Përkufizimi 10.4.Pamje kanonike forma kuadratike (10.1) quhet forma e mëposhtme: . (10.4)
Le të tregojmë se në bazën e vetvektorëve, forma kuadratike (10.1) merr një formë kanonike. Le
- eigenvektorë të normalizuar që korrespondojnë me eigenvlerat λ 1 , λ 2 , λ 3 matricat (10.3) në bazë ortonormale. Pastaj matrica e tranzicionit nga baza e vjetër në të renë do të jetë matrica
. Në bazën e re matrica A do të marrë formën diagonale (9.7) (nga vetia e vetvektorëve). Kështu, transformimi i koordinatave duke përdorur formulat:
,
në bazën e re marrim formën kanonike të një forme kuadratike me koeficientë të barabartë me vlerat vetjake λ 1, λ 2, λ 3:
Vërejtje 1. Nga pikëpamja gjeometrike, transformimi i konsideruar i koordinatave është një rrotullim i sistemit të koordinatave, duke kombinuar boshtet e vjetra të koordinatave me ato të reja.
Vërejtje 2. Nëse ndonjë vlerë vetjake të matricës (10.3) përputhet, ne mund të shtojmë një vektor njësi ortogonal në secilin prej tyre tek eigjenvektorët ortonormalë përkatës, dhe kështu të ndërtojmë një bazë në të cilën forma kuadratike merr formën kanonike.
Le ta sjellim formën kuadratike në formën kanonike
x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.
Matrica e saj ka formën Në shembullin e diskutuar në Leksionin 9, gjenden eigenvlerat dhe eigenvektorët ortonormalë të kësaj matrice:
Le të krijojmë një matricë kalimi në bazë nga këta vektorë:
(rendi i vektorëve është ndryshuar në mënyrë që ata të formojnë një treshe të djathtë). Le të transformojmë koordinatat duke përdorur formulat:
.
Pra, forma kuadratike reduktohet në formë kanonike me koeficientë të barabartë me vlerat vetjake të matricës së formës kuadratike.
Leksioni 11.
Kurbat e rendit të dytë. Elipsa, hiperbola dhe parabola, vetitë e tyre dhe ekuacionet kanonike. Reduktimi i një ekuacioni të rendit të dytë në formë kanonike.
Përkufizimi 11.1.Kurbat e rendit të dytë në një rrafsh quhen drejtëzat e kryqëzimit të një koni rrethor me rrafshet që nuk kalojnë nga kulmi i tij.
Nëse një plan i tillë kryqëzon të gjitha gjeneratat e një zgavër të konit, atëherë në seksion rezulton elips, në kryqëzimin e gjeneratave të të dy zgavrave - hiperbolë, dhe nëse rrafshi i prerjes është paralel me ndonjë gjenerator, atëherë seksioni i konit është parabolë.
Komentoni. Të gjitha lakoret e rendit të dytë specifikohen nga ekuacionet e shkallës së dytë në dy variabla.
Elipsa.
Përkufizimi 11.2.Elipsaështë bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është shuma e largësive në dy pika fikse F 1 dhe F truket, është një vlerë konstante.
Komentoni. Kur pikat përkojnë F 1 dhe F 2 elipsa kthehet në një rreth.
Le të nxjerrim ekuacionin e elipsës duke zgjedhur sistemin kartezian
y M(x,y) koordinon në mënyrë që boshti Oh përkonte me një vijë të drejtë F 1 F 2, fillimi
koordinatat r 1 r 2 - me mesin e segmentit F 1 F 2. Lëreni gjatësinë e kësaj
segmenti është i barabartë me 2 Me, pastaj në sistemin koordinativ të zgjedhur
F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Lëreni pikën M(x, y) shtrihet në elips, dhe
shuma e largësive prej tij deri në F 1 dhe F 2 është e barabartë me 2 A.
Pastaj r 1 + r 2 = 2a, Por ,
prandaj, duke futur shënimin b² = a²- c² dhe pasi kemi kryer transformime të thjeshta algjebrike, marrim ekuacioni kanonik i elipsit: (11.1)
Përkufizimi 11.3.Ekscentricitet e një elipsi quhet madhësia e=s/a (11.2)
Përkufizimi 11.4.Drejtoresha D i elipsë që korrespondon me fokusin F i F i në raport me boshtin Oh pingul me boshtin Oh në një distancë a/e nga origjina.
Komentoni. Me një zgjedhje të ndryshme të sistemit të koordinatave, elipsa mund të specifikohet jo nga ekuacioni kanonik (11.1), por nga një ekuacion i shkallës së dytë të një lloji tjetër.
Karakteristikat e elipsit:
1) Një elipsë ka dy boshte simetrie pingule (boshtet kryesore të elipsës) dhe një qendër simetrie (qendra e elipsës). Nëse një elipsë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë boshtet e saj kryesore janë boshtet koordinative dhe qendra e saj është origjina. Meqenëse gjatësitë e segmenteve të formuara nga kryqëzimi i elipsit me boshtet kryesore janë të barabarta me 2 A dhe 2 b (2a>2b), atëherë boshti kryesor që kalon nëpër vatra quhet boshti kryesor i elipsës, dhe boshti i dytë kryesor quhet bosht i vogël.
2) E gjithë elipsa gjendet brenda drejtkëndëshit
3) Ekscentriciteti i elipsit e< 1.
Vërtet, 
4) Drejtorët e elipsës janë të vendosura jashtë elipsës (pasi distanca nga qendra e elipsës në drejtimin është a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, dhe e gjithë elipsa shtrihet në një drejtkëndësh)
5) Raporti i distancës r i nga pika elips në fokus F i në distancë d i nga kjo pikë në drejtimin që i përgjigjet fokusit është i barabartë me ekscentricitetin e elipsit.
Dëshmi.
Distancat nga pika M(x, y) deri në vatrat e elipsit mund të përfaqësohen si më poshtë:
Le të krijojmë ekuacionet direkte:
(D 1), (D 2). Pastaj 
Nga këtu r i / d i = e, që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Hiperbola.
Përkufizimi 11.5.Hiperbolaështë bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është moduli i ndryshimit të distancave në dy pika fikse F 1 dhe F 2 i këtij avioni, i quajtur truket, është një vlerë konstante.
Le të nxjerrim ekuacionin kanonik të një hiperbole me analogji me derivimin e ekuacionit të një elipsi, duke përdorur të njëjtin shënim.
|r 1 - r 2 | = 2a, nga ku Nëse shënojmë b² = c² - a², nga këtu mund të merrni
- ekuacioni kanonik i hiperbolës. (11.3)
Përkufizimi 11.6.Ekscentricitet hiperbola quhet sasi e = c/a.
Përkufizimi 11.7.Drejtoresha D i hiperbola që korrespondon me fokusin F i, quhet drejtëz e vendosur në të njëjtin gjysmërrafsh me F i në raport me boshtin Oh pingul me boshtin Oh në një distancë a/e nga origjina.
Vetitë e hiperbolës:
1) Një hiperbolë ka dy boshte simetrie (boshtet kryesore të hiperbolës) dhe një qendër simetrie (qendra e hiperbolës). Në këtë rast, njëri prej këtyre boshteve kryqëzohet me hiperbolën në dy pika, të quajtura kulme të hiperbolës. Quhet boshti real i hiperbolës (boshti Oh për zgjedhjen kanonike të sistemit të koordinatave). Boshti tjetër nuk ka pika të përbashkëta me hiperbolën dhe quhet bosht i saj imagjinar (në koordinatat kanonike - boshti Oh). Në të dy anët e saj janë degët e djathta dhe të majta të hiperbolës. Fokuset e një hiperbole janë të vendosura në boshtin e saj real.
2) Degët e hiperbolës kanë dy asimptota, të përcaktuara nga ekuacionet
3) Së bashku me hiperbolën (11.3), ne mund të konsiderojmë të ashtuquajturën hiperbolë të konjuguar, të përcaktuar nga ekuacioni kanonik
për të cilat boshti real dhe imagjinar këmbehen duke ruajtur të njëjtat asimptota.
4) Ekscentriciteti i hiperbolës e> 1.
5) Raporti i distancës r i nga pika e hiperbolës në fokus F i në distancë d i nga kjo pikë në drejtimin që i përgjigjet fokusit është i barabartë me ekscentricitetin e hiperbolës.
Prova mund të kryhet në të njëjtën mënyrë si për elipsën.
Parabola.
Përkufizimi 11.8.Parabolaështë bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është distanca deri në një pikë fikse F ky rrafsh është i barabartë me distancën nga një vijë e drejtë fikse. Pika F thirrur fokusi parabolat, dhe vija e drejtë është e saj drejtoreshë.
Për të nxjerrë ekuacionin e parabolës, zgjedhim kartezianin
sistemi i koordinatave në mënyrë që origjina e tij të jetë mesi
D M(x,y) pingul FD, i hequr nga fokusi në direktivë
r su, dhe boshtet koordinative ishin të vendosura paralelisht dhe
pingul me drejtorin. Lëreni gjatësinë e segmentit FD
D O F x është e barabartë me r. Pastaj nga barazia r = d rrjedh se
sepse
Duke përdorur transformimet algjebrike, ky ekuacion mund të reduktohet në formën: y² = 2 px, (11.4)
thirrur ekuacioni kanonik i parabolës. Madhësia r thirrur parametri parabolat.
Karakteristikat e një parabole:
1) Një parabolë ka një bosht simetrie (boshti i parabolës). Pika ku parabola pret boshtin quhet kulm i parabolës. Nëse një parabolë jepet nga një ekuacion kanonik, atëherë boshti i saj është boshti Oh, dhe kulmi është origjina e koordinatave.
2) E gjithë parabola ndodhet në gjysmë rrafshin e djathtë të avionit Oh.
Komentoni. Duke përdorur vetitë e drejtimeve të një elipsi dhe një hiperbole dhe përkufizimin e një parabole, mund të vërtetojmë pohimin e mëposhtëm:
Bashkësia e pikave në rrafshin për të cilin relacioni e distanca nga një pikë fikse nga distanca në një vijë të drejtë është një vlerë konstante, është një elips (me e<1), гиперболу (при e>1) ose parabolë (me e=1).
Informacione të lidhura.
Reduktimi i formave kuadratike
Le të shqyrtojmë metodën më të thjeshtë dhe më të përdorur në praktikë të reduktimit të një forme kuadratike në formë kanonike, e quajtur Metoda e Lagranzhit. Ai bazohet në izolimin e një katrori të plotë në formë kuadratike.
Teorema 10.1(Teorema e Lagranzhit Çdo formë kuadratike (10.1):
duke përdorur një transformim linear jo të veçantë (10.4) mund të reduktohet në formën kanonike (10.6):
,
□ Ne do ta vërtetojmë teoremën në mënyrë konstruktive, duke përdorur metodën e Lagranzhit për identifikimin e katrorëve të plotë. Detyra është të gjendet një matricë jo njëjës e tillë që transformimi linear (10.4) të rezultojë në një formë kuadratike (10.6) të formës kanonike. Kjo matricë do të merret gradualisht si prodhim i një numri të kufizuar matricash të një lloji të veçantë.
Pika 1 (përgatitore).
1.1. Le të zgjedhim midis variablave atë që përfshihet në formën kuadratike në katror dhe në fuqinë e parë në të njëjtën kohë (le ta quajmë atë variabli kryesor). Le të kalojmë në pikën 2.
1.2. Nëse nuk ka ndryshore kryesore në formën kuadratike (për të gjithë : ), atëherë zgjedhim një palë variablash, produkti i të cilave përfshihet në formë me një koeficient jo zero dhe kalojmë në hapin 3.
1.3. Nëse në një formë kuadratike nuk ka produkte të ndryshoreve të kundërta, atëherë kjo formë kuadratike përfaqësohet tashmë në formën kanonike (10.6). Vërtetimi i teoremës është i plotë.
Pika 2 (përzgjedhja e një katrori të plotë).
2.1. Duke përdorur variablin kryesor, ne zgjedhim një katror të plotë. Pa humbur përgjithësinë, supozoni se ndryshorja kryesore është . Duke grupuar termat që përmbajnë , marrim
.
Zgjedhja e një katrori të përsosur sipas ndryshoreve në 
, marrim
.
Kështu, si rezultat i izolimit të katrorit të plotë me një ndryshore, marrim shumën e katrorit të formës lineare.
e cila përfshin variablin kryesor, dhe formën kuadratike 
nga variablat , në të cilat ndryshorja kryesore nuk përfshihet më. Le të bëjmë një ndryshim të variablave (fusim variabla të reja)
marrim një matricë
() transformim linear jo njëjës, si rezultat i të cilit forma kuadratike (10.1) merr formën e mëposhtme
Me trajtë kuadratike 
Le të bëjmë të njëjtën gjë si në pikën 1.
2.1. Nëse ndryshorja kryesore është ndryshorja, atëherë mund ta bëni atë në dy mënyra: ose zgjidhni një katror të plotë për këtë ndryshore, ose kryeni riemërimi (rinumërimi) variablat:
me një matricë transformimi jo njëjës:
.
Pika 3 (krijimi i një ndryshoreje kryesore).Çiftin e përzgjedhur të variablave e zëvendësojmë me shumën dhe diferencën e dy variablave të reja dhe ndryshojmë variablat e vjetra të mbetura me variablat e reja përkatëse. Nëse, për shembull, në paragrafin 1 termi është theksuar
atëherë ndryshimi përkatës i variablave ka formën
dhe në formën kuadratike (10.1) do të fitohet ndryshorja kryesore.
Për shembull, në rastin e ndryshimit të variablave:
matrica e këtij transformimi linear jo njëjës ka formën
.
Si rezultat i algoritmit të mësipërm (zbatimi sekuencial i pikave 1, 2, 3), forma kuadratike (10.1) do të reduktohet në formën kanonike (10.6).
Vini re se si rezultat i transformimeve të kryera në formën kuadratike (përzgjedhja e një katrori të plotë, riemërtimi dhe krijimi i një ndryshoreje drejtuese), ne kemi përdorur matrica elementare jo njëjës të tre llojeve (janë matrica të kalimit nga baza në bazë). Matrica e kërkuar e transformimit linear josingular (10.4), sipas të cilit forma (10.1) ka formën kanonike (10.6), fitohet duke shumëzuar një numër të fundëm matricash elementare jo njëjëse të tre llojeve. ■
Shembulli 10.2. Jepni formën kuadratike
në formë kanonike me metodën e Lagranzhit. Tregoni transformimin linear jo njëjës përkatës. Kryeni kontrollin.
Zgjidhje. Le të zgjedhim variablin kryesor (koeficientin). Duke grupuar termat që përmbajnë , dhe duke zgjedhur një katror të plotë prej tij, marrim
ku tregohet
Le të bëjmë një ndryshim të variablave (fusim variabla të reja)
Shprehja e variablave të vjetër në terma të variablave të rinj:
marrim një matricë
220400 Algjebra dhe gjeometria Tolstikov A.V.
Ligjërata 16. Format bilineare dhe kuadratike.
Planifikoni
1. Forma bilineare dhe vetitë e saj.
2. Forma kuadratike. Matrica e formës kuadratike. Koordinoni transformimin.
3. Reduktimi i formës kuadratike në formë kanonike. Metoda e Lagranzhit.
4. Ligji i inercisë së formave kuadratike.
5. Reduktimi i formës kuadratike në formë kanonike duke përdorur metodën e eigenvalue.
6. Kriteri Silverst për përcaktimin pozitiv të një forme kuadratike.
1. Kursi i gjeometrisë analitike dhe algjebrës lineare. M.: Nauka, 1984.
2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elemente të algjebrës lineare dhe gjeometrisë analitike. 1997.
3. Voevodin V.V. Algjebra lineare.. M.: Nauka 1980.
4. Mbledhja e problemeve për kolegjet. Algjebra lineare dhe bazat e analizës matematikore. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981.
5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algjebra lineare në pyetje dhe problema. M.: Fizmatlit, 2001.
, , , ,
1. Forma bilineare dhe vetitë e saj. Le V - n-hapësirë vektoriale dimensionale mbi fushë P.
Përkufizimi 1.Forma bilineare, të përcaktuara më V, një hartë e tillë quhet g: V 2 ® P, e cila për çdo çift të porositur ( x , y ) vektorë x , y nga fut në V përputhen me numrin nga fusha P, shënohet g(x , y ), dhe lineare në secilën prej variablave x , y , d.m.th. që ka veti:
1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );
2) ("x , y Î V) ("a О P)g(a x , y ) = a g(x , y );
3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );
4) ("x , y Î V) ("a О P)g(x , a y ) = a g(x , y ).
Shembulli 1. Çdo produkt pikash i përcaktuar në një hapësirë vektoriale Vështë një formë bilineare.
2 . Funksioni h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 ku x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2) О R 2, forma bilineare në R 2 .
Përkufizimi 2. Le v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Matrica e formës bilineareg(x , y ) në lidhje me bazënv quhet matricë B=(b ij)n ´ n, elementet e të cilit llogariten me formulë b ij = g(v i, v j):
Shembulli 3. Matrica Bilineare h(x , y ) (shih shembullin 2) në lidhje me bazën e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) është e barabartë me .
Teorema 1. LeX, Y - kolonat koordinative të vektorëve përkatësishtx , y në bazëv, B - matrica e formës bilineareg(x , y ) në lidhje me bazënv. Atëherë forma bilineare mund të shkruhet si
g(x , y )=X t NGA. (1)
Dëshmi. Nga vetitë e formës bilineare marrim
Shembulli 3. Forma bilineare h(x
,
y
) (shih shembullin 2) mund të shkruhet në formë h(x
, y
)=
.
Teorema 2. Le v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - dy baza hapësinore vektorialeV, T - matrica e tranzicionit nga bazav në bazëu. Le B= (b ij)n ´ n Dhe ME=(me ij)n ´ n - matricat bilineareg(x , y ) përkatësisht në raport me bazatv dheu. Pastaj
ME=T t BT.(2)
Dëshmi. Nga përkufizimi i matricës së tranzicionit dhe matricës së formës bilineare, gjejmë:
Përkufizimi 2. Forma bilineare g(x , y ) quhet simetrike, Nëse g(x , y ) = g(y , x ) për çdo x , y Î V.
Teorema 3. Forma bilineareg(x , y )- simetrike nëse dhe vetëm nëse një matricë e formës bilineare është simetrike në lidhje me ndonjë bazë.
Dëshmi. Le v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza e hapësirës vektoriale V, B= (b ij)n ´ n- matricat e formës bilineare g(x , y ) në lidhje me bazën v. Lëreni formën bilineare g(x , y ) - simetrike. Pastaj sipas përkufizimit 2 për cilindo i, j = 1, 2,…, n ne kemi b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Pastaj matrica B- simetrike.
Anasjelltas, le matricën B- simetrike. Pastaj Bt= B dhe për çdo vektor x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, sipas formulës (1), marrim (marrim parasysh që numri është një matricë e rendit 1 dhe nuk ndryshon gjatë transpozimit)
g(x , y ) =g(x , y )t = (X t NGA)t = Y t B t X = g(y , x ).
2. Forma kuadratike. Matrica e formës kuadratike. Koordinoni transformimin.
Përkufizimi 1.Forma kuadratike përcaktuar në V, quajtur hartografi f:V® P, e cila për çdo vektor x nga V përcaktohet nga barazia f(x ) = g(x , x ), Ku g(x , y ) është një formë bilineare simetrike e përcaktuar në V .
Prona 1.Sipas një forme të caktuar kuadratikef(x )forma bilineare gjendet në mënyrë unike nga formula
g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)
Dëshmi. Për çdo vektor x , y Î V marrim nga vetitë e formës bilineare
f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).
Nga kjo rrjedh formula (1).
Përkufizimi 2.Matrica e formës kuadratikef(x ) në lidhje me bazënv = (v 1 , v 2 ,…, v n) është matrica e formës bilineare simetrike përkatëse g(x , y ) në lidhje me bazën v.
Teorema 1. LeX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- kolona koordinative e vektoritx në bazëv, B - matricë e formës kuadratikef(x ) në lidhje me bazënv. Pastaj forma kuadratikef(x )
