Në kapitullin e mëparshëm u tregua se, duke zgjedhur një sistem të caktuar koordinativ në rrafsh, ne mund të shprehim në mënyrë analitike vetitë gjeometrike që karakterizojnë pikat e vijës në shqyrtim me një ekuacion midis koordinatave aktuale. Kështu marrim ekuacionin e drejtëzës. Ky kapitull do të shikojë ekuacionet me vijë të drejtë.
Për të krijuar një ekuacion për një vijë të drejtë në koordinatat karteziane, duhet të vendosni disi kushtet që përcaktojnë pozicionin e saj në lidhje me boshtet e koordinatave.
Së pari, ne do të prezantojmë konceptin e koeficientit këndor të një linje, i cili është një nga madhësitë që karakterizon pozicionin e një drejtëze në një plan.
Le ta quajmë këndin e prirjes së drejtëzës ndaj boshtit Ox, këndin me të cilin duhet të rrotullohet boshti Ox në mënyrë që të përputhet me drejtëzën e dhënë (ose të rezultojë të jetë paralel me të). Si zakonisht, ne do të shqyrtojmë këndin duke marrë parasysh shenjën (shenja përcaktohet nga drejtimi i rrotullimit: në të kundërt ose në drejtim të akrepave të orës). Meqenëse një rrotullim shtesë i boshtit Ox përmes një këndi prej 180° do ta rreshtojë përsëri me vijën e drejtë, këndi i prirjes së vijës së drejtë ndaj boshtit nuk mund të zgjidhet pa mëdyshje (deri në një term që është shumëfish i ) .
Tangjentja e këtij këndi përcaktohet në mënyrë unike (pasi ndryshimi i këndit nuk ndryshon tangjentën e tij).
Tangjenti i këndit të prirjes së drejtëzës me boshtin Ox quhet koeficient këndor i drejtëzës.
Koeficienti këndor karakterizon drejtimin e drejtëzës (këtu nuk dallojmë dy drejtime reciprokisht të kundërta të vijës së drejtë). Nëse pjerrësia e një drejtëze është zero, atëherë vija është paralele me boshtin x. Me një koeficient këndor pozitiv, këndi i prirjes së drejtëzës ndaj boshtit Ox do të jetë i mprehtë (këtu po shqyrtojmë vlerën më të vogël pozitive të këndit të prirjes) (Fig. 39); Për më tepër, sa më i madh të jetë koeficienti këndor, aq më i madh është këndi i prirjes së tij ndaj boshtit Ox. Nëse koeficienti këndor është negativ, atëherë këndi i prirjes së drejtëzës ndaj boshtit Ox do të jetë i mpirë (Fig. 40). Vini re se një drejtëz pingul me boshtin Ox nuk ka një koeficient këndor (tangjentja e këndit nuk ekziston).
Drejtëza y=f(x) do të jetë tangjente me grafikun e paraqitur në figurë në pikën x0 nëse kalon nëpër pikën me koordinata (x0; f(x0)) dhe ka një koeficient këndor f"(x0). Gjeni një koeficient i tillë, Duke ditur tiparet e një tangjente, nuk është e vështirë.
Do t'ju duhet
- - libri referues matematikor;
- - një laps i thjeshtë;
- - fletore;
- - raportor;
- - busull;
- - stilolaps.
Udhëzimet
Nëse vlera f‘(x0) nuk ekziston, atëherë ose nuk ka tangjente, ose shkon vertikalisht. Në funksion të kësaj, prania e një derivati të funksionit në pikën x0 është për shkak të ekzistencës së një tangjente jo vertikale me grafikun e funksionit në pikën (x0, f(x0)). Në këtë rast, koeficienti këndor i tangjentës do të jetë i barabartë me f "(x0). Kështu, kuptimi gjeometrik i derivatit bëhet i qartë - llogaritja e koeficientit këndor të tangjentes.
Vizatoni tangjente shtesë që do të ishin në kontakt me grafikun e funksionit në pikat x1, x2 dhe x3, si dhe shënoni këndet e formuara nga këto tangjente me boshtin x (ky kënd numërohet në drejtim pozitiv nga boshti në vijë tangjente). Për shembull, këndi, domethënë α1, do të jetë akut, i dyti (α2) do të jetë i mpirë dhe i treti (α3) do të jetë zero, pasi vija tangjente është paralele me boshtin OX. Në këtë rast, tangjentja e një këndi të mpirë është negative, tangjentja e një këndi akut është pozitive dhe në tg0 rezultati është zero.
Ju lutemi vini re
Përcaktoni saktë këndin e formuar nga tangjentja. Për ta bërë këtë, përdorni një raportues.
Këshilla të dobishme
Dy drejtëza të pjerrëta do të jenë paralele nëse koeficientët e tyre këndorë janë të barabartë me njëri-tjetrin; pingul nëse prodhimi i koeficientëve këndorë të këtyre tangjenteve është i barabartë me -1.
Burimet:
- Tangjente me grafikun e një funksioni
Kosinusi, si sinusi, klasifikohet si një funksion trigonometrik "i drejtpërdrejtë". Tangjentja (së bashku me kotangjenten) klasifikohet si një çift tjetër i quajtur "derivat". Ekzistojnë disa përkufizime të këtyre funksioneve që bëjnë të mundur gjetjen e tangjentës së dhënë nga një vlerë e njohur kosinusi me të njëjtën vlerë.
Udhëzimet
Zbrisni herësin e njësisë me vlerën e ngritur në kosinusin e këndit të dhënë dhe nxirrni rrënjën katrore nga rezultati - kjo do të jetë vlera tangjente e këndit, e shprehur me kosinusin e tij: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Ju lutemi vini re se në formulë kosinusi është në emëruesin e thyesës. Pamundësia e pjesëtimit me zero përjashton përdorimin e kësaj shprehjeje për kënde të barabarta me 90°, si dhe ato që ndryshojnë nga kjo vlerë me numra që janë shumëfish të 180° (270°, 450°, -90°, etj.).
Ekziston një mënyrë alternative për të llogaritur tangjenten nga një vlerë e njohur kosinusi. Mund të përdoret nëse nuk ka kufizime në përdorimin e të tjerëve. Për të zbatuar këtë metodë, së pari përcaktoni vlerën e këndit nga një vlerë e njohur e kosinusit - kjo mund të bëhet duke përdorur funksionin e kosinusit të harkut. Pastaj thjesht llogaritni tangjenten për këndin e vlerës që rezulton. Në përgjithësi, ky algoritëm mund të shkruhet si më poshtë: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
Ekziston gjithashtu një opsion ekzotik duke përdorur përkufizimin e kosinusit dhe tangjentës përmes këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë. Në këtë përkufizim, kosinusi korrespondon me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur me këndin në shqyrtim me gjatësinë e hipotenuzës. Duke ditur vlerën e kosinusit, mund të zgjidhni gjatësitë përkatëse të këtyre dy anëve. Për shembull, nëse cos(α) = 0,5, atëherë ngjitja mund të merret e barabartë me 10 cm, dhe hipotenuza - 20 cm. Numrat specifikë nuk kanë rëndësi këtu - do të merrni numrat e njëjtë dhe të saktë me çdo vlerë që ka të njëjtat. Pastaj, duke përdorur teoremën e Pitagorës, përcaktoni gjatësinë e anës që mungon - këmbën e kundërt. Do të jetë e barabartë me rrënjën katrore të diferencës ndërmjet gjatësive të hipotenuzës në katror dhe këmbës së njohur: √(20²-10²)=√300. Sipas përkufizimit, tangjentja korrespondon me raportin e gjatësisë së këmbëve të kundërta dhe ngjitur (√300/10) - llogarisni atë dhe merrni vlerën tangjente të gjetur duke përdorur përkufizimin klasik të kosinusit.
Burimet:
- kosinusi përmes formulës tangjente
Një nga funksionet trigonometrike, më së shpeshti i shënuar me shkronjat tg, megjithëse përdoret gjithashtu tan. Mënyra më e lehtë për të paraqitur tangjenten është si një raport sinus këndi te kosinusi i tij. Ky është një funksion periodik i rastësishëm dhe jo i vazhdueshëm, çdo cikël i të cilit është i barabartë me numrin Pi, dhe pika e thyerjes korrespondon me gjysmën e këtij numri.
Pjerrësia është e drejtë. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet që lidhen me planin koordinativ të përfshirë në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë. Këto janë detyra për:
— përcaktimi i koeficientit këndor të një drejtëze kur dihen dy pika nëpër të cilat kalon ajo;
- përcaktimi i abshisës ose i ordinatës së pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një rrafsh.
Çfarë është abshisa dhe ordinata e një pike u përshkrua në këtë seksion. Në të kemi shqyrtuar tashmë disa probleme që lidhen me planin koordinativ. Çfarë duhet të kuptoni për llojin e problemit në shqyrtim? Pak teori.
Ekuacioni i drejtëzës në planin koordinativ ka formën:
Ku k – kjo është pjerrësia e vijës.
Momenti tjetër! Pjerrësia e një vije të drejtë është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës. Ky është këndi midis një vije të caktuar dhe boshtitOh.
Ai varion nga 0 në 180 gradë.
Kjo do të thotë, nëse e reduktojmë ekuacionin e një drejtëze në formë y = kx + b, atëherë gjithmonë mund të përcaktojmë koeficientin k (koeficienti i pjerrësisë).
Gjithashtu, nëse në bazë të kushtit mund të përcaktojmë tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës, atëherë do të gjejmë në këtë mënyrë koeficientin këndor të saj.
Pika tjetër teorike!Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.Formula duket si kjo:
Le të shqyrtojmë detyrat (të ngjashme me detyrat nga banka e detyrave të hapura):
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (–6;0) dhe (0;6).
Në këtë problem, mënyra më racionale për të zgjidhur është gjetja e tangjentës së këndit midis boshtit x dhe drejtëzës së dhënë. Dihet se është e barabartë me pjerrësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga një vijë e drejtë dhe boshtet x dhe oy:
Tangjenti i një këndi në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën fqinje:
*Të dyja këmbët janë të barabarta me gjashtë (këto janë gjatësitë e tyre).
Sigurisht, ky problem mund të zgjidhet duke përdorur formulën për gjetjen e ekuacionit të një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna. Por kjo do të jetë një zgjidhje më e gjatë.
Përgjigje: 1
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (5;0) dhe (0;5).
Pikat tona kanë koordinata (5;0) dhe (0;5). Mjetet,
Le të vendosim formulën në formë y = kx + b
Ne konstatuam se pjerrësia k = – 1.
Përgjigje: -1
Drejt a kalon nëpër pika me koordinata (0;6) dhe (8;0). Drejt b kalon nëpër pikën me koordinata (0;10) dhe është paralel me drejtëzën a b me bosht oh.
Në këtë problem mund të gjeni ekuacionin e drejtëzës a, përcaktoni pjerrësinë për të. Në vijën e drejtë b pjerrësia do të jetë e njëjtë pasi ato janë paralele. Më pas mund të gjeni ekuacionin e vijës b. Dhe pastaj, duke zëvendësuar vlerën y = 0 në të, gjeni abshissa. POR!
Në këtë rast, është më e lehtë të përdoret vetia e ngjashmërisë së trekëndëshave.
Trekëndëshat kënddrejtë të formuar nga këto drejtëza (paralele) dhe boshtet koordinative janë të ngjashëm, që do të thotë se raportet e brinjëve të tyre përkatëse janë të barabarta.
Abshisa e kërkuar është 40/3.
Përgjigje: 40/3
Drejt a kalon nëpër pika me koordinata (0;8) dhe (–12;0). Drejt b kalon nëpër pikën me koordinata (0; –12) dhe është paralel me drejtëzën a. Gjeni abshisën e pikës së prerjes së drejtëzës b me bosht oh.
Për këtë problem, mënyra më racionale për ta zgjidhur atë është përdorimi i vetive të ngjashmërisë së trekëndëshave. Por ne do ta zgjidhim atë në një mënyrë tjetër.
Ne i dimë pikat nëpër të cilat kalon vija A. Mund të shkruajmë një ekuacion për një vijë të drejtë. Formula për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna ka formën:
Sipas kushtit, pikat kanë koordinata (0;8) dhe (–12;0). Mjetet,
Le ta sjellim në mendje y = kx + b:
Mora atë kënd k = 2/3.
*Koeficienti i këndit mund të gjendet përmes tangjentës së këndit në një trekëndësh kënddrejtë me këmbët 8 dhe 12.
Dihet se drejtëzat paralele kanë koeficientë të barabartë këndi. Kjo do të thotë se ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën (0;-12) ka formën:
Gjeni vlerën b ne mund të zëvendësojmë abshisën dhe ta ordinojmë në ekuacionin:
Kështu, vija e drejtë duket si kjo:
Tani, për të gjetur abshisën e dëshiruar të pikës së kryqëzimit të vijës me boshtin x, duhet të zëvendësoni y = 0:
Përgjigje: 18
Gjeni ordinatën e pikës së kryqëzimit të boshtit oh dhe një drejtëz që kalon nga pika B(10;12) dhe paralele me një drejtëz që kalon nga origjina dhe pika A(10;24).
Le të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika me koordinata (0;0) dhe (10;24).
Formula për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna ka formën:
Pikat tona kanë koordinata (0;0) dhe (10;24). Mjetet,
Le ta sjellim në mendje y = kx + b
Koeficientët e këndit të drejtëzave paralele janë të barabartë. Kjo do të thotë se ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën B(10;12) ka formën:
Kuptimi b Le të gjejmë duke zëvendësuar koordinatat e pikës B(10;12) në këtë ekuacion:
Ne morëm ekuacionin e drejtëzës:
Të gjendet ordinata e pikës së prerjes së kësaj drejtëze me boshtin oh duhet të zëvendësohet në ekuacionin e gjetur X= 0:
*Zgjidhja më e thjeshtë. Duke përdorur përkthimin paralel, ne e zhvendosim këtë vijë poshtë përgjatë boshtit oh në pikën (10;12). Zhvendosja ndodh me 12 njësi, domethënë pika A(10;24) "u zhvendos" në pikën B(10;12) dhe pika O(0;0) "u zhvendos" në pikën (0;–12). Kjo do të thotë që vija e drejtë që rezulton do të presë boshtin oh në pikën (0;–12).
Ordinata e kërkuar është –12.
Përgjigje: -12
Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzës së dhënë nga ekuacioni
3x + 2u = 6, me bosht Oy.
Koordinata e pikës së prerjes së një drejtëze të caktuar me një bosht oh ka formën (0; në). Le të zëvendësojmë abshisën në ekuacion X= 0 dhe gjeni ordinatat:
Ordinata e pikës së kryqëzimit të drejtëzës dhe boshtit ohështë e barabartë me 3.
*Sistemi është i zgjidhur:
Përgjigje: 3
Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzave të dhëna nga ekuacionet
3x + 2y = 6 Dhe y = – x.
Kur jepen dy drejtëza dhe pyetja ka të bëjë me gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave, zgjidhet një sistem i këtyre ekuacioneve:
Në ekuacionin e parë zëvendësojmë - X në vend të në:
Ordinata është e barabartë me minus gjashtë.
Përgjigje: – 6
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (–2;0) dhe (0;2).
Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (2;0) dhe (0;2).
Drejtëza a kalon nëpër pika me koordinata (0;4) dhe (6;0). Drejtëza b kalon nëpër pikën me koordinata (0;8) dhe është paralele me drejtëzën a. Gjeni abshisën e pikës së prerjes së drejtëzës b me boshtin Ox.
Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së boshtit oy dhe drejtëzës që kalon në pikën B (6;4) dhe paralele me drejtëzën që kalon nga origjina dhe pikën A (6;8).
1. Është e nevojshme të kuptohet qartë se koeficienti këndor i një vije të drejtë është i barabartë me tangjentën e këndit të prirjes së drejtëzës. Kjo do t'ju ndihmojë në zgjidhjen e shumë problemeve të këtij lloji.
2. Duhet kuptuar formula për gjetjen e drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Me ndihmën e tij, gjithmonë do të gjeni ekuacionin e një drejtëze nëse jepen koordinatat e dy pikave të saj.
3. Mos harroni se pjerrësia e drejtëzave paralele janë të barabarta.
4. Siç e kuptoni, në disa probleme është i përshtatshëm të përdoret testi i ngjashmërisë së trekëndëshit. Problemet zgjidhen praktikisht me gojë.
5. Problemet në të cilat janë dhënë dy drejtëza dhe kërkohet të gjendet abshisa ose ordinata e pikës së kryqëzimit të tyre mund të zgjidhen grafikisht. Kjo do të thotë, ndërtoni ato në një plan koordinativ (në një fletë letre në një katror) dhe përcaktoni vizualisht pikën e kryqëzimit. *Por kjo metodë nuk është gjithmonë e zbatueshme.
6. Dhe së fundi. Nëse jepet një vijë e drejtë dhe koordinatat e pikave të kryqëzimit të saj me boshtet e koordinatave, atëherë në probleme të tilla është e përshtatshme të gjendet koeficienti këndor duke gjetur tangjentën e këndit në trekëndëshin kënddrejtë të formuar. Si të "shihni" këtë trekëndësh me pozicione të ndryshme të vijave të drejta në aeroplan është treguar skematikisht më poshtë:
>> Këndi i drejtë nga 0 në 90 gradë<<
>> Këndi i drejtë i prirjes nga 90 në 180 gradë<<
Kjo është e gjitha. Ju uroj fat!
Përshëndetje, Aleksandër.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Tema “Koeficienti këndor i një tangjente si tangjente e këndit të prirjes” jepen disa detyra në provimin e certifikimit. Në varësi të gjendjes së tyre, të diplomuarit mund t'i kërkohet të japë ose një përgjigje të plotë ose një përgjigje të shkurtër. Kur përgatitet për të marrë Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, studenti duhet të përsërisë patjetër detyrat që kërkojnë llogaritjen e pjerrësisë së një tangjente.
Portali arsimor Shkolkovo do t'ju ndihmojë ta bëni këtë. Specialistët tanë përgatitën dhe prezantuan materialin teorik dhe praktik në mënyrën më të arritshme të mundshme. Pasi të jenë njohur me të, të diplomuarit me çdo nivel trajnimi do të jenë në gjendje të zgjidhin me sukses problemet që lidhen me derivatet në të cilat është e nevojshme të gjendet tangjentja e këndit tangjent.
Pikat kryesore
Për të gjetur zgjidhjen e saktë dhe racionale të detyrave të tilla në Provimin e Unifikuar të Shtetit, është e nevojshme të mbani mend përkufizimin bazë: derivati përfaqëson shkallën e ndryshimit të një funksioni; është e barabartë me tangjenten e këndit tangjentë të tërhequr në grafikun e funksionit në një pikë të caktuar. Është po aq e rëndësishme për të përfunduar vizatimin. Do t'ju lejojë të gjeni zgjidhjen e duhur për problemet e USE në derivatin, në të cilin duhet të llogaritni tangjentën e këndit tangjentë. Për qartësi, është më mirë të vizatoni grafikun në rrafshin OXY.
Nëse tashmë jeni njohur me materialin bazë në temën e derivateve dhe jeni gati të filloni zgjidhjen e problemeve për llogaritjen e tangjentës së këndit tangjentë, të ngjashme me detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit, mund ta bëni këtë në internet. Për çdo detyrë, për shembull, probleme në temë "Marrëdhënia e derivatit me shpejtësinë dhe nxitimin e trupit", kemi shkruar përgjigjen e saktë dhe algoritmin e zgjidhjes. Në të njëjtën kohë, studentët mund të praktikojnë kryerjen e detyrave me nivele të ndryshme kompleksiteti. Nëse është e nevojshme, ushtrimi mund të ruhet në seksionin "Të preferuarat" në mënyrë që të diskutoni zgjidhjen me mësuesin më vonë.
