Nga kjo ka. Nëse dy kënde janë të dy ngjitur dhe të barabartë, atëherë ato janë kënde të drejta. Nëse njëri nga këndet ngjitur është i drejtë, pra 90 gradë, atëherë këndi tjetër është gjithashtu i drejtë. Nëse njëri nga këndet ngjitur është i mprehtë, atëherë tjetri do të jetë i mpirë. Në mënyrë të ngjashme, nëse njëri prej këndeve është i mpirë, atëherë i dyti, në përputhje me rrethanat, do të jetë i mprehtë.
Një kënd i mprehtë është ai, masa e shkallës së të cilit është më e vogël se 90 gradë, por më e madhe se 0. Një kënd i mpirë ka një masë shkallë më të madhe se 90 gradë, por më pak se 180.
Një veti tjetër e këndeve ngjitur formulohet si më poshtë: nëse dy kënde janë të barabarta, atëherë edhe këndet ngjitur me to janë të barabartë. Kjo do të thotë që nëse ka dy kënde për të cilët masa e shkallës është e njëjtë (për shembull, është 50 gradë) dhe në të njëjtën kohë njëri prej tyre ka një kënd ngjitur, atëherë vlerat e këtyre këndeve ngjitur gjithashtu përkojnë ( në shembull, masa e tyre e shkallës do të jetë e barabartë me 130 gradë).
Burimet:
- Fjalori i madh Enciklopedik - Kënde të afërta
- kënd 180 gradë
Fjala "" ka interpretime të ndryshme. Në gjeometri, një kënd është një pjesë e një plani të kufizuar nga dy rreze që dalin nga një pikë - kulmi. Kur flasim për kënde të drejta, akute dhe të shpalosura, nënkuptojmë kënde gjeometrike.
Si çdo figurë në gjeometri, këndet mund të krahasohen. Barazia e këndeve përcaktohet duke përdorur lëvizjen. Është e lehtë të ndash këndin në dy pjesë të barabarta. Ndarja në tre pjesë është pak më e vështirë, por gjithsesi mund të bëhet duke përdorur një vizore dhe busull. Nga rruga, kjo detyrë dukej mjaft e vështirë. Përshkrimi se një kënd është më i madh ose më i vogël se një tjetër është gjeometrikisht i thjeshtë.
Njësia e pranuar e matjes për këndet është 1/180
Gjeometria është një shkencë shumë e shumëanshme. Zhvillon logjikën, imagjinatën dhe inteligjencën. Sigurisht, për shkak të kompleksitetit të tij dhe numrit të madh të teoremave dhe aksiomave, nxënësve të shkollës nuk u pëlqen gjithmonë. Për më tepër, ekziston nevoja për të vërtetuar vazhdimisht përfundimet tuaja duke përdorur standarde dhe rregulla të pranuara përgjithësisht.
Këndet fqinje dhe vertikale janë pjesë përbërëse e gjeometrisë. Me siguri shumë nxënës thjesht i adhurojnë për arsye se vetitë e tyre janë të qarta dhe të lehta për t'u provuar.
Formimi i qosheve
Çdo kënd formohet duke kryqëzuar dy vija të drejta ose duke tërhequr dy rreze nga një pikë. Ato mund të quhen ose një shkronjë ose tre, të cilat përcaktojnë në mënyrë sekuenciale pikat në të cilat është ndërtuar këndi.
Këndet maten në gradë dhe mund (në varësi të vlerës së tyre) të quhen ndryshe. Pra, ekziston një kënd i drejtë, i mprehtë, i mpirë dhe i shpalosur. Secili prej emrave korrespondon me një masë të caktuar të shkallës ose intervalin e tij.
Një kënd akut është një kënd, masa e të cilit nuk i kalon 90 gradë.
Një kënd i mpirë është një kënd më i madh se 90 gradë.
Një kënd quhet i drejtë kur masa e shkallës së tij është 90.
Në rastin kur ajo formohet nga një drejtëz e vazhdueshme dhe masa e shkallës së saj është 180, quhet e zgjeruar.
Këndet që kanë një brinjë të përbashkët, brinja e dytë e të cilave vazhdon njëra-tjetrën quhen fqinj. Ato mund të jenë ose të mprehta ose të hapura. Kryqëzimi i drejtëzës formon kënde ngjitur. Karakteristikat e tyre janë si më poshtë:
- Shuma e këndeve të tilla do të jetë e barabartë me 180 gradë (ekziston një teoremë që e vërteton këtë). Prandaj, mund të llogaritet lehtësisht njëra prej tyre nëse dihet tjetra.
- Nga pika e parë del se këndet ngjitur nuk mund të formohen nga dy kënde të mpirë ose dy akute.
Falë këtyre vetive, është gjithmonë e mundur të llogaritet masa e shkallës së një këndi duke pasur parasysh vlerën e një këndi tjetër, ose të paktën raportin ndërmjet tyre.
Kënde vertikale
Këndet, brinjët e të cilëve janë vazhdimësi e njëra-tjetrës quhen vertikale. Secila prej varieteteve të tyre mund të veprojë si një palë e tillë. Këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëri-tjetrin.
Ato formohen kur vijat e drejta kryqëzohen. Së bashku me to, këndet ngjitur janë gjithmonë të pranishëm. Një kënd mund të jetë njëkohësisht ngjitur për një dhe vertikal për një tjetër.
Kur kaloni një vijë arbitrare, merren parasysh edhe disa lloje të tjera këndesh. Një vijë e tillë quhet vijë sekante dhe formon kënde përkatëse, të njëanshme dhe të kryqëzuara. Ata janë të barabartë me njëri-tjetrin. Ato mund të shihen në dritën e vetive që kanë këndet vertikale dhe ato ngjitur.
Kështu, tema e këndeve duket mjaft e thjeshtë dhe e kuptueshme. Të gjitha pronat e tyre janë të lehta për t'u mbajtur mend dhe provuar. Zgjidhja e problemeve nuk është e vështirë për sa kohë që këndet kanë një vlerë numerike. Më vonë, kur të fillojë studimi i mëkatit dhe kosit, do t'ju duhet të mësoni përmendësh shumë formula komplekse, përfundimet dhe pasojat e tyre. Deri atëherë, ju mund të shijoni thjesht enigma të lehta ku duhet të gjeni kënde ngjitur.
Fillimi me Angles
Le të na jepen dy rreze arbitrare. Le t'i vendosim njëra mbi tjetrën. Pastaj
Përkufizimi 1
Një kënd do të quajmë dy rreze që kanë të njëjtën origjinë.
Përkufizimi 2
Pika që është fillimi i rrezeve brenda kornizës së Përkufizimit 3 quhet kulm i këtij këndi.
Këndin do ta shënojmë me tre pikat e mëposhtme: kulmin, pikën në njërën nga rrezet dhe pikën në rrezen tjetër, dhe kulmi i këndit shkruhet në mes të emërtimit të tij (Fig. 1).
Tani le të përcaktojmë se cila është madhësia e këndit.
Për ta bërë këtë, duhet të zgjedhim një lloj këndi "referencë", të cilin do ta marrim si njësi. Më shpesh, ky kënd është këndi që është i barabartë me pjesën $\frac(1)(180)$ të këndit të shpalosur. Kjo sasi quhet shkallë. Pasi zgjedhim një kënd të tillë, krahasojmë këndet me të, vlera e të cilit duhet gjetur.
Ekzistojnë 4 lloje këndesh:
Përkufizimi 3
Një kënd quhet akut nëse është më pak se $90^0$.
Përkufizimi 4
Një kënd quhet i mpirë nëse është më i madh se $90^0$.
Përkufizimi 5
Një kënd quhet i zhvilluar nëse është i barabartë me $180^0$.
Përkufizimi 6
Një kënd quhet i drejtë nëse është i barabartë me $90^0$.
Përveç llojeve të këndeve të përshkruara më sipër, mund të dallojmë llojet e këndeve në raport me njëri-tjetrin, përkatësisht këndet vertikale dhe ato ngjitur.
Kënde ngjitur
Konsideroni këndin e kundërt $COB$. Nga kulmi i saj nxjerrim një rreze $OA$. Kjo rreze do ta ndajë atë origjinale në dy kënde. Pastaj
Përkufizimi 7
Dy kënde do t'i quajmë ngjitur nëse njëra palë e brinjëve të tyre është një kënd i zhvilluar, dhe çifti tjetër përputhet (Fig. 2).
Në këtë rast, këndet $COA$ dhe $BOA$ janë ngjitur.
Teorema 1
Shuma e këndeve ngjitur është $180^0$.
Dëshmi.
Le të shohim figurën 2.
Sipas përkufizimit 7, këndi $COB$ në të do të jetë i barabartë me $180^0$. Meqenëse çifti i dytë i brinjëve të këndeve ngjitur përputhet, rrezja $OA$ do ta ndajë këndin e shpalosur me 2, prandaj
$∠COA+∠BOA=180^0$
Teorema është vërtetuar.
Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemit duke përdorur këtë koncept.
Shembulli 1
Gjeni këndin $C$ nga figura më poshtë
Nga përkufizimi 7 ne gjejmë se këndet $BDA$ dhe $ADC$ janë ngjitur. Prandaj, nga teorema 1, marrim
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Nga teorema mbi shumën e këndeve në një trekëndësh, ne kemi
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Përgjigje: $40^0$.
Kënde vertikale
Merrni parasysh këndet e shpalosura $AOB$ dhe $MOC$. Le t'i rreshtojmë kulmet e tyre me njëra-tjetrën (d.m.th., vendosim pikën $O"$ në pikën $O$) në mënyrë që asnjë anë e këtyre këndeve të mos përkojë. Pastaj
Përkufizimi 8
Dy kënde do t'i quajmë vertikale nëse çiftet e brinjëve të tyre janë kënde të shpalosura dhe vlerat e tyre përkojnë (Fig. 3).
Në këtë rast, këndet $MOA$ dhe $BOC$ janë vertikale dhe këndet $MOB$ dhe $AOC$ janë gjithashtu vertikale.
Teorema 2
Këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.
Dëshmi.
Le të shohim figurën 3. Le të vërtetojmë, për shembull, se këndi $MOA$ është i barabartë me këndin $BOC$.
KAPITULLI I.
KONCEPTET THEMELORE.
§11. KËNDET E FUNJËS DHE VERTIKALE.
1. Këndet ngjitur.
Nëse shtrijmë anën e çdo këndi përtej kulmit të tij, marrim dy kënde (Fig. 72): / Dhe dielli dhe / SVD, në të cilën njëra anë BC është e zakonshme, dhe dy të tjerat A dhe BD formojnë një vijë të drejtë.
Dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët dhe dy të tjerat formojnë një vijë të drejtë quhen kënde ngjitur.
Këndet fqinje mund të fitohen edhe në këtë mënyrë: nëse vizatojmë një rreze nga një pikë e drejtëzës (jo e shtrirë në një vijë të caktuar), do të fitojmë kënde ngjitur.
Për shembull, /
ADF dhe /
FDВ - kënde ngjitur (Fig. 73).
Këndet ngjitur mund të kenë një shumëllojshmëri të gjerë pozicionesh (Fig. 74).
Këndet fqinje shtohen në një kënd të drejtë, pra umma e dy këndeve ngjitur është e barabartë 2d.
Prandaj, një kënd i drejtë mund të përkufizohet si një kënd i barabartë me këndin e tij ngjitur.
Duke ditur madhësinë e njërit prej këndeve ngjitur, mund të gjejmë madhësinë e këndit tjetër ngjitur me të.
Për shembull, nëse një nga këndet ngjitur është 3/5 d, atëherë këndi i dytë do të jetë i barabartë me:
2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.
2. Kënde vertikale.
Nëse i zgjerojmë anët e këndit përtej kulmit të tij, marrim kënde vertikale. Në vizatimin 75, këndet EOF dhe AOC janë vertikale; këndet AOE dhe COF janë gjithashtu vertikale.
Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë vazhdimësi të brinjëve të këndit tjetër.
Le / 1 = 7 / 8 d(Figura 76). Ngjitur me të / 2 do të jetë e barabartë me 2 d- 7 / 8 d, pra 1 1/8 d.
Në të njëjtën mënyrë mund të llogaritni se me çfarë janë të barabarta /
3 dhe /
4.
/
3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; /
4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Diagrami 77).
Ne e shohim atë / 1 = / 3 dhe / 2 = / 4.
Ju mund të zgjidhni disa probleme të tjera të njëjta dhe çdo herë do të merrni të njëjtin rezultat: këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.
Megjithatë, për t'u siguruar që këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëri-tjetrin, nuk mjafton të merren parasysh shembuj individualë numerikë, pasi përfundimet e nxjerra nga shembuj të veçantë ndonjëherë mund të jenë të gabuara.
Është e nevojshme të verifikohet vlefshmëria e vetive të këndeve vertikale me arsyetim, me vërtetim.
Prova mund të kryhet si më poshtë (Fig. 78):
/
a+/
c = 2d;
/
b+/
c = 2d;
(pasi shuma e këndeve ngjitur është 2 d).
/ a+/ c = / b+/ c
(pasi ana e majtë e kësaj barazie është gjithashtu e barabartë me 2 d, dhe ana e djathtë e saj është gjithashtu e barabartë me 2 d).
Kjo barazi përfshin të njëjtin kënd Me.
Nëse zbresim sasi të barabarta nga sasitë e barabarta, atëherë do të mbeten sasi të barabarta. Rezultati do të jetë: / a = / b, pra këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.
Me rastin e shqyrtimit të çështjes së këndeve vertikale, fillimisht shpjeguam se cilët kënde quhen vertikale, d.m.th. përkufizimi kënde vertikale.
Pastaj bëmë një gjykim (pohim) për barazinë e këndeve vertikale dhe u bindëm për vlefshmërinë e këtij gjykimi përmes provës. Gjykime të tilla, vlefshmëria e të cilave duhet të vërtetohet, quhen teorema. Kështu, në këtë pjesë ne dhamë një përkufizim të këndeve vertikale, dhe gjithashtu deklaruam dhe vërtetuam një teoremë për vetitë e tyre.
Në të ardhmen, gjatë studimit të gjeometrisë, vazhdimisht do të na duhet të ndeshemi me përkufizime dhe vërtetime të teoremave.
3. Shuma e këndeve që kanë një kulm të përbashkët.
Në vizatimin 79 /
1, /
2, /
3 dhe /
4 janë të vendosura në njërën anë të një linje dhe kanë një kulm të përbashkët në këtë vijë. Si përmbledhje, këto kënde përbëjnë një kënd të drejtë, d.m.th.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2d.
Në vizatimin 80 / 1, / 2, / 3, / 4 dhe / 5 kanë një kulm të përbashkët. Si përmbledhje, këto kënde përbëjnë një kënd të plotë, d.m.th. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.
Ushtrime.
1. Një nga këndet ngjitur është 0,72 d. Njehsoni këndin e formuar nga përgjysmuesit e këtyre këndeve fqinjë.
2. Vërtetoni se përgjysmorët e dy këndeve fqinjë formojnë një kënd të drejtë.
3. Vërtetoni se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë edhe këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.
4. Sa çifte këndesh fqinjë ka në vizatimin 81?
5. A mundet një çift këndesh fqinjë të përbëhet nga dy kënde akute? nga dy kënde të mprehta? nga kënde të drejta dhe të mprehta? nga një kënd i drejtë dhe i mprehtë?
6. Nëse njëri nga këndet ngjitur është i drejtë, atëherë çfarë mund të thuhet për madhësinë e këndit ngjitur me të?
7. Nëse në kryqëzimin e dy drejtëzave njëri kënd është i drejtë, atëherë çfarë mund të thuhet për madhësinë e tre këndeve të tjera?
Si të gjeni një kënd ngjitur?
Matematika është shkenca ekzakte më e vjetër, e cila studiohet detyrimisht në shkolla, kolegje, institute dhe universitete. Megjithatë, njohuritë themelore janë gjithmonë në shkollë. Ndonjëherë, fëmijës i jepen detyra mjaft komplekse, por prindërit nuk janë në gjendje të ndihmojnë sepse thjesht harruan disa gjëra nga matematika. Për shembull, si të gjeni një kënd ngjitur bazuar në madhësinë e këndit kryesor, etj. Problemi është i thjeshtë, por mund të shkaktojë vështirësi në zgjidhje për shkak të mosnjohjes se cilat kënde quhen ngjitur dhe si t'i gjeni ato.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në përkufizimin dhe vetitë e këndeve ngjitur, si dhe mënyrën e llogaritjes së tyre nga të dhënat në problem.
Përkufizimi dhe vetitë e këndeve ngjitur
Dy rreze që dalin nga një pikë formojnë një figurë të quajtur "kënd plan". Në këtë rast, kjo pikë quhet kulm i këndit, dhe rrezet janë anët e saj. Nëse vazhdoni njërën nga rrezet përtej pikës së fillimit në një vijë të drejtë, atëherë formohet një kënd tjetër, i cili quhet ngjitur. Çdo kënd në këtë rast ka dy kënde ngjitur, pasi anët e këndit janë ekuivalente. Kjo do të thotë, ka gjithmonë një kënd ngjitur prej 180 gradë.
Vetitë kryesore të këndeve ngjitur përfshijnë
- Këndet ngjitur kanë një kulm të përbashkët dhe një anë;
- Shuma e këndeve ngjitur është gjithmonë e barabartë me 180 gradë ose Pi nëse llogaritja kryhet në radianë;
- Sinuset e këndeve ngjitur janë gjithmonë të barabartë;
- Kosinuset dhe tangjentet e këndeve ngjitur janë të barabartë, por kanë shenja të kundërta.
Si të gjeni kënde ngjitur
Zakonisht jepen tre variacione problemash për të gjetur madhësinë e këndeve ngjitur
- Është dhënë vlera e këndit kryesor;
- Është dhënë raporti i këndit kryesor dhe atij fqinj;
- Është dhënë vlera e këndit vertikal.
Çdo version i problemit ka zgjidhjen e vet. Le t'i shikojmë ato.
Është dhënë vlera e këndit kryesor
Nëse problemi specifikon vlerën e këndit kryesor, atëherë gjetja e këndit ngjitur është shumë e thjeshtë. Për ta bërë këtë, thjesht zbritni vlerën e këndit kryesor nga 180 gradë dhe do të merrni vlerën e këndit ngjitur. Kjo zgjidhje bazohet në vetinë e një këndi ngjitur - shuma e këndeve ngjitur është gjithmonë e barabartë me 180 gradë.
Nëse vlera e këndit kryesor është dhënë në radianë dhe problemi kërkon gjetjen e këndit ngjitur në radianë, atëherë është e nevojshme të zbritet vlera e këndit kryesor nga numri Pi, pasi vlera e këndit të plotë të shpalosur prej 180 gradë. është e barabartë me numrin Pi.
Është dhënë raporti i këndit kryesor dhe atij fqinj
Problemi mund të japë raportin e këndeve kryesore dhe ngjitur në vend të shkallëve dhe radianeve të këndit kryesor. Në këtë rast, zgjidhja do të duket si një ekuacion proporcioni:
- Përpjesëtimin e këndit kryesor e shënojmë si ndryshore "Y".
- Pjesa e lidhur me këndin ngjitur shënohet si ndryshore "X".
- Numri i shkallëve që bien në çdo proporcion do të shënohet, për shembull, me "a".
- Formula e përgjithshme do të duket kështu - a*X+a*Y=180 ose a*(X+Y)=180.
- Faktorin e përbashkët të ekuacionit “a” e gjejmë duke përdorur formulën a=180/(X+Y).
- Pastaj shumëzojmë vlerën rezultuese të faktorit të përbashkët "a" me fraksionin e këndit që duhet të përcaktohet.
Në këtë mënyrë mund të gjejmë vlerën e këndit ngjitur në gradë. Sidoqoftë, nëse ju duhet të gjeni një vlerë në radianë, atëherë thjesht duhet të konvertoni shkallët në radianë. Për ta bërë këtë, shumëzojeni këndin në gradë me Pi dhe ndani gjithçka me 180 gradë. Vlera që rezulton do të jetë në radianë.
Është dhënë vlera e këndit vertikal
Nëse problemi nuk jep vlerën e këndit kryesor, por është dhënë vlera e këndit vertikal, atëherë këndi ngjitur mund të llogaritet duke përdorur të njëjtën formulë si në paragrafin e parë, ku jepet vlera e këndit kryesor.
Një kënd vertikal është një kënd që e ka origjinën nga e njëjta pikë me këndin kryesor, por është i drejtuar pikërisht në drejtim të kundërt. Kjo rezulton në një imazh pasqyre. Kjo do të thotë që këndi vertikal është i barabartë në madhësi me atë kryesor. Nga ana tjetër, këndi ngjitur i këndit vertikal është i barabartë me këndin ngjitur të këndit kryesor. Falë kësaj, këndi ngjitur i këndit kryesor mund të llogaritet. Për ta bërë këtë, thjesht zbritni vlerën vertikale nga 180 gradë dhe merrni vlerën e këndit ngjitur të këndit kryesor në gradë.
Nëse vlera është dhënë në radianë, atëherë është e nevojshme të zbritet vlera e këndit vertikal nga numri Pi, pasi vlera e këndit të plotë të shpalosur prej 180 gradë është e barabartë me numrin Pi.
Ju gjithashtu mund të lexoni artikujt tanë të dobishëm dhe.
