3. Kështu zgjidhin ekuacionet biondet!

Ky mbishkrim, të cilin e kam bërë disa vite më parë, është ndoshta prova më e shkurtër se... 2 = 3. Vendosni një pasqyrë sipër saj (ose shikojeni përmes dritës), dhe do të shihni se si kthehet "dy" në "tre""

Një tjetër formulë e pazakontë:

njëmbëdhjetë + dy = dymbëdhjetë + një.

Rezulton se në anglisht barazia 11 + 2 = 12 + 1 është e vërtetë, edhe nëse shkruhet me fjalë - "shuma" e shkronjave në të majtë dhe në të djathtë është e njëjtë! Kjo do të thotë se ana e djathtë e kësaj barazie është një anagram i së majtës, d.m.th., ajo merret prej saj duke rirregulluar shkronjat.

Barazi të ngjashme, megjithëse më pak interesante, mund të merren në Rusisht:

pesëmbëdhjetë + gjashtë = gjashtëmbëdhjetë + pesë.

Nga viti 1960 deri në vitin 1970, pija kryesore kombëtare, e quajtur "Vodka Speciale e Moskës", kushtoi: gjysmë litri 2,87 dhe një çerek litër 1,49. Këto shifra ndoshta ishin të njohura për pothuajse të gjithë popullsinë e rritur të BRSS. Matematikanët sovjetikë vunë re se nëse çmimi i një gjysmë litri rritet në një fuqi të barabartë me çmimin e një çerek, numri "Pi" merret:

1,49 2,87 ??

(Raportuar nga B. S. Gorobets).

Pas botimit të botimit të parë të librit, profesori i asociuar i Fakultetit të Kimisë të Universitetit Shtetëror të Moskës Leenzon I. A. më dërgoi komentin e mëposhtëm interesant për këtë formulë: "...shumë vite më parë, kur nuk kishte makina llogaritëse dhe në në departamentin e fizikës ne bëmë një test të vështirë mbi një rregull rrëshqitjeje (!) (sa herë duhet të lëvizni vizoren e lëvizshme majtas dhe djathtas?), unë, me ndihmën e tabelave më të sakta të babait tim (ai ishte gjeodez, ai ëndërroi një provim në gjeodezinë e lartë gjatë gjithë jetës së tij), zbuloi se rupi-dyzet e nëntë në fuqinë e dy-tetëdhjetë e shtatë është e barabartë me 3, 1408. Kjo nuk më kënaqi. Komiteti ynë i Planifikimit Shtetëror Sovjetik nuk mund të kishte vepruar kaq vrazhdë. Konsultimet me Ministrinë e Tregtisë për Kirovskaya treguan se të gjitha llogaritjet e çmimeve në shkallë kombëtare u bënë me një saktësi prej të qindtave të qindarkës. Por ata refuzuan të më tregonin numrat e saktë, duke përmendur sekretin (më befasoi atëherë - çfarë lloj fshehtësie mund të ketë në të dhjetat dhe të qindtat e një qindarke). Në fillim të viteve 1990, arrita të marr nga arkivat shifra të sakta për koston e vodkës, e cila deri në atë kohë ishte deklasifikuar me një dekret të posaçëm. Dhe kjo është ajo që doli të ishte: tremujori: 1 rubla 49,09 kopecks. Në shitje - 1,49 rubla. Gjysmë litër: 2 rubla 86,63 kopecks. Në shitje - 2,87 rubla. Duke përdorur një kalkulator, kuptova lehtësisht se në këtë rast, një e katërta e fuqisë së gjysmë litri jep (pas rrumbullakimit në 5 shifra domethënëse) saktësisht 3.1416! Mund të habitemi vetëm me aftësitë matematikore të punëtorëve të Komitetit të Planifikimit Shtetëror Sovjetik, të cilët (nuk e dyshoj këtë për asnjë sekondë) rregulluan në mënyrë specifike koston e vlerësuar të pijeve më të njohura me një rezultat të njohur më parë.

Cili matematikan, i famshëm nga shkolla, është i koduar në këtë rebus?

Një matematikan, fizikan dhe inxhinier iu dha problemi i mëposhtëm: “Një djalë dhe një vajzë qëndrojnë në muret e kundërta të sallës. Në një moment, ata fillojnë të ecin drejt njëri-tjetrit dhe mbulojnë gjysmën e distancës midis tyre çdo dhjetë sekonda. Pyetja është, sa kohë do të duhet që ata të arrijnë njëri-tjetrin?”

Matematikani u përgjigj pa hezitim:

kurrë.

Fizikani, pasi u mendua pak, tha:

Përmes kohës së pafundme.

Inxhinieri, pas llogaritjeve të gjata, lëshoi:

Pas rreth dy minutash ato do të jenë mjaft afër për të gjitha qëllimet praktike.

Formula e mprehtë e mëposhtme, që i atribuohet Landau, një dashnor i madh i seksit më të bukur, u soll në vëmendjen time nga profesori i famshëm Landauved Gorobets.

Siç na tha profesori i asociuar i MSUIE A.I Zyulkov, ai dëgjoi se Landau nxori formulën e mëposhtme për një tregues të atraktivitetit femëror:

Ku K- perimetri i bustit; M- në ijet; N- rreth belit, T- lartësia, e gjitha në cm; P- pesha në kg.

Pra, nëse marrim parametrat për modelin (vitet 1960) afërsisht: 80-80-60-170-60 (në sekuencën e mësipërme të vlerave), atëherë sipas formulës marrim 5. Nëse marrim parametrat e " anti-model”, për shembull: 120 -120-120-170-60, pastaj marrim 2. Pikërisht në këtë gamë të klasave të shkollës funksionon, përafërsisht, “formula Landau”.

(Cituar nga libri: Gorobets B. Rrethi Landau. Jeta e një gjeniu. M.: Shtëpia botuese LKI/URSS, 2008.)

Një tjetër argument shkencor për atraktivitetin femëror i atribuohet Daut.

Le të përcaktojmë tërheqjen e një gruaje në funksion të distancës ndaj saj. Kur argumenti është i pafund, ky funksion bëhet zero. Nga ana tjetër, në pikën zero është gjithashtu zero (po flasim për tërheqje të jashtme, jo për tërheqje prekëse). Sipas teoremës së Lagranzhit, një funksion i vazhdueshëm jo negativ që merr vlera zero në skajet e një segmenti ka një maksimum në këtë segment. Prandaj:

1. Ekziston një distancë nga e cila një grua është më tërheqëse.

2. Kjo distancë është e ndryshme për çdo grua.

3. Duhet të mbani distancë nga femrat.

Teorema: Të gjithë kuajt kanë të njëjtën ngjyrë.

Dëshmi. Le ta vërtetojmë pohimin e teoremës me induksion.

Në n= 1, domethënë, për një grup të përbërë nga një kalë, pohimi është padyshim i vërtetë.

Le të jetë e vërtetë teorema për n = k. Le të vërtetojmë se është e vërtetë edhe për n = k+ 1. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një grup arbitrar të k+ 1 kuaj. Nëse hiqni një kalë prej tij, atëherë do të ketë vetëm k. Sipas hipotezës së induksionit, ato janë të gjitha me të njëjtën ngjyrë. Tani le ta kthejmë kalin e hequr në vendin e tij dhe të marrim një tjetër. Përsëri, nga hipoteza induktive, këto k kuajt e mbetur kanë të njëjtën ngjyrë. Por atëherë kjo është e gjitha k+ 1 kuaj do të jetë me të njëjtën ngjyrë.

Prandaj, sipas parimit të induksionit matematik, të gjithë kuajt kanë të njëjtën ngjyrë. Teorema është vërtetuar.

Një tjetër ilustrim i mrekullueshëm i aplikimit të metodave matematikore në zoologji.

Teorema: Krokodili është më i gjatë se i gjerë.

Dëshmi. Le të marrim një krokodil arbitrar dhe të provojmë dy lema ndihmëse.

Lema 1: Krokodili është më i gjatë se ai jeshil.

Dëshmi. Le ta shohim krokodilin nga lart - është i gjatë dhe i gjelbër. Le ta shohim krokodilin nga poshtë - është i gjatë, por jo aq i gjelbër (në fakt është gri e errët).

Prandaj, Lema 1 është vërtetuar.

Lema 2: Krokodili është më i gjelbër se ai i gjerë.

Dëshmi. Le ta shohim përsëri krokodilin nga lart. Është e gjelbër dhe e gjerë. Le ta shohim krokodilin nga ana: është i gjelbër, por jo i gjerë. Kjo vërteton Lemën 2.

Deklarata e teoremës rrjedh qartë nga lemat e vërtetuara.

Teorema e kundërt ("Një krokodil është më i gjerë se i gjatë") mund të vërtetohet në një mënyrë të ngjashme.

Në pamje të parë, nga të dyja teoremat rrjedh se krokodili është katror. Megjithatë, duke qenë se pabarazitë në formulimet e tyre janë strikte, një matematikan i vërtetë do të bëjë të vetmin përfundim të saktë: KROKODILI NUK EKZISTOJË!

Teorema: Të gjithë numrat natyrorë janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Dëshmi. Është e nevojshme të vërtetohet se për çdo dy numra natyrorë A Dhe B barazia është e kënaqur A = B. Le ta riformulojmë në këtë mënyrë: për cilindo N> 0 dhe ndonjë A Dhe B, duke përmbushur barazinë max( A, B) = N, duhet të plotësohet edhe barazia A = B.

Le ta vërtetojmë këtë me induksion. Nëse N= 1, atëherë A Dhe B, duke qenë e natyrshme, të dyja janë të barabarta 1. Prandaj A = B.

Le të supozojmë tani se deklarata është vërtetuar për njëfarë vlere k. Le të marrim A Dhe B e tille qe max( A, B) = k+ 1. Pastaj max( A–1, B–1) = k. Nga hipoteza e induksionit rezulton se ( A–1) = (B–1). Do të thotë, A = B.

Adhuruesit e enigmave gjuhësore dhe matematikore ndoshta dinë për fjalët, frazat dhe numrat refleksiv, ose vetë-përshkrues (mos mendoni asgjë të keqe). Ky i fundit, për shembull, përfshin numrin 2100010006, në të cilin shifra e parë është e barabartë me numrin e njësheve në regjistrimin e këtij numri, e dyta - numri i dysheve, e treta - numri i tresheve, ..., e dhjeta - numri i zerove.

Fjalët që përshkruajnë veten përfshijnë, le të themi, fjalën njëzet e një shkronjë, shpikur nga unë disa vite më parë. Në fakt ka 21 shkronja!

Janë të njohura shumë fraza që përshkruajnë veten. Një nga shembujt e parë në rusisht u shpik shumë vite më parë nga karikaturisti i famshëm dhe zgjuarsia verbale Vagrich Bakhchanyan: Ka tridhjetë e dy shkronja në këtë fjali. Këtu janë disa të tjera, të shpikura shumë më vonë: 1. Shtatëmbëdhjetë letra. 2. Kjo fjali ka një gabim në fund. 3. Kjo fjali do të ishte shtatë fjalë nëse do të ishte shtatë fjalë më e shkurtër. 4. Ti je nën kontrollin tim pasi do të më lexosh derisa të mbarosh së lexuari. 5. ...Kjo fjali fillon dhe mbaron me tre pika..

Ka edhe dizajne më komplekse. Admironi, për shembull, këtë përbindësh (shih shënimin e S. Tabachnikov "Prifti kishte një qen" në revistën "Kvant", nr. 6, 1989): Në këtë frazë, fjala "në" shfaqet dy herë, fjala "kjo" shfaqet dy herë, fjala "frazë" shfaqet dy herë, fjala "ndodh" shfaqet katërmbëdhjetë herë, fjala "fjalë" shfaqet katërmbëdhjetë herë dhe fjala " raz" shfaqet gjashtë herë, fjala "raza" shfaqet nëntë herë, fjala "dy" shfaqet shtatë herë, fjala "katërmbëdhjetë" shfaqet tre herë, fjala "nëntë" shfaqet dy herë. , fjala “shtatë” shfaqet dy herë, dy Fjala “gjashtë” shfaqet disa herë.

Një vit pas botimit në Kvant, I. Akulich doli me një frazë vetëpërshkrimore që përshkruan jo vetëm fjalët e përfshira në të, por edhe shenjat e pikësimit: Fraza që po lexoni përmban: dy fjalë “frazë”, dy fjalë “që”, dy fjalë “ti”, dy fjalë “lexo”, dy fjalë “përmban”, njëzet e pesë fjalë “fjalë”, dy fjalë “fjalë”. , dy fjalë “presje”, dy fjalë “presje”, dy fjalë “nga”, dy fjalë “majtas”, dy fjalë “dhe”, dy fjalë “djathtas”, dy fjalë “citate”, dy fjalë “a”, dy fjalët "gjithashtu", dy fjalë "pikë", dy fjalë "një", dy fjalë "një", njëzet e dy fjalë "dy", tre fjalë "tre", dy fjalë "katër", tre fjalë "pesë", katër fjalë "njëzet", dy fjalë "tridhjetë", një dy pika, tridhjetë presje, njëzet e pesë thonjëza majtas dhe djathtas dhe një pikë.

Më në fund, disa vjet më vonë, në të njëjtin "Kvant", u shfaq një shënim nga A. Khanyan, në të cilin u dha një frazë që përshkruan me përpikëri të gjitha letrat e saj: Në këtë frazë ka dymbëdhjetë V, dy E, shtatëmbëdhjetë T, tre O, dy Y, dy F, shtatë R, katërmbëdhjetë A, dy 3, dymbëdhjetë E, gjashtëmbëdhjetë D, shtatë H, shtatë C, trembëdhjetë B, tetë C, gjashtë M , pesë I, dy H, dy S, tre I, tre Sh, dy P.

"Ndihet qartë se mungon një frazë tjetër - ajo që do të tregonte për të gjitha shkronjat dhe shenjat e pikësimit," shkroi I. Akulich, i cili lindi një nga përbindëshat e përmendur më parë, në një letër private për mua. Ndoshta një nga lexuesit tanë do ta zgjidhë këtë problem shumë të vështirë.

Në vazhdim të temës së mëparshme, vlen të përmenden paradokset refleksive.

Në librin e përmendur më parë nga J. Littlewood, "A Mathematical Mixture", thuhet me të drejtë se "të gjitha paradokset refleksive janë, sigurisht, shaka të shkëlqyera". Janë edhe dy prej tyre, të cilat do t'ia lejoj vetes t'i citoj:

1. Duhet të ketë numra të plotë (pozitiv) që nuk mund të shprehen me fraza me më pak se gjashtëmbëdhjetë fjalë. Çdo grup i numrave të plotë pozitiv përmban numrin më të vogël, dhe për këtë arsye ka një numër N, "numri i plotë më i vogël që nuk mund të shprehet në një frazë prej më pak se gjashtëmbëdhjetë fjalë." Por kjo frazë përmban 15 fjalë dhe përcakton N.

2. Në një revistë Spektator u shpall një konkurs me temën "Çfarë do t'ju pëlqente të lexonit më shumë kur të hapni gazetën tuaj të mëngjesit?" Çmimi i parë mori përgjigjen:

Çmimi i parë në konkursin e dytë të këtij viti iu dha z. Arthur Robinson, përgjigja e mprehtë e të cilit duhet të konsiderohet lehtësisht më e mira. Përgjigja e tij në pyetjen: "Çfarë do të të pëlqente të lexoje më shumë kur të hapje gazetën e mëngjesit?" titullohej "Konkursi ynë i dytë", por për shkak të kufizimeve të letrës nuk mund ta printojmë të plotë.

Ka fraza të tilla mahnitëse që lexohen njësoj nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë. Të gjithë e dinë një gjë me siguri: Dhe trëndafili ra në putrën e Azorit. Ishte ajo që iu kërkua të shkruante në diktimin e Pinokut injorant nga Malvina kapriçioze. Fraza të tilla reciproke quhen palindrome, që përkthyer nga greqishtja do të thotë "ikje prapa, kthim". Këtu janë disa shembuj të tjerë: 1. Mustak liliputi duke sharruar në urë. 2. Unë ngjitem në banjë. 3. Ai u shtri në tempull dhe kryeengjëlli është i mrekullueshëm dhe i padukshëm. 4. Derri i shtypur mbi patëllxhan. 5. Musa, e plagosur nga fyelli i përvojës, do të lutesh për arsye. (D. Avaliani). 6. Unë rrallë mbaj një bisht cigareje me dorë... (B. Goldstein) 7. Kur ndjej erën e qumështit, mjaullij përreth. (G. Lukomnikov). 8. Ai është shelg, por ajo është trung. (S.F.)

Pyes veten nëse ka palindroma në matematikë? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të përpiqemi të transferojmë idenë e leximit reciprok, simetrik në numra dhe formula. Rezulton se nuk është aq e vështirë. Le të shohim vetëm disa shembuj tipikë të kësaj matematike palindromike: palindromatika. Duke lënë mënjanë numrat palindromikë - për shembull, 1991 , 666 etj. - le t'i drejtohemi menjëherë formulave simetrike.

Le të përpiqemi së pari të zgjidhim problemin e mëposhtëm: gjeni të gjitha çiftet e numrave të tillë dyshifrorë

(x 1 - shifra e parë, y 1 - shifra e dytë) dhe

në mënyrë që rezultati i mbledhjes së tyre të mos ndryshojë si rezultat i leximit të shumës nga e djathta në të majtë, d.m.th.

Për shembull, 42 + 35 = 53 + 24.

Problemi mund të zgjidhet në mënyrë të parëndësishme: shuma e shifrave të para të të gjitha çifteve të tilla numrash është e barabartë me shumën e shifrave të tyre të dyta. Tani mund të ndërtoni me lehtësi shembuj të ngjashëm: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 e kështu me radhë.

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, mund të zgjidhet lehtësisht i njëjti problem për veprime të tjera aritmetike.

Në rast dallimi, d.m.th.

janë marrë shembujt e mëposhtëm: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - shumat e shifrave të numrave të tillë janë të barabarta ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Në rastin e shumëzimit kemi: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - në këtë rast prodhimi i shifrave të para të numrave. N 1 Dhe N 2 e barabartë me produktin e shifrave të tyre të dyta ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Së fundi, për ndarjen marrim shembujt e mëposhtëm:

Në këtë rast, prodhimi i shifrës së parë të numrit N 1 në shifrën e dytë të numrit N 2 e barabartë me prodhimin e dy shifrave të tjera të tyre, d.m.th. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

Vërtetimi i "teoremës" së mëposhtme, e cila u shfaq në epokën e "socializmit të pazhvilluar", bazohet në tezat popullore të atyre viteve në lidhje me rolin e Partisë Komuniste.

Teorema. Roli i partisë është negativ.

Dëshmi. Dihet mirë se:

1. Roli i partisë po rritet vazhdimisht.

2. Në komunizëm, në një shoqëri pa klasa, roli i partisë do të jetë zero.

Kështu, ne kemi një funksion në rritje të vazhdueshme me tendencë 0. Prandaj, ai është negativ. Teorema është vërtetuar.

Pavarësisht absurditetit në dukje të problemit të mëposhtëm, ai megjithatë ka një zgjidhje krejtësisht rigoroze.

Detyrë. Mami është 21 vjet më e madhe se djali i saj. Për gjashtë vjet ajo do të jetë pesë herë më e madhe se ai. Pyetja është: KU ËSHTË BABI?!

Zgjidhje. Le X- mosha e djalit dhe Y- mosha e nënës. Pastaj kushti i problemit shkruhet si një sistem i dy ekuacioneve të thjeshta:

Zëvendësimi Y = X+ 21 në ekuacionin e dytë, marrim 5 X + 30 = X+ 21 + 6, nga ku X= –3/4. Kështu, tani djali është minus 3/4 vjeç, d.m.th. minus 9 muaj. Kjo do të thotë që babai është aktualisht në mamin!

Shprehja ironike "Nëse je kaq i zgjuar, atëherë pse je kaq i varfër?" është i njohur dhe, mjerisht, vlen për shumë njerëz. Rezulton se ky fenomen i trishtë ka një justifikim të rreptë matematikor, bazuar në të vërteta po aq të padiskutueshme.

Domethënë, le të fillojmë me dy postulate të njohura:

Postulati 1: Njohuri = Fuqi.

Postulati 2: Koha = Paraja.

Për më tepër, çdo nxënës shkolle e di këtë

Rruga s = Shpejtësia x Koha = Puna: Forca,

Puna: Koha = Forca x Shpejtësia (*)

Duke zëvendësuar vlerat për "kohën" dhe "forcën" nga të dy postulatet në (*), marrim:

Puna: (Dituria x Shpejtësia) = Paraja (**)

Nga barazia që rezulton (**) është e qartë se duke e drejtuar "dijen" ose "shpejtësinë" në zero, mund të marrim aq para sa të duam për çdo "punë".

Prandaj përfundimi: sa më budalla dhe dembel të jetë një person, aq më shumë para mund të fitojë.

Disa vite më parë, revista “Shkenca dhe jeta” (nr. 1, 2000) botoi një shënim të profesor B. Gorobets, i cili zgjoi një interes të madh te lexuesit, kushtuar lojës së mrekullueshme të enigmës që akademiku Landau shpiku për të shmangur mërzinë gjatë udhëtimit. në makinë. Ai shpesh i ftonte shokët e tij të luanin këtë lojë, në të cilën targat e makinave që kalonin aty shërbenin si sensor numrash të rastësishëm (në atë kohë këta numra përbëheshin nga dy shkronja dhe dy palë numra). Thelbi i lojës ishte përdorimi i shenjave të veprimeve aritmetike dhe simboleve të funksioneve elementare (d.m.th. +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, etj.) për një dhe këto dy dyshifrore. numrat nga numri i makinës që kalon kanë të njëjtin kuptim. Në këtë rast, lejohet përdorimi i faktorialit ( n! = 1 x 2 x ... x n), por nuk lejohet përdorimi i sekantit, kosekantit dhe diferencimit.

Për shembull, për çiftin 75–33, barazia e dëshiruar arrihet si më poshtë:

dhe për çiftin 00–38 - si kjo:

Sidoqoftë, jo të gjitha problemet zgjidhen kaq thjesht. Disa prej tyre (për shembull, 75–65) ishin përtej aftësive të autorit të lojës, Landau. Prandaj, lind pyetja për një qasje universale, një formulë të vetme që ju lejon të "zgjidhni" çdo çift numrash. E njëjta pyetje u bë nga Landau dhe studenti i tij Prof. Kaganov. Kjo është ajo që ai shkruan në veçanti: "A është gjithmonë e mundur të bëhet barazi nga një targë?" - e pyeta Landau. "Jo," u përgjigj ai me siguri. - "A e keni vërtetuar teoremën për mosekzistencën e një zgjidhjeje?" - U habita. "Jo," tha Lev Davidovich me bindje, "por nuk pata sukses në të gjitha numrat."

Megjithatë, zgjidhje të tilla u gjetën, njëra prej tyre gjatë jetës së vetë Landau.

Matematikani i Kharkovit, Yu. Palant, propozoi një formulë për barazimin e çifteve të numrave

duke lejuar që, si rezultat i përdorimit të përsëritur, të shprehet çdo numër përmes ndonjë më të vogël. "Unë solla provat e Landau", shkruan Kaganov për këtë vendim. - “Atij i pëlqeu shumë…, dhe ne me gjysmë shaka, gjysmë seriozisht diskutuam nëse do ta botonim në ndonjë revistë shkencore.”

Sidoqoftë, formula e Palantit përdor sekantin tashmë "të ndaluar" (ai nuk është përfshirë në kurrikulën shkollore për më shumë se 20 vjet), dhe për këtë arsye nuk mund të konsiderohet e kënaqshme. Sidoqoftë, unë munda ta rregulloja lehtësisht këtë duke përdorur një formulë të modifikuar

Formula që rezulton (përsëri, nëse është e nevojshme, duhet të zbatohet disa herë) ju lejon të shprehni çdo numër në terma të çdo numri të madh pa përdorur numra të tjerë, gjë që padyshim shteron problemin e Landau.

1. Le të mos ketë zero midis numrave. Le të bëjmë dy numra prej tyre ab Dhe CD, (këto, natyrisht, nuk janë vepra). Le të tregojmë se kur n ? 6:

mëkat[( ab)!]° = mëkat[( CD)!]° = 0.

Në të vërtetë, mëkati ( n!)° = 0 nëse n? 6, meqenëse sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Atëherë çdo faktorial fitohet duke shumëzuar 6! në numrat e plotë pasues: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8, etj., duke dhënë një shumëfish të 360° në argumentin e sinusit, duke e bërë atë (dhe tangjenten gjithashtu) të barabartë me zero.

2. Le të ketë një zero në disa çifte numrash. E shumëzojmë me shifrën ngjitur dhe e barazojmë me sinusin e faktorialit në shkallë të marra nga numri në një pjesë tjetër të numrit.

3. Le të ketë zero në të dy anët e numrit. Kur shumëzohen me shifra ngjitur, ato japin barazinë e parëndësishme 0 = 0.

Ndarja e zgjidhjes së përgjithshme në tre pika me shumëzim me zero në pikat 2 dhe 3 është për faktin se mëkati ( n!)° ? 0 nëse n < 6».

Sigurisht, zgjidhje të tilla të përgjithshme e privojnë lojën e Landau nga sharmi i saj origjinal, duke përfaqësuar vetëm interes abstrakt. Pra, provoni të luani me numra individualë të vështirë pa përdorur formula universale. Këtu janë disa prej tyre: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

Më shumë rreth përcaktuesve.

Më thanë se në një kohë loja e "përcaktuesit" për para ishte e njohur në mesin e studentëve të vitit të parë të Fakultetit të Mekanikës dhe Matematikës. Dy lojtarë vizatojnë një identifikues 3 x 3 në letër me qeliza bosh. Pastaj, një nga një, numrat nga 1 deri në 9 futen në qelizat e zbrazëta Kur të gjitha qelizat janë mbushur, përcaktuesi llogaritet - përgjigja, duke marrë parasysh shenjën, është fitorja (ose humbja) e lojtarit të parë. , e shprehur në rubla. Kjo do të thotë, nëse, për shembull, numri doli të jetë -23, atëherë lojtari i parë paguan të dytin 23 rubla, dhe nëse, të themi, 34, atëherë, përkundrazi, lojtari i dytë paguan 34 rubla të para.

Edhe pse rregullat e lojës janë të thjeshta sa një rrepë, është shumë e vështirë të gjesh strategjinë e duhur fituese.

Këtë shënim ma dërgoi matematikani dhe shkrimtari A. Zhukov, autor i librit të mrekullueshëm “Numri i kudondodhur Pi”.

Profesor Boris Solomonovich Gorobets, i cili mëson matematikë në dy universitete të Moskës, shkroi një libër për fizikanin e madh Lev Davidovich Landau (1908–1968) - "Rrethi i Landau". Ja një histori interesante që ai na tregoi për një nga problemet hyrëse të Fizikës dhe Teknologjisë.

Kështu ndodhi që kolegu dhe bashkëautori i Landau në një kurs dhjetë vëllimesh mbi fizikën teorike, akademik Evgeniy Mikhailovich Lifshitz (1915-1985), në vitin 1959 ndihmoi të diplomuarin e shkollës Bora Gorobets të përgatitej për pranim në një nga universitetet kryesore të fizikës në Moskë.

Në provimin me shkrim të matematikës në Institutin e Fizikës dhe Matematikës në Moskë, u propozua problemi i mëposhtëm: “Në bazën e piramidës SABC shtrihet një trekëndësh izoscelular i drejtë ABC, me kënd C = 90°, brinjë AB = l. Faqet anësore formojnë kënde dykëndëshe ?, ?, ? me rrafshin e bazës. Gjeni rrezen e topit të gdhendur në piramidë."

Profesori i ardhshëm nuk u përball me detyrën atëherë, por kujtoi gjendjen e saj dhe më vonë informoi Evgeniy Mikhailovich. Ai, pasi e ngatërroi problemin në prani të një studenti, nuk mundi ta zgjidhte menjëherë dhe e mori me vete në shtëpi, dhe në mbrëmje telefonoi dhe tha se, pasi nuk e zgjidhi brenda një ore, e kishte ofruar këtë problem. te Lev Davidovich.

Landau pëlqente të zgjidhte problemet që shkaktonin vështirësi për të tjerët. Shpejt ai e thirri Lifshitin dhe i kënaqur tha: “E zgjidha problemin. U desh saktësisht një orë për të vendosur. I telefonova Zeldovich, tani ai vendos. Le të shpjegojmë: Yakov Borisovich Zeldovich (1914–1987), një shkencëtar i famshëm që e konsideronte veten student të Landau, ishte në ato vite fizikani kryesor teorik në Projektin Atomik Sovjetik top-sekret (për të cilin, natyrisht, pak njerëz e dinin. pastaj). Rreth një orë më vonë, E.M. Lifshits telefonoi përsëri dhe tha: Zeldovich sapo e kishte thirrur dhe, jo pa krenari, tha: "Unë e zgjidha problemin tuaj. Vendosa në dyzet minuta!”

Sa kohë do t'ju duhet për të përfunduar këtë detyrë?

Ka mjaft shaka matematikore në koleksionin e mprehtë të humorit të Fizikës dhe Teknologjisë "Zany Scientific Humor" (Moskë, 2000). Këtu është vetëm një prej tyre.

Një dështim ndodhi gjatë testimit të një produkti. Sa është probabiliteti i funksionimit pa dështim të produktit?

Teorema. Të gjithë numrat natyrorë janë interesantë.

Dëshmi. Le të supozojmë të kundërtën. Atëherë duhet të ketë një numër natyror më të vogël jo interesant. Ha, kjo është shumë interesante!

1 + 1 = 3 kur vlera e 1 është mjaft e madhe.

E = m c 2 = m (a 2 + b 2).

Kjo histori qesharake nga jeta ime studentore mund të ofrohet si problem në seminare mbi teorinë e probabilitetit.

Në verë, unë dhe miqtë e mi shkuam për shëtitje në male. Ishim katër prej nesh: Volodya, dy Oleg dhe unë. Kishim një tendë dhe tre çanta gjumi, njëri prej të cilëve ishte dyshe për mua dhe Volodya. Kishte një problem pikërisht me këto thasë gjumi, ose më saktë me vendndodhjen e tyre në çadër. Fakti është se binte shi, tenda ishte e ngushtë, rridhte nga anët dhe nuk ishte shumë komode për ata që ishin shtrirë në buzë. Prandaj, unë propozova ta zgjidhja këtë problem "sinqerisht", duke përdorur shumë.

Shiko, i thashë Olegs, Volodya dhe unë mund të kemi një krevat dopio ose në buzë ose në qendër. Prandaj, ne do të hedhim një monedhë: nëse del "kokat", krevati ynë dopio do të jetë në buzë, nëse "bishtat" - në qendër.

Olegët ranë dakord, por pas disa netësh në buzë (është e lehtë të llogaritet duke përdorur formulën e probabilitetit total që për secilin nga Volodya dhe mua, probabiliteti për të fjetur jo në buzë të tendës është 0,75), Olegët dyshuan se diçka nuk ishte në rregull dhe propozoi rishqyrtimin e marrëveshjes.

Në të vërtetë, thashë, shanset ishin të pabarabarta. Në fakt, për krevatin tonë dopio ka tre mundësi: në skajin e majtë, në të djathtë dhe në qendër. Prandaj, çdo mbrëmje do të tërheqim një nga tre shkopinj - nëse e tërheqim atë të shkurtër, atëherë dysheja jonë do të jetë në qendër.

Olegët ranë dakord përsëri, megjithëse këtë herë shanset tona për të kaluar natën jo afër skajit (tani probabiliteti është 0,66, më saktë, dy të tretat) ishin të preferueshme se ato të secilit prej tyre. Pas dy netësh në buzë (ne kishim shanset më të mira plus fat në anën tonë), Olegët e kuptuan përsëri se ishin mashtruar. Por më pas, për fat, reshjet u ndalën dhe problemi u zhduk vetvetiu.

Por në fakt, krevati ynë dopio duhet të jetë gjithmonë në buzë, dhe Volodya dhe unë do të përdornim një monedhë për të përcaktuar çdo herë se kush ishte me fat. Olegët do të kishin bërë të njëjtën gjë. Në këtë rast, shanset për të fjetur në buzë do të ishin të njëjta për të gjithë dhe të barabarta me 0.5.

Shënime:

Ndonjëherë një histori e ngjashme tregohet për Jean Charles Francois Sturm.

Ngjarje madhështore

Një herë në buletinin e Vitit të Ri se si të bëni dolli, përmenda rastësisht se në fund të shekullit të njëzetë, ndodhi një ngjarje e madhe, të cilën shumë nuk e vunë re - e ashtuquajtura Teorema e fundit e Fermatit. Lidhur me këtë, ndër letrat që mora, gjeta dy përgjigje nga vajza (njëra prej tyre, me sa mbaj mend, ishte Vika e klasës së nëntë nga Zelenograd), të cilat u habitën nga ky fakt.

Dhe unë u befasova nga sa fort interesoheshin vajzat për problemet e matematikës moderne. Prandaj, mendoj se jo vetëm vajzat, por edhe djemtë e të gjitha moshave - nga nxënësit e shkollave të mesme e deri te pensionistët, do të jenë gjithashtu të interesuar të mësojnë historinë e Teoremës së Madhe.

Vërtetimi i teoremës së Fermatit është një ngjarje e madhe. Dhe sepse Nuk është zakon të bëjmë shaka me fjalën "i shkëlqyer", por më duket se çdo folës që respekton veten (dhe ne jemi të gjithë folës kur flasim) është thjesht i detyruar të dijë historinë e teoremës.

Nëse ndodh që ju nuk e doni matematikën aq sa unë e dua atë, atëherë kaloni nëpër disa nga detajet. Duke kuptuar që jo të gjithë lexuesit e buletinit tonë janë të interesuar të enden në xhunglën matematikore, u përpoqa të mos jap asnjë formulë (përveç vetë ekuacionit të teoremës së Fermatit) dhe të thjeshtoj sa më shumë mbulimin e disa çështjeve specifike.

Si e bëri Fermat rrëmujën

Avokati francez dhe matematikani i madh me kohë të pjesshme i shekullit të 17-të Pierre Fermat (1601-1665) parashtroi një deklaratë interesante nga fusha e teorisë së numrave, e cila më vonë u bë e njohur si Teorema e Madhe (ose e Madhe) e Fermatit. Kjo është një nga teoremat matematikore më të famshme dhe më fenomenale. Ndoshta, ngazëllimi rreth tij nuk do të kishte qenë aq i fortë nëse në librin e Diofantit të Aleksandrisë (shek. III) "Aritmetika", të cilin Fermat e studionte shpesh, duke bërë shënime në kufijtë e tij të gjerë dhe që djali i tij Samueli e ruajti me dashamirësi për pasardhësit, nuk ishte zbuluar përafërsisht shënimi i mëposhtëm nga matematikani i madh:

"Kam disa prova shumë befasuese, por janë shumë të mëdha për t'u futur në margjina."

Ishte ky regjistrim që ishte arsyeja për bujën e mëvonshme kolosale rreth teoremës.

Pra, shkencëtari i famshëm deklaroi se ai kishte vërtetuar teoremën e tij. Le të pyesim veten: e vërtetoi vërtet apo thjesht gënjeu? Apo ka versione të tjera që shpjegojnë shfaqjen e atij shënimi në margjina, i cili nuk lejoi shumë matematikanë të brezave të mëvonshëm të flinin të qetë?

Historia e Teoremës së Madhe është po aq magjepsëse sa një aventurë në kohë. Në vitin 1636, Fermat deklaroi se një ekuacion i formës Xn+Yn=Zn nuk ka zgjidhje në numra të plotë me një eksponent n>2. Kjo është në fakt Teorema e fundit e Fermatit. Në këtë formulë matematikore në dukje të thjeshtë, Universi maskoi një kompleksitet të jashtëzakonshëm.

Është disi e çuditshme që për disa arsye teorema ishte vonë në shfaqjen e saj, pasi situata ishte krijuar për një kohë të gjatë, sepse rasti i saj i veçantë me n = 2 - një tjetër formulë e famshme matematikore - teorema e Pitagorës, u ngrit njëzet e dy shekuj. më herët. Ndryshe nga teorema e Fermatit, teorema e Pitagorës ka një numër të pafund zgjidhjesh me numra të plotë, për shembull, trekëndëshat e mëposhtëm të Pitagorës: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Sindroma e Teoremës së Madhe

Kush nuk është përpjekur të vërtetojë teoremën e Fermatit? Çdo student i sapoardhur e konsideroi detyrën e tij të zbatohej në Teoremën e Madhe, por askush nuk ishte në gjendje ta vërtetonte atë. Në fillim nuk funksionoi për njëqind vjet. Pastaj njëqind të tjera. Një sindromë masive filloi të zhvillohej midis matematikanëve: "Si mund ta vërtetojë këtë Fermat, por çfarë, nuk mund ta bëj?" dhe disa prej tyre u çmendën mbi këtë bazë në kuptimin e plotë të fjalës.

Pavarësisht se sa herë u testua teorema, ajo gjithmonë doli të ishte e vërtetë. Njohja një programues të zjarrtë i cili ishte i fiksuar pas hedhjes poshtë të Teoremës së Madhe duke u përpjekur të gjente të paktën një zgjidhje duke kërkuar nëpër numra të plotë duke përdorur një kompjuter me shpejtësi të lartë (më shpesh i quajtur mainframe në atë kohë). Ai besonte në suksesin e ndërmarrjes së tij dhe i pëlqente të thoshte: "Pak më shumë - dhe do të shpërthejë një ndjesi!" Mendoj se në vende të ndryshme të planetit tonë kishte një numër të konsiderueshëm të këtij lloji kërkuesish të guximshëm. Ai, natyrisht, nuk gjeti një zgjidhje të vetme. Dhe asnjë kompjuter, qoftë edhe me shpejtësi përrallore, nuk mund ta verifikonte kurrë teoremën, sepse të gjitha variablat e këtij ekuacioni (përfshirë eksponentët) mund të rriten në pafundësi.

Matematicieni më virtuoz dhe më pjellor i shekullit të 18-të, Leonard Euler, arkivi i të dhënave të të cilit njerëzimi ka rrëmbyer për gati një shekull, vërtetoi teoremën e Fermatit për fuqitë 3 dhe 4 (ose më mirë, ai përsëriti provat e humbura të vetë Pierre Fermat) ; ndjekësi i tij në teorinë e numrave, Lezhandri - për fuqitë 5; Dirichlet - për shkallën 7. Por në përgjithësi teorema mbeti e paprovuar.

Në fillim të shekullit të 20-të (1907), një dashnor i pasur gjerman i matematikës i quajtur Wolfskehl i la trashëgim njëqind mijë marka atij që do të paraqiste një provë të plotë të teoremës së Fermatit. Eksitimi filloi. Departamentet e matematikës ishin të mbushura me mijëra prova, por të gjitha, siç mund ta merrni me mend, përmbanin gabime. Ata thonë se në disa universitete në Gjermani, të cilat morën sasi të mëdha "provash" të teoremës së Fermatit, u përgatitën formularë me përafërsisht këtë përmbajtje:

I dashur ________________________!

Në vërtetimin tuaj të teoremës së Fermatit në faqen ____ në rreshtin ____ në krye
gabimi i mëposhtëm u zbulua në formulën:___________________:,

Të cilat iu dërguan aplikantëve të pafat për çmimin.

Në atë kohë, në mesin e matematikanëve u shfaq një pseudonim gjysmë përçmues - fermeri. Ky ishte emri që i vihej çdo fillestari me vetëbesim, të cilit i mungonin njohuritë, por kishte më shumë se sa ambicie për të provuar me ngut maksimumin për të vërtetuar Teoremën e Madhe dhe më pas, pa i vënë re gabimet e veta, duke e goditur veten me krenari në gjoks, duke deklaruar me zë të lartë : "Unë isha i pari që vërtetova teoremën e Fermat!" Çdo fermer, edhe nëse ishte i dhjetëmijtë, e konsideronte veten të parën - kjo ishte qesharake. Pamja e thjeshtë e Teoremës së Madhe u kujtoi fermerëve një objektiv kaq të lehtë saqë ata nuk ishin aspak të turpëruar që as Euler dhe Gauss nuk mund ta përballonin atë.

(Fermatistët, çuditërisht, ekzistojnë edhe sot. Edhe pse njëri prej tyre nuk mendoi se e kishte vërtetuar teoremën, si një Fermatist klasik, ai bëri përpjekje deri vonë - ai refuzoi të më besonte kur i thashë se teorema e Fermatit ishte tashmë e provuar).

Matematikanët më të fuqishëm, ndoshta, në qetësinë e zyrave të tyre, u përpoqën gjithashtu t'i afroheshin me kujdes kësaj shtange të pamundur, por nuk folën për të me zë të lartë, që të mos etiketoheshin si fermerë dhe, kështu, të mos dëmtonin autoritetin e tyre të lartë. .

Në atë kohë, ishte shfaqur një provë e teoremës për eksponentin n

TEOREMA THEMELORE E ALGJEBRËS Teorema që çdo polinom i shkallës n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, ku a0 / 0, mbi fushën e numrave kompleks ka të paktën një rrënjë z1. , pra f(z1)=0. Nga O.T.A. dhe nga teorema e Bezout del se polinomi f(z) ka saktësisht n rrënjë në fushën e numrave kompleksë (duke marrë parasysh shumëzimet e tyre). Në të vërtetë, sipas teoremës së Bezout, f(z) pjesëtohet me z – z1 (pa mbetje), d.m.th. f(z) = f1(z)(z – z1), dhe rrjedhimisht polinomi f1(z) i shkallës (n – 1) sipas O.T.A. gjithashtu ka një rrënjë z2, etj. Në fund do të arrijmë në përfundimin se f(z) ka saktësisht n rrënjë: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. i quajtur kështu sepse përmbajtja kryesore e algjebrës në shekujt 17-18. zbriti në zgjidhjen e ekuacioneve.

O.T.A. u vërtetua për herë të parë në shekullin e 17-të. nga matematikani francez Girard, dhe një provë rigoroze u dha në 1799 nga matematikani gjerman Gauss. TEOREMA E BEZOU-së Një teoremë mbi pjesën e mbetur të pjesëtimit të një polinomi arbitrar me një binom linear është formuluar si më poshtë: pjesa e mbetur e pjesëtimit të një polinomi arbitrar f(x) me binomin x – a është e barabartë me f(a). ). T.B. emëruar sipas matematikanit francez të shekullit të 18-të, i cili i pari e formuloi dhe e vërtetoi atë. Bezu. Nga T.B. pasojnë këto pasoja: 1) nëse polinomi f(x) pjesëtohet (pa mbetje) me x – a, atëherë numri a është rrënja e f(x); 2) nëse numri a është rrënja e polinomit f(x), atëherë f(x) pjesëtohet (pa mbetje) me binomin x – a; 3) nëse një polinom f(x) ka të paktën një rrënjë, atëherë ky polinom ka saktësisht aq rrënjë sa shkalla e këtij polinomi (shumësia e rrënjëve merret parasysh). TEOREMA E CHEVA-s Nëse drejtëzat që lidhin kulmet e trekëndëshit ABC me pikën O që shtrihet në rrafshin e trekëndëshit, kryqëzojnë brinjët e kundërta (ose shtrirjet e tyre), përkatësisht në pikat A' B' C', atëherë vlen barazia e mëposhtme: ( *) Në këtë rast, raporti i segmenteve konsiderohet pozitiv, nëse këto segmente kanë të njëjtin drejtim, dhe negativ - përndryshe.

T.Ch. mund të shkruhet edhe në këtë formë: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, ku (ABC’) është një raport i thjeshtë i tre pikave A, B dhe C’. Teorema e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse pikat C', A', B' janë të vendosura përkatësisht në brinjët AB, BC dhe CA të trekëndëshit ose në shtrirjet e tyre në mënyrë që barazia (*) të jetë e vlefshme, atëherë drejtëzat AA', BB' dhe CC' kryqëzohen në të njëjtën pikë ose paralele (ndërpriten në një pikë të papërshtatshme). Linjat AA', BB' dhe CC', që kryqëzohen në një pikë dhe kalojnë nëpër kulmet e trekëndëshit, quhen vija Chevy ose Chevyan.

T.Ch. ka natyrë projektive. T.Ch. është metrikisht e dyfishtë me teoremën e Menelaut.

T.Ch. emëruar sipas gjeometrit italian Giovanni Ceva, i cili e vërtetoi atë (1678). TEOREMA KOSINEVE 1. T.K. trigonometria e rrafshët - pohimi se në çdo trekëndësh katrori i njërës prej brinjëve të tij është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera të tij pa e dyfishuar prodhimin e këtyre brinjëve me kosinusin e këndit ndërmjet tyre: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, ku a, b, c janë gjatësitë e trekëndëshit të brinjëve, dhe C është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b. T.K. përdoret shpesh në zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë elementare dhe të trigonometrisë 2. T.K. për brinjën e një trekëndëshi sferik: kosinusi i njërës anë të një trekëndëshi sferik është i barabartë me prodhimin e kosinuseve të dy brinjëve të tjera të tij plus produktin e sinuseve të të njëjtave brinjë nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. për këndin e një trekëndëshi sferik: kosinusi i këndit të një trekëndëshi sferik është i barabartë me produktin e kosinuseve të dy këndeve të tjerë, marrë me shenjën e kundërt, plus produktin e sinuseve të dy këndeve të tjerë me kosinusi i brinjës përballë këndit të parë: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. TEOREMA E EULERIT 1. T.E. në teorinë e krahasimeve thekson se nëse (a, m)=1, atëherë ku f(m) është funksioni i Euler-it (numri i numrave të plotë pozitivë është koprim me m, që nuk e kalon m). 2. T.E. rreth poliedrit thotë se për çdo shumëfaqësh të gjinisë zero është e vlefshme formula: B + G – P = 2, ku B është numri i kulmeve, G është numri i faqeve, P është numri i skajeve të shumëfaqëshit.

Sidoqoftë, ishte Dekarti ai që vuri re i pari një varësi të tillë.

Prandaj T.E. në poliedra është historikisht më e saktë ta quajmë teorema Dekart-Euler.

Numri B + G – P quhet karakteristikë e Euler-it të poliedrit.

T.E. vlen edhe për grafikët e mbyllur. Teorema e Talesit Një nga teoremat e gjeometrisë elementare për segmentet proporcionale T.F. thotë se nëse në njërën nga anët e këndit nga kulmi i tij vendosen segmente të barabarta në mënyrë të njëpasnjëshme dhe vija paralele vizatohen nëpër skajet e këtyre segmenteve që kryqëzojnë anën e dytë të këndit, atëherë segmente të barabarta do të vendosen edhe në të dytën. anën e këndit.

Një rast i veçantë i T.F. shpreh disa veti të vijës së mesit të një trekëndëshi. Teorema e fundit e Fermatit Deklarata nga P. Fermat se ekuacioni xn + yn = zn (ku n është një numër i plotë më i madh se dy) nuk ka zgjidhje në numrat e plotë pozitivë Pavarësisht deklaratës së P. Fermat se ai arriti të gjejë një provë mahnitëse B .F.T ai nuk citon për shkak të mungesës së hapësirës (këtë vërejtje e ka shkruar P. Fermat në margjinat e librit të Diofantit), deri vonë (mesi i viteve '90) W.T.F. në terma të përgjithshëm nuk është vërtetuar. TEOREMA E VOGËL E FERMA-s Një rast i veçantë i teoremës së Euler-it kur moduli m=p është numër i thjeshtë.

M.T.F. formuluar si më poshtë: nëse p është një numër i thjeshtë, atëherë ap=a(mod p). Në rastin kur a nuk pjesëtohet me p, nga M.T.F. vijon: ap-1=1(mod p). M.T.F. u zbulua nga shkencëtari francez Pierre Fermat. PABARAZIA E MBAJTJES Për shumat e fundme ka formën: , ose në formë integrale: , ku p > 1 dhe. N.G. përdoret shpesh në analizat matematikore.

N.G. është një përgjithësim i pabarazisë së Cauchy-së në formën algjebrike dhe pabarazisë së Bunyakovskit në formë integrale, në të cilën N.G. kthehet në p = 2. FORMULA CARDANO Një formulë që shpreh rrënjët e ekuacionit kub: x3+px+q=0 (*) përmes koeficientëve të tij. Çdo ekuacion kub reduktohet në formën (*). shkruhet kështu: . Kur zgjidhni një vlerë arbitrare të radikalit të parë kub, duhet të zgjidhni vlerën e radikalit të dytë (nga tre të mundshme), i cili, kur shumëzohet me vlerën e zgjedhur të radikalit të parë, jep (-p/3). Në këtë mënyrë marrim të tre rrënjët e ekuacionit (*). Ende nuk është e qartë se kush zotëron F.C.: G. Cardano, N. Tartaglie apo S. Ferro. F.K. daton në shekullin e 16-të. Pabarazia e CAUCHY-t Një pabarazi që vlen për shuma të fundme; një pabarazi shumë e rëndësishme dhe më e përdorur në fusha të ndryshme të matematikës dhe fizikës matematikore.

Për herë të parë u krijua nga Cauchy në 1821. Analogu integral i N.K.: u krijua nga matematikani rus V.Ya. Bunyakovski. TEOREMA E MENELUSIT Nëse një drejtëz pret brinjët e trekëndëshit ABC ose shtrirjet e tyre në pikat C', A' dhe B', atëherë relacioni i mëposhtëm është i vlefshëm: (*) Raporti i segmenteve merret pozitiv nëse drejtëza pret brinjën. e trekëndëshit, dhe negative nëse vija pret shtrirjen e brinjës.

Shprehja e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse plotësohet barazia (*), ku A, B, C janë kulmet e trekëndëshit dhe A', B', C' shtrihen në të njëjtën drejtëz.

T.M mund të formulohet në formën e një kriteri për vendndodhjen e tre pikave A', B' dhe C' në një vijë të drejtë: në mënyrë që 3 pika A', B' dhe C' të shtrihen në të njëjtën drejtëz, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që relacioni të plotësohet (*), ku A, B, C janë kulmet e trekëndëshit dhe A', B', C' u përkasin drejtëzave BC, AC dhe AB, përkatësisht. T.M u vërtetua nga shkencëtari i lashtë grek Menelaus (shek. I) për një trekëndësh sferik dhe, me sa duket, ishte i njohur për Euklidin (shek. III para Krishtit). T.M është një rast i veçantë i teoremës më të përgjithshme të Carnot. INBARAZIA MINKOWSKI Një mosbarazim për fuqitë p-të të numrave, që ka formën: , ku numri i plotë p>1, dhe ak dhe bk janë numra jonegativë.

N.M. është një përgjithësim i "pabarazisë së trekëndëshit" të njohur, i cili thotë se gjatësia e njërës brinjë të një trekëndëshi nuk është më e madhe se shuma e gjatësive të dy brinjëve të tjera të tij; për një hapësirë ​​n-dimensionale, distanca ndërmjet pikave x=(x1, x2, …, xn) dhe y=(y1, y2, …, yn) përcaktohet me numrin N.M. u krijua nga matematikani gjerman G. Minkowski më 1896. FORMULAT E MOHLWEIDE Formulat e trigonometrisë së rrafshët që shprehin marrëdhëniet e mëposhtme midis brinjëve (gjatësive të tyre) dhe këndeve të një trekëndëshi: ; , ku a, b, c janë brinjët, dhe A, B, C janë këndet e trekëndëshit.

F.M. emëruar sipas matematikanit gjerman K. Molweide, i cili i përdori ato, megjithëse këto formula ishin të njohura edhe për matematikanët e tjerë. kushtet e saj.

B.N. ka formën: , ku Cnk janë koeficientë binomialë të barabartë me numrin e kombinimeve të n elementeve me k, d.m.th. ose. Nëse koeficientët binomialë për n=0, 1, 2, ... të ndryshme shkruhen në vija të njëpasnjëshme, atëherë arrijmë në trekëndëshin e Paskalit. Në rastin e një numri real arbitrar (dhe jo vetëm një numër i plotë jo negativ) B.N. përgjithësuar në një seri binomiale, dhe në rastin e rritjes së numrit të termave nga dy në një numër më të madh - në një teoremë polinomiale Përgjithësimi i formulës binomiale të Njutonit në rastin e rritjes së shumës së k termave (k>2). në një fuqi të plotë jo-negativ n: , ku shuma në anën e djathtë shtrihej në të gjitha grupet e mundshme të numrave të plotë jo negativë a1, a2, …, ak, duke shtuar deri në n. Koeficientët A(n)a1, a2, … ,ak quhen polinom dhe shprehen si më poshtë: Kur k=2, koeficientët polinomikë bëhen koeficientë binomialë.

TEOREMA E POLKE-së Formulohet si më poshtë: tre segmente me gjatësi arbitrare, të shtrirë në të njëjtin rrafsh dhe që dalin nga një pikë e përbashkët në kënde arbitrare me njëri-tjetrin, mund të merren si një projeksion paralel i kornizës ortogonale hapësinore i, j, k ( |i|. = |j|. Teorema u formulua nga gjeometri gjerman K. Polke (1860) pa prova, dhe më pas u përgjithësua nga matematikani gjerman G. Schwarz, i cili dha vërtetimin e saj elementar.

Teorema Polke-Schwartz mund të formulohet si më poshtë: çdo katërkëndësh jo i degjeneruar me diagonalet e tij mund të konsiderohet si një projeksion paralel i një katërkëndëshi të ngjashëm me çdo të dhënë.

T.P. ka një rëndësi të madhe praktike (çdo katërkëndësh me diagonalet e tij mund të merret, për shembull, si imazh i një katërkëndëshi të rregullt) dhe është një nga teoremat kryesore të aksonometrisë. diagonalet e një katërkëndëshi të brendashkruar në një rreth: në çdo katërkëndësh konveks, të brendashkruar në një rreth, prodhimi i diagonaleve është i barabartë me shumën e produkteve të anëve të kundërta të tij, d.m.th. barazia vlen: AC*BD = AB*CD + BC*AD etj. emëruar pas shkencëtarit të lashtë grek Klaudi Ptolemeu, i cili vërtetoi këtë teoremë.

T.P. përdoret gjatë zgjidhjes së problemeve në gjeometrinë elementare, kur vërtetohet një rast i veçantë i teoremës së mbledhjes së sinuseve Formula për llogaritjen e vëllimeve të trupave me dy baza paralele: , ku Qn është sipërfaqja e bazës së poshtme, Qв është. zona e bazës së sipërme, Qс është zona e seksionit të mesëm të trupit. Seksioni mesatar i një trupi këtu kuptohet si një figurë e marrë nga kryqëzimi i trupit me një rrafsh paralel me rrafshet e bazave dhe i vendosur në një distancë të barabartë nga këto plane.

h tregon lartësinë e trupit. Nga F.S., si rast i veçantë, fitohen shumë formula të njohura për vëllimet e trupave të studiuar në shkollë (piramidë e cunguar, cilindër, sferë etj.). TEOREMA E SINESIT Një teoremë e trigonometrisë së rrafshët që përcakton marrëdhëniet midis brinjëve a, b, c të një trekëndëshi arbitrar dhe sinuseve të këndeve përballë këtyre brinjëve: , ku R është rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit.

Për trigonometrinë sferike T.S. shprehet analitikisht si më poshtë: . TEOREMA E STEWART-it është si më poshtë: nëse A, B, C janë tre kulme të një trekëndëshi dhe D është çdo pikë në anën BC, atëherë lidhja e mëposhtme vlen: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .ME. emërtuar sipas matematikanit anglez M. Stewart i cili e vërtetoi dhe e botoi në veprën “Disa teorema të përgjithshme” (1746, Edinburg). Teorema iu tha Stewartit nga mësuesi i tij R. Simson, i cili e publikoi këtë teoremë vetëm në 1749. T.S. përdoret për gjetjen e ndërmjetëseve dhe përgjysmuesve të trekëndëshave.

TEOREMA TANGJENTE (FORMULA E RAJONIT MONTAN) Formulë e trigonometrisë së rrafshët që vendos lidhjen ndërmjet gjatësive të dy brinjëve të një trekëndëshi dhe tangjentëve të gjysmës së shumës dhe gjysmëdiferencës së këndeve përballë tyre. ka formën: , ku a, b janë brinjët e trekëndëshit, A, B janë përkatësisht këndet përballë këtyre brinjëve. T.T. quhet edhe formula Regiomontanus sipas astronomit dhe matematikanit gjerman Johannes Muller (në latinisht Regiomontanus), i cili vendosi këtë formulë. J. Müller quhej "Königsberger": në gjermanisht König është mbret, Berg është mal, dhe në latinisht "mbret" dhe "mal" në rasën gjinore janë regis dhe montis.

Prandaj “Regiomontan” është mbiemri i latinizuar i I. Muller. “Fjalor shpjegues i termave matematikore”, O.V. Manturov FORMULA DHE TEOREMA NË VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:

Nëse ky material ishte i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:

Të nesërmen në mbrëmje, recepsionisti Gilbert u përball me një problem shumë më të vështirë. Si një ditë më parë, hoteli ishte i mbushur me njerëz kur mbërriti një limuzinë pafundësisht e gjatë, duke zbarkuar një numër të pafund mysafirësh të rinj. Por Gilbert nuk ishte aspak i turpëruar nga kjo dhe ai vetëm me gëzim fërkoi duart nga mendimi i numrit të pafund të faturave që do të paguanin të sapoardhurit. Gilbert u kërkoi të gjithëve që ishin vendosur tashmë në hotel të lëviznin, duke respektuar rregullin e mëposhtëm: banori i dhomës së parë - në dhomën e dytë, banori i dhomës së dytë - në dhomën e katërt, etj., domethënë, Gilbert pyeti çdo mysafir të zhvendoset në një dhomë të re me "adresa" të dyfishtë të madhe. Të gjithë ata që jetonin në hotel para ardhjes së mysafirëve të rinj mbetën në hotel, por në të njëjtën kohë u liruan një numër i pafund dhomash (të gjitha ato "adresat" e të cilave ishin të çuditshme), në të cilat recepsionisti i shkathët strehoi mysafirët e rinj. Ky shembull tregon se dyfishi i pafundësisë është gjithashtu i barabartë me pafundësinë.

Ndoshta hoteli i Hilbertit do t'i japë dikujt idenë se të gjitha pafundësitë janë njësoj të mëdha, të barabarta me njëra-tjetrën dhe se çdo pafundësi e ndryshme mund të shtrydhet në dhomat e të njëjtit hotel të pafund, siç bëri portieri i shkathët. Por në realitet, disa pafundësi janë më të mëdha se të tjerat. Për shembull, çdo përpjekje për të gjetur një çift për çdo numër racional me një numër irracional në mënyrë që asnjë numër i vetëm irracional të mos mbetet pa çiftin e tij racional sigurisht që përfundon në dështim. Në të vërtetë, mund të vërtetohet se bashkësia e pafundme e numrave iracionalë është më e madhe se bashkësia e pafundme e numrave racionalë. Matematikanët duhej të krijonin një sistem të tërë shënimesh dhe emrash me një shkallë të pafundme pafundësish, dhe manipulimi i këtyre koncepteve është një nga problemet më urgjente të kohës sonë.

Megjithëse pafundësia e numrave të thjeshtë shkatërroi përgjithmonë shpresat për një provë të shpejtë të Teoremës së Fundit të Fermatit, një furnizim kaq i madh i numrave të thjeshtë ishte i dobishëm, për shembull, në fusha të tilla si spiunazhi dhe kërkimi i insekteve. Përpara se t'i kthehemi historisë së kërkimit të një prove të Teoremës së Fundit të Fermatit, është e përshtatshme që të largohemi pak dhe të njihemi me përdorimet e sakta dhe të pasakta të numrave të thjeshtë.

Teoria e numrave të thjeshtë është një nga fushat e pakta të matematikës së pastër që ka zbatim të drejtpërdrejtë në botën reale, përkatësisht kriptografinë. Kriptografia merret me kodimin e mesazheve sekrete në atë mënyrë që vetëm marrësi mund t'i deshifrojë ato, por një përgjues nuk mund t'i deshifrojë ato. Procesi i kodimit kërkon përdorimin e një çelësi shifror, dhe tradicionalisht deshifrimi kërkon t'i jepet marrësit atë çelës. Në këtë procedurë, çelësi është hallka më e dobët në zinxhirin e sigurisë. Së pari, marrësi dhe dërguesi duhet të bien dakord për detajet e çelësit, dhe shkëmbimi i informacionit në këtë fazë përfshin njëfarë rreziku. Nëse armiku arrin të përgjojë çelësin gjatë shkëmbimit të informacionit, ai do të jetë në gjendje të deshifrojë të gjitha mesazhet pasuese. Së dyti, për të ruajtur sigurinë, çelësat duhet të ndryshohen rregullisht dhe sa herë që ndërrohet një çelës, ekziston rreziku që një kundërshtar të përgjojë çelësin e ri.

Problemi kryesor rrotullohet rreth faktit se aplikimi i një çelësi në një drejtim enkripton mesazhin, por aplikimi i të njëjtit çelës në drejtim të kundërt deshifron mesazhin - deshifrimi është po aq i lehtë sa kriptimi. Por ne e dimë nga përvoja se tani ka shumë situata ku deshifrimi është shumë më i vështirë se kriptimi: përgatitja e vezëve të fërguara është pakrahasueshme më e lehtë sesa kthimi i vezëve të fërguara në gjendjen e tyre origjinale duke ndarë të bardhat dhe të verdhat.

Në vitet 70 të shekullit XX, Whitfield Diffie dhe Martin Hellman filluan të kërkonin një proces matematikor që do të ishte i lehtë për t'u kryer në një drejtim, por tepër i vështirë në drejtimin e kundërt. Një proces i tillë do të siguronte çelësin e përsosur. Për shembull, unë mund të kem çelësin tim me dy pjesë dhe ta publikoj publikisht pjesën e enkriptimit të tij. Pas kësaj, kushdo mund të më dërgonte mesazhe të koduara, por pjesën e deshifrimit të çelësit do ta dija vetëm unë. Dhe megjithëse pjesa e enkriptimit të çelësit do të ishte e disponueshme për të gjithë, nuk do të kishte asnjë lidhje me pjesën e deshifrimit.

Në vitin 1977, Ronald Rivest, Adi Shamir dhe Leonard Adleman, një ekip matematikanësh dhe shkencëtarësh kompjuterikë në MIT, zbuluan se numrat e thjeshtë ishin baza ideale për procesin e enkriptimit të lehtë dhe deshifrimit të vështirë. Për të krijuar çelësin tim personal, unë mund të marr dy numra të mëdhenj të thjeshtë, secili me deri në 80 shifra dhe të shumëzoj një numër me tjetrin për të marrë një numër të përbërë edhe më të madh. Gjithçka që kërkohet për të koduar mesazhet është njohja e një numri të madh të përbërë, ndërsa për të deshifruar një mesazh është e nevojshme të njihen dy numrat fillestarë të thjeshtë që kemi shumëzuar, d.m.th., faktorët kryesorë të numrit të përbërë. Unë mund të përballoj të publikoj një numër të madh të përbërë - gjysmën e enkriptimit të çelësit dhe të mbaj sekret dy faktorë kryesorë - gjysmën e deshifrimit të çelësit. Është shumë e rëndësishme që edhe pse të gjithë njohin një numër të madh të përbërë, është jashtëzakonisht e vështirë ta faktorizosh atë në dy faktorë kryesorë.

Le të shohim një shembull më të thjeshtë. Supozoni se kam zgjedhur dhe i kam komunikuar të gjithëve numrin e përbërë 589, i cili i lejon të gjithë të më dërgojnë mesazhe të koduara. Do t'i mbaja sekret dy faktorët kryesorë të numrit 589, kështu që askush përveç meje nuk mund t'i deshifrojë mesazhet. Nëse dikush mund të gjente dy faktorë kryesorë të numrit 589, atëherë një person i tillë do të ishte në gjendje të deshifronte edhe mesazhet që më drejtoheshin. Por sado i vogël të jetë numri 589, gjetja e faktorëve kryesorë të tij nuk është aq e lehtë. Në këtë rast, në një kompjuter desktop në pak minuta do të ishte e mundur të zbulohej se faktorët kryesorë të numrit 589 janë 31 dhe 19 (31 19 = 589), kështu që çelësi im nuk mund të garantonte sigurinë e korrespondencës për një kohë të gjatë. .

Por nëse numri i përbërë që postova do të kishte më shumë se njëqind shifra, do ta bënte gjetjen e faktorëve kryesorë një detyrë pothuajse të pamundur. Edhe nëse kompjuterët më të fuqishëm në botë do të përdoreshin për të zbërthyer një numër të madh të përbërë (çelësin e enkriptimit) në dy faktorë kryesorë (çelësin e deshifrimit), do të duheshin ende disa vite për të gjetur këta faktorë. Prandaj, për të penguar planet tinëzare të spiunëve të huaj, më duhet vetëm të ndërroj çelësin çdo vit. Një herë në vit bëj publik numrin tim të ri gjigant të përbërë dhe më pas kushdo që dëshiron të provojë fatin dhe të deshifrojë mesazhet e mia do të detyrohet të fillojë nga e para duke e zbërthyer numrin e publikuar në dy faktorë kryesorë.

Numrat e thjeshtë gjenden edhe në botën natyrore. Cikadat periodike, të njohura si Magicicada septendecim, kanë ciklin më të gjatë të jetës nga çdo insekt. Jeta e tyre fillon nën tokë, ku larvat thithin me durim lëngjet nga rrënjët e pemëve. Dhe vetëm pas 17 vitesh pritjeje, cikadat e rritur dalin nga toka, mblidhen në tufa të mëdha dhe për ca kohë mbushin gjithçka përreth. Gjatë disa javësh, ata çiftëzohen, vendosin vezë dhe më pas vdesin.

Pyetja që ka përhumbur biologët është pse cikli jetësor i cikadave është kaq i gjatë? A ka ndonjë ndryshim në ciklin jetësor që kohëzgjatja e tij të shprehet në një numër të thjeshtë vitesh? Një tjetër specie, Magicicada tredecim, grumbullohet çdo 13 vjet. Kjo sugjeron që gjatësia e ciklit jetësor, e shprehur si një numër i thjeshtë vitesh, i jep specieve disa avantazhe evolucionare.

Nga fillimi i shekullit të 19-të, Teorema e fundit e Fermatit kishte krijuar një reputacion të fortë si problemi më i vështirë në teorinë e numrave. Pas përparimit të Euler-it, nuk pati as përparimin më të vogël derisa deklarata e bujshme e një gruaje të re franceze frymëzoi shpresa të reja. Kërkimi për një provë të Teoremës së Fundit të Fermatit rifilloi me energji të përtërirë. Sophie Germain jetoi në një epokë shovinizmi dhe paragjykimi, dhe për të qenë në gjendje të studionte matematikën, asaj iu desh të merrte një pseudonim, të punonte në kushte të tmerrshme dhe të krijonte në izolim intelektual.

Për shekuj me radhë, matematika u konsiderua një aktivitet jofemëror, por pavarësisht diskriminimit, kishte disa gra matematikane që kundërshtuan zakonet dhe praktikat e vendosura dhe gdhendën emrat e tyre në analet e matematikës. Gruaja e parë që la gjurmë në historinë e matematikës ishte Theano (shek. VI para Krishtit), e cila studioi me Pitagorën, u bë një nga ndjekësit e tij më të afërt dhe u martua me të. Pitagora nganjëherë quhet një "filozof feministe", sepse ai inkurajoi gratë shkencëtare. Theano ishte vetëm një nga njëzet e tetë motrat në vëllazërinë e Pitagorës.

Në kohët e mëvonshme, mbështetësit dhe ndjekësit e Sokratit dhe Platonit vazhduan të ftonin gratë në shkollat ​​e tyre, por vetëm në shekullin e IV pas Krishtit. e. një matematikan femër themeloi shkollën e saj me ndikim. Hypatia, vajza e një profesori matematike në Akademinë e Aleksandrisë, u bë e famshme në të gjithë botën e atëhershme të njohur për debatet dhe aftësinë e saj për të zgjidhur probleme të ndryshme. Matematikanët, të cilët kishin shumë muaj në mëdyshje për zgjidhjen e një problemi, iu drejtuan Hypatias me një kërkesë për ndihmë dhe ajo rrallëherë i zhgënjente fansat e saj. Matematika dhe procesi i provës logjike e mahnitën plotësisht dhe kur e pyetën pse nuk u martua, Hypatia u përgjigj se ishte fejuar me të Vërtetën. Ishte besimi i pakufishëm i Hypatias në arsyen njerëzore që shkaktoi vdekjen e saj kur Cirili, Patriarku i Aleksandrisë, filloi të persekutonte filozofët, natyralistët dhe matematikanët, të cilët ai i quajti heretikë. Historiani Edward Gibbon la një rrëfim të gjallë të ngjarjeve që ndodhën pasi Cyril komplotoi kundër Hypatias dhe ngriti një turmë kundër saj.

“Në atë ditë fatale, në stinën e shenjtë të Lentus, Hypatia u tërhoq nga qerrja në të cilën ajo hipi, u zhvesh lakuriq, u tërhoq zvarrë në kishë dhe u pre në copa çnjerëzore nga duart e Pjetrit Lexuesit dhe një turme njerëzish të egër dhe të pamëshirshëm. fanatikë; mishi i saj u shqye nga kockat me guaska të mprehta goca deti dhe gjymtyrët e saj që dridheshin u dogjën në shtyllë.»

Pas vdekjes së Hypatia, filloi një periudhë stagnimi në matematikë. Gruaja e dytë që i bëri njerëzit të flisnin për veten si matematikan u shfaq vetëm pas Rilindjes. Maria Agnesi lindi në Milano në 1718. Ashtu si Hypatia, ajo ishte e bija e një matematikani. Agnesi u njoh si një nga matematikanët më të mirë në Evropë. Ajo ishte veçanërisht e famshme për punimet e saj mbi tangjentet në kthesa. Në Itali, kthesat quheshin "versiera" (nga latinishtja "për t'u kthyer"), por e njëjta fjalë u konsiderua si një tkurrje e fjalës "avversiera" - "gruaja e djallit". Kurbat e eksploruara nga Agnesi (versiera Agnesi) u përkthyen gabimisht në anglisht si "shtriga e Agnesit", dhe me kalimin e kohës Maria Agnesi u quajt e njëjta.

Megjithëse matematikanët në të gjithë Evropën e njohën talentin matematikor të Agnesit, shumë institucione akademike, veçanërisht Akademia Franceze, refuzuan t'i jepnin asaj një post kërkimor. Politika e përjashtimit të grave nga postet akademike vazhdoi në shekullin e 20-të kur Emmy Noether, të cilën Ajnshtajni e përshkroi si "gjeniun më domethënës krijues matematik që u shfaq që nga fillimi i arsimit të lartë për gratë", iu mohua e drejta për të dhënë leksione në Universitetin e Gottingen. Shumica e profesorëve arsyetuan kështu: “Si mund të lejosh që një grua të bëhet asistent profesor privat? Në fund të fundit, nëse ajo bëhet privatedozente, atëherë me kalimin e kohës mund të bëhet profesoreshë dhe anëtare e senatit universitar... Çfarë do të mendojnë ushtarët tanë kur të kthehen në universitet dhe të marrin vesh se do të duhet të studiojnë në këmbë. të një gruaje? David Gilbert, miku dhe mentori i Emmy Noether, iu përgjigj kësaj: “Zotërinj! Nuk e kuptoj pse gjinia e kandidates e pengon te pranohet si privatedozente. Në fund të fundit, senati i universitetit nuk është një banjë burrash.

Më vonë, Edmund Landau, kolegu i Noether-it, u pyet nëse Noether ishte me të vërtetë një grua matematikane e shkëlqyer, për të cilën ai u përgjigj: "Unë mund të betohem se ajo është një matematikane e shkëlqyer, por nuk mund të betohem se ajo është një grua."

Përveç faktit që Emmy Noether, si matematikanët femra të shekujve të kaluar, vuante nga diskriminimi, ajo kishte shumë më tepër të përbashkëta me to: për shembull, ajo ishte vajza e një matematikani. Në përgjithësi, shumë matematikanë vinin nga familje matematikore, dhe kjo shkaktoi thashetheme të pabaza për një gjen të veçantë matematikor, por në mesin e matematikaneve femra përqindja e njerëzve nga familjet matematikore është veçanërisht e lartë. Shpjegimi duket se është se edhe gratë më të talentuara nuk do të vendosnin të studionin matematikë ose të merrnin mbështetje për qëllimet e tyre nëse familja e tyre nuk do të merrej me shkencë. Ashtu si Hypatia, Agnesi dhe shumica e matematikaneve të tjera, Noether ishte e pamartuar. Beqaria e tillë e përhapur mes matematikaneve femra shpjegohet me faktin se zgjedhja e një profesioni të matematikës nga një grua u prit me mosmiratim nga shoqëria dhe vetëm pak burra guxuan t'u propozonin martesë grave me një reputacion kaq "të dyshimtë". Një përjashtim nga rregulli i përgjithshëm ishte matematikanja e madhe femër nga Rusia Sofya Vasilievna Kovalevskaya. Ajo hyri në një martesë fiktive me paleontologun Vladimir Onufrievich Kovalevsky. Për të dy, martesa ishte një shpëtim, duke i lejuar ata të shpëtonin nga kujdesi i familjeve të tyre dhe të përqëndroheshin në kërkimin shkencor. Sa për Kovalevskaya, ishte shumë më e përshtatshme për të që të udhëtonte vetëm nën maskën e një zonje të martuar të respektuar.

Nga të gjitha vendet evropiane, Franca mbajti qëndrimin më të pakompromis ndaj grave të arsimuara, duke deklaruar se matematika ishte një profesion i papërshtatshëm për gratë dhe ishte përtej aftësive të tyre mendore! Dhe megjithëse sallonet e Parisit dominonin botën matematikore të shekujve 18 dhe 19, vetëm një grua arriti të çlirohej nga prangat e opinionit publik francez dhe të krijonte reputacionin e saj si një specialiste e madhe në teorinë e numrave. Sophie Germain revolucionarizoi kërkimin për të vërtetuar Teoremën e Fundit të Fermatit dhe dha kontribute shumë më tepër se çdo gjë që kishin bërë paraardhësit e saj meshkuj.

Sophie Germain lindi më 1 prill 1776 në familjen e tregtarit Ambroise Francois Germain. Përveç pasionit të saj për matematikën, jeta e saj u ndikua thellë nga stuhitë dhe fatkeqësitë e Revolucionit Francez. Në të njëjtin vit që zbuloi dashurinë e saj për numrat, njerëzit sulmuan Bastilën dhe ndërsa ajo studionte llogaritjen, hija e mbretërimit të terrorit ra. Megjithëse babai i Sophie ishte një burrë mjaft i pasur, Germains nuk i përkisnin aristokracisë.

Vajzat në të njëjtën shkallë të shkallës shoqërore si Sophie nuk inkurajoheshin veçanërisht të studionin matematikën, por pritej që ato të kishin njohuri të mjaftueshme për këtë temë për të qenë në gjendje të vazhdonin bisedat e vogla nëse ajo prekte ndonjë çështje matematikore. Për këtë qëllim u shkrua një sërë tekstesh për njohjen e tyre me arritjet më të fundit në matematikë dhe shkenca natyrore. Kështu, Francesco Algarotti shkroi librin shkollor "Filozofia e Sir Isaac Newton, Shpjeguar për përfitimin e zonjave". Meqenëse Algarotti ishte i bindur se zonjat mund të interesoheshin vetëm për romanet, ai u përpoq të paraqiste zbulimet e Njutonit në formën e një dialogu midis një markeze që flirton me bashkëbiseduesin e saj. Për shembull, bashkëbiseduesi i shpjegon markezes ligjin e gravitetit universal, në përgjigje të të cilit markeza shpreh interpretimin e saj të këtij ligji themelor të fizikës: “Nuk mund të mos mendoj se... e njëjta marrëdhënie, proporcionalitet i kundërt me katrorin. e largësisë... vërehet në dashuri. Për shembull, nëse të dashuruarit nuk e shohin njëri-tjetrin për tetë ditë, atëherë dashuria bëhet gjashtëdhjetë e katër herë më e dobët se në ditën e ndarjes."

Nuk është për t'u habitur që interesi i Sophie Germain për shkencën nuk lindi nën ndikimin e librave të një zhanri kaq galant. Ngjarja që i ndryshoi të gjithë jetën e saj ndodhi ditën kur, duke parë librat në bibliotekën e të atit, rastësisht hasi në "Historinë e Matematikës" nga Jean Etienne Montucla. Vëmendja e saj u tërhoq nga kapitulli në të cilin Montucla flet për jetën e Arkimedit. Lista e zbulimeve të Arkimedit, e paraqitur nga Montucla, padyshim që zgjoi interes, por imagjinata e Sofisë u kap veçanërisht nga episodi në të cilin u diskutua vdekja e Arkimedit.

Sipas legjendës, Arkimedi e kaloi tërë jetën e tij në Sirakuzë, ku studioi matematikë në një mjedis relativisht të qetë. Por kur ai i kishte mbushur të shtatëdhjetat, paqja u prish nga pushtimi i ushtrisë romake. Sipas legjendës, ishte gjatë këtij pushtimi që Arkimedi, i zhytur thellë në soditjen e një figure gjeometrike të vizatuar në rërë, nuk dëgjoi pyetjen e një ushtari romak drejtuar atij dhe, i shpuar nga një shtizë, vdiq.

Germaine arsyetoi se nëse një problem gjeometrie mund të magjepste dikë aq sa të rezultojë në vdekjen e tij, atëherë matematika duhet të jetë lënda më e mahnitshme në botë. Sophie menjëherë filloi të studionte vetë bazat e teorisë së numrave dhe llogaritjes, dhe së shpejti qëndroi deri vonë duke lexuar veprat e Euler-it dhe Njutonit. Interesi i papritur për një lëndë të tillë "jo femërore" si matematika i alarmoi prindërit e Sophie. Miku i familjes Konti Guglielmo Libri-Carucci dalla Sommaya tha se babai i Sophie ia hoqi qirinjtë, rrobat e vajzës së saj dhe ia hoqi mangallin që ngrohte dhomën e saj për ta penguar atë të studionte matematikë. Disa vjet më vonë në Britani, babai i një matematikane të re, Mary Somerville, i hoqi gjithashtu qirinjtë e vajzës së tij, duke deklaruar: "Kjo duhet të ndalet nëse nuk duam ta shohim Marinë me një këmishë".

Por si përgjigje, Sophie Germaine filloi një ruajtje sekrete për qirinj dhe u mbrojt nga i ftohti duke u mbështjellë me çarçafë. Sipas Libri-Carucci, netët e dimrit ishin aq të ftohta sa boja ngriu në bojë, por Sophie vazhdoi të studionte matematikë, pa marrë parasysh çfarë. Disa që e njihnin në rininë e saj pohuan se ajo ishte e turpshme dhe e sikletshme, por ajo ishte e vendosur dhe në fund prindërit e saj u penduan dhe i dhanë bekimin Sofit për të studiuar matematikën. Germaine nuk u martua kurrë dhe kërkimi i Sophie u financua nga babai i saj gjatë gjithë karrierës së saj. Për shumë vite, Germaine e kreu kërkimin e saj plotësisht vetëm, sepse në familje nuk kishte matematikanë që mund ta prezantonin atë me idetë më të fundit dhe mësuesit e Sophie refuzuan ta merrnin seriozisht.

Germaine u bë gjithnjë e më e sigurt në aftësitë e saj dhe kaloi nga zgjidhja e problemeve në detyrat e klasës në eksplorimin e fushave të paeksploruara më parë të matematikës. Por gjëja më e rëndësishme për historinë tonë është se Sophie u interesua për teorinë e numrave dhe, natyrisht, nuk mund të mos dëgjonte për Teoremën e Fundit të Fermatit. Germaine punoi për vërtetimin e saj për disa vite dhe më në fund arriti në një fazë ku i dukej se ishte në gjendje të shkonte drejt qëllimit të saj të dëshiruar. Kishte një nevojë urgjente për të diskutuar rezultatet e marra me një koleg, një specialist në teorinë e numrave, dhe Germaine vendosi t'i drejtohej specialistit më të madh në teorinë e numrave - matematikanit gjerman Carl Friedrich Gauss.

Gauss njihet botërisht si matematikani më i shkëlqyer që ka jetuar ndonjëherë. KJO. Bell e quajti Fermatin "princi i amatorëve" dhe Gausin "princi i matematikanëve". Për herë të parë, Germaine e vlerësoi vërtet talentin e Gausit kur u ndesh me kryeveprën e tij "Hetimet Aritmetike" - traktati më i rëndësishëm dhe jashtëzakonisht i gjerë i shkruar që nga Elementet e Euklidit. Puna e Gausit ndikoi në të gjitha fushat e matematikës, por, çuditërisht, ai kurrë nuk botoi asgjë rreth Teoremës së Fundit të Fermatit. Në një letër, Gauss madje shprehu përbuzje për problemin e Fermatit. Miku i Gausit, astronomi gjerman Heinrich Olbers, i shkroi një letër, duke e këshilluar me forcë që të merrte pjesë në konkursin për çmimin e Akademisë së Parisit për zgjidhjen e problemit të Fermatit: “Më duket, i dashur Gauss, se ju duhet të shqetësoheni për këtë. ” Dy javë më vonë Gauss u përgjigj: “Jam shumë i detyruar të dëgjoj lajmet në lidhje me Çmimin e Parisit. Por unë rrëfej se Teorema e Fundit e Fermatit si një propozim më vete, më intereson shumë pak, pasi mund të jap shumë propozime të tilla që as nuk mund të vërtetohen e as të hidhen poshtë. Gauss-i kishte të drejtë për mendimin e tij, por Fermat deklaroi qartë se ekzistonte një provë dhe madje përpjekjet e mëvonshme të pasuksesshme për të gjetur një provë krijuan metoda të reja dhe origjinale, të tilla si vërtetimi me prejardhje të pafundme dhe përdorimi i numrave imagjinarë. Ndoshta Gauss gjithashtu u përpoq të gjente një provë dhe dështoi, dhe përgjigja e tij për Olbers është vetëm një variant i deklaratës "rrushi është i gjelbër". Megjithatë, suksesi i arritur nga Germaine, për të cilin Gauss mësoi nga letrat e saj, i bëri një përshtypje aq të fortë sa Gausi harroi përkohësisht përçmimin e tij për Teoremën e Fundit të Fermatit.

Shtatëdhjetë e pesë vjet më parë, Euler publikoi provën për të cilën kishte gjetur n=3, dhe që atëherë të gjithë matematikanët janë përpjekur më kot të provojnë Teoremën e Fundit të Fermatit në raste të tjera të veçanta. Por Germaine zgjodhi një strategji të re dhe, në letrat drejtuar Gausit, përshkroi të ashtuquajturën qasje të përgjithshme ndaj problemit të Fermatit. Me fjalë të tjera, qëllimi i saj i afërt nuk ishte të provonte një rast të vetëm - Germaine u përpoq të thoshte diçka për shumë raste të veçanta menjëherë. Në letrat drejtuar Gausit, ajo përshkroi kursin e përgjithshëm të llogaritjeve të përqendruara në numrat e thjeshtë fq Lloji privat: i tillë që numrat të jenë 2 fq+1 - gjithashtu e thjeshtë. Lista e numrave të tillë të thjeshtë të përpiluar nga Germain përfshin numrin 5, pasi 11 = 2·5 + 1 është gjithashtu i thjeshtë, por numri 13 nuk përfshihet në të, pasi 27 = 2·13 + 1 nuk është i thjeshtë.

Në veçanti, Germaine, duke përdorur arsyetim elegant, vërtetoi se nëse ekuacioni x n + y n = z n ka zgjidhje për kaq të thjeshta n që 2 n+1 është gjithashtu një numër i thjeshtë, atëherë ose x, y, ose z aksionet n.

Në 1825, metoda e Sophie Germain u zbatua me sukses nga Gustav Lejeune Dirichlet dhe Adrien Marie Legendre. Këta shkencëtarë u ndanë nga një brez i tërë. Lezhandri ishte një burrë shtatëdhjetë vjeçar që i mbijetoi stuhive politike të Revolucionit të Madh Francez. Për refuzimin për të mbështetur një kandidat qeveritar për Institutin Kombëtar, atij iu hoq pensioni dhe në kohën kur ai kontribuoi në vërtetimin e Teoremës së Fundit të Fermatit, Lezhandrit kishte nevojë të madhe. Dirichlet ishte një teoricien i ri dhe ambicioz i numrave, mezi njëzet vjeç. Të dy Lezhandri dhe Dirichlet arritën në mënyrë të pavarur të provonin Teoremën e Fundit të Fermatit për n=5, dhe të dy bazuan provat e tyre në arsyetimin e Sophie Germain dhe ishte asaj që i detyroheshin suksesit të tyre.

Një tjetër përparim u bë katërmbëdhjetë vjet më vonë nga francezi Gabriel Lamé. Ai bëri disa përmirësime të zgjuara në metodën e Germain dhe vërtetoi Teoremën e Fundit të Fermatit me një vlerë kryesore n=7. Germaine u tregoi teoricienëve të numrave se si të eliminonin një grup të tërë të rasteve me vlerë të parë. n, dhe tani, me përpjekjet e kombinuara të kolegëve të saj, ata vazhduan të provonin teoremën për një vlerë të thjeshtë n pas tjetrit. Puna e Germaine në Teoremën e Fundit të Fermatit ishte arritja e saj më e madhe në matematikë, megjithëse nuk u vlerësua menjëherë. Kur Germaine i shkroi për herë të parë Gausit, ajo nuk ishte ende tridhjetë vjeç dhe megjithëse emri i saj ishte bërë i famshëm në Paris, ajo kishte frikë se matematikani i madh nuk do ta merrte seriozisht një letër nga një grua. Për të mbrojtur veten, Germaine u strehua përsëri pas një pseudonimi, duke nënshkruar letrën me emrin e Monsieur Leblanc.

Sophie nuk e fshehu nderimin e saj për Gausin. Ja një frazë nga letra e saj: “Për fat të keq, thellësia e intelektit tim është më e ulët se pangopshmëria e oreksit tim dhe jam i vetëdijshëm për marrëzinë e veprimit tim kur marr mbi vete guximin të shqetësoj një njeri gjenial, pa duke pasur të drejtën më të vogël për vëmendjen e tij, përveç admirimit që përfshin në mënyrë të pashmangshme të gjithë lexuesit e tij." Gauss, i pavetëdijshëm se kush ishte në të vërtetë korrespondenti i tij, u përpoq të qetësonte "Monsieur Leblanc". Letra e përgjigjes së Gausit thoshte: "Jam i kënaqur që aritmetika ka gjetur një mik kaq të aftë tek ju."

Rezultatet e marra nga Germaine mund t'i kenë mbetur përgjithmonë gabimisht atribuar Monsieur Leblanc, nëse jo për Perandorin Napoleon. Në 1806, Napoleoni pushtoi Prusinë dhe ushtria franceze sulmoi kryeqytetet gjermane njëri pas tjetrit. Germaine filloi të frikësohej se heroi i saj i dytë i madh, Gauss, mund të ndante fatin e Arkimedit. Sophie i shkroi mikut të saj, gjeneralit Joseph Marie Pernety, i cili komandonte trupat që përparonin. Në letër, ajo i kërkoi gjeneralit të siguronte sigurinë e Gausit. Gjenerali mori masat e duhura, u kujdes për matematikanin gjerman dhe i shpjegoi se jetën ia kishte borxh Mademoiselle Germaine. Gauss shprehu mirënjohjen e tij, por u befasua, pasi nuk kishte dëgjuar kurrë për Sophie Germaine.

Loja ishte e humbur. Në letrën e saj të radhës drejtuar Gausit, Germaine me ngurrim zbuloi emrin e saj të vërtetë. Aspak i zemëruar për mashtrimin, Gauss iu përgjigj asaj me kënaqësi: "Si mund t'ju përshkruaj kënaqësinë dhe habinë që më pushtoi kur pashë se si korrespondenti im shumë i nderuar Monsieur Leblanc iu nënshtrua një metamorfoze, duke u shndërruar në një person të mrekullueshëm, duke vendosur një shembull kaq i shkëlqyer që unë Është e vështirë të besohet. Shija për shkencat abstrakte në përgjithësi, dhe mbi të gjitha për të gjitha misteret e numrave, është jashtëzakonisht e rrallë, dhe kjo nuk është për t'u habitur: hijeshitë joshëse të kësaj shkence delikate u zbulohen vetëm atyre që kanë guximin të depërtojnë thellë në të. Por kur një përfaqësues i atij seksi, i cili, sipas zakoneve dhe paragjykimeve tona, duhet të ndeshet me vështirësi pafundësisht më të mëdha se burrat për t'u njohur me hetimet e mprehta, arrin me sukses t'i kapërcejë të gjitha këto pengesa dhe të depërtojë në pjesët e tyre më të errëta, atëherë, pa dyshim, ajo posedon guxim fisnik, talent absolutisht të jashtëzakonshëm dhe talent suprem. Asgjë nuk mund të më bindte në një mënyrë kaq lajkatare dhe të padyshimtë që aspektet tërheqëse të kësaj shkence, e cila e ka pasuruar jetën time me kaq shumë gëzime, të mos jenë një pjellë fantazie, sesa përkushtimi me të cilin e keni nderuar.

Korrespondenca me Carl Gauss, e cila u bë burim frymëzimi për veprën e Sophie Germaine, përfundoi papritmas në 1808. Gauss u emërua profesor i astronomisë në Universitetin e Göttingen, interesat e tij u zhvendosën nga teoria e numrave në matematikë më të aplikuar dhe ai ndaloi t'u përgjigjej letrave të Germaine. E privuar nga mbështetja e një mentori të tillë, Germaine humbi besimin në aftësitë e saj dhe pas një viti la studimet e saj në matematikë të pastër. Edhe pse ajo nuk ishte në gjendje të bënte përparim të mëtejshëm në vërtetimin e Teoremës së Fundit të Fermatit, ajo vazhdoi të bëhej shumë e frytshme në fushën e fizikës, një disiplinë shkencore në të cilën ajo mund të kishte arritur përsëri një pozicion të spikatur nëse jo për paragjykimet e krijimit. Arritja më e lartë e Sophie Germain në fizikë ishte "Kujtimet mbi dridhjet e pllakave elastike" - një vepër e shkëlqyer plot ide të reja që hodhën themelet e teorisë moderne të elasticitetit. Për këtë punë dhe punën e saj në Teoremën e Fundit të Fermatit, asaj iu dha medalja e Institut de France dhe u bë gruaja e parë që mori pjesë në leksione në Akademinë e Shkencave pa qenë gruaja e një anëtari të Akademisë. Nga fundi i jetës së saj, Sophie Germain rivendosi marrëdhënien e saj me Carl Gauss, i cili e bindi Universitetin e Göttingen-it t'i jepte një diplomë nderi. Fatkeqësisht, Sophie Germaine vdiq nga kanceri i gjirit para se universiteti ta nderonte atë siç e meritonte.

“Duke marrë parasysh të gjitha këto, mund të thuhet se Sophie Germain duket se ka pasur inteligjencën më të thellë se çdo grua që Franca ka prodhuar ndonjëherë. Mund të duket e çuditshme, por kur zyrtari erdhi për të lëshuar certifikatën e vdekjes së kësaj kolegeje të famshme dhe punonjëse të anëtarëve më të famshëm të Akademisë Franceze të Shkencave, në rubrikën "pushtimi" e cilësoi atë si "një grua beqare pa profesion. ", dhe jo "matematicien". Por kjo nuk është e gjitha. Gjatë ndërtimit të Kullës Eifel, inxhinierët i kushtuan vëmendje të veçantë elasticitetit të materialeve të përdorura, dhe emrat e shtatëdhjetë e dy shkencëtarëve që dhanë kontribut veçanërisht të rëndësishëm në zhvillimin e teorisë së elasticitetit u gdhendën në këtë strukturë gjigante. Por më kot do të kërkonim në këtë listë emrin e vajzës brilante të Francës, kërkimi i së cilës kontribuoi kryesisht në zhvillimin e teorisë së elasticitetit të metaleve - Sophie Germain. A u përjashtua nga kjo listë për të njëjtën arsye që Maria Agnesit nuk iu dha anëtarësimi në Akademinë Franceze – sepse ishte grua? Me sa duket ky ishte rasti. Por nëse është vërtet kështu, atëherë aq më i madh është turpi për ata që janë përgjegjës për një mosmirënjohje kaq flagrante ndaj një njeriu që pati shërbime kaq të mëdha për shkencën - një njeriu që siguroi vendin e tij të merituar në sallën e famës. (A.J. Mozans, 1913.)

Pas përparimit të bërë përmes punës së Sophie Germain, Akademia Franceze e Shkencave vendosi një sërë çmimesh, duke përfshirë një medalje ari dhe 3,000 franga, për matematikanin që më në fund mundi të zbulonte misterin e teoremës së fundit të Fermatit. Ai që ishte në gjendje të provonte teoremën do të merrte jo vetëm famë të merituar, por edhe shpërblim të rëndësishëm material. Sallonet e Parisit u mbushën me thashetheme se çfarë strategjie kishte zgjedhur ky apo ai kandidat dhe sa shpejt do të shpalleshin rezultatet e konkursit. Më në fund, më 1 mars 1847, Akademia u mblodh për mbledhjet më dramatike të saj.

Procesverbali i takimit detajon se si Gabriel Lamé, i cili shtatë vjet më parë kishte vërtetuar Teoremën e Fundit të Fermatit për n=7, doli në podium përballë matematikanëve më të famshëm të shekullit të 19-të dhe deklaroi se ishte në prag të vërtetimit të Teoremës së Fundit të Fermatit për rastin e përgjithshëm. Lame pranoi se prova e tij nuk ishte ende e plotë, por ai përshkroi metodën e tij dhe, me një farë kënaqësie, njoftoi se pas disa javësh do ta botonte të plotë provën në një revistë të botuar nga Akademia.

Publiku ngriu nga kënaqësia, por sapo Lame u largua nga podiumi, një tjetër nga matematikanët më të mirë parizianë, Augustin Louis Cauchy, kërkoi fjalë. Duke iu drejtuar anëtarëve të Akademisë, Cauchy tha se ai kishte punuar për një provë të Teoremës së Fundit të Fermat për një kohë të gjatë, bazuar në përafërsisht të njëjtat ide si Lamé, dhe gjithashtu synonte së shpejti të publikonte një provë të plotë.

Si Cauchy, ashtu edhe Lamé e kuptuan se koha ishte thelbësore. Personi i parë që paraqet një provë të plotë do të fitojë çmimin më prestigjioz dhe më të vlefshëm në matematikë. Edhe pse as Lamé dhe as Cauchy nuk kishin prova të plota, të dy rivalët ishin të etur për të mbështetur pretendimet e tyre dhe tre javë më vonë të dy dorëzuan zarfe të mbyllura në Akademi. Kështu ishte zakoni i asaj kohe. Kjo i lejoi matematikanët të pohojnë përparësinë e tyre pa zbuluar detajet e punës së tyre. Nëse më pas lindte një mosmarrëveshje në lidhje me origjinalitetin e ideve, zarfi i mbyllur përmbante provat përfundimtare të nevojshme për të vendosur përparësinë.

Në prill, kur Cauchy dhe Lamé më në fund publikuan disa detaje të provave të tyre në Proceedings of the Academy, tensionet u rritën. I gjithë komuniteti matematikor ishte i dëshpëruar për të parë provën e plotë, me shumë matematikanë që shpresonin fshehurazi se Lamé dhe jo Cauchy do të fitonte konkursin. Nga të gjitha llogaritë, Cauchy ishte një krijesë vetë-drejtë dhe një fanatik fetar. Për më tepër, ai ishte shumë i papëlqyer në mesin e kolegëve të tij. Në Akademi ai u tolerua vetëm për mendjen e tij brilante.

Më në fund, më 24 maj u bë një deklaratë që i dha fund të gjitha spekulimeve. Nuk ishte Cauchy apo Lame që iu drejtuan Akademisë, por Joseph Liouville. Ai tronditi audiencën e nderuar duke lexuar një letër nga matematikani gjerman Ernst Kummer. Kummer ishte një ekspert i njohur në teorinë e numrave, por patriotizmi i tij i zjarrtë, i ushqyer nga urrejtja e sinqertë ndaj Napoleonit, për shumë vite nuk e lejoi atë t'i përkushtohej thirrjes së tij të vërtetë. Kur Kummer ishte ende fëmijë, ushtria franceze pushtoi qytetin e tij të lindjes, Sorau, duke sjellë me vete një epidemi tifoje. Babai i Kummerit ishte mjek i qytetit dhe disa javë më vonë sëmundja e mori atë. I tronditur nga ajo që kishte ndodhur, Kummer u zotua të bënte gjithçka në fuqinë e tij për të çliruar atdheun e tij nga një pushtim i ri armik - dhe pasi u diplomua nga universiteti, ai e drejtoi intelektin e tij në zgjidhjen e problemit të ndërtimit të trajektoreve të topave. Më vonë ai mësoi ligjet e balistikës në Shkollën Ushtarake të Berlinit.

Paralelisht me karrierën e tij ushtarake, Kummer ishte i angazhuar në mënyrë aktive në kërkime në fushën e matematikës së pastër dhe ishte plotësisht i vetëdijshëm për atë që po ndodhte në Akademinë Franceze. Kummer lexoi me kujdes botimet në Proceedings of the Academy dhe analizoi pak detaje që Cauchy dhe Lama rrezikuan të zbulonin. Iu bë e qartë se të dy francezët po lëviznin drejt të njëjtit qorrsokak logjik - dhe ai i përshkroi mendimet e tij në një letër drejtuar Liouville.

Sipas Kummer, problemi kryesor ishte se provat e Cauchy dhe Lamé mbështeteshin në përdorimin e një vetie të numrave të plotë të njohur si faktorizim unik. Kjo veti do të thotë se ekziston vetëm një kombinim i mundshëm i numrave të thjeshtë, produkti i të cilëve prodhon një numër të plotë të caktuar. Për shembull, kombinimi i vetëm i numrave të thjeshtë prodhimi i të cilëve është i barabartë me 18 është:

18 = 2·3·3.

Në mënyrë të ngjashme, numrat 35, 180 dhe 106260 mund të faktorizohen në mënyrë unike në numra të thjeshtë, dhe faktorizimet e tyre janë të formës

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

Veçantia e faktorizimit u zbulua në shekullin e IV para Krishtit. e. Euklidi, i cili në Librin IX të Elementeve të tij vërtetoi se kjo është e vërtetë për të gjithë numrat natyrorë. Veçantia e faktorizimit të thjeshtë për të gjithë numrat natyrorë është një element jetik në vërtetimin e shumë teoremave të ndryshme dhe tani quhet teorema themelore e aritmetikës.

Në pamje të parë, nuk duhet të ketë asnjë arsye pse Cauchy dhe Lamé nuk mund të përdornin veçantinë e faktorizimit në arsyetimin e tyre, siç kishin bërë qindra matematikanë para tyre. Megjithatë, të dyja provat e paraqitura në Akademi përdorën numra imagjinarë. Kummer solli në vëmendjen e Liouville se megjithëse teorema unike e faktorizimit vlen për numrat e plotë, ajo nuk vlen domosdoshmërisht nëse përdoren numra imagjinarë. Sipas Kummer, ky ishte një gabim fatal.

Për shembull, nëse kufizohemi në numra të plotë, atëherë numri 12 pranon një zbërthim unik prej 2·2·3. Por sapo të lejojmë numra imagjinarë në vërtetim, numri 12 mund të faktorizohet si kjo:

12 = (1 + v–11)·(1 + v–11).

Këtu 1 + v–11 është një numër kompleks i cili është një kombinim i një numri real dhe një numri imagjinar. Megjithëse shumëzimi i numrave kompleks ndjek rregulla më komplekse sesa shumëzimi i numrave realë, ekzistenca e numrave komplekse krijon mënyra shtesë për të faktorizuar numrin 12. Këtu është një mënyrë tjetër për të zbërthyer numrin 12:

12 = (2 + v–8)·(2 + v–8).

Rrjedhimisht, kur përdorim numra imagjinarë në vërtetim, nuk po flasim për veçantinë e zbërthimit, por për zgjedhjen e një prej varianteve të faktorizimit.

Kështu, humbja e veçantisë së faktorizimit shkaktoi dëme të rënda në provat e Cauchy dhe Lame, por nuk i shkatërroi plotësisht ato. Prova supozohej të demonstronte mosekzistencën e zgjidhjeve me numra të plotë të ekuacionit x n + y n = z n, Ku n- çdo numër i plotë më i madh se 2. Siç e kemi përmendur tashmë në këtë kapitull, në realitet Teorema e fundit e Fermatit duhet të vërtetohet vetëm për vlerat kryesore n. Kummer tregoi se, duke përdorur truket shtesë, është e mundur të rivendoset veçantia e faktorizimit për vlera të caktuara n. Për shembull, problemi i unicitetit të zbërthimit mund të anashkalohet për të gjithë numrat e thjeshtë që nuk tejkalojnë n= 31 (përfshirë vetë vlerën n= 31). Por kur n= 37 të shpëtosh nga vështirësitë nuk është aq e lehtë. Ndër numrat e tjerë më pak se 100, është veçanërisht e vështirë të vërtetohet Teorema e fundit e Fermatit për n= 59 dhe n= 67. Këta të ashtuquajtur numra të thjeshtë të parregullt, të shpërndarë në pjesën tjetër të numrave, u bënë një pengesë në rrugën drejt një vërtetimi të plotë.

Kummer vuri në dukje se nuk ka metoda të njohura matematikore që do të lejonin që dikush të marrë në konsideratë të gjithë numrat e thjeshtë të parregullt me ​​një goditje. Por ai besonte se duke i përshtatur me kujdes metodat ekzistuese për secilin numër të thjeshtë të parregullt veçmas, ai do të ishte në gjendje t'i trajtonte ato "një nga një". Zhvillimi i metodave të tilla të bëra me porosi do të ishte i ngadalshëm dhe jashtëzakonisht i vështirë, dhe për t'i bërë gjërat më keq, numri i numrave të parë të parregullt do të ishte i pafund. Shqyrtimi i numrave të thjeshtë të parregullt një nga një nga i gjithë komuniteti matematikor botëror do të shtrihej deri në fund të shekujve.

Letra e Kummer-it pati një efekt mahnitës te Lame. Vini re supozimin unik të faktorizimit! Në rastin më të mirë, kjo mund të quhet optimizëm i tepruar, në rastin më të keq, marrëzi e pafalshme. Lame e kuptoi se nëse nuk do të kishte kërkuar të mbante sekret detajet e punës së tij, do të kishte mundur ta zbulonte boshllëkun shumë më herët. Në një letër drejtuar kolegut të tij Dirichlet në Berlin, ai pranoi: "Po të kishit qenë ju në Paris, ose unë në Berlin, e gjithë kjo nuk do të kishte ndodhur kurrë". Nëse Lamé ndihej i poshtëruar, Cauchy refuzoi të pranonte humbjen. Sipas mendimit të tij, në krahasim me provën e Lame, prova e tij mbështetej më pak në veçantinë e faktorizimit, dhe derisa analiza e Kummerit të verifikohet plotësisht, ekziston mundësia që një gabim të ketë hyrë diku në arsyetimin e matematikanit gjerman. Për disa javë, Cauchy vazhdoi të botonte artikull pas artikulli mbi vërtetimin e Teoremës së Fundit të Fermatit, por në fund të verës edhe ai kishte heshtur.

Kummer tregoi se një provë e plotë e Teoremës së Fundit të Fermatit ishte përtej aftësive të qasjeve ekzistuese matematikore. Ishte një shembull i shkëlqyer i logjikës dhe në të njëjtën kohë një goditje monstruoze për një brez të tërë matematikanësh që kishin shpresuar se do të ishin në gjendje të zgjidhnin problemin matematikor më të vështirë në botë.

Përmbledhja u përmblodh nga Cauchy, i cili në 1857 shkroi në raportin përfundimtar të paraqitur në Akademinë në lidhje me çmimin e dhënë për vërtetimin e Teoremës së Fundit të Fermatit: "Raport mbi konkursin për çmimin në shkencat matematikore. Konkursi ishte planifikuar për 1853 dhe më pas u zgjat deri në 1856. Sekretarit iu paraqitën njëmbëdhjetë kujtime. Në asnjë prej tyre pyetja e shtruar nuk u zgjidh. Kështu, pavarësisht se është shtruar shumë herë, pyetja mbetet se ku e la zoti Kummer. Megjithatë, shkencat matematikore janë shpërblyer nga puna e bërë nga gjeometritë në përpjekjet e tyre për të zgjidhur çështjen, veçanërisht nga z. Kummer, dhe anëtarët e Komisionit konsiderojnë se Akademia do të kishte marrë një vendim të mjaftueshëm dhe të dobishëm nëse, të tërhiqej Në pyetjen nga konkursi, ajo i kishte dhënë një medalje zotit Kummer për studimet e tij të shkëlqyera mbi numrat kompleksë që përbëhen nga rrënjët e unitetit dhe numrat e plotë.

Për më shumë se dy shekuj, çdo përpjekje për të rizbuluar vërtetimin e Teoremës së Fundit të Fermatit përfundoi në dështim. Në rininë e tij, Andrew Wiles studioi veprat e Euler, Germaine, Cauchy, Lamé dhe, më në fund, Kummer. Wiles shpresonte se mund të mësonte nga gabimet e bëra nga paraardhësit e tij të mëdhenj, por në kohën kur u bë universitar në Universitetin e Oksfordit, i njëjti mur guri që Kummer i kishte qëndruar në rrugën e tij i qëndroi në rrugën e tij.

Disa nga bashkëkohësit e Wiles filluan të dyshonin se problemi i Fermat mund të ishte i pazgjidhshëm. Është e mundur që Fermat të ketë gabuar, dhe kështu arsyeja pse askush nuk ka qenë në gjendje të rindërtojë provën e Fermatit është thjesht se një provë e tillë nuk ka ekzistuar kurrë. Wiles u frymëzua nga fakti se në të kaluarën, pas përpjekjeve të vazhdueshme ndër shekuj, për disa kuptime n Më në fund u zbulua një provë e Teoremës së Fundit të Fermatit. Dhe në disa nga këto raste, idetë e suksesshme që zgjidhën problemin nuk u mbështetën në përparimet e reja në matematikë; përkundrazi, ishin prova që mund të ishin zbuluar shumë kohë më parë.

Një shembull i një problemi që i ka rezistuar me kokëfortësi zgjidhjes për dekada është hipoteza e pikës. Ai ka të bëjë me disa pika, secila prej të cilave është e lidhur me pika të tjera me vija të drejta, siç tregohet në Fig. 13. Hipoteza thotë se është e pamundur të vizatohet një diagram i këtij lloji në mënyrë që të paktën tre pika të shtrihen në secilën linjë (ne përjashtojmë nga shqyrtimi një diagram në të cilin të gjitha pikat shtrihen në të njëjtën vijë). Duke eksperimentuar me disa diagrame, ne mund të verifikojmë që hipoteza e pikës duket të jetë e saktë. Në Fig. 13 A pesë pika janë të lidhura me gjashtë vija të drejta. Nuk ka tre pika në katër nga këto rreshta, dhe për këtë arsye është e qartë se kjo renditje pikash nuk plotëson kërkesën e problemit, sipas të cilit çdo rresht ka tre pika.

Oriz. 13. Në këto diagrame, çdo pikë lidhet me secilën nga pikat e tjera me vija të drejta. A është e mundur të ndërtohet një diagram në të cilin çdo rresht kalon nga të paktën tre pika?

Duke shtuar një pikë dhe një vijë që kalon nëpër të, ne e reduktuam numrin e rreshtave që nuk përmbajnë tre pika në tre. Por reduktimi i mëtejshëm i diagramit në kushtet e hipotezës (një rirregullim i tillë i diagramit, si rezultat i të cilit do të kishte tre pika në secilën vijë të drejtë), me sa duket është i pamundur. Natyrisht, kjo nuk dëshmon se një diagram i tillë nuk ekziston.

Gjenerata të tëra matematikanësh u përpoqën të gjenin një provë të hipotezës në dukje të thjeshtë rreth pikave - dhe dështuan. Kjo hipotezë është edhe më irrituese, sepse kur u gjet përfundimisht zgjidhja, doli se kërkonte vetëm njohuri minimale të matematikës dhe një kthesë të jashtëzakonshme në arsyetim. Ecuria e provës përshkruhet në Shtojcën 6.

Është shumë e mundur që të gjitha metodat e nevojshme për të vërtetuar Teoremën e Fundit të Fermatit ishin tashmë në dispozicion të matematikanëve dhe se i vetmi përbërës që mungonte ishte një truk i zgjuar. Wiles nuk do të dorëzohej: ëndrra e tij e fëmijërisë për të vërtetuar Teoremën e Fundit të Fermat-it u shndërrua në një pasion të thellë dhe serioz. Pasi mësoi gjithçka që duhej të dinte për matematikën e shekullit të 19-të, Wiles vendosi të adoptonte metoda të shekullit të 20-të.

Shënime:

M'u kujtua fraza e Titchmarsh: "Kohët e fundit takova një njeri që më tha se nuk beson as në ekzistencën e minus një, pasi kjo nënkupton ekzistencën e rrënjës katrore të saj :) - E.G.A.

Unë do t'ju jap një ilustrim të një klienti të ri që shkon në hotelin e Gilbert. Është marrë nga libri "Proofs from THE BOOK", botuar nga Springer në 1998 dhe ribotuar në 2001. Autorë: Martin Aigner dhe Gunter M. Ziegler. Një citim i vogël nga parathënia e autorëve për këtë libër: "Paul Erdos i pëlqente të fliste për Librin, në të cilin Zoti ruan provat e përsosura për teoremat matematikore, duke ndjekur thënien e G. H. Hardy se nuk ka vend të përhershëm për matematikën e shëmtuar. Erdos tha gjithashtu se ju nuk duhet të besoni në Zot, por, si matematikan, duhet të besoni në Librin. Lexuesit do të ndajnë entuziazmin tonë për idetë e shkëlqyera, njohuritë e zgjuara dhe vëzhgimet e mrekullueshme. Ky ilustrim hap kapitullin “Kompletet, funksionet dhe hipoteza e vazhdimësisë”. - E.G.A.

Hmm... Kam lexuar diku se ka paguar me jetë kur bërtiti: “Kujdes! Mos shkel mbi vizatimet e mia!”, por ushtari romak të cilit iu drejtua kjo pasthirrmë nuk i kushtoi rëndësi faktit se përballë tij ishte një plak i paarmatosur. :(Dhe në librin “Prova nga LIBRI” që përmenda më herët, kapitulli “Teoria e numrave” i paraprin një vizatim në të cilin nuk ka shtizë. Me sa duket, artisti gjithashtu nuk i dinte detajet e vdekjes së Arkimedit. - E.G.A.

Rreth e rrotull

Para së gjithash, për hir të plotësisë, do të doja të paraqes këtu provën e teoremës së Pitagorës, e cila, për mendimin tim, është më elegantja dhe më e dukshme. Fotografia e mësipërme tregon dy katrorë identikë: majtas dhe djathtas. Nga figura shihet se në të majtë dhe në të djathtë sipërfaqet e figurave të hijezuara janë të barabarta, pasi në secilin prej katrorëve të mëdhenj ka 4 trekëndësha identikë kënddrejtë të hijezuar. Kjo do të thotë që zonat e pahijshme (të bardha) majtas dhe djathtas janë gjithashtu të barabarta. Vëmë re se në rastin e parë sipërfaqja e figurës së pahijshme është e barabartë me , dhe në rastin e dytë sipërfaqja e zonës së pahijshme është e barabartë me . Kështu,. Teorema është vërtetuar!

Si t'i telefononi këta numra? Nuk mund t'i quash trekëndësha, sepse katër numra nuk mund të formojnë një trekëndësh. Dhe këtu! Si një rrufe në qiell

Meqenëse ka katërfisha të tillë numrash, do të thotë se duhet të ketë një objekt gjeometrik me të njëjtat veti të pasqyruara në këta numra!

Tani mbetet vetëm të zgjidhni një objekt gjeometrik për këtë pronë dhe gjithçka do të bjerë në vend! Sigurisht, supozimi ishte thjesht hipotetik dhe nuk kishte asnjë bazë në mbështetje. Por çfarë nëse është kështu!

Përzgjedhja e objekteve ka filluar. Yjet, shumëkëndëshat, të rregullt, të parregullt, kënd të drejtë, e kështu me radhë e kështu me radhë. Përsëri asgjë nuk përshtatet. Çfarë duhet bërë? Dhe në këtë moment Sherlock merr epërsinë e tij të dytë.

Duhet të rrisim madhësinë! Meqenëse tre korrespondojnë me një trekëndësh në një plan, atëherë katër korrespondojnë me diçka tre-dimensionale!

Oh jo! Shumë opsione përsëri! Dhe në tre dimensione ka shumë, shumë më tepër trupa gjeometrikë të ndryshëm. Mundohuni t'i kaloni të gjitha! Por nuk është gjithçka keq. Ekziston edhe një kënd i drejtë dhe të dhëna të tjera! Çfarë kemi ne? Katër numra egjiptianë (le të jenë egjiptianë, duhet të quhen diçka), një kënd (ose kënde) të drejtë dhe ndonjë objekt tredimensional. Zbritja funksionoi! Dhe... Besoj se lexuesit mendjemprehtë tashmë e kanë kuptuar se po flasim për piramida në të cilat, në një nga kulmet, të tre këndet janë të drejta. Ju madje mund t'i telefononi ato piramidat drejtkëndore të ngjashme me një trekëndësh kënddrejtë.

Teorema e re

Fotografia tregon një piramidë me kulmin e saj në origjinën e koordinatave drejtkëndore (piramida duket se është e shtrirë në anën e saj). Piramida formohet nga tre vektorë pingul reciprokisht të vizatuar nga origjina përgjatë boshteve koordinative. Kjo do të thotë, secila faqe anësore e piramidës është një trekëndësh kënddrejtë me një kënd të drejtë në origjinë. Skajet e vektorëve përcaktojnë rrafshin e prerjes dhe formojnë faqen bazë të piramidës.

Teorema

Le të jetë një piramidë drejtkëndore e formuar nga tre vektorë pingul reciprokisht, zonat e të cilave janë të barabarta me - , dhe sipërfaqja e faqes së hipotenuzës është - . Pastaj

Formulimi alternativ: Për një piramidë tetraedrale, në të cilën në njërën nga kulmet të gjitha këndet e rrafshët janë të drejta, shuma e katrorëve të sipërfaqeve të faqeve anësore është e barabartë me katrorin e sipërfaqes së bazës.

Natyrisht, nëse teorema e zakonshme e Pitagorës formulohet për gjatësitë e brinjëve të trekëndëshave, atëherë teorema jonë formulohet për sipërfaqet e brinjëve të piramidës. Vërtetimi i kësaj teoreme në tre dimensione është shumë i lehtë nëse dini pak algjebër vektoriale.

Dëshmi

Le të shprehim sipërfaqet në terma të gjatësisë së vektorëve.

Ku .

Le të imagjinojmë zonën si gjysmën e sipërfaqes së një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët dhe

Siç dihet, produkti vektorial i dy vektorëve është një vektor, gjatësia e të cilit numerikisht është e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit të ndërtuar mbi këta vektorë.
Kjo është arsyeja pse

Kështu,

Q.E.D!

Sigurisht, si një person i angazhuar profesionalisht në kërkime, kjo ka ndodhur tashmë në jetën time, më shumë se një herë. Por ky moment ishte më i ndrituri dhe më i paharrueshëm. Kam përjetuar gamën e plotë të ndjenjave, emocioneve dhe përvojave të një zbuluesi. Që nga lindja e një mendimi, kristalizimi i një ideje, zbulimi i provave - deri në keqkuptimin e plotë dhe madje edhe refuzimin që idetë e mia hasën midis miqve, të njohurve të mi dhe, siç më dukej atëherë, gjithë botës. Ishte unike! Ndihesha sikur isha në vendin e Galileos, Kopernikut, Njutonit, Shrodingerit, Bohrit, Ajnshtajnit dhe shumë zbuluesve të tjerë.

Pasthënie

Në jetë, gjithçka doli të ishte shumë më e thjeshtë dhe më prozaike. U vonova... Por sa shumë! Vetëm 18 vjeç! Nën torturat e tmerrshme të zgjatura dhe jo hera e parë, Google më pranoi se kjo teoremë u botua në 1996!

Ky artikull u botua nga Texas Tech University Press. Autorët, matematikanë profesionistë, prezantuan terminologjinë (e cila, meqë ra fjala, përkoi kryesisht me timen) dhe gjithashtu vërtetuan një teoremë të përgjithësuar që është e vlefshme për një hapësirë ​​të çdo dimensioni më të madh se një. Çfarë ndodh në dimensione më të larta se 3? Gjithçka është shumë e thjeshtë: në vend të fytyrave dhe zonave do të ketë hipersipërfaqe dhe vëllime shumëdimensionale. Dhe deklarata, natyrisht, do të mbetet e njëjtë: shuma e katrorëve të vëllimeve të faqeve anësore është e barabartë me katrorin e vëllimit të bazës - vetëm numri i fytyrave do të jetë më i madh, dhe vëllimi i secilës prej tyre do të jetë i barabartë me gjysmën e prodhimit të vektorëve gjenerues. Është pothuajse e pamundur të imagjinohet! Vetëm, siç thonë filozofët, mund të mendohet!

Çuditërisht, kur mësova se një teoremë e tillë dihej tashmë, nuk u mërzita aspak. Diku në thellësi të shpirtit tim, dyshova se ishte shumë e mundur që të mos isha i pari dhe e kuptova që duhej të isha gjithmonë i përgatitur për këtë. Por ajo përvojë emocionale që mora më ndezi një shkëndijë studiuesi, e cila, jam i sigurt, nuk do të shuhet kurrë tani!

P.S.

Një lexues erudit dërgoi një lidhje në komente
Teorema e De Gois

Fragment nga Wikipedia

Në 1783, teorema iu prezantua Akademisë së Shkencave të Parisit nga matematikani francez J.-P. de Gois, por ishte e njohur më parë për René Descartes dhe para tij Johann Fulgaber, i cili ishte ndoshta i pari që e zbuloi atë në 1622. Në një formë më të përgjithshme, teorema u formulua nga Charles Tinsault (francez) në një raport drejtuar Akademisë së Shkencave të Parisit në 1774.

Pra nuk u vonova 18 vjet, por të paktën nja dy shekuj!

Burimet

Lexuesit dhanë disa lidhje të dobishme në komente. Këtu janë këto dhe disa lidhje të tjera: