Thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme. Dhjetore periodike të pafundme

Tashmë në shkollën fillore, nxënësit janë të ekspozuar ndaj thyesave. Dhe pastaj shfaqen në çdo temë. Ju nuk mund të harroni veprimet me këto numra. Prandaj, duhet të dini të gjitha informacionet për thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Këto koncepte nuk janë të komplikuara, gjëja kryesore është të kuptoni gjithçka në rregull.

Pse nevojiten thyesat?

Bota rreth nesh përbëhet nga objekte të tëra. Prandaj, nuk ka nevojë për aksione. Por përditshmëria vazhdimisht i shtyn njerëzit të punojnë me pjesë të sendeve dhe sendeve.

Për shembull, çokollata përbëhet nga disa pjesë. Konsideroni një situatë ku pllaka e tij formohet nga dymbëdhjetë drejtkëndësha. Nëse e ndani në dysh, merrni 6 pjesë. Mund të ndahet lehtësisht në tre. Por nuk do të jetë e mundur t'u jepni pesë personave një numër të plotë feta çokollate.

Nga rruga, këto feta janë tashmë fraksione. Dhe ndarja e tyre e mëtejshme çon në shfaqjen e numrave më kompleksë.

Çfarë është një "fraksion"?

Ky është një numër i përbërë nga pjesë të një njësie. Nga pamja e jashtme, duket si dy numra të ndarë nga një horizontale ose e pjerrët. Kjo veçori quhet fraksionale. Numri i shkruar në krye (majtas) quhet numërues. Ajo që është në fund (djathtas) është emëruesi.

Në thelb, prerja rezulton të jetë një shenjë ndarjeje. Kjo do të thotë, numëruesi mund të quhet divident, dhe emëruesi mund të quhet pjesëtues.

Cilat thyesa ka?

Në matematikë ekzistojnë vetëm dy lloje: thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Nxënësit e shkollës njihen me të parët në shkollën fillore, duke i quajtur thjesht "fraksione". Kjo e fundit do të mësohet në klasën e 5-të. Pikërisht atëherë shfaqen këta emra.

Thyesat e zakonshme janë të gjitha ato që shkruhen si dy numra të ndarë me një rresht. Për shembull, 4/7. Një dhjetor është një numër në të cilin pjesa thyesore ka një shënim pozicionor dhe ndahet nga numri i plotë me presje. Për shembull, 4.7. Nxënësit duhet të kuptojnë qartë se dy shembujt e dhënë janë numra krejtësisht të ndryshëm.

Çdo thyesë e thjeshtë mund të shkruhet si dhjetore. Kjo deklaratë është pothuajse gjithmonë e vërtetë në të kundërt. Ka rregulla që ju lejojnë të shkruani një thyesë dhjetore si një thyesë e zakonshme.

Çfarë nënllojesh kanë këto lloj thyesash?

Është më mirë të fillohet sipas rendit kronologjik, pasi ato janë studiuar. Thyesat e zakonshme janë të parat. Midis tyre, mund të dallohen 5 nënspecie.

E sakte. Numëruesi i tij është gjithmonë më i vogël se emëruesi i tij.

E gabuar. Numëruesi i tij është më i madh ose i barabartë me emëruesin e tij.

E reduktueshme/pa reduktueshme. Mund të dalë ose e drejtë ose e gabuar. Një tjetër gjë e rëndësishme është nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët. Nëse ka, atëherë është e nevojshme të ndani të dy pjesët e fraksionit me to, domethënë ta zvogëloni atë.

Të përziera. Një numër i plotë i caktohet pjesës së tij të zakonshme të rregullt (të parregullt) thyesore. Për më tepër, është gjithmonë në të majtë.

Kompozit. Formohet nga dy fraksione të ndara me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë, ai përmban tre rreshta të pjesshëm në të njëjtën kohë.

Thyesat dhjetore kanë vetëm dy nëntipe:

i fundëm, pra ai, pjesa thyesore e të cilit është e kufizuar (ka fund);

i pafund - një numër, shifrat e të cilit pas presjes dhjetore nuk mbarojnë (ato mund të shkruhen pafundësisht).

Si të konvertohet një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme?

Nëse ky është një numër i fundëm, atëherë aplikohet një asociacion bazuar në rregullin - siç dëgjoj, kështu shkruaj. Kjo do të thotë, duhet ta lexoni saktë dhe ta shkruani, por pa presje, por me një shirit të pjesshëm.

Si një aluzion për emëruesin e kërkuar, duhet të mbani mend se është gjithmonë një dhe disa zero. Ju duhet të shkruani aq shumë nga këto të fundit sa shifra ka në pjesën thyesore të numrit në fjalë.

Si të konvertohen thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme nëse pjesa e tyre e plotë mungon, domethënë e barabartë me zero? Për shembull, 0.9 ose 0.05. Pas aplikimit të rregullit të specifikuar, rezulton se ju duhet të shkruani zero numra të plotë. Por nuk tregohet. Mbetet vetëm të shënohen pjesët thyesore. Numri i parë do të ketë emërues 10, i dyti do të ketë emërues 100. Pra, shembujt e dhënë do të kenë si përgjigje numrat e mëposhtëm: 9/10, 5/100. Për më tepër, rezulton se kjo e fundit mund të reduktohet me 5. Prandaj, rezultati për të duhet të shkruhet si 1/20.

Si mund ta shndërroni një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme nëse pjesa e saj e plotë është e ndryshme nga zero? Për shembull, 5.23 ose 13.00108. Në të dy shembujt lexohet e gjithë pjesa dhe shkruhet vlera e saj. Në rastin e parë është 5, në të dytën është 13. Pastaj duhet të kaloni në pjesën e pjesshme. I njëjti operacion supozohet të kryhet me ta. Numri i parë shfaqet 23/100, i dyti - 108/100000. Vlera e dytë duhet të reduktohet përsëri. Përgjigja jep thyesat e mëposhtme të përziera: 5 23/100 dhe 13 27/25000.

Si të konvertohet një thyesë dhjetore e pafundme në një thyesë të zakonshme?

Nëse është jo periodike, atëherë një operacion i tillë nuk do të jetë i mundur. Ky fakt është për faktin se çdo thyesë dhjetore gjithmonë shndërrohet në një thyesë të fundme ose periodike.

E vetmja gjë që mund të bësh me një fraksion të tillë është ta rrumbullakosh atë. Por atëherë numri dhjetor do të jetë afërsisht i barabartë me atë të pafundme. Ajo tashmë mund të kthehet në një të zakonshme. Por procesi i kundërt: konvertimi në dhjetor nuk do të japë kurrë vlerën fillestare. Kjo do të thotë, thyesat e pafundme jo periodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme. Kjo duhet të mbahet mend.

Si të shkruhet një thyesë periodike e pafundme si një thyesë e zakonshme?

Në këta numra, ka gjithmonë një ose më shumë shifra pas presjes dhjetore që përsëriten. Ata quhen një periudhë. Për shembull, 0.3 (3). Këtu "3" është në periudhë. Ato klasifikohen si racionale sepse mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme.

Ata që kanë hasur në thyesa periodike e dinë se ato mund të jenë të pastra ose të përziera. Në rastin e parë, pika fillon menjëherë nga presja. Në të dytën, pjesa thyesore fillon me disa numra dhe më pas fillon përsëritja.

Rregulli me të cilin duhet të shkruani një dhjetore të pafundme si një fraksion i zakonshëm do të jetë i ndryshëm për dy llojet e numrave të treguar. Është mjaft e lehtë të shkruash thyesat periodike të pastra si thyesa të zakonshme. Ashtu si me ato të fundme, ato duhet të konvertohen: shkruani periudhën në numërues dhe emëruesi do të jetë numri 9, i përsëritur aq herë sa numri i shifrave që përmban perioda.

Për shembull, 0, (5). Numri nuk ka një pjesë të plotë, kështu që duhet të filloni menjëherë me pjesën thyesore. Shkruani 5 si numërues dhe 9 si emërues, domethënë, përgjigja do të jetë thyesa 5/9.

Rregulli se si të shkruhet një thyesë e zakonshme periodike dhjetore që është e përzier.

Shikoni gjatësinë e periudhës. Kaq 9 do të ketë emëruesi.

Shkruani emëruesin: fillimisht nëntë, pastaj zero.

Për të përcaktuar numëruesin, duhet të shkruani ndryshimin e dy numrave. Të gjithë numrat pas presjes dhjetore do të minimizohen, së bashku me pikën. E zbritshme - është pa periudhë.

Për shembull, 0.5 (8) - shkruani thyesën dhjetore periodike si një thyesë e zakonshme. Pjesa thyesore para pikës përmban një shifër. Pra, do të jetë një zero. Ekziston gjithashtu vetëm një numër në periudhën - 8. Kjo do të thotë, ka vetëm një nëntë. Kjo do të thotë, duhet të shkruani 90 në emërues.

Për të përcaktuar numëruesin, duhet të zbrisni 5 nga 58. Rezulton 53. Për shembull, përgjigja duhet të shkruhet si 53/90.

Si shndërrohen thyesat në dhjetore?

Opsioni më i thjeshtë është një numër, emëruesi i të cilit është numri 10, 100, etj. Pastaj emëruesi thjesht hidhet poshtë dhe vendoset një presje midis pjesëve thyesore dhe të plota.

Ka situata kur emëruesi kthehet lehtësisht në 10, 100, etj. Për shembull, numrat 5, 20, 25. Mjafton t'i shumëzoni me 2, 5 dhe 4, përkatësisht. Thjesht duhet të shumëzoni jo vetëm emëruesin, por edhe numëruesin me të njëjtin numër.

Për të gjitha rastet e tjera, një rregull i thjeshtë është i dobishëm: ndani numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, mund të merrni dy përgjigje të mundshme: një thyesë dhjetore të fundme ose periodike.

Veprimet me thyesat e zakonshme

Mbledhja dhe zbritja

Nxënësit njihen me to më herët se të tjerët. Për më tepër, në fillim thyesat kanë emërues të njëjtë, dhe më pas ata kanë të ndryshëm. Rregullat e përgjithshme mund të reduktohen në këtë plan.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve.

Shkruani faktorë shtesë për të gjitha thyesat e zakonshme.

Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit me faktorët e specifikuar për ta.

Shtoni (zbrisni) numëruesit e thyesave dhe lini emëruesin e përbashkët të pandryshuar.

Nëse numëruesi i minuendit është më i vogël se nëntrupi, atëherë duhet të zbulojmë nëse kemi një numër të përzier apo një thyesë të duhur.

Në rastin e parë, duhet të huazoni një nga e gjithë pjesa. Shtoni emëruesin në numëruesin e thyesës. Dhe pastaj bëni zbritjen.

Në të dytën, është e nevojshme të zbatohet rregulli i zbritjes së një numri më të madh nga një numër më i vogël. Kjo do të thotë, nga moduli i subtrahend, zbrit modulin e minuend, dhe si përgjigje vendosni një shenjë "-".

Shikoni me kujdes rezultatin e mbledhjes (zbritjes). Nëse merrni një fraksion të papërshtatshëm, atëherë duhet të zgjidhni të gjithë pjesën. Domethënë, ndani numëruesin me emëruesin.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Për t'i kryer ato, thyesat nuk kanë nevojë të reduktohen në një emërues të përbashkët. Kjo e bën më të lehtë kryerjen e veprimeve. Por ata ende kërkojnë që ju të ndiqni rregullat.

Kur shumëzoni thyesat, duhet të shikoni numrat në numërues dhe emërues. Nëse ndonjë numërues dhe emërues ka një faktor të përbashkët, atëherë ato mund të reduktohen.

Shumëzoni numëruesit.

Shumëzoni emëruesit.

Nëse rezultati është një fraksion i reduktueshëm, atëherë ai duhet të thjeshtohet përsëri.

Gjatë pjesëtimit, së pari duhet të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim, dhe pjesëtuesin (pjesën e dytë) me thyesën reciproke (ndërroni numëruesin dhe emëruesin).

Pastaj vazhdoni si me shumëzim (duke filluar nga pika 1).

Në detyrat ku duhet të shumëzoni (pjestoni) me një numër të plotë, ky i fundit duhet të shkruhet si një thyesë e gabuar. Kjo do të thotë, me një emërues 1. Më pas veproni siç përshkruhet më sipër.



Veprimet me dhjetore

Mbledhja dhe zbritja

Sigurisht, gjithmonë mund të shndërroni një dhjetore në një thyesë. Dhe veproni sipas planit të përshkruar tashmë. Por ndonjëherë është më e përshtatshme të veprosh pa këtë përkthim. Atëherë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e tyre do të jenë saktësisht të njëjta.

Barazoni numrin e shifrave në pjesën thyesore të numrit, domethënë pas presjes dhjetore. Shtoni në të numrin e munguar të zerave.

Shkruani thyesat në mënyrë që presja të jetë poshtë presjes.

Shtoni (zbrisni) si numra natyrorë.

Hiq presjen.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Është e rëndësishme që nuk keni nevojë të shtoni zero këtu. Thyesat duhet të lihen siç janë dhënë në shembull. Dhe pastaj shkoni sipas planit.

Për të shumëzuar, duhet të shkruani thyesat njëra nën tjetrën, duke injoruar presjet.

Shumëzoni si numra natyrorë.

Vendosni një presje në përgjigje, duke numëruar nga fundi i djathtë i përgjigjes aq shifra sa janë në pjesët thyesore të të dy faktorëve.

Për të ndarë, së pari duhet të transformoni pjesëtuesin: ta bëni atë një numër natyror. Kjo do të thotë, shumëzojeni atë me 10, 100, etj., në varësi të numrit të shifrave në pjesën thyesore të pjesëtuesit.

Shumëzoni dividentin me të njëjtin numër.

Pjesëtoni një thyesë dhjetore me një numër natyror.

Vendosni presje në përgjigjen tuaj në momentin kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës.



Po sikur një shembull të përmbajë të dy llojet e thyesave?

Po, në matematikë ka shpesh shembuj në të cilët duhet të kryeni veprime në thyesa të zakonshme dhe dhjetore. Në detyra të tilla ka dy zgjidhje të mundshme. Ju duhet të peshoni në mënyrë objektive numrat dhe të zgjidhni atë optimalin.

Mënyra e parë: përfaqësoni numrat dhjetorë të zakonshëm

Është i përshtatshëm nëse ndarja ose përkthimi rezulton në thyesa të fundme. Nëse të paktën një numër jep një pjesë periodike, atëherë kjo teknikë është e ndaluar. Prandaj, edhe nëse nuk ju pëlqen të punoni me fraksione të zakonshme, do t'ju duhet t'i numëroni ato.

Mënyra e dytë: shkruaj thyesat dhjetore si të zakonshme

Kjo teknikë rezulton të jetë e përshtatshme nëse pjesa pas pikës dhjetore përmban 1-2 shifra. Nëse ka më shumë prej tyre, mund të përfundoni me një fraksion shumë të madh të zakonshëm dhe shënimi dhjetor do ta bëjë detyrën më të shpejtë dhe më të lehtë për t'u llogaritur. Prandaj, gjithmonë duhet të vlerësoni me maturi detyrën dhe të zgjidhni metodën më të thjeshtë të zgjidhjes.

Dihet se nëse emëruesi n thyesa e pareduktueshme në zgjerimin e saj kanonik ka një faktor kryesor jo të barabartë me 2 dhe 5, atëherë kjo thyesë nuk mund të paraqitet si një thyesë dhjetore e fundme. Nëse përpiqemi në këtë rast të shkruajmë thyesën origjinale të pakësueshme si dhjetore, duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin, atëherë procesi i pjesëtimit nuk mund të përfundojë, sepse nëse do të plotësohej pas një numri të caktuar hapash, do të merrnim një thyesë dhjetore të fundme, e cila bie ndesh me teoremën e provuar më parë. Pra, në këtë rast shënimi dhjetor i një numri racional pozitiv është A= duket të jetë një thyesë e pafundme.

Për shembull, fraksioni = 0,3636... . Është e lehtë të vërehet se mbetjet kur pjesëtohet 4 me 11 përsëriten periodikisht, prandaj, numrat dhjetorë do të përsëriten periodikisht, d.m.th. rezulton thyesë dhjetore periodike të pafundme, e cila mund të shkruhet si 0,(36).

Numrat 3 dhe 6 që përsëriten periodikisht formojnë një pikë. Mund të rezultojë se ka disa shifra midis pikës dhjetore dhe fillimit të periudhës së parë. Këta numra formojnë paraperiudhën. Për shembull,

0.1931818... Procesi i pjesëtimit të 17 me 88 është i pafund. Numrat 1, 9, 3 formojnë paraperiudhën; 1, 8 - periudha. Shembujt që kemi shqyrtuar pasqyrojnë një model, d.m.th. çdo numër racional pozitiv mund të përfaqësohet ose si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme.

Teorema 1. Le të jetë thyesa e zakonshme e pakalueshme në zgjerimin kanonik të emëruesit nështë një faktor i thjeshtë i ndryshëm nga 2 dhe 5. Atëherë thyesa e përbashkët mund të paraqitet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme.

Dëshmi. Ne tashmë e dimë se procesi i pjesëtimit të një numri natyror m në një numër natyror n do të jetë i pafund. Le të tregojmë se do të jetë periodik. Në fakt, kur ndahet m në n bilancet që rezultojnë do të jenë më të vogla n, ato. numrat e formës 1, 2, ..., ( n– 1), nga e cila është e qartë se numri i mbetjeve të ndryshme është i fundëm dhe për këtë arsye, duke filluar nga një hap i caktuar, do të përsëritet një pjesë e mbetur, e cila do të sjellë përsëritjen e numrave dhjetorë të herësit dhe të thyesës dhjetore të pafundme. bëhet periodik.

Dy teorema të tjera vlejnë.

Teorema 2. Nëse zgjerimi i emëruesit të një thyese të pareduktueshme në faktorë të thjeshtë nuk përfshin numrat 2 dhe 5, atëherë kur kjo thyesë shndërrohet në një thyesë dhjetore të pafundme, do të fitohet një thyesë e pastër periodike, d.m.th. një thyesë periudha e së cilës fillon menjëherë pas presjes dhjetore.

Teorema 3. Nëse zgjerimi i emëruesit përfshin faktorët 2 (ose 5) ose të dy, atëherë thyesa periodike e pafundme do të përzihet, d.m.th. ndërmjet pikës dhjetore dhe fillimit të periudhës do të ketë disa shifra (paraperiudha), përkatësisht sa më i madhi nga eksponentët e faktorëve 2 dhe 5.

Teoremat 2 dhe 3 i propozohen lexuesit për t'i provuar në mënyrë të pavarur.

28. Metodat e kalimit nga periodike e pafundme
thyesat dhjetore në thyesat e zakonshme

Le të jepet një thyesë periodike A= 0, (4), d.m.th. 0,4444... .

Le të shumohemi A nga 10, marrim

10A= 4,444…4…Þ 10 A = 4 + 0,444….

Ato. 10 A = 4 + A, kemi marrë një ekuacion për A, duke e zgjidhur atë, marrim: 9 A= 4 Þ A = .

Vëmë re se 4 është edhe numëruesi i thyesës që rezulton dhe periudha e thyesës 0,(4).

Rregulli shndërrimi i një thyese të pastër periodike në një thyesë të zakonshme formulohet si më poshtë: numëruesi i thyesës është i barabartë me periodën, dhe emëruesi përbëhet nga i njëjti numër nëntësh sa ka shifra në periudhën e thyesës.

Le ta vërtetojmë tani këtë rregull për një fraksion, periudha e së cilës përbëhet nga n

A= . Le të shumëzohemi A nga 10 n, marrim:

10n × A = = + 0, ;

10n × A = + a;

(10n – 1) A = Þ a = = .

Pra, rregulli i formuluar më parë është vërtetuar për çdo fraksion periodik të pastër.

Tani le të japim një thyesë A= 0.605 (43) - periodike e përzier. Le të shumëzohemi A me 10 me të njëjtin tregues, sa shifra janë në paraperiudhë, d.m.th. nga 10 3, marrim

10 3 × A= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × A = 605 + = 605 + = = ,

ato. 10 3 × A= .

Rregulli shndërrimi i një thyese periodike të përzier në një thyesë të zakonshme formulohet si më poshtë: numëruesi i thyesës është i barabartë me diferencën midis numrit të shkruar me shifra para fillimit të periudhës së dytë dhe numrit të shkruar me shifra përpara fillimit të periudhës së parë. , emëruesi përbëhet nga numri i nëntëve i barabartë me numrin e shifrave në periudhë dhe numri i tillë i zeros sa shifra ka para fillimit të periudhës së parë.

Le ta vërtetojmë tani këtë rregull për një thyesë paraperiudha e së cilës përbëhet nga n numrat, dhe periudha është nga te numrat Le të jepet një thyesë periodike

Le të shënojmë V= ; r= ,

Me= ; Pastaj Me=në × 10k + r.

Le të shumohemi A me 10 me një eksponent të tillë sa shifra janë në paraperiudhë, d.m.th. nga 10 n, marrim:

A× 10 n = + .

Duke marrë parasysh shënimet e paraqitura më sipër, ne shkruajmë:

a× 10n= V+ .

Pra, rregulli i formuluar më sipër është vërtetuar për çdo fraksion periodik të përzier.

Çdo thyesë dhjetore periodike e pafundme është një formë e shkrimit të një numri racional.

Për hir të konsistencës, ndonjëherë një dhjetore e fundme konsiderohet gjithashtu një dhjetore periodike e pafundme me periudhën "zero". Për shembull, 0,27 = 0,27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3000... .

Tani pohimi i mëposhtëm bëhet i vërtetë: çdo numër racional mund (dhe në një mënyrë unike) të shprehet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme, dhe çdo thyesë dhjetore periodike e pafundme shpreh saktësisht një numër racional (thyesat dhjetore periodike me një periudhë 9 nuk konsiderohen ).

Fakti që shumë rrënjë katrore janë numrat irracionalë, nuk e ul aspak rëndësinë e tyre në veçanti, numri $\sqrt2$ përdoret shumë shpesh në llogaritjet e ndryshme inxhinierike dhe shkencore. Ky numër mund të llogaritet me saktësinë e kërkuar në çdo rast specifik. Ju mund ta merrni këtë numër në aq numra dhjetore sa keni durim.

Për shembull, numri $\sqrt2$ mund të përcaktohet me një saktësi prej gjashtë shifrash dhjetore: $\sqrt2=1.414214$. Kjo vlerë nuk është shumë e ndryshme nga vlera e vërtetë, pasi $1.414214 \herë 1.414214=2.000001237796$. Kjo përgjigje ndryshon nga 2 me më shumë se një e milionta. Prandaj, vlera e $\sqrt2$ e barabartë me 1.414214$ konsiderohet mjaft e pranueshme për zgjidhjen e shumicës së problemeve praktike. Në rastet kur kërkohet saktësi më e madhe, nuk është e vështirë të përftohen aq shifra domethënëse pas presjes dhjetore sa nevojitet në këtë rast.

Megjithatë, nëse tregoni kokëfortësi të rrallë dhe përpiqeni të nxirrni rrënjë katrore nga numri $\sqrt2$ derisa të arrini rezultatin e saktë, nuk do ta përfundoni kurrë punën tuaj. Është një proces i pafund. Pavarësisht sa shifra dhjetore të merrni, gjithmonë do të mbeten edhe disa të tjera.

Ky fakt mund t'ju befasojë po aq sa shndërrimi i $\frac13$ në një dhjetore të pafundme $0.333333333…$ dhe kështu me radhë pafundësisht, ose duke e kthyer $\frac17$ në $0.142857142857142857…$ e kështu me radhë për një kohë të pacaktuar. Në pamje të parë mund të duket se këto rrënjë katrore të pafundme dhe irracionale janë dukuri të të njëjtit rend, por nuk është aspak kështu. Në fund të fundit, këto thyesa të pafundme kanë një ekuivalent thyesor, ndërsa $\sqrt2$ nuk ka një ekuivalent të tillë. Pse pikërisht? Fakti është se ekuivalenti dhjetor i $\frac13$ dhe $\frac17$, si dhe një numër i pafund i fraksioneve të tjera, janë thyesa periodike të pafundme.

Në të njëjtën kohë, ekuivalenti dhjetor i $\sqrt2$ është një fraksion jo periodik. Ky pohim është gjithashtu i vërtetë për çdo numër irracional.

Problemi është se çdo dhjetore që është një përafrim i rrënjës katrore të 2 është thyesë jo periodike. Pavarësisht se sa larg shkojmë në llogaritjet tona, çdo thyesë që marrim do të jetë jo periodike.

Imagjinoni një fraksion me një numër të madh shifrash jo periodike pas pikës dhjetore. Nëse papritmas pas shifrës së miliontë përsëritet i gjithë sekuenca e numrave dhjetorë, kjo do të thotë dhjetore- periodike dhe ka një ekuivalent për të në formën e një raporti të numrave të plotë. Nëse një thyesë me një numër të madh (miliarda ose miliona) shifrash dhjetore jo periodike në një moment ka një seri të pafundme shifrash të përsëritura, për shembull $...55555555555...$, kjo do të thotë gjithashtu se kjo thyesë është periodike dhe për të ekziston një ekuivalent në formën e një raporti të numrave të plotë të numrave.

Megjithatë, në rast se ekuivalentët e tyre dhjetorë janë plotësisht jo periodikë dhe nuk mund të bëhen periodikë.

Sigurisht, mund të bëni pyetjen e mëposhtme: “Kush mund ta dijë dhe të thotë me siguri se çfarë ndodh me një fraksion, le të themi, pas shenjës së trilionit? Kush mund të garantojë që një fraksion nuk do të bëhet periodik?” Ka mënyra për të vërtetuar përfundimisht se numrat irracionalë janë jo periodikë, por prova të tilla kërkojnë matematikë komplekse. Por nëse befas doli se numri irracional bëhet fraksion periodik, kjo do të nënkuptonte një kolaps të plotë të themeleve të shkencave matematikore. Dhe në fakt kjo vështirë se është e mundur. Nuk është e lehtë për ty ta hedhësh atë në kyçet e dorës nga njëra anë në tjetrën, këtu ka një teori komplekse matematikore.

Siç dihet, bashkësia e numrave racionalë (Q) përfshin bashkësinë e numrave të plotë (Z), e cila nga ana e saj përfshin bashkësinë e numrave natyrorë (N). Përveç numrave të plotë, numrat racional përfshijnë edhe thyesat.

Pse atëherë i gjithë grupi i numrave racional ndonjëherë konsiderohet si thyesa dhjetore periodike të pafundme? Në të vërtetë, përveç thyesave, ato përfshijnë edhe numra të plotë, si dhe thyesa jo periodike.

Fakti është se të gjithë numrat e plotë, si dhe çdo fraksion, mund të përfaqësohen si një fraksion dhjetor periodik i pafund. Kjo do të thotë, për të gjithë numrat racional mund të përdorni të njëjtën metodë regjistrimi.

Si paraqitet një dhjetore periodike e pafundme? Në të, një grup numrash përsëritës pas presjes dhjetore vendoset në kllapa. Për shembull, 1.56(12) është një fraksion në të cilin grupi i shifrave 12 përsëritet, pra thyesa ka vlerën 1.561212121212... e kështu me radhë pafundësisht. Një grup numrash që përsëriten quhet pikë.

Megjithatë, ne mund të përfaqësojmë çdo numër në këtë formë nëse e konsiderojmë periodën e tij si numrin 0, i cili gjithashtu përsëritet pafundësisht. Për shembull, numri 2 është i njëjtë me 2.00000.... Prandaj, ai mund të shkruhet si një thyesë periodike e pafundme, pra 2,(0).

E njëjta gjë mund të bëhet me çdo thyesë të fundme. Për shembull:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Megjithatë, në praktikë ata nuk përdorin shndërrimin e një thyese të fundme në një periodike të pafundme. Prandaj, ata ndajnë thyesat e fundme dhe ato periodike të pafundme. Kështu, është më e saktë të thuhet se numrat racional përfshijnë

• të gjithë numrat e plotë
• thyesat përfundimtare,
• thyesat periodike të pafundme.

Në të njëjtën kohë, thjesht mbani mend se numrat e plotë dhe thyesat e fundme mund të përfaqësohen në teori në formën e thyesave periodike të pafundme.

Nga ana tjetër, konceptet e thyesave të fundme dhe të pafundme janë të zbatueshme për thyesat dhjetore. Kur bëhet fjalë për thyesat, dhjetoret e fundme dhe ato të pafundme mund të përfaqësohen në mënyrë unike si thyesë. Kjo do të thotë se nga pikëpamja e thyesave të zakonshme, thyesat periodike dhe të fundme janë e njëjta gjë. Për më tepër, numrat e plotë mund të paraqiten gjithashtu si një thyesë duke imagjinuar se po e pjesëtojmë numrin me 1.

Si të përfaqësohet një thyesë periodike dhjetore e pafundme si një thyesë e zakonshme? Algoritmi më i përdorur është diçka si ky:

1. Zvogëloni thyesën në mënyrë që pas presjes dhjetore të ketë vetëm një pikë.
2. Shumëzoni një thyesë periodike të pafundme me 10 ose 100 ose ... në mënyrë që pika dhjetore të lëvizë djathtas me një pikë (d.m.th., një pikë përfundon në të gjithë pjesën).
3. Barazoni thyesën origjinale (a) me ndryshoren x dhe thyesën (b) të përftuar duke shumëzuar me numrin N në Nx.
4. Zbrisni x nga Nx. Nga b zbres a. Domethënë, ata përbëjnë ekuacionin Nx – x = b – a.
5. Kur zgjidhet një ekuacion, rezultati është një fraksion i zakonshëm.

Një shembull i konvertimit të një thyese dhjetore periodike të pafundme në një fraksion të zakonshëm:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =

Se nëse e njohin teorinë e serive, atëherë pa të nuk mund të futen koncepte metamatike. Për më tepër, këta njerëz besojnë se kushdo që nuk e përdor gjerësisht është injorant. Mendimet e këtyre njerëzve le t'ia lëmë ndërgjegjes së tyre. Le të kuptojmë më mirë se çfarë është një thyesë periodike e pafundme dhe si duhet ta trajtojmë ne, të paarsimuarit që nuk njohim kufij.

Le të ndajmë 237 me 5. Jo, nuk keni nevojë të hapni Llogaritësin. Le të kujtojmë më mirë shkollën e mesme (apo edhe fillore?) dhe thjesht ta ndajmë atë në një kolonë:

Epo, ju kujtohet? Atëherë mund të filloni biznesin.

Koncepti i "fraksionit" në matematikë ka dy kuptime:

1. Numër jo i plotë.
2. Forma jo e plotë.

1. E thjeshtë (ose vertikale) thyesa, si 1/2 ose 237/5.
2. Thyesat dhjetore, të tilla si 0,5 ose 47,4.

Në matematikë, në përgjithësi, numërimi dhjetor është pranuar gjithmonë, dhe për këtë arsye thyesat dhjetore janë më të përshtatshme se ato të thjeshta, domethënë një thyesë me emërues dhjetor (Vladimir Dal. Fjalori shpjegues i gjuhës së madhe ruse të gjallë. "Dhjetë") .

Edhe një person krejtësisht i paarsimuar do ta vërejë: sado kohë të zgjasë, nuk do të ndahet: trenjakët do të vazhdojnë të shfaqen pafundësisht. Pra, le ta shkruajmë atë: 0.33... Ne nënkuptojmë "numrin që fitohet kur pjesëtoni 1 me 3", ose, shkurt, "një e treta". Natyrisht, një e treta është një thyesë në kuptimin e parë të fjalës, dhe "1/3" dhe "0.33..." janë thyesa në kuptimin e dytë të fjalës, d.m.th. formularët e hyrjes një numër që ndodhet në vijën numerike në një distancë të tillë nga zero, saqë nëse e lini mënjanë tre herë, ju merrni një.

Tani le të përpiqemi të ndajmë 5 me 6:

Le ta shkruajmë përsëri: 0,833... Ne nënkuptojmë "numrin që merrni kur pjesëtoni 5 me 6", ose, shkurt, "pesë të gjashtat". Megjithatë, këtu lind konfuzioni: a do të thotë kjo 0.83333 (dhe më pas trinjakët përsëriten), apo 0.833833 (dhe më pas përsëritet 833). Prandaj, shënimi me elipsë nuk na përshtatet: nuk është e qartë se ku fillon pjesa përsëritëse (quhet "periudha"). Prandaj, do ta vendosim periudhën në kllapa, si kjo: 0,(3); 0.8 (3).

0, (3) jo e lehtë barazohet një e treta, kjo është ka një e treta, sepse ne e shpikëm posaçërisht këtë shënim për të paraqitur këtë numër si një thyesë dhjetore.

Kjo hyrje quhet thyesë periodike e pafundme, ose thjesht një fraksion periodik.

Sa herë që pjesëtojmë një numër me një tjetër, nëse nuk marrim një thyesë të fundme, marrim një thyesë periodike të pafundme, domethënë, një ditë sekuencat e numrave do të fillojnë patjetër të përsëriten. Pse është kështu, mund të kuptohet thjesht në mënyrë spekulative duke parë me kujdes algoritmin e ndarjes së kolonave:

Në vendet e shënuara me shenja, nuk mund të merren gjithmonë çifte të ndryshme numrash (sepse, në parim, ka një numër të kufizuar çiftesh të tilla). Dhe sapo të shfaqet një palë e tillë, e cila tashmë ekzistonte, ndryshimi do të jetë gjithashtu i njëjtë - dhe më pas i gjithë procesi do të fillojë të përsëritet. Nuk ka nevojë ta kontrolloni këtë, sepse është mjaft e qartë se nëse përsëritni të njëjtat veprime, rezultatet do të jenë të njëjta.

Tani që e kuptojmë mirë thelbi thyesë periodike, le të përpiqemi të shumëzojmë një të tretën me tre. Po, sigurisht, do të merrni një, por le ta shkruajmë këtë thyesë në formë dhjetore dhe ta shumëzojmë atë në një kolonë (paqartësia nuk lind këtu për shkak të elipsës, pasi të gjithë numrat pas presjes dhjetore janë të njëjtë):

Dhe përsëri vërejmë se nëntë, nëntë dhe nëntë do të shfaqen pas presjes dhjetore gjatë gjithë kohës. Kjo do të thotë, duke përdorur shënimin e kllapave të kundërta, marrim 0, (9). Meqenëse ne e dimë se prodhimi i një të tretës dhe tre është një, atëherë 0.(9) është një mënyrë kaq fantastike për të shkruar një. Megjithatë, është e papërshtatshme të përdoret kjo formë regjistrimi, sepse një njësi mund të shkruhet në mënyrë të përsosur pa përdorur një pikë, si kjo: 1.

Siç mund ta shihni, 0, (9) është një nga ato raste kur numri i plotë shkruhet në formë thyese, si 3/3 ose 7.0. Kjo do të thotë, 0,(9) është një thyesë vetëm në kuptimin e dytë të fjalës, por jo në të parën.

Pra, pa asnjë kufizim apo seri, ne kuptuam se çfarë është 0.(9) dhe si ta trajtojmë atë.

Por le të kujtojmë akoma se në fakt ne jemi analizë të zgjuar dhe të studiuar. Në të vërtetë, është e vështirë të mohohet se:

Por, ndoshta, askush nuk do të argumentojë me faktin se:

E gjithë kjo, natyrisht, është e vërtetë. Në të vërtetë, 0,(9) është edhe shuma e serisë së reduktuar, edhe sinusi i dyfishtë i këndit të treguar, edhe logaritmi natyror i numrit të Euler-it.

Por as njëra, as tjetra, as e treta nuk është përkufizim.

Të thuash se 0,(9) është shuma e serisë së pafundme 9/(10 n), me n të barabartë me një, është e njëjtë sikur të thuash se sinusi është shuma e serisë së pafundme të Taylor:

Kjo absolutisht e drejtë, dhe ky është fakti më i rëndësishëm për matematikën llogaritëse, por nuk është një përkufizim dhe, më e rëndësishmja, nuk e afron një person më afër të kuptuarit në thelb sinusit Thelbi i sinusit të një këndi të caktuar është se ai vetëm gjithçka raporti i këmbës përballë këndit me hipotenuzën.

Pra, një thyesë periodike është vetëm gjithçka një thyesë dhjetore që fitohet kur kur pjesëtohet me një kolonë do të përsëritet i njëjti grup numrash. Këtu nuk ka asnjë gjurmë analize.

Dhe këtu lind pyetja: nga vjen? fare morëm numrin 0,(9)? Me çfarë ndajmë me një kolonë për ta marrë atë? Në të vërtetë, nuk ka numra të tillë që kur ndahen në një kolonë, do të kishim nëntë që shfaqen pafundësisht. Por ne arritëm ta marrim këtë numër duke shumëzuar 0,(3) me 3 me një kolonë? Jo me të vërtetë. Në fund të fundit, ju duhet të shumëzoni nga e djathta në të majtë në mënyrë që të merrni parasysh saktë transferimet e shifrave, dhe ne e bëmë këtë nga e majta në të djathtë, duke përfituar me dinakëri nga fakti që transferimet nuk ndodhin askund gjithsesi. Prandaj, ligjshmëria e shkrimit të 0,(9) varet nga fakti nëse e njohim ligjshmërinë e një shumëzimi të tillë me një kolonë apo jo.

Prandaj, në përgjithësi mund të themi se shënimi 0,(9) është i pasaktë - dhe në një masë të caktuar është i drejtë. Megjithatë, meqenëse shënimi a ,(b ) pranohet, është thjesht e shëmtuar ta braktisësh atë kur b = 9; Është më mirë të vendosni se çfarë do të thotë një hyrje e tillë. Pra, nëse në përgjithësi pranojmë shënimin 0,(9), atëherë ky shënim, natyrisht, nënkupton numrin një.

Mbetet vetëm të shtojmë se nëse do të përdorim, të themi, sistemin e numrave tresh, atëherë kur pjesëtojmë me një kolonë prej një (1 3) me tre (10 3) do të merrnim 0.1 3 (lexoni "pika zero një e treta"), dhe kur pjesëtohet një me dy do të ishte 0,(1) 3.

Pra, periodiciteti i një numri të fraksionit nuk është një karakteristikë objektive e një numri të fraksionit, por vetëm një efekt anësor i përdorimit të një ose një sistemi tjetër numrash.