Modulo e teorisë së krahasimit të numrave. Krahasimi i modulit të një numri natyror

Nëse dy numra të plotë a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) kur ndahet me m (\displaystyle m) japin mbetje identike, quhen të krahasueshme(ose po aq të mbetura) numri i modulit m (\displaystyle m) . Model:/kornizë Krahasueshmëria e numrave a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) shkruar si formulë ( krahasimet):

Numri m (\displaystyle m) thirrur modul krahasimet.

Përkufizimi krahasueshmërisë numrat a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) modul m (\displaystyle m)është e barabartë me ndonjë nga pohimet e mëposhtme:

Dëshmi

Përveç vetive të mësipërme, deklaratat e mëposhtme janë të vlefshme për krahasime:

Dëshmi

(\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)

a − b = m t . (\displaystyle a-b=mt.) Sepse m (\displaystyle m) d (\displaystyle d)

(\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)

a − b = m t = c d t = q d , (q = c t) (\displaystyle a-b=mt=cdt=qd,(q=ct))

Dëshmi

(\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)

a ≡ b (mod m i) , i = 1 , 2 , . ..

a − b (\displaystyle a-b)

Pasoja:

Në mënyrë për numrat ishin të krahasueshme në modul Dhe , zbërthimi kanonik i të cilit në faktorët kryesorë ka formën m = ∏ i = 1 d p i α i , (\displaystyle m=\prod _(i=1)^(d)p_(i)^(\alfa _(i)),) m (\displaystyle m) të nevojshme dhe të mjaftueshme për të a ≡ b (mod p i α i) , i = 1 , 2 , … , d (\displaystyle a\equiv b(\pmod (p_(i)^(\alfa _(i)))),\quad i= 1,2,\pika ,d) Dhe Operacione me krahasime Krahasimet në lidhje me të njëjtin modul kanë shumë nga vetitë e barazive të zakonshme. Për shembull, ato mund të shtohen, zbriten dhe shumëzohen: nëse numrat a 1, a 2,. Dhe b 1 ⋅ b 2 ⋅ .. m (\displaystyle m).

⋅ b n (\stil ekrani b_(1)\cdot b_(2)\cdot ...\cdot b_(n)) a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) janë gjithashtu të krahasueshme në modul m (\displaystyle m). Megjithatë, ju nuk mund t'i kryeni këto operacione me krahasime nëse modulet e tyre nuk përputhen. Më vete, duhet të theksohet se i njëjti numër mund të shtohet në të dy pjesët e krahasimit, dhe gjithashtu mund të transferoni një numër nga një pjesë e krahasimit në tjetrin me një ndryshim të shenjës. Nëse numrat Dhe të krahasueshme në modul. m (\displaystyle m), pastaj gradat e tyre a k (\displaystyle a^(k)) .

b k (\displaystyle b^(k)) a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) nën çdo natyrore m (\displaystyle m) k (\displaystyle k) Në cilëndo pjesë të krahasimit mund të shtoni një shumëfish të plotë të modulit, domethënë nëse numrat modulo i krahasueshëm disa numra , pastaj modul m (\displaystyle m) (a + t 1 (\displaystyle a+t_(1)) Dhe të krahasueshme me b + t 2 (\stil ekrani b+t_(2)) a (\displaystyle a) Dhe b (\displaystyle b) t 1 (\displaystyle t_(1)) m (\displaystyle m) t 2 (\displaystyle t_(2)) - numra të plotë arbitrarë, gjithashtu, të dy pjesët e krahasimit dhe moduli mund të shumëzohen me të njëjtin numër, domethënë nëse numrat). Dhe modulo i krahasueshëm disa numra të plotë, pastaj numrat a q (\displaystyle aq) b q (\displaystyle bq) numrat janë modul të krahasueshëm m q (\displaystyle mq)

, Ku q (\displaystyle q)- e tërë. Krahasimet, megjithatë, në përgjithësi nuk mund të ndahen me njëri-tjetrin ose me numra të tjerë. Shembull: 14 ≡ 20 (mod. 6) (\displaystyle 14\equiv 20(\pmod (6)))

• , megjithatë, duke reduktuar me 2, marrim një krahasim të gabuar:

GCD (\displaystyle a-b=mt.)(d , m) = 1 , (\style display ((d,m)=1),) (\displaystyle a-b=mt.) Se .

• Nëse, numri

jo reciprokisht vetëm me modulin, siç ishte rasti në shembullin e mësipërm, pastaj reduktojeni me është e ndaluar. Ju mund të ndani njëkohësisht të dy anët e krahasimit dhe modulin me pjesëtuesin e tyre të përbashkët: Nëse .

a c ≡ b c (mod m c) (\style display (ac)\equiv (bc)(\pmod (mc)))

, Kjo

a ≡ b (mod m) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m))) a (\displaystyle a) modul m (\displaystyle m) Përkufizime të ngjashme Klasat e zbritjes a (\displaystyle a) modul m (\displaystyle m) Bashkësia e të gjithë numrave të krahasueshëm me , thirri klasa e zbritjes , dhe zakonisht shënohet[ a ] ​​m (\displaystyle [a]_(m)) Nëse ose a ¯ m (\style ekrani (\bar (a))_(m)) .

. Pra krahasimi është ekuivalente me barazinë e klasave të mbetjeve modul m (\displaystyle m)[a] Thirret çdo numër klase minus m (\displaystyle m). Le për siguri numrat janë modul të krahasueshëm r (\displaystyle r) q = m t + r (\displaystyle q=mt+r), Ku t (\displaystyle t)- e tërë. Zbritja e barabartë me bilancin Thirret çdo numër klase thirrur zbritja më e vogël jo negative, dhe zbritja ρ (\displaystyle \rho), më i vogli vlerë absolute Përkufizime të ngjashme absolutisht zbritja më e vogël. Në r< m 2 {\displaystyle r<{\frac {m}{2}}} ne e marrim atë ρ = r (\displaystyle \rho =r), ndryshe ρ = r − m (\displaystyle \rho =r-m). Nëse m (\displaystyle m)- madje dhe r = m 2 (\displaystyle r=(\frac (m)(2))) Ju mund të ndani njëkohësisht të dy anët e krahasimit dhe modulin me pjesëtuesin e tyre të përbashkët: ρ = − m 2 (\style ekrani \rho =-(\frac (m)(2))) .

Që nga krahasueshmëria e modulit m (\displaystyle m)është një lidhje ekuivalente në bashkësinë e numrave të plotë, pastaj klasat e mbetjeve modulojnë m (\displaystyle m) përfaqësojnë klasa ekuivalente; numri i tyre është i barabartë m (\displaystyle m).

Seti i modulit të të gjitha klasave të mbetjeve m (\displaystyle m) shënohet me ose Z / m Z (\displaystyle \mathbb (Z) /m\mathbb (Z)) klasa e zbritjes Z / (m) (\displaystyle \mathbb (Z) /(m)) .

Veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit me Z (\displaystyle \mathbb (Z)) nxisin operacionet përkatëse në grup Z m (\displaystyle \mathbb (Z)_(m)):

Në lidhje me këto operacione ka shumë Z m (\displaystyle \mathbb (Z)_(m))është një unazë e fundme, dhe për një kryeministër m (\displaystyle m)- fushë e fundme.

Sistemet e zbritjes

Sistemi i mbetjeve ju lejon të kryeni veprime aritmetike në një grup të kufizuar numrash pa shkuar përtej kufijve të tij. Sistemi i plotë i zbritjeve modul m (\displaystyle m)- çdo grup i m (\displaystyle m) modul i pakrahasueshëm në çift m (\displaystyle m) numra të plotë. Zakonisht si një sistem i plotë i zbritjeve të modulit m (\displaystyle m) merret një nga dy grupet:

• më pak mbetje jo negative, domethënë numrat:

• ose zbritje absolutisht minimale, i përbërë nga numra

Kompleti maksimal i modulit të pakrahasueshëm në çift m (\displaystyle m) numrat janë bashkëprim me m (\displaystyle m) Përkufizime të ngjashme sistemi i dhënë i zbritjeve modul m (\displaystyle m). Çdo sistem i reduktuar i mbetjeve të modulit m (\displaystyle m) përmban φ (m) (\displaystyle \varphi (m)) elementet, ku φ (⋅) (\displaystyle \varphi (\cdot))- Funksioni i Euler-it.

Për shembull, për një numër m = 42 (\displaystyle m=42). Sistemi i plotë i zbritjeve mund të përfaqësohet me numra: 0 , 1 , 2 , 3 , … , 21 , 22 , 23 , … , 39 , 40 , 41 (\stili i shfaqjes 0,1,2,3,\lddots ,21,22,23,\lddots ,39,40, 41), A dhënë - 1 , 5 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 29 , 31 , 37 , 41 (\stil ekrani 1,5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41).

Krahasimet në unazën e polinomeve mbi një fushë

Zgjidhja e krahasimeve

Krahasimet e shkallës së parë

Në teorinë e numrave, kriptografinë dhe fusha të tjera të shkencës, shpesh lind problemi i gjetjes së zgjidhjeve për krahasimet e shkallës së parë të formës:

(\splaystyle ax\equiv b(\pmod (m)).) Zgjidhja e një krahasimi të tillë fillon duke llogaritur . Rregullat e shkurtesave për krahasime janë si më poshtë. d = (\displaystyle d=)(a , m) (\stili i shfaqjes (a, m))

x ≡ c a 1 x ≡ c b 1 ≡ a 1 − 1 b 1 (mod m 1) . , domethënë gjeni një numër të tillë(\stil ekrani x\equiv ca_(1)x\equiv cb_(1)\equiv a_(1)^(-1)b_(1)(\pmod (m_(1))).) , domethënë gjeni një numër të tillë Llogaritja praktike e vlerës

në formën:

c ≡ a 1 − 1 ≡ a 1 φ (m 1) − 1 (mod m 1) (\displaystyle c\equiv a_(1)^(-1)\equiv a_(1)^(\varphi (m_(1 ))-1)(\pmod (m_(1)))) Shembuj

Për krahasim 6 x ≡ 26 (mod 22) (\displaystyle 6x\equiv 26(\pmod (22))) ne kemi

, pra moduli 22 krahasimi ka dy zgjidhje. Le të zëvendësojmë 26 me 4, që është moduli i krahasueshëm 22, dhe më pas zvogëlojmë të tre numrat me 2:

Meqenëse 3 është coprime me modulin 11, ai mund të përmbyset moduli 11 dhe të gjendet

Duke shumëzuar krahasimin me 4, marrim një modul zgjidhjeje 11:

Shembulli 2. Krahasimi i dhënë:

Vini re se moduli është një numër i thjeshtë. Zgjidhja e parë është përdorimi i relacionit Bezout. Duke përdorur algoritmin e Euklidit ose programin e dhënë në artikullin mbi relacionin e Bezout, zbulojmë se kjo lidhje për numrat Dhe 100 (\displaystyle 100) 65537 (\displaystyle 65537)

17695 ⋅ 100 ≡ 1 (mod 65537) (\displaystyle 17695\cdot 100\equiv 1 (\pmod (65537)))

100 ⋅ 725495 ≡ 41 (mod 65537) (\displaystyle 100\cdot 725495\equiv 41(\pmod (65537))) Nga kjo rrjedh se ka një zgjidhje për krahasimin origjinal. Është më i përshtatshëm për ta zëvendësuar atë me diçka të krahasueshme me të 4588 (\displaystyle 4588) (pjestimi i mbetur 725495 (\displaystyle 725495) 100 (\displaystyle 100) në ). Përgjigje:

x ≡ 4588 (mod 65537) .

(\displaystyle x\equiv 4588 (\pmod (65537)).) Metoda e dytë e zgjidhjes, më e thjeshtë dhe më e shpejtë, nuk kërkon ndërtimin e relacionit Bezout, por është gjithashtu ekuivalente me algoritmin Euklidian. Hapi 1. Ndani modulin me koeficientin x me pjesën e mbetur: 65537 = 100 ⋅ 655 + 37 (\displaystyle 65537=100\cdot 655+37). Shumëzoni të dyja anët e krahasimit origjinal me herësin 655 (\displaystyle 655) dhe shtoni 37 x (\displaystyle 37x); marrim: 100 (\displaystyle 100) 65537 x ≡ 26855 + 37 x (mod 65537) (\displaystyle 65537x\equiv 26855+37x(\pmod (65537)))

, domethënë, i krahasueshëm me zero, nga i cili: 37 x ≡ − 26855 (mod 65537) (\displaystyle 37x\equiv -26855(\pmod (65537))) Ne morëm në

x (\displaystyle x) koeficienti 37 në vend të 100. Në çdo hap tjetër zvogëlojmë në të njëjtën mënyrë derisa të marrim një. Hapi 2. Në mënyrë të ngjashme, pjesëtoni me koeficientin e ri për x: 65537 = 37 ⋅ 1771 + 10 (\displaystyle 65537=37\cdot 1771+10). Shumëzoni të dyja anët e krahasimit origjinal me herësin . Shumëzoni të dyja anët e krahasimit të marrë në hapin e mëparshëm me herësin 1771 (\displaystyle 1771)

10 x (\displaystyle 10x) 1. ; përsëri duke zëvendësuar anën e majtë me zero, marrim. Përkufizimi Dhe Nëse dy numra janë 1) kur ndahet me a b fq jepni të njëjtën mbetje r a.

, atëherë numrat e tillë quhen equiremainder ose 1. të krahasueshme në modul a Deklaratë Përkufizimi Le

një numër pozitiv. Pastaj çdo numër fq gjithmonë dhe, për më tepër, në të vetmen mënyrë mund të përfaqësohet në formë a Por këto numra mund të merren duke vendosur e barabartë me 0, 1, 2,...,−1. Prandaj

Le të tregojmë se ky përfaqësim është unik. Le të supozojmë se a mund të përfaqësohet në dy mënyra a=sp+r Dhe a=s 1 a+fq 1. Pastaj

(2)

a − b = m t . fq 1 pranon një nga numrat 0,1, ..., a−1, pastaj vlera absolute fq 1 −fq më pak a. Por nga (2) rrjedh se fq 1 −fq të shumëfishta a. Prandaj fq 1 =fq Dhe s 1 =s.

Numri fq thirrur është ekuivalente me barazinë e klasave të mbetjeve numrat Përkufizimi modul a(me fjalë të tjera, numri fq quhet pjesa e mbetur e një numri Përkufizimi 725495 (\displaystyle 725495) a).

, atëherë numrat e tillë quhen equiremainder ose 2. Nëse dy numra Përkufizimi Dhe Nëse dy numra janë 1) janë gjithashtu të krahasueshme në modul a Ju mund të ndani njëkohësisht të dy anët e krahasimit dhe modulin me pjesëtuesin e tyre të përbashkët: a−b ndarë nga a.

Vërtet. Nëse dy numra Përkufizimi Dhe Nëse dy numra janë 1) janë gjithashtu të krahasueshme në modul a, atëherë kur ndahet me a kanë të njëjtën mbetje a. Pastaj

ndarë nga a, sepse ana e djathtë e ekuacionit (3) pjesëtohet me a.

, atëherë numrat e tillë quhen equiremainder ose 3. Nëse diferenca e dy numrave pjesëtohet me a, atëherë këta numra janë të krahasueshëm në modul a.

Dëshmi. Le të shënojmë me fq Dhe fq 1 ndarje e mbetur Përkufizimi Dhe Nëse dy numra janë 1) 725495 (\displaystyle 725495) a. Pastaj

Shembuj 25≡39 (mod. 7), −18≡14 (mod. 4).

Nga shembulli i parë rezulton se 25 kur pjesëtohet me 7 jep të njëjtën mbetje si 39. Në të vërtetë, 25 = 3·7+4 (mbetja 4). 39=3·7+4 (mbetja 4). Kur merrni parasysh shembullin e dytë, duhet të keni parasysh se pjesa e mbetur duhet të jetë një numër jo negativ më i vogël se moduli (d.m.th. 4). Atëherë mund të shkruajmë: −18=−5·4+2 (mbetja 2), 14=3·4+2 (mbetja 2). Prandaj, −18 kur ndahet me 4, lë një mbetje prej 2, dhe 14 kur ndahet me 4, lë një mbetje prej 2.

Vetitë e krahasimeve të modulit

Prona 1. Për këdo Përkufizimi Dhe a Gjithmonë

nuk ka gjithmonë një krahasim

Ku λ është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave m Dhe a.

Dëshmi. Le λ pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave m Dhe a. Pastaj

a − b = m t . m(a−b) ndarë nga k d (\displaystyle d)

Prandaj

Dhe mështë një nga pjesëtuesit e numrit a d (\displaystyle d)

Ku h=pqs.

Vini re se ne mund të lejojmë krahasime të bazuara në module negative, d.m.th. krahasimi a≡b mod( a) do të thotë në këtë rast se diferenca a−b ndarë nga a. Të gjitha vetitë e krahasimeve mbeten në fuqi për modulet negative.

Krahasimi me një të panjohur x duket si

Ku . Nëse Përkufizimi n nuk ndahet me m, kështu quhet shkallë krahasimet.

Me vendim krahasimi është çdo numër i plotë x 0 , për të cilat

Nëse X 0 plotëson krahasimin, atëherë, sipas vetive të 9 krahasimeve, të gjithë numrat e plotë të krahasueshëm me x 0 modul m. Prandaj, të gjitha zgjidhjet e krahasimit që i përkasin të njëjtit modul të klasës së mbetjeve T, do ta konsiderojmë si një zgjidhje. Kështu, krahasimi ka aq zgjidhje sa ka elementë të sistemit të plotë të mbetjeve që e kënaqin atë.

Krahasimet, grupet e zgjidhjeve të të cilave përputhen quhen ekuivalente.

2.2.1 Krahasimet e shkallës së parë

Krahasimi i shkallës së parë me një të panjohur X duket si

(2.2)

Teorema 2.4. Që një krahasim të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që numri Nëse dy numra janë 1) pjesëtuar me GCD( Përkufizimi, m).

Dëshmi. Së pari ne vërtetojmë domosdoshmërinë. Le d = GCD( Përkufizimi, m) Dhe X 0 - zgjidhje krahasimi. Pastaj , domethënë dallimi Oh 0 − Nëse dy numra janë 1) ndarë nga T. Pra, ekziston një numër i tillë i plotë q, Çfarë Oh 0 − Nëse dy numra janë 1) = qm. Nga këtu Nëse dy numra janë 1)= ah 0 − qm. Dhe që nga ajo kohë d, si pjesëtues i përbashkët, pjesëton numrat A Dhe T, atëherë minuend dhe subtrahend ndahen me d, dhe prandaj Nëse dy numra janë 1) ndarë nga d.

Tani le të vërtetojmë mjaftueshmërinë. Le d- pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave A Dhe T, Dhe Nëse dy numra janë 1) ndarë nga d. Pastaj, me përkufizimin e pjesëtueshmërisë, ekzistojnë numra të plotë si p.sh Përkufizimi 1 , Nëse dy numra janë 1) 1 ,T 1 , Çfarë .

Duke përdorur algoritmin e zgjeruar Euklidian, gjejmë një paraqitje lineare të numrit 1 = gcd( Përkufizimi 1 , m 1 ):

për disa x 0 , y 0 . Shumëzoni të dyja anët e barazisë së fundit me Nëse dy numra janë 1) 1 d:

ose, çfarë është e njëjta,

,

domethënë dhe është zgjidhja e krahasimit. □

Shembulli 2.10. Krahasimi 9 X= 6 (mod 12) ka një zgjidhje pasi gcd(9, 12) = 3 dhe 6 është i pjesëtueshëm me 3. □

Shembulli 2.11. Krahasimi 6x= 9 (mod 12) nuk ka zgjidhje, pasi gcd(6, 12) = 6, dhe 9 nuk pjesëtohet me 6. □

Teorema 2.5. Le të jetë i zgjidhshëm krahasimi (2.2) dhe d = GCD( Përkufizimi, m). Atëherë grupi i zgjidhjeve krahasuese (2.2) përbëhet nga d Klasat e mbetjeve të modulit T, domethënë, nëse X 0 - një nga zgjidhjet, pastaj të gjitha zgjidhjet e tjera janë

Dëshmi. Le X 0 - zgjidhja e krahasimit (2.2), d.m.th Dhe , . Pra ka një gjë të tillë q, Çfarë Oh 0 − Nëse dy numra janë 1) = qm. Tani duke zëvendësuar në barazinë e fundit në vend të X 0 një zgjidhje arbitrare e formës, ku marrim shprehjen

, pjesëtueshëm me m. □

Shembulli 2.12. Krahasimi 9 X=6 (mod 12) ka saktësisht tre zgjidhje, pasi gcd(9, 12)=3. Këto zgjidhje: X 0 = 2, x 0 + 4 = 6, X 0 + 2∙4=10.□

Shembulli 2.13. Krahasimi 11 X=2 (mod 15) ka një zgjidhje unike X 0 = 7, pasi GCD(11,15)=1.□

Ne do t'ju tregojmë se si të zgjidhni krahasimet e shkallës së parë. Pa humbje të përgjithshme, ne do të supozojmë se GCD ( Përkufizimi, t) = 1. Pastaj zgjidhja e krahasimit (2.2) mund të kërkohet, për shembull, duke përdorur algoritmin Euklidian. Në të vërtetë, duke përdorur algoritmin e zgjeruar Euklidian, ne përfaqësojmë numrin 1 si një kombinim linear numrash Përkufizimi Dhe T:

Le të shumëzojmë me të dyja anët e kësaj barazie Nëse dy numra janë 1), marrim: Nëse dy numra janë 1) = abq + mrb, ku abq - Nëse dy numra janë 1) = - mrb, dmth Përkufizimi ∙ (bq) = Nëse dy numra janë 1)(mod m) Dhe bq- zgjidhje krahasimi (2.2).

Një zgjidhje tjetër është përdorimi i teoremës së Euler-it. Përsëri ne besojmë se GCD(a, T)= 1. Zbatojmë teoremën e Euler-it: . Shumëzoni të dyja anët e krahasimit me Nëse dy numra janë 1): . Rishkrimi i shprehjes së fundit si , marrim se është një zgjidhje për krahasimin (2.2).

Le tashme GCD( Përkufizimi, m) = d>1. Pastaj Përkufizimi = Përkufizimitd, m = mtd, ku GCD( A 1 , m 1) = 1. Përveç kësaj, është e nevojshme Nëse dy numra janë 1) = Nëse dy numra janë 1) 1 d, në mënyrë që krahasimi të jetë i zgjidhshëm. Nëse X 0 - zgjidhje krahasimi A 1 x = Nëse dy numra janë 1) 1 (mod m 1), dhe i vetmi, që nga GCD ( A 1 , m 1) = 1, atëherë X 0 do të jetë zgjidhja dhe krahasimi A 1 xd = db 1 (mod m 1), pra krahasimi origjinal (2.2). Pushoni d- 1 zgjidhje gjenden nga teorema 2.5.

Për dy numra të plotë X Dhe në le të prezantojmë një lidhje krahasueshmërie në barazi nëse dallimi i tyre është numër çift. Është e lehtë të kontrollohet nëse të tre kushtet e ekuivalencës të paraqitura më parë janë përmbushur. Marrëdhënia e ekuivalencës e prezantuar në këtë mënyrë ndan të gjithë grupin e numrave të plotë në dy nënbashkësi të shkëputura: nëngrupin e numrave çift dhe nëngrupin e numrave tek.

Duke e përgjithësuar këtë rast, do të themi se dy numra të plotë që ndryshojnë nga një shumëfish i një numri natyror fiks janë ekuivalent. Kjo është baza për konceptin e krahasueshmërisë modulore, të prezantuar nga Gauss.

Numri A, të krahasueshme me Nëse dy numra janë 1) modul m, nëse diferenca e tyre pjesëtohet me një fikse numri natyror m dmth a - b ndarë nga m. Në mënyrë simbolike kjo shkruhet si:

a ≡ b(mod m),

dhe lexohet kështu: A modulo i krahasueshëm disa numra Nëse dy numra janë 1) modul m.

Lidhja e paraqitur në këtë mënyrë, falë analogjisë së thellë midis krahasimeve dhe barazive, thjeshton llogaritjet në të cilat numrat ndryshojnë me një shumëfish m, në fakt nuk ndryshojnë (pasi krahasimi është barazi deri në një shumëfish të m).

Për shembull, numrat 7 dhe 19 janë të krahasueshëm moduli 4, por jo të krahasueshëm moduli 5, sepse 19-7=12 pjesëtohet me 4 dhe nuk pjesëtohet me 5.

Mund të thuhet gjithashtu se numri X modul m e barabartë me pjesën e mbetur kur pjesëtohet me një numër të plotë X 725495 (\displaystyle 725495) m, sepse

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Është e lehtë të kontrollohet nëse krahasueshmëria e numrave sipas një moduli të caktuar ka të gjitha vetitë e ekuivalencës. Prandaj, grupi i numrave të plotë ndahet në klasa numrash të krahasueshëm në modul m. Numri i klasave të tilla është i barabartë m, dhe të gjithë numrat e së njëjtës klasë kur pjesëtohen me m jepni të njëjtën mbetje. Për shembull, nëse m= 3, atëherë marrim tre klasa: klasën e numrave që janë shumëfish të 3 (duke dhënë një mbetje 0 kur pjesëtohet me 3), klasa e numrave që lënë një mbetje 1 kur pjesëtohet me 3 dhe klasa e numrave që lënë një mbetje 2 kur ndahet me 3.

Shembuj të përdorimit të krahasimeve jepen nga kriteret e njohura të pjesëtueshmërisë. Paraqitja e numrave të përbashkët n në numra në sistemi dhjetor Llogaritja ka formën:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Ku a, b, c,- shifrat e një numri të shkruar nga e djathta në të majtë, pra A- numri i njësive, Nëse dy numra janë 1)- numri i dhjetësheve etj. Që prej 10k ≡ 1(mod9) për çdo k≥0, atëherë nga ajo që është shkruar del se

n ≡ c + b + a(mod 9),

prej nga vijon testi i pjesëtueshmërisë me 9: n pjesëtohet me 9 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të saj pjesëtohet me 9. Ky arsyetim vlen edhe kur 9 zëvendësohet me 3.

Marrim testin për pjesëtueshmërinë me 11. Krahasimet bëhen:

10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1 (mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) dhe kështu me radhë. Kjo është arsyeja pse n ≡ c - b + a - ….(modimi 11).

Prandaj, n pjesëtohet me 11 nëse dhe vetëm nëse shuma e alternuar e shifrave të saj a - b + c -... pjesëtohet me 11.

Për shembull, shuma e alternuar e shifrave të numrit 9581 është 1 - 8 + 5 - 9 = -11, pjesëtohet me 11, që do të thotë se numri 9581 ndahet me 11.

Nëse ka krahasime: , atëherë ato mund të shtohen, zbriten dhe shumëzohen term pas termi në të njëjtën mënyrë si barazitë:

Një krahasim gjithmonë mund të shumëzohet me një numër të plotë:

nëse, atëherë

Megjithatë, reduktimi i një krahasimi me ndonjë faktor nuk është gjithmonë i mundur, për shembull, por është e pamundur të zvogëlohet me faktorin e përbashkët 6 për numrat 42 dhe 12; një ulje e tillë çon në një rezultat të pasaktë, pasi .

Nga përkufizimi i modulit të krahasueshmërisë del se zvogëlimi me një faktor është i lejueshëm nëse ky faktor është bashkëprim me modulin.

U vu re tashmë më lart se çdo numër i plotë është mod i krahasueshëm m me një nga numrat e mëposhtëm: 0, 1, 2,... , m-1.

Përveç kësaj serie, ka edhe seri të tjera numrash që kanë të njëjtën veti; kështu, për shembull, çdo numër është i krahasueshëm mod 5 me një nga numrat e mëposhtëm: 0, 1, 2, 3, 4, por gjithashtu i krahasueshëm me një nga numrat e mëposhtëm: 0, -4, -3, -2, - 1, ose 0, 1, -1, 2, -2. Çdo seri e tillë numrash quhet një sistem i plotë i mbetjeve moduli 5.

Kështu, sistemi i plotë i mbetjeve mod mçdo seri të m numra, dy prej të cilëve nuk janë të krahasueshëm me njëri-tjetrin. Zakonisht përdoret një sistem i plotë zbritjesh, i përbërë nga numrat: 0, 1, 2, ..., m-1. Duke zbritur numrin n modul mështë pjesa e mbetur e ndarjes n 725495 (\displaystyle 725495) m, që rrjedh nga përfaqësimi n = km + r, 0<fq<m- 1.