Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike
Shënim. Kjo tabelë e vlerave të funksionit trigonometrik përdor shenjën √ për të përfaqësuar rrënjën katrore. Për të treguar një fraksion, përdorni simbolin "/".
Shihni gjithashtu materiale të dobishme:
Për përcaktimi i vlerës së një funksioni trigonometrik, gjeni atë në kryqëzimin e drejtëzës që tregon funksionin trigonometrik. Për shembull, sinusi 30 gradë - ne kërkojmë kolonën me titullin sin (sinus) dhe gjejmë kryqëzimin e kësaj kolone tabele me rreshtin "30 gradë", në kryqëzimin e tyre lexojmë rezultatin - një gjysmë. Në mënyrë të ngjashme ne gjejmë kosinusi 60 gradë, sinusi 60 gradë (edhe një herë, në kryqëzimin e kolonës sin dhe vijës 60 gradë gjejmë vlerën sin 60 = √3/2), etj. Vlerat e sinuseve, kosinuseve dhe tangjentave të këndeve të tjera "të njohura" gjenden në të njëjtën mënyrë.
Sinus pi, kosinus pi, tangjente pi dhe kënde të tjera në radiane
Tabela e mëposhtme e kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve është gjithashtu e përshtatshme për të gjetur vlerën e funksioneve trigonometrike, argumenti i të cilëve është jepet në radianë. Për ta bërë këtë, përdorni kolonën e dytë të vlerave të këndit. Falë kësaj, ju mund të konvertoni vlerën e këndeve popullore nga gradë në radiane. Për shembull, le të gjejmë këndin 60 gradë në rreshtin e parë dhe të lexojmë vlerën e tij në radianë nën të. 60 gradë është e barabartë me π/3 radian.
Numri pi shpreh në mënyrë të paqartë varësinë e perimetrit nga masa e shkallës së këndit. Kështu, radianët pi janë të barabartë me 180 gradë.
Çdo numër i shprehur në terma pi (radianë) mund të shndërrohet lehtësisht në gradë duke zëvendësuar pi (π) me 180.
Shembuj:
1. Sine pi.
sin π = mëkat 180 = 0
pra, sinusi i pi është i njëjtë me sinusin 180 gradë dhe është i barabartë me zero.
2. Kosinusi pi.
cos π = cos 180 = -1
pra, kosinusi i pi është i njëjtë me kosinusin 180 gradë dhe është i barabartë me minus një.
3. Tangjenta pi
tg π = tg 180 = 0
pra, tangjentja pi është e njëjtë me tangjenten 180 gradë dhe është e barabartë me zero.
Tabela e vlerave të sinusit, kosinusit, tangjentes për këndet 0 - 360 gradë (vlerat e zakonshme)
|
vlera e këndit α (gradë) |
vlera e këndit α (përmes pi) |
mëkat (sinus) |
cos (kosinus) |
tg (tangjente) |
ctg (kotangjente) |
sek (sekent) |
cosec (bashkërenditëse) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Nëse në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike tregohet një vizë në vend të vlerës së funksionit (tangjente (tg) 90 gradë, kotangjente (ctg) 180 gradë), atëherë për një vlerë të caktuar të masës së shkallës së këndit funksioni nuk ka një vlerë specifike. Nëse nuk ka vizë, qeliza është bosh, që do të thotë se nuk e kemi futur ende vlerën e kërkuar. Ne jemi të interesuar se për çfarë pyetjesh na vijnë përdoruesit dhe plotësojnë tabelën me vlera të reja, pavarësisht nga fakti se të dhënat aktuale për vlerat e kosinuseve, sinuseve dhe tangjenteve të vlerave më të zakonshme të këndit janë mjaft të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën problemet.
Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike sin, cos, tg për këndet më të njohura
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 gradë
(vlerat numerike "sipas tabelave Bradis")
| vlera e këndit α (gradë) | vlera e këndit α në radiane | mëkat (sinus) | cos (kosinus) | tg (tangjente) | ctg (kotangjent) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Trigonometria, si shkencë, e ka origjinën në Lindjen e Lashtë. Raportet e para trigonometrike u përftuan nga astronomët për të krijuar një kalendar dhe orientim të saktë nga yjet. Këto llogaritje kanë të bëjnë me trigonometrinë sferike, ndërsa në kursin e shkollës studiohen raporti i brinjëve dhe këndeve të një trekëndëshi të rrafshët.
Trigonometria është një degë e matematikës që merret me vetitë e funksioneve trigonometrike dhe marrëdhëniet ndërmjet brinjëve dhe këndeve të trekëndëshave.
Gjatë lulëzimit të kulturës dhe shkencës në mijëvjeçarin e I pas Krishtit, njohuritë u përhapën nga Lindja e Lashtë në Greqi. Por zbulimet kryesore të trigonometrisë janë meritë e njerëzve të Kalifatit Arab. Në veçanti, shkencëtari turkmen al-Marazwi prezantoi funksione të tilla si tangjentja dhe kotangjentja, dhe përpiloi tabelat e para të vlerave për sinuset, tangjentet dhe kotangjentet. Konceptet e sinusit dhe kosinusit u prezantuan nga shkencëtarët indianë. Trigonometria mori shumë vëmendje në veprat e figurave të tilla të mëdha të antikitetit si Euklidi, Arkimedi dhe Eratostheni.
Madhësitë themelore të trigonometrisë
Funksionet bazë trigonometrike të një argumenti numerik janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja. Secila prej tyre ka grafikun e vet: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent.
Formulat për llogaritjen e vlerave të këtyre sasive bazohen në teoremën e Pitagorës. Është më mirë e njohur për nxënësit e shkollës në formulimin: "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet", pasi prova është dhënë duke përdorur shembullin e një trekëndëshi kënddrejtë izosceles.
Sinus, kosinus dhe marrëdhënie të tjera vendosin marrëdhëniet midis këndeve akute dhe brinjëve të çdo trekëndëshi kënddrejtë. Le të paraqesim formulat për llogaritjen e këtyre sasive për këndin A dhe të gjurmojmë marrëdhëniet midis funksioneve trigonometrike:
Siç mund ta shihni, tg dhe ctg janë funksione të anasjellta. Nëse e imagjinojmë këmbën a si produkt të mëkatit A dhe hipotenuzës c, dhe këmbën b si cos A * c, marrim formulat e mëposhtme për tangjenten dhe kotangjenten:
Rrethi trigonometrik
Grafikisht, marrëdhënia ndërmjet sasive të përmendura mund të paraqitet si më poshtë:
Rrethi, në këtë rast, përfaqëson të gjitha vlerat e mundshme të këndit α - nga 0° në 360°. Siç shihet nga figura, çdo funksion merr një vlerë negative ose pozitive në varësi të këndit. Për shembull, sin α do të ketë një shenjë "+" nëse α i përket çerekut 1 dhe 2 të rrethit, domethënë është në intervalin nga 0° deri në 180°. Për α nga 180° deri në 360° (tremujori III dhe IV), sin α mund të jetë vetëm një vlerë negative.
Le të përpiqemi të ndërtojmë tabela trigonometrike për kënde specifike dhe të zbulojmë kuptimin e sasive.
Vlerat e α të barabarta me 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e kështu me radhë quhen raste të veçanta. Vlerat e funksioneve trigonometrike për to llogariten dhe paraqiten në formën e tabelave të veçanta.
Këto kënde nuk janë zgjedhur rastësisht. Emërtimi π në tabela është për radianët. Rad është këndi në të cilin gjatësia e harkut të rrethit korrespondon me rrezen e tij. Kjo vlerë u prezantua për të krijuar një varësi universale kur llogaritet në radianë, gjatësia aktuale e rrezes në cm nuk ka rëndësi.
Këndet në tabela për funksionet trigonometrike korrespondojnë me vlerat e radianit:
Pra, nuk është e vështirë të merret me mend se 2π është një rreth i plotë ose 360°.
Vetitë e funksioneve trigonometrike: sinus dhe kosinus
Për të shqyrtuar dhe krahasuar vetitë themelore të sinusit dhe kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit, është e nevojshme të vizatohen funksionet e tyre. Kjo mund të bëhet në formën e një kurbë të vendosur në një sistem koordinativ dy-dimensional.
Konsideroni tabelën krahasuese të vetive për sinusin dhe kosinusin:
| Vala sinusale | Kosinusi |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, për x = πk, ku k ϵ Z | cos x = 0, për x = π/2 + πk, ku k ϵ Z |
| sin x = 1, për x = π/2 + 2πk, ku k ε Z | cos x = 1, në x = 2πk, ku k ε Z |
| sin x = - 1, në x = 3π/2 + 2πk, ku k ε Z | cos x = - 1, për x = π + 2πk, ku k ε Z |
| sin (-x) = - sin x, pra funksioni është tek | cos (-x) = cos x, pra funksioni është çift |
| funksioni është periodik, periudha më e vogël është 2π | |
| sin x › 0, me x që i përket çerekut 1 dhe 2 ose nga 0° deri në 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, me x që i përket lagjeve I dhe IV ose nga 270° në 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, me x që i përket tremujorit të tretë dhe të katërt ose nga 180° në 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, me x që i përket tremujorit të dytë dhe të tretë ose nga 90° në 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| rritet në intervalin [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | rritet në intervalin [-π + 2πk, 2πk] |
| zvogëlohet në intervale [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | zvogëlohet në intervale |
| derivat (sin x)’ = cos x | derivat (cos x)’ = - sin x |
Përcaktimi nëse një funksion është çift apo jo është shumë e thjeshtë. Mjafton të imagjinoni një rreth trigonometrik me shenjat e sasive trigonometrike dhe të "palosni" mendërisht grafikun në lidhje me boshtin OX. Nëse shenjat përkojnë, funksioni është çift, përndryshe është tek.
Futja e radianeve dhe renditja e vetive themelore të valëve sinus dhe kosinus na lejojnë të paraqesim modelin e mëposhtëm:
Është shumë e lehtë të verifikosh nëse formula është e saktë. Për shembull, për x = π/2, sinusi është 1, siç është kosinusi i x = 0. Kontrolli mund të bëhet duke konsultuar tabelat ose duke gjurmuar kurbat e funksionit për vlerat e dhëna.
Vetitë e tangjentoideve dhe kotangjentoideve
Grafikët e funksioneve tangjente dhe kotangjente ndryshojnë dukshëm nga funksionet sinus dhe kosinus. Vlerat tg dhe ctg janë reciproke të njëra-tjetrës.
- Y = tan x.
- Tangjentja tenton në vlerat e y në x = π/2 + πk, por nuk i arrin kurrë ato.
- Periudha pozitive më e vogël e një tangentoidi është π.
- Tg (- x) = - tg x, pra funksioni është tek.
- Tg x = 0, për x = πk.
- Funksioni po rritet.
- Tg x › 0, për x ε (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, për x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivati (tg x)' = 1/cos 2 x.
Merrni parasysh paraqitjen grafike të kotangjentoidit më poshtë në tekst.
Karakteristikat kryesore të kotangjentoideve:
- Y = ahur x.
- Ndryshe nga funksionet e sinusit dhe kosinusit, në tangentoidin Y mund të marrë vlerat e grupit të të gjithë numrave realë.
- Kotangjentoidi tenton në vlerat e y në x = πk, por nuk i arrin kurrë ato.
- Periudha më e vogël pozitive e një kotangjentoidi është π.
- Ctg (- x) = - ctg x, pra funksioni është tek.
- Ctg x = 0, për x = π/2 + πk.
- Funksioni është në rënie.
- Ctg x › 0, për x ε (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, për x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivati (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Saktë
Koordinatat x pikat që shtrihen në rreth janë të barabarta me cos(θ) dhe koordinatat y korrespondojnë me sin(θ), ku θ është madhësia e këndit.
- Nëse e keni të vështirë ta mbani mend këtë rregull, thjesht mbani mend se në çift (cos; sin) "sinusi vjen i fundit".
- Ky rregull mund të nxirret duke marrë parasysh trekëndëshat kënddrejtë dhe përkufizimin e këtyre funksioneve trigonometrike (sinusi i një këndi është i barabartë me raportin e gjatësisë së anës së kundërt dhe kosinusi i anës ngjitur me hipotenuzën).
Shkruani koordinatat e katër pikave në rreth. Një "rreth njësi" është një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me një. Përdoreni këtë për të përcaktuar koordinatat x Dhe y në katër pika të kryqëzimit të boshteve koordinative me rrethin. Më lart, për qartësi, ne i caktuam këto pika si "lindje", "veri", "perëndim" dhe "jug", megjithëse ato nuk kanë emra të përcaktuar.
- "Lindje" korrespondon me pikën me koordinata (1; 0) .
- "Veriu" korrespondon me pikën me koordinata (0; 1) .
- "Perëndimi" korrespondon me pikën me koordinata (-1; 0) .
- "Jug" korrespondon me pikën me koordinata (0; -1) .
- Kjo është e ngjashme me një grafik të rregullt, kështu që nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto vlera, thjesht mbani mend parimin bazë.
Mbani mend koordinatat e pikave në kuadrantin e parë. Kuadranti i parë ndodhet në pjesën e sipërme të djathtë të rrethit, ku janë koordinatat x Dhe y marrin vlera pozitive. Këto janë të vetmet koordinata që duhet të mbani mend:
- pika π / 6 ka koordinata () ;
- pika π / 4 ka koordinata () ;
- pika π / 3 ka koordinata () ;
- Vini re se numëruesi merr vetëm tre vlera. Nëse lëvizni në një drejtim pozitiv (nga e majta në të djathtë përgjatë boshtit x dhe nga poshtë lart përgjatë boshtit y), numëruesi merr vlerat 1 → √2 → √3.
Vizatoni vija të drejta dhe përcaktoni koordinatat e pikave të kryqëzimit të tyre me rrethin. Nëse vizatoni vija të drejta horizontale dhe vertikale nga pikat e një kuadranti, pikat e dyta të kryqëzimit të këtyre vijave me rrethin do të kenë koordinatat x Dhe y me të njëjtat vlera absolute, por me shenja të ndryshme. Me fjalë të tjera, mund të vizatoni vija horizontale dhe vertikale nga pikat e kuadrantit të parë dhe të etiketoni pikat e kryqëzimit me rrethin me të njëjtat koordinata, por në të njëjtën kohë të lini hapësirë në të majtë për shenjën e saktë ("+" ose "-").
- Për shembull, mund të vizatoni një vijë horizontale midis pikave π/3 dhe 2π/3. Meqenëse pika e parë ka koordinata ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), koordinatat e pikës së dytë do të jenë (? 1 2, ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), ku në vend të shenjës "+" ose "-" ka një pikëpyetje.
- Përdorni metodën më të thjeshtë: kushtojini vëmendje emëruesve të koordinatave të pikës në radianë. Të gjitha pikat me emërues 3 kanë të njëjtat vlera të koordinatave absolute. E njëjta gjë vlen edhe për pikat me emërues 4 dhe 6.
Për të përcaktuar shenjën e koordinatave, përdorni rregullat e simetrisë. Ka disa mënyra për të përcaktuar se ku të vendosni shenjën "-":
- Mos harroni rregullat themelore për grafikët e rregullt. Boshti x negative në të majtë dhe pozitive në të djathtë. Boshti y negative poshtë dhe pozitive lart;
- filloni me kuadrantin e parë dhe vizatoni vija në pika të tjera. Nëse vija e kalon boshtin y, koordinoj x do të ndryshojë shenjën e saj. Nëse vija e kalon boshtin x, shenja e koordinatës do të ndryshojë y;
- mos harroni se në kuadrantin e parë të gjitha funksionet janë pozitive, në kuadrantin e dytë vetëm sinusi është pozitiv, në kuadrantin e tretë vetëm tangjentja është pozitive dhe në kuadrantin e katërt vetëm kosinusi është pozitiv;
- Cilado metodë që përdorni, duhet të merrni (+,+) në kuadrantin e parë, (-,+) në të dytin, (-,-) në të tretën dhe (+,-) në të katërtin.
Kontrolloni nëse keni bërë një gabim. Më poshtë është një listë e plotë e koordinatave të pikave "të veçanta" (me përjashtim të katër pikave në boshtet e koordinatave), nëse lëvizni përgjatë rrethit të njësisë në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Mos harroni se për të përcaktuar të gjitha këto vlera, mjafton të mbani mend koordinatat e pikave vetëm në kuadrantin e parë:
- kuadranti i pare: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- kuadranti i dyte: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- kuadranti i trete: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- kuadranti i katërt: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Ky artikull përmban tabelat e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve. Së pari, ne do të ofrojmë një tabelë të vlerave bazë të funksioneve trigonometrike, domethënë një tabelë të sinuseve, kosinuseve, tangjenteve dhe kotangjenteve të këndeve 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 gradë ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Pas kësaj, ne do të japim një tabelë të sinuseve dhe kosinuseve, si dhe një tabelë tangjentesh dhe kotangjentesh nga V. M. Bradis, dhe do të tregojmë se si t'i përdorim këto tabela kur gjejmë vlerat e funksioneve trigonometrike.
Navigimi i faqes.
Tabela e sinuseve, kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve për këndet 0, 30, 45, 60, 90, ... gradë
Referencat.
- Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. mesatare shkolla/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Arsimi, 1990. - 272 f.: ISBN 5-09-002727
- Bashmakov M. I. Algjebra dhe fillimet e analizës: Teksti mësimor. për klasat 10-11. mesatare shkolla - botimi i 3-të. - M.: Arsimi, 1993. - 351 f.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ISBN 5-09-013651.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.
- Bradis V. M. Tabelat katërshifrore të matematikës: Për arsimin e përgjithshëm. teksti shkollor ndërmarrjet. - Ed. 2. - M.: Bustard, 1999.- 96 f.: ill. ISBN 5-7107-2667-2
