Për një johomogjene lineare ekuacioni diferencial n- Porosia e pare
y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + një(x)y = f(x),
Ku y = y(x) - Jo funksion i njohur, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), një(x), f(x) - i njohur, i vazhdueshëm, i drejtë:
1) nëse y 1(x) Dhe y 2(x) - dy zgjidhje nuk janë ekuacioni homogjen, pastaj funksioni
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - zgjidhja e ekuacionit homogjen përkatës;
2) nëse y 1(x) zgjidhje ekuacioni johomogjen, A y 2(x) është zgjidhja e ekuacionit homogjen përkatës, pastaj funksioni
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - zgjidhje e një ekuacioni jo homogjen;
3) nëse y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n zgjidhjet lineare të pavarura të një ekuacioni homogjen, dhe ych(x) - vendim arbitrar ekuacioni johomogjen,
pastaj për ndonjë vlerat fillestare
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Shprehje
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
thirrur vendim i përgjithshëm ekuacioni diferencial johomogjen linear n- urdhri.
Për të gjetur zgjidhje të pjesshme të ekuacioneve diferenciale johomogjene me koeficientët konstant me anët e djathta të formës:
Pk(x) exp(a x)cos( bx) + Q m(x) exp(a x) mëkat ( bx),
Ku Pk(x), Q m(x) - polinomet e shkallës k Dhe m Prandaj, ekziston një algoritëm i thjeshtë për ndërtimin e një zgjidhjeje të caktuar, i quajtur metoda e përzgjedhjes.
Metoda ose metoda e përzgjedhjes koeficientët e pasigurt, është si më poshtë.
Zgjidhja e kërkuar e ekuacionit shkruhet si:
(Pr(x) exp(a x)cos( bx) + Qr(x) exp(a x) mëkat ( bx))xs,
Ku Pr(x), Qr(x) - polinomet e shkallës r= max( k, m) Me i panjohur koeficientët
pr , pr- 1, ..., fq 1, fq 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Kështu, per te gjetur zgjidhje e përgjithshme vijon ekuacioni diferencial johomogjen linear me koeficientë konstante
gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës (shkruani ekuacionin karakteristik, gjeni të gjitha rrënjët ekuacioni karakteristik l 1, l 2, ... , ln, shkruani sistemi themelor Zgjidhjet y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
gjeni ndonjë zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen ych(x);
shkruani shprehjen për zgjidhjen e përgjithshme
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);
Ekuacionet diferenciale lineare johomogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante me anën e djathtë lloj i veçantë. Metoda e koeficientëve të papërcaktuar.
Ekuacioni diferencial i formës (1)
ku, f është një funksion i njohur, i quajtur një ekuacion diferencial linear i rendit të n-të me koeficientë konstante. Nëse , atëherë ekuacioni (1) quhet homogjen, përndryshe - johomogjen.
Për ekuacionet lineare johomogjene me koeficientë konstante dhe me anën e djathtë të një forme të veçantë, domethënë, të përbërë nga shuma dhe produkte të funksioneve, një zgjidhje e veçantë mund të kërkohet me metodën e koeficientëve të pacaktuar. Lloji i zgjidhjes së veçantë varet nga rrënjët e ekuacionit karakteristik. Më poshtë është një tabelë e llojeve të zgjidhjeve të pjesshme për një ekuacion linear johomogjen me një anën e djathtë të veçantë.
Aeroplan kompleks. Moduli dhe argumenti i një numri kompleks. Kuptimi kryesor i argumentit. Kuptimi gjeometrik
Numrat kompleks shkruhen në formën: a+ bi. Këtu janë a dhe b numra realë, edhe une - njësi imagjinare, d.m.th. i 2 = –1. Numri a quhet abshisa, dhe b është ordinata e numrit kompleks a+ bi. Dy numra kompleksë a+ bi dhe a – bi quhen numra kompleksë të konjuguar.
Paraqitja gjeometrike numra komplekse. Numrat realë përfaqësohen me pika në vijën numerike:
Këtu, pika A qëndron për numrin –3, pika B qëndron për numrin 2 dhe O qëndron për zero. Në të kundërt, numrat kompleksë përfaqësohen me pika plan koordinativ. Për këtë qëllim zgjedhim koordinatat drejtkëndore (karteziane) me të njëjtat shkallë në të dy boshtet. Pastaj numër kompleks a+ bi do të paraqitet me pikën P me abshisë a dhe me ordinatë b (shih figurën). Ky sistem koordinativ quhet plan kompleks.
Moduli i një numri kompleks është gjatësia e vektorit OP që përfaqëson një numër kompleks në planin koordinativ (kompleks). Moduli i një numri kompleks a+ bi shënohet | a+ bi | ose shkronja r dhe është e barabartë me:
Numrat kompleksë të konjuguar kanë të njëjtin modul. __
Argumenti i një numri kompleks është këndi midis boshtit OX dhe vektorit OP që përfaqëson këtë numër kompleks. Prandaj, tan = b/a.
Njohja e sistemit themelor të zgjidhjeve të një ekuacioni bën të mundur ndërtimin e një zgjidhjeje të përgjithshme për këtë ekuacion. Le të kujtojmë përkufizimin e zgjidhjes së përgjithshme të ekuacionit diferencial P- urdhri
Funksioni 
, të përcaktuara në disa fusha të variacionit të variablave 
, në secilën pikë të së cilës ekziston ekzistenca dhe unike e një zgjidhjeje për problemin Cauchy, dhe që ka derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me X sipas porosisë P përfshirëse, quhet një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (15) në rajonin e treguar nëse:
sistemi i ekuacioneve
të zgjidhshme në rajonin e specifikuar në lidhje me konstantet arbitrare 
, Kështu që
(16)
2. funksion 
është një zgjidhje e ekuacionit (15) për të gjitha vlerat e konstantave arbitrare 
, shprehur me formulat (16), kur pika 
i përket zonës në shqyrtim.
Teorema 1. (mbi strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni diferencial linear homogjen). Nëse funksionet 
,
,
…,
formojnë një sistem themelor zgjidhjesh për një ekuacion linear homogjen P- urdhri 
në interval 
, d.m.th. në intervalin e vazhdimësisë së koeficientëve, atëherë funksioni 
është një zgjidhje e përgjithshme e këtij ekuacioni në rajon D:
,
,
.
Dëshmi. Në çdo pikë të rajonit të treguar ekziston ekzistenca dhe unike e një zgjidhjeje për problemin Cauchy. Le të tregojmë tani se funksioni 
plotëson përkufizimin e një zgjidhjeje të përgjithshme të ekuacionit P- urdhri.
sistemi i ekuacioneve
të zgjidhshme në domen D në lidhje me konstantet arbitrare 
meqenëse përcaktori i këtij sistemi është përcaktor Wronski për sistemin themelor të zgjidhjeve (12) dhe, për rrjedhojë, është i ndryshëm nga zero.
2. Funksioni 
nga vetia e zgjidhjeve të një ekuacioni linear homogjen, është një zgjidhje e ekuacionit 
për të gjitha vlerat e konstantave arbitrare 
.
Prandaj funksioni 
është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit 
në zonë D. Teorema është e vërtetuar.
Shembull.
.
Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë padyshim funksionet 
,
. Këto vendime formojnë një sistem themelor vendimesh, pasi
.
Prandaj, zgjidhja e përgjithshme ekuacioni origjinalështë funksioni.
Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni linear johomogjen të rendit të n-të.
Le të shqyrtojmë një heterogjene ekuacioni linear P- urdhri
Le të tregojmë se, si në rastin e një ekuacioni linear johomogjen të rendit të parë, integrimi i ekuacionit (1) reduktohet në integrimin e një ekuacioni homogjen nëse dihet një zgjidhje e veçantë e ekuacionit johomogjen (1).
Le 
- një zgjidhje e veçantë për ekuacionin (1), d.m.th.
,
. (2)
Le të vendosim 
, Ku z– funksion i ri i panjohur nga X. Atëherë ekuacioni (1) do të marrë formën
ose 
,
prej nga, në bazë të identitetit (2), marrim
. (3)
Ky është një ekuacion linear homogjen, ana e majte i cili është i njëjtë me atë të ekuacionit të konsideruar johomogjen (1). Ato. kemi marrë një ekuacion homogjen që i përgjigjet këtij ekuacioni johomogjen (1).
,
,
…,
,
është një sistem themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen (3). Atëherë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni përmbahen në formulën për zgjidhjen e përgjithshme të tij, d.m.th.
.
Le ta zëvendësojmë këtë vlerë z në formulë 
, marrim
.
Funksioni që rezulton është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1) në rajon D.
Kështu, ne kemi treguar se zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit linear johomogjen (1) është e barabartë me shumën e disa zgjidhjeve të veçanta të këtij ekuacioni dhe zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit linear homogjen përkatës.
Shembull. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit
.
Zgjidhje. Kemi që një zgjidhje e veçantë për këtë ekuacion linear johomogjen ka formën
.
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës 
, siç e kemi treguar tashmë më herët, ka formën
Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit origjinal është: 
.
Në shumë raste, detyra për të gjetur një zgjidhje të veçantë për një ekuacion johomogjen është më e lehtë nëse përdorni vetinë e mëposhtme:
Teorema. Nëse në ekuacionin (1) ana e djathtë ka formën
dhe dihet se 
, A 
- zgjidhje e veçantë e ekuacionit 
, atëherë shuma e këtyre zgjidhjeve të veçanta 
+
do të jetë një zgjidhje e pjesshme e ekuacionit (1).
Dëshmi. Në të vërtetë, që nga kushti 
ka një zgjidhje të veçantë për ekuacionin 
, A 
- zgjidhje e veçantë e ekuacionit 
, Kjo
,
.
ato. 
+
është një zgjidhje e veçantë e ekuacionit (1).
Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni të tillë përcaktohet nga teorema e mëposhtme.
Teorema 1. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen (1) paraqitet si shuma e disa zgjidhjeve të veçanta të këtij ekuacioni y h dhe zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës
Dëshmi. Duhet të vërtetojmë se shuma (3)
Ekziston një zgjidhje e përgjithshme për ekuacionin (1).
Le të vërtetojmë fillimisht se funksioni (3) është zgjidhje e ekuacionit (1). Zëvendësimi në vend në shuma në ekuacionin (1) do të jetë:
Meqenëse – është një zgjidhje e ekuacionit (2), shprehja në kllapat e para të ekuacionit (4) është identike e barabartë me zero. Sepse y hështë zgjidhje e ekuacionit (1), atëherë shprehja në kllapa e dytë (4) është e barabartë me f(x). Prandaj, barazia (4) është një identitet. Kështu, pjesa e parë e teoremës vërtetohet.
Le të vërtetojmë tani se shprehja (3) është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1), d.m.th. Le të vërtetojmë se konstantat arbitrare të përfshira në të mund të zgjidhen në mënyrë që kushtet fillestare (5)
sido që të jenë numrat x 0, y 0, dhe (nëse vetëm zonat ku funksionojnë a 1, a 2 Dhe f(x) e vazhdueshme).
Duke vënë re se ne mund ta përfaqësojmë atë si 
, Ku y 1, y 2 lineare zgjidhje të pavarura ekuacioni (2), dhe C 1 Dhe C 2 janë konstante arbitrare, ne mund ta rishkruajmë barazinë (3) në formën . Pastaj, bazuar në kushtin (5), do të kemi një sistem
.
Nga ky sistem ekuacionesh është e nevojshme të përcaktohet C 1 Dhe C 2. Le ta rishkruajmë sistemin në formë
(6)
Përcaktues i sistemit 
– ekziston një përcaktues Wronski për zgjidhjet në 1 Dhe në 2 në pikën. Meqenëse këto funksione janë linearisht të pavarura nga kushti, përcaktorja Wronski nuk është e barabartë me zero, prandaj sistemi (6) ka vetëm vendim C 1 Dhe C 2, d.m.th. ka kuptime të tilla C 1 Dhe C 2 në të cilën formula (3) përcakton zgjidhjen e ekuacionit (1) duke plotësuar kushtet fillestare të dhëna.
Kështu, nëse dihet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen (2), atëherë detyra kryesore gjatë integrimit të ekuacionit johomogjen (1) është të gjesh ndonjë zgjidhje të veçantë. y h.
Ekuacione diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante me anën e djathtë të veçantë. Metoda e koeficientëve të papërcaktuar.
Ndonjëherë është e mundur të gjesh një zgjidhje më të thjeshtë pa iu drejtuar integrimit. Kjo ndodh në raste të veçanta kur funksioni f(x) Ajo ka lloj i veçantë.
Le të kemi ekuacionin, (1)
Ku fq Dhe q numrat realë dhe f(x) ka një pamje të veçantë. Le të shqyrtojmë disa mundësi të tilla për ekuacionin (1).
Le të jetë prodhimi ana e djathtë e ekuacionit (1). funksioni eksponencial në një polinom, d.m.th. duket si 
, (2)
ku është një polinom i shkallës së n-të. Atëherë rastet e mëposhtme janë të mundshme:
një numër - nuk është rrënjë ekuacioni karakteristik 
.
Në këtë rast, një zgjidhje e veçantë duhet të kërkohet në formën (3)
ato. edhe në formën e një polinomi n-shkalla e, ku A 0, A 1,…, A n duhet të përcaktohen koeficientët.
Për t'i përcaktuar ato gjejmë derivatet dhe .
Zëvendësimi y h, dhe në ekuacionin (1) dhe duke reduktuar të dyja anët me një faktor do të kemi:
Këtu është një polinom i shkallës së n-të, - një polinom i shkallës (n-1) dhe - një polinom i shkallës (n-2).
Kështu, në të majtë dhe në të djathtë të shenjës së barazimit ka polinome n-shkalla e saj. Barazimi i koeficientëve në shkallë të barabarta X(numri i koeficientëve të panjohur është i barabartë me ), marrim një sistem ekuacionesh për përcaktimin e koeficientëve A 0, A 1, ..., A n.
nëse ana e djathtë e ekuacionit (1) ka formën:
