensional ka kurba të pakontraktueshme, është shumë e vështirë dhe saktësisht përbën përmbajtjen e hamendjes së Poincare-së për të cilën po flasim. .

Është e rëndësishme të kuptohet se diversiteti mund të jetojë vetë, ai mund të konsiderohet si një objekt i pavarur, jo i folezuar askund. (Imagjinoni të jetoni si krijesa dy-dimensionale në sipërfaqen e një sfere të zakonshme, të pavetëdijshme për ekzistencën e një dimensioni të tretë.) Për fat të mirë, të gjitha sipërfaqet dydimensionale në listën e mësipërme mund të vendosen në hapësirën e zakonshme R3, duke i bërë ato më të lehta për të vizualizuar. Për sferën tre-dimensionale S 3 (dhe në përgjithësi për çdo manifold tredimensional kompakt pa kufi) kjo nuk është më kështu, kështu që nevojiten disa përpjekje për të kuptuar strukturën e saj.

Me sa duket, mënyra më e thjeshtë për të shpjeguar strukturën topologjike të sferës tre-dimensionale S 3 është përdorimi i ngjeshjes me një pikë. Domethënë, sfera tredimensionale S 3 është një ngjeshje me një pikë e hapësirës së zakonshme tredimensionale (të pakufishme) R 3 .

Le ta shpjegojmë fillimisht këtë ndërtim duke përdorur shembuj të thjeshtë. Le të marrim një vijë të drejtë të zakonshme të pafundme (një analog njëdimensional i hapësirës) dhe t'i shtojmë asaj një pikë "pafundësisht të largët", duke supozuar se kur lëvizim përgjatë një vije të drejtë djathtas ose majtas, përfundimisht arrijmë në këtë pikë. Nga pikëpamja topologjike, nuk ka dallim ndërmjet një vije të pafundme dhe një segmenti të vijës së hapur të kufizuar (pa pika fundore). Një segment i tillë mund të përkulet vazhdimisht në formën e një harku, të afrojë skajet dhe të ngjisë pikën që mungon në kryqëzim. Ne padyshim do të marrim një rreth - një analog njëdimensional i një sfere.

Në të njëjtën mënyrë, nëse marr një rrafsh të pafundëm dhe shtoj një pikë në pafundësi, në të cilën priren të gjitha vijat e drejta të planit fillestar, që kalojnë në çdo drejtim, atëherë marrim një sferë dydimensionale (të zakonshme) S 2. Kjo procedurë mund të vërehet duke përdorur një projeksion stereografik, i cili cakton në secilën pikë P të sferës, me përjashtim të polit verior N, një pikë të caktuar në planin P":

Kështu, një sferë pa një pikë është topologjikisht e njëjtë me një rrafsh, dhe shtimi i një pike e kthen rrafshin në një sferë.

Në parim, saktësisht i njëjti ndërtim është i zbatueshëm për një sferë tre-dimensionale dhe hapësirë ​​tre-dimensionale, vetëm për zbatimin e tij është e nevojshme të futeni në dimensionin e katërt, dhe kjo nuk është aq e lehtë për t'u përshkruar në një vizatim. Prandaj, do të kufizohem në një përshkrim verbal të ngjeshjes me një pikë të hapësirës R 3 .

Imagjinoni që hapësirës sonë fizike (të cilën ne, duke ndjekur Njutonin, e konsiderojmë si një hapësirë ​​të pakufizuar Euklidiane me tre koordinata x, y, z) një pikë “në pafundësi” i shtohet në atë mënyrë që kur lëvizim në vijë të drejtë në ndonjë drejtimin ku arrini atje (d.m.th., çdo vijë hapësinore mbyllet në një rreth). Pastaj marrim një manifold kompakt tredimensional, i cili sipas përkufizimit është sfera S 3 .

Është e lehtë të kuptohet se sfera S 3 është thjesht e lidhur. Në fakt, çdo kurbë e mbyllur në këtë sferë mund të zhvendoset pak në mënyrë që të mos kalojë nëpër pikën e shtuar. Pastaj marrim një kurbë në hapësirën e zakonshme R 3, e cila kontraktohet lehtësisht në një pikë përmes homotetive, d.m.th., ngjeshje e vazhdueshme në të tre drejtimet.

Për të kuptuar se si është strukturuar varieteti S 3, është shumë udhëzuese të merret në konsideratë ndarja e tij në dy tori të ngurta. Nëse heqim torusin e ngurtë nga hapësira R 3, atëherë do të mbetet diçka jo shumë e qartë. Dhe nëse hapësira kompaktohet në një sferë, atëherë ky komplement gjithashtu shndërrohet në një torus të fortë. Kjo do të thotë, sfera S 3 është e ndarë në dy tori të ngurtë që kanë një kufi të përbashkët - një torus.

Ja si mund ta kuptoni. Le të vendosim torusin në R 3 si zakonisht, në formën e një donuti të rrumbullakët dhe të vizatojmë një vijë vertikale - boshtin e rrotullimit të këtij donut. Ne vizatojmë një rrafsh arbitrar përmes boshtit ai do të kryqëzojë torusin tonë të ngurtë përgjatë dy rrathëve, të paraqitur në të gjelbër në figurë, dhe pjesa shtesë e rrafshit ndahet në një familje të vazhdueshme rrathësh të kuq. Këtu përfshihet boshti qendror, i theksuar më me guxim, sepse në sferën S 3 vija e drejtë mbyllet në një rreth. Një fotografi tredimensionale merret nga kjo pamje dydimensionale me rrotullim rreth një boshti. Një grup i plotë rrathësh të rrotulluar do të mbushë një trup tredimensional, homeomorfik në një torus të ngurtë, vetëm që duket i pazakontë.

Në fakt, boshti qendror do të jetë një rreth boshtor në të, dhe pjesa tjetër do të luajë rolin e paraleleve - rrathë që përbëjnë një torus të zakonshëm të ngurtë.

Për të pasur diçka për të krahasuar 3-sferën me të, unë do të jap një shembull tjetër të një 3-manifoldi kompakt, domethënë një torus tredimensional. Një torus tredimensional mund të ndërtohet si më poshtë. Le të marrim një kub të zakonshëm tredimensional si material fillestar:

Ka tre palë skaje: majtas dhe djathtas, sipër dhe poshtë, përpara dhe mbrapa. Në secilën palë fytyra paralele, ne identifikojmë në çift pikat e marra nga njëra-tjetra duke transferuar përgjatë skajit të kubit. Kjo do të thotë, ne do të supozojmë (thjesht abstrakte, pa përdorimin e deformimeve fizike) se, për shembull, A dhe A" janë e njëjta pikë, dhe B dhe B" janë gjithashtu një pikë, por të ndryshme nga pika A. Të gjitha pikat e brendshme të kubit Do ta konsiderojmë si zakonisht. Vetë kubi është një shumëfish me buzë, por pasi është bërë ngjitja, buza mbyllet në vetvete dhe zhduket. Në fakt, lagjet e pikave A dhe A" në kub (ato shtrihen në faqet e hijezuara majtas dhe djathtas) janë gjysma topash, të cilët pasi i ngjitin faqet bashkohen në një top të tërë, i cili shërben si lagje e pika përkatëse e torusit tredimensional.

Për të ndier strukturën e një 3-torusi bazuar në idetë e përditshme për hapësirën fizike, ju duhet të zgjidhni tre drejtime pingule reciproke: përpara, majtas dhe lart - dhe mendoni mendërisht, si në tregimet fantastiko-shkencore, se kur lëvizni në ndonjë nga këto drejtime , një kohë mjaft e gjatë, por e fundme, do të kthehemi në pikën e fillimit, por nga drejtimi i kundërt, ky është gjithashtu një "ngjeshje e hapësirës", por jo ajo me një pikë e përdorur më parë për të ndërtuar sferën, por më komplekse.

Ka shtigje të pakontraktueshme në një torus tredimensional; për shembull, ky është segmenti AA" në figurë (në një torus ai përfaqëson një shteg të mbyllur). Nuk mund të kontraktohet, sepse për çdo deformim të vazhdueshëm pikat A dhe A" duhet të lëvizin përgjatë faqeve të tyre, duke qëndruar rreptësisht përballë njëra-tjetrës ( përndryshe kurba do të hapet).

Pra, shohim se ka 3-manifolda kompakte të lidhura dhe jo thjesht të lidhura. Perelman vërtetoi se një shumëfish i lidhur thjesht është pikërisht një.

Ideja fillestare e provës është përdorimi i të ashtuquajturit "rrjedha Ricci": marrim një 3-manifold kompakt të lidhur thjesht, e pajisim atë me një gjeometri arbitrare (d.m.th. prezantojmë disa metrikë me distanca dhe kënde) dhe më pas shqyrtojmë evolucioni i tij përgjatë rrjedhës Ricci. Richard Hamilton, i cili propozoi këtë ide në vitin 1981, shpresonte se ky evolucion do ta kthente diversitetin tonë në një sferë. Doli që kjo nuk është e vërtetë - në rastin tredimensional, rrjedha Ricci është në gjendje të prishë një shumëfish, domethënë, ta bëjë atë jo të shumëfishtë (diçka me pika njëjës, si në shembullin e mësipërm të linjave të kryqëzuara) . Perelman, duke kapërcyer vështirësi të jashtëzakonshme teknike, duke përdorur aparatin e rëndë të ekuacioneve diferenciale të pjesshme, arriti të futë korrigjime në rrjedhën Ricci pranë pikave njëjës në atë mënyrë që gjatë evolucionit topologjia e manifoldit të mos ndryshojë, të mos lindë pika njëjës dhe në fund kthehet në një sferë të rrumbullakët . Por më në fund duhet të shpjegojmë se çfarë është kjo rrjedhë Ricci. Rrjedhat e përdorura nga Hamilton dhe Perelman i referohen ndryshimeve në metrikën e brendshme në një manifold abstrakt, dhe kjo është mjaft e vështirë për t'u shpjeguar, kështu që unë do të kufizohem në përshkrimin e rrjedhës "të jashtme" të Ricci në manifoldet njëdimensionale të ngulitura në plan.

Le të imagjinojmë një kurbë të qetë të mbyllur në rrafshin Euklidian, të zgjedhim një drejtim në të dhe të konsiderojmë një vektor tangjent të gjatësisë njësi në secilën pikë. Pastaj, kur shkon rreth kurbës në drejtimin e zgjedhur, ky vektor do të rrotullohet me një shpejtësi këndore, e cila quhet lakim. Në ato vende ku kurba është e lakuar më e pjerrët, lakimi (në vlerë absolute) do të jetë më i madh, dhe ku është më i lëmuar, lakimi do të jetë më i vogël.

Ne do ta konsiderojmë lakimin pozitiv nëse vektori i shpejtësisë kthehet drejt pjesës së brendshme të rrafshit, i ndarë nga kurba jonë në dy pjesë, dhe negative nëse kthehet nga jashtë. Kjo marrëveshje nuk varet nga drejtimi në të cilin përshkohet kurba. Në pikat e përkuljes, ku rrotullimi ndryshon drejtimin, lakimi do të jetë 0. Për shembull, një rreth me rreze 1 ka një lakim pozitiv konstant prej 1 (nëse matet në radianë).

Tani le të harrojmë vektorët tangjentë dhe, përkundrazi, bashkojmë në secilën pikë të kurbës një vektor pingul me të, të barabartë në gjatësi me lakimin në një pikë të caktuar dhe të drejtuar nga brenda nëse lakimi është pozitiv, dhe nga jashtë nëse është negativ. , dhe më pas bëni çdo pikë të lëvizë në drejtim të vektorit përkatës me shpejtësi proporcionale me gjatësinë e tij. Ja një shembull:

Rezulton se çdo kurbë e mbyllur në një aeroplan sillet në mënyrë të ngjashme gjatë një evolucioni të tillë, d.m.th., ajo përfundimisht kthehet në një rreth. Kjo është një provë e analogut njëdimensional të hamendjes së Poincare duke përdorur rrjedhën e Ricci (megjithatë, vetë deklarata në këtë rast është tashmë e qartë, thjesht metoda e provës ilustron atë që ndodh në dimensionin 3).

Le të theksojmë në përfundim se arsyetimi i Perelman provon jo vetëm hamendjen e Poincare-së, por edhe hamendjen shumë më të përgjithshme të gjeometrizimit të Thurston, e cila në një farë kuptimi përshkruan strukturën e të gjithë manifoldeve përgjithësisht kompakte tre-dimensionale. Por kjo temë qëndron përtej qëllimit të këtij artikulli elementar.

Sergej Duzhin,
Doktor i fizikës dhe matematikës shkencat,
studiues i lartë
dega e Shën Petersburgut
Instituti Matematik i Akademisë Ruse të Shkencave

"Pse më duhen një milion?"

E gjithë bota e di historinë për matematikanin e shkëlqyer Grigory Perelman, i cili vërtetoi hamendësimin e Poincare-së dhe refuzoi një milion dollarë. Së fundmi, shkencëtari i izoluar më në fund shpjegoi pse nuk mori çmimin e merituar.

E gjitha filloi me faktin se gazetari dhe producenti i kompanisë filmike "President Film" Alexander Zabrovsky mendoi të kontaktonte nënën e Grigory Yakovlevich përmes komunitetit hebre të Shën Petersburgut. Në fund të fundit, para kësaj, të gjithë gazetarët u ulën pa sukses në shkallët e shtëpisë së matematikanit të madh për ta intervistuar atë. Nëna foli me të birin, duke i dhënë një përshkrim të mirë gazetarit dhe vetëm pas kësaj Perelman pranoi takimin.

Sipas Zabrovsky, Grigory Yakovlevich është një person plotësisht i arsyeshëm dhe adekuat, dhe gjithçka që u tha për të më herët është marrëzi. Ai sheh një qëllim specifik përpara tij dhe di si ta arrijë atë.

Kompania filmike “President Film”, me pëlqimin e Perelman, planifikon të realizojë një film artistik për të, “Formula of the Universe”. Matematikani ka kontaktuar për hir të këtij filmi, i cili nuk do të jetë për të, por për bashkëpunimin dhe përballjen e tre shkollave kryesore matematikore botërore: ruse, kineze dhe amerikane, më të avancuara në rrugën e studimit dhe menaxhimit të Universit. . Pyetjes për milionin, që shqetësoi aq shumë të gjithë të habiturit dhe kuriozët, Perelman u përgjigj: “Unë di të menaxhoj Universin. Dhe më thuaj, pse duhet të kandidoj për një milion?”

Shkencëtari foli edhe pse nuk komunikon me gazetarët. Arsyeja është se ata nuk shqetësohen për shkencën, por për jetën e tyre personale - prerjen e thonjve dhe një milion. Ai ofendohet kur shtypi e quan Grisha, matematikani e konsideron një njohje të tillë si mungesë respekti për veten e tij.

Që nga vitet e shkollës, Grigory Perelman ishte mësuar të "stërvitte trurin e tij", domethënë të zgjidhte probleme që e detyruan të mendonte në mënyrë abstrakte. Dhe për të gjetur zgjidhjen e duhur, ishte e nevojshme të imagjinohej një "copë e botës". Për shembull, një matematikani iu kërkua të llogariste se sa shpejt duhej të ecte Jezu Krishti mbi ujë për të mos rënë. Nga këtu lindi dëshira e Perelman për të studiuar vetitë e hapësirës tredimensionale të Universit.

Pse ishte e nevojshme të luftohej për kaq shumë vite për të vërtetuar hamendjen e Poincare-së? Thelbi i saj është ky: nëse një sipërfaqe tre-dimensionale është disi e ngjashme me një sferë, atëherë ajo mund të drejtohet në një sferë. Deklarata e Poincare-së quhet "Formula e Universit" për shkak të rëndësisë së saj në studimin e proceseve komplekse fizike në teorinë e universit dhe sepse i përgjigjet pyetjes rreth formës së Universit.

Grigory Yakovlevich arriti një super-njohuri të tillë që ndihmon për të kuptuar universin. Dhe tani matematikani është vazhdimisht nën mbikëqyrjen e shërbimeve të inteligjencës ruse dhe të huaja: po sikur Perelman të paraqet një kërcënim për njerëzimin? Në fund të fundit, nëse me ndihmën e njohurive të tij është e mundur të shembet Universi në një pikë dhe pastaj ta zgjerojmë atë, atëherë ne mund të vdesim apo të rilindim në një kapacitet tjetër? Dhe atëherë do të jemi ne? Dhe a duhet të kontrollojmë Universin?

Dëshmi që zgjat një shekull

Grigory Perelman hyri përfundimisht dhe në mënyrë të pakthyeshme në histori

Instituti i Matematikës Clay i dha Grigory Perelman Çmimin e Mijëvjeçarit, duke njohur kështu zyrtarisht provën e matematikanit rus të hamendjes së Poincare-së si të saktë. Vlen të përmendet se në të njëjtën kohë, instituti duhej të shkelte rregullat e veta - sipas tyre, vetëm një autor që ka botuar veprat e tij në revista të vlerësuara nga kolegët mund të pretendojë të marrë afërsisht një milion dollarë, kjo është madhësia e çmim. Puna e Grigory Perelman kurrë nuk e pa zyrtarisht dritën e ditës - ajo mbeti një grup i disa printimeve paraprake në faqen e internetit arXiv.org (një, dy dhe tre). Sidoqoftë, nuk është aq e rëndësishme se çfarë e shkaktoi vendimin e institutit - dhënia e Çmimit të Mijëvjeçarit i jep fund një historie që është më shumë se 100 vjet e gjatë.

Një turi, një donut dhe disa topologji

Përpara se të zbuloni se çfarë është hamendja e Poincare-së, duhet të kuptoni se çfarë lloj dege të matematikës është - topologjia - së cilës i përket pikërisht kjo hipotezë. Topologjia e shumëfishtë merret me vetitë e sipërfaqeve që nuk ndryshojnë nën deformime të caktuara. Le të shpjegojmë me një shembull klasik. Le të supozojmë se lexuesi ka një donut përpara dhe një filxhan bosh. Nga pikëpamja e gjeometrisë dhe sensit të përbashkët, këto janë objekte të ndryshme, qoftë edhe sepse nuk do të mund të pini kafe nga një donut edhe nëse dëshironi.

Sidoqoftë, një topolog do të thotë se një filxhan dhe një donut janë e njëjta gjë. Dhe ai do ta shpjegojë në këtë mënyrë: imagjinoni që filxhani dhe donuti janë sipërfaqe të zbrazëta të bëra nga një material shumë elastik (një matematikan do të thoshte se ka një palë manifolde kompakte dydimensionale). Le të bëjmë një eksperiment spekulativ: fillimisht fryjmë pjesën e poshtme të kupës, dhe më pas dorezën e saj, pas së cilës do të kthehet në një torus (ky është emri matematikor për formën e një donut). Ju mund të shihni se si duket ky proces.

Natyrisht, lexuesi kureshtar ka një pyetje: duke qenë se sipërfaqet mund të rrudhosen, si mund të dallohen ato? Në fund të fundit, për shembull, është intuitivisht e qartë - pa marrë parasysh sa i madh është torusi, nuk mund të merrni një sferë prej tij pa thyerje dhe ngjitje. Këtu hyjnë në lojë të ashtuquajturat invariante - karakteristikat e një sipërfaqeje që nuk ndryshojnë gjatë deformimit - një koncept i nevojshëm për formulimin e hipotezës së Poincare-së.

Mendja e shëndoshë na thotë se ndryshimi midis një torus dhe një sfere është një vrimë. Megjithatë, një vrimë është larg nga një koncept matematikor, kështu që duhet të zyrtarizohet. Kjo bëhet në këtë mënyrë: imagjinoni që në sipërfaqe të kemi një fije elastike shumë të hollë që formon një lak (në këtë eksperiment spekulativ, ndryshe nga ai i mëparshmi, ne e konsiderojmë vetë sipërfaqen të jetë e fortë). Do ta lëvizim lakun pa e hequr nga sipërfaqja ose pa e grisur. Nëse filli mund të tërhiqet në një rreth shumë të vogël (pothuajse një pikë), atëherë laku thuhet se është i kontraktueshëm. Përndryshe cikli quhet jokontraktues.

Pra, është e lehtë të shihet se në një sferë çdo lak është i kontraktueshëm (mund të shihni se si duket përafërsisht), por për një torus kjo nuk është më e vërtetë: në një donut ka dy sythe të tëra - njëra është e filetuar në vrimë. , dhe tjetra shkon rreth vrimës "rreth perimetrit", - e cila nuk mund të tërhiqet.

Në këtë foto, shembujt e sytheve jo të shtrirë janë treguar përkatësisht me ngjyrë të kuqe dhe vjollcë. Kur ka sythe në sipërfaqe, matematikanët thonë se "grupi themelor i varietetit nuk është i parëndësishëm", dhe nëse nuk ka sythe të tilla, atëherë është i parëndësishëm.

Grupi themelor i torusit shënohet n1 (T2). Për shkak se është jo e parëndësishme, krahët e miut formojnë një lak të pakonkurrueshëm. Trishtimi në fytyrën e kafshës është rezultat i realizimit të këtij fakti.

Pra, është e lehtë të shihet se në një sferë çdo lak është i kontraktueshëm, por për një torus nuk është më kështu: në një donut ka dy sythe të tëra - njëra është e filetuar në vrimë dhe tjetra shkon rreth vrimës " rreth perimetrit” - që nuk mund të shtrëngohet. Në këtë foto, shembujt e sytheve jo të shtrirë janë treguar përkatësisht me ngjyrë të kuqe dhe vjollcë.

Tani, për të formuluar me ndershmëri hamendësimin e Poincare-së, lexuesi kureshtar duhet të jetë pak më i durueshëm: ne duhet të kuptojmë se çfarë është një manifold tredimensional në përgjithësi dhe një sferë tredimensionale në veçanti.

Le të kthehemi për një sekondë në sipërfaqet që diskutuam më sipër. Secila prej tyre mund të pritet në copa aq të vogla sa secila pothuajse do të ngjajë me një pjesë të një avioni. Meqenëse avioni ka vetëm dy dimensione, ata thonë se manifoldi është dydimensional. Një manifold tre-dimensionale është një sipërfaqe që mund të pritet në copa të vogla, secila prej të cilave është shumë e ngjashme me një pjesë të hapësirës së zakonshme tre-dimensionale.

"Karakteri" kryesor i hipotezës është sfera tredimensionale. Është ende e pamundur të imagjinohet një sferë tre-dimensionale si një analog i një sfere të zakonshme në hapësirën katër-dimensionale pa e humbur mendjen. Sidoqoftë, është mjaft e lehtë të përshkruhet ky objekt, si të thuash, "në pjesë". Kushdo që ka parë një glob e di se një sferë e zakonshme mund të ngjitet së bashku nga hemisferat veriore dhe jugore përgjatë ekuatorit. Pra, një sferë tre-dimensionale është ngjitur së bashku nga dy topa (veri dhe jug) përgjatë një sfere, e cila është një analog i ekuatorit.

Në manifoldet tredimensionale mund të konsiderojmë të njëjtat sythe që morëm në sipërfaqe të zakonshme. Pra, hamendësimi i Poincare thotë: "Nëse grupi themelor i një manifoldi tredimensional është i parëndësishëm, atëherë ai është homeomorfik ndaj një sfere". Fraza e pakuptueshme "homeomorfike ndaj një sfere" kur përkthehet në gjuhë joformale do të thotë se sipërfaqja mund të deformohet në një sferë.

Pak histori

Në 1887, Poincaré paraqiti një vepër në një konkurs matematikor kushtuar ditëlindjes së 60-të të Mbretit Oscar II të Suedisë. Në të u zbulua një gabim, i cili çoi në shfaqjen e teorisë së kaosit.

Në përgjithësi, një numër i madh pohimesh komplekse mund të formulohen në matematikë. Megjithatë, çfarë e bën të madhe këtë apo atë hipotezë, e dallon atë nga të tjerat? Mjaft e çuditshme, hipoteza e madhe dallohet nga një numër i madh provash të pasakta, secila prej të cilave përmban një gabim të madh - një pasaktësi që shpesh çon në shfaqjen e një dege krejt të re të matematikës.

Pra, fillimisht Henri Poincaré, i cili veç të tjerash dallohej nga aftësia e tij për të bërë gabime brilante, e formuloi hipotezën në një formë pak më ndryshe nga ajo që shkruam më lart. Disa kohë më vonë, ai i dha një kundërshembull deklaratës së tij, e cila u bë e njohur si sfera homologjike e Poincare-së, dhe në 1904 ai formuloi hipotezën në formën e saj moderne. Sfera, nga rruga, u përdor kohët e fundit nga shkencëtarët në astrofizikë - doli që Universi mund të rezultojë të jetë një sferë homologjike Poincare 3.

Duhet thënë se hipoteza nuk shkaktoi shumë eksitim tek gjeometrat e tjerë. Kështu ndodhi deri në vitin 1934, kur matematikani britanik John Henry Whitehead paraqiti versionin e tij të vërtetimit të hipotezës. Megjithatë, shumë shpejt, ai vetë gjeti një gabim në arsyetimin e tij, i cili më vonë çoi në shfaqjen e të gjithë teorisë së varieteteve Whitehead.

Pas kësaj, hipoteza gradualisht fitoi reputacionin e një detyre jashtëzakonisht të vështirë. Shumë matematikanë të mëdhenj u përpoqën ta kapnin atë me stuhi. Për shembull, amerikani Er Ash Bing (R.H. Bing), një matematikan, i cili (absolutisht zyrtarisht) kishte inicialet të shkruara në dokumentet e tij në vend të emrit. Ai bëri disa përpjekje të pasuksesshme për të vërtetuar hipotezën, duke formuluar deklaratën e tij gjatë këtij procesi - të ashtuquajturën "supozim i pronës P" (supozimi i pronës P). Vlen të përmendet se kjo deklaratë, e cila u konsiderua nga Bing si e ndërmjetme, doli të ishte pothuajse më e vështirë se vetë prova e hamendjes së Poincare-së.

Mes shkencëtarëve kishte edhe njerëz që dhanë jetën për të vërtetuar këtë fakt matematikor. Për shembull, matematikani i famshëm me origjinë greke Christos Papakiriakopoulos. Për më shumë se dhjetë vjet, vlen të përmendet se përgjithësimi i hamendjes së Poincare-së në shumëfish të dimensioneve më të larta se tre doli të ishte dukshëm më i thjeshtë se origjinali - dimensionet shtesë e bënë më të lehtë manipulimin e manifoldeve. Kështu, për manifoldet n-dimensionale (për n të paktën 5), hamendja u vërtetua nga Stephen Smale në 1961. Për n = 4, hamendja u vërtetua duke përdorur një metodë krejtësisht të ndryshme nga ajo e Smail në 1982 nga Michael Friedman. Për dëshminë e tij, ky i fundit mori medaljen Fields, çmimi më i lartë për matematikanët. Ndërsa punonte në Princeton, ai u përpoq pa sukses të provonte hipotezën. Ai vdiq nga kanceri në vitin 1976. Vlen të përmendet se përgjithësimi i hamendjes së Poincare-së në shumëfish të dimensioneve më të larta se tre doli të ishte dukshëm më i thjeshtë se origjinali - dimensionet shtesë e bënë më të lehtë manipulimin e manifoldeve. Kështu, për manifoldet n-dimensionale (për n të paktën 5), hamendja u vërtetua nga Stephen Smale në 1961. Për n = 4, hamendja u vërtetua duke përdorur një metodë krejtësisht të ndryshme nga ajo e Smail në 1982 nga Michael Friedman.
Punimet e përshkruara nuk janë një listë e plotë e përpjekjeve për të zgjidhur një hipotezë më shumë se shekullore. Dhe megjithëse secila prej veprave çoi në shfaqjen e një drejtimi të tërë në matematikë dhe mund të konsiderohet i suksesshëm dhe domethënës në këtë kuptim, vetëm rus Grigory Perelman ishte në gjendje të provonte përfundimisht hamendjen e Poincaré.

Perelman dhe prova

Në 1992, Grigory Perelman, atëherë punonjës i Institutit Matematikor me emrin. Steklov, mori pjesë në një leksion nga Richard Hamilton. Matematikani amerikan foli për rrjedhat e Ricci - një mjet i ri për studimin e hamendësimeve të gjeometrizimit të Thurston - një fakt nga i cili hamendësimi i Poincare-së rrjedh si një pasojë e thjeshtë. Këto rrjedha, disi analoge me ekuacionet e transferimit të nxehtësisë, bënë që sipërfaqet të deformohen me kalimin e kohës në të njëjtën mënyrë siç deformuam sipërfaqet dydimensionale në fillim të këtij artikulli. Doli se në disa raste rezultati i një deformimi të tillë ishte një objekt, struktura e të cilit ishte e lehtë për t'u kuptuar. Vështirësia kryesore ishte se gjatë deformimit u shfaqën tipare me lakim të pafund, të ngjashme në një farë kuptimi me vrimat e zeza në astrofizikë.

Pas leksionit, Perelman iu afrua Hamiltonit. Ai më vonë tha se Riçardi e befasoi këndshëm: “Ai më tha disa fakte që u botuan vetëm disa vjet më vonë. Ai e bëri atë pa hezitim mjafton që shumica e matematikanëve modernë të sillen në këtë mënyrë."

Pas një udhëtimi në SHBA, Perelman u kthye në Rusi, ku filloi të punonte për zgjidhjen e problemit të singulariteteve të rrjedhave Ricci dhe vërtetimin e hipotezës së gjeometrizimit (dhe jo hamendjes së Poincare) në fshehtësi nga të gjithë. Nuk është për t'u habitur që shfaqja e paraprintimit të parë të Perelman më 11 nëntor 2002 tronditi komunitetin matematikor. Pas ca kohësh, u shfaqën disa vepra të tjera.

Pas kësaj, Perelman u tërhoq nga diskutimi i provave dhe madje, thonë ata, ndaloi së bëri matematikë. Ai nuk e ndërpreu stilin e jetës së tij të izoluar as në vitin 2006, kur iu dha Medalja Fields, çmimi më prestigjioz për matematikanët. Nuk ka kuptim të diskutojmë arsyet e kësaj sjelljeje të autorit - një gjeni ka të drejtë të sillet çuditërisht (për shembull, ndërsa në Amerikë, Perelman nuk i preu thonjtë, duke i lejuar ata të rriten lirshëm).

Sido që të jetë, prova e Perelman është shëruar
një jetë e ndarë prej tij: tre printime paraprake i përhumbnin matematikanët modernë. Rezultatet e para të testimit të ideve të matematikanit rus u shfaqën në vitin 2006 - gjeometër të shquar Bruce Kleiner dhe John Lott nga Universiteti i Miçiganit botuan një paraprintim të punës së tyre, më shumë si një libër në madhësi - 213 faqe. Në këtë punë, shkencëtarët kontrolluan me kujdes të gjitha llogaritjet e Perelman, duke shpjeguar në detaje deklarata të ndryshme që u përshkruan vetëm shkurtimisht në punën e matematikanit rus. Verdikti i studiuesve ishte i qartë: provat janë absolutisht të sakta.

Një kthesë e papritur në këtë histori erdhi në korrik të po atij viti. Gazeta aziatike e Matematikës botoi një artikull nga matematikanët kinezë Xiping Zhu dhe Huaidong Cao me titull "Një provë e plotë e hamendësimit të gjeometrizimit të Thurston dhe hamendjes së Poincare". Në kuadrin e kësaj pune, rezultatet e Perelman u konsideruan të rëndësishme, të dobishme, por ekskluzivisht të ndërmjetme. Kjo punë befasoi specialistët në Perëndim, por mori vlerësime shumë të favorshme në Lindje. Në veçanti, rezultatet u mbështetën nga Shintan Yau, një nga themeluesit e teorisë Calabi-Yau, e cila hodhi themelet për teorinë e fijeve, si dhe mësuesi i Cao dhe Ju. Për një rastësi të lumtur, ishte Yau ai që ishte kryeredaktori i Gazetës Aziatike të Matematikës, në të cilën u botua vepra.

Pas kësaj, matematikani filloi të udhëtojë nëpër botë duke dhënë leksione popullore, duke folur për arritjet e matematikanëve kinezë. Si rezultat, ekzistonte rreziku që shumë shpejt rezultatet e Perelman dhe madje edhe të Hamiltonit të binin në plan të dytë. Kjo ka ndodhur më shumë se një herë në historinë e matematikës - shumë teorema që mbajnë emrat e matematikanëve të veçantë u shpikën nga njerëz krejtësisht të ndryshëm.

Megjithatë, kjo nuk ndodhi dhe ndoshta nuk do të ndodhë tani. Paraqitja e çmimit Clay Perelman (edhe nëse ai refuzoi) e çimentoi përgjithmonë në ndërgjegjen publike një fakt: matematikani rus Grigory Perelman vërtetoi hamendjen e Poincare. Dhe nuk ka rëndësi që në fakt ai vërtetoi një fakt më të përgjithshëm, duke zhvilluar gjatë rrugës një teori krejtësisht të re të veçorive të Ricci-t. Të paktën kështu. Shpërblimi e ka gjetur heroin.
Andrey Konyaev

Përgatiti: Sergej Koval

Ch. 3 hamendje Poincaré

“Matematika nuk është thjesht një krijim i mendjes njerëzore, ajo ndikohet fuqishëm nga kulturat brenda të cilave zhvillohet. "Të vërtetat" matematikore varen nga njerëzit jo më pak se perceptimi i ngjyrave ose gjuha."

Ludwig Wittenstein

Oriz. 18. Manifoldi topologjik Poincaré

Çdo manifold kompakt tre-dimensional i lidhur thjesht pa kufi është homeomorfik ndaj një sfere tredimensionale.

“Që kur hamendësimi i Poincare u formulua më shumë se njëqind vjet më parë, raportet e provës së tij janë shfaqur pothuajse çdo vit. Henri Poincaré, kushëriri i Rajmondit

Poincaré, Presidenti i Francës gjatë Luftës së Parë Botërore, ishte gjithashtu një nga matematikanët më të talentuar të shekullit të nëntëmbëdhjetë. I hollë, miop dhe shumë i pamend, Poincaré formuloi problemin e tij të famshëm tetë vjet para vdekjes së tij, në 1904. Deklarata e problemit u fut në fund të një artikulli gjashtëdhjetë e pesë faqesh si një çështje anësore.

Poincaré nuk ishte në gjendje të bënte ndonjë përparim të dukshëm në zgjidhjen e këtij problemi. "Cette pyetje nous entrainerait trop loin" ("Kjo pyetje na çon shumë larg"), shkroi ai. Poincaré ishte themeluesi i topologjisë, një shkencë e quajtur gjithashtu "gjeometria e fletës së gomës" për shkak të fokusit të saj në studimin e vetive të brendshme të hapësirave të ndryshme."

Pasioni i shkencëtarit të madh francez për ndërtimin e themeleve themelore të shkencës matematikore dhe relativizmit të tij, i pasqyruar në pasqyrën e mësimit të tij filozofik - konvencionalizmit, përfundimisht çoi në një hipotezë mjaft të pazakontë të strukturës së Botës. Në historinë e shkencës, ky problem abstrakt matematik, që çon në përfundimet më të rëndësishme kozmologjike, shpesh quhet hipoteza topologjike (teorema, detyra, problemi) i Poincare-së.

Me ndihmën e një matematikani të ri dhe një anëtari të domosdoshëm të klubit të ekspertëve “Çfarë? Ku? Kur?" Sergei Igorevich Nikolenko, le të kujtojmë se gjithçka filloi me kërkimin që Poincaré kreu në fushën e gjeometrisë algjebrike. Ai punoi në një nga gurët themelorë të kësaj shkence - teorinë e homologjisë, një klasë e veçantë e invarianteve topologjike. Në vitin 1900, ai botoi një artikull në të cilin ai argumentoi se nëse një sipërfaqe tredimensionale ka një homologji që përkon me atë të një sfere, atëherë sipërfaqja në vetvete është një sferë; në fakt, ky pohim është edhe më i fortë se pohimi i hamendjes së Poincare-së.

Megjithatë, një gabim hyri në arsyetimin e tij, të cilin ai vetë e gjeti, në vitin 1904 ai kishte zhvilluar konceptin më të rëndësishëm të grupit themelor dhe kishte ndërtuar një kundërshembull mbi bazën e tij

në teoremën tuaj. Më në fund ai e bëri pyetjen saktë.

Për një kohë të gjatë, hipotezës nuk iu kushtua vëmendje. Interesimi për të u zgjua nga John Henry Constantine Whitehead (1904–1960), një matematikan i shquar anglez, një nga themeluesit e teorisë së homotopisë. Ai nuk duhet ngatërruar me dajën e tij Alfred Whitehead, gjithashtu matematikan, por i specializuar në logjikë dhe algjebër, i cili së bashku me Bertrand Russell shkroi monografinë e famshme "Parimet e matematikës", i cili në vitet '30 të shekullit të kaluar njoftoi se kishte gjetur një provë e teoremës së Poincare-së. Fatkeqësisht, llogaritjet e paraqitura përfundimisht rezultuan të pasakta, por në procesin e kërkimit dhe përpjekjes për të korrigjuar pasaktësitë e tij, ai zbuloi klasat më interesante të sipërfaqeve tredimensionale dhe avancoi ndjeshëm teorinë, e cila më vonë u bë e njohur si topologjia e dimensione të vogla (ose më të ulëta). Në vitet 1950 dhe 1960, një rritje e interesit për problemin përsëri shkaktoi disa pohime të gabuara se teorema ishte vërtetuar, por pas testeve gjithëpërfshirëse, matematikanët më në fund kuptuan se hamendësimi i Poincare-së, megjithë thjeshtësinë e tij të dukshme, si teorema e famshme e Fermatit, përmban shumë gracka.

Në atë kohë, topologjia e dimensioneve më të ulëta ishte bërë një degë më vete e matematikës dhe analogët e problemit të Poincare-së u vërtetuan për dimensione më të larta. Kishte një arsye të mahnitshme për këtë: doli që në botën e paimagjinueshme të shumë dimensioneve kjo pjesë e gjeometrisë është shumë më e thjeshtë! Ndërkohë, “Rasti tredimensional” i njohur vazhdonte të ishte pengesë.

Hamendësimi i Poincare-së është një nga problemet më të famshme në topologji. Ofron një kusht të mjaftueshëm që hapësira të jetë një sferë tredimensionale deri në deformim.

Në hamendësimin e Poincaré, ai thotë se:

"Çdo manifold kompakt tredimensional i lidhur thjesht pa kufi është homeomorfik ndaj një sfere tredimensionale."

Hamendja e Poincaré është një nga ato probleme në të cilat edhe zgjidhjet e gabuara çojnë në shfaqjen e zonave të reja

matematikë; në këtë mund të rivalizohet vetëm nga teorema e fundit e Fermatit. Përveç formulimit përgjithësisht të arritshëm, problemi i Poincaré ka gjithashtu paralele të jashtme me teoremën e Fermatit. Të dy problemet matematikore u formuluan nga matematikanë të mëdhenj jashtë interesave të tyre parësore dhe u zgjidhën nga gjenitë individualë pas viteve të zhytjes së thellë në problem.

Libra të shumtë mbi matematikën argëtuese, të cilave pak njerëz i kaluan në fëmijëri, pëlqejnë të flasin për topologjinë - një shkencë e çuditshme në të cilën dy objekte krahasohen vetëm nga numri i vrimave në to: një filxhan çaji nuk ndryshon nga një donut dhe një portokall. nuk është ndryshe nga Dielli. Në fakt, topologjia është një shkencë shumë e thellë dhe objektet dhe vetitë që ajo studion janë shumë të shumta dhe të ndryshme. Përpara se të zbulohet se çfarë është hamendja e Poincare-së, është e nevojshme të kuptohet saktësisht topologjia me të cilën lidhet kjo hipotezë.

Topologjia e shumëfishtë merret me vetitë e sipërfaqeve që nuk ndryshojnë nën deformime të caktuara. Le të japim një shembull klasik. Supozoni se ka një bagel në tryezë dhe një filxhan bosh. Nga pikëpamja e gjeometrisë dhe sensit të shëndoshë, këto janë objekte të ndryshme, qoftë edhe sepse nuk do të mund të pini kafe nga një bagel edhe nëse dëshironi.

Oriz. 19. Hamendësimi i Perelmanit për topologjinë e dimensioneve më të ulëta

Nëse imagjinojmë një qelizë të një vazhdimësie me dimensione të larta dhe gradualisht shpëtojmë nga ndryshimet "ekstra",

atëherë në një fazë të caktuar hapësira e "rrafshuar" do të fillojë të paloset në mënyrë të ngjashme "më vete" në një sferë ideale.

Hamendësimi, i formuluar nga matematikani francez Henri Poincaré në 1904, është një problem qendror në topologji, shkencën e vetive gjeometrike të trupave të ngurtë që nuk ndryshojnë kur trupi shtrihet, përdredhur ose ngjesh. Topologjikisht, një sferë dydimensionale mund të përfaqësohet relativisht lehtë si një sipërfaqe planetare, siç është Hëna ose Toka. Por tashmë është mjaft e vështirë të imagjinohet një top tredimensional në hapësirën katër-dimensionale. Ndërkohë, Poincaré argumentoi se sfera tredimensionale është e vetmja hapësirë ​​tredimensionale e kufizuar pa vrima. Ai bëri një supozim për vetitë e ngjashme të hapësirës shumëdimensionale në vitin 1904, kur sapo kishte filluar të studionte topologjinë.

Sidoqoftë, një topolog do të thotë se një filxhan dhe një donut janë e njëjta gjë. Dhe ai do ta shpjegojë në këtë mënyrë. Imagjinoni që filxhani dhe donuti janë sipërfaqe të zbrazëta brenda dhe të bëra nga një material shumë elastik (një matematikan do të thoshte se ka një palë kolektorësh kompakte dy-dimensionale). Le të bëjmë një eksperiment spekulativ: fillimisht fryjmë pjesën e poshtme të kupës, dhe më pas dorezën e saj, pas së cilës do të kthehet në një torus (ky është emri matematikor për formën e një donut).

Natyrisht, lexuesi kureshtar ka një pyetje: duke qenë se sipërfaqet mund të rrudhosen, si mund të dallohen ato? Në fund të fundit, është intuitivisht e qartë: pa marrë parasysh sa i madh është torusi, nuk mund të nxjerrësh një sferë prej tij pa thyerje dhe ngjitje. Këtu hyjnë në lojë të ashtuquajturat invariante - karakteristikat e një sipërfaqeje që nuk ndryshojnë gjatë deformimit - një koncept i nevojshëm për formulimin e hipotezës së Poincare-së.

Mendja e shëndoshë dikton që ndryshimi midis një torus dhe një sfere është një vrimë. Megjithatë, një vrimë është larg nga një koncept matematikor, kështu që duhet të zyrtarizohet. Kjo bëhet në këtë mënyrë: imagjinoni se në sipërfaqe ka një fije shumë të hollë elastike që formon një lak (në këtë eksperiment spekulativ, ndryshe nga ai i mëparshmi, ne e konsiderojmë vetë sipërfaqen të jetë e fortë).

Do ta lëvizim lakun pa e hequr nga sipërfaqja ose pa e grisur. Nëse filli mund të tërhiqet në një rreth shumë të vogël (pothuajse një pikë), atëherë laku thuhet se është i kontraktueshëm. Përndryshe cikli quhet jokontraktues.

Mund të shihni lehtësisht se në një sferë çdo lak mund të kontraktohet, por për një torus nuk është më kështu: në një donut ka dy sythe - njëra është e filetuar në vrimë dhe tjetra shkon rreth vrimës rreth perimetrit. , të cilat nuk mund të kontraktohen. Në Fig. Figura 19 tregon shembuj të sytheve jo të shtrirë. Kur ka sythe në sipërfaqe, matematikanët thonë se "grupi themelor i varietetit nuk është i parëndësishëm", dhe nëse nuk ka sythe të tilla, atëherë është i parëndësishëm.

Tani, për të formuluar saktë hamendësimin e Poincare-së, duhet vetëm të presim edhe pak: duhet të kuptojmë se çfarë është një manifold tredimensional në përgjithësi dhe një sferë tredimensionale në veçanti.

Le të kthehemi për një sekondë në sipërfaqet që diskutuam më sipër. Secila prej tyre mund të pritet në copa shumë të vogla, secila prej të cilave do të ngjajë me një pjesë të një avioni. Meqenëse avioni ka vetëm dy dimensione, ata thonë se manifoldi është dydimensional. Një manifold tre-dimensionale është një sipërfaqe që mund të pritet në copa të vogla, secila prej të cilave është shumë e ngjashme me një pjesë të hapësirës së zakonshme tre-dimensionale.

"Karakteri" kryesor i hipotezës është sfera tredimensionale. Është ende e pamundur të imagjinohet një sferë tre-dimensionale si një analog i një sfere të zakonshme në hapësirën katër-dimensionale pa e humbur mendjen. Sidoqoftë, është mjaft e lehtë të përshkruhet ky objekt, si të thuash, "në pjesë". Kushdo që ka parë një glob e di se një sferë e zakonshme mund të ngjitet së bashku nga hemisferat veriore dhe jugore përgjatë ekuatorit. Pra, një sferë tre-dimensionale është ngjitur së bashku nga dy topa (veri dhe jug) përgjatë një sfere, e cila është një analog i ekuatorit.

Në manifoldet tredimensionale mund të konsiderojmë të njëjtat sythe që morëm në sipërfaqe të zakonshme. Pra, hipoteza e Poincare thotë: “Nëse themelore

Nëse grupi tal i një manifoldi tredimensional është i parëndësishëm, atëherë ai është homeomorfik ndaj një sfere. Fraza e errët "homeomorfike ndaj një sfere" kur përkthehet në gjuhë joformale do të thotë se një sipërfaqe mund të shndërrohet në një sferë.

Le të jemi pak më formalë. Thonë se sipërfaqja k-lidhur nëse është e mundur të vizatoni mbi të k-1 një kurbë e mbyllur që nuk e ndan në dy pjesë. Sfera (sipërfaqja e portokallit) është thjesht e lidhur: pavarësisht se si vizatoni një kurbë të mbyllur mbi të, një pjesë do të pritet; por sipërfaqja e donutit është e lidhur dyfish - për shembull, mund të pritet në të gjithë, duke e kthyer atë në një cilindër, por duke ruajtur integritetin e saj (por nuk do të jetë e mundur të pritet përsëri cilindri). Për sipërfaqet në hapësirën tredimensionale, kjo veti do të thotë saktësisht se ekziston k-1"vrimë". Në rastin e përgjithshëm, një sipërfaqe thjesht lidhet nëse ndonjë kurbë e mbyllur në të mund të tkurret në një pikë nga deformimi i vazhdueshëm, por sipërfaqja e një donut nuk e ka këtë veti (një meridian ose paralel nuk mund të tkurret në një pikë).

Një koncept tjetër i rëndësishëm - homeomorfizmi - është hasur tashmë në diskutimet rreth padallueshmërisë së një filxhani dhe një donut. Kjo padallueshmëri është pikërisht thelbi: homeomorfizmi është një transformim i vazhdueshëm, një deformim të cilit një grup mund t'i nënshtrohet duke ruajtur vetitë e tij topologjike (për shembull, k-lidhshmëria). Është e lehtë të kthesh një filxhan në një donut me transformim të vazhdueshëm dhe një portokall në Diell. Ky transformim ruan invariantet topologjike më të rëndësishme, siç është numri k. Dy grupe që mund të shndërrohen në njëra-tjetrën nga homeomorfizmi konsiderohen ekuivalente nga pikëpamja topologjike.

Hamendësimi i Poincare-së thotë se çdo sipërfaqe tre-dimensionale e lidhur thjesht është homeomorfe ndaj një sfere tredimensionale. Kushtojini vëmendje të veçantë faktit që një "sipërfaqe tredimensionale" mund të vendoset në një hapësirë ​​dimensioni i së cilës është të paktën 4! Një sferë tredimensionale është sipërfaqja e një topi katërdimensional (sfera dydimensionale me të cilën jemi njohur është sipërfaqja e një topi tredimensionale).

Oriz. 20. Kodi diskret për sipërfaqen tredimensionale të Thurston

Të ashtuquajturat qeliza Thurston të përshkruara formojnë një lloj enigme gjeometrike. Nëse zgjidhni disa kode Thurston: 6-8-7, 1-17-9 ose 3-20-21, atëherë secili prej tyre do t'ju tregojë se çfarë figure gjeometrike do të formojë sipërfaqja tredimensionale.

"Në fund të viteve shtatëdhjetë, matematikani i Princetonit, William Thurston, i cili pëlqente të ilustronte idetë e tij me gërshërë dhe letër, propozoi një sistemim të të gjitha manifoldeve tredimensionale. Ai argumentoi se megjithëse manifoldet mund të marrin çdo formë, ato në fakt gravitojnë drejt një gjeometrie "të preferuar" (ashtu si një copë mëndafshi e mbështjellë rreth një manekini tenton të marrë formën e saj). Thurston propozoi që çdo manifold tre-dimensional mund të zbërthehet në një ose më shumë komponentë, secila prej të cilave mund të klasifikohet në një nga tetë llojet, duke përfshirë sferën.

Sylvia Nasser, David Gruber. Fat i larmishëm. Një problem legjendar dhe beteja për ta zgjidhur atë

Vërtetimi i hamendjes së Poincare-së fillon me një metrikë arbitrare Riemannian në një manifold tre-dimensional të lidhur thjesht M dhe aplikoni Ricci flow në të me kirurgji. Një hap i rëndësishëm është të vërtetohet se ky proces “hedh” gjithçka. Kjo do të thotë se varieteti origjinal M mund të paraqitet si një grup formash hapësinore sferike të lidhura me njëra-tjetrën me tuba. Llogaritja e grupit themelor tregon se M difeomorfike me shumën shoqëruese të një grupi formash hapësinore. Kështu, Mështë një shumë e lidhur e një grupi sferash, domethënë një sferë.

Tema e hipotezës së Poincare-së lidhet me një fushë të rëndësishme të matematikës për kibernetikën - topologjinë llogaritëse. Rezulton se detyrat llogaritëse dhe njohëse ekzistojnë gjithashtu në këtë shkencë abstrakte. Një nga këto probleme lidhet me një përpjekje shumë interesante të bërë në 1974 për të zgjidhur problemin Poincaré në versionin e tij algoritmik.

Çdo sipërfaqe tre-dimensionale është e specifikuar nga disa (ne nuk do të hyjmë në detaje) kode diskrete - një grup i kufizuar simbolesh. E njëjta sipërfaqe ka një numër të pafund kodimesh të ndryshme. Një pyetje e natyrshme: a ka një algoritëm që përcaktohet nga një fjalë kodi e dhënë, a përcakton kjo fjalë një sferë tredimensionale në problemin e ri algoritmik Poincaré? Ishte ky problem që një numër i matematikanëve të shquar rusë studiuan në 1974, duke sugjeruar se një veti e caktuar e kodit (quhej "valë") ofron një kriter për "sfericitetin". Megjithatë, ata vetëm ia dolën të vërtetojnë se prania e një “vale” garanton që ne kemi një sferë përballë. Ishte e pamundur të vërtetohej se në çdo kod që përcakton një sferë ekziston një "valë". Pastaj autorët bënë një lëvizje shumë origjinale për ato kohë: ata kryen një eksperiment kompjuterik në shkallë të gjerë. Një program u shkrua për makinën BESM-6, e cila gjeneroi në mënyrë të rastësishme kode që përcaktonin një sferë tredimensionale dhe kontrolloi praninë e një "valë" në to. Në një eksperiment që kërkonte një llogaritje shumë të gjatë, një milion të tillë të rastësishëm

paraqitjet e sferës - dhe në të gjitha u zbulua një "valë"! Ky ishte një argument mjaft bindës në favor të korrektësisë së algoritmit të propozuar. Por autorët, duke qenë matematikanë seriozë, u përmbajtën nga deklarata të nxituara. Dhe jo më kot: disa vjet më vonë u zbulua një kundërshembull...

Pas 20 vjetësh, më në fund u ndërtua një algoritëm për njohjen e një 3-sfere (në kohë eksponenciale). Sidoqoftë, problemi i përgjithshëm i njohjes algoritmike të sipërfaqeve të dimensionit-3 është i hapur, ai studiohet në mënyrë aktive sot, ndërsa për dimensionet më të larta është njohur prej kohësh pazgjidhshmëria e tij, dhe për dimensionin-2 është zgjidhur edhe më herët.

Sipas filozofit modern A.V. Dakhin, është veçanërisht e rëndësishme të theksohet se teorema Poincaré-Perelman përmban idenë e mundësisë së ekzistencës së dy strukturave hapësinore në Universin global.

Profesor Dakhin beson se ka kuptim të adresohen pyetjet logjike të mëposhtme: pse mund të ketë një hapësirë ​​me një vrimë dhe pse mund të ketë një hapësirë ​​pa një vrimë? Si ekziston një hapësirë ​​me vrimë dhe si ekziston një hapësirë ​​pa vrimë? Dhe pyetja më e thellë është: çfarë është brenda vrimës dhe ku është ajo "diçka" kur vrima mungon?

Këto pyetje mund të ilustrohen në aspektin e problemit të fillimit të universit. Është e arsyeshme të propozohen dy foto: njëra prej tyre tregon se fillimi është një objekt me pikë (grimca materiale), dhe fotografia tjetër do të pasqyrojë se fillimi i universit nuk është materie, por një vrimë (asgjë ose shpirt), ku koha dhe hapësira mungojnë.

“Teoria e Thurstpont, e quajtur hipoteza e gjeometrizimit, përshkruan të gjitha manifoldet e mundshme tre-dimensionale dhe është kështu një përgjithësim shumë i rëndësishëm i hamendjes së Poincare-së. Prova e hamendjes së Thurston-it përfshinte provën e problemit të Poincare-së. Provimi i teorive të Thurston dhe Poincaré "hap një premtim të madh", pranoi matematikani i Harvardit, Barry Mazur.

universiteti. Implikimet e këtyre provave për fusha të tjera të shkencës mund të mos jenë të dukshme për një kohë të gjatë, por nuk ka dyshim se për matematikanët këto probleme ishin të një rëndësie themelore. "Këto probleme janë diçka si teorema e Pitagorës së shekullit të 20-të," shtoi Mazur "Ato kanë një ndikim të madh në matematikë."

Sylvia Nasser, David Gruber. Fat i larmishëm. Një problem legjendar dhe beteja për ta zgjidhur atë

Qasja dialektike kërkon gjetjen e një koncepti që përgjithëson të dy modelet e hapësirës. Ideja bazë këtu u parashtrua nga Poincaré, i cili vërtetoi ndryshimin (dhe ndërlidhjen) midis modelit kartezian të hapësirës (sistemi tredimensional) dhe modelit të hapësirës "të gjallë" të paraqitur në veprat e vetë Poincare-së (sistemi sferik). Në veçanti, ai dha përkufizimin e tij të termit "pikë në hapësirë" për një sistem hapësinor "të gjallë". Ai tregoi një pikë në hapësirë ​​si një agjent ndërveprimesh me objektet e tjera rreth saj. Prandaj, si një agjent ndërveprimesh, çdo pikë në hapësirë ​​është gjithashtu një pikë në kohë, dhe për këtë arsye duhet të pajiset me kujtesën e vet.

Pra, do të ishte e arsyeshme të konkludohej: një pikë në hapësirë-kohë - meqenëse është agjenti i ndërveprimeve të veta - vepron nën ndikimin e kujtesës së vet dhe për këtë arsye konsiderohet "qendra e papërcaktueshmërisë" e Universit. Në të njëjtën kohë, kjo kujtesë është një manifestim i veçantë i historisë së mëparshme të agjentit, i cili mungon në të gjitha ndërveprimet e së tashmes. Rrjedhimisht, kujtesa i jep çdo agjenti njëfarë pavarësie nga objektet dhe ndërveprimet e së tashmes. Duke marrë parasysh situatën, mund të vërejmë se përveç shkaqeve dhe ndërveprimeve të së tashmes, agjenti ka edhe disa burime të tjera të veprimtarisë së tij. Me fjalë të tjera, ajo ka burimet e veta të aktivitetit, të cilat nga jashtë duken si vrima.

Duke përmbledhur atë që u tha, le të supozojmë se një pikë në hapësirë-kohë ka dy dimensione ontologjike të veprimtarisë së saj.

Një dimension (sfera e qenies) lidhet me ndikimin e historisë së saj të mëparshme; është një dimension i kujtesës që shfaqet si një vrimë dhe është një fiksim i padukshëm i veprimtarisë së "qendrës së papërcaktueshmërisë".

Dimensioni i dytë (sfera e ekzistencës) lidhet me ndërveprimet e tij në të tashmen; ky është dimensioni i ndërveprimeve dhe ai manifestohet nëpërmjet aktivitetit të grimcave materiale, të cilat janë pajisja e dukshme e çdo aktiviteti të qendrës së përcaktimit.

Oriz. 21. Kalimet e modelit në qendrën e papërcaktueshmërisë së Universit Poincaré

Kështu, në dritën e dimensionit ekzistencial, hapësira e Universit do të shfaqet si vrima që përmban, sepse çdo objekt apo faktor do të kthehet në anën e kujtesës së tij. Në aspektin e ekzistencës, hapësira e universit do të shfaqet si pjesë e grimcave materiale, sepse çdo objekt apo faktor do të vihet në pah nga ana e ndërveprimeve. Në përputhje me dialektikën, është veçanërisht e rëndësishme të theksohet ndryshimi dhe marrëdhënia midis të dy dimensioneve. Në përfundim të ndërtimeve të tij logjike, profesor Dakhin përmbledh se teoria e globale

Evolucioni i ri i Universit nuk mund të jetë adekuat nëse vazhdon të jetë i pajisur me vetëm një dimension konceptual.

Pra, kemi përpara një problem abstrakt gjeometrik ose më saktë topologjik, i cili sigurisht ndikoi shumë në mentalitetin e metafizikut të madh francez (siç quheshin shkencëtarët e përfshirë në filozofinë e shkencës që nga koha e Aristotelit). Ishte një ndikim i veçantë që e detyroi Poincare-në të lidhë konvencionalizmin, relativizmin dhe topologjinë e dimensioneve të tjera në një nyje të ngushtë ndërtimesh logjike. Çfarë u shfaq përpara vështrimit të habitur të shkencëtarit kur arriti të zgjidhte këtë problem shkencor?

Ky ishte një lloj botëkuptimi i ri, aq i pazakontë sa u bë shkak për të famshmen "Heshtja e Poincare"...

Megjithatë, problemi i Poincare-së, me gjithë misterin e tij, nënkuptonte gjithashtu një zgjidhje, dhe gjithashtu zbuloi diçka thelbësisht të re në pamjen e Botës sonë...

Morris Kline dikur shkroi se, megjithëse matematika është një krijim thjesht njerëzor, ajo ka hapur qasje në disa nga sekretet e natyrës dhe në këtë mënyrë na ka lejuar të arrijmë suksese që tejkalojnë të gjitha pritjet. Sado paradoksale të duket, ishin pikërisht abstraksionet matematikore aq larg realitetit që i dhanë njeriut mundësinë për të arritur shumë. Pavarësisht se sa artificial dhe ndonjëherë përrallor është përshkrimi matematik, ai ka moralin e vet. Për shkencëtarin që mendon, përshkrimi matematik ka qenë gjithmonë një burim i pashtershëm mrekullie, i lindur nga fakti se natyra shfaq një shkallë kaq të lartë korrespondence me formulat matematikore. Nëse marrëdhëniet e rregullta të shprehura nga ligjet fizike janë të natyrshme në vetë natyrën dhe ne sapo po i zbulojmë ato, apo nëse mendja e një shkencëtari i shpik dhe i zbaton ato në natyrë - në çdo rast, shkencëtarët duhet të shpresojnë që puna e tyre e palodhur të kontribuojë në një depërtimi në sekretet e natyrës.

Pikërisht këtu konvergojnë tre enigmat e para të enigmës sonë historike fizike dhe matematikore: relativizmi fizik, topologjia algjebrike dhe filozofia e konvencionalizmit. E gjithë kjo duhet të kishte shkaktuar një lloj përparimi në botëkuptimin e shkencëtarit. Përparimi është aq mbresëlënës dhe hap horizonte të tilla njohurish sa Poincaré u zhyt në heshtje të thellë për një kohë të gjatë, duke menduar për perspektiva të reja për të kuptuar realitetin përreth.