Pritshmëria matematikore. Pritshmëria matematikore ndryshore diskrete e rastësishme X, duke marrë një numër të kufizuar vlerash Xi me probabilitete ri, shuma quhet:
Pritshmëria matematikore ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X quhet integrali i prodhimit të vlerave të tij X mbi densitetin e shpërndarjes së probabilitetit f(x):
(6b)
Integrali jo i duhur (6 b) supozohet të jetë absolutisht konvergjent (përndryshe ata thonë se pritshmëria matematikore M(X) nuk ekziston). Pritshmëria matematikore karakterizon vlera mesatare ndryshore e rastësishme X. Dimensioni i tij përkon me dimensionin e ndryshores së rastësishme.
Vetitë e pritjes matematikore:
Dispersion. Varianca ndryshore e rastësishme X numri quhet:
Varianca është karakteristikë e shpërndarjes vlerat e ndryshoreve të rastësishme X në raport me vlerën mesatare të tij M(X). Dimensioni i variancës është i barabartë me dimensionin e ndryshores së rastësishme në katror. Bazuar në përkufizimet e variancës (8) dhe pritshmërisë matematikore (5) për një ndryshore të rastësishme diskrete dhe (6) për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, marrim shprehje të ngjashme për variancën:
(9)
Këtu m = M(X).
Karakteristikat e shpërndarjes:
Devijimi standard:
(11)
Meqenëse devijimi standard ka të njëjtin dimension me një variabël të rastësishëm, ai përdoret më shpesh si masë e shpërndarjes sesa variancës.
Momentet e shpërndarjes. Konceptet e pritjes dhe dispersionit matematikor janë raste të veçanta të një koncepti më të përgjithshëm për karakteristikat numerike të variablave të rastësishëm – momentet e shpërndarjes. Momentet e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme prezantohen si pritje matematikore të disa funksioneve të thjeshta të një ndryshoreje të rastësishme. Pra, momenti i porosisë k në lidhje me pikën X 0 quhet pritshmëri matematikore M(X–X 0 )k. Momente rreth origjinës X= 0 thirren momentet fillestare dhe janë caktuar:
(12)
Momenti fillestar i rendit të parë është qendra e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në shqyrtim:
(13)
Momente rreth qendrës së shpërndarjes X= m quhen pika qendrore dhe janë caktuar:
(14)
Nga (7) rrjedh se momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë i barabartë me zero:
Momentet qendrore nuk varen nga origjina e vlerave të ndryshores së rastësishme, që kur zhvendosen nga një vlerë konstante ME qendra e saj e shpërndarjes zhvendoset me të njëjtën vlerë ME, dhe devijimi nga qendra nuk ndryshon: X – m = (X – ME) – (m – ME).
Tani është e qartë se dispersion- Kjo momenti qendror i rendit të dytë:
Asimetria. Momenti qendror i rendit të tretë:
(17)
shërben për vlerësim asimetritë e shpërndarjes. Nëse shpërndarja është simetrike për pikën X= m, atëherë momenti qendror i rendit të tretë do të jetë i barabartë me zero (si të gjitha momentet qendrore të renditjeve tek). Prandaj, nëse momenti qendror i rendit të tretë është i ndryshëm nga zero, atëherë shpërndarja nuk mund të jetë simetrike. Madhësia e asimetrisë vlerësohet duke përdorur një padimensionale koeficienti i asimetrisë:
(18)
Shenja e koeficientit të asimetrisë (18) tregon asimetrinë e anës së djathtë ose të majtë (Fig. 2).
Oriz. 2. Llojet e asimetrisë së shpërndarjes.
Teprica. Momenti qendror i rendit të katërt:
(19)
shërben për të vlerësuar të ashtuquajturat teprica, e cila përcakton shkallën e pjerrësisë (pikësimit) të kurbës së shpërndarjes pranë qendrës së shpërndarjes në raport me kurbën e shpërndarjes normale. Meqenëse për një shpërndarje normale, vlera e marrë si kurtozë është:
(20)
Në Fig. Figura 3 tregon shembuj të kurbave të shpërndarjes me vlera të ndryshme kurtoze. Për shpërndarje normale E= 0. Lakoret që janë më të majme se normalja kanë një kurtozë pozitive, ato që janë më të sheshta kanë një kurtozë negative.
Oriz. 3. Lakoret e shpërndarjes me shkallë të ndryshme pjerrësie (kurtozë).
Momentet e rendit më të lartë zakonisht nuk përdoren në aplikimet inxhinierike të statistikave matematikore.
Moda
diskrete një ndryshore e rastësishme është vlera më e mundshme e saj. Moda të vazhdueshme një ndryshore e rastësishme është vlera e saj në të cilën densiteti i probabilitetit është maksimal (Fig. 2). Nëse kurba e shpërndarjes ka një maksimum, atëherë thirret shpërndarja njëmodale. Nëse një kurbë e shpërndarjes ka më shumë se një maksimum, atëherë shpërndarja quhet multimodale. Ndonjëherë ka shpërndarje, kurbat e të cilave kanë një minimum dhe jo një maksimum. Shpërndarjet e tilla quhen anti-modale. Në rastin e përgjithshëm, mënyra dhe pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme nuk përkojnë. Në rastin e veçantë, për modale, d.m.th. duke pasur një mënyrë, shpërndarje simetrike dhe me kusht që të ketë një pritje matematikore, kjo e fundit përkon me mënyrën dhe qendrën e simetrisë së shpërndarjes.
mesatare ndryshore e rastësishme X- ky është kuptimi i tij Meh, për të cilën vlen barazia: d.m.th. është po aq e mundshme që ndryshorja e rastit X do të jetë më pak ose më shumë Meh. Gjeometrikisht mesatareështë abshisa e pikës në të cilën sipërfaqja nën kurbën e shpërndarjes ndahet në gjysmë (Fig. 2). Në rastin e një shpërndarjeje modale simetrike, mesatarja, mënyra dhe pritshmëria matematikore janë të njëjta.
Konsideroni një ndryshore të rastësishme diskrete të dhënë nga ligji i shpërndarjes:
pritje barazohet me:
Ne shohim se është shumë më tepër. Kjo mund të shpjegohet me faktin se vlera x= –150, shumë më ndryshe nga vlerat e tjera, u rrit ndjeshëm në katror; probabiliteti i kësaj vlere është i ulët (0.02). Kështu, kalimi nga M(X) te M(X 2) bëri të mundur që të merret më mirë parasysh ndikimi në pritjet matematikore të vlerave të tilla të një ndryshoreje të rastësishme që janë të mëdha në vlerë absolute, por probabiliteti i shfaqjes së tyre është i ulët. Sigurisht, nëse sasia kishte disa vlera të mëdha dhe të pamundura, atëherë kalimi në sasi X 2, dhe aq më tepër për sasitë , etj., do të na lejonte të "forconim më tej rolin" e këtyre vlerave të mëdha, por të pamundura të mundshme. Kjo është arsyeja pse rezulton të jetë e këshillueshme të merret parasysh pritshmëria matematikore e një fuqie të plotë pozitive të një ndryshoreje të rastësishme, jo vetëm diskrete, por edhe e vazhdueshme.
Përkufizimi 6.10. Momenti fillestar i rendit të katërt të një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e sasisë:
Në veçanti:
Duke përdorur këto pika, formula për llogaritjen e variancës mund të shkruhet ndryshe
Përveç momenteve të një ndryshoreje të rastësishme, këshillohet të merren parasysh momentet e devijimit.
Përkufizimi 6.11. Momenti qendror i rendit të th të një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e sasisë.
(6.23)
Në veçanti,
Marrëdhëniet që lidhin momentet fillestare dhe qendrore rrjedhin lehtësisht. Pra, duke krahasuar (6.22) dhe (6.24), marrim:
Nuk është e vështirë të vërtetohen marrëdhëniet e mëposhtme:
Po kështu:
Momentet e rendit më të lartë përdoren rrallë. Në përcaktimin e momenteve qendrore, përdoren devijimet e një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore (qendra). Prandaj quhen momentet qendrore.
Në përcaktimin e momenteve fillestare përdoren edhe devijimet e një ndryshoreje të rastësishme, por jo nga pritshmëria matematikore, por nga pika e së cilës abshisa është e barabartë me zero, që është origjina e koordinatave. Prandaj quhen momentet fillestare.
Në rastin e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, momenti fillestar i rendit të parë llogaritet me formulën:
(6.27)
Momenti qendror i rendit të katërt të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme llogaritet me formulën:
(6.28)
Le të supozojmë se shpërndarja e ndryshores së rastësishme është simetrike në lidhje me pritshmërinë matematikore. Atëherë të gjitha momentet qendrore të rendit tek janë të barabarta me zero. Kjo mund të shpjegohet me faktin se për çdo vlerë pozitive të sasisë X-M(X) ekziston (për shkak të simetrisë së shpërndarjes në lidhje me M(X)) të barabartë në vlerë absolute me vlerën negative të kësaj sasie, dhe probabilitetet e tyre do të jenë të njëjta.
Nëse momenti qendror i një rendi tek nuk është i barabartë me zero, atëherë kjo tregon një asimetri të shpërndarjes, dhe sa më i madh të jetë momenti, aq më e madhe është asimetria. Prandaj, është më e arsyeshme të merret një moment qendror i çuditshëm si një karakteristikë e asimetrisë së shpërndarjes. Meqenëse momenti qendror i rendit të parë është gjithmonë zero, këshillohet që për këtë qëllim të përdoret momenti qendror i rendit të tretë.
Përkufizimi 6.12. Koeficienti i asimetrisë është sasia:
Nëse koeficienti i asimetrisë është negativ, atëherë kjo tregon një ndikim të madh në madhësinë e devijimeve negative. Në këtë rast, kurba e shpërndarjes (Fig. 6.1 A) është më e sheshtë në të majtë të . Nëse koeficienti është pozitiv, që do të thotë se mbizotëron ndikimi i devijimeve pozitive, atëherë kurba e shpërndarjes është më e sheshtë në të djathtë.
Siç dihet, momenti i dytë qendror (varianca) shërben për të karakterizuar shpërndarjen e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Nëse ky moment për disa ndryshore të rastësishme është mjaft i madh, d.m.th. Nëse dispersioni është i madh, atëherë kurba përkatëse e shpërndarjes është më e sheshtë se kurba e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme me një moment më të vogël të rendit të dytë. Megjithatë, momenti nuk mund t'i shërbejë këtij qëllimi për faktin se për çdo shpërndarje 
.
Në këtë rast, përdoret momenti qendror i rendit të katërt.
Përkufizimi 6.13. Kurtoza është sasia:
Për ligjin më të zakonshëm të shpërndarjes normale në natyrë, raporti është . Prandaj, kurtoza e dhënë nga formula (6.28) shërben për të krahasuar këtë shpërndarje me atë normale (Fig. 6.1 b).
Përveç karakteristikave të pozicionit - vlera mesatare, tipike të një ndryshoreje të rastësishme - përdoren një numër karakteristikash, secila prej të cilave përshkruan një ose një pronë tjetër të shpërndarjes. Të ashtuquajturat momente përdoren më shpesh si karakteristika të tilla.
Koncepti i momentit përdoret gjerësisht në mekanikë për të përshkruar shpërndarjen e masave (momentet statike, momentet e inercisë, etj.). Pikërisht të njëjtat teknika përdoren në teorinë e probabilitetit për të përshkruar vetitë themelore të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Më shpesh, dy lloje momentesh përdoren në praktikë: fillestare dhe qendrore.
Momenti fillestar i rendit të katërt të një ndryshoreje të rastësishme të ndërprerë është një shumë e formës:
. (5.7.1)
Natyrisht, ky përkufizim përkon me përcaktimin e momentit fillestar të rendit s në mekanikë, nëse masat përqendrohen në boshtin e abshisës në pika.
Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme X, momenti fillestar i rendit të parë quhet integral
. (5.7.2)
Është e lehtë të shihet se karakteristika kryesore e pozicionit të paraqitur në numrin e mëparshëm - pritshmëria matematikore - nuk është asgjë më shumë se momenti i parë fillestar i ndryshores së rastësishme.
Duke përdorur shenjën e pritjes matematikore, mund të kombinoni dy formula (5.7.1) dhe (5.7.2) në një. Në të vërtetë, formulat (5.7.1) dhe (5.7.2) janë plotësisht të ngjashme në strukturë me formulat (5.6.1) dhe (5.6.2), me ndryshimin se në vend të dhe ekzistojnë, përkatësisht, dhe . Prandaj, mund të shkruajmë një përkufizim të përgjithshëm të momentit fillestar të rendit të th, i vlefshëm si për sasitë e ndërprera ashtu edhe për ato të vazhdueshme:
, (5.7.3)
ato. Momenti fillestar i rendit të th të një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e shkallës së th të kësaj ndryshoreje të rastit.
Përpara se të përcaktojmë momentin qendror, ne prezantojmë një koncept të ri të "ndryshores së rastësishme të përqendruar".
Le të ketë një ndryshore të rastësishme me pritshmëri matematikore. Një ndryshore e rastësishme e përqendruar që korrespondon me vlerën është devijimi i ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:
Në të ardhmen, ne do të biem dakord të shënojmë kudo variablin e rastësishëm të përqendruar që korrespondon me një ndryshore të caktuar të rastësishme me të njëjtën shkronjë me një simbol në krye.
Është e lehtë të verifikohet se pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar është e barabartë me zero. Në të vërtetë, për një sasi të ndërprerë
në mënyrë të ngjashme për një sasi të vazhdueshme.
Vendosja në qendër e një ndryshoreje të rastësishme është padyshim ekuivalente me lëvizjen e origjinës së koordinatave në pikën e mesme, "qendrore", abshisa e së cilës është e barabartë me pritshmërinë matematikore.
Momentet e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar quhen momente qendrore. Ato janë analoge me momentet rreth qendrës së gravitetit në mekanikë.
Kështu, momenti qendror i rendit s të një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e fuqisë së th të ndryshores së rastësishme të përqendruar korresponduese:
, (5.7.6)
dhe për të vazhduar – nga integrali
. (5.7.8)
Në vijim, në rastet kur nuk ka dyshim se cilës ndryshore të rastësishme i përket një moment i caktuar, për shkurtësi do të shkruajmë thjesht dhe në vend të dhe .
Natyrisht, për çdo ndryshore të rastësishme, momenti qendror i rendit të parë është i barabartë me zero:
, (5.7.9)
meqenëse pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të përqendruar është gjithmonë e barabartë me zero.
Le të nxjerrim marrëdhënie që lidhin momentet qendrore dhe fillestare të rendeve të ndryshme. Konkluzionin do ta realizojmë vetëm për sasitë e ndërprera; është e lehtë të verifikohet që ekzaktësisht të njëjtat marrëdhënie janë të vlefshme për sasitë e vazhdueshme nëse shumat e fundme i zëvendësojmë me integrale dhe probabilitetet me elemente të probabilitetit.
Le të shqyrtojmë pikën e dytë qendrore:
Në mënyrë të ngjashme për momentin e tretë qendror marrim:
Shprehjet për etj. mund të merret në mënyrë të ngjashme.
Kështu, për momentet qendrore të çdo ndryshoreje të rastësishme formulat janë të vlefshme:
(5.7.10)
Në përgjithësi, momentet mund të konsiderohen jo vetëm në lidhje me origjinën (momentet fillestare) ose pritjet matematikore (momentet qendrore), por edhe në lidhje me një pikë arbitrare:
. (5.7.11)
Megjithatë, momentet qendrore kanë një avantazh mbi të gjithë të tjerët: momenti i parë qendror, siç e pamë, është gjithmonë i barabartë me zero, dhe ai tjetër, momenti i dytë qendror, me këtë sistem referimi ka një vlerë minimale. Le ta vërtetojmë. Për një ndryshore të rastësishme të ndërprerë në, formula (5.7.11) ka formën:
. (5.7.12)
Le ta transformojmë këtë shprehje:
Natyrisht, kjo vlerë arrin minimumin e saj kur , d.m.th. kur momenti merret në lidhje me pikën.
Nga të gjitha momentet, momenti i parë fillestar (pritja matematikore) dhe momenti i dytë qendror përdoren më shpesh si karakteristika të një ndryshoreje të rastësishme.
Momenti i dytë qendror quhet varianca e ndryshores së rastit. Duke pasur parasysh rëndësinë ekstreme të kësaj karakteristike, ndër të tjera, ne prezantojmë një emërtim të veçantë për të:
Sipas përcaktimit të momentit qendror
ato. varianca e një ndryshoreje të rastësishme X është pritshmëria matematikore e katrorit të ndryshores me qendër përkatëse.
Duke zëvendësuar sasinë në shprehjen (5.7.13) me shprehjen e saj, kemi gjithashtu:
. (5.7.14)
Për të llogaritur drejtpërdrejt variancën, përdorni formulat e mëposhtme:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Prandaj për sasitë e ndërprera dhe të vazhdueshme.
Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme është një karakteristikë e shpërndarjes, shpërndarja e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Vetë fjala "dispersion" do të thotë "dispersion".
Nëse i drejtohemi interpretimit mekanik të shpërndarjes, atëherë dispersioni nuk është gjë tjetër veçse momenti i inercisë së një shpërndarjeje të caktuar të masës në raport me qendrën e gravitetit (pritshmëria matematikore).
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme ka dimensionin e katrorit të ndryshores së rastit; Për të karakterizuar vizualisht shpërndarjen, është më e përshtatshme të përdoret një sasi, dimensioni i së cilës përkon me dimensionin e ndryshores së rastit. Për ta bërë këtë, merrni rrënjën katrore të variancës. Vlera që rezulton quhet devijimi standard (përndryshe "standard") i ndryshores së rastit. Do të shënojmë devijimin standard:
, (5.7.17)
Për të thjeshtuar shënimet, ne shpesh do të përdorim shkurtesat për devijimin standard dhe dispersionin: dhe . Në rastin kur nuk ka dyshim se cilës variabël të rastësishëm i përkasin këto karakteristika, ndonjëherë do ta heqim simbolin x y dhe do të shkruajmë thjesht dhe . Fjalët "devijim standard" ndonjëherë do të shkurtohen për t'u zëvendësuar me shkronjat r.s.o.
Në praktikë, shpesh përdoret një formulë që shpreh shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme përmes momentit të dytë fillestar (e dyta e formulave (5.7.10)). Në shënimin e ri do të duket kështu:
Pritshmëria dhe varianca (ose devijimi standard) janë karakteristikat më të përdorura të një ndryshoreje të rastësishme. Ato karakterizojnë tiparet më të rëndësishme të shpërndarjes: pozicionin e saj dhe shkallën e shpërndarjes. Për një përshkrim më të detajuar të shpërndarjes, përdoren momentet e porosive më të larta.
Pika e tretë qendrore shërben për të karakterizuar asimetrinë (ose "shtresën") e shpërndarjes. Nëse shpërndarja është simetrike në lidhje me pritjen matematikore (ose, në një interpretim mekanik, masa shpërndahet në mënyrë simetrike në lidhje me qendrën e gravitetit), atëherë të gjitha momentet e rendit tek (nëse ekzistojnë) janë të barabarta me zero. Në të vërtetë, në total
kur ligji i shpërndarjes është simetrik në lidhje me ligjin dhe tek, çdo term pozitiv korrespondon me një term negativ të barabartë në vlerë absolute, kështu që e gjithë shuma është e barabartë me zero. E njëjta gjë është padyshim e vërtetë për integralin
,
që është e barabartë me zero si integral në kufijtë simetrik të një funksioni tek.
Prandaj, është e natyrshme të zgjedhim një nga momentet teke si karakteristikë e asimetrisë së shpërndarjes. Më e thjeshta prej tyre është momenti i tretë qendror. Ka dimensionin e kubit të një ndryshoreje të rastësishme: për të marrë një karakteristikë pa dimension, momenti i tretë ndahet me kubin e devijimit standard. Vlera që rezulton quhet "koeficienti i asimetrisë" ose thjesht "asimetri"; do ta shënojmë:
Në Fig. 5.7.1 tregon dy shpërndarje asimetrike; njëri prej tyre (kurba I) ka një asimetri pozitive (); tjetra (kurba II) është negative ().
Pika e katërt qendrore shërben për të karakterizuar të ashtuquajturën “freski”, d.m.th. Shpërndarja me majë ose me majë të sheshtë. Këto veti të shpërndarjes përshkruhen duke përdorur të ashtuquajturën kurtosis. Kurtoza e një ndryshoreje të rastësishme është sasia
Numri 3 i zbritet raportit sepse për ligjin e shpërndarjes normale shumë të rëndësishme dhe të përhapur në natyrë (të cilin do ta njohim në detaje më vonë) . Kështu, për një shpërndarje normale kurtoza është zero; lakoret që janë më të majme në krahasim me kurbën normale kanë një kurtozë pozitive; Kthesa që janë më të sheshta kanë kurtozë negative.
Në Fig. 5.7.2 tregon: shpërndarjen normale (kurba I), shpërndarjen me kurtozë pozitive (kurba II) dhe shpërndarjen me kurtozë negative (kurba III).
Përveç momenteve fillestare dhe qendrore të diskutuara më sipër, në praktikë ndonjëherë përdoren të ashtuquajturat momente absolute (fillestare dhe qendrore), të përcaktuara nga formulat.
Natyrisht, momentet absolute të urdhrave madje përkojnë me momentet e zakonshme.
Nga momentet absolute, më i përdoruri është momenti i parë absolut qendror.
, (5.7.21)
quhet devijimi mesatar aritmetik. Së bashku me shpërndarjen dhe devijimin standard, devijimi mesatar aritmetik nganjëherë përdoret si një karakteristikë e dispersionit.
Pritshmëria, mënyra, mediana, momentet fillestare dhe qendrore dhe, në veçanti, dispersioni, devijimi standard, anshmëria dhe kurtoza janë karakteristikat numerike më të përdorura të variablave të rastit. Në shumë probleme praktike, një karakteristikë e plotë e një ndryshoreje të rastësishme - ligji i shpërndarjes - ose nuk nevojitet ose nuk mund të merret. Në këto raste, ne jemi të kufizuar në një përshkrim të përafërt të ndryshores së rastësishme duke përdorur ndihmën. Karakteristikat numerike, secila prej të cilave shpreh disa veti karakteristike të shpërndarjes.
Shumë shpesh, karakteristikat numerike përdoren për të zëvendësuar afërsisht një shpërndarje me një tjetër, dhe zakonisht ata përpiqen ta bëjnë këtë zëvendësim në atë mënyrë që disa pika të rëndësishme të mbeten të pandryshuara.
Shembulli 1. Kryhet një eksperiment, si rezultat i të cilit mund të shfaqet ose jo një ngjarje, probabiliteti i së cilës është i barabartë me . Konsiderohet një ndryshore e rastësishme - numri i ndodhive të një ngjarjeje (ndryshore karakteristike e rastësishme e një ngjarjeje). Përcaktoni karakteristikat e tij: pritshmëria matematikore, dispersioni, devijimi standard.
Zgjidhje. Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:
ku është probabiliteti që ngjarja të mos ndodhë.
Duke përdorur formulën (5.6.1) gjejmë pritshmërinë matematikore të vlerës:
Dispersioni i vlerës përcaktohet me formulën (5.7.15):
(Ne sugjerojmë që lexuesi të marrë të njëjtin rezultat duke shprehur shpërndarjen në terma të momentit të dytë fillestar).
Shembulli 2. Janë gjuajtur tre të shtëna të pavarura në një objektiv; Probabiliteti për të goditur çdo goditje është 0.4. ndryshore e rastësishme – numri i goditjeve. Përcaktoni karakteristikat e një sasie - pritje matematikore, dispersion, r.s.d., asimetri.
Zgjidhje. Seria e shpërndarjes së vlerës ka formën:
Llogaritim karakteristikat numerike të sasisë.
3.4. Momentet e një ndryshoreje të rastësishme.
Më sipër, u njohëm me karakteristikat gjithëpërfshirëse të SV: funksionin e shpërndarjes dhe serinë e shpërndarjes për një SV diskrete, funksionin e shpërndarjes dhe densitetin e probabilitetit për një SV të vazhdueshme. Këto karakteristika ekuivalente në çift për sa i përket përmbajtjes së informacionit janë funksionet dhe të përshkruajë plotësisht SV-në nga një këndvështrim probabilistik. Megjithatë, në shumë situata praktike është ose e pamundur ose e panevojshme të karakterizohet një ndryshore e rastësishme në një mënyrë shteruese. Shpesh mjafton të specifikoni një ose më shumë numerike parametra që në një farë mase përshkruajnë tiparet kryesore të shpërndarjes, dhe ndonjëherë gjetja e karakteristikave shteruese është, megjithëse e dëshirueshme, shumë e vështirë matematikisht dhe duke vepruar me parametra numerikë, jemi të kufizuar në një përshkrim të përafërt, por më të thjeshtë. Parametrat numerikë të specifikuar thirren karakteristikat numerike variablat e rastësishëm dhe luajnë një rol të madh në aplikimet e teorisë së probabilitetit në fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë, duke lehtësuar zgjidhjen e problemeve dhe duke lejuar që rezultatet e zgjidhjes të paraqiten në një formë të thjeshtë dhe vizuale.
Karakteristikat numerike më të përdorura mund të ndahen në dy lloje: momentet dhe karakteristikat e pozicionit. Ekzistojnë disa lloje momentesh, nga të cilat dy më të përdorurat janë: parësore dhe qendrore. Lloje të tjera momentesh, p.sh. momente absolute, momente faktoriale, nuk e konsiderojmë. Për të shmangur përdorimin e një përgjithësimi të integralit - të ashtuquajturit integral Stieltjes, ne do të japim përkufizime të momenteve veçmas për SV-të e vazhdueshme dhe diskrete.
Përkufizimet. 1. Momenti i fillimitk-SV diskrete i rendit të th quhet sasi
Ku f(x) është dendësia e probabilitetit të një SV të caktuar.
3. Momenti qendrork-SV diskrete i rendit të th quhet sasi
Në rastet kur disa SV janë në shqyrtim në të njëjtën kohë, është e përshtatshme, për të shmangur keqkuptimet, të tregohet identiteti i momentit; ne do ta bëjmë këtë duke treguar përcaktimin e SV-së përkatëse në kllapa, për shembull, 
, etj. Ky emërtim nuk duhet të ngatërrohet me shënimin e funksionit dhe shkronja në kllapa nuk duhet të ngatërrohet me argumentin e funksionit. Shumat dhe integralet në anën e djathtë të barazive (3.4.1 - 3.4.4) mund të konvergojnë ose ndryshojnë në varësi të vlerës k dhe shpërndarje specifike. Në rastin e parë thonë se momenti nuk ekziston ose ndryshon, në të dytën - çfarë momenti ekziston ose konvergjon. Nëse një SV diskrete ka një numër të fundëm vlerash të fundme ( N sigurisht), atëherë të gjitha momentet e tij janë të rendit të kufizuar k ekzistojnë. Në pafundësi N, duke filluar nga disa k dhe për porositë më të larta, momentet e një SV diskrete (si fillestare ashtu edhe qendrore) mund të mos ekzistojnë. Momentet e një SV të vazhdueshme, siç shihet nga përkufizimet, shprehen me integrale jo të duhura, të cilat mund të ndryshojnë duke filluar nga një k dhe për porositë më të larta (njëkohësisht fillestare dhe qendrore). Momentet e rendit zero konvergojnë gjithmonë.
Le të shqyrtojmë më në detaje fillimisht momentet fillestare dhe më pas ato qendrore. Nga pikëpamja matematikore, momenti fillestar k- Rendi i th është "mesatarja e ponderuar" k-gradat e vlerave SV; në rastin e një SV diskrete, peshat janë probabilitetet e vlerave në rastin e një SV të vazhdueshme, funksioni i peshës është densiteti i probabilitetit; Operacionet e këtij lloji përdoren gjerësisht në mekanikë për të përshkruar shpërndarjen e masave (momentet statike, momentet e inercisë, etj.); Analogjitë që dalin në këtë drejtim diskutohen më poshtë.
Për një kuptim më të mirë të momenteve fillestare, ne i konsiderojmë ato veçmas si të dhëna k. Në teorinë e probabilitetit, momentet e rendit më të ulët janë më të rëndësishmet, d.m.th k Prandaj, duhet të merret në konsideratë radha e rritjes së vlerave k. Momenti fillestar i rendit zero është i barabartë me
1, për SV diskrete;
=1, për SV të vazhdueshme,
ato. për çdo SV është e barabartë me të njëjtën vlerë - një, dhe për këtë arsye nuk përmban asnjë informacion në lidhje me vetitë statistikore të SV.
Momenti fillestar i rendit të parë (ose momenti i parë fillestar) është i barabartë me
Për SV diskrete;
, për SV të vazhdueshme.
Kjo pikë është karakteristika numerike më e rëndësishme e çdo SV, për të cilën ka disa arsye të ndërlidhura. Së pari, sipas teoremës së Chebyshev (shih seksionin 7.4), me një numër të pakufizuar testesh në SV, mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara priret (në një farë kuptimi) në , pra, për çdo SV, ky është një numër karakteristik rreth të cilit grupohen vlerat e tij në bazë të përvojës. Së dyti, për një CV të vazhdueshme është numerikisht e barabartë me X-koordinata e qendrës së gravitetit të trapezit lakor të formuar nga kurba f(x) (një veti e ngjashme ndodh për një SV diskrete), prandaj ky moment mund të quhet "qendra e gravitetit të shpërndarjes". Së treti, ky moment ka veti të jashtëzakonshme matematikore që do të bëhen të qarta gjatë kursit, në veçanti, prandaj vlera e tij përfshihet në shprehjet për momentet qendrore (shih (3.4.3) dhe (3.4.4)).
Rëndësia e këtij momenti për problemet teorike dhe praktike të teorisë së probabilitetit dhe vetitë e saj të jashtëzakonshme matematikore kanë bërë që përveç emërtimit dhe emrit “momenti i parë fillestar”, në literaturë përdoren emërtime dhe emra të tjerë, pak a shumë. i përshtatshëm dhe që pasqyron vetitë e përmendura. Emrat më të zakonshëm janë: pritje matematikore, vlera mesatare, dhe shënimi: m, M[X],. Më shpesh do të përdorim termin "pritje matematikore" dhe shënimin m; nëse ka disa SV, ne do të përdorim një nënshkrim që tregon identitetin e pritshmërisë matematikore, për shembull, m x , m y etj.
Momenti fillestar i rendit të dytë (ose momenti i dytë fillestar) është i barabartë me
Për SV diskrete;
, për SV të vazhdueshme;
ndonjëherë quhet katrori mesatar i ndryshores së rastit dhe është caktuar M.
Momenti fillestar i rendit të tretë (ose momenti i tretë fillestar) është i barabartë me
Për SV diskrete;
, për SV të vazhdueshme
ndonjëherë quhet kubi mesatar i një ndryshoreje të rastësishme dhe është caktuar M[X 3 ].
Nuk ka kuptim të vazhdohet me renditjen e pikave fillestare. Le të ndalemi në interpretimin e rëndësishëm të momenteve të rendit k> 1. Le, së bashku me SV X ka edhe një SV Y, dhe Y=X k (k=2, 3, ...). Kjo barazi do të thotë se variablat e rastësishëm X Dhe Y janë të lidhura deterministikisht në kuptimin që kur SV X merr vlerën x, NE Y merr vlerën y=x k(në të ardhmen, kjo lidhje e SV do të shqyrtohet më në detaje). Pastaj, sipas (3.4.1) dhe (3.4.2)
=m y
, k=2,
3, ...,
d.m.th. k Momenti i parë fillestar i SV është i barabartë me pritjen matematikore k-fuqia e kësaj ndryshoreje të rastësishme. Për shembull, momenti i tretë fillestar i gjatësisë së skajit të një kubi të rastësishëm është i barabartë me pritjen matematikore të vëllimit të kubit. Mundësia e të kuptuarit të momenteve si pritshmëri të caktuara matematikore është një tjetër aspekt i rëndësisë së konceptit të pritjes matematikore.
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë pikat qendrore. Meqenëse, siç do të bëhet e qartë më poshtë, momentet qendrore shprehen pa mëdyshje përmes momenteve fillestare dhe anasjelltas, lind pyetja pse nevojiten fare momentet qendrore dhe pse momentet fillestare nuk mjaftojnë. Le të shqyrtojmë SV X(i vazhdueshëm ose diskret) dhe një tjetër SV Y, që lidhet me të parën si Y=X+a, Ku a 0 është një numër real jo i rastësishëm. Çdo vlerë x ndryshore e rastësishme X korrespondon me vlerën y=x+a ndryshore e rastësishme Y, pra shpërndarja e SV Y do të ketë të njëjtën formë (shprehur me poligonin e shpërndarjes në rastin diskrete ose densitetin e probabilitetit në rastin e vazhdueshëm) si shpërndarja SV X, por zhvendosur përgjatë boshtit x nga sasia a. Rrjedhimisht, momentet fillestare të SV Y do të ndryshojnë nga momentet përkatëse të SV X. Për shembull, është e lehtë për t'u parë m y =m x +a(momentet e rendit më të lartë lidhen me marrëdhënie më komplekse). Pra, ne e kemi vërtetuar atë momentet fillestare nuk janë të pandryshueshme në lidhje me zhvendosjen e shpërndarjes në tërësi. I njëjti rezultat do të merret nëse nuk zhvendosni shpërndarjen, por fillimin e boshtit x horizontalisht me një sasi - a, d.m.th. Përfundimi ekuivalent është gjithashtu i vlefshëm: momentet fillestare nuk janë të pandryshueshme në lidhje me zhvendosjen horizontale të fillimit të boshtit x.
Momentet qendrore, të destinuara për të përshkruar ato veti të shpërndarjeve që nuk varen nga zhvendosja e tyre në tërësi, janë të lira nga kjo pengesë. Në të vërtetë, siç mund të shihet nga (3.4.3) dhe (3.4.4), kur shpërndarja në tërësi ndryshon me një shumë a, ose, çfarë është e njëjta, duke zhvendosur fillimin e boshtit x me shumën - a, të gjitha vlerat x, me të njëjtat probabilitete (në rastin diskret) ose të njëjtën densitet probabiliteti (në rastin e vazhdueshëm), do të ndryshojë me shumën a, por sasia do të ndryshojë me të njëjtën sasi m, kështu që vlerat e kllapave në anët e djathta të barazive nuk do të ndryshojnë. Kështu, Momentet qendrore janë të pandryshueshme në lidhje me zhvendosjen e shpërndarjes në tërësi, ose, çfarë është e njëjtë, në lidhje me zhvendosjen horizontale të fillimit të boshtit x. Këto momente morën emrin "qendër" në ato ditë kur momenti i parë fillestar u quajt "qendër". Është e dobishme të theksohet se momenti qendror i SV X mund të kuptohet si momenti përkatës fillestar i SV X 0 e barabartë
|
X 0 =X-m x . |
NE X 0 quhet të përqendruar(në lidhje me SV X), dhe operacioni që çon në të, d.m.th. zbritja e pritshmërisë së tij matematikore nga një ndryshore e rastësishme, quhet përqendrimi. Siç do të shohim më vonë, ky koncept dhe ky operacion do të jenë të dobishëm gjatë gjithë kursit. Vini re se momenti qendror i rendit k>1 mund të konsiderohet si pritshmëri matematikore (mesatare) k-shkalla e sV e përqendruar: 
.
Le të shqyrtojmë veçmas momentet qendrore të rendit të ulët. Momenti qendror i rendit zero është i barabartë me
, për SV-të diskrete;
, për SV të vazhdueshme;
dmth për çdo SV dhe nuk përmban asnjë informacion në lidhje me vetitë statistikore të kësaj SV.
Momenti qendror i rendit të parë (ose momenti i parë qendror) është i barabartë me
për SV diskrete;
për CB të vazhdueshme; dmth për çdo SV dhe nuk përmban asnjë informacion në lidhje me vetitë statistikore të kësaj SV.
Momenti qendror i rendit të dytë (ose momenti i dytë qendror) është i barabartë me
, për SV diskrete;
, për SV të vazhdueshme.
Siç do të bëhet e qartë më poshtë, kjo pikë është një nga më të rëndësishmet në teorinë e probabilitetit, pasi përdoret si një karakteristikë e masës së shpërndarjes (ose shpërndarjes) të vlerave SV, prandaj shpesh quhet dispersion dhe është caktuar D X. Vini re se kjo mund të kuptohet si katrori mesatar i SV-së në qendër.
Momenti qendror i rendit të tretë (momenti i tretë qendror) është i barabartë me
Momentet qendrore quhen momentet e shpërndarjes, kur llogariten të cilat devijimi i opsioneve nga mesatarja aritmetike e një serie të caktuar merret si vlerë fillestare.
1. Llogaritni momentin qendror të rendit të parë duke përdorur formulën:
2. Llogaritni momentin qendror të rendit të dytë duke përdorur formulën:
ku është vlera e mesit të intervaleve;
Kjo është një mesatare e ponderuar;
Fi është numri i vlerave.
3. Llogaritni momentin qendror të rendit të tretë duke përdorur formulën:
ku është vlera e mesit të intervaleve; - kjo është mesatarja e ponderuar; - fi-numri i vlerave.
4. Llogaritni momentin qendror të rendit të katërt duke përdorur formulën:
ku është vlera e mesit të intervaleve; - kjo është mesatarja e ponderuar; - fi-numri i vlerave.
Llogaritja për tabelën 3.2
Llogaritja për tabelën 3.4
1. Llogaritni momentin qendror të rendit të parë duke përdorur formulën (7.1):
2. Llogaritni momentin qendror të rendit të dytë duke përdorur formulën (7.2):
3. Llogaritni momentin qendror të rendit të tretë duke përdorur formulën (7.3):
4. Llogaritni momentin qendror të rendit të katërt duke përdorur formulën (7.4):
Llogaritja për tabelën 3.6
1. Llogaritni momentin qendror të rendit të parë duke përdorur formulën (7.1):
2. Llogaritni momentin qendror të rendit të dytë duke përdorur formulën (7.2):
3. Llogaritni momentin qendror të rendit të tretë duke përdorur formulën (7.3):
4. Llogaritni momentin qendror të rendit të katërt duke përdorur formulën (7.4):
Momentet e porosive 1, 2, 3, 4 janë llogaritur për tre problema. Aty ku nevojitet momenti i rendit të tretë për të llogaritur asimetrinë, dhe momenti i rendit të katërt nevojitet për të llogaritur kurtozën.
LLOGARITJA E ASIMETRIVE TË SHPËRNDARJES
Në praktikën statistikore ka shpërndarje të ndryshme. Ekzistojnë llojet e mëposhtme të kurbave të shpërndarjes:
· Kurbat me një kulm: simetrike, mesatarisht asimetrike dhe jashtëzakonisht asimetrike;
· kthesa multivertex.
Popullatat homogjene, si rregull, karakterizohen nga shpërndarje me një kulm. Multivertex tregon heterogjenitetin e popullsisë që studiohet. Shfaqja e dy ose më shumë kulmeve e bën të nevojshme rigrupimin e të dhënave në mënyrë që të identifikohen grupe më homogjene.
Përcaktimi i natyrës së përgjithshme të shpërndarjes përfshin vlerësimin e homogjenitetit të tij, si dhe llogaritjen e treguesve të asimetrisë dhe kurtozës. Për shpërndarjet simetrike, frekuencat e çdo dy opsioni që ndodhen në mënyrë të barabartë në të dy anët e qendrës së shpërndarjes janë të barabarta me njëra-tjetrën. Mesatarja, mënyra dhe mediana e llogaritur për këto shpërndarje janë gjithashtu të barabarta.
Kur studiojmë në mënyrë krahasuese asimetrinë e disa shpërndarjeve me njësi të ndryshme matëse, llogaritet treguesi i asimetrisë relative ():
ku është mesatarja e ponderuar; Mo-moda; - Dispersioni me peshë mesatare të rrënjës; Me-mesatare.
Vlera e tij mund të jetë pozitive ose negative. Në rastin e parë, ne po flasim për asimetri të anës së djathtë, dhe në të dytën, për asimetri të anës së majtë.
Me asimetri djathtas Mo>Me >x. Më i përdoruri (si një tregues i asimetrisë) është raporti i momentit qendror të rendit të tretë me devijimin standard të një serie të caktuar në kub:
ku është momenti qendror i rendit të tretë; - devijimi standard në kub.
Përdorimi i këtij treguesi bën të mundur përcaktimin jo vetëm të madhësisë së asimetrisë, por edhe të kontrolloni praninë e tij në popullatën e përgjithshme. Në përgjithësi pranohet se anshmëria më e madhe se 0.5 (pavarësisht shenjës) konsiderohet e rëndësishme; nëse është më pak se 0.25, atëherë është i parëndësishëm.
Vlerësimi i rëndësisë bëhet në bazë të gabimit mesatar katror, koeficienti i asimetrisë (), i cili varet nga numri i vëzhgimeve (n) dhe llogaritet duke përdorur formulën:
ku n është numri i vëzhgimeve.
Në këtë rast, asimetria është e rëndësishme dhe shpërndarja e karakteristikës në popullatë është asimetrike. Përndryshe, asimetria është e parëndësishme dhe prania e saj mund të shkaktohet nga rrethana të rastësishme.
Llogaritja për tabelën 3.2 Grupimi i popullsisë sipas pagës mesatare mujore, rub.
Anës së majtë, asimetri domethënëse.
Llogaritja për tabelën 3.4 Grupimi i dyqaneve sipas qarkullimit me pakicë, milion rubla.
1. Le të përcaktojmë asimetritë duke përdorur formulën (7.5):
Asimetri domethënëse në anën e djathtë.
Llogaritja për tabelën 3.6 Grupimi i organizatave të transportit sipas qarkullimit të mallrave të transportit publik (milion t.km)
1. Le të përcaktojmë asimetritë duke përdorur formulën (7.5):
Në anën e djathtë, asimetri të lehtë.
LLOGARITJA E KURTESIT TË SHPËRNDARJES
Për shpërndarjet simetrike, indeksi i kurtozës () mund të llogaritet:
ku është momenti qendror i rendit të katërt; - devijimi standard në fuqinë e katërt.
Llogaritja për tabelën 3.2 Grupimi i popullsisë sipas pagës mesatare mujore, rub.
Llogaritja për tabelën 3.4 Grupimi i dyqaneve sipas qarkullimit me pakicë, milion rubla.
Le të llogarisim treguesin e kurtozës duke përdorur formulën (7.7)
Shpërndarja e pikut.
Llogaritja për tabelën 3.6 Grupimi i organizatave të transportit sipas qarkullimit të mallrave të transportit publik (milion t.km)
Le të llogarisim treguesin e kurtozës duke përdorur formulën (7.7)
Shpërndarja e sipërme e sheshtë.
VLERËSIMI I HOMOGJENËSISË SË POPULLSISË
Vlerësimi i homogjenitetit për tabelën 3.2 Grupimi i popullsisë sipas pagës mesatare mujore, rub.
Duhet të theksohet se megjithëse treguesit e asimetrisë dhe kurtozës karakterizojnë drejtpërdrejt vetëm formën e shpërndarjes së karakteristikës brenda popullsisë që studiohet, përkufizimi i tyre nuk ka vetëm rëndësi përshkruese. Shpesh asimetria dhe kurtoza japin indikacione të caktuara për hulumtime të mëtejshme të dukurive socio-ekonomike. Rezultati i marrë tregon praninë e asimetrisë që është e rëndësishme në madhësi dhe në natyrë negative, duhet theksuar se asimetria është e majtë. Përveç kësaj, popullsia ka një shpërndarje të sheshtë.
Vlerësimi i homogjenitetit për tabelën 3.4 Grupimi i dyqaneve sipas qarkullimit me pakicë, milion rubla.
Rezultati i marrë tregon praninë e asimetrisë që është e rëndësishme në madhësi dhe pozitive në natyrë, duhet theksuar se asimetria është e anës së djathtë; Dhe gjithashtu popullsia ka një shpërndarje të mprehtë kulmore.
Vlerësimi i homogjenitetit për tabelën 3.6 Grupimi i organizatave të transportit sipas qarkullimit të mallrave të transportit publik (milion t.km)
Rezultati i marrë tregon praninë e asimetrisë që është e parëndësishme në madhësi dhe në natyrë pozitive, duhet theksuar se asimetria është e anës së djathtë; Përveç kësaj, popullsia ka një shpërndarje të sheshtë.
