Kushtojini vëmendje! Përpara se të shkruani përgjigjen tuaj përfundimtare, shikoni nëse mund ta shkurtoni thyesën që keni marrë.

Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm, shembuj:

,

,

Zbritja e një thyese të duhur nga një.

Nëse është e nevojshme të zbritet një thyesë nga një njësi që është e duhur, njësia shndërrohet në formën e një thyese të papërshtatshme, emëruesi i saj është i barabartë me emëruesin e thyesës së zbritur.

Një shembull i zbritjes së një thyese të duhur nga një:

Emëruesi i thyesës që do të zbritet = 7 , d.m.th., e paraqesim njërën si thyesë jo të duhur 7/7 dhe e zbresim sipas rregullit për zbritjen e thyesave me emërues të ngjashëm.

Zbritja e një thyese të duhur nga një numër i plotë.

Rregullat për zbritjen e thyesave - saktë nga një numër i plotë (numri natyror):

• Thyesat e dhëna që përmbajnë një pjesë të plotë i shndërrojmë në të pasakta. Marrim terma normalë (nuk ka rëndësi nëse kanë emërues të ndryshëm), të cilët i llogarisim sipas rregullave të dhëna më sipër;
• Tjetra, ne llogarisim ndryshimin midis fraksioneve që morëm. Si rezultat, ne pothuajse do të gjejmë përgjigjen;
• Ne kryejmë transformimin e anasjelltë, domethënë heqim qafe fraksionin e papërshtatshëm - zgjedhim të gjithë pjesën në fraksion.

Zbrisni një thyesë të duhur nga një numër i plotë: përfaqësoni numrin natyror si një numër të përzier. Ato. Marrim një në një numër natyror dhe e kthejmë në formën e një thyese të papërshtatshme, ku emëruesi është i njëjtë me atë të thyesës së zbritur.

Shembull i zbritjes së thyesave:

Në shembull, njërën e zëvendësuam me thyesën e gabuar 7/7 dhe në vend të 3 shënuam një numër të përzier dhe zbritëm një thyesë nga pjesa thyesore.

Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.

Ose, për ta thënë ndryshe, duke zbritur thyesa të ndryshme.

Rregulla për zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm. Për të zbritur thyesat me emërues të ndryshëm, së pari është e nevojshme që këto thyesa të zvogëlohen në emëruesin më të ulët të përbashkët (LCD) dhe vetëm pas kësaj, të kryhet zbritja si me thyesat me emërues të njëjtë.

Emëruesi i përbashkët i disa thyesave është LCM (shumfishi më pak i zakonshëm) numrat natyrorë që janë emërues të këtyre thyesave.

Kujdes! Nëse në thyesën përfundimtare numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, atëherë thyesa duhet të zvogëlohet. Një fraksion i papërshtatshëm përfaqësohet më së miri si një fraksion i përzier. Lënia e rezultatit të zbritjes pa e zvogëluar thyesën aty ku është e mundur është një zgjidhje jo e plotë e shembullit!

Procedura për zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm.

• gjeni LCM për të gjithë emëruesit;
• shtoni faktorë shtesë për të gjitha thyesat;
• shumëzoni të gjithë numëruesit me një faktor shtesë;
• Ne i shkruajmë produktet që rezultojnë në numërues, duke nënshkruar emëruesin e përbashkët nën të gjitha thyesat;
• zbres numëruesit e thyesave, duke nënshkruar emëruesin e përbashkët nën diferencën.

Në të njëjtën mënyrë, mbledhja dhe zbritja e thyesave kryhet nëse ka shkronja në numërues.

Zbritja e thyesave, shembuj:

Zbritja e thyesave të përziera.

Në duke zbritur thyesat e përziera (numrat) veçmas, pjesa e plotë zbritet nga pjesa e plotë, dhe pjesa thyesore zbritet nga pjesa thyesore.

Opsioni i parë për zbritjen e thyesave të përziera.

Nëse pjesët thyesore identike emërues dhe numërues i pjesës thyesore të minuendit (e zbresim prej tij) ≥ numërues i pjesës thyesore të nëntrahendës (e zbresim atë).

Për shembull:

Opsioni i dytë për zbritjen e thyesave të përziera.

Kur pjesët thyesore të ndryshme emërues. Për të filluar, ne i sjellim pjesët thyesore në një emërues të përbashkët, dhe pas kësaj zbresim të gjithë pjesën nga e gjithë pjesa, dhe pjesën thyesore nga pjesa thyesore.

Për shembull:

Opsioni i tretë për zbritjen e thyesave të përziera.

Pjesa e pjesshme e minuendit është më e vogël se pjesa thyesore e nëntrahendës.

Shembull:

Sepse Pjesët thyesore kanë emërues të ndryshëm, që do të thotë, si në opsionin e dytë, fillimisht i sjellim thyesat e zakonshme në një emërues të përbashkët.

Numëruesi i pjesës thyesore të minuendit është më i vogël se numëruesi i pjesës thyesore të nëntrahendës.3 < 14. Kjo do të thotë se marrim një njësi nga e gjithë pjesa dhe e zvogëlojmë këtë njësi në formën e një thyese të papërshtatshme me të njëjtin emërues dhe numërues. = 18.

Në numëruesin në anën e djathtë shkruajmë shumën e numëruesve, pastaj hapim kllapat në numëruesin në anën e djathtë, domethënë shumëzojmë gjithçka dhe japim të ngjashëm. Nuk i hapim kllapat në emërues. Është zakon që produkti të lihet në emërues. Ne marrim:

Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm

Ekzistojnë dy lloje të mbledhjes së thyesave:

1. Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm
2. Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm

Së pari, le të mësojmë mbledhjen e thyesave me emërues të ngjashëm. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Për shembull, le të shtojmë thyesat dhe . Shtoni numëruesit dhe lini emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në katër pjesë. Nëse shtoni pica në picë, ju merrni pica:

Shembulli 2. Shtoni thyesat dhe .

Përgjigja doli të ishte një fraksion i papërshtatshëm. Kur të vijë fundi i detyrës, është zakon të heqësh qafe fraksionet e pahijshme. Për të hequr qafe një fraksion të papërshtatshëm, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën e tij. Në rastin tonë, e gjithë pjesa izolohet lehtësisht - dy të ndara me dy janë të barabarta një:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë për një picë që është e ndarë në dy pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, merrni një picë të plotë:

Shembulli 3. Shtoni thyesat dhe .

Përsëri, mbledhim numëruesit dhe e lëmë emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në tre pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni pica:

Shembulli 4. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Numëruesit duhet të shtohen dhe emëruesi të lihet i pandryshuar:

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një vizatim. Nëse shtoni pica në një picë dhe shtoni më shumë pica, do të merrni 1 pica të plotë dhe më shumë pica.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në shtimin e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:

1. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar;

Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm

Tani le të mësojmë se si të mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Kur mblidhen thyesat, emëruesit e thyesave duhet të jenë të njëjtë. Por ato nuk janë gjithmonë të njëjta.

Për shembull, thyesat mund të shtohen sepse kanë të njëjtët emërues.

Por thyesat nuk mund të shtohen menjëherë, pasi këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Ka disa mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues. Sot do të shikojmë vetëm njërën prej tyre, pasi metodat e tjera mund të duken të ndërlikuara për një fillestar.

Thelbi i kësaj metode është që së pari të kërkohet LCM e emëruesve të të dy thyesave. Më pas LCM ndahet me emëruesin e fraksionit të parë për të marrë faktorin e parë shtesë. Ata bëjnë të njëjtën gjë me thyesën e dytë - LCM ndahet me emëruesin e fraksionit të dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë.

Më pas numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla.

Shembulli 1. Le të mbledhim thyesat dhe

Para së gjithash, gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 6.

LCM (2 dhe 3) = 6

Tani le të kthehemi te thyesat dhe . Së pari, ndani LCM me emëruesin e thyesës së parë dhe merrni faktorin e parë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 6 me 3, marrim 2.

Numri 2 që rezulton është shumëzuesi i parë shtesë. E shkruajmë në thyesën e parë. Për ta bërë këtë, bëni një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksion dhe shkruani faktorin shtesë që gjendet sipër saj:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ne e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë dhe marrim faktorin e dytë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Pjestoni 6 me 2, marrim 3.

Numri 3 që rezulton është shumëzuesi i dytë shtesë. E shkruajmë në thyesën e dytë. Përsëri, bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi thyesën e dytë dhe shkruajmë faktorin shtesë që gjendet sipër saj:

Tani kemi gjithçka gati për shtim. Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë:

Shikoni me kujdes se çfarë kemi arritur. Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla. Le ta marrim këtë shembull deri në fund:

Kjo e plotëson shembullin. Rezulton të shtohet .

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një vizatim. Nëse shtoni picë në një picë, ju merrni një picë të plotë dhe një të gjashtën tjetër të picës:

Reduktimi i thyesave në të njëjtin emërues (të përbashkët) mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke reduktuar thyesat dhe në një emërues të përbashkët, kemi marrë thyesat dhe . Këto dy fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat copa pice. I vetmi ndryshim do të jetë se këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (të reduktuara në të njëjtin emërues).

Vizatimi i parë përfaqëson një fraksion (katër pjesë nga gjashtë), dhe vizatimi i dytë përfaqëson një fraksion (tre pjesë nga gjashtë). Duke shtuar këto pjesë marrim (shtatë nga gjashtë). Kjo thyesë është e papërshtatshme, kështu që ne theksuam të gjithë pjesën e saj. Si rezultat, ne morëm (një picë të plotë dhe një tjetër picë të gjashtë).

Ju lutemi vini re se ne e kemi përshkruar këtë shembull në shumë detaje. Në institucionet arsimore nuk është zakon të shkruhet në detaje të tilla. Ju duhet të jeni në gjendje të gjeni shpejt LCM-në e të dy emëruesve dhe faktorëve shtesë ndaj tyre, si dhe të shumëzoni shpejt faktorët shtesë të gjetur me numëruesit dhe emëruesit tuaj. Ndërsa jemi në shkollë, do të na duhej ta shkruajmë këtë shembull si më poshtë:

Por ka edhe një anë tjetër të medaljes. Nëse nuk merrni shënime të hollësishme në fazat e para të studimit të matematikës, atëherë fillojnë të shfaqen pyetje të këtij lloji. "Nga vjen ai numër?", "Pse thyesat kthehen papritur në thyesa krejtësisht të ndryshme? «.

Për ta bërë më të lehtë shtimin e thyesave me emërues të ndryshëm, mund të përdorni udhëzimet e mëposhtme hap pas hapi:

1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave;
2. Ndani LCM me emëruesin e secilës thyesë dhe merrni një faktor shtesë për secilën thyesë;
3. Të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë;
4. Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë;
5. Nëse përgjigja rezulton të jetë një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj;

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje .

Le të përdorim udhëzimet e dhëna më sipër.

Hapi 1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave

Gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesit e thyesave janë numrat 2, 3 dhe 4

Hapi 2. Ndani LCM me emëruesin e çdo thyese dhe merrni një faktor shtesë për secilën thyesë

Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 2. Pjestoni 12 me 2, marrim 6. Morëm faktorin e parë shtesë 6. E shkruajmë sipër thyesës së parë:

Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Marrim faktorin e dytë shtesë 4. E shkruajmë sipër thyesës së dytë:

Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Marrim faktorin e tretë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:

Hapi 3. Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë

Ne i shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit me faktorët e tyre shtesë:

Hapi 4. Shtoni thyesa me emërues të njëjtë

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë (të përbashkët). Mbetet vetëm të shtohen këto thyesa. Shtoni atë:

Shtesa nuk përshtatej në një rresht, kështu që ne e zhvendosëm shprehjen e mbetur në rreshtin tjetër. Kjo lejohet në matematikë. Kur një shprehje nuk përshtatet në një rresht, ajo zhvendoset në rreshtin tjetër dhe është e nevojshme të vendoset një shenjë e barabartë (=) në fund të rreshtit të parë dhe në fillim të rreshtit të ri. Shenja e barazimit në rreshtin e dytë tregon se kjo është një vazhdim i shprehjes që ishte në rreshtin e parë.

Hapi 5. Nëse përgjigja rezulton të jetë një thyesë e gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj

Përgjigja jonë doli të ishte një fraksion i gabuar. Duhet të veçojmë një pjesë të tërë të saj. Ne theksojmë:

Morëm një përgjigje

Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm

Ekzistojnë dy lloje të zbritjes së thyesave:

1. Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm
2. Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Së pari, le të mësojmë se si të zbresim thyesat me emërues të ngjashëm. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë, por të lini emëruesin të njëjtë.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes . Për të zgjidhur këtë shembull, duhet të zbrisni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Le ta bëjmë këtë:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në katër pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e shprehjes.

Përsëri, nga numëruesi i thyesës së parë, zbritni numëruesin e thyesës së dytë dhe lini emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në tre pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:

Shembulli 3. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Nga numëruesi i thyesës së parë ju duhet të zbrisni numëruesit e thyesave të mbetura:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:

1. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbrisni numëruesin e fraksionit të dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
2. Nëse përgjigja rezulton të jetë një fraksion i gabuar, atëherë duhet të theksoni të gjithë pjesën e saj.

Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Për shembull, ju mund të zbrisni një thyesë nga një thyesë sepse thyesat kanë emërues të njëjtë. Por nuk mund të zbresësh një thyesë nga një thyesë, pasi këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Emëruesi i përbashkët gjendet duke përdorur të njëjtin parim që kemi përdorur kur mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Para së gjithash, gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e parë. Në mënyrë të ngjashme, LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e dytë.

Më pas thyesat shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërrohen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla.

Shembulli 1. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që ju duhet t'i reduktoni në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Së pari gjejmë LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 12

LCM (3 dhe 4) = 12

Tani le të kthehemi te thyesat dhe

Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ndani LCM me emëruesin e fraksionit të parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Shkruani një katër mbi thyesën e parë:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ndani LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Shkruani një tre mbi thyesën e dytë:

Tani jemi gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim thyesa të tilla. Le ta marrim këtë shembull deri në fund:

Morëm një përgjigje

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një vizatim. Nëse e ndani picën nga një pica, ju merrni pica

Ky është versioni i detajuar i zgjidhjes. Nëse do të ishim në shkollë, do të duhej ta zgjidhnim këtë shembull më shkurt. Një zgjidhje e tillë do të duket si kjo:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i reduktuar këto thyesa në një emërues të përbashkët, morëm thyesat dhe . Këto fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta pice, por këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (reduktohen në të njëjtin emërues):

Fotografia e parë tregon një fraksion (tetë pjesë nga dymbëdhjetë), dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga dymbëdhjetë). Duke prerë tre pjesë nga tetë pjesë, marrim pesë pjesë nga dymbëdhjetë. Fraksioni përshkruan këto pesë pjesë.

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që së pari duhet t'i reduktoni në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Le të gjejmë LCM-në e emëruesve të këtyre thyesave.

Emëruesit e thyesave janë numrat 10, 3 dhe 5. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Tani gjejmë faktorë shtesë për secilën fraksion. Për ta bërë këtë, ndani LCM me emëruesin e secilës fraksion.

Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 10. Pjestoni 30 me 10, marrim faktorin e parë shtesë 3. E shkruajmë sipër thyesës së parë:

Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e dytë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 30 me 3, marrim faktorin e dytë shtesë 10. E shkruajmë sipër thyesës së dytë:

Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e tretë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 5. Pjestoni 30 me 5, marrim faktorin e tretë shtesë 6. E shkruajmë sipër thyesës së tretë:

Tani gjithçka është gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë (të përbashkët). Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta përfundojmë këtë shembull.

Vazhdimi i shembullit nuk do të përshtatet në një rresht, kështu që ne e zhvendosim vazhdimin në rreshtin tjetër. Mos harroni për shenjën e barabartë (=) në rreshtin e ri:

Përgjigja doli të ishte një fraksion i rregullt, dhe gjithçka duket se na përshtatet, por është shumë e rëndë dhe e shëmtuar. Duhet ta bëjmë më të thjeshtë. Çfarë mund të bëhet? Ju mund ta shkurtoni këtë fraksion.

Për të zvogëluar një thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e tij me (GCD) të numrave 20 dhe 30.

Pra, gjejmë gcd-në e numrave 20 dhe 30:

Tani kthehemi te shembulli ynë dhe ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me gcd-në e gjetur, domethënë me 10

Morëm një përgjigje

Shumëzimi i një thyese me një numër

Për të shumëzuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës së dhënë me atë numër dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Shembulli 1. Shumëzo një thyesë me numrin 1.

Shumëzoni numëruesin e thyesës me numrin 1

Regjistrimi mund të kuptohet se merr gjysmë 1 herë. Për shembull, nëse merrni pica një herë, ju merrni pica

Nga ligjet e shumëzimit ne e dimë se nëse shumëzuesi dhe faktori këmbehen, prodhimi nuk do të ndryshojë. Nëse shprehja shkruhet si , atëherë produkti do të jetë akoma i barabartë me . Përsëri, rregulli për shumëzimin e një numri të plotë dhe një thyese funksionon:

Ky shënim mund të kuptohet si marrja e gjysmës së një. Për shembull, nëse ka 1 picë të plotë dhe marrim gjysmën e saj, atëherë do të kemi pica:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzoni numëruesin e thyesës me 4

Përgjigja ishte një fraksion i papërshtatshëm. Le të veçojmë të gjithë pjesën e tij:

Shprehja mund të kuptohet si të marrë dy të katërtat 4 herë. Për shembull, nëse merrni 4 pica, do të merrni dy pica të plota

Dhe nëse shkëmbejmë shumëzuesin dhe shumëzuesin, marrim shprehjen . Do të jetë gjithashtu e barabartë me 2. Kjo shprehje mund të kuptohet si marrja e dy picave nga katër pica të plota:

Shumëzimi i thyesave

Për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre. Nëse përgjigja rezulton të jetë një fraksion i gabuar, duhet të theksoni të gjithë pjesën e saj.

Shembulli 1. Gjeni vlerën e shprehjes.

Morëm një përgjigje. Këshillohet që të zvogëlohet ky fraksion. Pjesa mund të zvogëlohet me 2. Atëherë zgjidhja përfundimtare do të marrë formën e mëposhtme:

Shprehja mund të kuptohet si marrja e një pice nga një gjysmë pice. Le të themi se kemi gjysmë pice:

Si të merrni dy të tretat nga kjo gjysmë? Së pari ju duhet ta ndani këtë gjysmë në tre pjesë të barabarta:

Dhe merrni dy nga këto tre pjesë:

Ne do të bëjmë pica. Mos harroni se si duket pica kur ndahet në tre pjesë:

Një pjesë e kësaj pice dhe dy pjesët që morëm do të kenë të njëjtat dimensione:

Me fjalë të tjera, ne po flasim për pica me të njëjtën madhësi. Prandaj vlera e shprehjes është

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:

Përgjigja ishte një fraksion i papërshtatshëm. Le të veçojmë të gjithë pjesën e tij:

Shembulli 3. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:

Përgjigja doli të ishte një thyesë e rregullt, por do të ishte mirë që të shkurtohej. Për të zvogëluar këtë thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të numrave 105 dhe 450.

Pra, le të gjejmë gcd-në e numrave 105 dhe 450:

Tani e ndajmë numëruesin dhe emëruesin e përgjigjes sonë me gcd që kemi gjetur tani, domethënë me 15

Paraqitja e një numri të plotë si thyesë

Çdo numër i plotë mund të paraqitet si thyesë. Për shembull, numri 5 mund të përfaqësohet si . Kjo nuk do të ndryshojë kuptimin e pesë, pasi shprehja do të thotë "numri pesë i ndarë me një", dhe kjo, siç e dimë, është e barabartë me pesë:

Numrat reciprokë

Tani do të njihemi me një temë shumë interesante në matematikë. Quhet "numra të kundërt".

Përkufizimi. Kthehet në numëra është një numër që, kur shumëzohet mea jep një.

Le të zëvendësojmë në këtë përkufizim në vend të ndryshores a numri 5 dhe përpiquni të lexoni përkufizimin:

Kthehet në numër 5 është një numër që, kur shumëzohet me 5 jep një.

A është e mundur të gjendet një numër që, kur shumëzohet me 5, jep një? Rezulton se është e mundur. Le të imagjinojmë pesë si thyesë:

Pastaj shumëzojeni këtë thyesë me vetveten, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Me fjalë të tjera, le të shumëzojmë thyesën në vetvete, vetëm me kokë poshtë:

Çfarë do të ndodhë si rezultat i kësaj? Nëse vazhdojmë ta zgjidhim këtë shembull, marrim një:

Kjo do të thotë se anasjellta e numrit 5 është numri, pasi kur shumëzoni 5 me 5, merrni një.

Reciproku i një numri mund të gjendet edhe për çdo numër tjetër të plotë.

Ju gjithashtu mund të gjeni reciproke të çdo thyese tjetër. Për ta bërë këtë, thjesht kthejeni atë.

Pjesëtimi i një thyese me një numër

Le të themi se kemi gjysmë pice:

Le ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë në dy. Sa pica do të marrë secili person?

Shihet se pas ndarjes së gjysmës së picës janë marrë dy pjesë të barabarta, secila prej të cilave përbën një picë. Kështu që të gjithë marrin një pica.

Ndarja e thyesave bëhet duke përdorur reciproke. Numrat reciprokë ju lejojnë të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim.

Për të pjesëtuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni thyesën me inversin e pjesëtuesit.

Duke përdorur këtë rregull, ne do të shkruajmë ndarjen e gjysmës së picës në dy pjesë.

Pra, ju duhet ta ndani thyesën me numrin 2. Këtu dividenti është thyesa dhe pjesëtuesi është numri 2.

Për të pjesëtuar një thyesë me numrin 2, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprokun e pjesëtuesit 2. Reciproku i pjesëtuesit 2 është thyesa. Kështu që ju duhet të shumëzoni me

A ka sjellë fëmija juaj detyra shtëpie nga shkolla dhe ju nuk dini si t'i zgjidhni ato? Atëherë ky mini mësim është për ju!

Si të shtoni numra dhjetorë

Është më i përshtatshëm për të shtuar fraksione dhjetore në një kolonë. Për të shtuar numra dhjetorë, duhet të ndiqni një rregull të thjeshtë:

• Vendi duhet të jetë nën vend, presja nën presje.

Siç mund ta shihni në shembull, të gjitha njësitë janë të vendosura nën njëra-tjetrën, shifrat e dhjeta dhe të qindta janë të vendosura nën njëra-tjetrën. Tani shtojmë numrat, duke injoruar presjen. Çfarë të bëni me presjen? Presja zhvendoset në vendin ku qëndronte në kategorinë e numrit të plotë.

Mbledhja e thyesave me emërues të barabartë

Për të kryer mbledhje me një emërues të përbashkët, duhet ta mbani emëruesin të pandryshuar, të gjeni shumën e numëruesve dhe të merrni një thyesë që do të jetë shuma totale.

Shtimi i thyesave me emërues të ndryshëm duke përdorur metodën e përbashkët të shumëfishtë

Gjëja e parë që duhet t'i kushtoni vëmendje janë emëruesit. Emëruesit janë të ndryshëm, nëse njëri është i pjesëtueshëm me tjetrin, ose nëse janë numra të thjeshtë. Së pari ju duhet ta sillni atë në një emërues të përbashkët, ka disa mënyra për ta bërë këtë:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, për të zgjidhur këtë shembull duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) që do të jetë i pjesëtueshëm me 2 emërues. Për të treguar shumëfishin më të vogël të a dhe b – LCM (a;b). Në këtë shembull LCM (3;4)=12. Kontrollojmë: 12:3=4; 12:4=3.
• Ne shumëzojmë faktorët dhe shtojmë numrat që rezultojnë, marrim 13/12 - një fraksion jo i duhur.

• Për të kthyer një thyesë të papërshtatshme në një të duhur, ndajmë numëruesin me emëruesin, marrim numrin e plotë 1, pjesa e mbetur 1 është numëruesi dhe 12 është emëruesi.

Shtimi i thyesave duke përdorur metodën e shumëzimit të kryqëzuar

Për të shtuar thyesa me emërues të ndryshëm, ekziston një metodë tjetër duke përdorur formulën "kryq në kryqëzim". Kjo është një mënyrë e garantuar për të barazuar emëruesit për ta bërë këtë, ju duhet të shumëzoni numëruesit me emëruesin e një thyese dhe anasjelltas. Nëse jeni vetëm në fazën fillestare të mësimit të thyesave, atëherë kjo metodë është mënyra më e thjeshtë dhe më e saktë për të marrë rezultatin e saktë kur shtoni thyesa me emërues të ndryshëm.

Në artikull do të tregojmë si të zgjidhen thyesat duke përdorur shembuj të thjeshtë e të kuptueshëm. Le të kuptojmë se çfarë është një thyesë dhe të shqyrtojmë zgjidhjen e thyesave!

Koncepti thyesat futet në lëndën e matematikës duke filluar nga klasa e 6-të e shkollës së mesme.

Thyesat kanë formën: ±X/Y, ku Y është emëruesi, tregon në sa pjesë është ndarë e tëra, dhe X është numëruesi, tregon sa pjesë të tilla janë marrë. Për qartësi, le të marrim një shembull me një tortë:

Në rastin e parë, torta pritej njësoj dhe merrej gjysma, d.m.th. 1/2. Në rastin e dytë, torta është prerë në 7 pjesë, nga të cilat janë marrë 4 pjesë, d.m.th. 4/7.

Nëse pjesa e pjesëtimit të një numri me një tjetër nuk është numër i plotë, ai shkruhet si thyesë.

Për shembull, shprehja 4:2 = 2 jep një numër të plotë, por 4:7 nuk ndahet me një të tërë, kështu që kjo shprehje shkruhet si thyesë 4/7.

Me fjalë të tjera fraksionështë një shprehje që tregon ndarjen e dy numrave ose shprehjeve dhe e cila shkruhet duke përdorur një prerje thyesore.

Nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi, thyesa është e duhur nëse anasjelltas, është thyesë e papërshtatshme. Një thyesë mund të përmbajë një numër të plotë.

Për shembull, 5 të plota 3/4.

Kjo hyrje do të thotë që për të marrë 6-shin e plotë, mungon një pjesë nga katër.

Nëse doni të mbani mend, si të zgjidhim thyesat për klasën e 6-të, ju duhet ta kuptoni këtë zgjidhjen e thyesave, në thelb, vjen deri te të kuptuarit e disa gjërave të thjeshta.

• Një thyesë është në thelb një shprehje e një fraksioni. Kjo do të thotë, një shprehje numerike se cila pjesë është një vlerë e dhënë e një tërësie. Për shembull, thyesa 3/5 shpreh se nëse e ndajmë diçka të plotë në 5 pjesë dhe numri i pjesëve ose pjesëve të kësaj tërësie është tre.
• Pjesa mund të jetë më e vogël se 1, për shembull 1/2 (ose në thelb gjysma), atëherë është e saktë. Nëse thyesa është më e madhe se 1, për shembull 3/2 (tre gjysma ose një e gjysmë), atëherë është e pasaktë dhe për të thjeshtuar zgjidhjen, është më mirë që ne të zgjedhim të gjithë pjesën 3/2 = 1 e plotë 1 /2.
• Thyesat janë numra të njëjtë si 1, 3, 10, madje edhe 100, vetëm se numrat nuk janë numra të plotë, por thyesa. Ju mund të kryeni të gjitha të njëjtat veprime me ta si me numrat. Numërimi i thyesave nuk është më i vështirë dhe këtë do ta tregojmë më tej me shembuj specifikë.

Si të zgjidhni thyesat. Shembuj.

Një shumëllojshmëri e gjerë veprimesh aritmetike janë të zbatueshme për thyesat.

Reduktimi i një thyese në një emërues të përbashkët

Për shembull, duhet të krahasoni thyesat 3/4 dhe 4/5.

Për të zgjidhur problemin, fillimisht gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët, d.m.th. numri më i vogël që pjesëtohet me secilin prej emërtuesve të thyesave pa lënë mbetje

Emëruesi më i vogël i përbashkët (4.5) = 20

Atëherë emëruesi i të dy thyesave reduktohet në emëruesin më të ulët të përbashkët

Përgjigje: 15/20

Mbledhja dhe zbritja e thyesave

Nëse është e nevojshme të llogaritet shuma e dy thyesave, ato fillimisht sillen në një emërues të përbashkët, pastaj shtohen numëruesit, ndërsa emëruesi mbetet i pandryshuar. Dallimi midis thyesave llogaritet në të njëjtën mënyrë, i vetmi ndryshim është se numëruesit zbriten.

Për shembull, ju duhet të gjeni shumën e thyesave 1/2 dhe 1/3

Tani le të gjejmë ndryshimin midis thyesave 1/2 dhe 1/4

Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave

Këtu zgjidhja e thyesave nuk është e vështirë, gjithçka është mjaft e thjeshtë këtu:

• Shumëzimi - numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen së bashku;
• Pjesëtimi - së pari marrim thyesën e kundërt të thyesës së dytë, d.m.th. Ne shkëmbejmë numëruesin dhe emëruesin e tij, pas së cilës shumëzojmë thyesat që rezultojnë.

Për shembull:

Kaq është si të zgjidhen thyesat, Të gjitha. Nëse keni ende ndonjë pyetje rreth zgjidhjen e thyesave, nëse diçka është e paqartë, shkruani në komente dhe ne do t'ju përgjigjemi patjetër.

Nëse jeni mësues, atëherë ndoshta shkarkimi i një prezantimi për shkollën fillore (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) do të jetë i dobishëm për ju.

Llogaritësi online.
Vlerësoni një shprehje me thyesa numerike.
Shumëzimi, zbritja, pjesëtimi, mbledhja dhe zvogëlimi i thyesave me emërues të ndryshëm.

Me këtë kalkulator në internet mundeni shumëzojnë, zbresin, pjesëtojnë, mbledhin dhe zvogëlojnë thyesat me emërues të ndryshëm.

Programi funksionon me thyesa me numra të rregullt, të pahijshëm dhe të përzier.

Ky program (kalkulator online) mund të:
- kryejë mbledhje të thyesave të përziera me emërues të ndryshëm
- të kryejë zbritjen e thyesave të përziera me emërues të ndryshëm
- pjesëtojnë thyesat e përziera me emërues të ndryshëm
- të shumëzojë thyesat e përziera me emërues të ndryshëm
- t'i zvogëlojë thyesat në një emërues të përbashkët
- të shndërrojë thyesat e përziera në thyesa jo të duhura
- zvogëloni thyesat

Ju gjithashtu mund të vendosni jo një shprehje me thyesa, por një fraksion të vetëm.
Në këtë rast, fraksioni do të reduktohet dhe e gjithë pjesa do të ndahet nga rezultati.

Llogaritësi online për llogaritjen e shprehjeve me thyesa numerike nuk jep vetëm përgjigjen e problemit, ai jep një zgjidhje të detajuar me shpjegime, d.m.th. tregon procesin e gjetjes së një zgjidhjeje.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër.

Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk i njihni rregullat për futjen e shprehjeve me thyesa numerike, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregulla për futjen e shprehjeve me thyesa numerike

Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ. /
Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi:
Hyrja: -2/3 + 7/5

Rezultati: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\) &
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand:
Hyrja: -1&2/3 * 5&8/3

Rezultati: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
Ndarja e thyesave paraqitet me shenjën e zorrës së trashë: :
Hyrja: -9&37/12: -3&5/14
Rezultati: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \djathtas) \)

Mos harroni se nuk mund të pjesëtoni me zero!
Ju mund të përdorni kllapa kur futni shprehje me thyesa numerike. -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Hyrja:

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Thyesat e zakonshme. Ndarja me mbetje

Nëse duhet të pjesëtojmë 497 me 4, atëherë kur pjesëtojmë do të shohim se 497 nuk është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me 4, d.m.th. mbetet pjesa e mbetur e ndarjes. Në raste të tilla thuhet se është përfunduar pjesëtimi me mbetje, dhe zgjidhja shkruhet si më poshtë:
497: 4 = 124 (1 mbetur).

Komponentët e pjesëtimit në anën e majtë të barazisë quhen njësoj si në pjesëtimin pa mbetje: 497 - divident, 4 - ndarës. Rezultati i pjesëtimit kur ndahet me një mbetje quhet private jo të plota. Në rastin tonë, ky është numri 124. Dhe së fundi, përbërësi i fundit, i cili nuk është në ndarjen e zakonshme, është mbetje. Në rastet kur nuk ka mbetje, një numër thuhet se pjesëtohet me një tjetër pa gjurmë, ose plotësisht. Besohet se me një ndarje të tillë mbetja është zero. Në rastin tonë, pjesa e mbetur është 1.

Pjesa e mbetur është gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi.

Pjesëtimi mund të kontrollohet me shumëzim. Nëse, për shembull, ekziston një barazi 64: 32 = 2, atëherë kontrolli mund të bëhet kështu: 64 = 32 * 2.

Shpesh në rastet kur kryhet ndarja me mbetje, është e përshtatshme të përdoret barazia
a = b * n + r,
ku a është dividenti, b është pjesëtuesi, n është herësi i pjesshëm, r është mbetja.

Herësi i numrave natyrorë mund të shkruhet si thyesë.

Numëruesi i një thyese është dividenti, dhe emëruesi është pjesëtuesi.

Meqenëse numëruesi i një thyese është dividenti, dhe emëruesi është pjesëtuesi, besoni se drejtëza e një thyese nënkupton veprimin e pjesëtimit. Ndonjëherë është e përshtatshme të shkruhet pjesëtimi si thyesë pa përdorur shenjën ":".

Herësi i pjesëtimit të numrave natyrorë m dhe n mund të shkruhet si thyesë \(\frac(m)(n) \), ku numëruesi m është dividenti, dhe emëruesi n është pjesëtuesi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Rregullat e mëposhtme janë të vërteta:

Për të marrë thyesën \(\frac(m)(n)\), ju duhet ta ndani njësinë në n pjesë (aksione) të barabarta dhe të merrni m pjesë të tilla.

Për të marrë thyesën \(\frac(m)(n)\), duhet të pjesëtoni numrin m me numrin n.

Për të gjetur një pjesë të një tërësie, duhet të ndani numrin që i përgjigjet së tërës me emëruesin dhe të shumëzoni rezultatin me numëruesin e thyesës që shpreh këtë pjesë.

Për të gjetur një të tërë nga pjesa e saj, duhet të ndani numrin që korrespondon me këtë pjesë me numëruesin dhe të shumëzoni rezultatin me emëruesin e thyesës që shpreh këtë pjesë.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me të njëjtin numër (përveç zeros), vlera e thyesës nuk do të ndryshojë:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese pjesëtohen me të njëjtin numër (përveç zeros), vlera e thyesës nuk do të ndryshojë:
\(\ i madh \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Kjo pronë quhet vetia kryesore e një thyese.

Dy transformimet e fundit quhen duke reduktuar një fraksion.

Nëse thyesat duhet të paraqiten si thyesa me të njëjtin emërues, atëherë ky veprim quhet duke reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët.

Thyesat e duhura dhe të pahijshme. Numra të përzier

Ju tashmë e dini se një thyesë mund të merret duke e ndarë një të tërë në pjesë të barabarta dhe duke marrë disa pjesë të tilla. Për shembull, fraksioni \(\frac(3)(4)\) do të thotë tre të katërtat e një. Në shumë nga problemet në paragrafin e mëparshëm, thyesat u përdorën për të paraqitur pjesë të një tërësie. Mendja e shëndoshë dikton që pjesa duhet të jetë gjithmonë më e vogël se e tëra, por ç'të themi për thyesat si \(\frac(5)(5)\) ose \(\frac(8)(5)\)? Është e qartë se kjo nuk është më pjesë e njësisë. Kjo është ndoshta arsyeja pse thirren thyesat, numëruesi i të cilave është më i madh ose i barabartë me emëruesin thyesat e papërshtatshme. Thyesat e mbetura, pra thyesat, numëruesi i të cilave është më i vogël se emëruesi, quhen thyesat e sakta.

Siç e dini, çdo thyesë e përbashkët, e duhur dhe e papërshtatshme, mund të konsiderohet si rezultat i pjesëtimit të numëruesit me emëruesin. Prandaj, në matematikë, ndryshe nga gjuha e zakonshme, termi "thyesë e papërshtatshme" nuk do të thotë se kemi bërë diçka të gabuar, por vetëm se numëruesi i kësaj thyese është më i madh ose i barabartë me emëruesin.

Nëse një numër përbëhet nga një pjesë numër i plotë dhe një thyesë, atëherë thyesat quhen të përziera.

Për shembull:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 është pjesa e plotë dhe \(\frac(2)(3) \) është pjesa thyesore.

Nëse numëruesi i thyesës \(\frac(a)(b) \) është i pjesëtueshëm me një numër natyror n, atëherë për të pjesëtuar këtë thyesë me n, numëruesi i tij duhet të pjesëtohet me këtë numër:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Nëse numëruesi i fraksionit \(\frac(a)(b) \) nuk është i pjesëtueshëm me një numër natyror n, atëherë për ta pjesëtuar këtë thyesë me n, duhet të shumëzoni emëruesin e tij me këtë numër:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Vini re se rregulli i dytë është gjithashtu i vërtetë kur numëruesi pjesëtohet me n. Prandaj, mund ta përdorim kur është e vështirë të përcaktojmë në shikim të parë nëse numëruesi i një thyese është i pjesëtueshëm me n apo jo.

Veprimet me thyesa. Shtimi i thyesave.

Ju mund të kryeni veprime aritmetike me numra thyesorë, ashtu si me numrat natyrorë. Le të shohim së pari mbledhjen e thyesave. Është e lehtë të shtosh thyesa me emërues të ngjashëm. Le të gjejmë, për shembull, shumën e \(\frac(2)(7)\) dhe \(\frac(3)(7)\). Është e lehtë të kuptohet se \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Duke përdorur shkronja, rregulli për mbledhjen e thyesave me emërues të ngjashëm mund të shkruhet si më poshtë:
\(\ i madh \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Nëse keni nevojë të shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, ato fillimisht duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët. Për shembull:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Për thyesat, si për numrat natyrorë, janë të vlefshme vetitë komutative dhe shoqëruese të mbledhjes.

Shtimi i fraksioneve të përziera

Shënimet si \(2\frac(2)(3)\) thirren thyesat e përziera. Në këtë rast, thirret numri 2 pjesë e tërë thyesë e përzier, dhe numri \(\frac(2)(3)\) është i tij pjesë thyesore. Hyrja \(2\frac(2)(3)\) lexohet si më poshtë: "dy dhe dy të tretat".

Kur ndani numrin 8 me numrin 3, mund të merrni dy përgjigje: \(\frac(8)(3)\) dhe \(2\frac(2)(3)\). Ato shprehin të njëjtin numër thyesor, d.m.th. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Kështu, thyesa e papërshtatshme \(\frac(8)(3)\) përfaqësohet si një fraksion i përzier \(2\frac(2)(3)\). Në raste të tilla ata thonë se nga një fraksion i papërshtatshëm vuri në pah të gjithë pjesën.

Zbritja e thyesave (numrat thyesorë)

Zbritja e numrave thyesorë, ashtu si numrat natyrorë, përcaktohet në bazë të veprimit të mbledhjes: zbritja e një tjetri nga një numër nënkupton gjetjen e një numri që, kur i shtohet të dytit, jep të parin. Për shembull:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) pasi \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

Rregulli për zbritjen e thyesave me emërues të ngjashëm është i ngjashëm me rregullin për mbledhjen e thyesave të tilla:
Për të gjetur ndryshimin midis thyesave me emërues të njëjtë, duhet të zbritni numëruesin e të dytës nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Duke përdorur shkronja, ky rregull shkruhet kështu:
\(\ i madh \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Shumëzimi i thyesave

Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre dhe të shkruani prodhimin e parë si numërues dhe të dytin si emërues.

Duke përdorur shkronjat, rregulli për shumëzimin e thyesave mund të shkruhet si më poshtë:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Duke përdorur rregullin e formuluar, ju mund të shumëzoni një fraksion me një numër natyror, me një fraksion të përzier, dhe gjithashtu të shumëzoni fraksionet e përziera. Për ta bërë këtë, ju duhet të shkruani një numër natyror si një thyesë me emërues 1 dhe një thyesë të përzier si një thyesë jo të duhur.

Rezultati i shumëzimit duhet të thjeshtohet (nëse është e mundur) duke zvogëluar thyesën dhe duke izoluar të gjithë pjesën e fraksionit të papërshtatshëm.

Për thyesat, si për numrat natyrorë, janë të vlefshme vetitë komutative dhe kombinuese të shumëzimit, si dhe vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen.

Ndarja e thyesave

Le të marrim thyesën \(\frac(2)(3)\) dhe ta "rrokullisim" atë, duke ndërruar numëruesin dhe emëruesin. Marrim thyesën \(\frac(3)(2)\). Kjo thyesë quhet e kundërta thyesat \(\frac(2)(3)\).

Nëse tani "përmbys" thyesën \(\frac(3)(2)\), do të marrim thyesën origjinale \(\frac(2)(3)\). Prandaj, thyesat si \(\frac(2)(3)\) dhe \(\frac(3)(2)\) quhen reciprokisht anasjelltas.

Për shembull, thyesat \(\frac(6)(5) \) dhe \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dhe \(\frac (18 )(7)\).

Duke përdorur shkronjat, thyesat reciproke mund të shkruhen si më poshtë: \(\frac(a)(b) \) dhe \(\frac(b)(a) \)

Është e qartë se prodhimi i thyesave reciproke është i barabartë me 1. Për shembull: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Duke përdorur thyesat reciproke, ju mund ta reduktoni ndarjen e thyesave në shumëzim.

Rregulli për pjesëtimin e një thyese me një thyesë është:
Për të pjesëtuar një thyesë me një tjetër, duhet të shumëzoni dividentin me reciprocitetin e pjesëtuesit.