2. Përcaktimi i parametrave të panjohur të shpërndarjes.

Duke përdorur një histogram, mund të vizatojmë përafërsisht densitetin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Shfaqja e këtij grafiku shpesh na lejon të bëjmë një supozim në lidhje me shpërndarjen e densitetit të probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme. Shprehja e kësaj densiteti të shpërndarjes zakonisht përfshin disa parametra që duhet të përcaktohen nga të dhënat eksperimentale.
Le të ndalemi në rastin e veçantë kur densiteti i shpërndarjes varet nga dy parametra.
Pra le x 1, x 2, ..., x n- vlerat e vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme dhe le që dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të saj të varet nga dy parametra të panjohur A Dhe B, d.m.th. duket si. Një nga metodat për gjetjen e parametrave të panjohur A Dhe B konsiston në faktin se ato janë zgjedhur në atë mënyrë që pritshmëria matematikore dhe varianca e shpërndarjes teorike të përkojë me mesataren dhe variancën e mostrës:

(66)

(67)

Nga dy ekuacionet e marra () gjenden parametrat e panjohur A Dhe B. Kështu, për shembull, nëse një ndryshore e rastësishme i bindet ligjit normal të shpërndarjes së probabilitetit, atëherë densiteti i shpërndarjes së probabilitetit të tij

varet nga dy parametra a Dhe . Këta parametra, siç e dimë, janë, përkatësisht, pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme; prandaj barazitë () do të shkruhen si kjo:

(68)

Prandaj, dendësia e shpërndarjes së probabilitetit ka formën

Shënim 1. Ne e kemi zgjidhur tashmë këtë problem në. Rezultati i matjes është një ndryshore e rastësishme që i bindet ligjit të shpërndarjes normale me parametra a Dhe . Për vlerën e përafërt a ne zgjodhëm vlerën, dhe për vlerën e përafërt - vlerën.

Shënim 2. Në sasi të mëdha eksperimentet, gjetja e sasive dhe përdorimi i formulave () shoqërohet me llogaritje të rënda. Prandaj, ata bëjnë këtë: secila nga vlerat e vëzhguara të sasisë, që bien në i intervali i th ] X i-1 , X i [ seri statistikore, konsiderohet afërsisht e barabartë me mesin c i ky interval, d.m.th. c i =(X i-1 +X i)/2. Konsideroni intervalin e parë ] X 0 , X 1 [. E goditi atë m 1 vlerat e vëzhguara të ndryshores së rastësishme, secilën prej të cilave e zëvendësojmë me një numër nga 1. Prandaj, shuma e këtyre vlerave është afërsisht e barabartë me m 1 s 1. Në mënyrë të ngjashme, shuma e vlerave që bien në intervalin e dytë është afërsisht e barabartë me m 2 me 2 etj. Kjo është arsyeja pse

Në mënyrë të ngjashme marrim barazinë e përafërt

Pra, le ta tregojmë atë

(71)

Ekuacionet me parametra: metoda e zgjidhjes grafike

Klasat 8-9

Artikulli diskuton një metodë grafike për zgjidhjen e disa ekuacioneve me parametra, e cila është shumë efektive kur duhet të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion në varësi të parametrit. a.

Problemi 1. Sa rrënjë ka ekuacioni? | | x | – 2 | = a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | | x | – 2 | dhe y = a. Grafiku i funksionit y = | | x | – 2 | treguar në figurë.

Grafiku i funksionit y = a është një drejtëz paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (nëse a = 0).

Nga vizatimi shihet se:

Nëse a= 0, pastaj drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | | x | – 2 | dy pika të përbashkëta; Kjo do të thotë që ekuacioni origjinal ka dy rrënjë (në në këtë rast
mund të gjenden rrënjët: x 1,2 = d 2).< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Nëse 0 a Nëse
Nëse 0 a= 2, atëherë drejtëza y = 2 ka tre pika të përbashkëta me grafikun e funksionit. Atëherë ekuacioni origjinal ka tre rrënjë. a> 2, pastaj drejtëza y =

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. a < 0, то корней нет;
Nëse a = 0, a Nëse
Nëse a> 2, atëherë ka dy rrënjë;
= 2, pastaj tre rrënjë;< a < 2, то четыре корня.

nëse 0 Problemi 2. Sa rrënjë ka ekuacioni? a në varësi të parametrit a?

| x 2 – 2| x | – 3 | = a.

Zgjidhje. Në sistemin koordinativ (x; y) do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | x 2 – 2| x | – 3 | dhe y = a = 0).

Grafiku i funksionit y = | x 2 – 2| x | – 3 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y = a është një drejtëz paralele me Ox ose që përkon me të (kur

Nëse a= 0, pastaj drejtëza y = a Nga vizatimi mund të shihni: a përkon me boshtin Ox dhe ka grafikun e funksionit y = | x2 – 2| x | – 3 | dy pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y = a do të ketë me grafikun e funksionit y = | x 2 – 2| x | – 3 | dy pika të përbashkëta në a> 4. Pra, kur a= 0 dhe
mund të gjenden rrënjët: x 1,2 = d 2).< a < 3, то прямая y = a> 4 ekuacioni origjinal ka dy rrënjë. a ka me grafikun e funksionit y = | x 2 – 2| x | – 3 | a katër pika të përbashkëta, si dhe drejtëza y=< a < 3, a do të ketë katër pika të përbashkëta me grafikun e funksionit të ndërtuar në
Nëse 0 a= 4. Pra, në 0 a= 4 ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
= 3, pastaj drejtëza y =< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Nëse 0 a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. a < 0, то корней нет;
Nëse a = 0, a pret grafikun e një funksioni në pesë pika; prandaj, ekuacioni ka pesë rrënjë.
= 2, pastaj tre rrënjë;< a < 3, a Nëse 3
Nëse a> 4, atëherë ka dy rrënjë;
= 4, atëherë ka katër rrënjë;< a < 4, то шесть корней.

= 3, pastaj pesë rrënjë;

nëse 3 a?

Problemi 3. Sa rrënjë ka ekuacioni? në varësi të parametrit

Drejtëzat x = 1, y = 1 janë asimptota të grafikut të funksionit. Grafiku i funksionit y = | x | + a përftohet nga grafiku i funksionit y = | x | zhvendosja nga një njësi përgjatë boshtit Oy.

Grafikët e funksioneve kryqëzohen në një pikë në a> – 1; Kjo do të thotë që ekuacioni (1) për këto vlera parametrash ka një zgjidhje.

Në a = – 1, a= – 2 grafikë kryqëzohen në dy pika; Kjo do të thotë se për këto vlera parametrash, ekuacioni (1) ka dy rrënjë.
Në – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. a> – 1, pastaj një zgjidhje;
Nëse a = – 1, a= – 2, atëherë ka dy zgjidhje;
nëse - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Koment. Gjatë zgjidhjes së ekuacionit (1) të problemit 3, vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet rastit kur a= – 2, pasi pika (– 1; – 1) nuk i përket grafikut të funksionit por i përket grafikut të funksionit y = | x | + a.

Le të kalojmë në zgjidhjen e një problemi tjetër.

Problemi 4. Sa rrënjë ka ekuacioni?

x + 2 = a| x – 1 |

nëse 3 a?

(2) a Zgjidhje. Vini re se x = 1 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni, pasi barazia 3 = a· 0 nuk mund të jetë e vërtetë për asnjë vlerë parametri . Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me | x – 1 |(| x – 1 | nr. 0), atëherë ekuacioni (2) do të marrë formën

Në sistemin koordinativ xOy do të vizatojmë funksionin a Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në figurë. Grafiku i funksionit y = a = 0).

do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë. aështë një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (nëse
Ј – 1, atëherë nuk ka rrënjë;< a nëse - 1
Nëse aЈ 1, pastaj një rrënjë;

> 1, atëherë ka dy rrënjë.

Le të shqyrtojmë ekuacionin më kompleks. a Problemi 5. Në cilat vlera të parametrit

a ekuacioni

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

ka tre zgjidhje? a Zgjidhje. 1. Vlera e kontrollit të parametrit për këtë ekuacion do të jetë numri a= 0, në të cilin ekuacioni (3) merr formën 0 + | x – 1 | = 0, prej nga x = 1. Prandaj, kur

= 0, ekuacioni (3) ka një rrënjë, e cila nuk i plotëson kushtet e problemit. a № 0.

2. Shqyrtoni rastin kur a Le të rishkruajmë ekuacionin (3) në formën e mëposhtme: a < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Vini re se ekuacioni do të ketë zgjidhje vetëm kur a Në sistemin koordinativ xOy do të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = | x – 1 | dhe y = a x 2 . Grafiku i funksionit y = | x – 1 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y = a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë, pasi a Ekuacioni (3) do të ketë tre zgjidhje vetëm kur drejtëza y = – x + 1 është tangjente me grafikun e funksionit y=

x 2 . a Le të jetë x 0 abshisa e pikës së tangjences së drejtëzës y = – x + 1 me parabolën y =

x 2 . Ekuacioni tangjent ka formën

y = y(x 0) + y "(x 0) (x – x 0).

Le të shkruajmë kushtet e tangjes:

Ky ekuacion mund të zgjidhet pa përdorur konceptin e derivatit. a Le të shqyrtojmë një metodë tjetër. Le të përdorim faktin që nëse drejtëza y = kx + b ka një pikë të vetme të përbashkët me parabolën y = a x 2 + px + q = kx + b duhet të ketë një zgjidhje unike, domethënë, diskriminuesi i saj është zero. Në rastin tonë kemi ekuacionin a x 2 = - x + 1 ( a nr. 0). Ekuacioni diskriminues

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

6. Sa rrënjë ka ekuacioni në varësi të parametrit a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) nëse a<0, то корней нет; если a=0, a>3, pastaj dy rrënjë; Nëse a=3, pastaj tre rrënjë; nëse 0<a<3, то четыре корня;
2) nëse a<1, то корней нет; если a=1, atëherë ekziston një grup i pafund zgjidhjesh nga intervali [– 2; a– 1]; Nëse
> 1, atëherë ka dy zgjidhje; a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a 3) nëse a=1, pastaj gjashtë rrënjë; Nëse a=3, atëherë ka tre zgjidhje; Nëse
>3, atëherë ka dy zgjidhje; a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a 4) nëse a=4, pastaj gjashtë rrënjë; Nëse a=5, pastaj tre rrënjë; Nëse

>5, atëherë ka dy rrënjë. a 7. Sa rrënjë ka ekuacioni | x + 1 | = a?

(x – 1) në varësi të parametrit .

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Përgjigje: nëse a > 1, a J-1,<a<0, то два корня; если 0<a=0, pastaj një rrënjë; nëse - 1

Ј 1, atëherë nuk ka rrënjë. a 8. Sa rrënjë ka barazimi x + 1 = a?

| x – 1 |në varësi të parametrit

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Vizatoni një grafik (shih figurën).<aЈ –1, atëherë nuk ka rrënjë; nëse - 1 aЈ 1, pastaj një rrënjë; Nëse

>1, atëherë ka dy rrënjë.

9. Sa rrënjë ka ekuacioni?

nëse 3 a?

2| x | – 1 = a (x – 1)

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Shënim. Zvogëloni ekuacionin për të formuar a>2, a J-2,<a<1, то два корня; если 1<a=1, pastaj një rrënjë; nëse -2

Ј 2, atëherë nuk ka rrënjë.

nëse 3 a?

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë aЈ 0, a 10. Sa rrënjë ka ekuacioni?<a<2, то два корня.

i 2, pastaj një rrënjë; nëse 0 a Problemi 5. Në cilat vlera të parametrit

11. Në cilat vlera të parametrit a x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 a Shënim. Zvogëloni ekuacionin në formën x 2 = -

| x – 2 |. a Përgjigje: kur

J – 8. a Problemi 5. Në cilat vlera të parametrit

a 12. Në cilat vlera të parametrit

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 a Shënim. Përdorni problemin 5. Ky ekuacion ka tre zgjidhje vetëm nëse ekuacioni a x 2 + x + 1 = 0 ka një zgjidhje, dhe rasti

= 0 nuk i plotëson kushtet e problemit, domethënë, rasti mbetet kur

13. Sa rrënjë ka ekuacioni? a

nëse 3 a?

x | x – 2 | = 1 - Shënim. Zvogëloni ekuacionin në formën –x |x – 2| + 1 =

nëse 3 a?

a

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a<0, a Shënim. Ndërtoni grafikët e anës së majtë dhe të djathtë të këtij ekuacioni. a>2, atëherë ka dy rrënjë; nëse 0J

Ј 2, pastaj një rrënjë.

nëse 3 a?

16. Sa rrënjë ka ekuacioni? Shënim. Ndërtoni grafikët e anës së majtë dhe të djathtë të këtij ekuacioni. Për të grafikuar një funksion

Shënim. Meqenëse x = 1 nuk është një rrënjë e ekuacionit, ky ekuacion mund të reduktohet në formë a Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante të shprehjeve x + 2 dhe x: a>– 1, pastaj një zgjidhje; Nëse<a<–1, то четыре решения; если a= – 1, atëherë ka dy zgjidhje; nëse - 3