Trinjakët e Pitagorës. Trefishi i numrave Pitagora të teknologjisë së lartë

Më pas, ne do të shqyrtojmë metodat e njohura për gjenerimin e treshave efektive të Pitagorës. Studentët e Pitagorës ishin të parët që shpikën një mënyrë të thjeshtë për të gjeneruar treshe Pitagora, duke përdorur një formulë, pjesët e së cilës përfaqësojnë një treshe të Pitagorës:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Ku m- e pa çiftuar, m>2. Vërtet,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Një formulë e ngjashme u propozua nga filozofi i lashtë grek Platoni:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Ku m- çdo numër. Për m= 2,3,4,5 krijohen treshe të mëposhtme:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Siç e shohim, këto formula nuk mund të japin të gjitha treshe të mundshme primitive.

Konsideroni polinomin e mëposhtëm, i cili mund të zgjerohet në një shumë polinomesh:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Prandaj formulat e mëposhtme për marrjen e trefishave primitive:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Këto formula gjenerojnë treshe në të cilat numri mesatar ndryshon nga numri më i madh me saktësisht një, domethënë nuk gjenerohen as të gjitha treshe të mundshme. Këtu treshet e para janë të barabarta me: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Për të përcaktuar se si të gjenerohen të gjitha treshe primitive, duhet të shqyrtohen vetitë e tyre. Së pari, nëse ( a,b,c) është një treshe primitive, pra a Dhe b, b Dhe c, A Dhe c- duhet të jetë relativisht e thjeshtë. Le a Dhe b ndahen në d. Pastaj a 2 + b 2 - gjithashtu i ndashëm me d. Përkatësisht, c 2 dhe c duhet të ndahet me d. Kjo do të thotë, kjo nuk është një tre primitive.

Së dyti, në mesin e numrave a, b njëri duhet të jetë i çiftëzuar dhe tjetri i paçiftuar. Në të vërtetë, nëse a Dhe b- çiftuar, atëherë Me do të çiftohen dhe numrat mund të pjesëtohen me të paktën 2. Nëse të dy janë të paçiftuar, atëherë mund të përfaqësohen si 2 k+1 i 2 l+1, ku k,l- disa numra. Pastaj a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, domethënë, Me 2, si a 2 + b 2 ka një mbetje prej 2 kur ndahet me 4.

Le Me- çdo numër, domethënë Me = 4k+i (i=0,…,3). Pastaj Me 2 = (4k+i) 2 ka një mbetje 0 ose 1 dhe nuk mund të ketë një mbetje 2. Kështu, a Dhe b nuk mund të paçiftohet, domethënë a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 dhe pjesa e mbetur e ndarjes Me 2 me 4 duhet të jetë 1, që do të thotë se Me duhet të jetë i paçiftuar.

Kërkesa të tilla për elementët e një treshe të Pitagorës plotësohen nga numrat e mëposhtëm:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Ku m Dhe n- kryeministër reciprok me çifte të ndryshme. Këto varësi fillimisht u bënë të njohura nga veprat e Euklidit, i cili jetoi 2300 r. mbrapa.

Le të vërtetojmë vlefshmërinë e varësive (2). Le A- çiftuar, atëherë b Dhe c- i paçiftuar. Pastaj c + b i c − b- çiftëzohet. Ato mund të përfaqësohen si c + b = 2u Dhe c − b = 2v, Ku u,v- disa numra të plotë. Kjo është arsyeja pse

a 2 = Me 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 v = 4uv

Dhe prandaj ( a/2) 2 = uv.

Mund të vërtetohet me kontradiktë se u Dhe v- e thjeshtë reciprokisht. Le u Dhe v- e ndarë në d. Pastaj ( c + b) Dhe ( c − b) ndahen në d. Dhe kështu c Dhe b duhet të ndahet me d, dhe kjo bie ndesh me kushtin për treshen e Pitagorës.

Sepse uv = (a/2) 2 dhe u Dhe v janë relativisht të mira, është e lehtë ta vërtetosh këtë u Dhe v duhet të jenë katrorë të disa numrave.

Pra, ka numra të plotë pozitivë m Dhe n, e tillë që u = m 2 dhe v = n 2. Pastaj

A 2 = 4uv = 4m 2 n 2 kështu
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Sepse b> 0, atëherë m > n.

Mbetet për të treguar këtë m Dhe n kanë çifte të ndryshme. Nëse m Dhe n- çiftuar, atëherë u Dhe v duhet të çiftohen, por kjo është e pamundur, pasi ato janë relativisht të para. Nëse m Dhe n- e paçiftuar, atëherë b = m 2 − n 2 dhe c = m 2 + n 2 do të çiftohej, gjë që është e pamundur, pasi c Dhe b- e thjeshtë reciprokisht.

Kështu, çdo treshe primitive e Pitagorës duhet të plotësojë kushtet (2). Në të njëjtën kohë, numrat m Dhe n quhen duke gjeneruar numra treshe primitive. Për shembull, le të kemi një treshe primitive të Pitagorës (120,119,169). Në këtë rast

A= 120 = 2·12·5, b= 119 = 144 − 25, dhe c = 144+25=169,

Ku m = 12, n= 5 — gjenerimi i numrave, 12 > 5; 12 dhe 5 janë reciprokisht të thjeshtë dhe të çifteve të ndryshme.

E kundërta mund të vërtetohet se numrat m, n duke përdorur formulat (2) ata japin një treshe primitive të Pitagorës (a,b,c). Vërtet,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

kjo është ( a,b,c) është një treshe e Pitagorës. Le ta vërtetojmë këtë në këtë rast a,b,c janë numra reciprokisht të thjeshtë nga kontradikta. Lërini këta numra të plotpjesëtohen me fq> 1. Meqenëse m Dhe n atëherë keni çifte të ndryshme b Dhe c- i paçiftuar, domethënë fq≠ 2. Meqenëse r ndan b Dhe c, Kjo r duhet të ndajë 2 m 2 dhe 2 n 2, por kjo është e pamundur, pasi fq≠ 2. Prandaj m, n- kryeministër reciprok dhe a,b,c- janë gjithashtu relativisht të thjeshta.

Tabela 1 tregon të gjitha trefishat primitive të Pitagorës të krijuara duke përdorur formulat (2) për m≤10.

Tabela 1. Treshe primitive të Pitagorës për m≤10

Analiza e kësaj tabele tregon praninë e serisë së mëposhtme të modeleve:

• ose a, ose b pjesëtueshëm me 3;
• një nga numrat a,b,c pjesëtueshëm me 5;
• numri A pjesëtueshëm me 4;
• puna a· b pjesëtueshëm me 12.

Në vitin 1971, matematikanët amerikanë Teigan dhe Hedwin propozuan parametra të tillë pak të njohur të një trekëndëshi kënddrejtë si lartësia e tij për të gjeneruar treshe. h = c− b dhe teprica (sukses) e = a + b − c. Në Fig. 1. këto sasi janë paraqitur në një trekëndësh të caktuar kënddrejtë.

Figura 1. Trekëndëshi kënddrejtë dhe rritja dhe teprica e tij

Emri "tepricë" rrjedh nga fakti se është distanca shtesë që duhet kaluar përgjatë këmbëve të trekëndëshit nga një kulm në të kundërtën, nëse nuk shkon përgjatë diagonales së tij.

Nëpërmjet tepricës dhe rritjes së brinjëve të trekëndëshit të Pitagorës mund të shprehet si:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Jo të gjitha kombinimet h Dhe e mund të korrespondojnë me trekëndëshat e Pitagorës. Për një të dhënë h vlerat e mundshme e janë produkte të një numri të caktuar d. Ky numër d ka emrin e rritjes dhe i referohet h si më poshtë: dështë numri i plotë pozitiv më i vogël, katrori i të cilit pjesëtohet me 2 h. Sepse e të shumëfishta d, atëherë shkruhet si e = kd, Ku kështë një numër i plotë pozitiv.

Duke përdorur çifte ( k,h) mund të gjeneroni të gjithë trekëndëshat e Pitagorës, duke përfshirë ato jo primitive dhe të përgjithësuara, si më poshtë:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Për më tepër, një treshe është primitive nëse k Dhe h janë relativisht të parë dhe nëse h =± q 2 në q- i paçiftuar.
Për më tepër, kjo do të jetë pikërisht një treshe e Pitagorës nëse k> √2· h/d Dhe h > 0.

Për të gjetur k Dhe h nga ( a,b,c), kryeni veprimet e mëposhtme:

• h = c − b;
• shkruani h Si h = pq 2 ku fq> 0 dhe e tillë që nuk është katror;
• d = 2pq Nëse fq- të paçiftuara dhe d = pq, nëse p është çiftuar;
• k = (a − h)/d.

Për shembull, për trefishin (8,15,17) kemi h= 17−15 = 2 1, pra fq= 2 dhe q = 1, d= 2, dhe k= (8 − 2)/2 = 3. Pra, kjo treshe jepet nga ( k,h) = (3,2).

Për trefishin (459,1260,1341) kemi h= 1341 − 1260 = 81, pra fq = 1, q= 9 dhe d= 18, nga këtu k= (459 − 81)/18 = 21, pra kodi i kësaj treshe është ( k,h) = (21, 81).

Vendosja e trenjakëve duke përdorur h Dhe k ka një numër karakteristikash interesante. Parametri k barazohet

k = 4S/(dP), (5)

Ku S = ab/2 është sipërfaqja e trekëndëshit, dhe P = a + b + c- perimetri i tij. Kjo rrjedh nga barazia eP = 4S, e cila rrjedh nga teorema e Pitagorës.

Për një trekëndësh kënddrejtë e e barabartë me diametrin e rrethit të brendashkruar në trekëndësh. Kjo rrjedh nga fakti se hipotenuza Me = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Ku r- rrezja e rrethit. Nga këtu h = c − b = A − 2r Dhe e = a − h = 2r.

Për h> 0 dhe k > 0, kështë numri rendor i trinjakëve a-b-c në një sekuencë të trekëndëshave të Pitagorës me rritje h. Nga Tabela 2, e cila paraqet disa opsione për treshe të krijuara nga çifte h, k, është e qartë se me rritjen k rriten madhësitë e brinjëve të trekëndëshit. Kështu, ndryshe nga numërimi klasik, numërimi në çifte h, k ka rend më të madh në sekuencat e trinjakëve.

Tabela 2. Treshe të Pitagorës të krijuara nga çiftet h, k.

Për h > 0, d plotëson pabarazinë 2√ h ≤ d ≤ 2h, në të cilin kufiri i poshtëm arrihet në fq= 1, dhe në krye - në q= 1. Prandaj vlera d në raport me 2√ hështë një masë se sa një numër h larg katrorit të një numri të caktuar.

Vetitë

Meqenëse barazimi. x 2 + y 2 = z 2 homogjene, pas shumëzimit x , y Dhe z për të njëjtin numër ju merrni një tjetër treshe të Pitagorës. Tripleja e Pitagorës quhet primitive, nëse nuk mund të merret në këtë mënyrë, pra numrat koprim.

Shembuj

Disa treshe të Pitagorës (të renditura në rend rritës të numrit maksimal, ato primitive të theksuara):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Bazuar në vetitë e numrave Fibonacci, është e mundur të përpilohen prej tyre, për shembull, trinjakët e mëposhtëm të Pitagorës:

Histori

Trinjakët e Pitagorës janë njohur për një kohë shumë të gjatë. Në arkitekturën e gurëve të varreve të lashta të Mesopotamisë, gjendet një trekëndësh dykëndësh i përbërë nga dy drejtkëndëshe me brinjë 9, 12 dhe 15 kubitë. Piramidat e faraonit Snofru (shek. XXVII para Krishtit) u ndërtuan duke përdorur trekëndësha me brinjë 20, 21 dhe 29, si dhe 18, 24 dhe 30 dhjetëra kubitë egjiptianë.

Shihni gjithashtu

Lidhjet

• E. A. Gorin Fuqitë e numrave të thjeshtë në trefishat e Pitagorës // Edukimi matematikor. - 2008. - V. 12. - F. 105-125.

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë janë "numrat e Pitagorës" në fjalorë të tjerë: Trefishat e numrave natyrorë të tillë që një trekëndësh, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, të jetë drejtkëndëshe, p.sh. trefishi i numrave: 3, 4, 5...

Fjalori i madh enciklopedik Trefishat e numrave natyrorë të tillë që një trekëndësh, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, të jetë drejtkëndëshe, për shembull, një treshe numrash: 3, 4, 5. që......

Fjalor Enciklopedik

Trefishat e numrave natyrorë të tillë që një trekëndësh, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra është drejtkëndëshe. Sipas teoremës së kundërt me teoremën e Pitagorës (shih teoremën e Pitagorës), për këtë mjafton që ata... ... Trefishat e numrave të plotë pozitivë x, y, z që plotësojnë ekuacionin x2+y 2=z2. Të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni, dhe për rrjedhojë të gjithë numrat e pjesshëm, shprehen me formulat x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, ku a dhe b janë numra të plotë pozitiv arbitrarë (a>b). P.h...

Enciklopedia matematikore Për shembull, trekëndëshat e numrave natyrorë, gjatësia e brinjëve të të cilit janë proporcionale (ose të barabarta) me këta numra, është drejtkëndëshe. trefishi i numrave: 3, 4, 5...

Shkenca natyrore. Fjalor Enciklopedik

Në matematikë, numrat e Pitagorës (trefishi i Pitagorës) janë një tufë prej tre numrash të plotë që plotësojnë relacionin pitagorian: x2 + y2 = z2. Përmbajtja 1 Vetitë 2 Shembuj ... Wikipedia

Numrat me figura janë emri i përgjithshëm për numrat që lidhen me një figurë të caktuar gjeometrike. Ky koncept historik daton që nga pitagorasit. Me sa duket, shprehja "në katror ose kub" lindi nga numrat me figura. Përmbajtja... ...Wikipedia

Numrat me figura janë emri i përgjithshëm për numrat që lidhen me një figurë të caktuar gjeometrike. Ky koncept historik daton që nga pitagorasit. Dallohen llojet e mëposhtme të numrave me figura: Numrat linearë janë numra që nuk mund të faktorizohen, pra të tyre... ... Wikipedia

- (greqisht aritmetika, nga numri arithmys) shkenca e numrave, kryesisht për numrat natyrorë (numrat e plotë pozitivë) dhe thyesat (racionale) dhe veprimet mbi to. Zotërimi i një koncepti mjaft të zhvilluar të numrave natyrorë dhe aftësisë... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

libra

• Vera e Arkimedit, ose Historia e Komonuelthit të Matematikanëve të Rinj. Sistemi i numrave binar, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistemi binar i numrave, Kulla e Hanoi, lëvizja e kalorësit, katrorët magjikë, trekëndëshi aritmetik, numrat me figura, kombinimet, koncepti i probabilitetit, shiriti Mobius dhe shishja Klein.…

Treshe numrash të Pitagorës

Punë krijuese

studenti 8 "A" klasës

MAOU "Gjimnazi nr. 1"

Rrethi Oktyabrsky i Saratovit

Panfilov Vladimir

Drejtues – mësues i matematikës i kategorisë më të lartë

Grishina Irina Vladimirovna

përmbajtja

Hyrje……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Pjesa teorike e punës

Gjetja e trekëndëshit bazë të Pitagorës

(formula e hinduve të lashtë)……………………………………………………………………………………………………………………………………

Pjesë praktike e punës

Kompozimi i treshave të Pitagorës në mënyra të ndryshme…………………………………………………

Një veti e rëndësishme e trekëndëshave të Pitagorës……………………………………………………………………8

përfundimi……………………………………………………………………………………………………

Literatura…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Hyrje

Këtë vit shkollor, në mësimet e matematikës, ne studiuam një nga teoremat më të njohura të gjeometrisë - teorema e Pitagorës. Teorema e Pitagorës përdoret në gjeometri në çdo hap, ajo ka gjetur zbatim të gjerë në praktikë dhe në jetën e përditshme. Por, përveç vetë teoremës, ne studiuam edhe teoremën e kundërt me teoremën e Pitagorës. Në lidhje me studimin e kësaj teoreme, ne u njohëm me treshe të numrave të Pitagorës, d.m.th. me grupe 3 numrash natyrorëa , b Dhec , për të cilën relacioni është i vlefshëm: = + . Komplete të tilla përfshijnë, për shembull, trinjakët e mëposhtëm:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Menjëherë pata pyetje: sa treshe pitagorase mund të gjeni? Si t'i kompozoni ato?

Në tekstin tonë të gjeometrisë, pas paraqitjes së teoremës së kundërt me teoremën e Pitagorës, u bë një vërejtje e rëndësishme: mund të vërtetohet se këmbëtA Dheb dhe hipotenuzëMe Trekëndëshat kënddrejtë, gjatësitë e brinjëve të të cilëve shprehen me numra natyrorë, mund të gjenden duke përdorur formulat:

A = 2 kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

Kuk , m , n – çdo numër natyror dhem > n .

Natyrisht, lind pyetja: si të vërtetohen këto formula? Dhe a është vetëm duke përdorur këto formula që mund të kompozohen treshe të Pitagorës?

Në punën time kam bërë një përpjekje për t'iu përgjigjur pyetjeve që më lindnin.

Pjesa teorike e punës

Gjetja e trekëndëshit bazë të Pitagorës (formulat e lashta hindu)

Së pari vërtetojmë formulat (1):

Le të shënojmë gjatësinë e këmbëve meX Dhenë , dhe gjatësia e hipotenuzës përmesz . Sipas teoremës së Pitagorës kemi barazinë:+ = .(2)

Ky ekuacion quhet ekuacioni i Pitagorës. Studimi i trekëndëshave të Pitagorës vjen deri te zgjidhja e ekuacionit (2) me numra natyrorë.

Nëse secila anë e një trekëndëshi të caktuar të Pitagorës rritet me të njëjtin numër herë, atëherë fitojmë një trekëndësh të ri kënddrejtë të ngjashëm me këtë me brinjë të shprehura në numra natyrorë, d.m.th. përsëri trekëndëshi i Pitagorës.

Ndër të gjithë trekëndëshat e ngjashëm është më i vogli, është e lehtë të merret me mend se do të jetë një trekëndësh, anët e të cilitX Dhenë të shprehura me numra të thjeshtë reciprokisht

(GCD (x, y )=1).

Le ta quajmë këtë trekëndësh të Pitagorëskryesore .

Gjetja e trekëndëshave bazë të Pitagorës.

Lëreni trekëndëshin (x , y , z ) është trekëndëshi bazë i Pitagorës. NumratX Dhenë janë relativisht të parë, dhe për këtë arsye nuk mund të jenë të dyja të njëtrajtshme. Le të vërtetojmë se ato nuk mund të jenë të çuditshme. Për ta bërë këtë, vini re seKatrori i një numri tek kur pjesëtohet me 8 lë një mbetje prej 1. Në fakt, çdo numër natyror tek mund të përfaqësohet si2 k -1 , Kuk i takonN .

Nga këtu: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Numrat( k -1) Dhek – të njëpasnjëshme, njëri prej tyre është detyrimisht i barabartë. Pastaj shprehjak ( k -1) ndarë nga2 , 4 k ( k -1) pjesëtueshëm me 8, që do të thotë numri Kur ndahet me 8, pjesa e mbetur është 1.

Shuma e katrorëve të dy numrave tek jep një mbetje prej 2 kur pjesëtohet me 8, prandaj, shuma e katrorëve të dy numrave tek është një numër çift, por jo shumëfish i 4, dhe për këtë arsye ky numërnuk mund të jetë katrori i një numri natyror.

Pra, barazia (2) nuk mund të ndodhë nësex Dhenë të dyja janë të çuditshme.

Kështu, nëse një trekëndësh i Pitagorës (x, y, z ) - bazë, pastaj midis numraveX Dhenë njëri duhet të jetë çift dhe tjetri tek. Le të jetë numri y çift. NumratX Dhez tek (tekz rrjedh nga barazia (2)).

Nga barazimi.+ = ne e marrim atë= ( z + x )( z - x ) (3).

Numratz + x Dhez - x pasi shuma dhe ndryshimi i dy numrave tek janë numra çift, dhe për këtë arsye (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , KuA Dheb i përkasinN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Nga këto barazi rezulton sea Dheb janë numra të thjeshtë reciprokisht.

Le ta vërtetojmë këtë duke argumentuar me kontradiktë.

Lere GCD (a , b )= d , Kud >1 .

Pastajd z Dhex , dhe për këtë arsye numratz + x Dhez - x . Pastaj, bazuar në barazinë (3) do të ishte pjesëtues i numrit . Në atë rastd do të ishte një pjesëtues i përbashkët i numravenë DheX , por numratnë DheX duhet të jetë relativisht primar.

Numrinë , siç dihet, është i barabartë, pray = 2c , KuMe – numri natyror. Barazia (3) e bazuar në barazinë (4) merr formën e mëposhtme: =2a*2 b , ose =ab.

Nga aritmetika dihet senëse prodhimi i dy numrave relativisht të thjeshtë është katrori i një numri natyror, atëherë secili nga këta numra është gjithashtu katrori i një numri natyror.

Do të thotë,a = Dheb = , Kum Dhen janë numra relativisht të thjeshtë, sepse ata janë pjesëtues të numrave të dyfishtëA Dheb .

Bazuar në barazinë (5) kemi:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Pastajy = 2 mn .

Numratm Dhen , sepse janë relativisht të parë dhe nuk mund të jenë edhe në të njëjtën kohë. Por ato nuk mund të jenë të çuditshme në të njëjtën kohë, sepse në këtë rastx = - do të ishte e barabartë, gjë që është e pamundur. Pra, një nga numratm osen është çift dhe tjetra është tek. Natyrisht,y = 2 mn është i pjesëtueshëm me 4. Për rrjedhojë, në çdo trekëndësh bazë të Pitagorës, të paktën njëra nga këmbët është e pjesëtueshme me 4. Nga kjo rrjedh se nuk ka trekëndësha të Pitagorës, të gjitha brinjët e të cilëve do të ishin numra të thjeshtë.

Rezultatet e marra mund të shprehen në formën e teoremës së mëposhtme:

Të gjithë trekëndëshat bazë në të cilëtnë është një numër çift, i marrë nga formula

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), Kum Dhen - të gjithë çiftet e numrave të përbashkët, njëri prej të cilëve është çift dhe tjetri tek (nuk ka rëndësi se cili). Çdo treshe bazë e Pitagorës (x, y, z ), Kunë – madje, përcaktohet në këtë mënyrë pa mëdyshje.

Numratm Dhen të dyja nuk mund të jenë çift ose të dyja tek, sepse në këto raste

x = do të ishte e barabartë, gjë që është e pamundur. Pra, një nga numratm osen është çift dhe tjetra është tek (y = 2 mn pjesëtueshëm me 4).

Pjesë praktike e punës

Kompozimi i treshave të Pitagorës në mënyra të ndryshme

Në formulat e hinduvem Dhen – janë relativisht të thjeshtë, por mund të jenë numra me barazi arbitrare dhe është mjaft e vështirë të formohen treshe pitagorase duke i përdorur ato. Prandaj, le të përpiqemi të gjejmë një qasje të ndryshme për kompozimin e treshave të Pitagorës.

= - = ( z - y )( z + y ), KuX - e çuditshme,y - madje,z - e çuditshme

v = z - y , u = z + y

= uv , Kuu - e çuditshme,v - tek (coprime)

Sepse atëherë prodhimi i dy numrave tek të njëkohshëm është katrori i një numri natyroru = , v = , Kuk Dhel – numra relativisht të thjeshtë, tek.

z - y = z + y = k 2 , nga ku, duke shtuar barazitë dhe duke zbritur tjetrën nga njëra, marrim:

2 z = + 2 y = - pra

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (szero)*(100…0 (szero) +1)+1 =200…0 (s-1zero) 200…0 (s-1zero) 1

Veti e rëndësishme e trekëndëshave të Pitagorës

Teorema

Në trekëndëshin bazë të Pitagorës, njëra nga këmbët është domosdoshmërisht e ndashme me 4, njëra nga këmbët është domosdoshmërisht e ndashme me 3, dhe zona e trekëndëshit të Pitagorës është domosdoshmërisht një shumëfish i 6.

Dëshmi

Siç e dimë, në çdo trekëndësh të Pitagorës të paktën një nga këmbët është e ndashme me 4.

Le të vërtetojmë se njëra nga këmbët është gjithashtu e pjesëtueshme me 3.

Për ta vërtetuar këtë, supozoni se në një trekëndësh të Pitagorës (x , y , z x osey shumëfish i 3.

Tani vërtetojmë se sipërfaqja e një trekëndëshi të Pitagorës është e ndashme me 6.

Çdo trekëndësh i Pitagorës ka një sipërfaqe të shprehur me një numër natyror të plotpjesëtueshëm me 6. Kjo rrjedh nga fakti se të paktën një nga këmbët është e pjesëtueshme me 3 dhe të paktën një nga këmbët është e pjestueshme me 4. Sipërfaqja e trekëndëshit , i përcaktuar nga gjysma e prodhimit të këmbëve, duhet të shprehet me një numër të pjesëtueshëm me 6.

konkluzioni

Në vazhdim

- janë vërtetuar formulat e hinduve të lashtë

- u krye një studim për numrin e treshave të Pitagorës (ka pafundësisht shumë prej tyre)

- tregohen metodat për gjetjen e treshave të Pitagorës

- u studiuan disa veti të trekëndëshave të Pitagorës

Kjo ishte një temë shumë interesante për mua dhe gjetja e përgjigjeve për pyetjet e mia u bë një aktivitet shumë interesant. Në të ardhmen, unë planifikoj të konsideroj lidhjen e trefishave të Pitagorës me sekuencën e Fibonaçit dhe teoremën e Fermatit dhe të mësoj shumë më tepër veti të trekëndëshave të Pitagorës.

Letërsia

L.S. Atanasyan "Gjeometria 7-9 klasa" M.: Edukimi, 2012.

V. Sierpinsky "Trekëndëshat e Pitagorës" M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014

Ecuria e mësimit

I. Momenti organizativ

II. Shpjegimi i materialit të ri

Mësuesja: Misteri i fuqisë tërheqëse të trenjakëve të Pitagorës ka shqetësuar prej kohësh njerëzimin. Vetitë unike të trinjakëve të Pitagorës shpjegojnë rolin e tyre të veçantë në natyrë, muzikë dhe matematikë. Magjia e Pitagorës, teorema e Pitagorës, mbetet në trurin e miliona, nëse jo miliarda, njerëzve. Kjo është një teoremë themelore që çdo nxënës shkolle detyrohet ta mësojë përmendësh. Megjithëse teorema e Pitagorës mund të kuptohet nga dhjetëvjeçarët, ajo është një fillim frymëzues për një problem që mendjet më të mëdha në historinë e matematikës nuk kanë arritur ta zgjidhin, teorema e Fermatit. Pitagora nga ishulli i Samos (shih. Shtojca 1 , rrëshqitje 4) ishte një nga figurat më me ndikim dhe megjithatë misterioze në matematikë. Për shkak se nuk ka rrëfime të besueshme të jetës dhe veprës së tij të mbijetuar, jeta e tij është mbuluar me mite dhe legjenda, dhe historianët mund ta kenë të vështirë të ndajnë faktin nga trillimi. Sidoqoftë, nuk ka dyshim se Pitagora zhvilloi idenë e logjikës së numrave dhe se pikërisht atij i detyrohemi epokës së parë të artë të matematikës. Falë gjenialitetit të tij, numrat pushuan së përdoruri vetëm për numërim dhe llogaritje dhe u vlerësuan për herë të parë. Pitagora studioi vetitë e disa klasave të numrave, marrëdhëniet ndërmjet tyre dhe figurat që formojnë numrat. Pitagora kuptoi se numrat ekzistojnë në mënyrë të pavarur nga bota materiale, dhe për këtë arsye studimi i numrave nuk ndikohet nga pasaktësia e shqisave tona. Kjo do të thoshte se Pitagora fitoi aftësinë për të zbuluar të vërteta të pavarura nga opinioni apo paragjykimi i dikujt tjetër. Të vërteta më absolute se çdo njohuri e mëparshme. Bazuar në literaturën e studiuar në lidhje me treshe të Pitagorës, ne do të jemi të interesuar në mundësinë e përdorimit të treshave të Pitagorës në zgjidhjen e problemeve të trigonometrisë. Prandaj, ne do t'i vendosim vetes qëllimin: të studiojmë një numër treshe të Pitagorës, të zhvillojmë një algoritëm për përdorimin e tyre, të përpilojmë një memorandum për përdorimin e tyre dhe të bëjmë kërkime për përdorimin e tyre në situata të ndryshme.

trekëndësh ( rrëshqitje 14), anët e të cilit janë të barabarta me numrat Pitagora, është drejtkëndëshe. Për më tepër, çdo trekëndësh i tillë është heronian, d.m.th. ai në të cilin të gjitha anët dhe zona janë numra të plotë. Më e thjeshta prej tyre është trekëndëshi egjiptian me brinjë (3, 4, 5).

Le të krijojmë një seri treshesh të Pitagorës duke shumëzuar numrat (3, 4, 5) me 2, me 3, me 4. Do të marrim një seri treshesh pitagorase, do t'i renditim në rend rritës të numrit maksimal dhe do të zgjedhim ato primitive. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Ecuria e mësimit

1. Le të rrotullohemi rreth detyrave:

1) Duke përdorur marrëdhëniet ndërmjet funksioneve trigonometrike të të njëjtit argument, gjeni nëse

dihet se .

2) Gjeni vlerën e funksioneve trigonometrike të këndit?, nëse dihet se:

3) Sistemi i detyrave të trajnimit me temën "Formulat e shtimit"

duke ditur se sin = 8/17, cos = 4/5, dhe janë këndet e tremujorit të parë, gjeni vlerën e shprehjes:

duke ditur se dhe janë këndet e tremujorit të dytë, sin = 4/5, cos = – 15/17, gjeni: .

4) Sistemi i detyrave të trajnimit me temën "Formulat me kënd të dyfishtë"

a) Le të jetë sin = 5/13 këndi i tremujorit të dytë. Gjeni sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Dihet se tg? = 3/4, – këndi i tremujorit të tretë. Gjeni sin2, cos2, tan2, ctg2.

c) Dihet se, 0< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Dihet se , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Gjeni tan( + ) nëse dihet se cos = 3/5, cos = 7/25, ku dhe janë këndet e tremujorit të parë.

f) Gjeni , – këndi i tremujorit të tretë.

Ne e zgjidhim problemin në mënyrë tradicionale duke përdorur identitetet bazë trigonometrike dhe më pas i zgjidhim të njëjtat probleme në një mënyrë më racionale. Për ta bërë këtë, ne përdorim një algoritëm për zgjidhjen e problemeve duke përdorur treshe të Pitagorës. Le të krijojmë një udhëzues për zgjidhjen e problemeve duke përdorur treshe Pythagorean. Për ta bërë këtë, ne kujtojmë përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit, këndit akut të një trekëndëshi kënddrejtë, e vizatojmë atë, në varësi të kushteve të problemit, ne rregullojmë saktë trefishat e Pitagorës në anët e trekëndëshit kënddrejtë ( oriz. 1). Shkruajmë raportin dhe renditim shenjat. Algoritmi është zhvilluar.

Figura 1

Algoritmi për zgjidhjen e problemeve

Rishikimi (studimi) i materialit teorik.

Njihni përmendësh treshe primitive të Pitagorës dhe, nëse është e nevojshme, të jeni në gjendje të ndërtoni të reja.

Zbatoni teoremën e Pitagorës për pikat me koordinata racionale.

Njihni përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë, të jeni në gjendje të vizatoni një trekëndësh kënddrejtë dhe, në varësi të kushteve të problemit, të vendosni saktë treshe pitagoriane në anët e trekëndëshit.

Njihni shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës në varësi të vendndodhjes së tyre në planin koordinativ.

Kërkesat e nevojshme:

1. të dinë se çfarë shenjash kanë sinusi, kosinusi, tangjentja, kotangjenta në secilin nga katërtat e rrafshit koordinativ;
2. të njohë përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë;
3. të dijë dhe të jetë në gjendje të zbatojë teoremën e Pitagorës;
4. të njohë identitetet bazë trigonometrike, formulat e mbledhjes, formulat e këndit të dyfishtë, formulat e gjysmëargumentit;
5. njohin formulat e reduktimit.

Duke marrë parasysh sa më sipër, le të plotësojmë tabelën ( tabela 1). Duhet të plotësohet duke ndjekur përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës ose duke përdorur teoremën e Pitagorës për pikat me koordinata racionale. Në këtë rast, është gjithmonë e nevojshme të mbani mend shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, në varësi të vendndodhjes së tyre në planin koordinativ.

Tabela 1

		Trefishat e numrave		mëkat	cos	tg	ctg
		(3, 4, 5)	I orë
		(6, 8, 10)	Pjesa II			-	-
		(5, 12, 13)	Pjesa III	-	-
		(8, 15, 17)	ora IV	-		-	-
		(9, 40, 41)	I orë

Për punë të suksesshme, mund të përdorni udhëzimet për përdorimin e trefishave të Pitagorës.

Tabela 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Le të vendosim së bashku.

1) Problemi: gjeni cos, tg dhe ctg, nëse sin = 5/13, nëse - këndi i tremujorit të dytë.

Një metodë e përshtatshme dhe shumë e saktë e përdorur nga anketuesit për të vizatuar vija pingule në tokë është si më poshtë. Le të jetë e nevojshme të vizatoni një pingul përmes pikës A në vijën e drejtë MN (Fig. 13). Vonesoni një distancë a nga A në drejtimin AM tri herë. Pastaj në kordon lidhen tre nyje, distancat midis tyre janë 4a dhe 5a. Pasi të keni bashkuar nyjet ekstreme në pikat A dhe B, tërhiqeni kordonin nga nyja e mesme. Kordoni do të vendoset në një trekëndësh, në të cilin këndi A është një kënd i drejtë.

Kjo metodë e lashtë, e përdorur me sa duket mijëra vjet më parë nga ndërtuesit e piramidave egjiptiane, bazohet në faktin se çdo trekëndësh brinjët e të cilit janë në raportin 3:4:5, sipas teoremës së njohur të Pitagorës, është drejtkëndor. që nga viti

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Përveç numrave 3, 4, 5, ka, siç dihet, një grup i pafundëm numrash të plotë pozitivë a, b, c, që plotësojnë relacionin

A 2 + b 2 = c 2.

Ata quhen numra pitagorianë. Sipas teoremës së Pitagorës, numra të tillë mund të shërbejnë si gjatësia e brinjëve të një trekëndëshi të caktuar kënddrejtë; prandaj a dhe b quhen "këmbë", dhe c quhet "hipotenuzë".

Është e qartë se nëse a, b, c është një trefish i numrave pitagorianë, atëherë pa, pb, pc, ku p është një faktor numër i plotë, janë numra pitagorianë. Anasjelltas, nëse numrat e Pitagorës kanë një faktor të përbashkët, atëherë ata të gjithë mund të reduktohen nga ky faktor i përbashkët, dhe përsëri ju merrni një trefish të numrave pitagorianë. Prandaj, së pari do të shqyrtojmë vetëm treshe të numrave pitagorianë të njëkohshëm (pjesa tjetër fitohet prej tyre duke shumëzuar me një faktor të plotë p).

Le të tregojmë se në secilën nga treshe të tilla a, b, c, njëra nga "këmbët" duhet të jetë çift dhe tjetra tek. Le të argumentojmë me kontradiktë. Nëse të dyja "këmbët" a dhe b janë çift, atëherë numri a 2 + b 2 do të jetë çift, dhe rrjedhimisht "hipotenuza". Megjithatë, kjo bie ndesh me faktin se numrat a, b, c nuk kanë faktorë të përbashkët, pasi tre numra çift kanë një faktor të përbashkët 2. Kështu, të paktën një nga "këmbët" a, b është tek.

Mbetet një mundësi tjetër: të dyja "këmbët" janë tek, dhe "hipotenuza" është çift. Nuk është e vështirë të vërtetosh se kjo nuk mund të jetë. Në të vërtetë: nëse "këmbët" kanë formën

2x + 1 dhe 2v + 1,

atëherë shuma e katrorëve të tyre është e barabartë

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2,

d.m.th., është një numër që kur pjesëtohet me 4, lë një mbetje prej 2. Ndërkohë, katrori i çdo numri çift duhet të jetë i pjesëtueshëm me 4 pa mbetje. Kjo do të thotë se shuma e katrorëve të dy numrave tek nuk mund të jetë katrori i një numri çift; me fjalë të tjera, tre numrat tanë nuk janë pitagorianë.

Pra, nga "këmbët" a, b, njëra është çift dhe tjetra është tek. Prandaj, numri a 2 + b 2 është tek, që do të thotë se "hipotenuza" c është gjithashtu tek.

Le të supozojmë, për saktësi, se "ana" a është tek, dhe b është çift. Nga barazia

a 2 + b 2 = c 2

ne marrim lehtësisht:

A 2 = c 2 - b 2 = (c + b) (c - b).

Faktorët c + b dhe c - b në anën e djathtë janë të dyfishtë. Në të vërtetë, nëse këta numra do të kishin një faktor kryesor të përbashkët të ndryshëm nga një, atëherë shuma do të pjesëtohet me këtë faktor

(c + b) + (c - b) = 2c,

dhe dallimi

(c + b) - (c - b) = 2b,

dhe puna

(c + b) (c - b) = a 2,

domethënë, numrat 2c, 2b dhe a do të kishin një faktor të përbashkët. Meqenëse a është tek, ky faktor është i ndryshëm nga dy, dhe për këtë arsye numrat a, b, c kanë të njëjtin faktor të përbashkët, i cili, megjithatë, nuk mund të jetë. Kontradikta që rezulton tregon se numrat c + b dhe c - b janë të dyfishtë.

Por nëse prodhimi i numrave relativisht të thjeshtë është një katror i saktë, atëherë secili prej tyre është një katror, ​​d.m.th.

Pasi kemi zgjidhur këtë sistem, gjejmë:

C = (m 2 + n 2)/2, b = (m 2 - n 2)/2, a 2 = (c + b) (c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Pra, numrat e Pitagorës në shqyrtim kanë formën

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

ku m dhe n janë disa numra tek relativisht të thjeshtë. Lexuesi mund të verifikojë lehtësisht të kundërtën: për çdo tip tek, formulat e shkruara japin tre numra pitagorianë a, b, c.

Këtu janë disa treshe të numrave Pitagorianë të marra me lloje të ndryshme:

Për m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 për m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 për m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 për m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 me m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 me m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 me m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 për m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 për m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 për m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 për m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 për m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 për m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 me m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 me m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 me m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Të gjitha treshe të tjera të numrave të Pitagorës ose kanë faktorë të përbashkët ose përmbajnë numra më të mëdhenj se njëqind.)