Metoda e gjysmëpjestimit f x 0. Metoda e gjysmëpjestimit

Ivanov Ivan

Kur plotësojnë temën e metodave numerike, studentët tashmë dinë të punojnë me tabela dhe të shkruajnë programe në Pascal. Puna është e një natyre të kombinuar e projektuar për 40 minuta. Qëllimi i punës është përsëritja dhe konsolidimi i aftësive të punës me programet EXCEL, ABCPascal. Materiali përmban 2 skedarë. Njëra përmban material teorik, pasi kjo është ajo që i ofrohet studentit. Në dosjen e dytë është një shembull i punës së studentit të Ivanovit, Ivan.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Zgjidhja e ekuacioneve

Zgjidhja analitike e disa ekuacioneve që përmbajnë, për shembull, funksione trigonometrike mund të merret vetëm për raste të veçanta të izoluara. Për shembull, nuk ka asnjë mënyrë për të zgjidhur në mënyrë analitike edhe një ekuacion kaq të thjeshtë si cos x=x

Metodat numerike bëjnë të mundur gjetjen e një vlere të përafërt të rrënjës me çdo saktësi të caktuar.

Gjetja e përafërt zakonisht përbëhet nga dy faza:

1) ndarja e rrënjëve, d.m.th. duke vendosur intervale ndoshta të sakta që përmbajnë vetëm një rrënjë të ekuacionit;

2) sqarimi i rrënjëve të përafërta, d.m.th. duke i sjellë ato në një shkallë të caktuar saktësie.

Do të shqyrtojmë zgjidhjet e ekuacioneve të formës f(x)=0. Funksioni f(x)të përcaktuara dhe të vazhdueshme në segment[a.b]. Vlera x 0 quhet rrënja e ekuacionit nëse f(x 0 )=0

Për të ndarë rrënjët, ne do të vazhdojmë nga dispozitat e mëposhtme:

• Nëse f(a)* f(b] \a, b\ ka të paktën një rrënjë
• Nëse funksioni y = f(x) të vazhdueshme në segment, dhe f(a)*f(b) dhe f "(x) në intervalin (a, b) ruan shenjën, pastaj brenda segmentit[a, b] ka vetëm një rrënjë të ekuacionit

Një ndarje e përafërt e rrënjëve mund të bëhet edhe grafikisht. Për ta bërë këtë, ekuacioni (1) zëvendësohet me ekuacionin ekuivalent p(x) = φ(x), ku funksionet p(x) dhe φ(x] më i thjeshtë se funksioni f(x). Pastaj, duke vizatuar funksionet y = p(x) dhe y = f(x), marrim rrënjët e kërkuara si abshisa të pikave të kryqëzimit të këtyre grafikëve

Metoda e dikotomisë

Për të sqaruar rrënjën, ndani segmentin[a, b] në gjysmë dhe njehsoni vlerën e funksionit f(x) në pikën x sr =(a+b)/2. Zgjidhni një nga gjysmat ose , në skajet e së cilës funksioni f(x) ka shenja të kundërta.. Vazhdojmë procesin e ndarjes së segmentit përgjysmë dhe kryejmë të njëjtin konsideratë deri. gjatësia do të bëhet më pak se saktësia e specifikuar. Në rastin e fundit, çdo pikë në segment mund të merret si vlera e përafërt e rrënjës (si rregull merret mesi i saj).Algoritmi është shumë efikas, pasi në çdo kthesë (përsëritje) intervali i kërkimit përgjysmohet; prandaj, 10 përsëritje do ta zvogëlojnë atë me një mijë herë. Vështirësitë mund të lindin me ndarjen e rrënjëve për funksione komplekse.

Për të përcaktuar përafërsisht segmentin në të cilin ndodhet rrënja, mund të përdorni një procesor tabele duke ndërtuar një grafik të funksionit

SHEMBULL : Le të përcaktojmë grafikisht rrënjën e ekuacionit. Le të jetë f1(x) = x, a dhe ndërtoni grafikët e këtyre funksioneve. (Orari). Rrënja ndodhet në intervalin nga 1 në 2. Këtu do të sqarojmë vlerën e rrënjës me një saktësi prej 0,001 (titulli i tabelës në tabelë)

Algoritmi për zbatimin e softuerit

1. a:=kufi i majtë b:=kufi i djathtë
2. m:= (a+b)/2 mes
3. definoni f(a) dhe f(m)
4. nëse f(a)*f(m)
5. nëse (a-b)/2>e përsërisni duke filluar nga pika 2
   

Metoda e akordit

Pikat në grafikun e një funksioni në skajet e intervalit lidhen me një kordë. Pika e kryqëzimit të kordës dhe boshtit Ox (x*) përdoret si pikë prove. Më pas arsyetojmë në të njëjtën mënyrë si në metodën e mëparshme: nëse f(x a ) dhe f(x*) të së njëjtës shenjë në interval, kufiri i poshtëm zhvendoset në pikën x*; përndryshe, ne lëvizim kufirin e sipërm. Më pas vizatojmë një akord të ri, etj.

Mbetet vetëm të sqarojmë se si të gjejmë x*. Në thelb, problemi zbret në sa vijon: përmes 2 pikave me koordinata të panjohura (x 1, y 1) dhe (x 2, y 2 ) vizatohet një vijë e drejtë; gjeni pikën e kryqëzimit të kësaj drejtëze dhe boshtit Ox.

Le të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze duke përdorur dy pika:

Në pikën e kryqëzimit të kësaj drejtëze dhe boshtit Ox, y=0 dhe x=x*, d.m.th.

Ku

procesi i llogaritjes së vlerave të përafërta vazhdon derisa, për dy përafrime të njëpasnjëshme të rrënjës x“ dhe x p_1 kushti abs (xn-x n-1) e - saktësia e specifikuar

Konvergjenca e metodës është shumë më e lartë se ajo e mëparshme

Algoritmi ndryshon vetëm në pikën e llogaritjes së pikës së mesit - kryqëzimi i akordit me boshtin e abshisës dhe kushtet e ndalimit (ndryshimi midis dy pikave të kryqëzimit ngjitur)

Ekuacione për zgjidhjen e pavarur: (ne e kërkojmë vetë segmentin në Excel)

1. sin(x/2)+1=x^2 (x=1,26)

1. x-cosx=0 (x=0,739)

1. x^2+4sinx=0 (x=-1,933)

1. x=(x+1) 3 (x=-2,325)

ku funksioni f(x) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval x të fundëm ose të pafund. Në veçanti, modelet matematikore për analizimin e vetive statike të objekteve të projektimit ose elementeve të tyre janë paraqitur në formën e ekuacioneve jolineare. Nëse funksioni f(x) është një polinom i shkallës së n-të të formës a0 + a1 x + a2 x2 + ... + anxn, atëherë ekuacioni (1) quhet algjebrik. Kur x është nën shenjën e një funksioni transcendental (eksponencial, logaritmik, trigonometrik, etj.), ekuacioni quhet transcendental. Vlera e argumentit x në të cilin funksioni f(x) bëhet zero, d.m.th. f(x*) = 0 quhet rrënja e ekuacionit.

Në përgjithësi, për funksionin f(x) nuk ka formula analitike për gjetjen e rrënjëve. Për më tepër, llogaritja e tyre e saktë nuk është gjithmonë e nevojshme. Kjo shpjegohet me faktin se ekuacionet që hasen në praktikën inxhinierike shpesh përmbajnë koeficientë, vlerat e të cilëve kanë vlera të përafërta. Në raste të tilla, problemi i përcaktimit të rrënjëve zgjidhet me një shkallë të caktuar saktësie të paracaktuar.

Në atë që vijon supozojmë se ekuacioni (1) ka vetëm rrënjë të izoluara, d.m.th. për secilën prej tyre ekziston një fqinjësi e caktuar që nuk përmban rrënjë të tjera të këtij ekuacioni. Procesi i gjetjes së rrënjëve reale të izoluara të një ekuacioni jolinear përfshin dy faza:

• 1) ndarja e rrënjëve, d.m.th. gjetja e intervaleve që përmbajnë një dhe vetëm një rrënjë të ekuacionit;
• 2) përsosje e vlerave të përafërta të rrënjëve individuale në një shkallë të caktuar saktësie.

Hapi i ndarjes së rrënjëve mund të bëhet në mënyra të ndryshme. Së pari, vlera e përafërt e rrënjës ndonjëherë njihet nga kuptimi fizik i problemit. Së dyti, një metodë grafike mund të përdoret për të ndarë rrënjët, bazuar në ndërtimin e një grafiku të funksionit

ekuacion jolinear gjysmëpjestim

ku vlerat e përafërta të rrënjëve reale të ekuacionit f(x) = 0 i korrespondojnë abshisës së pikave të kryqëzimit ose tangjences së grafikut me boshtin 0x (y = 0). Metoda më e përdorur për ndarjen e rrënjëve bazohet në propozimin e mëposhtëm: nëse në skajet e një intervali të caktuar vlerat e funksionit të vazhdueshëm f(x) kanë shenja të ndryshme, d.m.th. f(a)f(b) , atëherë në këtë interval ekuacioni (1) ka të paktën një rrënjë. Në këtë rast, rrënja është unike nëse derivati ​​i funksionit f"(x) ekziston dhe ruan një shenjë konstante brenda intervalit. Le të shqyrtojmë algoritmin më të thjeshtë për ndarjen e rrënjëve të ekuacioneve jolineare, të orientuar drejt përdorimit të një kompjuteri. Intervali fillestar [, ], në të cilin funksioni f(x) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm ), ndahet në n segmente me gjatësi të barabartë.

(x0, x1), (x1, x2), ..., (xn -1, xn), ku x0 x1 ...xn dhe x0 = , xn =

Më pas llogariten vlerat e funksionit f(xj) në pikat xj (j =) dhe zgjidhet një segment (xi, xi+1), në skajet e të cilit funksioni ka shenja të ndryshme, d.m.th. f(xi)f(xi+1) 0. Nëse gjatësia e këtij segmenti është mjaft e vogël (mund të supozojmë veçantinë e rrënjës), atëherë konsiderohet se rrënja është e ndarë në intervalin ku a = xi, b. = xi+1. Përndryshe, kufijtë e intervalit origjinal zhvendosen, d.m.th. = xi, = xi + 1, dhe procedura përsëritet.

Duhet të theksohet se gjatësia e intervalit fillestar në të cilin është përcaktuar funksioni f(x) mund të ndryshojë brenda kufijve të gjerë. Prandaj, numri i segmenteve n, si dhe gjatësia e intervalit të kërkuar, janë sasi të ndryshueshme që duhet të specifikohen në çdo rast specifik, duke marrë parasysh kuptimin fizik të problemit që zgjidhet.

Në fazën e dytë të zgjidhjes së ekuacioneve jolineare, vlerat e përafërta të marra të rrënjëve rafinohen me metoda të ndryshme përsëritëse në një gabim të caktuar të specifikuar.

Metoda e gjysmëpjestimit. Për këtë metodë, është thelbësore që funksioni f(x) të jetë i vazhdueshëm dhe i kufizuar në një interval të caktuar brenda të cilit ndodhet rrënja. Supozohet gjithashtu se vlerat e funksionit në skajet e intervalit f(a) dhe f(b) kanë shenja të ndryshme, d.m.th. kushti f(a)f(b) plotësohet.

Le të shënojmë intervalin origjinal si . Për të gjetur rrënjën e ekuacionit f(x) = 0, segmenti ndahet në gjysmë, d.m.th. llogaritet përafrimi fillestar x0 = (a0 + b0)/2. Nëse f(x0) = 0, atëherë vlera x0 = x* është rrënja e ekuacionit. Përndryshe, zgjidhni një nga segmentet ose , në skajet e të cilit funksioni f(x) ka shenja të ndryshme, pasi rrënja qëndron në këtë gjysmë. Më pas, segmenti i zgjedhur shënohet si , përsëri i ndarë në gjysmë me pikën x1 = (a1 + b1)/2, etj. Si rezultat, në disa përsëritje marrim rrënjën e saktë x* të ekuacionit f(x) = 0, ose një sekuencë të pafundme segmentesh të mbivendosur , , ..., , ..., të tilla që f(ai)f( bi) (i =1, 2, ...), duke konverguar në rrënjën x*.

Nëse është e nevojshme të përcaktohet me gabim rrënjën x*, atëherë ndarja e intervalit origjinal vazhdon derisa gjatësia e segmentit të bëhet më e vogël se 2, e cila shkruhet në formën e kushtit bi - ai 2.

Në këtë rast, mesi i intervalit të fundit jep një vlerë të përafërt të rrënjës me shkallën e kërkuar të saktësisë.

x* (ai + bi) / 2.

Metoda gjysmë e ndarjes zbatohet lehtësisht në një kompjuter dhe është më universalja midis metodave përsëritëse për rafinimin e rrënjëve. Zbatimi i tij garanton marrjen e një zgjidhjeje për çdo funksion të vazhdueshëm f(x) nëse gjendet një interval në të cilin ai ndryshon shenjën. Në rastin kur rrënjët nuk janë të ndara, do të gjendet një nga rrënjët e ekuacionit. Metoda gjithmonë konvergon, por shpejtësia e konvergjencës është e ulët, pasi saktësia afërsisht dyfishohet në një përsëritje. Prandaj, në praktikë, metoda e gjysmave zakonisht përdoret për të gjetur përafërsisht rrënjët e një ekuacioni, pasi sasia e llogaritjeve rritet ndjeshëm me rritjen e saktësisë së kërkuar.

Zgjidhja e një ekuacioni algjebrik. Ka shumë mënyra për të zgjidhur numerikisht ekuacionet algjebrike. Ndër më të famshmet janë metoda e Njutonit, metoda e akordit dhe metoda "gjithë-pushtuese" e ndarjes gjysmë. Le të bëjmë menjëherë një rezervë se çdo metodë është e përafërt, dhe në fakt sqaron vetëm kuptimin e rrënjës. Megjithatë, duke sqaruar çdo saktësi të specifikuar nga Ne.

Metoda e gjysmave ose dikotomisë (dikotomia është kundërvënia ose kundërvënia e dy pjesëve të një tërësie) kur gjejmë rrënjën e ekuacionit f (x) = 0 konsiston në ndarjen në gjysmë të segmentit ku ndodhet rrënja. Më pas analizohet ndryshimi i shenjës së funksionit në gjysmë segmente dhe njëri nga kufijtë e segmentit bartet në mes të tij. Transferohet kufiri nga i cili funksioni nuk ndryshon shenjë në gjysmën e segmentit. Pastaj procesi përsëritet. Përsëritjet ndalojnë kur plotësohet një nga kushtet: ose gjatësia e intervalit bëhet më e vogël se gabimi i specifikuar në gjetjen e rrënjës?, ose funksioni bie në brezin e zhurmës?1 - vlera e funksionit është e krahasueshme me llogaritjen gabim.

Së pari, le të vendosim detyrën. Jepet një funksion monotonik, i vazhdueshëm f(x), i cili përmban një rrënjë në segmentin , ku b>a. Përcaktoni rrënjën me saktësi?, nëse dihet se f(a)*f(b)<0

Jepet një ekuacion i formës:

Është e nevojshme të gjenden vlerat e x që e plotësojnë atë.

Pra, le të shkojmë te zgjidhja. Para së gjithash, le të përcaktojmë se çfarë do të thotë f(x)=0. Shikoni Fig. 1. Ai tregon një grafik të një funksioni të caktuar. Në disa pika ky grafik përshkon boshtin x. Duhet të gjejmë koordinatat x të këtyre pikave. Nëse lloji i ekuacionit është i thjeshtë ose standard, për shembull, një ekuacion kuadratik ose linear, atëherë nuk ka absolutisht nevojë të përdorni metodën numerike këtu. Por nëse ekuacioni ynë është si ky:

F(x)=x3-14x2+x+ex; (2)

Nuk do të gjeni një metodë për zgjidhjen analitike të këtij makthi në asnjë libër shkollor. Këtu vjen në shpëtim metoda numerike e pathyeshme. Metoda e gjysmëpjestimit. Nga emri i vetë metodës, mund të supozojmë se do të duhet të ndajmë diçka në gjysmë.

Metoda e gjysmave mund t'u paraqitet nxënësve si zgjidhje për një problem.

Detyrë

Ka një rrethim të kalasë së armikut. Një top i ri u instalua në një distancë prej tij. Në cilin kënd të horizontit duhet të gjuhet ky top për të goditur një pjesë të caktuar të murit të kalasë?

Fizikanët kanë punuar shumë për modelin e këtij problemi. Kjo është e kuptueshme: në fund të fundit, shumë probleme shkencore, si ky, u ngritën kryesisht në çështjet ushtarake. Dhe zgjidhja e këtyre problemeve konsiderohej pothuajse gjithmonë një prioritet.

Cilët faktorë konsiderohen thelbësorë në këtë detyrë? Meqenëse po flasim për Mesjetën, shpejtësia e predhës dhe diapazoni i fluturimit janë të vogla. Kjo do të thotë që ne mund ta konsiderojmë të parëndësishme që Toka të jetë e rrumbullakët (kujtoni diskutimin në paragrafin 27) dhe të neglizhojmë rezistencën e ajrit. Faktori i vetëm që mbetet është forca e gravitetit.

Një matematikan do të thoshte se duhet të zgjidhim ekuacionin. Ne gjithashtu do të vendosim, vetëm përafërsisht dhe shumë e ngjashme me atë se si bëjnë artileritë e vërtetë. Ata veprojnë si më poshtë: lëshojnë disa të shtëna, duke marrë objektivin “pirun”, d.m.th. njëri goditi mbi objektiv, dhe tjetri poshtë. Pastaj këndi ndërmjet këtyre të shtënave përgjysmohet dhe kur gjuhet në këtë kënd, predha bie shumë më afër objektivit. Por nëse ende nuk goditni, atëherë "pirun" i ri ndahet përsëri në gjysmë, etj.

Mund të tregojmë paraprakisht "pirunin" për këndin: 0 dhe?/4 (shpresojmë të mbani mend se cili kënd ka një masë radian?/4 dhe me çfarë është afërsisht i barabartë?). Dhe pastaj do ta ndajmë këtë "pirun" në gjysmë dhe do të shikojmë se ku godet predha derisa të arrijmë rezultatin e dëshiruar.

Sa kohë do të na duhet të “gjuaj” për të marrë këndin me saktësinë e kërkuar? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të abstragojmë nga detyra jonë dhe të formulojmë në një gjuhë thjesht matematikore se çfarë gjetëm dhe si.

Na jepet një funksion i caktuar f(x) dhe një segment, dhe në skajet e këtij segmenti ky funksion merr vlerat e shenjave të kundërta. Nëse funksioni është i vazhdueshëm, d.m.th. grafiku i tij është një vijë e vazhdueshme, atëherë është e qartë se grafiku i funksionit pret boshtin e abshisës në një pikë nga segmenti, siç tregohet në figurën 1. Me fjalë të tjera, f(c) = 0, d.m.th. c është rrënja e ekuacionit f(x)=0.

Si propozohet të gjendet kjo rrënjë? Dhe ja ku është. Segmentin e ndajmë në gjysmë, d.m.th. marrim mesin e segmentit a+b/2. Në këtë pikë llogarisim vlerën e funksionit f(x) (Fig. 2). Nëse kjo vlerë është 0, atëherë rrënja është gjetur; nëse jo, atëherë ka të njëjtën shenjë me vlerën në një nga skajet e segmentit. Pastaj këtë fund e zëvendësojmë me pikën a+b/2. Segmenti i ri përmban edhe rrënjën e ekuacionit f(x)=0, pasi në skajet e tij funksioni f(x) sërish ka shenja të ndryshme. Sidoqoftë, ky segment është 2 herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Dhe më e rëndësishmja, ju mund të bëni të njëjtën gjë me të. bëni të njëjtën gjë përsëri me segmentin tjetër, etj. meqenëse gjatësia e segmentit përgjysmohet çdo herë, mund të marrim një segment me gjatësi arbitrare të vogël, i cili përmban rrënjën e ekuacionit f(x) = 0. Për shembull, nëse segmenti origjinal ishte , d.m.th. kishte gjatësi 1, pastaj pas dhjetë hapash fitojmë një segment me gjatësi. Kjo do të thotë që skajet e segmentit na japin një vlerë të përafërt të rrënjës me një saktësi të barabartë me gjatësinë e segmentit: skaji i majtë i segmentit është një vlerë e përafërt e rrënjës me një mangësi, skaji i djathtë është një i përafërt. vlera e rrënjës me një tepricë.

Në fakt, tani kemi formuluar një metodë për zgjidhjen e përafërt të ekuacionit f(x)=0. Mund të quhet metoda e zerosjes së artilerisë. Por matematikanët e quajnë atë metodë e gjysmave.

Algoritmi

1) Gjeni mesin e segmentit: c=(a+b)/2;

2) Të llogarisim vlerat e funksionit në pikat a dhe c dhe të gjejmë prodhimin e vlerave të marra: d=f(c)?f(a);

3) Nëse d>0, atëherë pika a do të bëhet c: a=c; Nëse d<0, то точкой b станет c: b=c;

4) Le të llogarisim diferencën e a dhe b, ta krahasojmë me saktësinë?: nëse |a-b|> ?, atëherë kalojmë në pikën 1) nëse jo, atëherë rrënja është gjetur me saktësinë që na nevojitet, dhe është e barabartë te: x=(a+b)/ 2;

HYRJE 4

1. FORMULARI I PROBLEMIT 5

2. ZGJEDHJA DHE PËRSHKRIMI I METODAVE TË ZGJIDHJES 6

2.1.

METODA E PËRGJISMIMIT 6

2.2.

METODA E AKORDIT 9

2.3.

METODA E NJUTONIT (METODA TANGENTE) 12

3. KORRESPONDENCA MES NDRYSHOREVE TË PRANUARA NË PËRSHKRIMIN E PROBLEMIT DHE NË PROGRAMIN 15

4. BLOCK DIAGRAMI I PROGRAMIT DHE PËRSHKRIMI I TIJ 18

5. LISTA E PROGRAMIT 26

6. ANALIZA E RASTIT TEST DHE REZULTATEVE 27

7. UDHËZIME PËR PËRDORIM 32

KONKLUZION 33

REFERENCAT 34

APLIKACIONET 35

SHTOJCA A 36

SHTOJCA B. 38

E destinuar për të mësuar, gjuha doli të ishte shumë e thjeshtë dhe në të njëjtën kohë e rreptë. Megjithatë, shpejt u bë e qartë se ai ishte gjithashtu mjaft efektiv në një shumëllojshmëri të gjerë aplikimesh. Pascal mbështet metodologjitë më të fundit të dizajnit të softuerit (nga lart-poshtë, dizajn modular, programim i strukturuar). Në këtë drejtim, u shfaqën zbatime të shumta të gjuhës për arkitektura të ndryshme makinerish, dhe më e suksesshmja dhe më e popullarizuara ishte zhvillimi i Borland International për kompjuterët personalë të pajtueshëm me IBM. Ky zbatim i gjuhës quhet Turbo Pascal dhe tashmë ka disa versione.

Turbo Pascal është një sistem programimi që përfshin një redaktues teksti, përpilues, lidhës, ngarkues, korrigjues, sistem skedarësh, bibliotekë të sistemit dhe sistem ndihmës. Të gjithë këta komponentë kombinohen në një mjedis të integruar me një ndërfaqe me shumë dritare dhe një sistem të zhvilluar menuje, i cili siguron produktivitet të lartë të programuesit kur krijon programe për qëllime industriale, shkencore dhe komerciale.

1. DEKLARATA E PROBLEMIT

Shkruani një program në gjuhën programuese Pascal që zgjidh një ekuacion jolinear. Rezultati i programit duhet të shfaqet në ekran dhe në një skedar.

Zbatoni menunë e mëposhtme në program:

1-Futni të dhënat nga skedari

2-Futni të dhëna nga tastiera

Debugoni programin në ekuacionin f(x)=x 2 -x-6 me një saktësi prej 0,001

2. ZGJEDHJA DHE PËRSHKRIMI I METODAVE TË ZGJIDHJES

Procesi i gjetjes së vlerës së përafërt të rrënjëve të ekuacionit mund të ndahet në dy faza: 1) ndarja e rrënjëve; 2) përsosje e rrënjëve në një shkallë të caktuar saktësie. Konsiderohet rrënja ξ të ndara në intervalin nëse në këtë interval ekuacioni

: metoda e gjysmëpjestimit, Njuton

2.1. METODA E PËRgjysmimit

Le të jepet ekuacioni f(x) = 0, ku f (X) është një funksion i vazhdueshëm. Kërkohet të gjendet rrënja e këtij ekuacioni ξ deri në ε, ku e është një numër pozitiv mjaft i vogël.

Do të supozojmë se rrënja ξ është e ndarë dhe e vendosur në segmentin [ A, b], d.m.th., pabarazia qëndron A ≤ ξ ≤ b. Numrat A Dhe b- vlerat e përafërta të rrënjës ξ, përkatësisht, me një mangësi dhe një tepricë. Gabimi i këtyre përafrimeve nuk e kalon gjatësinë e segmentit b – A. Nëse b – A≤ε, atëherë është arritur saktësia e kërkuar e llogaritjes dhe vlera e përafërt e rrënjës ξ mund të merret si A, ose b. Por nëse b – A> ε, atëherë nuk është arritur saktësia e kërkuar e llogaritjeve dhe është e nevojshme të ngushtohen intervalet në të cilat ndodhet rrënja ξ, d.m.th., të zgjidhen numra të tillë A Dhe b, në mënyrë që pabarazitë të plotësohen a b dhe . Kur llogaritni, duhet të ndaloni dhe të merrni vlerën e përafërt të rrënjës brenda ε A, ose b. Duhet të theksohet se vlera e rrënjës do të jetë më e saktë kur skajet e segmentit nuk merren si vlerë e përafërt e rrënjës. A Dhe b, dhe mesi i këtij segmenti, d.m.th. . Gabimi në këtë rast nuk e kalon vlerën
.

Metoda e mostrës. Le të jepet ekuacioni f(x) = 0 [f(x) është një funksion i vazhdueshëm] dhe rrënja ε është e ndarë në segmentin [ A, b], d.m.th. f(A) ∙ f(b) b - A> ε. Kërkohet të gjendet vlera e rrënjës ξ e saktë në ε (Fig. 2.1)

Parimi i zgjidhjes së një ekuacioni si y=f(x) me metodën e provës

Parimi i zgjidhjes së një ekuacioni si y=f(x) me metodën e gjysmëpjestimit

Në segmentin [ a, b] zgjidhni një pikë a 1 në mënyrë arbitrare, e cila do ta ndajë atë në dy segmente dhe . Nga këto dy segmente, duhet të zgjidhni atë në skajet e të cilit funksioni merr vlera të kundërta në shenjë. Në shembullin tonë f(A) ∙ f(a 1) > 0, f(a 1) ∙ f(b) a 1, b]. Pastaj në këtë segment të ngushtuar ne përsëri marrim në mënyrë arbitrare një pikë A 2 dhe gjeni shenjat e produkteve f(a 1) ∙ f(a 2) dhe f(a 2) ∙ f(b). Sepse f(a 2)× f(b) a 2, b]. Vazhdojmë këtë proces derisa gjatësia e segmentit në të cilin ndodhet rrënja të bëhet më e vogël se ε. Rrënja ξ e marrim si mesatare aritmetike të skajeve të segmentit të gjetur dhe gabimi i rrënjës nuk e kalon ε/2.

Metoda e mostrës në këtë formë nuk përdoret në kompjuter. Për të përpiluar programe dhe për të bërë llogaritjet në kompjuter, përdoret metoda e kampionimit në formën e të ashtuquajturës. metoda e gjysmave.

Le të jetë rrënja ξ e ekuacionit f(X) = 0 është e ndarë dhe e vendosur në segmentin [ a, b], d.m.th. f(a) ∙ f(b) b - A> ε [këtu f(x) është një funksion i vazhdueshëm]. Si më parë, le të marrim segmentin [ a, b] pika e ndërmjetme, por jo në mënyrë arbitrare, por në mënyrë që të jetë mesi i segmentit [ a, b], d.m.th. Me = (A + b)/2. Pastaj segmenti [ a, b] pika c do të ndahet në dy segmente të barabarta [ A, Me] Dhe [ Me, b], gjatësia e së cilës është ( b – A)/2 (Fig. 2.2). Nëse f(Me) = 0, atëherë Me– rrënja e saktë e ekuacionit f(X) = 0. Nëse f(Me) ≠ 0, pastaj nga dy segmentet që rezultojnë [ a, Me] Dhe [ Me, b] zgjidhni atë në skajet e të cilit funksioni f(x) merr vlerat e shenjave të kundërta; le ta shënojmë atë [ a l, b 1]. Pastaj segmenti [ a l, b 1 ] gjithashtu ndajmë përgjysmë dhe kryejmë të njëjtin arsyetim. Ne marrim segmentin [ A 2 , b 2 ], gjatësia e të cilit është ( b – A)/2 2 . Ne kryejmë procesin e ndarjes së një segmenti në gjysmë derisa në një fazë të n-të ose mesi i segmentit do të jetë rrënja e ekuacionit (një rast që është shumë i rrallë në praktikë) ose segmenti [ a n, b n ] të tillë që b n - A n = ( b– a)/2 n ≤ ε dhe A n ≤ ξ ≤ b n (numri n tregon numrin e ndarjeve të kryera). Numrat A n dhe b n – rrënjët e ekuacionit f(X) = 0 deri në ε. Për vlerën e përafërt të rrënjës, siç tregohet më sipër, duhet të marrim ξ = ( a n+ b n)/2, dhe gabimi nuk kalon ( b – A)/2 n +1 .

2.2. METODA AKORDI

Metoda e kordës është një nga metodat e zakonshme për zgjidhjen e ekuacioneve algjebrike dhe transcendentale. Në literaturë gjendet edhe me emrat “metoda e pozicionit të rremë” (regula falsi), “metoda e interpolimit linear” dhe “metoda e pjesëve proporcionale”.

Le të jepet ekuacioni f(x) = 0, ku f (x) është një funksion i vazhdueshëm që ka derivate të rendit të parë dhe të dytë në intervalin [a, b]. Rrënja konsiderohet e ndarë dhe ndodhet në segmentin [a, b], d.m.th. f(a)-f(b)

Ideja e metodës së kordës është që në një interval mjaft të vogël [a, b] harku i kurbës y = f (x) të zëvendësohet nga një kordë që e kontrakton atë. Si vlerë e përafërt e rrënjës merret pika e kryqëzimit të kordës me boshtin Ox.

Më parë, ne shqyrtuam katër raste të vendndodhjes së harkut të një lakore, duke marrë parasysh vlerat e derivateve të parë dhe të dytë.

Le të shqyrtojmë rastet kur derivati ​​i parë dhe i dytë kanë të njëjtat shenja, d.m.th., f"(x) ∙ f"" (x) > 0.

Le të, për shembull, f(a) 0, f"(x) > 0, f""(x) > 0 (Fig. 3.18, a). Grafiku i funksionit kalon nëpër pikat A 0 (a; f (a)), B(b; f(b)) - Rrënja e dëshiruar e ekuacionit f(x) = 0 është abshisa e pikës së prerjes së grafikut të funksionit y = f(x) me Ox. Kjo pikë është e panjohur për ne, por në vend të kësaj do të marrim pikën e prerjes së kordës A dhe B me boshtin Ox.

Ekuacioni i një korde që kalon nëpër pikat A 0 dhe B ka formën

Le të gjejmë vlerën x = x 1 për të cilën y = 0:

Kjo formulë quhet formula e metodës së kordës. Tani rrënja ξ është brenda segmentit. Nëse vlera e rrënjës x 1 nuk na përshtatet, atëherë mund të sqarohet duke aplikuar metodën e kordës në segmentin [x 1, b].

Le të lidhim pikën A 1 (x 1; f (x 1) me pikën B (b; f (b)) dhe të gjejmë x 2 - pikën e kryqëzimit të kordës A 1 B me boshtin Ox:

Duke vazhduar këtë proces, ne gjejmë

Procesi vazhdon derisa të marrim një rrënjë të përafërt me një shkallë të caktuar saktësie.

Duke përdorur formulat e mësipërme, rrënjët llogariten edhe për rastin kur f(a) > 0, f(b)

Tani le të shqyrtojmë rastet kur derivati ​​i parë dhe i dytë kanë shenja të ndryshme, d.m.th. f"(x) ∙ f"(x)

Le të, për shembull, f(a) > 0, f(b) 0 (Fig. 3.19, a). Le të lidhim pikat A (a; f (a)) dhe B 0 (b; f (b)) dhe të shkruajmë ekuacionin e kordës që kalon nga A dhe B 0:

Le të gjejmë x 1 si pikën e prerjes së kordës me boshtin Ox, duke supozuar y = 0:

Rrënja ξ tani gjendet brenda segmentit . Duke aplikuar shpatën e kordave od në segmentin [a, x 1 ], marrim Metodat për zgjidhjen e një ekuacioni jolinear Punë laboratori >> Matematikë

Nxënësit që studiojnë lëndën “Numerike metoda" dhe kryerja e punës laboratorike... Udhëzimet mbulojnë një numër të metodat gjetja e rrënjëve të një ekuacioni jolinear dhe... Prandaj, ato kanë një rëndësi të madhe metodat Zgjidhja e përafërt e një ekuacioni me një të dhënë...