Reduktimi në një tregues rrënjë. Rrënjët e shumëzimit: rregullat themelore

Rrënjan-shkalla e saj dhe vetitë themelore të saj

Diplomë numër real A me tregues natyror n ka një punë n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A:

a1 = a; a2 =a·a; A n =

Për shembull,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

5 herë

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 herë

Numri real A thirrur bazën e diplomës, dhe numri natyror n është eksponent.

Vetitë themelore të fuqive me eksponentë natyrorë rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi: fuqia e një numri pozitiv me cilindo n e N pozitive; Fuqia e një numri negativ me një eksponent çift është pozitiv, me një eksponent tek është negativ.

Për shembull,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Veprimet me gradë kryhen si më poshtë: rregullat.

1. Për të shumëzuar fuqitë me të njëjtat baza, mjafton të mblidhen eksponentët dhe të lihet baza e njëjtë, d.m.th.

Për shembull, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Për të pjesëtuar fuqitë me baza të njëjta, mjafton të zbritet eksponenti i pjesëtuesit nga indeksi i dividendit dhe të lihet baza e njëjtë, d.m.th.

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. Për të ngritur një shkallë në një fuqi, mjafton të shumëzoni eksponentët, duke e lënë bazën të njëjtë, d.m.th.

(ap)m = at·p. Për shembull, (23)2 = 26.

4. Për të ngritur një produkt në një fuqi, mjafton të ngrihet çdo faktor në këtë fuqi dhe të shumëzohen rezultatet, d.m.th.

(A b) fq= ap∙bn.

Për shembull, (2у3)2= 4y6.

5. Për të ngritur një thyesë në një fuqi, mjafton të ngrini numëruesin dhe emëruesin veçmas në këtë fuqi dhe rezultatin e parë ta pjesëtoni me të dytin, d.m.th.

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

Vini re se ndonjëherë është e dobishme t'i lexoni këto formula nga e djathta në të majtë. Në këtë rast ato bëhen rregulla. Për shembull, në rastin 4, apvp= (av)p marrim rregullin e mëposhtëm: te për të shumëzuar fuqitë me të njëjtët eksponentë, mjafton të shumëzohen bazat, duke e lënë eksponentin të njëjtë.

Përdorimi i këtij rregulli është efektiv, për shembull, kur llogaritet produkti i mëposhtëm

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Le të japim tani përkufizimin e rrënjës.

rrënja e n-të e një numri real A quhet një numër real X, fuqia n e së cilës është e barabartë me A.

Natyrisht, në përputhje me vetitë themelore të fuqive me eksponentë natyrorë, nga çdo numër pozitiv ekzistojnë dy vlera të kundërta të rrënjës së një fuqie çift, për shembull, numrat 4 dhe -4 janë rrënjë katrore të 16, pasi (( -4)2 = 42 = 16, dhe numrat 3 dhe -3 janë rrënjët e katërt të 81, pasi (-3) 4 = 34 = 81.

Për më tepër, nuk ka rrënjë madje të një numri negativ, pasi fuqia çift e çdo numri real është jonegative. Sa i përket rrënjës tek, për çdo numër real ka vetëm një rrënjë tek ai numër. Për shembull, 3 është rrënja e tretë e 27, pasi 33 = 27, dhe -2 është rrënja e pestë e -32, pasi (-2)5 = 32.

Për shkak të ekzistencës së dy rrënjëve çifte të një numri pozitiv, ne prezantojmë konceptin e një rrënjë aritmetike për të eliminuar këtë paqartësi të rrënjës.

Quhet një vlerë jo negative e rrënjës së n-të të një numri jonegativ rrënjë aritmetike.

Për shembull, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

Duhet mbajtur mend se kur zgjidhen ekuacionet irracionale, rrënjët e tyre konsiderohen gjithmonë si aritmetike.

Le të vërejmë vetinë kryesore të rrënjës së n-të.

Madhësia e rrënjës nuk do të ndryshojë nëse treguesit e rrënjës dhe shkalla e shprehjes radikale shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, d.m.th.

Shembulli 7. Reduktoni në një emërues të përbashkët dhe

Përshëndetje, mace! Herën e fundit diskutuam në detaje se cilat janë rrënjët (nëse nuk ju kujtohet, ju rekomandoj ta lexoni). Çështja kryesore nga ai mësim: ekziston vetëm një përkufizim universal i rrënjëve, që është ajo që duhet të dini. Pjesa tjetër është e pakuptimtë dhe humbje kohe.

Sot shkojmë më tej. Do të mësojmë të shumëzojmë rrënjët, do të studiojmë disa probleme që lidhen me shumëzimin (nëse këto probleme nuk zgjidhen, ato mund të bëhen fatale në provim) dhe do të praktikojmë siç duhet. Pra, rezervoni kokoshka, rehatohuni dhe le të fillojmë.

As ju ​​nuk e keni pirë ende duhan, apo jo?

Mësimi doli të ishte mjaft i gjatë, kështu që e ndava në dy pjesë:

1. Së pari do të shikojmë rregullat e shumëzimit. Kapaku duket se lë të kuptohet: kjo është kur ka dy rrënjë, midis tyre ka një shenjë "shumëzimi" - dhe ne duam të bëjmë diçka me të.
2. Atëherë le të shohim situatën e kundërt: ka një rrënjë të madhe, por ne u frymëzuam ta përfaqësonim atë si produkt të dy rrënjëve më të thjeshta. Pse është e nevojshme kjo, është një pyetje më vete. Ne do të analizojmë vetëm algoritmin.

Për ata që mezi presin të kalojnë menjëherë në pjesën e dytë, jeni të mirëpritur. Le të fillojmë me pjesën tjetër sipas radhës.

Rregulla bazë e shumëzimit

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë - rrënjët katrore klasike. Të njëjtat që shënohen me $\sqrt(a)$ dhe $\sqrt(b)$. Gjithçka është e qartë për ta:

Rregulli i shumëzimit. Për të shumëzuar një rrënjë katrore me një tjetër, ju thjesht shumëzoni shprehjet e tyre radikale dhe shkruani rezultatin nën radikalin e përbashkët:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nuk vendosen kufizime shtesë për numrat në të djathtë ose në të majtë: nëse ekzistojnë faktorët rrënjë, atëherë ekziston edhe produkti.

Shembuj. Le të shohim katër shembuj me numra menjëherë:

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \fund (radhis)\]

Siç mund ta shihni, kuptimi kryesor i këtij rregulli është thjeshtimi i shprehjeve irracionale. Dhe nëse në shembullin e parë do të kishim nxjerrë vetë rrënjët e 25 dhe 4 pa ndonjë rregull të ri, atëherë gjërat bëhen të vështira: $\sqrt(32)$ dhe $\sqrt(2)$ nuk konsiderohen vetë, por produkti i tyre rezulton të jetë një katror i përsosur, kështu që rrënja e tij është e barabartë me një numër racional.

Veçanërisht do të doja të theksoja rreshtin e fundit. Atje, të dyja shprehjet radikale janë thyesa. Falë produktit, shumë faktorë anulohen dhe e gjithë shprehja kthehet në një numër adekuat.

Sigurisht, gjërat nuk do të jenë gjithmonë kaq të bukura. Ndonjëherë do të ketë një rrëmujë të plotë nën rrënjë - nuk është e qartë se çfarë të bëni me të dhe si ta transformoni atë pas shumëzimit. Pak më vonë, kur të filloni të studioni ekuacionet dhe pabarazitë irracionale, do të ketë të gjitha llojet e variablave dhe funksioneve. Dhe shumë shpesh, shkrimtarët e problemeve mbështeten në faktin se do të zbuloni disa terma ose faktorë anulues, pas të cilëve problemi do të thjeshtohet shumë herë.

Për më tepër, nuk është aspak e nevojshme të shumëzohen saktësisht dy rrënjë. Ju mund të shumëzoni tre, katër apo edhe dhjetë menjëherë! Kjo nuk do të ndryshojë rregullin. Hidhini një sy:

\[\begin(lidhoj) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \fund (radhis)\]

Dhe përsëri një shënim i vogël për shembullin e dytë. Siç mund ta shihni, në faktorin e tretë nën rrënjë ka një fraksion dhjetor - në procesin e llogaritjeve ne e zëvendësojmë atë me një të rregullt, pas së cilës gjithçka zvogëlohet lehtësisht. Pra: Unë rekomandoj shumë të heqësh qafe thyesat dhjetore në çdo shprehje irracionale (d.m.th. që përmbajnë të paktën një simbol radikal). Kjo do t'ju kursejë shumë kohë dhe nerva në të ardhmen.

Por ky ishte një digresion lirik. Tani le të shqyrtojmë një rast më të përgjithshëm - kur eksponenti rrënjë përmban një numër arbitrar $n$, dhe jo vetëm dy "klasik".

Rasti i një treguesi arbitrar

Pra, ne kemi renditur rrënjët katrore. Çfarë të bëni me ato kubike? Apo edhe me rrënjë të shkallës arbitrare $n$? Po, gjithçka është e njëjtë. Rregulli mbetet i njëjtë:

Për të shumëzuar dy rrënjë të shkallës $n$, mjafton të shumëzoni shprehjet e tyre radikale dhe më pas të shkruani rezultatin nën një radikal.

Në përgjithësi, asgjë e komplikuar. Përveç që sasia e llogaritjeve mund të jetë më e madhe. Le të shohim disa shembuj:

Shembuj. Llogaritni produktet:

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac((((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\majtas(\frac(4)(25) \djathtas))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \fund (radhis)\]

Dhe përsëri, vëmendje ndaj shprehjes së dytë. Ne i shumëzojmë rrënjët e kubit, heqim qafe thyesën dhjetore dhe përfundojmë me emëruesin që është prodhimi i numrave 625 dhe 25. Ky është një numër mjaft i madh - personalisht, unë personalisht nuk mund ta kuptoj se çfarë është e barabartë menjëherë shkop.

Pra, ne thjesht izoluam kubin e saktë në numërues dhe emërues, dhe më pas përdorëm një nga vetitë kryesore (ose, nëse preferoni, përkufizimin) të rrënjës $n$th:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\majtas| a\ drejtë|. \\ \fund (radhis)\]

"Makinacione" të tilla mund t'ju kursejnë shumë kohë në një provim ose test, prandaj mbani mend:

Mos nxitoni të shumëzoni numrat duke përdorur shprehje radikale. Së pari, kontrolloni: po sikur shkalla e saktë e ndonjë shprehjeje të "enkriptohet" atje?

Pavarësisht qartësisë së kësaj vërejtjeje, më duhet të pranoj se shumica e studentëve të papërgatitur nuk i shohin shkallët e sakta në intervalin pikë-bosh. Në vend të kësaj, ata shumëzojnë gjithçka dhe më pas pyesin: pse morën shifra kaq brutale?

Megjithatë, e gjithë kjo është bisedë për fëmijë në krahasim me atë që do të studiojmë tani.

Shumëzimi i rrënjëve me eksponentë të ndryshëm

Mirë, tani mund të shumëzojmë rrënjët me të njëjtët tregues. Po sikur treguesit të jenë të ndryshëm? Le të themi, si të shumëzojmë një $\sqrt(2)$ të zakonshëm me një mut si $\sqrt(23)$? A është edhe e mundur të bëhet kjo?

Po sigurisht që mundesh. Gjithçka bëhet sipas kësaj formule:

Rregulla për shumëzimin e rrënjëve. Për të shumëzuar $\sqrt[n](a)$ me $\sqrt[p](b)$, mjafton të kryeni transformimin e mëposhtëm:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Megjithatë, kjo formulë funksionon vetëm nëse shprehjet radikale janë jo negative. Ky është një shënim shumë i rëndësishëm, të cilit do t'i kthehemi pak më vonë.

Tani për tani, le të shohim disa shembuj:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \fund (radhis)\]

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar. Tani le të kuptojmë se nga erdhi kërkesa jonegative dhe çfarë do të ndodhë nëse e shkelim atë.

Pse shprehjet radikale duhet të jenë jo negative?

Sigurisht, ju mund të jeni si mësuesit e shkollës dhe ta citoni tekstin me një vështrim të zgjuar:

Kërkesa e jonegativitetit shoqërohet me përkufizime të ndryshme të rrënjëve të shkallëve çift dhe tek (për rrjedhojë, domenet e tyre të përkufizimit janë gjithashtu të ndryshme).

Epo, a është bërë më e qartë? Personalisht, kur e lexova këtë marrëzi në klasën e 8-të, kuptova diçka si më poshtë: "Kërkesa e mosnegativitetit lidhet me *#&^@(*#@^#)~%" - shkurt, e kam Nuk kuptoj një gjë në atë kohë :)

Kështu që tani do të shpjegoj gjithçka në një mënyrë normale.

Së pari, le të zbulojmë se nga vjen formula e shumëzimit të mësipërm. Për ta bërë këtë, më lejoni t'ju kujtoj një veti të rëndësishme të rrënjës:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Me fjalë të tjera, ne mund ta ngremë lehtësisht shprehjen radikale në çdo fuqi natyrore $k$ - në këtë rast, eksponenti i rrënjës do të duhet të shumëzohet me të njëjtën fuqi. Prandaj, ne mund të reduktojmë lehtësisht çdo rrënjë në një eksponent të përbashkët, dhe pastaj t'i shumëzojmë ato. Këtu vjen formula e shumëzimit:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Por ekziston një problem që kufizon ashpër përdorimin e të gjitha këtyre formulave. Merrni parasysh këtë numër:

Sipas formulës së sapo dhënë, mund të shtojmë çdo shkallë. Le të përpiqemi të shtojmë $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\majtas(-5 \djathtas))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

E hoqëm minusin pikërisht sepse katrori djeg minusin (si çdo shkallë tjetër çift). Tani le të kryejmë transformimin e kundërt: "zvogëloni" të dy në eksponent dhe fuqi. Në fund të fundit, çdo barazi mund të lexohet nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Djathtas \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \fund (radhis)\]

Por më pas rezulton të jetë një lloj katrahure:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Kjo nuk mund të ndodhë, sepse $\sqrt(-5) \lt 0$, dhe $\sqrt(5) \gt 0$. Kjo do të thotë se për fuqitë çifte dhe numrat negativ formula jonë nuk funksionon më. Pas së cilës kemi dy opsione:

1. Të godasësh murin dhe të thuash se matematika është një shkencë budallaqe, ku “ka disa rregulla, por këto janë të pasakta”;
2. Vendosni kufizime shtesë sipas të cilave formula do të funksionojë 100%.

Në opsionin e parë, ne do të duhet të kapim vazhdimisht raste "jo-funksionale" - është e vështirë, kërkon kohë dhe në përgjithësi e keqe. Prandaj, matematikanët preferuan opsionin e dytë.

Por mos u shqetësoni! Në praktikë, ky kufizim nuk ndikon në llogaritjet në asnjë mënyrë, sepse të gjitha problemet e përshkruara kanë të bëjnë vetëm me rrënjët e shkallës së çuditshme, dhe prej tyre mund të merren minuset.

Prandaj, le të formulojmë një rregull tjetër, i cili në përgjithësi vlen për të gjitha veprimet me rrënjë:

Para se të shumëzoni rrënjët, sigurohuni që shprehjet radikale të jenë jo negative.

Shembull. Në numrin $\sqrt(-5)$ mund të hiqni minusin nën shenjën e rrënjës - atëherë gjithçka do të jetë normale:

\[\fillim(radhis) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Shigjeta djathtas \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \fund (rreshtoj)\]

A e ndjeni ndryshimin? Nëse lini një minus nën rrënjë, atëherë kur shprehja radikale të jetë në katror, ​​ajo do të zhduket dhe do të fillojë mut. Dhe nëse së pari e hiqni minusin, atëherë mund të shënoni / hiqni derisa të jeni blu në fytyrë - numri do të mbetet negativ.

Kështu, mënyra më e saktë dhe më e besueshme për të shumëzuar rrënjët është si më poshtë:

1. Hiqni të gjitha negativet nga radikalët. Minuset ekzistojnë vetëm në rrënjët me shumësi teke - ato mund të vendosen përpara rrënjës dhe, nëse është e nevojshme, të zvogëlohen (për shembull, nëse ka dy nga këto minuse).
2. Kryeni shumëzimin sipas rregullave të diskutuara më sipër në mësimin e sotëm. Nëse treguesit e rrënjëve janë të njëjtë, ne thjesht shumëzojmë shprehjet radikale. Dhe nëse ato janë të ndryshme, ne përdorim formulën e keqe \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Shijoni rezultatin dhe notat e mira.:)

Mirë? Të praktikojmë?

Shembulli 1: Thjeshtoni shprehjen:

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \fund (radhis)\]

Ky është opsioni më i thjeshtë: rrënjët janë të njëjta dhe të çuditshme, problemi i vetëm është se faktori i dytë është negativ. Ne e heqim këtë minus nga fotografia, pas së cilës gjithçka llogaritet lehtësisht.

Shembulli 2: Thjeshtoni shprehjen:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\majtas(((2)^(5)) \djathtas))^(3))\cdot ((\majtas(((2)^(2)) \djathtas))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \fund( rreshtoj)\]

Këtu, shumë do të hutoheshin nga fakti që prodhimi doli të ishte një numër irracional. Po, ndodh: ne nuk mund të shpëtonim plotësisht nga rrënja, por të paktën e thjeshtuam ndjeshëm shprehjen.

Shembulli 3: Thjeshtoni shprehjen:

\[\fillim(aign) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \djathtas))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \fund(radhis)\]

Unë do të doja të tërhiqja vëmendjen tuaj në këtë detyrë. Këtu ka dy pika:

1. Rrënja nuk është një numër ose fuqi specifike, por ndryshorja $a$. Në shikim të parë, kjo është paksa e pazakontë, por në realitet, kur zgjidhni probleme matematikore, më së shpeshti duhet të merreni me variabla.
2. Në fund arritëm të “ulim” treguesin radikal dhe shkallën e shprehjes radikale. Kjo ndodh mjaft shpesh. Dhe kjo do të thotë që ishte e mundur të thjeshtoheshin ndjeshëm llogaritjet nëse nuk përdorni formulën bazë.

Për shembull, ju mund ta bëni këtë:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \djathtas))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\ fund (rreshtoj)\]

Në fakt, të gjitha transformimet u kryen vetëm me radikalin e dytë. Dhe nëse nuk i përshkruani në detaje të gjitha hapat e ndërmjetëm, atëherë në fund sasia e llogaritjeve do të reduktohet ndjeshëm.

Në fakt, ne kemi hasur tashmë një detyrë të ngjashme më lart kur kemi zgjidhur shembullin $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Tani mund të shkruhet shumë më thjeshtë:

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\majtas(((5)^(2))\cdot 3 \djathtas))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\majtas(75 \djathtas))^(2))) =\sqrt (75). \fund (radhis)\]

Epo, ne kemi renditur shumëzimin e rrënjëve. Tani le të shqyrtojmë operacionin e kundërt: çfarë të bëjmë kur ka një produkt nën rrënjë?

Materiali në këtë artikull duhet të konsiderohet si pjesë e temës shndërrimi i shprehjeve irracionale. Këtu do të përdorim shembuj për të analizuar të gjitha hollësitë dhe nuancat (nga të cilat ka shumë) që lindin gjatë kryerjes së transformimeve bazuar në vetitë e rrënjëve.

Navigimi i faqes.

Le të kujtojmë vetitë e rrënjëve

Meqenëse do të merremi me transformimin e shprehjeve duke përdorur vetitë e rrënjëve, nuk do të jetë e dëmshme të kujtojmë ato kryesore, ose edhe më mirë, t'i shkruajmë në letër dhe t'i vendosim para jush.

Së pari, studiohen rrënjët katrore dhe vetitë e tyre të mëposhtme (a, b, a 1, a 2, ..., a k janë numra realë):

Dhe më vonë ideja e një rrënjë zgjerohet, futet përkufizimi i një rrënjë të shkallës së n-të dhe merren parasysh vetitë e mëposhtme (a, b, a 1, a 2, ..., a k janë numra realë, m, n, n 1, n 2, ... , n k - numra natyrorë):

Shndërrimi i shprehjeve me numra nën shenja radikale

Si zakonisht, ata fillimisht mësojnë të punojnë me shprehjet numerike dhe vetëm pas kësaj kalojnë te shprehjet me variabla. Ne do të bëjmë të njëjtën gjë dhe fillimisht do të merremi me transformimin e shprehjeve irracionale që përmbajnë vetëm shprehje numerike nën shenjat e rrënjëve, dhe më pas në paragrafin tjetër do të prezantojmë variablat nën shenjat e rrënjëve.

Si mund të përdoret kjo për të transformuar shprehjet? Është shumë e thjeshtë: për shembull, ne mund të zëvendësojmë një shprehje irracionale me një shprehje ose anasjelltas. Kjo do të thotë, nëse shprehja që konvertohet përmban një shprehje që përputhet në pamje me shprehjen nga pjesa e majtë (djathtas) e cilësdo prej vetive të listuara të rrënjëve, atëherë ajo mund të zëvendësohet me shprehjen përkatëse nga pjesa e djathtë (majtas). Ky është transformimi i shprehjeve duke përdorur vetitë e rrënjëve.

Le të japim disa shembuj të tjerë.

Le të thjeshtojmë shprehjen . Numrat 3, 5 dhe 7 janë pozitivë, kështu që ne mund të zbatojmë me siguri vetitë e rrënjëve. Këtu mund të veproni në mënyra të ndryshme. Për shembull, një rrënjë e bazuar në një veti mund të përfaqësohet si , dhe një rrënjë duke përdorur një veti me k=3 - si , me këtë qasje zgjidhja do të duket si kjo:

Dikush mund ta bëjë atë ndryshe duke zëvendësuar me , dhe më pas me , në të cilin rast zgjidhja do të dukej kështu:

Zgjidhje të tjera janë të mundshme, për shembull:

Le të shohim zgjidhjen e një shembulli tjetër. Le të transformojmë shprehjen. Duke parë listën e vetive të rrënjëve, ne zgjedhim prej saj vetitë që na nevojiten për të zgjidhur shembullin, është e qartë se dy prej tyre janë të dobishme këtu dhe , të cilat janë të vlefshme për çdo a . Ne kemi:

Përndryshe, së pari mund të transformohen shprehjet radikale duke përdorur

dhe më pas aplikoni vetitë e rrënjëve

Deri në këtë pikë, ne kemi konvertuar shprehje që përmbajnë vetëm rrënjë katrore. Është koha për të punuar me rrënjë që kanë tregues të ndryshëm.

Shembull.

Konvertoni shprehjen irracionale .

Zgjidhje.

Nga pasuria faktori i parë i një produkti të caktuar mund të zëvendësohet me numrin -2:

Le të vazhdojmë. Në bazë të vetive, faktori i dytë mund të përfaqësohet si , dhe nuk do të dëmtonte të zëvendësohej 81 me një fuqi të katërfishtë prej tre, pasi në faktorët e mbetur numri 3 shfaqet nën shenjat e rrënjëve:

Këshillohet që të zëvendësohet rrënja e një fraksioni me një raport rrënjësh të formës , e cila mund të transformohet më tej: . ne kemi

Pas kryerjes së veprimeve me dyshe, shprehja që rezulton do të marrë formën , dhe gjithçka që mbetet është të transformohet produkti i rrënjëve.

Për të transformuar produktet e rrënjëve, ato zakonisht reduktohen në një tregues, për të cilin këshillohet të merren treguesit e të gjitha rrënjëve. Në rastin tonë, LCM(12, 6, 12) = 12, dhe vetëm rrënja do të duhet të reduktohet në këtë tregues, pasi dy rrënjët e tjera tashmë kanë një tregues të tillë. Barazia, e cila zbatohet nga e djathta në të majtë, na lejon të përballojmë këtë detyrë. Pra . Duke marrë parasysh këtë rezultat, ne kemi

Tani produkti i rrënjëve mund të zëvendësohet nga rrënja e produktit dhe të kryejë transformimet e mbetura, tashmë të dukshme:

Le të shkruajmë një version të shkurtër të zgjidhjes:

Përgjigje:

.

Theksojmë veçmas se për të zbatuar vetitë e rrënjëve është e nevojshme të merren parasysh kufizimet e vendosura në numrat nën shenjat e rrënjëve (a≥0, etj.). Injorimi i tyre mund të shkaktojë rezultate të pasakta. Për shembull, ne e dimë se vetia vlen për a jo-negative. Bazuar në të, ne mund të lëvizim lehtësisht, për shembull, nga në, pasi 8 është një numër pozitiv. Por nëse marrim një rrënjë kuptimplote të një numri negativ, për shembull, dhe, bazuar në vetinë e treguar më sipër, e zëvendësojmë atë me , atëherë në fakt zëvendësojmë −2 me 2. Në të vërtetë, ah. Kjo do të thotë, për negativin a, barazia mund të jetë e pasaktë, ashtu si vetitë e tjera të rrënjëve mund të jenë të pasakta pa marrë parasysh kushtet e përcaktuara për to.

Por ajo që u tha në paragrafin e mëparshëm nuk do të thotë aspak se shprehjet me numra negativë nën shenjat e rrënjëve nuk mund të shndërrohen duke përdorur vetitë e rrënjëve. Ata thjesht duhet të "përgatiten" së pari duke zbatuar rregullat për të vepruar me numrat ose duke përdorur përkufizimin e një rrënjë tek të një numri negativ, që korrespondon me barazinë , ku -a është një numër negativ (ndërsa a është pozitiv). Për shembull, nuk mund të zëvendësohet menjëherë me , pasi −2 dhe −3 janë numra negativë, por na lejon të kalojmë nga rrënja në , dhe më pas të zbatojmë më tej vetinë e rrënjës së një produkti: . Por në një nga shembujt e mëparshëm, nuk ishte e nevojshme të kalonte nga rrënja në rrënjë e fuqisë së tetëmbëdhjetë , dhe kështu .

Pra, për të transformuar shprehjet duke përdorur vetitë e rrënjëve, ju duhet

• zgjidhni pronën e duhur nga lista,
• sigurohuni që numrat nën rrënjë të plotësojnë kushtet për pronën e zgjedhur (përndryshe ju duhet të kryeni transformime paraprake),
• dhe të kryejë transformimin e synuar.

Shndërrimi i shprehjeve me ndryshore nën shenja radikale

Për të transformuar shprehjet irracionale që përmbajnë jo vetëm numra, por edhe variabla nën shenjën e rrënjës, duhet të zbatohen me kujdes vetitë e rrënjëve të renditura në paragrafin e parë të këtij neni. Kjo është kryesisht për shkak të kushteve që duhet të plotësojnë numrat e përfshirë në formula. Për shembull, bazuar në formulën, shprehja mund të zëvendësohet me një shprehje vetëm për ato vlera të x që plotësojnë kushtet x≥0 dhe x+1≥0, pasi formula e specifikuar është specifikuar për a≥0 dhe b ≥0.

Cilat janë rreziqet e injorimit të këtyre kushteve? Përgjigja për këtë pyetje tregohet qartë nga shembulli i mëposhtëm. Le të themi se duhet të llogarisim vlerën e një shprehjeje në x=−2. Nëse zëvendësojmë menjëherë numrin −2 në vend të ndryshores x, do të marrim vlerën që na nevojitet . Tani le të imagjinojmë se, bazuar në disa konsiderata, ne e konvertuam shprehjen e dhënë në formën , dhe vetëm pas kësaj vendosëm të llogarisim vlerën. Zëvendësojmë numrin −2 me x dhe arrijmë te shprehja , e cila nuk ka kuptim.

Le të shohim se çfarë ndodh me diapazoni i vlerave të lejuara (APV) ndryshorja x kur kalon nga shprehja në shprehje. Jo rastësisht përmendëm ODZ-në, pasi ky është një mjet serioz për monitorimin e pranueshmërisë së transformimeve të bëra, dhe një ndryshim në ODZ pas transformimit të një shprehjeje duhet, të paktën, të ngrejë flamuj të kuq. Gjetja e ODZ për këto shprehje nuk është e vështirë. Për shprehjen ODZ përcaktohet nga pabarazia x·(x+1)≥0, zgjidhja e saj jep bashkësinë numerike (−∞, −1]∪∪∪)