Si të llogarisni një interval besimi në statistika. Intervali i besimit

Shpesh vlerësuesi duhet të analizojë tregun e pasurive të paluajtshme të segmentit në të cilin ndodhet prona që vlerësohet. Nëse tregu është i zhvilluar, mund të jetë e vështirë të analizohet i gjithë grupi i objekteve të paraqitura, kështu që një mostër e objekteve përdoret për analizë. Ky mostër nuk rezulton gjithmonë homogjen, ndonjëherë është e nevojshme ta pastroni atë nga pikat ekstreme - ofertat shumë të larta ose shumë të ulëta të tregut; Për këtë qëllim përdoret intervali i besimit. Qëllimi i këtij studimi është të kryejë një analizë krahasuese të dy metodave për llogaritjen e intervalit të besueshmërisë dhe të zgjedhë opsionin optimal të llogaritjes kur punohet me mostra të ndryshme në sistemin estimatica.pro.

Intervali i besimit është një interval i vlerave të atributeve të llogaritura në bazë të një kampioni, i cili me një probabilitet të njohur përmban parametrin e vlerësuar të popullatës së përgjithshme.

Qëllimi i llogaritjes së një intervali besimi është të ndërtohet një interval i tillë bazuar në të dhënat e mostrës në mënyrë që të mund të thuhet me një probabilitet të caktuar që vlera e parametrit të vlerësuar është në këtë interval. Me fjalë të tjera, intervali i besimit përmban vlerën e panjohur të vlerës së vlerësuar me një probabilitet të caktuar. Sa më i gjerë të jetë intervali, aq më i lartë është pasaktësia.

Ekzistojnë metoda të ndryshme për përcaktimin e intervalit të besimit. Në këtë artikull do të shqyrtojmë 2 metoda:

• përmes devijimit mesatar dhe standard;
• nëpërmjet vlerës kritike të statistikave t (koeficienti i studentit).

Fazat e analizës krahasuese të metodave të ndryshme për llogaritjen e CI:

1. formojnë një mostër të dhënash;

2. e përpunojmë duke përdorur metoda statistikore: llogarisim vlerën mesatare, mesataren, variancën etj.;

3. Llogaritni intervalin e besimit në dy mënyra;

4. analizoni mostrat e pastruara dhe intervalet e besueshmërisë që rezultojnë.

Faza 1. Kampionimi i të dhënave

Mostra u formua duke përdorur sistemin estimatica.pro. Mostra përfshinte 91 oferta për shitjen e apartamenteve me 1 dhomë në zonën e 3-të të çmimeve me llojin e paraqitjes "Hrushovi".

Tabela 1. Mostra fillestare

Fig.1. Mostra fillestare

Faza 2. Përpunimi i mostrës fillestare

Përpunimi i një kampioni duke përdorur metoda statistikore kërkon llogaritjen e vlerave të mëposhtme:

1. Mesatarja aritmetike

2. Mediana - një numër që karakterizon kampionin: saktësisht gjysma e elementeve të mostrës janë më të mëdha se mesatarja, gjysma tjetër janë më pak se mediana

(për një mostër me një numër tek vlerash)

3. Gama - diferenca midis vlerave maksimale dhe minimale në mostër

4. Varianca - përdoret për të vlerësuar më saktë variacionin e të dhënave

5. Devijimi standard i mostrës (në tekstin e mëtejmë - SD) është treguesi më i zakonshëm i shpërndarjes së vlerave të rregullimit rreth mesatares aritmetike.

6. Koeficienti i variacionit - pasqyron shkallën e shpërndarjes së vlerave të rregullimit

7. koeficienti i lëkundjes - pasqyron luhatjen relative të vlerave ekstreme të çmimeve në mostër rreth mesatares

Tabela 2. Treguesit statistikorë të kampionit origjinal

Koeficienti i variacionit, i cili karakterizon homogjenitetin e të dhënave, është 12.29%, por koeficienti i lëkundjes është shumë i lartë. Kështu, mund të themi se kampioni origjinal nuk është homogjen, kështu që le të kalojmë në llogaritjen e intervalit të besimit.

Faza 3. Llogaritja e intervalit të besimit

Metoda 1. Llogaritja duke përdorur devijimin mesatar dhe standard.

Intervali i besimit përcaktohet si më poshtë: vlera minimale - devijimi standard zbritet nga mesatarja; vlera maksimale - devijimi standard i shtohet mesatares.

Kështu, intervali i besimit (47179 CU; 60689 CU)

Oriz. 2. Vlerat që bien brenda intervalit të besimit 1.

Metoda 2. Ndërtimi i një intervali besimi duke përdorur vlerën kritike të statistikave t (koeficienti studentor)

S.V. Gribovsky në librin e tij "Metodat matematikore për vlerësimin e vlerës së pronës" përshkruan një metodë për llogaritjen e intervalit të besimit përmes koeficientit Student. Gjatë llogaritjes duke përdorur këtë metodë, vlerësuesi duhet të vendosë vetë nivelin e rëndësisë ∝, i cili përcakton probabilitetin me të cilin do të ndërtohet intervali i besimit. Në mënyrë tipike, përdoren nivelet e rëndësisë prej 0.1; 0.05 dhe 0.01. Ato korrespondojnë me probabilitetet e besimit prej 0,9; 0,95 dhe 0,99. Me këtë metodë, vlerat e vërteta të pritshmërisë dhe variancës matematikore supozohen të jenë praktikisht të panjohura (gjë që është pothuajse gjithmonë e vërtetë kur zgjidhen problemet praktike të vlerësimit).

Formula e intervalit të besimit:

n - madhësia e mostrës;

Vlera kritike e statistikave t (Shpërndarja studentore) me një nivel sinjifikance ∝, numri i shkallëve të lirisë n-1, i cili përcaktohet nga tabela të veçanta statistikore ose duke përdorur MS Excel (→"Statistikore"→ STUDIST);

∝ - niveli i rëndësisë, merr ∝=0.01.

Oriz. 2. Vlerat që bien brenda intervalit të besimit 2.

Faza 4. Analiza e metodave të ndryshme për llogaritjen e intervalit të besimit

Dy metoda të llogaritjes së intervalit të besimit - përmes mesatares dhe koeficientit të Studentit - çuan në vlera të ndryshme të intervaleve. Prandaj, morëm dy mostra të ndryshme të pastruara.

Tabela 3. Statistikat për tre mostra.

Bazuar në llogaritjet e kryera, mund të themi se vlerat e intervalit të besimit të marra nga metoda të ndryshme kryqëzohen, kështu që ju mund të përdorni ndonjë nga metodat e llogaritjes sipas gjykimit të vlerësuesit.

Sidoqoftë, ne besojmë se kur punoni në sistemin estimatica.pro, këshillohet të zgjidhni një metodë për llogaritjen e intervalit të besimit në varësi të shkallës së zhvillimit të tregut:

• nëse tregu është i pazhvilluar, përdorni metodën e llogaritjes duke përdorur devijimin mesatar dhe standard, pasi numri i objekteve në pension në këtë rast është i vogël;
• nëse tregu është i zhvilluar, aplikoni llogaritjen përmes vlerës kritike të statistikave t (koeficienti i studentit), pasi është e mundur të formohet një mostër e madhe fillestare.

Në përgatitjen e artikullit janë përdorur këto:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Metodat matematikore për vlerësimin e vlerës së pasurisë. Moskë, 2014

2. Të dhënat e sistemit estimatica.pro

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur këtë shërbim, mund të përcaktoni:

• intervali i besimit për mesataren e përgjithshme, intervali i besimit për variancën;
• intervali i besimit për devijimin standard, intervali i besimit për pjesën e përgjithshme;

Shembulli nr. 1. Në një fermë kolektive, nga një tufë totale prej 1000 delesh, 100 dele iu nënshtruan qethjes me kontroll selektiv. Si rezultat, u krijua një prerje mesatare e leshit prej 4.2 kg për dele. Përcaktoni me një probabilitet prej 0,99 gabimin mesatar katror të kampionit kur përcaktoni prerjen mesatare të leshit për dele dhe kufijtë brenda të cilëve përmbahet vlera e prerjes nëse varianca është 2,5. Mostra nuk është e përsëritur.
Shembulli nr. 2. Nga një grup produktesh të importuara në postën e Doganës Veriore të Moskës, 20 mostra të produktit "A" u morën me kampionim të përsëritur rastësor. Si rezultat i testit, u përcaktua përmbajtja mesatare e lagështisë së produktit "A" në mostër, e cila rezultoi të jetë e barabartë me 6% me një devijim standard prej 1%.
Përcaktoni me një probabilitet prej 0,683 kufijtë e përmbajtjes mesatare të lagështisë së produktit në të gjithë grupin e produkteve të importuara.
Shembulli nr. 3. Një anketë me 36 studentë tregoi se numri mesatar i teksteve të lexuara prej tyre gjatë vitit akademik ishte i barabartë me 6. Duke supozuar se numri i teksteve të lexuara nga një student për semestër ka një ligj të shpërndarjes normale me një devijim standard të barabartë me 6, gjeni : A) me një besueshmëri prej 0,99 vlerësimi interval për pritshmërinë matematikore të kësaj ndryshoreje të rastësishme; B) me çfarë probabiliteti mund të themi se numri mesatar i teksteve të lexuara nga një student për semestër, i llogaritur nga ky kampion, do të devijojë nga pritshmëria matematikore në vlerë absolute jo më shumë se 2.

Klasifikimi i intervaleve të besimit

Sipas llojit të mostrës:

1. Intervali i besimit për një mostër të pafundme;
2. Intervali i besimit për kampionin përfundimtar;

Llogaritja e gabimit mesatar të kampionimit për kampionim të rastësishëm

Formulat mesatare të gabimit të kampionimit
rizgjedhje		përzgjedhje jo e përsëritur
për mesataren	për ndarje	për mesataren	për ndarje

Formulat për llogaritjen e madhësisë së kampionit duke përdorur një metodë kampionimi thjesht rastësor

Vlerësimi i intervaleve të besimit

Statistikat marrin parasysh sa vijon dy detyra kryesore:

Ne kemi disa vlerësime të bazuara në të dhënat e mostrës dhe duam të bëjmë një deklaratë probabilistike se ku qëndron vlera e vërtetë e parametrit të vlerësuar.

Ne kemi një hipotezë specifike që duhet të testohet duke përdorur të dhënat e mostrës.

Në këtë temë shqyrtojmë detyrën e parë. Le të prezantojmë gjithashtu përkufizimin e një intervali besimi.

Pasi të keni studiuar materialin për këtë temë, ju:

mësoni se çfarë është një interval besimi për një vlerësim;

të mësojnë të klasifikojnë problemet statistikore;

zotëroni teknikën e ndërtimit të intervaleve të besimit, si duke përdorur formula statistikore ashtu edhe duke përdorur mjete softuerike;

Mësoni të përcaktoni madhësitë e kërkuara të mostrës për të arritur disa parametra të saktësisë së vlerësimeve statistikore.

Shpërndarja e karakteristikave të mostrës

Siç u diskutua më lart, shpërndarja e ndryshores së rastit është afër shpërndarjes normale të standardizuar me parametrat 0 dhe 1. Meqenëse nuk e dimë vlerën e σ, ne e zëvendësojmë atë me një vlerësim të s. Sasia tashmë ka një shpërndarje të ndryshme, përkatësisht ose Shpërndarja e nxënësve, i cili përcaktohet nga parametri n -1 (numri i shkallëve të lirisë). Kjo shpërndarje është afër shpërndarjes normale (sa më e madhe n, aq më afër shpërndarjet).

Në Fig. 95
paraqitet shpërndarja Studentore me 30 gradë lirie. Siç mund ta shihni, është shumë afër shpërndarjes normale.

Ngjashëm me funksionet për të punuar me shpërndarjen normale NORMIDIST dhe NORMINV, ekzistojnë funksione për të punuar me shpërndarjen t - STUDIST (TDIST) dhe STUDRASOBR (TINV). Një shembull i përdorimit të këtyre funksioneve mund të shihet në skedarin STUDRASP.XLS (shaboni dhe zgjidhja) dhe në Fig. 96
.

Siç e dimë tashmë, për të përcaktuar saktësinë e vlerësimit të pritshmërisë matematikore, ne kemi nevojë për një shpërndarje t. Për të vlerësuar parametrat e tjerë, siç është varianca, nevojiten shpërndarje të ndryshme. Dy prej tyre janë shpërndarja F dhe x 2 -shpërndarja.

Intervali i besimit për mesataren

Intervali i besimit- ky është një interval që ndërtohet rreth vlerës së vlerësuar të parametrit dhe tregon se ku ndodhet vlera e vërtetë e parametrit të vlerësuar me një probabilitet të caktuar a priori.

Ndodh ndërtimi i një intervali besimi për vlerën mesatare si më poshtë:

Shembull

Restoranti i ushqimit të shpejtë planifikon të zgjerojë asortimentin e tij me një lloj të ri sanduiç. Për të vlerësuar kërkesën për të, menaxheri planifikon të zgjedhë rastësisht 40 vizitorë nga ata që e kanë provuar tashmë dhe t'u kërkojë të vlerësojnë qëndrimin e tyre ndaj produktit të ri në një shkallë nga 1 deri në 10. Menaxheri dëshiron të vlerësojë të priturat numri i pikëve që produkti i ri do të marrë dhe ndërton një interval besimi 95% për këtë vlerësim. Si ta bëni këtë? (shih skedarin SANDWICH1.XLS (shaboni dhe zgjidhja).

Zgjidhje

Për të zgjidhur këtë problem mund të përdorni. Rezultatet janë paraqitur në Fig. 97
.

Intervali i besimit për vlerën totale

Ndonjëherë, duke përdorur të dhënat e mostrës, është e nevojshme të vlerësohet jo pritshmëria matematikore, por shuma totale e vlerave. Për shembull, në një situatë me një auditor, interesi mund të jetë në vlerësimin jo të madhësisë mesatare të llogarisë, por të shumës së të gjitha llogarive.

Le të jetë N numri total i elementeve, n të jetë madhësia e kampionit, T 3 të jetë shuma e vlerave në mostër, T" të jetë vlerësimi për shumën e të gjithë popullatës, pastaj , dhe intervali i besueshmërisë llogaritet me formulën , ku s është vlerësimi i devijimit standard për kampionin dhe është vlerësimi i mesatares për kampionin.

Shembull

Le të themi se një agjenci tatimore dëshiron të vlerësojë rimbursimet totale të taksave për 10,000 tatimpagues. Tatimpaguesi ose merr një rimbursim ose paguan taksa shtesë. Gjeni intervalin e besueshmërisë 95% për shumën e rimbursimit, duke supozuar një madhësi kampion prej 500 personash (shih skedarin SHUMËSIA E RIFUND.XLS (shabllon dhe zgjidhje).

Zgjidhje

StatPro nuk ka një procedurë të veçantë për këtë rast, megjithatë, mund të vërehet se kufijtë mund të merren nga kufijtë për mesataren bazuar në formulat e mësipërme (Fig. 98
).

Intervali i besimit për proporcionin

Le të jetë p pritshmëria matematikore e pjesës së klientëve dhe le të jetë p b vlerësimi i kësaj pjese të marrë nga një mostër e madhësisë n. Mund të tregohet se për mjaftueshëm të mëdha shpërndarja e vlerësimit do të jetë afër normales me pritshmëri matematikore p dhe devijim standard . Gabimi standard i vlerësimit në këtë rast shprehet si , dhe intervali i besimit është si .

Shembull

Restoranti i ushqimit të shpejtë planifikon të zgjerojë asortimentin e tij me një lloj të ri sanduiç. Për të vlerësuar kërkesën për të, menaxheri përzgjodhi rastësisht 40 vizitorë nga ata që e kishin provuar tashmë dhe u kërkoi të vlerësonin qëndrimin e tyre ndaj produktit të ri në një shkallë nga 1 në 10. Menaxheri dëshiron të vlerësojë përqindjen e pritshme të klientët të cilët e vlerësojnë produktin e ri me të paktën 6 pikë (ai pret që këta klientë të jenë konsumatorët e produktit të ri).

Zgjidhje

Fillimisht, ne krijojmë një kolonë të re bazuar në atributin 1 nëse vlerësimi i klientit ishte më shumë se 6 pikë dhe 0 ndryshe (shih skedarin SANDWICH2.XLS (shaboni dhe zgjidhja).

Metoda 1

Duke numëruar numrin 1, ne vlerësojmë pjesën, dhe më pas përdorim formulat.

Vlera zcr merret nga tabelat e veçanta të shpërndarjes normale (për shembull, 1.96 për një interval besimi 95%).

Duke përdorur këtë qasje dhe të dhëna specifike për të ndërtuar një interval prej 95%, marrim rezultatet e mëposhtme (Fig. 99
). Vlera kritike e parametrit zcr është 1.96. Gabimi standard i vlerësimit është 0.077. Kufiri i poshtëm i intervalit të besimit është 0.475. Kufiri i sipërm i intervalit të besimit është 0.775. Kështu, menaxheri ka të drejtë të besojë me 95% besim se përqindja e klientëve që vlerësojnë produktin e ri me 6 pikë ose më shumë do të jetë midis 47.5 dhe 77.5.

Metoda 2

Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur mjete standarde StatPro. Për ta bërë këtë, mjafton të theksohet se pjesa në këtë rast përkon me vlerën mesatare të kolonës Type. Më pas aplikojmë StatPro/Përfundimi statistikor/Analiza me një mostër për të ndërtuar një interval besimi të mesatares (vlerësimi i pritshmërisë matematikore) për kolonën Tipi. Rezultatet e marra në këtë rast do të jenë shumë afër rezultateve të metodës së parë (Fig. 99).

Intervali i besimit për devijimin standard

s përdoret si një vlerësim i devijimit standard (formula është dhënë në seksionin 1). Funksioni i densitetit të vlerësimit s është funksioni chi-katror, ​​i cili, ashtu si shpërndarja t, ka n-1 shkallë lirie. Ekzistojnë funksione të veçanta për të punuar me këtë shpërndarje CHIDIST dhe CHIINV.

Intervali i besimit në këtë rast nuk do të jetë më simetrik. Një diagram konvencional i kufirit është paraqitur në Fig. 100.

Shembull

Makina duhet të prodhojë pjesë me diametër 10 cm, megjithatë, për shkak të rrethanave të ndryshme, ndodhin gabime. Kontrolluesi i cilësisë është i shqetësuar për dy rrethana: së pari, vlera mesatare duhet të jetë 10 cm; së dyti, edhe në këtë rast, nëse devijimet janë të mëdha, atëherë shumë pjesë do të refuzohen. Çdo ditë ai bën një mostër prej 50 pjesësh (shih skedarin QUALITY CONTROL.XLS (shabllon dhe zgjidhje). Çfarë përfundimesh mund të japë një mostër e tillë?

Zgjidhje

Le të ndërtojmë intervale besimi 95% për mesataren dhe devijimin standard duke përdorur StatPro/Përfundimi statistikor/Analiza me një mostër(Fig. 101
).

Më pas, duke përdorur supozimin e një shpërndarjeje normale të diametrave, ne llogarisim proporcionin e produkteve me defekt, duke vendosur një devijim maksimal prej 0,065. Duke përdorur aftësitë e tabelës së zëvendësimit (rasti i dy parametrave), do të vizatojmë varësinë e proporcionit të defekteve nga vlera mesatare dhe devijimi standard (Fig. 102
).

Intervali i besimit për ndryshimin midis dy mjeteve

Ky është një nga aplikimet më të rëndësishme të metodave statistikore. Shembuj të situatave.

Një menaxher i një dyqani veshjesh do të donte të dinte se sa më shumë ose më pak shpenzon konsumatorja mesatare femër në dyqan sesa konsumatori mesatar mashkull.

Të dy linjat ajrore fluturojnë linja të ngjashme. Një organizatë konsumatore do të donte të krahasonte ndryshimin midis kohëve mesatare të pritshme të vonesës së fluturimit për të dyja linjat ajrore.

Kompania dërgon kuponë për lloje të caktuara të mallrave në një qytet dhe jo në një tjetër. Menaxherët duan të krahasojnë vëllimet mesatare të blerjeve të këtyre produkteve gjatë dy muajve të ardhshëm.

Një tregtar makinash shpesh merret me çifte të martuara në prezantime. Për të kuptuar reagimet e tyre personale ndaj prezantimit, çiftet shpesh intervistohen veçmas. Menaxheri dëshiron të vlerësojë ndryshimin në vlerësimet e dhëna nga burrat dhe gratë.

Rasti i mostrave të pavarura

Diferenca midis mesatareve do të ketë një shpërndarje t me n 1 + n 2 - 2 gradë lirie. Intervali i besimit për μ 1 - μ 2 shprehet me relacionin:

Ky problem mund të zgjidhet jo vetëm duke përdorur formulat e mësipërme, por edhe duke përdorur mjete standarde StatPro. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni

Intervali i besimit për diferencën midis përmasave

Le të jetë pritshmëria matematikore e aksioneve. Le të jenë vlerësimet e tyre të mostrës, të ndërtuara nga mostrat e madhësisë n 1 dhe n 2, respektivisht. Pastaj është një vlerësim për diferencën. Prandaj, intervali i besimit të këtij ndryshimi shprehet si:

Këtu zcr është një vlerë e marrë nga një shpërndarje normale duke përdorur tabela të veçanta (për shembull, 1.96 për një interval besimi 95%).

Gabimi standard i vlerësimit shprehet në këtë rast me relacionin:

.

Shembull

Dyqani, duke u përgatitur për një shitje të madhe, ndërmori kërkimet e mëposhtme të marketingut. 300 blerësit kryesorë u zgjodhën dhe u ndanë rastësisht në dy grupe me nga 150 anëtarë secili. Ftesa iu dërguan të gjithë klientëve të përzgjedhur për të marrë pjesë në shitje, por vetëm anëtarët e grupit të parë morën një kupon që u jepte të drejtën për një zbritje prej 5%. Gjatë shitjes janë regjistruar blerjet e të 300 blerësve të përzgjedhur. Si mundet një menaxher të interpretojë rezultatet dhe të bëjë një gjykim për efektivitetin e kuponëve? (shih skedarin COUPONS.XLS (shabllon dhe zgjidhje)).

Zgjidhje

Për rastin tonë konkret, nga 150 klientë që kanë marrë kupon zbritje, 55 kanë bërë një blerje në shitje dhe nga 150 që nuk kanë marrë kupon, vetëm 35 kanë bërë një blerje (Fig. 103
). Pastaj vlerat e proporcioneve të mostrës janë përkatësisht 0.3667 dhe 0.2333. Dhe diferenca e mostrës midis tyre është e barabartë me 0.1333, përkatësisht. Duke supozuar një interval besimi 95%, gjejmë nga tabela e shpërndarjes normale zcr = 1.96. Llogaritja e gabimit standard të diferencës së mostrës është 0.0524. Më në fund zbulojmë se kufiri i poshtëm i intervalit të besimit 95% është 0.0307, ​​dhe kufiri i sipërm është përkatësisht 0.2359. Rezultatet e marra mund të interpretohen në atë mënyrë që për çdo 100 klientë që kanë marrë një kupon zbritje, mund të presim nga 3 deri në 23 klientë të rinj. Megjithatë, duhet të kemi parasysh se ky përfundim në vetvete nuk nënkupton efektivitetin e përdorimit të kuponëve (pasi duke ofruar një zbritje humbim fitimin!). Le ta demonstrojmë këtë me të dhëna specifike. Le të supozojmë se madhësia mesatare e blerjes është 400 rubla, nga të cilat 50 rubla. ka një fitim për dyqanin. Atëherë fitimi i pritur për 100 klientë që nuk kanë marrë një kupon është:

50 0,2333 100 = 1166,50 fshij.

Llogaritjet e ngjashme për 100 klientë që kanë marrë një kupon japin:

30 0,3667 100 = 1100,10 fshij.

Ulja e fitimit mesatar në 30 shpjegohet me faktin se, duke përdorur zbritjen, klientët që kanë marrë një kupon mesatarisht do të bëjnë një blerje për 380 rubla.

Kështu, përfundimi përfundimtar tregon joefektivitetin e përdorimit të kuponëve të tillë në këtë situatë të veçantë.

Komentoni. Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur mjete standarde StatPro. Për ta bërë këtë, mjafton ta reduktoni këtë problem në problemin e vlerësimit të ndryshimit midis dy mesatareve duke përdorur metodën dhe më pas të aplikoni StatPro/Përfundimi statistikor/Analiza me dy mostra për të ndërtuar një interval besimi për diferencën midis dy vlerave mesatare.

Kontrollimi i gjatësisë së intervalit të besimit

Gjatësia e intervalit të besimit varet nga kushtet e mëposhtme:

të dhënat drejtpërdrejt (devijimi standard);

niveli i rëndësisë;

madhësia e mostrës.

Madhësia e kampionit për vlerësimin e mesatares

Së pari, le të shqyrtojmë problemin në rastin e përgjithshëm. Le të shënojmë vlerën e gjysmës së gjatësisë së intervalit të besimit që na është dhënë si B (Fig. 104
). Ne e dimë se intervali i besimit për vlerën mesatare të disa ndryshoreve të rastësishme X shprehet si , Ku . Duke besuar:

dhe duke shprehur n, marrim .

Fatkeqësisht, ne nuk e dimë vlerën e saktë të variancës së ndryshores së rastësishme X. Për më tepër, ne nuk e dimë vlerën e tcr, pasi varet nga n përmes numrit të shkallëve të lirisë. Në këtë situatë, ne mund të bëjmë sa më poshtë. Në vend të variancës s, ne përdorim disa vlerësime të variancës bazuar në çdo zbatim të disponueshëm të ndryshores së rastësishme në studim. Në vend të vlerës t cr, ne përdorim vlerën z cr për shpërndarjen normale. Kjo është mjaft e pranueshme, pasi funksionet e densitetit të shpërndarjes për shpërndarjet normale dhe t janë shumë afër (me përjashtim të rastit të n-së së vogël). Kështu, formula e kërkuar merr formën:

.

Meqenëse formula jep, në përgjithësi, rezultate jo të plota, rrumbullakimi me një tepricë të rezultatit merret si madhësia e dëshiruar e mostrës.

Shembull

Restoranti i ushqimit të shpejtë planifikon të zgjerojë asortimentin e tij me një lloj të ri sanduiç. Për të vlerësuar kërkesën për të, menaxheri planifikon të zgjedhë rastësisht një numër vizitorësh nga ata që e kanë provuar tashmë dhe t'u kërkojë të vlerësojnë qëndrimin e tyre ndaj produktit të ri në një shkallë nga 1 në 10. Menaxheri dëshiron të vlerësojë numrin e pritshëm të pikëve që produkti i ri do të marrë dhe ndërtoni një interval besimi 95% për këtë vlerësim. Në të njëjtën kohë, ai dëshiron që gjysma e gjerësisë së intervalit të besimit të mos kalojë 0.3. Sa vizitorë ka nevojë për të intervistuar?

duket si kjo:

Këtu r otsështë një vlerësim i proporcionit p, dhe B është gjysma e dhënë e gjatësisë së intervalit të besimit. Një mbivlerësim për n mund të merret duke përdorur vlerën r ots= 0,5. Në këtë rast, gjatësia e intervalit të besimit nuk do të kalojë vlerën e specifikuar B për çdo vlerë të vërtetë të p.

Shembull

Lëreni menaxherin nga shembulli i mëparshëm të planifikojë të vlerësojë pjesën e klientëve që preferojnë një lloj të ri produkti. Ai dëshiron të ndërtojë një interval besimi 90% gjatësia e gjysmës së të cilit nuk i kalon 0.05. Sa klientë duhet të përfshihen në kampionin e rastësishëm?

Zgjidhje

Në rastin tonë, vlera e z cr = 1,645. Prandaj, sasia e kërkuar llogaritet si .

Nëse menaxheri do të kishte arsye të besonte se vlera e dëshiruar p ishte, për shembull, afërsisht 0.3, atëherë duke e zëvendësuar këtë vlerë në formulën e mësipërme, do të merrnim një vlerë më të vogël të rastit të mostrës, përkatësisht 228.

Formula për përcaktimin madhësia e rastësishme e kampionit në rast të ndryshimit midis dy mesatareve shkruar si:

.

Shembull

Disa kompani kompjuterike kanë një qendër shërbimi ndaj klientit. Kohët e fundit, numri i ankesave të klientëve për cilësinë e dobët të shërbimit është rritur. Qendra e shërbimit punëson kryesisht dy lloje punonjësish: ata që nuk kanë shumë përvojë, por kanë kryer kurse të veçanta përgatitore dhe ata që kanë përvojë të gjerë praktike, por nuk kanë kryer kurse speciale. Kompania dëshiron të analizojë ankesat e klientëve gjatë gjashtë muajve të fundit dhe të krahasojë numrin mesatar të ankesave për secilin nga dy grupet e punonjësve. Supozohet se numrat në mostrat për të dy grupet do të jenë të njëjta. Sa punonjës duhet të përfshihen në kampion për të marrë një interval 95% me një gjatësi gjysmë jo më shumë se 2?

Zgjidhje

Këtu σ ots është një vlerësim i devijimit standard të të dy variablave të rastësishëm nën supozimin se ato janë afër. Kështu, në problemin tonë ne duhet të marrim disi këtë vlerësim. Kjo mund të bëhet, për shembull, si më poshtë. Duke parë të dhënat për ankesat e klientëve gjatë gjashtë muajve të fundit, një menaxher mund të vërejë se çdo punonjës përgjithësisht merr nga 6 deri në 36 ankesa. Duke ditur se për një shpërndarje normale pothuajse të gjitha vlerat janë jo më shumë se tre devijime standarde larg mesatares, ai mund të besojë në mënyrë të arsyeshme se:

, nga ku σ ots = 5.

Duke zëvendësuar këtë vlerë në formulë, marrim .

Formula për përcaktimin madhësia e rastësishme e kampionit në rast të vlerësimit të diferencës ndërmjet proporcioneve ka formën:

Shembull

Disa kompani ka dy fabrika që prodhojnë produkte të ngjashme. Një menaxher kompanie dëshiron të krahasojë përqindjen e produkteve me defekt në të dyja fabrikat. Sipas informacioneve të disponueshme, shkalla e defektit në të dyja fabrikat varion nga 3 në 5%. Ai synon të ndërtojë një interval besimi 99% me një gjatësi gjysmë jo më shumë se 0,005 (ose 0,5%). Sa produkte duhet të zgjidhen nga çdo fabrikë?

Zgjidhje

Këtu p 1ots dhe p 2ots janë vlerësime të dy pjesëve të panjohura të defekteve në fabrikën 1 dhe 2. Nëse vendosim p 1ots = p 2ots = 0,5, atëherë marrim një vlerë të mbivlerësuar për n. Por duke qenë se në rastin tonë kemi disa informacione apriori për këto aksione, marrim vlerësimin e sipërm të këtyre aksioneve, përkatësisht 0.05. marrim

Kur vlerësohen disa parametra të popullsisë nga të dhënat e mostrës, është e dobishme të jepet jo vetëm një vlerësim pikësor i parametrit, por edhe të sigurohet një interval besimi që tregon se ku mund të qëndrojë vlera e saktë e parametrit që vlerësohet.

Në këtë kapitull u njohëm edhe me marrëdhëniet sasiore që na lejojnë të ndërtojmë intervale të tilla për parametra të ndryshëm; mësuan mënyra për të kontrolluar gjatësinë e intervalit të besimit.

Vini re gjithashtu se problemi i vlerësimit të madhësive të mostrës (problemi i planifikimit të një eksperimenti) mund të zgjidhet duke përdorur mjete standarde StatPro, përkatësisht StatPro/Përfundimi statistikor/Përzgjedhja e madhësisë së mostrës.

Në nënseksionet e mëparshme kemi shqyrtuar çështjen e vlerësimit të një parametri të panjohur A një numër. Ky quhet një vlerësim "pikë". Në një numër detyrash, jo vetëm që duhet të gjeni për parametrin A vlerë numerike të përshtatshme, por edhe për të vlerësuar saktësinë dhe besueshmërinë e saj. Ju duhet të dini se në çfarë gabimesh mund të çojë zëvendësimi i një parametri A vlerësimi pikësor i tij A dhe me çfarë shkalle besimi mund të presim që këto gabime të mos i kalojnë kufijtë e njohur?

Problemet e këtij lloji janë veçanërisht të rëndësishme me një numër të vogël vëzhgimesh, kur vlerësohet pikë dhe nëështë kryesisht i rastësishëm dhe zëvendësimi i përafërt i a me a mund të çojë në gabime serioze.

Për të dhënë një ide mbi saktësinë dhe besueshmërinë e vlerësimit A,

Në statistikat matematikore përdoren të ashtuquajturat intervale besimi dhe probabilitete besimi.

Le për parametrin A vlerësim i paanshëm i marrë nga përvoja A. Ne duam të vlerësojmë gabimin e mundshëm në këtë rast. Le të caktojmë një probabilitet mjaft të madh p (për shembull, p = 0,9, 0,95 ose 0,99) të tillë që një ngjarje me probabilitet p të mund të konsiderohet praktikisht e besueshme dhe të gjejmë një vlerë s për të cilën

Pastaj diapazoni i vlerave praktikisht të mundshme të gabimit që lind gjatë zëvendësimit A në A, do të jetë ± s; Gabimet e mëdha në vlerë absolute do të shfaqen vetëm me një probabilitet të ulët a = 1 - p. Le ta rishkruajmë (14.3.1) si:

Barazia (14.3.2) do të thotë se me probabilitet p vlera e panjohur e parametrit A bie brenda intervalit

Është e nevojshme të theksohet një rrethanë. Më parë, ne kemi konsideruar në mënyrë të përsëritur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në një interval të caktuar jo të rastësishëm. Këtu situata është ndryshe: madhësia A nuk është i rastësishëm, por intervali / p është i rastësishëm. Pozicioni i tij në boshtin x është i rastësishëm, i përcaktuar nga qendra e tij A; Në përgjithësi, gjatësia e intervalit 2s është gjithashtu e rastësishme, pasi vlera e s llogaritet, si rregull, nga të dhënat eksperimentale. Prandaj, në këtë rast, do të ishte më mirë të interpretohej vlera p jo si probabiliteti i "goditjes" së pikës. A në intervalin / p, dhe si probabiliteti që një interval i rastësishëm / p do të mbulojë pikën A(Fig. 14.3.1).

Oriz. 14.3.1

Probabiliteti p zakonisht quhet probabiliteti i besimit, dhe intervali / p - intervali i besimit. Kufijtë e intervalit Nëse. a x = a- s dhe a 2 = a + dhe quhen kufijtë e besimit.

Le t'i japim një interpretim tjetër konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave. A, të pajtueshme me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to. Në të vërtetë, nëse pranojmë të konsiderojmë një ngjarje me probabilitet a = 1-p praktikisht të pamundur, atëherë ato vlera të parametrit a për të cilat a - a> s duhet të njihen si të dhëna eksperimentale kontradiktore, dhe ato për të cilat |a - A a t na 2 .

Le për parametrin A ka një vlerësim të paanshëm A. Nëse do të dinim ligjin e shpërndarjes së sasisë A, detyra për të gjetur një interval besimi do të ishte shumë e thjeshtë: do të mjaftonte të gjesh një vlerë s për të cilën

Vështirësia është se ligji i shpërndarjes së vlerësimeve A varet nga ligji i shpërndarjes së sasisë X dhe, rrjedhimisht, në parametrat e tij të panjohur (në veçanti, në vetë parametrin A).

Për të kapërcyer këtë vështirësi, mund të përdorni teknikën e mëposhtme përafërsisht të përafërt: zëvendësoni parametrat e panjohur në shprehjen për s me vlerësimet e tyre të pikës. Me një numër relativisht të madh eksperimentesh n(rreth 20...30) kjo teknikë zakonisht jep rezultate të kënaqshme për sa i përket saktësisë.

Si shembull, merrni parasysh problemin e një intervali besimi për pritshmërinë matematikore.

Le të prodhohet n X, karakteristikat e të cilit janë pritshmëria matematikore T dhe variancë D- e panjohur. Për këto parametra janë marrë vlerësimet e mëposhtme:

Kërkohet të ndërtohet një interval besimi / p që korrespondon me probabilitetin e besimit p për pritshmërinë matematikore T sasive X.

Gjatë zgjidhjes së këtij problemi do të përdorim faktin se sasia T paraqet shumën n variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara identike Xh dhe sipas teoremës së kufirit qendror, për një mjaftueshëm të madh n ligji i shpërndarjes së tij është afër normales. Në praktikë, edhe me një numër relativisht të vogël termash (rreth 10...20), ligji i shpërndarjes së shumës mund të konsiderohet përafërsisht normal. Ne do të supozojmë se vlera T shpërndahet sipas ligjit normal. Karakteristikat e këtij ligji - pritshmëria matematikore dhe varianca - janë përkatësisht të barabarta T Dhe

(shih kapitullin 13 nënseksionin 13.3). Le të supozojmë se vlera D ne e dimë dhe do të gjejmë një vlerë Ep për të cilën

Duke përdorur formulën (6.3.5) të kapitullit 6, ne shprehim probabilitetin në anën e majtë të (14.3.5) përmes funksionit të shpërndarjes normale

ku është devijimi standard i vlerësimit T.

Nga barazimi.

gjeni vlerën e Sp:

ku arg Ф* (х) është funksioni i anasjelltë i Ф* (X), ato. një vlerë e tillë e argumentit për të cilin funksioni i shpërndarjes normale është i barabartë me X.

Dispersion D, përmes të cilit shprehet sasia A 1P, ne nuk e dimë saktësisht; si vlerë e përafërt e tij, mund të përdorni vlerësimin D(14.3.4) dhe vendosni përafërsisht:

Kështu, problemi i ndërtimit të një intervali besimi është zgjidhur afërsisht, i cili është i barabartë me:

ku gp përcaktohet me formulën (14.3.7).

Për të shmangur interpolimin e kundërt në tabelat e funksionit Ф* (l) kur llogaritet s p, është e përshtatshme të përpilohet një tabelë e veçantë (Tabela 14.3.1), e cila jep vlerat e sasisë

në varësi të r. Vlera (p përcakton për ligjin normal numrin e devijimeve standarde që duhet të vizatohen djathtas dhe majtas nga qendra e shpërndarjes në mënyrë që probabiliteti për të hyrë në zonën që rezulton të jetë i barabartë me p.

Duke përdorur vlerën 7 p, intervali i besimit shprehet si:

Tabela 14.3.1

Shembulli 1. Mbi sasinë janë kryer 20 eksperimente X; rezultatet janë paraqitur në tabelë. 14.3.2.

Tabela 14.3.2

Kërkohet të gjendet një vlerësim nga për pritshmërinë matematikore të sasisë X dhe ndërtoni një interval besimi që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0.8.

Zgjidhje. Ne kemi:

Duke zgjedhur l: = 10 si pikë referimi, duke përdorur formulën e tretë (14.2.14) gjejmë vlerësimin e paanshëm D :

Sipas tabelës 14.3.1 gjejmë

Kufijtë e besimit:

Intervali i besimit:

Vlerat e parametrave T, që shtrihen në këtë interval janë në përputhje me të dhënat eksperimentale të dhëna në tabelë. 14.3.2.

Një interval besimi për variancën mund të ndërtohet në mënyrë të ngjashme.

Le të prodhohet n eksperimente të pavarura mbi një ndryshore të rastësishme X me parametra të panjohur si për A ashtu edhe për dispersion D u mor një vlerësim i paanshëm:

Kërkohet të ndërtohet afërsisht një interval besimi për variancën.

Nga formula (14.3.11) shihet qartë se sasia D përfaqëson

shuma n variablat e rastësishëm të formës . Këto vlera nuk janë

të pavarur, pasi ndonjëra prej tyre përfshin sasinë T, varur nga të gjithë të tjerët. Megjithatë, mund të tregohet se me rritjen n edhe ligji i shpërndarjes së shumës së tyre i afrohet normales. Pothuajse në n= 20...30 tashmë mund të konsiderohet normale.

Le të supozojmë se është kështu dhe le të gjejmë karakteristikat e këtij ligji: pritjet matematikore dhe dispersionin. Që nga vlerësimi D- atëherë i paanshëm M[D] = D.

Llogaritja e variancës D D shoqërohet me llogaritje relativisht komplekse, kështu që ne e paraqesim shprehjen e saj pa derivim:

ku q 4 është momenti i katërt qendror i madhësisë X.

Për të përdorur këtë shprehje, duhet të zëvendësoni vlerat \u003d 4 dhe D(të paktën të afërmit). Në vend të D ju mund të përdorni vlerësimin e tij D. Në parim, momenti i katërt qendror mund të zëvendësohet gjithashtu nga një vlerësim, për shembull, një vlerë e formës:

por një zëvendësim i tillë do të japë saktësi jashtëzakonisht të ulët, pasi në përgjithësi, me një numër të kufizuar eksperimentesh, momentet e rendit të lartë përcaktohen me gabime të mëdha. Mirëpo, në praktikë shpesh ndodh që lloji i ligjit të shpërndarjes së sasisë X i njohur paraprakisht: vetëm parametrat e tij janë të panjohur. Pastaj mund të përpiqeni të shprehni μ 4 deri D.

Le të marrim rastin më të zakonshëm, kur vlera X shpërndahet sipas ligjit normal. Pastaj momenti i katërt qendror i tij shprehet në terma të dispersionit (shih Kapitullin 6, nënseksionin 6.2);

dhe formula (14.3.12) jep ose

Zëvendësimi i të panjohurës në (14.3.14) D vlerësimin e tij D, marrim: nga ku

Momenti μ 4 mund të shprehet përmes D edhe në disa raste të tjera, kur shpërndarja e vlerës X nuk është normale, por dihet pamja e saj. Për shembull, për ligjin e densitetit uniform (shih Kapitullin 5) kemi:

ku (a, P) është intervali në të cilin specifikohet ligji.

Prandaj,

Duke përdorur formulën (14.3.12) marrim: ku gjejmë përafërsisht

Në rastet kur lloji i ligjit të shpërndarjes për sasinë 26 është i panjohur, kur bëhet një vlerësim i përafërt i vlerës a/, rekomandohet të përdoret formula (14.3.16), përveç nëse ka arsye të veçanta për të besuar se ky ligj është shumë i ndryshëm nga ai normal (ka një kurtozë të dukshme pozitive ose negative) .

Nëse vlera e përafërt a/) merret në një mënyrë ose në një tjetër, atëherë mund të ndërtojmë një interval besimi për variancën në të njëjtën mënyrë siç e ndërtuam atë për pritshmërinë matematikore:

ku sipas tabelës gjendet vlera në varësi të probabilitetit të dhënë p. 14.3.1.

Shembulli 2. Gjeni afërsisht 80% interval besimi për variancën e një ndryshoreje të rastësishme X në kushtet e shembullit 1, nëse dihet se vlera X shpërndahet sipas një ligji afër normales.

Zgjidhje. Vlera mbetet e njëjtë si në tabelë. 14.3.1:

Sipas formulës (14.3.16)

Duke përdorur formulën (14.3.18) gjejmë intervalin e besimit:

Gama përkatëse e vlerave të devijimit standard: (0.21; 0.29).

14.4. Metodat e sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit për parametrat e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndara sipas një ligji normal

Në nënseksionin e mëparshëm, ne shqyrtuam metoda afërsisht të përafërta për ndërtimin e intervaleve të besimit për pritjet dhe variancën matematikore. Këtu do të japim një ide të metodave të sakta për të zgjidhur të njëjtin problem. Theksojmë se për të gjetur me saktësi intervalet e besimit është absolutisht e nevojshme të dihet paraprakisht forma e ligjit të shpërndarjes së sasisë. X, kurse për aplikimin e metodave të përafërta kjo nuk është e nevojshme.

Ideja e metodave të sakta për ndërtimin e intervaleve të besimit zbret në vijim. Çdo interval besimi gjendet nga një kusht që shpreh probabilitetin e përmbushjes së disa pabarazive, të cilat përfshijnë vlerësimin për të cilin jemi të interesuar. A. Ligji i shpërndarjes së vlerësimit A në rastin e përgjithshëm varet nga parametra të panjohur të sasisë X. Megjithatë, ndonjëherë është e mundur të kalohet në pabarazi nga një ndryshore e rastësishme A te disa funksione të tjera të vlerave të vëzhguara X p X 2, ..., X f. ligji i shpërndarjes së të cilit nuk varet nga parametra të panjohur, por varet vetëm nga numri i eksperimenteve dhe nga lloji i ligjit të shpërndarjes së sasisë. X. Këto lloj variablash të rastësishëm luajnë një rol të rëndësishëm në statistikat matematikore; ato janë studiuar më hollësisht për rastin e shpërndarjes normale të sasisë X.

Për shembull, është vërtetuar se me një shpërndarje normale të vlerës X ndryshore e rastësishme

i bindet të ashtuquajturit Ligji i shpërndarjes së studentëve Me n- 1 shkallë lirie; dendësia e këtij ligji ka formën

ku G(x) është funksioni i njohur i gama:

Gjithashtu është vërtetuar se ndryshorja e rastit

ka një "shpërndarje %2" me n- 1 shkallë lirie (shih Kapitullin 7), dendësia e së cilës shprehet me formulën

Pa u ndalur në derivacionet e shpërndarjeve (14.4.2) dhe (14.4.4), ne do të tregojmë se si ato mund të zbatohen kur ndërtojmë intervale besimi për parametrat ty D.

Le të prodhohet n eksperimente të pavarura mbi një ndryshore të rastësishme X, të shpërndara normalisht me parametra të panjohur T&O. Për këto parametra janë marrë vlerësime

Kërkohet të ndërtohen intervale besimi për të dy parametrat që korrespondojnë me probabilitetin e besimit p.

Le të ndërtojmë së pari një interval besimi për pritshmërinë matematikore. Është e natyrshme që ky interval të merret simetrik në lidhje me T; le të shënojmë s p gjysmën e gjatësisë së intervalit. Vlera s p duhet të zgjidhet në mënyrë që kushti të plotësohet

Le të përpiqemi të lëvizim në anën e majtë të barazisë (14.4.5) nga ndryshorja e rastësishme T në një ndryshore të rastësishme T, shpërndahet sipas ligjit të Studentit. Për ta bërë këtë, shumëzoni të dyja anët e pabarazisë |m-w?|

me një vlerë pozitive: ose, duke përdorur shënimin (14.4.1),

Le të gjejmë një numër / p të tillë që vlera / p të mund të gjendet nga kushti

Nga formula (14.4.2) është e qartë se (1) është një funksion çift, prandaj (14.4.8) jep

Barazia (14.4.9) përcakton vlerën / p në varësi të p. Nëse keni në dispozicion një tabelë vlerash integrale

atëherë vlera e /p mund të gjendet me interpolim të kundërt në tabelë. Sidoqoftë, është më e përshtatshme të hartoni një tabelë të vlerave / p paraprakisht. Një tabelë e tillë është dhënë në Shtojcën (Tabela 5). Kjo tabelë tregon vlerat në varësi të nivelit të besimit p dhe numrit të shkallëve të lirisë n- 1. Duke përcaktuar / p nga tabela. 5 dhe duke supozuar

do të gjejmë gjysmën e gjerësisë së intervalit të besimit / p dhe vetë intervalin

Shembulli 1. Janë kryer 5 eksperimente të pavarura mbi një variabël të rastësishëm X, të shpërndara normalisht me parametra të panjohur T dhe o. Rezultatet e eksperimenteve janë dhënë në tabelë. 14.4.1.

Tabela 14.4.1

Gjeni vlerësimin T për pritshmërinë matematikore dhe ndërtoni një interval besimi 90% / p për të (d.m.th., intervali që korrespondon me probabilitetin e besimit p = 0,9).

Zgjidhje. Ne kemi:

Sipas tabelës 5 të aplikimit për p - 1 = 4 dhe p = 0,9 gjejmë ku

Intervali i besimit do të jetë

Shembulli 2. Për kushtet e shembullit 1 të nënseksionit 14.3, duke supozuar vlerën X të shpërndara normalisht, gjeni intervalin e saktë të besimit.

Zgjidhje. Sipas tabelës 5 të shtojcës gjejmë kur p - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; nga këtu

Duke krahasuar me zgjidhjen e shembullit 1 të nënseksionit 14.3 (e p = 0.072), jemi të bindur se mospërputhja është shumë e parëndësishme. Nëse e ruajmë saktësinë në shifrën e dytë dhjetore, atëherë intervalet e besimit të gjetura nga metodat e sakta dhe të përafërta përkojnë:

Le të kalojmë në ndërtimin e një intervali besimi për variancën. Merrni parasysh vlerësuesin e paanshëm të variancës

dhe shpreh ndryshoren e rastit D përmes madhësisë V(14.4.3), me shpërndarje x 2 (14.4.4):

Njohja e ligjit të shpërndarjes së sasisë V, mund të gjesh intervalin /(1) në të cilin bie me një probabilitet të caktuar p.

Ligji i shpërndarjes kn_x(v) magnituda I 7 ka formën e treguar në Fig. 14.4.1.

Oriz. 14.4.1

Shtrohet pyetja: si të zgjidhni intervalin / p? Nëse ligji i shpërndarjes së madhësisë V ishte simetrik (si ligji normal ose shpërndarja e Studentit), do të ishte e natyrshme të merrej intervali /p simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore. Në këtë rast ligji k p_x (v) asimetrike. Le të biem dakord të zgjedhim intervalin /p në mënyrë që probabiliteti i vlerës të jetë V përtej intervalit djathtas dhe majtas (zonat me hije në Fig. 14.4.1) ishin të njëjta dhe të barabarta

Për të ndërtuar një interval /p me këtë veti, ne përdorim tabelën. 4 aplikacione: përmban numra y) të tilla që

për vlerën V, që ka x 2 -shpërndarje me r shkallë lirie. Në rastin tonë r = n- 1. Le të rregullojmë r = n- 1 dhe gjeni në rreshtin përkatës të tabelës. 4 dy kuptime x 2 - njëra që i korrespondon probabilitetit tjetra - probabilitet Le t'i shënojmë këto

vlerat në 2 Dhe xl? Intervali ka y 2, me të majtën tuaj dhe y ~ fundi i djathtë.

Tani le të gjejmë nga intervali / p intervalin e dëshiruar të besimit /|, për shpërndarjen me kufijtë D, dhe D2, që mbulon pikën D me probabilitet p:

Le të ndërtojmë një interval / (, = (?> ь А) që mbulon pikën D nëse dhe vetëm nëse vlera V bie në intervalin /r. Le të tregojmë se intervali

plotëson këtë kusht. Në të vërtetë, pabarazitë janë ekuivalente me pabarazitë

dhe këto pabarazi plotësohen me probabilitetin p. Kështu, intervali i besimit për variancën është gjetur dhe është shprehur me formulën (14.4.13).

Shembulli 3. Gjeni intervalin e besimit për variancën sipas kushteve të shembullit 2 të nënseksionit 14.3, nëse dihet se vlera X shpërndahet normalisht.

Zgjidhje. ne kemi . Sipas tabelës 4 të shtojcës

gjejmë në r = n - 1 = 19

Duke përdorur formulën (14.4.13) gjejmë intervalin e besimit për variancën

Intervali përkatës për devijimin standard është (0.21; 0.32). Ky interval vetëm pak e tejkalon intervalin (0.21; 0.29) të marrë në shembullin 2 të nënseksionit 14.3 duke përdorur metodën e përafërt.

• Figura 14.3.1 konsideron një interval besimi simetrik rreth a. Në përgjithësi, siç do ta shohim më vonë, kjo nuk është e nevojshme.

Intervali i besimit

Intervali i besimit- një term i përdorur në statistikat matematikore për vlerësimin interval (në krahasim me pikën) të parametrave statistikorë, i cili preferohet kur madhësia e kampionit është e vogël. Një interval besimi është ai që mbulon një parametër të panjohur me një besueshmëri të caktuar.

Metoda e intervaleve të besimit u zhvillua nga statisticieni amerikan Jerzy Neumann, bazuar në idetë e statisticienit anglez Ronald Fisher.

Përkufizimi

Intervali i besimit të parametrit θ shpërndarja e ndryshoreve të rastësishme X me nivelin e besimit 100 p%, e krijuar nga kampioni ( x 1 ,…,x n), quhet një interval me kufij ( x 1 ,…,x n) dhe ( x 1 ,…,x n), të cilat janë realizime të ndryshoreve të rastësishme L(X 1 ,…,X n) dhe U(X 1 ,…,X n), e tillë që

Quhen pikat kufitare të intervalit të besimit kufijtë e besimit.

Një interpretim i bazuar në intuitë e intervalit të besimit do të ishte: nëse fqështë i madh (të themi 0,95 ose 0,99), atëherë intervali i besimit pothuajse me siguri përmban vlerën e vërtetë θ .

Një interpretim tjetër i konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave θ të pajtueshme me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to.

Shembuj

• Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një kampioni normal;
• Intervali i besimit për variancën normale të mostrës.

Intervali i besimit Bayesian

Në statistikat Bayesian, ekziston një përkufizim i ngjashëm, por i ndryshëm në disa detaje kyçe të një intervali besimi. Këtu, vetë parametri i vlerësuar konsiderohet një variabël i rastësishëm me një shpërndarje të mëparshme të dhënë (në rastin më të thjeshtë, uniforme), dhe kampioni është fiks (në statistikat klasike gjithçka është saktësisht e kundërta). Një interval besimi Bayesian është një interval që mbulon vlerën e një parametri me një probabilitet të pasëm:

Në përgjithësi, intervalet e besimit klasik dhe Bayesian janë të ndryshme. Në literaturën në gjuhën angleze, intervali i besimit Bayesian zakonisht quhet term interval i besueshëm, dhe ai klasik - intervali i besimit.

Shënime

Fondacioni Wikimedia.

• 2010.
• Fëmijë (film)

Kolonist

Intervali i besimit Shihni se çfarë është "Intervali i besimit" në fjalorë të tjerë: - një interval i llogaritur nga të dhënat e mostrës, i cili me një probabilitet (besueshmëri) të caktuar mbulon vlerën e panjohur të vërtetë të parametrit të vlerësuar të shpërndarjes. Burimi: GOST 20522 96: Tokat. Metodat për përpunimin statistikor të rezultateve...

intervali i besimit Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik - për një parametër skalar të popullsisë, ky është një segment që ka shumë të ngjarë të përmbajë këtë parametër. Kjo frazë është e pakuptimtë pa elaborim të mëtejshëm. Meqenëse kufijtë e intervalit të besimit vlerësohen nga kampioni, është e natyrshme që... ...

Fjalori i Statistikave Sociologjike INTERVALI I BESIMIT - një metodë e vlerësimit të parametrave që ndryshon nga vlerësimi në pikë. Le të mostrës x1, . . ., xn nga një shpërndarje me densitet probabiliteti f(x, α), dhe a*=a*(x1, . . . ., xn) vlerësimi i densitetit të probabilitetit α, g(a*, α). Ne jemi në kërkim të ... ...

Fjalori i Statistikave Sociologjike- (intervali i besimit) Një interval në të cilin besueshmëria e vlerës së parametrit për popullatën e marrë në bazë të një studimi të mostrës ka një shkallë të caktuar probabiliteti, për shembull 95%, që është për shkak të vetë kampionit. Gjerësia…… Fjalori ekonomik

intervali i besimit- – është intervali në të cilin është vendosur vlera e vërtetë e sasisë së përcaktuar me një probabilitet të caktuar besimi. Kimia e përgjithshme: tekst shkollor / A. V. Zholnin ... Termat kimike

Intervali i besimit CI- Intervali i besimit, intervali i të dhënave CI *, intervali i intervalit të besimit CI * i vlerës karakteristike, i llogaritur për k.l. parametri i shpërndarjes (për shembull, vlera mesatare e një karakteristike) në të gjithë kampionin dhe me një probabilitet të caktuar (për shembull, 95% për 95% ... Gjenetika. Fjalor Enciklopedik

Fjalori i Statistikave Sociologjike- një koncept që lind kur vlerësohet një parametër statistikor. shpërndarja sipas intervalit të vlerave. D. dhe. për parametrin q, që i korrespondon këtij koeficienti. besimi P, është i barabartë me një interval të tillë (q1, q2) që për çdo shpërndarje probabiliteti të pabarazisë... ... Enciklopedia fizike

intervali i besimit- - Temat e telekomunikacionit, konceptet bazë EN intervali i besimit ... Udhëzues teknik i përkthyesit

intervali i besimit- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. intervali i besimit vok. Vertrauensbereich, m rus.…… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

intervali i besimit- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. intervali i besimit rus. zona e besimit; intervali i besimit... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas