Formula e interpolimit të Lagranzhit. Interpolimi i një funksioni nga polinomet e Lagranzhit Gjeni polinomin e interpolimit të Lagranzhit

Përshtatja e kthesave dhe sipërfaqeve me të dhënat duke përdorur regresionin, interpolimin dhe zbutjen

Curve Fitting Toolbox™ ofron aplikimin dhe funksionalitetin për përshtatjen e kthesave dhe sipërfaqeve me të dhënat. Kutia e veglave ju lejon të kryeni analiza eksploruese të të dhënave, të dhëna para dhe pas procesit, të krahasoni modelet e kandidatëve dhe të hiqni të dhënat e jashtme. Ju mund të kryeni analizën e regresionit duke përdorur bibliotekën e modeleve lineare dhe jolineare të ofruara, ose mund të përcaktoni ekuacionet tuaja. Biblioteka ofron parametra të optimizuar të zgjidhjes dhe kushte fillestare për të përmirësuar cilësinë e përshtatjeve tuaja. Kutia e veglave gjithashtu mbështet teknikat e modelimit joparametrik si splines, interpolimi dhe zbutja.

Pasi të krijohet përshtatja, mund të aplikohen një sërë teknikash pas përpunimit për grafikim, interpolim dhe ekstrapolim; vlerësimi i intervaleve të besimit; dhe llogaritjen e integraleve dhe derivateve.

Duke filluar

Mësoni bazat e kutisë së veglave të montimit të kurbës

Regresioni linear dhe jolinear

Përshtatni kthesat ose sipërfaqet me modele bibliotekare lineare dhe jolineare dhe modele të personalizuara

Interpolimi

Përshtatni kthesat ose sipërfaqet e interpolimit, vlerësoni vlerat midis pikave të njohura të të dhënave

Zbutja

Zbutja e përshtatshme përdor slot dhe regresion të lokalizuar, të dhëna të zbutura me mesatare lëvizëse dhe filtra të tjerë

I përshtatshëm pas përpunimit

Prodhimi grafik, vlerat e jashtme, mbetjet, intervalet e besueshmërisë, të dhënat e vlefshmërisë, integralet dhe derivatet, gjeneron kodin MATLAB®

Splines

Krijoni splina me ose pa të dhëna; ppform, B-formë, produkt tensor, racionale dhe stform vija të hollë të pllakave

Polinom i Lagranzhit

Polinom i interpolimit të Lagranzhit- një polinom i shkallës minimale që merr vlera të dhëna në një grup të caktuar pikash. Për n+ 1 palë numra, ku gjithçka x i janë të ndryshme, ekziston një polinom unik L(x) jo më diplomë n, për të cilën L(x i) = y i .

Në rastin më të thjeshtë ( n= 1) është një polinom linear, grafiku i të cilit është një drejtëz që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Përkufizimi

Ky shembull tregon polinomin e interpolimit të Lagranzhit për katër pikat (-9,5), (-4,2), (-1,-2) dhe (7,9), si dhe polinomet y j l j (x), secila prej të cilave kalon nëpër një nga pikat e zgjedhura dhe merr një vlerë zero në pjesën tjetër x i

Le për funksionin f(x) vlerat janë të njohura y j = f(x j) në disa pika. Atëherë mund ta interpolojmë këtë funksion si

Në veçanti,

Vlerat e integraleve nga l j nuk varen nga f(x) dhe ato mund të llogariten paraprakisht, duke ditur sekuencën x i .

Për rastin e shpërndarjes uniforme të nyjeve të interpolimit mbi një segment

Në këtë rast mund të shprehemi x i përmes distancës ndërmjet nyjeve të interpolimit h dhe pikës së fillimit x 0 :

dhe prandaj

Duke i zëvendësuar këto shprehje në formulën e polinomit bazë dhe duke hequr h nga shenjat e shumëzimit në numërues dhe emërues, marrim

Tani mund të prezantoni një ndryshim të ndryshores

dhe merrni një polinom nga y, e cila është ndërtuar duke përdorur vetëm aritmetikën e numrave të plotë. Disavantazhi i kësaj qasjeje është kompleksiteti faktorial i numëruesit dhe emëruesit, i cili kërkon përdorimin e algoritmeve me paraqitje shumëbajtëshe të numrave.

Lidhje të jashtme

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është një "polinom Lagrange" në fjalorë të tjerë: Forma e shënimit të një polinomi të shkallës n (polinom i interpolimit të Lagranzhit), duke ndërthurur një funksion të caktuar f(x) në nyjet x 0, x1,..., x n: Në rastin kur vlerat e x i janë të barabarta. dmth duke përdorur shënimin (x x0)/h=t formulën (1)… …

Enciklopedia Matematikore

Në matematikë, polinomet ose polinomet në një ndryshore janë funksione të formës ku ci janë koeficientë fiks dhe x është një ndryshore. Polinomet përbëjnë një nga klasat më të rëndësishme të funksioneve elementare. Studimi i ekuacioneve polinomiale dhe zgjidhjet e tyre... ... Wikipedia

Në matematikën llogaritëse, polinomet e Bernsteinit janë polinome algjebrike që janë një kombinim linear i polinomeve bazë të Bernsteinit. Një algoritëm i qëndrueshëm për llogaritjen e polinomeve në formën e Bernstein është algoritmi... ... Wikipedia

Një polinom i shkallës minimale që merr vlera të dhëna në një grup të caktuar pikash. Për çifte numrash ku të gjithë janë të ndryshëm, ekziston një polinom unik i shkallës më së shumti për të cilin. Në rastin më të thjeshtë (... Wikipedia

Për funksionin, shih: Interpolant. Interpolimi në matematikën llogaritëse është një metodë për të gjetur vlerat e ndërmjetme të një sasie nga një grup ekzistues diskrete vlerash të njohura. Shumë nga ata që merren shpesh me llogaritje shkencore dhe inxhinierike... Wikipedia

Për funksionin, shih: Interpolant. Interpolimi, interpolimi në matematikën llogaritëse është një metodë për të gjetur vlerat e ndërmjetme të një sasie nga një grup ekzistues diskrete vlerash të njohura. Shumë nga ata që hasin në Wikipedia shkencore dhe... ...

Ne do të ndërtojmë një polinom interpolimi në formë

ku janë polinomet e shkallës jo më të larta se p, që ka pronën e mëposhtme:

Në të vërtetë, në këtë rast polinomi (4.9) në secilën nyje x j, j=0,1,…n, është e barabartë me vlerën e funksionit përkatës y j, d.m.th. është interpolative.

Le të ndërtojmë polinome të tilla. Meqenëse në x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n, ne mund të faktorizojmë si më poshtë

ku c është një konstante. Nga kushti e marrim atë

Polinomi i interpolimit (4.1), i shkruar në formë

quhet polinomi i interpolimit të Lagranzhit.

Vlera e përafërt e një funksioni në një pikë x*, e llogaritur duke përdorur polinomin e Lagranzhit, do të ketë një gabim të mbetur (4.8). Nëse vlerat e funksionit y i në nyjet e interpolimit x i jepen përafërsisht me të njëjtin gabim absolut, atëherë në vend të vlerës së saktë do të llogaritet vlera e përafërt, dhe

ku është gabimi absolut llogaritës i polinomit të interpolimit të Lagranzhit. Së fundi, kemi vlerësimin e mëposhtëm të gabimit total të vlerës së përafërt.

Në veçanti, polinomet e Lagranzhit të shkallës së parë dhe të dytë do të kenë formën

dhe gabimet totale të tyre në pikën x *

Ekzistojnë forma të tjera të shkrimit të të njëjtit polinom të interpolimit (4.1), për shembull, formula e interpolimit të Njutonit me dallime të ndara dhe variantet e tij të konsideruara më poshtë. Gjatë llogaritjes së saktë të vlerës Pn(x *), të marra nga formula të ndryshme interpolimi të ndërtuara duke përdorur të njëjtat nyje, përkojnë. Prania e një gabimi llogaritës çon në ndryshime në vlerat e marra nga këto formula. Shkrimi i një polinomi në formën e Lagranzhit zakonisht çon në një gabim më të vogël llogaritës.

Përdorimi i formulave për vlerësimin e gabimeve që dalin gjatë interpolimit varet nga formulimi i problemit. Për shembull, nëse dihet numri i nyjeve dhe funksioni jepet me një numër mjaft të madh të shenjave të sakta, atëherë mund të vendosim detyrën e llogaritjes f(x *) me saktësinë më të lartë të mundshme. Nëse, përkundrazi, numri i shenjave të sakta është i vogël dhe numri i nyjeve është i madh, atëherë mund të shtrojmë problemin e llogaritjes f(x *) me saktësinë që lejon vlera e tabelës së funksionit, dhe për të zgjidhur këtë problem, mund të kërkohet rrallimi dhe ngjeshja e tabelës.

§4.3. Dallimet e ndara dhe vetitë e tyre.

Koncepti i një ndryshimi të ndarë është një koncept i përgjithësuar i një derivati. Le të jepen vlerat e funksioneve në pikat x 0, x 1,…x n f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Diferencat e ndara të rendit të parë përcaktohen nga barazitë

ndahen diferencat e rendit të dytë sipas barazive,

dhe dallimet e ndara k rendi i përcaktohen nga formula e mëposhtme e përsëritur:

Dallimet e ndara zakonisht vendosen në një tabelë si kjo:

x i	f(x i)	Dallimet e ndara
porosis	urdhër II	Rendi III	Urdhri IV

x 0	y 0
		f
x 1	y 1		f
		f		f
x 2	y 2		f		f
		f		f
x 3	y 3		f
		f
x 4	y 4

Konsideroni vetitë e mëposhtme të dallimeve të ndara.

1. Ndryshimet e ndara të të gjitha renditjeve janë kombinime lineare të vlerave f(x i), d.m.th. vlen formula e mëposhtme:

Le të vërtetojmë vlefshmërinë e kësaj formule me induksion në rendin e dallimeve. Për dallimet e rendit të parë

Formula (4.12) është e saktë. Le të supozojmë tani se është e vlefshme për të gjitha dallimet e rendit.

Pastaj, sipas (4.11) dhe (4.12) për dallimet e rendit k=n+1 ne kemi

Kushtet që përmbajnë f(x 0) Dhe f(x n +1), kanë formën e kërkuar. Le të shqyrtojmë termat që përmbajnë f(x i), i=1, 2, …,n. Ekzistojnë dy terma të tillë - nga shuma e parë dhe e dytë:

ato. formula (4.12) është e vlefshme për një ndryshim të rendit k=n+1, prova është e plotë.

2. Diferenca e ndarë është një funksion simetrik i argumenteve të tij x 0 , x 1 ,…x n (d.m.th., ai nuk ndryshon me ndonjë rirregullim):

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga barazia (4.12).

3. Marrëdhënie e thjeshtë e dallimit të ndarë f dhe derivat f(n)(x) jep teoremën e mëposhtme.

Le t'i përkasin segmentit nyjet x 0, x 1,...x n dhe funksionin f(x) ka në këtë interval një derivat të vazhdueshëm të rendit n. Pastaj ka një pikë të tillë xÎ, Çfarë

Le të provojmë së pari vlefshmërinë e relacionit

Sipas (4.12), shprehja në kllapa katrore është

Nga krahasimi (4.14) me shprehjen (4.7) për termin e mbetur R n (x)=f(x)-L n (x) marrim (4.13), teorema vërtetohet.

Një përfundim i thjeshtë rrjedh nga kjo teoremë. Për një polinom n shkalla e th

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

derivati i rendit n, padyshim që ka

dhe relacioni (4.13) jep për diferencën e ndarë vlerën

Pra, çdo polinom ka shkallë n dallimet e rendit të ndara n janë të barabartë me një vlerë konstante - koeficienti i shkallës më të lartë të polinomit. Dallime të ndara të urdhrave më të lartë
(më shumë n), janë padyshim të barabarta me zero. Megjithatë, ky përfundim është i vlefshëm vetëm nëse nuk ka gabim llogaritës në dallimet e ndara.

§4.4. Polinomi i interpolimit të diferencës së ndarë të Njutonit

Le të shkruajmë polinomin e interpolimit të Lagranzhit në formën e mëposhtme:

Ku L 0 (x) = f(x 0)=y 0, A Lk(x)– Polinom i shkallës së interpolimit të Lagranzhit k, i ndërtuar nga nyjet x 0, x 1, …, x k. Pastaj ka një polinom të shkallës k, rrënjët e të cilit janë pikat x 0, x 1, …,x k -1. Prandaj, mund të faktorizohet

ku A k është një konstante.

Në përputhje me (4.14) marrim

Duke krahasuar (4.16) dhe (4.17) gjejmë se (4.15) gjithashtu merr formën

që quhet polinomi i interpolimit të diferencës së ndarë të Njutonit.

Ky lloj shënimi i polinomit të interpolimit është më vizual (shtimi i një nyjeje korrespondon me paraqitjen e një termi) dhe na lejon të gjurmojmë më mirë analogjinë e ndërtimeve që kryhen me konstruksionet bazë të analizës matematikore.

Gabimi i mbetur i polinomit të interpolimit të Njutonit shprehet me formulën (4.8), por, duke marrë parasysh (4.13), mund të shkruhet në një formë tjetër.

ato. gabimi i mbetur mund të vlerësohet me modulin e termit të parë të hedhur poshtë në polinom Nn(x*).

Gabim llogaritës Nn(x*) do të përcaktohet nga gabimet e diferencave të ndara. Nyjet e interpolimit më afër vlerës së interpoluar x*, do të kenë një ndikim më të madh në polinomin e interpolimit, ato që ndodhen më larg do të kenë një ndikim më të vogël. Prandaj është e këshillueshme, nëse është e mundur, që x 0 Dhe x 1 merr ato që janë më afër x* nyjet e interpolimit dhe së pari kryejnë interpolimin linear përgjatë këtyre nyjeve. Pastaj gradualisht tërhiqni nyjet e mëposhtme në mënyrë që ato të vendosen sa më simetrike të jetë e mundur në lidhje me x*, derisa termi tjetër në vlerë absolute të jetë më i vogël se gabimi absolut i diferencës së pjesëtuar të përfshirë në të.

Në praktikën kompjuterike, shpesh duhet të merret me funksionet e specifikuara nga tabelat e vlerave të tyre për disa grupe të fundme vlerash. X : .

Në procesin e zgjidhjes së problemit, është e nevojshme të përdoren vlerat
për vlerat e ndërmjetme të argumenteve. Në këtë rast, ndërtoni një funksion Ф(x), mjaft të thjeshtë për llogaritje, i cili në pikat e dhëna x 0 , x 1 ,...,x n , të quajtura nyje interpolimi, merr vlera dhe në pikat e mbetura të segmentit (x 0 ,x n) që i përkasin domenit të përkufizimit
, përafërsisht paraqet funksionin
me shkallë të ndryshme saktësie.

Gjatë zgjidhjes së problemit në këtë rast, në vend të funksionit
veprojnë me funksionin Ф(x). Problemi i ndërtimit të një funksioni të tillë Ф(x) quhet problem i interpolimit. Më shpesh, funksioni interpolues Ф(x) gjendet në formën e një polinomi algjebrik.

Polinom interpolimi

Për çdo funksion
, përcaktuar në [ a, b], dhe çdo grup nyjesh x 0 , x 1 ,....,x n (x i
[a, b], x i x j në i j) midis polinomeve algjebrike të shkallës jo më të lartë se n, ekziston një polinom unik i interpolimit Ф(x), i cili mund të shkruhet në formën:

, (3.1)

Ku
- një polinom i shkallës së n-të që ka vetinë e mëposhtme:

Për një polinom interpolimi, polinomi
ka formën:

Ky polinom (3.1) zgjidh problemin e interpolimit dhe quhet polinomi i interpolimit të Lagranzhit.

Si shembull, merrni parasysh një funksion të formës
në intervalin
të specifikuara në mënyrë tabelare.

Është e nevojshme të përcaktohet vlera e funksionit në pikën x-2.5. Le të përdorim polinomin e Lagranzhit për këtë. Bazuar në formulat (3.1 dhe 3.3), ne e shkruajmë këtë polinom në formë të qartë:

(3.4).

Pastaj, duke zëvendësuar vlerat fillestare nga tabela jonë në formulën (3.4), marrim

Rezultati i fituar korrespondon me teorinë d.m.th. .

Formula e interpolimit të Lagranzhit

Polinomi i interpolimit të Lagranzhit mund të shkruhet në një formë tjetër:

(3.5)

Shkrimi i një polinomi në formën (3.5) është më i përshtatshëm për programim.

Gjatë zgjidhjes së problemit të interpolimit, sasia n quhet rendi i polinomit interpolues. Në këtë rast, siç mund të shihet nga formula (3.1) dhe (3.5), numri i nyjeve të interpolimit do të jetë gjithmonë i barabartë me n+1 dhe kuptimi x, për të cilën përcaktohet vlera
, duhet të shtrihet brenda zonës së përkufizimit të nyjeve të interpolimit ato.

. (3.6)

Në disa raste praktike, numri i përgjithshëm i njohur i nyjeve të interpolimit m mund të jetë më i madh se rendi i polinomit interpolues n.

Në këtë rast, përpara se të zbatohet procedura e interpolimit sipas formulës (3.5), është e nevojshme të përcaktohen ato nyje interpolimi për të cilat kushti (3.6) vlen. Duhet mbajtur mend se gabimi më i vogël arrihet gjatë gjetjes së vlerës x në qendër të zonës së interpolimit. Për ta siguruar këtë, rekomandohet procedura e mëposhtme:

Qëllimi kryesor i interpolimit është llogaritja e vlerave të një funksioni të tabelës për vlerat e argumentit jo nyjor (të ndërmjetëm), kjo është arsyeja pse interpolimi shpesh quhet "arti i leximit të tabelave midis rreshtave".

Ne do të kërkojmë një polinom interpolimi në formë

VANDERMOND ALEXANDER THEOPHILE (Vandermonde Alexandre Theophill; 1735-1796) - Matematikan francez, veprat kryesore të të cilit lidhen me algjebrën. V. hodhi themelet dhe bëri një paraqitje logjike të teorisë së përcaktorëve (përcaktorja Vandermonde), si dhe e izoloi atë nga teoria e ekuacioneve lineare. Ai prezantoi rregullin për zgjerimin e përcaktorëve duke përdorur të miturit e rendit të dytë.

Këtu 1.(x)- polinomet e shkallës n, të ashtuquajturat POLINOME TË NDIKIMIT LAGRANGEAN, që plotësojnë kushtin

Kushti i fundit do të thotë se çdo polinom l t (x) barazohet me zero për çdo x-y përveç X. në dmth. x 0 y x v ...» x ( _ v x i + v ...» x n janë rrënjët e këtij polinomi. Prandaj, polinomet e Lagranzhit Ifjx) duken si

Që nga kushti 1.(x.) = 1, atëherë

Kështu, polinomet e ndikimit të Lagranzhit do të shkruhen në formë

dhe polinomi i interpolimit (2.5) do të shkruhet në formë

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (Lagrange Joseph Louis; 1736-1813) - një matematikan dhe mekanik i shquar francez, veprat më të rëndësishme të të cilit lidhen me llogaritjen e variacioneve, mekanikën analitike dhe teorike. Statika e L. bazohej në parimin e lëvizjeve të mundshme (virtuale). Ai prezantoi koordinatat e përgjithësuara dhe u dha ekuacioneve të lëvizjes së një sistemi mekanik formën e quajtur pas tij. L. mori një sërë rezultatesh të rëndësishme në fushën e analizës (formula për pjesën e mbetur të serisë Taylor, formula për inkrementet e fundme, teoria e ekstremeve të kushtëzuara); në teori numrat(teorema e Lagranzhit); në algjebër (teoria e thyesave të vazhdueshme, duke reduktuar formën kuadratike në shumën e katrorëve); në teorinë e ekuacioneve diferenciale (gjetja e herësit zgjidhjet studimi i një ekuacioni diferencial të zakonshëm të rendit të parë, linear në lidhje me funksionin e dëshiruar dhe një ndryshoreje të pavarur, me koeficientë të ndryshueshëm në varësi të derivatit të funksionit të dëshiruar); në teorinë e interpolimit (formula e interpolimit të Lagranzhit).

Polinomi i interpolimit në formën (2.6) quhet POLINOMI I INTERPOLIMIT LAGRANGE. Le të rendisim avantazhet kryesore të kësaj forme të shkrimit të polinomit të interpolimit.

Numri i veprimeve aritmetike të nevojshme për të ndërtuar një polinom të Lagranzhit është proporcional me n 2 dhe është më i vogli për të gjitha format e shënimeve.
Formula (2.6) përmban në mënyrë eksplicite vlerat e funksioneve në nyjet e interpolimit, gjë që është e përshtatshme për disa llogaritje, veçanërisht kur ndërtohen formulat e integrimit numerik.
Formula (2.6) është e zbatueshme si për nyjet e barabarta ashtu edhe për nyjet e pabarabarta.
Polinomi i interpolimit Lagrange është veçanërisht i dobishëm kur vlerat e funksionit ndryshojnë, por nyjet e interpolimit mbeten të pandryshuara, gjë që është rasti në shumë studime eksperimentale.

Disavantazhet e kësaj forme regjistrimi përfshijnë faktin se me një ndryshim në numrin e nyjeve, të gjitha llogaritjet duhet të kryhen përsëri. Kjo e bën të vështirë bërjen e vlerësimeve a posteriori të saktësisë (vlerësimet e marra gjatë procesit të llogaritjes).

Le të prezantojmë funksionin ω l f , = (x - x 0)(x - Xj)...(x - x p)=fl (*“*;)

Vini re se w n + : (x) është polinomi i shkallës n + 1. Pastaj formula (2.6) mund të shkruhet në formë

Këtu janë formulat për interpolimin linear dhe kuadratik sipas Lagranzhit:

Polinomi i Lagranzhit është një polinom i shkallës së parë në formulën (2.8) dhe një polinom i shkallës së dytë në formulën (2.9).

Këto formula përdoren më shpesh në praktikë. Le të jepet (n + 1) njësia e interpolimit. Në këto nyje mund të ndërtohet një polinom interpolimi n shkalla e th, (p - 1) një polinom i shkallës së parë dhe një grup i madh polinomesh me shkallë më të vogël p, bazuar në disa nga këto nyje. Teorikisht, polinomet e shkallës më të lartë ofrojnë saktësi maksimale. Sidoqoftë, në praktikë, polinomet e shkallëve të ulëta përdoren më shpesh për të shmangur gabimet gjatë llogaritjes së koeficientëve për shkallë të mëdha të polinomit.