Konsideroni funksionin y=k/y. Grafiku i këtij funksioni është një vijë, e quajtur hiperbolë në matematikë. Pamja e përgjithshme e një hiperbole është paraqitur në figurën më poshtë. (Grafiku tregon funksionin y të barabartë me k të ndarë me x, për të cilin k është e barabartë me një.)
Mund të shihet se grafiku përbëhet nga dy pjesë. Këto pjesë quhen degë të hiperbolës. Vlen gjithashtu të theksohet se çdo degë e hiperbolës afrohet në një nga drejtimet gjithnjë e më afër boshteve koordinative. Boshtet e koordinatave në këtë rast quhen asimptota.
Në përgjithësi, çdo drejtëz të cilës i afrohet pafundësisht grafiku i një funksioni, por nuk i arrin ato, quhen asimptota. Një hiperbolë, si një parabolë, ka boshte simetrie. Për hiperbolën e paraqitur në figurën e mësipërme, kjo është drejtëza y=x.
Tani le të shohim dy raste të zakonshme të hiperbolës. Grafiku i funksionit y = k/x, për k ≠0, do të jetë një hiperbolë, degët e së cilës ndodhen ose në këndin e koordinatës së parë dhe të tretë, për k>0, ose në këndin e koordinatës së dytë dhe të katërt, për k<0.
Vetitë themelore të funksionit y = k/x, për k>0
Grafiku i funksionit y = k/x, për k>0
5. y>0 në x>0; y6. Funksioni zvogëlohet si në intervalin (-∞;0) ashtu edhe në intervalin (0;+∞).
10. Gama e vlerave të funksionit është dy intervale të hapura (-∞;0) dhe (0;+∞).
Vetitë themelore të funksionit y = k/x, për k<0
Grafiku i funksionit y = k/x, në k<0
1. Pika (0;0) është qendra e simetrisë së hiperbolës.
2. Boshtet e koordinatave - asimptota të hiperbolës.
4. Fusha e përcaktimit të funksionit është e gjitha x përveç x=0.
5. y>0 në x0.
6. Funksioni rritet si në intervalin (-∞;0) ashtu edhe në intervalin (0;+∞).
7. Funksioni nuk është i kufizuar as nga poshtë as nga lart.
8. Një funksion nuk ka as vlerë maksimale dhe as minimale.
9. Funksioni është i vazhdueshëm në intervalin (-∞;0) dhe në intervalin (0;+∞). Ka një hendek në x=0.
Mësoni të merrni derivatet e funksioneve. Derivati karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në një pikë të caktuar që shtrihet në grafikun e këtij funksioni. Në këtë rast, grafiku mund të jetë ose një vijë e drejtë ose e lakuar. Kjo do të thotë, derivati karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni në një moment të caktuar kohor. Mos harroni rregullat e përgjithshme me të cilat merren derivatet dhe vetëm atëherë vazhdoni në hapin tjetër.
- Lexoni artikullin.
- Përshkruhet si të merren derivatet më të thjeshtë, për shembull, derivati i një ekuacioni eksponencial. Llogaritjet e paraqitura në hapat e mëposhtëm do të bazohen në metodat e përshkruara aty.
Mësoni të dalloni problemet në të cilat koeficienti i pjerrësisë duhet të llogaritet përmes derivatit të një funksioni. Problemet jo gjithmonë ju kërkojnë të gjeni pjerrësinë ose derivatin e një funksioni. Për shembull, mund t'ju kërkohet të gjeni shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni në pikën A(x,y). Gjithashtu mund t'ju kërkohet të gjeni pjerrësinë e tangjentes në pikën A(x,y). Në të dyja rastet është e nevojshme të merret derivati i funksionit.
Merrni derivatin e funksionit që ju është dhënë. Nuk ka nevojë të ndërtoni një grafik këtu - ju duhet vetëm ekuacioni i funksionit. Në shembullin tonë, merrni derivatin e funksionit. Merrni derivatin sipas metodave të përshkruara në artikullin e përmendur më lart:
- Derivat:
Zëvendësoni koordinatat e pikës që ju është dhënë në derivatin e gjetur për të llogaritur pjerrësinë. Derivati i një funksioni është i barabartë me pjerrësinë në një pikë të caktuar. Me fjalë të tjera, f"(x) është pjerrësia e funksionit në çdo pikë (x,f(x)). Në shembullin tonë:
- Gjeni pjerrësinë e funksionit f (x) = 2 x 2 + 6 x (\stil ekrani f(x)=2x^(2)+6x) në pikën A(4,2).
- Derivati i një funksioni:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\stil ekrani f"(x)=4x+6)
- Zëvendësoni vlerën e koordinatës "x" të kësaj pike:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\stil ekrani f"(x)=4(4)+6)
- Gjeni pjerrësinë:
- Funksioni i pjerrësisë f (x) = 2 x 2 + 6 x (\stil ekrani f(x)=2x^(2)+6x) në pikën A(4,2) është e barabartë me 22.
Nëse është e mundur, kontrolloni përgjigjen tuaj në një grafik. Mos harroni se pjerrësia nuk mund të llogaritet në çdo pikë. Llogaritja diferenciale merret me funksione komplekse dhe grafikë komplekse ku pjerrësia nuk mund të llogaritet në çdo pikë, dhe në disa raste pikat nuk shtrihen fare në grafikë. Nëse është e mundur, përdorni një kalkulator grafik për të kontrolluar nëse pjerrësia e funksionit që ju është dhënë është e saktë. Përndryshe, vizatoni një tangjente me grafikun në pikën që ju është dhënë dhe mendoni nëse vlera e pjerrësisë që gjetët përputhet me atë që shihni në grafik.
- Tangjentja do të ketë të njëjtën pjerrësi si grafiku i funksionit në një pikë të caktuar. Për të vizatuar një tangjente në një pikë të caktuar, lëvizni majtas/djathtas në boshtin X (në shembullin tonë, 22 vlera në të djathtë), dhe më pas një lart në boshtin Y, dhe më pas lidheni atë me pikë që ju është dhënë. Në shembullin tonë, lidhni pikat me koordinatat (4,2) dhe (26,3).
Një funksion linear është një funksion i formës
x-argument (ndryshore e pavarur),
y-funksion (ndryshore e varur),
k dhe b janë disa numra konstante
Grafiku i një funksioni linear është drejt.
Për të krijuar një grafik mjafton dy pikë, sepse përmes dy pikave mund të vizatoni një vijë të drejtë dhe, për më tepër, vetëm një.
Nëse k˃0, atëherë grafiku ndodhet në tremujorin e koordinatave 1 dhe 3. Nëse k˂0, atëherë grafiku ndodhet në tremujorin e koordinatave 2 dhe 4.
Numri k quhet pjerrësia e grafikut të drejtë të funksionit y(x)=kx+b. Nëse k˃0, atëherë këndi i prirjes së drejtëzës y(x)= kx+b ndaj drejtimit pozitiv Ox është i mprehtë; nëse k˂0, atëherë ky kënd është i mpirë.
Koeficienti b tregon pikën e prerjes së grafikut me boshtin op-amp (0; b).
y(x)=k∙x-- një rast i veçantë i një funksioni tipik quhet proporcionalitet i drejtpërdrejtë. Grafiku është një vijë e drejtë që kalon nga origjina, ndaj mjafton një pikë për të ndërtuar këtë grafik.
Grafiku i një funksioni linear
Ku koeficienti k = 3, pra
Grafiku i funksionit do të rritet dhe do të ketë një kënd të mprehtë me boshtin Ox sepse koeficienti k ka një shenjë plus.
Funksioni linear OOF
OPF e një funksioni linear
Me përjashtim të rastit kur
Gjithashtu një funksion linear i formës
Është funksion i formës së përgjithshme.
B) Nëse k=0; b≠0,
Në këtë rast, grafiku është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox dhe që kalon nëpër pikën (0; b).
B) Nëse k≠0; b≠0, atëherë funksioni linear ka formën y(x)=k∙x+b.
Shembulli 1 . Grafikoni funksionin y(x)= -2x+5
Shembulli 2 . Le të gjejmë zerot e funksionit y=3x+1, y=0;
– zerat e funksionit.
Përgjigje: ose (;0)
Shembulli 3 . Përcaktoni vlerën e funksionit y=-x+3 për x=1 dhe x=-1
y(-1)=-(-1)+3=1+3=4
Përgjigje: y_1=2; y_2=4.
Shembulli 4 . Përcaktoni koordinatat e pikës së tyre të kryqëzimit ose vërtetoni se grafikët nuk kryqëzohen. Le të jepen funksionet y 1 =10∙x-8 dhe y 2 =-3∙x+5.
Nëse grafikët e funksioneve kryqëzohen, atëherë vlerat e funksioneve në këtë pikë janë të barabarta
Zëvendëso x=1, pastaj y 1 (1)=10∙1-8=2.
Komentoni. Ju gjithashtu mund të zëvendësoni vlerën rezultuese të argumentit në funksionin y 2 =-3∙x+5, atëherë marrim të njëjtën përgjigje y 2 (1)=-3∙1+5=2.
y=2- ordinata e pikës së kryqëzimit.
(1;2) - pika e prerjes së grafikëve të funksioneve y=10x-8 dhe y=-3x+5.
Përgjigje: (1;2)
Shembulli 5 .
Ndërtoni grafikët e funksioneve y 1 (x)= x+3 dhe y 2 (x)= x-1.
Mund të vërehet se koeficienti k=1 për të dy funksionet.
Nga sa më sipër rezulton se nëse koeficientët e një funksioni linear janë të barabartë, atëherë grafikët e tyre në sistemin koordinativ janë të vendosur paralelisht.
Shembulli 6 .
Le të ndërtojmë dy grafikë të funksionit.
Grafiku i parë ka formulën
Grafiku i dytë ka formulën
Në këtë rast, kemi një grafik me dy drejtëza që kryqëzohen në pikën (0;4). Kjo do të thotë se koeficienti b, i cili është përgjegjës për lartësinë e ngritjes së grafikut mbi boshtin Ox, nëse x = 0. Kjo do të thotë se mund të supozojmë se koeficienti b i të dy grafikëve është i barabartë me 4.
Redaktorët: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Udhëzimet
Nëse grafiku është një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave dhe që formon një kënd α me boshtin OX (këndi i prirjes së drejtëzës ndaj gjysmëboshtit pozitiv OX). Funksioni që përshkruan këtë rresht do të ketë formën y = kx. Koeficienti i proporcionalitetit k është i barabartë me tan α. Nëse një drejtëz kalon nëpër çerekun e koordinatave 2 dhe 4, atëherë k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 dhe funksioni rritet. Ky është një funksion linear dhe ka formën y = kx + b, ku ndryshoret x dhe y janë të fuqisë së parë, dhe k dhe b mund të jenë ose pozitive ose negative ose të barabarta me zero. Drejtëza është paralele me drejtëzën y = kx dhe shkëputet në boshtin |b| njësi. Nëse drejtëza është paralele me boshtin e abshisës, atëherë k = 0, nëse boshti i ordinatës, atëherë ekuacioni ka formën x = konst.
Një kurbë e përbërë nga dy degë të vendosura në lagje të ndryshme dhe simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave është një hiperbolë. Ky grafik është varësia e anasjelltë e ndryshores y nga x dhe përshkruhet me ekuacionin y = k/x. Këtu k ≠ 0 është koeficienti i proporcionalitetit. Për më tepër, nëse k > 0, funksioni zvogëlohet; nëse k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Funksioni kuadratik ka formën y = ax2 + bx + c, ku a, b dhe c janë sasi konstante dhe a 0. Nëse kushti b = c = 0 plotësohet, ekuacioni i funksionit duket si y = ax2 ( rasti më i thjeshtë), dhe grafiku i tij është një parabolë që kalon përmes origjinës. Grafiku i funksionit y = ax2 + bx + c ka të njëjtën formë si rasti më i thjeshtë i funksionit, por kulmi i tij (pika e prerjes me boshtin OY) nuk qëndron në origjinë.
Një parabolë është gjithashtu grafiku i një funksioni fuqie të shprehur me ekuacionin y = xⁿ, nëse n është çdo numër çift. Nëse n është ndonjë numër tek, grafiku i një funksioni të tillë fuqie do të duket si një parabolë kubike.
Nëse n është ndonjë , ekuacioni i funksionit merr formën. Grafiku i funksionit për n tek do të jetë një hiperbolë, dhe për n çift degët e tyre do të jenë simetrike në lidhje me boshtin op.
Edhe në vitet e shkollës funksionet studiohen në detaje dhe ndërtohen grafikët e tyre. Por, për fat të keq, ata praktikisht nuk mësojnë se si të lexoni grafikun e një funksioni dhe të gjeni llojin e tij nga vizatimi i paraqitur. Në fakt është mjaft e thjeshtë nëse mbani mend llojet bazë të funksioneve.
Udhëzimet
Nëse grafiku i paraqitur është , i cili është përmes origjinës së koordinatave dhe me boshtin OX këndi α (i cili është këndi i prirjes së drejtëzës ndaj gjysmëboshtit pozitiv), atëherë funksioni që përshkruan një drejtëz të tillë do të jetë paraqitet si y = kx. Në këtë rast, koeficienti i proporcionalitetit k është i barabartë me tangjenten e këndit α.
Nëse një drejtëz e dhënë kalon nëpër tremujorin e dytë dhe të katërt të koordinatave, atëherë k është e barabartë me 0 dhe funksioni rritet. Le të jetë grafiku i paraqitur një vijë e drejtë e vendosur në çfarëdo mënyre në lidhje me boshtet koordinative. Pastaj funksioni i tillë grafike do të jetë lineare, e cila përfaqësohet nga forma y = kx + b, ku variablat y dhe x janë në të parën, dhe b dhe k mund të marrin vlera negative dhe pozitive ose.
Nëse drejtëza është paralele me drejtëzën me grafikun y = kx dhe pret b njësi në boshtin e ordinatave, atëherë ekuacioni ka formën x = konst, nëse grafiku është paralel me boshtin e abshisës, atëherë k = 0.
Një vijë e lakuar që përbëhet nga dy degë, simetrike në lidhje me origjinën dhe e vendosur në lagje të ndryshme, është një hiperbolë. Një grafik i tillë tregon varësinë e anasjelltë të ndryshores y nga ndryshorja x dhe përshkruhet me një ekuacion të formës y = k/x, ku k nuk duhet të jetë e barabartë me zero, pasi është koeficient i proporcionalitetit të anasjelltë. Për më tepër, nëse vlera e k është më e madhe se zero, funksioni zvogëlohet; nëse k është më e vogël se zero, rritet.
Nëse grafiku i propozuar është një parabolë që kalon nga origjina, funksioni i saj, në varësi të kushtit që b = c = 0, do të ketë formën y = ax2. Ky është rasti më i thjeshtë i një funksioni kuadratik. Grafiku i një funksioni të formës y = ax2 + bx + c do të ketë të njëjtën formë si rasti më i thjeshtë, megjithatë, kulmi (pika ku grafiku pret boshtin e ordinatave) nuk do të jetë në origjinë. Në një funksion kuadratik, i përfaqësuar nga forma y = ax2 + bx + c, vlerat e a, b dhe c janë konstante, ndërsa a nuk është e barabartë me zero.
Një parabolë mund të jetë gjithashtu grafiku i një funksioni fuqie i shprehur me një ekuacion të formës y = xⁿ vetëm nëse n është çdo numër çift. Nëse vlera e n është një numër tek, një grafik i tillë i një funksioni fuqie do të përfaqësohet nga një parabolë kubike. Nëse ndryshorja n është një numër negativ, ekuacioni i funksionit merr formën .
Video mbi temën
Koordinata e absolutisht çdo pike në aeroplan përcaktohet nga dy sasitë e saj: përgjatë boshtit të abshisës dhe boshtit të ordinatave. Mbledhja e shumë pikave të tilla paraqet grafikun e funksionit. Nga ai mund të shihni se si ndryshon vlera Y në varësi të ndryshimit të vlerës X. Gjithashtu mund të përcaktoni se në cilin seksion (interval) funksioni rritet dhe në cilin zvogëlohet.
Udhëzimet
Çfarë mund të thoni për një funksion nëse grafiku i tij është një vijë e drejtë? Shihni nëse kjo linjë kalon nëpër pikën e origjinës së koordinatave (d.m.th., ajo ku vlerat X dhe Y janë të barabarta me 0). Nëse kalon, atëherë një funksion i tillë përshkruhet me ekuacionin y = kx. Është e lehtë të kuptohet se sa më e madhe të jetë vlera e k, aq më afër boshtit të ordinatave do të vendoset kjo drejtëz. Dhe vetë boshti Y në të vërtetë korrespondon me një vlerë pafundësisht të madhe të k.
