Kllapa kubike. Katrorja e polinomeve

Le të shqyrtojmë tani katrorin e një binomi dhe, duke zbatuar një këndvështrim aritmetik, do të flasim për katrorin e shumës, d.m.th. (a + b)², dhe katrorin e ndryshimit të dy numrave, d.m.th. (a - b)².

Meqenëse (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

atëherë gjejmë: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², d.m.th.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Është e dobishme të mbani mend këtë rezultat si në formën e barazisë së përshkruar më sipër ashtu edhe me fjalë: katrori i shumës së dy numrave është i barabartë me katrorin e numrit të parë plus produktin e dy nga numri i parë dhe i dyti. numri, plus katrorin e numrit të dytë.

Duke ditur këtë rezultat, ne mund të shkruajmë menjëherë, për shembull:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Le të shohim të dytin nga këta shembuj. Duhet të vendosim në katror shumën e dy numrave: numri i parë është 3ab, i dyti 1. Rezultati duhet të jetë: 1) katrori i numrit të parë, pra (3ab)², i cili është i barabartë me 9a²b²; 2) prodhimi i dy nga numri i parë dhe i dyti, pra 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) katrori i numrit të dytë, d.m.th. 1² = 1 - të gjitha këto tre terma duhet të mblidhen së bashku.

Ne marrim gjithashtu një formulë për katrorin e ndryshimit të dy numrave, d.m.th për (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

d.m.th katrori i diferencës së dy numrave është i barabartë me katrorin e numrit të parë, minus produktin e dy nga numri i parë dhe i dyti, plus katrorin e numrit të dytë.

Duke ditur këtë rezultat, ne mund të kryejmë menjëherë katrorizimin e binomeve, të cilët, nga pikëpamja aritmetike, paraqesin ndryshimin e dy numrave.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, etj.

Le të shpjegojmë shembullin e dytë. Këtu kemi në kllapa ndryshimin e dy numrave: numri i parë është 5ab 3 dhe numri i dytë është 3a 2 b. Rezultati duhet të jetë: 1) katrori i numrit të parë, d.m.th. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) prodhimi i dy me numrin 1 dhe 2, d.m.th. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 dhe 3) katrori i numrit të dytë, pra (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Termat e parë dhe të tretë duhet të merren me një plus, dhe i dyti me një minus, marrim 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Për të shpjeguar shembullin e 4-të, vërejmë vetëm se 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponenti duhet të shumëzohet me 2 dhe 2) prodhimi i dy me numrin 1 dhe me 2 = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Nëse marrim këndvështrimin e algjebrës, atëherë të dyja barazitë: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² dhe 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² shprehin të njëjtën gjë, përkatësisht: katrori i binomit është i barabartë me katrorin e anëtarit të parë, plus produktin e numrit (+2) nga anëtari i parë dhe i dyti, plus katrorin e anëtarit të dytë. Kjo është e qartë sepse barazitë tona mund të rishkruhen si:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

Në disa raste, është e përshtatshme të interpretohen barazitë që rezultojnë në këtë mënyrë:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Këtu vendosim në katror një binom termi i parë i të cilit = –4a dhe i dyti = –3b. Më pas marrim (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² dhe në fund:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Gjithashtu do të ishte e mundur të merret dhe të mbahet mend formula për katrorimin e një trinomi, një kadrinomi ose ndonjë polinomi në përgjithësi. Megjithatë, ne nuk do ta bëjmë këtë, sepse rrallë kemi nevojë t'i përdorim këto formula, dhe nëse duhet të vendosim në katror ndonjë polinom (përveç një binomi), do ta reduktojmë lëndën në shumëzim. Për shembull:

31. Le të zbatojmë 3 barazitë e fituara, përkatësisht:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

tek aritmetika.

Le të jetë 41 ∙ 39. Atëherë mund ta paraqesim këtë në formën (40 + 1) (40 – 1) dhe ta zvogëlojmë lëndën në barazinë e parë - marrim 40² – 1 ose 1600 – 1 = 1599. Falë kësaj, është e lehtë të kryhen shumëzime si 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, etj.

Le të jetë 41 ∙ 41; është e njëjtë me 41² ose (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Gjithashtu 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Nëse keni nevojë 37, ∙ 3 atëherë kjo është e barabartë me (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Shumëzimet e tilla (ose kuadrimi i numrave dyshifrorë) janë të lehta për t'u kryer, me njëfarë aftësie, në kokën tuaj.

Për të thjeshtuar polinomet algjebrike, ekzistojnë formulat e shkurtuara të shumëzimit. Nuk ka aq shumë prej tyre dhe ato janë të lehta për t'u mbajtur mend, por ju duhet t'i mbani mend ato. Shënimi i përdorur në formula mund të marrë çdo formë (numër ose polinom).

Formula e parë e shkurtuar e shumëzimit quhet dallimi i katrorëve. Ai konsiston në zbritjen e katrorit të një numri nga katrori i numrit të dytë, i cili është i barabartë me diferencën midis këtyre numrave, si dhe produktin e tyre.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Le ta shohim për qartësi:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Formula e dytë ka të bëjë me shuma e katrorëve. Tingëllon sikur shuma e dy sasive në katror është e barabartë me katrorin e sasisë së parë, produkti i dyfishtë i sasisë së parë shumëzuar me të dytën i shtohet asaj, atyre u shtohet katrori i sasisë së dytë.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Falë kësaj formule, bëhet shumë më e lehtë për të llogaritur katrorin e një numri të madh, pa përdorimin e teknologjisë kompjuterike.

Kështu për shembull: katrori 112 do të jetë i barabartë me
1) Së pari, le të zbërthejmë 112 në numra, katrorët e të cilëve janë të njohur për ne
112 = 100 + 12
2) E fusim rezultatin në kllapa katrore
112 2 = (100+12) 2
3) Duke aplikuar formulën, marrim:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Formula e tretë është dallimi në katror. Që thotë se dy sasi të zbritura nga njëra-tjetra në një katror janë të barabarta, sepse nga madhësia e parë në katror zbresim produktin e dyfishtë të sasisë së parë shumëzuar me të dytën, duke u shtuar atyre katrorin e madhësisë së dytë.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ku (a - b) 2 është e barabartë (b - a) 2. Për ta vërtetuar këtë, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Formula e katërt për shumëzimin e shkurtuar quhet kub i shumës. Që tingëllon si: dy sasi përmbledhëse në një kub janë të barabarta me kubin e 1 sasisë, shtohet produkti i trefishtë i 1 sasisë në katror shumëzuar me sasinë e dytë, këtyre u shtohet produkti i trefishtë i 1 sasisë shumëzuar me katrorin 2. sasitë, plus sasinë e dytë në kubikë.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

E pesta, siç e keni kuptuar tashmë, quhet kubi i diferencës. Që gjen ndryshimet midis sasive, pasi nga shënimi i parë në kub zbresim produktin e trefishtë të shënimit të parë në katror shumëzuar me të dytin, atyre u shtohet prodhimi i trefishtë i shënimit të parë shumëzuar me katrorin e të dytit. shënim, minus shënimin e dytë në kub.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

E gjashta quhet - shuma e kubeve. Shuma e kubeve është e barabartë me produktin e dy termave të shumëzuar me katrorin e pjesshëm të diferencës, pasi nuk ka vlerë të dyfishtë në mes.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Një mënyrë tjetër për të thënë shumën e kubeve është ta quani produktin në dy kllapa.

Quhet i shtati dhe i fundit dallimi i kubeve(mund të ngatërrohet lehtësisht me formulën e kubit të ndryshimit, por këto janë gjëra të ndryshme). Diferenca e kubeve është e barabartë me produktin e diferencës së dy sasive të shumëzuar me katrorin e pjesshëm të shumës, pasi nuk ka vlerë të dyfishtë në mes.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Dhe kështu ka vetëm 7 formula për shumëzim të shkurtuar, ato janë të ngjashme me njëra-tjetrën dhe janë të lehta për t'u mbajtur mend, e vetmja gjë e rëndësishme është të mos ngatërroheni në shenja. Ato janë krijuar gjithashtu për t'u përdorur në mënyrë të kundërt, dhe tekstet shkollore përmbajnë mjaft detyra të tilla. Jini të kujdesshëm dhe gjithçka do të funksionojë për ju.

Nëse keni pyetje në lidhje me formulat, sigurohuni që t'i shkruani ato në komente. Ne do të jemi të lumtur t'ju përgjigjemi!

Nëse jeni në pushim të lehonisë, por dëshironi të fitoni para. Thjesht ndiqni lidhjen e biznesit në internet me Oriflame. Gjithçka është shkruar dhe treguar atje me shumë detaje. Do të jetë interesante!

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Formulat e shkurtuara të shprehjes përdoren shumë shpesh në praktikë, kështu që këshillohet t'i mësoni të gjitha përmendësh. Deri në këtë moment do të na shërbejë me besnikëri, të cilin ju rekomandojmë ta printoni dhe ta mbani gjithmonë para syve:

Katër formulat e para nga tabela e përpiluar e formulave të shkurtuara të shumëzimit ju lejojnë të vendosni në katror dhe kub shumën ose ndryshimin e dy shprehjeve. E pesta synon të shumëzojë shkurtimisht diferencën dhe shumën e dy shprehjeve. Dhe formula e gjashtë dhe e shtatë përdoren për të shumëzuar shumën e dy shprehjeve a dhe b me katrorin e tyre jo të plotë të diferencës (kështu quhet një shprehje e formës a 2 −a b+b 2) dhe ndryshimin e dy shprehjet a dhe b me katrorin jo të plotë të shumës së tyre (a 2 + a·b+b 2 ) përkatësisht.

Vlen të theksohet veçmas se çdo barazi në tabelë është një identitet. Kjo shpjegon pse formulat e shkurtuara të shumëzimit quhen edhe identitete të shkurtuara të shumëzimit.

Kur zgjidhen shembuj, veçanërisht në të cilët polinomi faktorizohet, FSU shpesh përdoret në formën me këmbimin e anëve të majta dhe të djathta:

Tre identitetet e fundit në tabelë kanë emrat e tyre. Quhet formula a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). formula e dallimit të katrorëve, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - shuma e formulës së kubeve, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - ndryshimi i formulës së kubeve. Ju lutemi vini re se ne nuk i emërtuam formulat përkatëse me pjesë të riorganizuara nga tabela e mëparshme.

Formula shtesë

Nuk do të dëmtonte të shtonit disa identitete të tjera në tabelën e formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Fushat e zbatimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit (FSU) dhe shembuj

Qëllimi kryesor i formulave të shkurtuara të shumëzimit (fsu) shpjegohet me emrin e tyre, domethënë konsiston në shumëzimin e shkurtër të shprehjeve. Sidoqoftë, fusha e zbatimit të FSU është shumë më e gjerë dhe nuk kufizohet në shumëzim të shkurtër. Le të rendisim drejtimet kryesore.

Pa dyshim, zbatimi qendror i formulës së shkurtuar të shumëzimit u gjet në kryerjen e shndërrimeve identike të shprehjeve. Më shpesh këto formula përdoren në proces thjeshtimi i shprehjeve.

Shembull.

Thjeshtoni shprehjen 9·y−(1+3·y) 2 .

Zgjidhje.

Në këtë shprehje, kuadrimi mund të kryhet në mënyrë të shkurtuar, kemi 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Mbetet vetëm të hapim kllapat dhe të sjellim terma të ngjashëm: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.