Para se të zgjidhim problemin e dridhjeve të një vargu fiks, do të shqyrtojmë një problem më të thjeshtë - dridhjet e një vargu të pafund. Nëse imagjinoni një varg shumë të gjatë, është e qartë se skajet e vargut nuk do të kenë një efekt të dukshëm në dridhjet që lindin në pjesën e mesme të tij. Pra, nëse merrni një litar të gjatë të shtrirë dhe e rrotulloni pak në mes, atëherë valët do të kalojnë përgjatë litarit në të majtë dhe në të djathtë. Fotografia do të fillojë të shtrembërohet vetëm kur valët të arrijnë skajet e litarit dhe, pasi të jenë reflektuar, të kthehen prapa. Rrjedhimisht, pa marrë parasysh ndikimin e skajeve të vargut, ne nuk do të marrim parasysh ndikimin e valëve të reflektuara.
Duke marrë parasysh dridhjet e lira, duhet të zgjidhim ekuacionin homogjen
në kushtet fillestare
ku funksionet janë të specifikuara në të gjithë boshti numerik. Nuk vendosen kushte kufitare për funksionin e dëshiruar. Një problem i tillë quhet problem me kushtet fillestare ose problemi Cauchy. Metoda për zgjidhjen e saj, të cilën do ta përshkruajmë tani, quhet metoda e d'Alembert ose metoda e valëve që udhëtojnë.
Para së gjithash, ne do ta tregojmë atë zgjidhje e përgjithshme ekuacioni (2.1), d.m.th., zgjidhja në varësi të dy funksioneve arbitrare (shih hyrjen), ka formën
ku funksionet supozohen të jenë dy herë të diferencueshëm.
Në të vërtetë, duke diferencuar në mënyrë sekuenciale, gjejmë:
Nga këtu është e qartë se
d.m.th., ajo barazi (2.1) është e plotësuar.
Detyra jonë tani është që, duke përdorur kushtet fillestare (2.2), të përcaktojmë funksionet e panjohura. Duke supozuar në (2.3) dhe duke rregulluar shprehjen për në të parën nga kushtet (2.2), marrim
Tani duke vendosur shprehjen për dhe duke përdorur kushtin e dytë (2.2), arrijmë në ekuacionin
Duke integruar këtë barazi në diapazonin nga 0 deri në marrim relacionin
të cilën do ta reduktojmë në formë
ku është një vlerë konstante.
Nga sistemi i ekuacioneve (2.4) dhe (2.6) gjejmë funksionet e kërkuara
Duke zëvendësuar argumentin në formulat (2.7) me përkatësisht dhe duke zëvendësuar shprehjet që rezultojnë në formulën (2.3), gjejmë funksionin
Duke vënë re atë
Le t'i japim zgjidhjes formën e mëposhtme:
Formula (2.8) quhet zgjidhja e d'Alembert për problemin Cauchy për ekuacionin e dridhjeve të vargut.
I lëmë lexuesit të verifikojë në mënyrë të pavarur që funksioni i gjetur në të vërtetë plotëson si ekuacionin (2.1) ashtu edhe kushtet (2.2).
Për të zbuluar kuptimi fizik zgjidhjen e marrë, para së gjithash do të shqyrtojmë veçmas funksionet e përfshira në shprehje e përgjithshme(2.3) për . Le të fillojmë me një funksion dhe të ndërtojmë grafikët e këtij funksioni me vlera në rritje etj. (në figurën 5 ato janë të vendosura nga lart poshtë).
Grafiku i dytë do të zhvendoset në lidhje me të parën me një shumë, i treti me një sasi, etj. Nëse këto vizatime projektohen një nga një në një ekran të palëvizshëm, shikuesi do të shohë se grafiku i paraqitur në vizatimin e sipërm do të "ekzekutohet ” në të djathtë. (Kjo metodë e përshkrimit të lëvizjes është, nga rruga, baza për xhirimin e filmave të animuar.) Për më tepër, nëse lëvizni mendërisht në të djathtë përgjatë vargut me shpejtësi konstante dhe atëherë devijimi i vargut do të duket konstant gjatë gjithë kohës.
Në të vërtetë, pasi të kemi filluar të lëvizim, të themi, në një pikë dhe të lëvizim gjatë kohës t në pikën x, do të kemi
Le të shqyrtojmë problemin e lëkundjeve të një vargu të pafund. Nëse imagjinoni një varg shumë të gjatë, është e qartë se skajet e vargut nuk do të kenë një efekt të dukshëm në dridhjet që lindin në pjesën e mesme të tij. Pra, nëse merrni një litar të gjatë të shtrirë dhe e rrotulloni pak në mes, atëherë valët do të kalojnë përgjatë litarit në të majtë dhe në të djathtë.
Fotografia do të fillojë të shtrembërohet vetëm kur valët të arrijnë skajet e litarit dhe, pasi të jenë reflektuar, të kthehen prapa. Rrjedhimisht, pa marrë parasysh ndikimin e skajeve të vargut, ne nuk do të marrim parasysh ndikimin e valëve të reflektuara.
Kështu, arrijmë te problemi i lëkundjeve të lira të një vargu të pakufizuar, i cili formulohet si më poshtë: zgjidhni një lineare homogjene ekuacioni diferencial tip hiperbolik
në kushtet fillestare
ku funksionet dhe janë të specifikuara në të gjithë vijën numerike. Asnjë kusht tjetër nuk vendoset për funksionin e kërkuar. Një problem i tillë quhet problem me kushtet fillestare, ose problem Cauchy. Metoda për zgjidhjen e saj quhet metoda e d'Alembert ose metoda e valëve udhëtuese.
Ekuacioni i karakteristikave 
ndahet në dy:
Karakteristikat janë të drejtpërdrejta:
Duke prezantuar ndryshore të reja, marrim pamje kanonike ekuacionet e vibrimit:
Duke integruar këtë ekuacion mbi , marrim:
Duke integruar ekuacionin e fundit mbi (për një vlerë fikse), do të kemi:
Marrë integral i përgjithshëm Le të shkruajmë, duke zëvendësuar dhe:
Duke marrë parasysh kushtet fillestare (4.19), marrim:
Duke integruar ekuacionin (4.22), marrim:
. (4.23)
Duke zgjidhur ekuacionin (4.23) së bashku me ekuacionin (4.21) do të kemi:
, (4.24)
. (4.25)
Duke marrë parasysh se funksionet dhe janë të përcaktuara për çdo argument, ne zëvendësojmë x në ekuacionin (4.24) nga dhe në ekuacionin (4.25) nga .
Duke zëvendësuar shprehjet që rezultojnë në ekuacionin (4.20), marrim:
. (4.26)
Shprehja (4.26) quhet formula e d'Alembert ose zgjidhja e d'Alembert për problemin Cauchy për ekuacionin e lëkundjeve të një vargu të pakufishëm. Ajo gjithashtu tregon ekzistencën dhe unike të një zgjidhjeje për këtë problem.
Le të zbulojmë kuptimin fizik të zgjidhjes së marrë. Le të shqyrtojmë dy raste të veçanta.
Le të jenë zero shpejtësitë fillestare të pikave të vargut dhe vargu të dridhet si rezultat i devijimit fillestar. Në këtë rast, në formulën (4.26) duhet të vendosim . Pastaj
. (4.27)
Lëkundjet mund të konsiderohen si një mbivendosje (mbivendosje) e lëkundjeve të dy valëve:
· vala e parë përhapet me shpejtësi a në të djathtë (valë e drejtë);
· vala e dytë përhapet me të njëjtën shpejtësi majtas (vala e kundërt).
NË momenti i fillimit koha t= 0, profilet e të dy valëve përkojnë dhe përsërisin devijimin fillestar të vargut me gjysmën e amplitudës.
Tani le të jetë zhvendosja fillestare e ndryshme nga zero në interval dhe jashtë këtij intervali. Në këtë rast, ata thonë se vargu ka vetëm një impuls fillestar (valë impulse). Pastaj, në përputhje me (4.26), zgjidhja ka formën:
. (4.28)
Merrni parasysh funksionin
. (4.29)
Duke përdorur shprehjen (4.29), e shkruajmë ekuacionin (4.28) në formën:
Kjo do të thotë, dy valë impulse përhapen përgjatë vargut: përpara dhe prapa, dhe vala që rezulton është shuma (superpozicioni) i këtyre valëve.
Përfundim: veprimi i impulsit është se me kalimin e kohës pikat e vargut zhvendosen nga një segment i përcaktuar nga integrali (4.28) dhe mbeten në këtë pozicion. Vala duket se lë gjurmë pas kalimit të saj.
Rezultatet e marra për dridhjet e një vargu të pafund nuk mund të zbatohen për dridhjet reale varg fizik. Në të vërtetë, shumë faktorë nuk janë marrë parasysh në nxjerrjen e tyre. Në veçanti, përvoja na mëson se një varg i çdo gjatësie, kur shqetësohet ose goditet, dridhet. Ligjet e dridhjeve të një vargu të pafund (4.27) dhe (4.28) nuk e tregojnë këtë, sepse dridhjet e një vargu të fundëm ndodhin për shkak të reflektimit të devijimeve nga skajet fikse të vargut, dhe kur marrim parasysh një varg të pafundmë ne bëjmë mos merrni parasysh ndikimin e skajeve. Prandaj, në praktikë, zgjidhjet e ekuacioneve (4.27) dhe (4.28) janë të zbatueshme vetëm për momente të tilla t, për të cilat devijimet e pikave të vargut nuk kishin kohë të arrinin skajet e tij. Përveç kësaj, funksionet fillestare dhe duhet të jetë e tillë që gjatë gjithë procesit të jetë një vlerë e vogël që mund të neglizhohet në krahasim me unitetin.
Le të shqyrtojmë dy raste të veçanta që japin një ide të sjelljes së zgjidhjes së ekuacionit, Rasti 1. Le të ketë grafiku i funksionit formën e treguar në Fig. Për. Le të supozojmë për thjeshtësi se a = 1. Atëherë formula e d'Alembert-it do të marrë formën nga grafiku y>o(x) - duke përgjysmuar çdo ordinate (vijë me pika në figurën e sipërme. Pastaj, në figurën 3, ne). lëvizni njërin nga këta grafikë, në tërësi, me t djathtas në drejtim të gjysmëboshtit pozitiv Ox> dhe tjetrin - me t në të majtë orar i ri, ordinata e së cilës për secilën vlerë të x është e barabartë me shumën e ordinatave të dy grafikëve të zhvendosur. Në Fig. 3 b, 3 c dhe 3 d, duke përdorur këtë metodë, u ndërtuan përkatësisht grafikët rx (x, j), u (x, j) dhe (x, 1). Shohim që në kushtet fillestare të zgjedhura, në secilën pikë të vargut, pas kalimit të të dy valëve (për pikat që shtrihen jashtë rajonit të zhvendosjes fillestare, pas kalimit të vetëm njërës), ndodh pushimi. SyauchaL 2. Le të Korrektësia e deklaratës së problemit Shembull i Hadamardit të një problemi të shtruar keq Lëkundjet e lira të një vargu homogjen të fiksuar në skajet Studimi i formulës së d'Alembert Në këtë rast, ata thonë se vargu ka vetëm një impuls fillestar. Zgjidhja (8) merr formën (për thjeshtësi supozojmë a=1): Për çdo x fikse, zgjidhja u(xyt) do të jetë e barabartë me zero deri në kryqëzimin e intervalit (x-t, x +1) me intervalin ( -5 "?)" ku MO7*0, bosh; u(x,0 do të ndryshojë gjatë periudhës kohore derisa intervali në rritje (x-t, x 4-1) të mbulojë të gjitha shumica e intervali (-5, 3). Pasi intervali (x-t, x + t) mbyll intervalin (-5, 3), vlera u(r,0) do të mbetet e pandryshuar dhe e barabartë Për të marrë një grafik që përfaqëson formën e vargut në t ndryshme si më poshtë Le të shënojmë përmes F(g) disa funksioni antiderivativ për 4>\(z). Më pas, për të ndërtuar një grafik të u(x, t), ne vizatojmë grafikët e funksioneve dhe më pas lëvizim secilin nga këta grafikë, në tërësi, me një distancë £ përgjatë sëpatës dhe Ox, grafikun e parë në të majtë dhe të dytin. në të djathtë. Duke mbledhur ordinatat e grafikëve të zhvendosur, fitojmë një grafik të funksionit ti(x, t) (Fig. 5). kohë, çdo pikë e vargut do të lëvizë dhe do të marrë një devijim të palëvizshëm "st", të përcaktuar nga integrali (9). Në këtë rast kemi pra deformim të mbetur (histerezë). § 3. Korrektësia e deklaratës së problemit. Shembulli i Hadamard për një problem të shtruar keq Në lidhje me studimin e fenomeneve të përcaktuara fizikisht, prezantohet koncepti i korrektësisë së problemit. Përkufizimi. Ata thonë se një problem matematikor shtrohet saktë nëse 1) zgjidhja e problemit ekziston në ndonjë klasë të funksioneve M\; 2) zgjidhja e problemit është unike në një klasë të caktuar funksionesh M2; 3) zgjidhja e problemit varet vazhdimisht nga të dhënat e problemit (kushtet fillestare dhe kufitare, koeficientët e ekuacionit, etj.). Set M| Funksionet P M2 quhen klasa e korrektësisë së problemit matematikor në shqyrtim. Në teorinë e ekuacioneve diferenciale të zakonshme, është vërtetuar se problemi i Cauchy-t shtrohet saktë nëse funksioni /(x, y) është i vazhdueshëm në grupin e argumenteve dhe ka një derivat të kufizuar në një fushë që përmban një pikë për një varg të pakufishëm Kemi përcaktuar më sipër se zgjidhja e problemit (1)-(2) 1) ekziston dhe 2) është unike. Le të tregojmë se me një ndryshim të vazhdueshëm në kushtet fillestare, kjo zgjidhje ndryshon vazhdimisht. Teorema 1. Cilido qoftë segmenti )
