Pjesë përbërëse e Provimit të Unifikuar të Shtetit janë ekuacionet trigonometrike.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë metodë të përgjithshme të unifikuar që mund të ndiqet për të zgjidhur çdo ekuacion që përfshin funksione trigonometrike. Suksesi këtu mund të sigurohet vetëm nga njohja e mirë e formulave dhe aftësia për të parë disa kombinime të dobishme, të cilat mund të zhvillohen vetëm përmes praktikës.

Qëllimi i përgjithshëm është zakonisht të transformohet shprehja trigonometrike e përfshirë në ekuacion në mënyrë që rrënjët të mund të gjenden nga të ashtuquajturat ekuacione më të thjeshta:

Për ta bërë këtë, duhet të jeni në gjendje të përdorni formula trigonometrike. Është e dobishme t'i njihni dhe t'i quani ato me "emra":

1. Formulat për argument të dyfishtë, argument të trefishtë:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

mëkat 3x = 3 mëkat x – 4 mëkat 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

2. Formulat për gjysmëargument ose reduktim të shkallës:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

ahur 2 x = (1 + cos x)/(1 - cos x);

3. Prezantimi i një argumenti ndihmës:

Le të shqyrtojmë shembullin e ekuacionit a sin x + b cos x = c, domethënë, duke përcaktuar këndin x nga kushtet sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), mund ta reduktojmë ekuacionin në shqyrtim në mëkatin më të thjeshtë (x + y) = c/v(a 2 + b 2) zgjidhjet e të cilit mund të shkruhen pa vështirësi; duke përcaktuar kështu zgjidhjet e ekuacionit origjinal.

4. Formulat e mbledhjes dhe zbritjes:

sin (a + b) = mëkat a cos b + cos një mëkat b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – mëkat a mëkat b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Zëvendësimi trigonometrik universal:

sin a = 2 tan (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));

cos a = (1 – tan 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Disa raporte të rëndësishme:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Formulat për shndërrimin e shumës së funksioneve trigonometrike në produkt:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tan a + tan b = mëkat (a + b)/(cos a cos b);

tan a – tan b = mëkat (a – b)/(cos a cos b).

Dhe gjithashtu formulat e reduktimit.

Gjatë procesit të zgjidhjes, duhet të monitorohet veçanërisht me kujdes ekuivalenca e ekuacioneve për të parandaluar humbjen e rrënjëve (për shembull, kur zvogëloni anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me një faktor të përbashkët), ose përvetësimi i rrënjëve shtesë ( për shembull, kur kuadroni të dyja anët e ekuacionit). Përveç kësaj, është e nevojshme të kontrollohet nëse rrënjët marrëse i përkasin ODZ të ekuacionit në shqyrtim.

Në të gjitha rastet e nevojshme (d.m.th. kur janë lejuar transformime të pabarabarta), është e nevojshme të kontrollohet. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, është e nevojshme t'i mësoni studentët t'i reduktojnë ato në disa lloje, zakonisht duke filluar me ekuacione të lehta.

Le të njihemi me metodat për zgjidhjen e ekuacioneve:

1. Reduktimi në formën ax 2 + bx + c = 0

2. Homogjeniteti i ekuacioneve.

3. Faktorizimi.

4. Reduktimi në formën a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Zëvendësimi i variablave.

6. Reduktimi i ekuacionit në një ekuacion me një ndryshore.

7. Vlerësimi i pjesës së majtë dhe të djathtë.

8. Metoda e vështrimit.

9. Paraqitja e një këndi ndihmës.

10. Metoda “Përça dhe sundo”.

Le të shohim shembuj:

1. Zgjidhe ekuacionin: sin x + cos 2 x = 1/4.

Zgjidhje: Zgjidheni duke reduktuar në një ekuacion kuadratik. Le të shprehim cos 2 x përmes sin 2 x

sin x + 1 – mëkat 2 x = 1/4

4 mëkat 2 x – 4 mëkat x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2 (nuk e plotëson kushtin x€[-1;1]),

ato. x = (-1) k+1 hark 1/2 + k, k€z,

Përgjigju: (-1) k+1 /6 + k, k€z.

2. Zgjidheni ekuacionin: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

zgjidhet me metodën e faktorizimit

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0, ku x /2 + k, k€z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 ose tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

dmth x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.

Përgjigju: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Zgjidhe ekuacionin: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Zgjidhje: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ekuacion homogjen i shkallës 2. Meqenëse cos x = 0 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni, ne ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me cos 2 x. Si rezultat, arrijmë në një ekuacion kuadratik për tan x

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

tg x = 1 dhe tg x = 2,

prej nga x = /4 + m, m€z,

x = arctan 2 + k, k€z.

Përgjigju: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.

4. Zgjidhe ekuacionin: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Zgjidhje: Metoda për prezantimin e një ndryshoreje të re

Le të jetë 5x + 6 = y, pastaj cos 2y + 4 2 mëkat y = 4

1 – 2 mëkat 2 y + 4 2 sin y – 4 = 0

sin y = t, ku t€[-1;1]

2t 2 – 4 2t + 3 = 0

t = 2/2 dhe t = 3 2/2 (nuk e plotëson kushtin t€[-1;1])

mëkat (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,

x = (-1) k /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Përgjigju: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Zgjidhe ekuacionin: (sin x – cos y) 2 + 40x 2 = 0

Zgjidhje: Ne përdorim a 2 + b 2 + c 2 = 0, e vërtetë nëse a = 0, b = 0, c = 0. Barazia është e mundur nëse sin x – cos y = 0, dhe 40x = 0 nga këtu:

x = 0, dhe sin 0 – cos y = 0, pra, x = 0, dhe cos y = 0, pra: x = 0, dhe y = /2 + k, k€z, është gjithashtu e mundur të shkruhet ( 0; / 2 + k) k€z.

Përgjigju: (0; /2 + k) k€z.

6. Zgjidhe ekuacionin: sin 2 x + cos 4 x – 2 sin x + 1 = 0

Zgjidhje: Rirregulloni ekuacionin dhe zbatoni metodën përçaj dhe sundo

(sin 2 x – 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;

(sin x – 1) 2 + cos 4 x = 0; kjo është e mundur nëse

(sin x – 1) 2 = 0, dhe cos 4 x = 0, pra:

sin x – 1 = 0, dhe cos x = 0,

sin x = 1, dhe cos x = 0, pra

x = /2 + k, k€z

Përgjigju: /2 + k, k€z.

7. Zgjidhe ekuacionin: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.

Zgjidhja: Zbatojmë metodën e vlerësimit të anës së majtë dhe të djathtë dhe kufirit të funksioneve cos dhe sin.

– 1 mëkat 5x 1 dhe -1 mëkat x 1

0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2

2 2 + cos 2 x 3

sin 5x + sin x 2 dhe 2 + cos 2 x 2

2 mëkat 5x + mëkat x 2, d.m.th.

mëkat 5x + mëkat x 2,

ne kemi anën e majtë është 2, dhe ana e djathtë është 2,

barazia është e mundur nëse të dyja janë të barabarta me 2.

cos 2 x = 0, dhe sin 5x + sin x = 2, pra

x = /2 + k, k€z (sigurohuni që të kontrolloni).

Përgjigju: /2 + k, k€z.

8. Zgjidheni ekuacionin: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Zgjidhje: Zgjidh duke përdorur metodën e faktorizimit. I grupojmë termat në anën e majtë në çifte.

(Në këtë rast, çdo metodë e grupimit të çon te qëllimi.) Përdorim formulën cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos x/2 + 2 cos 7/2х cos x/2 = 0,

cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,

2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,

Shfaqen tre raste:

Përgjigju: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

Le të theksojmë se rasti i dytë përfshin të parën. (Nëse në rastin e dytë marrim k = 4 + 5, marrim + 2n). Prandaj, është e pamundur të thuhet se cila është më e saktë, por në çdo rast përgjigja do të duket “më e kulturuar dhe e bukur”: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Përsëri, një situatë tipike që çon në forma të ndryshme të regjistrimit të përgjigjes). Përgjigja e parë është gjithashtu e saktë.

Ekuacioni i konsideruar ilustron një skemë shumë tipike zgjidhjeje - faktorizimin e ekuacionit përmes grupimit në çift dhe përdorimit të formulave:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Problemi i zgjedhjes së rrënjëve, shoshitjes së rrënjëve të panevojshme gjatë zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike është shumë specifik dhe zakonisht rezulton të jetë më kompleks se sa ishte për ekuacionet algjebrike. Le të paraqesim zgjidhje për ekuacionet që ilustrojnë rastet tipike të shfaqjes së rrënjëve shtesë (të jashtme) dhe metodat e "luftimit" të tyre.

Rrënjët shtesë mund të shfaqen për faktin se gjatë procesit të zgjidhjes u zgjerua fusha e përcaktimit të ekuacioneve. Le të japim shembuj.

9. Zgjidhe ekuacionin: (sin 4x – sin 2x – cos 3x + 2sin x -1)/(2sin 2x – 3) = 0.

Zgjidhja: Le të barazojmë numëruesin me zero (në këtë rast, domeni i përkufizimit të ekuacionit zgjerohet - shtohen vlerat x, duke e kthyer emëruesin në zero) dhe të përpiqemi ta faktorizojmë atë. Ne kemi:

2 cos 3x sin x – cos 3x + 2sin x – 1 = 0,

(cos 3x + 1) (2 mëkat x – 1) = 0.

Marrim dy ekuacione:

cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.

Le të shohim se cila k na përshtatet. Para së gjithash, vërejmë se ana e majtë e ekuacionit tonë është një funksion periodik me periudhë 2. Prandaj, mjafton të gjejmë një zgjidhje për ekuacionin që plotëson kushtin 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

Pabarazi 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

E para nuk është e përshtatshme, pasi mëkati 2/3 = 3/2, emëruesi shkon në zero.

Përgjigja për rastin e parë: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (mund të x 2 = – /3 + 2k), k€z.

Le të gjejmë një zgjidhje për këtë ekuacion që plotëson kushtin 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

Përgjigju: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

10. Gjeni rrënjët e ekuacioneve: v(cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.

Zgjidhja e këtij ekuacioni ndahet në dy faza:

1) zgjidhja e një ekuacioni të përftuar nga një ekuacion i caktuar duke kuadruar të dyja pjesët e tij;

2) përzgjedhja e atyre rrënjëve që plotësojnë kushtin cos x 0. Në këtë rast (si në rastin e ekuacioneve algjebrike) nuk ka nevojë të shqetësoheni për kushtin cos 2x + sin 3x 0. Të gjitha vlerat e k që plotësojnë ekuacionin në katror e plotësojnë këtë kusht.

Hapi i parë na çon te ekuacioni sin 3x = 1, nga i cili x 1 = /6 + 2/3k.

Tani duhet të përcaktojmë se në çfarë k cos (/6 + 2/3k) do të ndodhë 0 Për ta bërë këtë, mjafton të marrim parasysh vlerat 0, 1, 2 për k, d.m.th. si zakonisht, "shkoni rreth rrethit një herë", pasi më tej vlerat e kosinusit do të ndryshojnë nga ato të konsideruara tashmë nga një shumëfish i 2.

Përgjigju: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

11. Zgjidhe ekuacionin: sin 8 x – cos 5 x = 1.

Zgjidhja e këtij ekuacioni bazohet në konsideratën e mëposhtme të thjeshtë: nëse 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.

Kjo do të thotë mëkat 8 x sin 2 x, – cos 5 x cos 2 x;

Duke i shtuar këto pabarazi term pas termi, kemi:

sin 8 x – cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1.

Prandaj, ana e majtë e këtij ekuacioni është e barabartë me një nëse dhe vetëm nëse plotësohen dy barazi:

sin 8 x = mëkat 2 x, cos 5 x = cos 2 x,

ato. sin x mund të marrë vlerat -1, 0

Përgjigju: /2 + k, + 2k, k€z.

Për të plotësuar figurën, merrni parasysh një shembull tjetër.

12. Zgjidheni ekuacionin: 4 cos 2 x – 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.

Zgjidhje: Ne do ta konsiderojmë anën e majtë të këtij ekuacioni si një trinom kuadratik në lidhje me cos x.

Le të jetë D diskriminuesi i këtij trinomi:

1/4 D = 4 (cos 4 3x – cos 2 3x).

Nga pabarazia D 0 pason cos 2 3x 0 ose cos 2 3x 1.

Kjo do të thotë se lindin dy mundësi: cos 3x = 0 dhe cos 3x = ± 1.

Nëse cos 3x = 0, atëherë nga ekuacioni del se cos x = 0, prej nga x = /2 + k.

Këto vlera të x-it plotësojnë ekuacionin.

Nëse cos 3x = 1, atëherë nga ekuacioni cos x = 1/2 gjejmë x = ± /3 + 2k. Këto vlera gjithashtu plotësojnë ekuacionin.

Përgjigju: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Zgjidhe ekuacionin: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Zgjidhje: Transformoni shprehjen sin 4 x + cos 4 x, duke theksuar katrorin e përsosur: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x – 2 sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sin 2 x cos 2 x, prej nga sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2x. Duke përdorur formulën që rezulton, ne shkruajmë ekuacionin në formë

1-1/2 mëkat 2 2x = 7/4 mëkat 2x.

duke treguar mëkat 2x = t, -1 t 1,

marrim ekuacionin kuadratik 2t 2 + 7t – 4 = 0,

duke e zgjidhur atë, gjejmë t 1 = 1/2, t 2 = – 4

ekuacioni sin 2x = 1/2

2x = (- 1) k /6 + k, k€z, x = (- 1) k //12 + k /2, k€z.

Një nga fushat e matematikës me të cilën studentët luftojnë më shumë është trigonometria. Nuk është për t'u habitur: për të zotëruar lirshëm këtë fushë të njohurive, ju nevojitet të menduarit hapësinor, aftësia për të gjetur sinus, kosinus, tangjente, kotangjente duke përdorur formula, për të thjeshtuar shprehjet dhe për të qenë në gjendje të përdorni numrin pi në llogaritjet. Përveç kësaj, ju duhet të jeni në gjendje të përdorni trigonometrinë kur provoni teorema, dhe kjo kërkon ose një memorie të zhvilluar matematikore ose aftësi për të nxjerrë zinxhirë logjikë kompleksë.

Origjina e trigonometrisë

Njohja me këtë shkencë duhet të fillojë me përkufizimin e sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi, por së pari duhet të kuptoni se çfarë bën trigonometria në përgjithësi.

Historikisht, objekti kryesor i studimit në këtë degë të shkencës matematikore ishin trekëndëshat kënddrejtë. Prania e një këndi prej 90 gradë bën të mundur kryerjen e operacioneve të ndryshme që lejojnë përcaktimin e vlerave të të gjithë parametrave të figurës në fjalë duke përdorur dy anë dhe një kënd ose dy kënde dhe një anë. Në të kaluarën, njerëzit e vunë re këtë model dhe filluan ta përdorin atë në mënyrë aktive në ndërtimin e ndërtesave, navigimin, astronominë dhe madje edhe në art.

Faza fillestare

Fillimisht, njerëzit folën për marrëdhëniet midis këndeve dhe brinjëve duke përdorur vetëm shembullin e trekëndëshave kënddrejtë. Më pas u zbuluan formula të veçanta që bënë të mundur zgjerimin e kufijve të përdorimit në jetën e përditshme të kësaj dege të matematikës.

Studimi i trigonometrisë në shkollë sot fillon me trekëndëshat kënddrejtë, pas së cilës nxënësit përdorin njohuritë e marra në fizikë dhe zgjidhjen e ekuacioneve abstrakte trigonometrike, të cilat fillojnë në shkollën e mesme.

Trigonometria sferike

Më vonë, kur shkenca arriti nivelin tjetër të zhvillimit, formulat me sinus, kosinus, tangjente, kotangjente filluan të përdoren në gjeometrinë sferike, ku zbatohen rregulla të ndryshme dhe shuma e këndeve në një trekëndësh është gjithmonë më shumë se 180 gradë. Ky seksion nuk studiohet në shkollë, por është e nevojshme të dihet për ekzistencën e tij, të paktën sepse sipërfaqja e tokës dhe sipërfaqja e çdo planeti tjetër është konveks, që do të thotë se çdo shenjë sipërfaqësore do të jetë "në formë harku". hapësirë ​​tredimensionale.

Merrni globin dhe fillin. Lidheni fillin në çdo dy pika të globit në mënyrë që të jetë e tendosur. Ju lutemi vini re - ka marrë formën e një harku. Gjeometria sferike merret me forma të tilla, e cila përdoret në gjeodezi, astronomi dhe fusha të tjera teorike dhe aplikative.

Trekëndësh kënddrejtë

Pasi mësuam pak për mënyrat e përdorimit të trigonometrisë, le të kthehemi në trigonometrinë bazë për të kuptuar më tej se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja, cilat llogaritje mund të kryhen me ndihmën e tyre dhe cilat formula të përdoren.

Hapi i parë është të kuptoni konceptet që lidhen me një trekëndësh kënddrejtë. Së pari, hipotenuza është ana përballë këndit 90 gradë. Është më i gjati. Kujtojmë se sipas teoremës së Pitagorës, vlera e saj numerike është e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të dy anëve të tjera.

Për shembull, nëse të dy anët janë përkatësisht 3 dhe 4 centimetra, gjatësia e hipotenuzës do të jetë 5 centimetra. Nga rruga, egjiptianët e lashtë e dinin për këtë rreth katër mijë e gjysmë vjet më parë.

Dy anët e mbetura, të cilat formojnë një kënd të drejtë, quhen këmbë. Përveç kësaj, duhet të kujtojmë se shuma e këndeve në një trekëndësh në një sistem koordinativ drejtkëndor është e barabartë me 180 gradë.

Përkufizimi

Së fundi, me një kuptim të fortë të bazës gjeometrike, mund t'i drejtohemi përkufizimit të sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi.

Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (d.m.th., anës përballë këndit të dëshiruar) me hipotenuzën. Kosinusi i një këndi është raporti i anës ngjitur me hipotenuzën.

Mos harroni se as sinusi dhe as kosinusi nuk mund të jenë më të mëdhenj se një! Pse? Për shkak se hipotenuza është më e gjata pa marrë parasysh sa e gjatë është këmba, ajo do të jetë më e shkurtër se hipotenuza, që do të thotë se raporti i tyre do të jetë gjithmonë më i vogël se një. Kështu, nëse në përgjigjen tuaj për një problem ju merrni një sinus ose kosinus me një vlerë më të madhe se 1, kërkoni një gabim në llogaritjet ose arsyetimin. Kjo përgjigje është qartësisht e pasaktë.

Së fundi, tangjentja e një këndi është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur. Pjesëtimi i sinusit me kosinusin do të japë të njëjtin rezultat. Shikoni: sipas formulës, gjatësinë e anës e ndajmë me hipotenuzën, pastaj pjesëtojmë me gjatësinë e anës së dytë dhe shumëzojmë me hipotenuzën. Kështu, marrim të njëjtën marrëdhënie si në përkufizimin e tangjentes.

Kotangjenti, në përputhje me rrethanat, është raporti i anës ngjitur me këndin me anën e kundërt. Ne marrim të njëjtin rezultat duke e pjesëtuar një me tangjenten.

Pra, ne kemi parë përkufizimet se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja dhe mund të kalojmë te formula.

Formulat më të thjeshta

Në trigonometri nuk mund të bëni pa formula - si të gjeni sinusin, kosinusin, tangjentën, kotangjentën pa to? Por kjo është pikërisht ajo që kërkohet kur zgjidhen problemet.

Formula e parë që duhet të dini kur filloni të studioni trigonometrinë thotë se shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është e barabartë me një. Kjo formulë është një pasojë e drejtpërdrejtë e teoremës së Pitagorës, por kursen kohë nëse duhet të dini madhësinë e këndit dhe jo anën.

Shumë studentë nuk mund ta mbajnë mend formulën e dytë, e cila është gjithashtu shumë e njohur gjatë zgjidhjes së problemeve të shkollës: shuma e një dhe katrorit të tangjentes së një këndi është e barabartë me një të ndarë me katrorin e kosinusit të këndit. Hidhni një vështrim më të afërt: kjo është e njëjta deklaratë si në formulën e parë, vetëm të dy anët e identitetit ndaheshin me katrorin e kosinusit. Rezulton se një veprim i thjeshtë matematikor e bën formulën trigonometrike plotësisht të panjohur. Mbani mend: duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja, rregullat e transformimit dhe disa formula themelore, në çdo kohë mund të nxirrni formulat më komplekse të kërkuara në një fletë letre.

Formula për kënde të dyfishta dhe mbledhje argumentesh

Dy formula të tjera që duhet të mësoni lidhen me vlerat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe ndryshimin e këndeve. Ato janë paraqitur në figurën e mëposhtme. Ju lutemi vini re se në rastin e parë, sinusi dhe kosinusi shumëzohen të dyja herë, dhe në të dytën, shtohet prodhimi çift i sinusit dhe kosinusit.

Ekzistojnë gjithashtu formula që lidhen me argumentet me kënd të dyfishtë. Ato rrjedhin plotësisht nga ato të mëparshmet - si praktikë, përpiquni t'i merrni vetë duke marrë këndin alfa të barabartë me këndin beta.

Së fundi, vini re se formulat e këndit të dyfishtë mund të riorganizohen për të zvogëluar fuqinë e sinusit, kosinusit, alfa tangjente.

Teorema

Dy teoremat kryesore në trigonometrinë bazë janë teorema e sinusit dhe teorema e kosinusit. Me ndihmën e këtyre teoremave, mund të kuptoni lehtësisht se si të gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentën, dhe për këtë arsye sipërfaqen e figurës dhe madhësinë e secilës anë, etj.

Teorema e sinusit thotë se pjesëtimi i gjatësisë së secilës anë të një trekëndëshi me këndin e kundërt rezulton në të njëjtin numër. Për më tepër, ky numër do të jetë i barabartë me dy rreze të rrethit të rrethuar, domethënë rrethin që përmban të gjitha pikat e një trekëndëshi të caktuar.

Teorema e kosinusit përgjithëson teoremën e Pitagorës, duke e projektuar atë në çdo trekëndësh. Rezulton se nga shuma e katrorëve të dy anëve, zbritni produktin e tyre shumëzuar me kosinusin e dyfishtë të këndit ngjitur - vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e anës së tretë. Kështu, teorema e Pitagorës rezulton të jetë një rast i veçantë i teoremës së kosinusit.

Gabimet e pakujdesshme

Edhe duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi dhe tangjentja, është e lehtë të bësh një gabim për shkak të mungesës së mendjes ose një gabimi në llogaritjet më të thjeshta. Për të shmangur gabime të tilla, le të hedhim një vështrim në ato më të njohurat.

Së pari, nuk duhet t'i konvertoni thyesat në dhjetore derisa të merrni rezultatin përfundimtar - gjithashtu mund ta lini përgjigjen si thyesë, përveç nëse përcaktohet ndryshe në kushte. Një transformim i tillë nuk mund të quhet gabim, por duhet mbajtur mend se në çdo fazë të problemit mund të shfaqen rrënjë të reja, të cilat, sipas idesë së autorit, duhet të zvogëlohen. Në këtë rast, ju do të humbni kohën tuaj në operacione të panevojshme matematikore. Kjo është veçanërisht e vërtetë për vlera të tilla si rrënja e tre ose rrënja e dy, sepse ato gjenden në probleme në çdo hap. E njëjta gjë vlen edhe për rrumbullakimin e numrave "të shëmtuar".

Më tej, vini re se teorema e kosinusit zbatohet për çdo trekëndësh, por jo për teoremën e Pitagorës! Nëse gabimisht harroni të zbrisni dyfishin e produktit të anëve të shumëzuar me kosinusin e këndit midis tyre, jo vetëm që do të merrni një rezultat krejtësisht të gabuar, por gjithashtu do të demonstroni një mungesë të plotë të të kuptuarit të temës. Kjo është më e keqe se një gabim i pakujdesshëm.

Së treti, mos i ngatërroni vlerat për këndet 30 dhe 60 gradë për sinuset, kosinuset, tangjentet, kotangjentet. Mos harroni këto vlera, sepse sinusi 30 gradë është i barabartë me kosinusin 60 dhe anasjelltas. Është e lehtë t'i ngatërroni ato, si rezultat i së cilës në mënyrë të pashmangshme do të merrni një rezultat të gabuar.

Aplikimi

Shumë studentë nuk nxitojnë të fillojnë të studiojnë trigonometrinë sepse nuk e kuptojnë kuptimin praktik të saj. Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjenta për një inxhinier apo astronom? Këto janë koncepte me të cilat mund të llogarisni distancën nga yjet e largët, të parashikoni rënien e një meteori ose të dërgoni një sondë kërkimore në një planet tjetër. Pa to, është e pamundur të ndërtohet një ndërtesë, të projektohet një makinë, të llogaritet ngarkesa në një sipërfaqe ose trajektorja e një objekti. Dhe këta janë vetëm shembujt më të dukshëm! Në fund të fundit, trigonometria në një formë ose në një tjetër përdoret kudo, nga muzika te mjekësia.

Si përfundim

Pra, ju jeni sinus, kosinus, tangent. Ju mund t'i përdorni ato në llogaritjet dhe të zgjidhni me sukses problemet e shkollës.

E gjithë pika e trigonometrisë zbret në faktin se duke përdorur parametrat e njohur të një trekëndëshi ju duhet të llogaritni të panjohurat. Gjithsej janë gjashtë parametra: gjatësia e tre anëve dhe madhësia e tre këndeve. Dallimi i vetëm në detyra është se jepen të dhëna të ndryshme hyrëse.

Tani e dini se si të gjeni sinusin, kosinusin, tangjentën bazuar në gjatësinë e njohur të këmbëve ose hipotenuzën. Meqenëse këto terma nuk nënkuptojnë asgjë më shumë se një raport, dhe një raport është një fraksion, qëllimi kryesor i një problemi të trigonometrisë është të gjejë rrënjët e një ekuacioni të zakonshëm ose një sistemi ekuacionesh. Dhe këtu matematika e rregullt e shkollës do t'ju ndihmojë.

Ne do të fillojmë studimin tonë të trigonometrisë me trekëndëshin kënddrejtë. Le të përcaktojmë se çfarë janë sinusi dhe kosinusi, si dhe tangjentja dhe kotangjentja e një këndi akut. Këto janë bazat e trigonometrisë.

Le t'ju kujtojmë se kënd i drejtëështë një kënd i barabartë me 90 gradë. Me fjalë të tjera, gjysmë këndi i kthyer.

Këndi akut- më pak se 90 gradë.

Këndi i mpirë- më shumë se 90 gradë. Kur zbatohet në një kënd të tillë, "i trashë" nuk është një fyerje, por një term matematikor :-)

Le të vizatojmë një trekëndësh kënddrejtë. Një kënd i drejtë zakonisht shënohet me . Ju lutemi vini re se ana përballë këndit tregohet me të njëjtën shkronjë, vetëm e vogël. Kështu, caktohet ana përballë këndit A.

Këndi shënohet me shkronjën përkatëse greke.

Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është brinja përballë këndit të drejtë.

Këmbët- anët që shtrihen përballë këndeve akute.

Këmba e shtrirë përballë këndit quhet përballë(në lidhje me këndin). Këmba tjetër, e cila shtrihet në njërën nga anët e këndit, quhet ngjitur.

Sinus Këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën:

Kosinusi këndi akut në një trekëndësh të drejtë - raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:

Tangjente këndi akut në një trekëndësh të drejtë - raporti i anës së kundërt me fqinjin:

Një përkufizim tjetër (ekuivalent): tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të këndit me kosinusin e tij:

Kotangjente këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë - raporti i anës ngjitur me të kundërtën (ose, që është i njëjtë, raporti i kosinusit me sinusin):

Vini re marrëdhëniet bazë për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën më poshtë. Ata do të jenë të dobishëm për ne kur zgjidhim problemet.

Le të vërtetojmë disa prej tyre.

Mirë, ne kemi dhënë përkufizime dhe kemi shkruar formula. Por pse kemi ende nevojë për sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent?

Ne e dimë atë shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është e barabartë me.

Ne e dimë marrëdhënien ndërmjet partive trekëndësh kënddrejtë. Kjo është teorema e Pitagorës: .

Rezulton se duke ditur dy kënde në një trekëndësh, mund të gjesh të tretin. Duke ditur dy anët e një trekëndëshi kënddrejtë, mund të gjeni të tretën. Kjo do të thotë që këndet kanë raportin e tyre, dhe anët kanë të tyren. Por çfarë duhet të bëni nëse në një trekëndësh kënddrejtë njihni një kënd (përveç këndit të drejtë) dhe njërën anë, por duhet të gjeni anët e tjera?

Kjo është ajo që njerëzit në të kaluarën hasnin kur bënin harta të zonës dhe qiellit me yje. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të maten drejtpërdrejt të gjitha anët e një trekëndëshi.

Sinus, kosinus dhe tangjent - quhen gjithashtu funksionet e këndit trigonometrik- japin marrëdhënie ndërmjet partive Dhe qoshet trekëndëshi. Duke ditur këndin, mund të gjeni të gjitha funksionet e tij trigonometrike duke përdorur tabela të veçanta. Dhe duke ditur sinuset, kosinuset dhe tangjentet e këndeve të një trekëndëshi dhe njërës prej brinjëve të tij, mund të gjeni pjesën tjetër.

Ne gjithashtu do të vizatojmë një tabelë të vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për kënde "të mira" nga në.

Ju lutemi vini re dy vijat e kuqe në tabelë. Në vlerat e duhura të këndit, tangjentja dhe kotangjentja nuk ekzistojnë.

Le të shohim disa probleme trigonometrike nga Banka e Detyrave FIPI.

1. Në një trekëndësh, këndi është , . Gjeni.

Problemi zgjidhet në katër sekonda.

Që nga , .

2. Në një trekëndësh, këndi është , , . Gjeni.

Le ta gjejmë duke përdorur teoremën e Pitagorës.

Problemi është zgjidhur.

Shpesh në problema ka trekëndësha me kënde dhe ose me kënde dhe. Mos harroni raportet bazë për ta përmendësh!

Për një trekëndësh me kënde dhe këmbën përballë këndit në është e barabartë me gjysma e hipotenuzës.

Një trekëndësh me kënde dhe është dykëndësh. Në të, hipotenuza është herë më e madhe se këmba.

Ne shikuam problemet për zgjidhjen e trekëndëshave kënddrejtë - domethënë gjetjen e brinjëve ose këndeve të panjohura. Por kjo nuk është e gjitha! Ka shumë probleme në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë që përfshijnë sinusin, kosinusin, tangjentën ose kotangjentën e një këndi të jashtëm të një trekëndëshi. Më shumë për këtë në artikullin vijues.

Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike

Shënim. Kjo tabelë e vlerave të funksionit trigonometrik përdor shenjën √ për të përfaqësuar rrënjën katrore. Për të treguar një fraksion, përdorni simbolin "/".

Shihni gjithashtu materiale të dobishme:

Për përcaktimi i vlerës së një funksioni trigonometrik, gjeni atë në kryqëzimin e drejtëzës që tregon funksionin trigonometrik. Për shembull, sinusi 30 gradë - ne kërkojmë kolonën me titullin sin (sinus) dhe gjejmë kryqëzimin e kësaj kolone tabele me rreshtin "30 gradë", në kryqëzimin e tyre lexojmë rezultatin - një gjysmë. Në mënyrë të ngjashme ne gjejmë kosinusi 60 gradë, sinusi 60 gradë (edhe një herë, në kryqëzimin e kolonës sin dhe vijës 60 gradë gjejmë vlerën sin 60 = √3/2), etj. Vlerat e sinuseve, kosinuseve dhe tangjentëve të këndeve të tjera "popullore" gjenden në të njëjtën mënyrë.

Sinus pi, kosinus pi, tangjente pi dhe kënde të tjera në radiane

Tabela e mëposhtme e kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve është gjithashtu e përshtatshme për të gjetur vlerën e funksioneve trigonometrike, argumenti i të cilëve është dhënë në radianë. Për ta bërë këtë, përdorni kolonën e dytë të vlerave të këndit. Falë kësaj, ju mund të konvertoni vlerën e këndeve popullore nga gradë në radiane. Për shembull, le të gjejmë këndin 60 gradë në rreshtin e parë dhe të lexojmë vlerën e tij në radianë nën të. 60 gradë është e barabartë me π/3 radian.

Numri pi shpreh në mënyrë të paqartë varësinë e perimetrit nga masa e shkallës së këndit. Kështu, radianët pi janë të barabartë me 180 gradë.

Çdo numër i shprehur në terma pi (radianë) mund të shndërrohet lehtësisht në gradë duke zëvendësuar pi (π) me 180.

Shembuj:
1. Sine pi.
sin π = mëkat 180 = 0
pra, sinusi i pi është i njëjtë me sinusin 180 gradë dhe është i barabartë me zero.

2. Kosinusi pi.
cos π = cos 180 = -1
pra, kosinusi i pi është i njëjtë me kosinusin 180 gradë dhe është i barabartë me minus një.

3. Tangjenta pi
tg π = tg 180 = 0
pra, tangjentja pi është e njëjtë me tangjenten 180 gradë dhe është e barabartë me zero.

Tabela e vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentes për këndet 0 - 360 gradë (vlerat e zakonshme)

Nëse në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike tregohet një vizë në vend të vlerës së funksionit (tangjente (tg) 90 gradë, kotangjente (ctg) 180 gradë), atëherë për një vlerë të caktuar të masës së shkallës së këndit funksioni nuk ka një vlerë specifike. Nëse nuk ka vizë, qeliza është bosh, që do të thotë se nuk e kemi futur ende vlerën e kërkuar. Ne jemi të interesuar se për çfarë pyetjesh na vijnë përdoruesit dhe plotësojnë tabelën me vlera të reja, pavarësisht nga fakti se të dhënat aktuale për vlerat e kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve të vlerave më të zakonshme të këndit janë mjaft të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën probleme.

Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike sin, cos, tg për këndet më të njohura
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 gradë
(vlerat numerike "sipas tabelave Bradis")

Sinus këndi akut α i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti përballë këmbë në hipotenuzë.
Ajo shënohet si më poshtë: sin α.

Kosinusi Këndi akut α i një trekëndëshi kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Është caktuar si më poshtë: cos α.

Tangjente këndi akut α është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.
Është caktuar si më poshtë: tg α.

Kotangjente këndi akut α është raporti i anës ngjitur me anën e kundërt.
Përcaktohet si më poshtë: ctg α.

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi varen vetëm nga madhësia e këndit.

Rregullat:

Identitetet themelore trigonometrike në një trekëndësh kënddrejtë:

(α - kënd akut përballë këmbës b dhe ngjitur me këmbën a . Anash Me – hipotenuzë. β – këndi i dytë akut).

Me rritjen e këndit akutsin α dhetan α rritje, dhecos α zvogëlohet.

Për çdo kënd akut α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = mëkat α

Shembull-shpjegim:

Lëreni një trekëndësh kënddrejtë ABC
AB = 6,
BC = 3,
këndi A = 30º.

Le të zbulojmë sinusin e këndit A dhe kosinusin e këndit B.

Zgjidhje .

1) Së pari, gjejmë vlerën e këndit B. Gjithçka është e thjeshtë këtu: pasi në një trekëndësh kënddrejtë shuma e këndeve akute është 90º, atëherë këndi B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Le të llogarisim sin A. Ne e dimë se sinusi është i barabartë me raportin e anës së kundërt me hipotenuzën. Për këndin A, ana e kundërt është ana BC. Pra:

para Krishtit 3 1
mëkat A = -- = - = -
AB 6 2

3) Tani le të llogarisim cos B. Ne e dimë se kosinusi është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur me hipotenuzën. Për këndin B, këmba ngjitur është e njëjta anë BC. Kjo do të thotë që ne përsëri duhet të ndajmë BC me AB - domethënë të kryejmë të njëjtat veprime si kur llogaritim sinusin e këndit A:

para Krishtit 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultati është:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Nga kjo rrjedh se në një trekëndësh kënddrejtë, sinusi i një këndi akut është i barabartë me kosinusin e këndit tjetër akut - dhe anasjelltas. Kjo është pikërisht ajo që nënkuptojnë dy formulat tona:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = mëkat α

Le të sigurohemi përsëri për këtë:

1) Le të jetë α = 60º. Duke zëvendësuar vlerën e α në formulën e sinusit, marrim:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Le të a = 30º. Duke zëvendësuar vlerën e α në formulën e kosinusit, marrim:
cos (90° – 30º) = mëkat 30º.
cos 60° = mëkat 30º.

(Për më shumë informacion rreth trigonometrisë, shihni seksionin Algjebër)