Rrethi trigonometrik. Udhëzuesi i fundit (2019)

Rrethi i numraveështë një rreth njësi pikat e të cilit korrespondojnë me disa numra realë.

Një rreth njësi është një rreth me rreze 1.

Pamje e përgjithshme e rrethit të numrave.

1) Rrezja e saj merret si njësi matëse.

2) Diametri horizontal dhe vertikal e ndajnë rrethin e numrave në katër katërshe. Ata quhen përkatësisht tremujori i parë, i dytë, i tretë dhe i katërt.

3) Diametri horizontal shënohet me AC, ku A është ekstremi drejtë pika.
Diametri vertikal është caktuar BD, ku B është pika më e lartë.
Përkatësisht:

tremujori i parë është harku AB

tremujori i dytë - hark para Krishtit

tremujori i tretë - CD me hark

tremujori i katërt - harku DA

4) Pika fillestare e rrethit numerik është pika A.

Numërimi përgjatë rrethit të numrave mund të bëhet ose në drejtim të akrepave të orës ose në drejtim të kundërt.

Duke numëruar nga pika A kundër në drejtim të akrepave të orës quhet drejtim pozitiv.

Duke numëruar nga pika A Nga i quajtur në drejtim të akrepave të orës drejtim negativ.

Rrethi i numrave në planin koordinativ.

Qendra e rrezes së rrethit të numrave korrespondon me origjinën (numri 0).

Diametri horizontal korrespondon me boshtin x, bosht vertikal y.

Pika e fillimit Një rreth me numratee është në boshtxdhe ka koordinata (1; 0).

Emrat dhe vendndodhjet e pikave kryesore në rrethin e numrave:

Si të mbani mend emrat e rrethit të numrave.

Ka disa modele të thjeshta që do t'ju ndihmojnë të mbani mend me lehtësi emrat bazë të rrethit të numrave.

Para se të fillojmë, le t'ju kujtojmë: numërimi kryhet në drejtim pozitiv, domethënë nga pika A (2π) në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

1) Le të fillojmë me pikat ekstreme në boshtet koordinative.

Pika e fillimit është 2π (pika më e djathtë në bosht X, e barabartë me 1).

Siç e dini, 2π është perimetri i një rrethi. Kjo do të thotë se gjysma e rrethit është 1π ose π. Boshti X ndan rrethin saktësisht në gjysmë. Prandaj, pika më e majtë në bosht X e barabartë me -1 quhet π.

Pika më e lartë në bosht në, e barabartë me 1, ndan gjysmërrethin e sipërm në gjysmë. Kjo do të thotë se nëse një gjysmërreth është π, atëherë gjysma e gjysmërrethit është π/2.

Në të njëjtën kohë, π/2 është gjithashtu një e katërta e rrethit. Le të numërojmë tre tremujorë të tillë nga i pari në të tretën - dhe do të arrijmë në pikën më të ulët të boshtit në, e barabartë me -1. Por nëse përfshin tre të katërtat, atëherë emri i tij është 3π/2.

2) Tani le të kalojmë te pikat e mbetura. Ju lutemi vini re: të gjitha pikat e kundërta kanë të njëjtin emërues - dhe këto janë pika të kundërta në lidhje me boshtin në, si në lidhje me qendrën e boshteve, ashtu edhe në lidhje me boshtin X. Kjo do të na ndihmojë të dimë vlerat e tyre të pikës pa u ngjeshur.

Ju vetëm duhet të mbani mend kuptimin e pikave të tremujorit të parë: π/6, π/4 dhe π/3. Dhe pastaj do të "shohim" disa modele:

- Në lidhje me boshtin në në pikat e tremujorit të dytë, përballë pikave të tremujorit të parë, numrat në numërues janë 1 më pak se madhësia e emëruesve. Për shembull, merrni pikën π/6. Pika e kundërt me të në lidhje me boshtin në gjithashtu ka 6 në emërues dhe 5 në numërues (1 më pak). Kjo do të thotë, emri i kësaj pike është: 5π/6. Pika përballë π/4 gjithashtu ka 4 në emërues, dhe 3 në numërues (1 më pak se 4) - domethënë është një pikë 3π/4.
Pika përballë π/3 ka gjithashtu 3 në emërues, dhe 1 më pak në numërues: 2π/3.

- Në lidhje me qendrën e boshteve të koordinatave gjithçka është e kundërta: numrat në numëruesit e pikave të kundërta (në tremujorin e tretë) janë 1 më të mëdhenj se vlera e emëruesve. Le të marrim përsëri pikën π/6. Pika e kundërt me të në lidhje me qendrën gjithashtu ka 6 në emërues, dhe në numërues numri është 1 më shumë - domethënë është 7π/6.
Pika përballë pikës π/4 gjithashtu ka 4 në emërues, dhe në numërues numri është 1 më shumë: 5π/4.
Pika përballë pikës π/3 gjithashtu ka 3 në emërues, dhe në numërues numri është 1 më shumë: 4π/3.

- Në lidhje me boshtin X(çereku i katërt)çështja është më e ndërlikuar. Këtu ju duhet të shtoni në vlerën e emëruesit një numër që është 1 më pak - kjo shumë do të jetë e barabartë me pjesën numerike të numëruesit të pikës së kundërt. Le të fillojmë përsëri me π/6. Le t'i shtojmë vlerës së emëruesit të barabartë me 6 një numër që është 1 më pak se ky numër - domethënë 5. Marrim: 6 + 5 = 11. Kjo do të thotë se është i kundërt me boshtin X pika do të ketë 6 në emërues dhe 11 në numërues - domethënë 11π/6.

Pika π/4. I shtojmë vlerës së emëruesit një numër 1 më pak: 4 + 3 = 7. Kjo do të thotë se është e kundërt me të në raport me boshtin X pika ka 4 në emërues dhe 7 në numërues - domethënë 7π/4.
Pika π/3. Emëruesi është 3. I shtojmë 3 një numër më të vogël me një - domethënë 2. Marrim 5. Kjo do të thotë se pika përballë saj ka 5 në numërues - dhe kjo është pika 5π/3.

3) Një model tjetër për pikat e mesit të çerekëve. Është e qartë se emëruesi i tyre është 4. Le t'u kushtojmë vëmendje numëruesve. Numëruesi i mesit të tremujorit të parë është 1π (por nuk është zakon të shkruhet 1). Numëruesi i mesit të tremujorit të dytë është 3π. Numëruesi i mesit të tremujorit të tretë është 5π. Numëruesi i mesit të tremujorit të katërt është 7π. Rezulton se numëruesit e tremujorëve të mesëm përmbajnë katër numrat e parë tek në rend rritës:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Kjo është gjithashtu shumë e thjeshtë. Meqenëse mesi i të gjithë tremujorëve kanë 4 në emërues, ne tashmë i dimë emrat e tyre të plotë: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Karakteristikat e rrethit të numrave. Krahasimi me vijën numerike.

Siç e dini, në vijën numerike, çdo pikë korrespondon me një numër të vetëm. Për shembull, nëse pika A në një drejtëz është e barabartë me 3, atëherë ajo nuk mund të jetë më e barabartë me asnjë numër tjetër.

Është ndryshe në rrethin e numrave sepse është një rreth. Për shembull, për të ardhur nga pika A e një rrethi në pikën M, mund ta bëni atë sikur në një vijë të drejtë (vetëm duke kaluar një hark), ose mund të shkoni rreth një rrethi të tërë dhe pastaj të vini në pikën M. konkluzioni:

Le të jetë pika M e barabartë me një numër t. Siç e dimë, perimetri i një rrethi është 2π. Kjo do të thotë se ne mund të shkruajmë një pikë t në një rreth në dy mënyra: t ose t + 2π. Këto janë vlera ekuivalente.
Kjo është, t = t + 2π. I vetmi ndryshim është se në rastin e parë keni ardhur në pikën M menjëherë pa bërë një rreth, dhe në rastin e dytë keni bërë një rreth, por keni përfunduar në të njëjtën pikë M. Mund të bëni dy, tre ose dyqind të tilla rrathë . Nëse numrin e rrathëve e shënojmë me shkronjë n, atëherë marrim një shprehje të re:
t = t + 2π n.

Prandaj formula:

Institucioni arsimor komunal shkolla e mesme nr.1

KHMAO-Yugra

Zhvillimi i mësimit

në klasën e 10-të

mbi algjebrën dhe parimet e analizës

Nadezhda Mikhailovna

mësues matematike

Sovetsky

Tema: TRIGONOMETRIA

Funksionet trigonometrike

Ekuacionet trigonometrike

Shndërrimet trigonometrike

Rrethi i numrave është aktiv

rrafshi koordinativ

Lënda mësohet duke përdorur teknologjinë bllok-modulare.

Ky mësim është një nga mësimet për të mësuar materiale të reja. Prandaj, koha kryesore e mësimit i kushtohet mësimit të materialit të ri dhe studentët e bëjnë pjesën më të madhe të kësaj pune në mënyrë të pavarur.

Llojet e veprimtarive të nxënësve në mësim: punë ballore, e pavarur dhe individuale.

Meqenëse duhet bërë shumë punë në një mësim dhe duhet të monitorohen rezultatet e aktiviteteve të nxënësve, përdoret një tabelë interaktive në fazat e përditësimit të njohurive dhe mësimit të materialit të ri. Për një paraqitje më vizuale të mbivendosjes së rrethit të numrave në rrafshin koordinativ dhe për reflektim mbi përmbajtjen e materialit edukativ në fund të sesionit të trajnimit, përdoren edhe prezantime në Power Point.

arsimore

Mësoni të fitoni njohuri në mënyrë të pavarur

duke edukuar

Kultivoni qetësinë, përgjegjësinë, zellin

duke u zhvilluar

Mësoni të analizoni, krahasoni, ndërtoni analogji

Plani i mësimit:

1) Momenti organizativ, tema, qëllimi i mësimit 2 min.

2) Përditësimi i njohurive 4 min.

3) Mësimi i materialit të ri 30 min.

4) Reflektimi 3 min.

5) Përmbledhje e mësimit 1 min.

Momenti organizativ

Rrethi i numrave

rrafshi koordinativ

konsideroni rrethin e numrave në planin koordinativ; gjeni së bashku koordinatat e dy pikave; pastaj përpiloni në mënyrë të pavarur tabelat e vlerave të koordinatave të pikave të tjera kryesore të rrethit;

testoni aftësinë tuaj për të gjetur koordinatat e pikave në një rreth numerik.

Përditësimi i njohurive

Në lëndën e gjeometrisë në klasën e 9-të kemi studiuar sa vijon

materiali:

Në një gjysmërreth njësi (R = 1) kemi konsideruar një pikë M me koordinata X Dhe në

Fragmente nga teksti i gjeometrisë

Duke mësuar të gjejë koordinatat e një pike në rrethin e njësisë,

Le të kalojmë lehtësisht te emrat e tjerë të tyre: sinus dhe kosinus, d.m.th.

te tema kryesore - TRIGONOMETRIA

Detyra e parë jepet në tabelën interaktive, ku nxënësit duhet të vendosin pikat dhe numrat e tyre përkatës në vende të rrethit të numrave duke i tërhequr zvarrë me gisht në tabelë.

Detyra 1

Ne morëm rezultatin:

Detyra e dytë jepet në tabelën ndërvepruese. Përgjigjet mbyllen me “perde” dhe zbulohen teksa zgjidhen.

Detyra 2

Rezultati i detyrës:

Mësimi i materialit të ri

Le të marrim një sistem koordinativ dhe të vendosim një rreth numrash mbi të në mënyrë që qendrat e tyre të përkojnë, dhe rrezja horizontale e rrethit përputhet me drejtimin pozitiv të boshtit OX (prezantimi i pikës së fuqisë)

Si rezultat, kemi pika që i përkasin si rrethit të numrave ashtu edhe planit koordinativ. Le të shqyrtojmë një nga këto pika, për shembull, pikën M (prezantimi i Power Point)

M(t)

Le të vizatojmë koordinatat e kësaj pike

Le të gjejmë koordinatat e pikave të interesit për ne në rrethin njësi, të cilin e kemi konsideruar më parë me emërues 4, 3, 6 dhe numërues π.

Gjeni koordinatat e pikës në rrethin e njësisë që korrespondon me numrin dhe, në përputhje me rrethanat, këndin

Detyra 3

(Prezantimi i Power Point)

Le të përshkruajmë rrezen dhe koordinatat e pikës

Nga teorema e Pitagorës kemi X 2+ x 2 = 12

Por këndet e trekëndëshit janë π/4 = 45° , Kjo do të thotë se trekëndëshi është dykëndësh dhe x = y

Gjeni koordinatat e një pike në rrethin e njësisë që korrespondon me numrat (këndët)

Detyra 4

(Prezantimi i Power Point)

Mjetet në= 1/2

Sipas teoremës së Pitagorës

Trekëndëshat janë të barabartë në hipotenuzë

dhe një kënd akut, që do të thotë se këmbët e tyre janë të barabarta

Në mësimin e mëparshëm, studentët morën fletë me boshllëqe të rrathëve me numra dhe tabela të ndryshme.

Plotësoni tabelën e parë.

Detyra 5

(dërrasë e bardhë interaktive)

Së pari, futni pikat e rrethit që janë shumëfish të 2 dhe 4 në tabelë.

Kontrollimi i rezultatit:

(dërrasë e bardhë interaktive)

Plotësoni vetë në tabelë ordinatat dhe abshisat e këtyre pikave, duke marrë parasysh shenjat e koordinatave, varësisht se në cilin tremujor ndodhet pika, duke përdorur gjatësitë e segmenteve të marra më sipër për koordinatat e pikave.

Detyra 6

Njëri nga studentët emërton rezultatet e marra, pjesa tjetër kontrollon me përgjigjet e tyre, më pas për të korrigjuar me sukses rezultatet (pasi këto tabela do të përdoren më vonë në punë për të zhvilluar aftësi dhe thelluar njohuritë mbi temën), tregohet një tabelë e plotësuar saktë. në tabelën interaktive.

Kontrollimi i rezultatit:

(dërrasë e bardhë interaktive)

Plotësoni tabelën e dytë.

Detyra 7

(dërrasë e bardhë interaktive)

Së pari, vendosni në tabelë pikat e rrethit që janë shumëfish të 3 dhe 6

Kontrollimi i rezultatit:

(dërrasë e bardhë interaktive)

Plotësoni vetë në tabelë ordinatat dhe abshisat e këtyre pikave

Detyra 8

Kontrollimi i rezultatit:

(dërrasë e bardhë interaktive)

(Prezantimi i Power Point)

Le të bëjmë një diktim të shkurtër matematikor të ndjekur nga vetëkontrolli.

1) Gjeni koordinatat e pikave të rrethit të njësisë:

Opsioni 2

1 opsion

2) Gjeni abshisën e pikave të rrethit njësi:

1) Gjeni koordinatat e pikave në rrethin e njësisë

Opsioni 2

1 opsion

2) Gjeni abshisën e pikave në rrethin njësi

Provoni veten

3) Gjeni ordinatat e pikave të rrethit njësi:

Për veten tuaj, ju mund të shënoni "5" për 4 shembuj të përfunduar,

"4" për 3 shembuj dhe shënoni "3" për 2 shembuj

Duke përmbledhur mësimin

1) Në të ardhmen, për të gjetur vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së pikave dhe këndeve, është e nevojshme të mësoni nga tabelat e plotësuara vlerat e koordinatave të pikave që i përkasin tremujorit të parë, sepse më tej do të mësojmë të shprehim vlerat e koordinatave të të gjitha pikave të tjera përmes vlerave të pikave të tremujorit të parë;

2) Përgatitja e pyetjeve teorike për testim.

Detyrë shtëpie:

Përmbledhja e mësimit

Nota u jepet nxënësve që kanë punuar më aktivisht në mësim. Puna e të gjithë nxënësve nuk vlerësohet, pasi gabimet korrigjohen menjëherë gjatë orës së mësimit. Diktimi është bërë për vetëkontroll, ka vëllim të pamjaftueshëm për vlerësim.

Gjeometria analitike ofron teknika uniforme për zgjidhjen e problemeve gjeometrike. Për ta bërë këtë, të gjitha pikat dhe linjat e dhëna dhe të kërkuara i caktohen një sistemi koordinativ.

Në një sistem koordinativ, çdo pikë mund të karakterizohet nga koordinatat e saj, dhe çdo vijë - nga një ekuacion me dy të panjohura, grafiku i të cilit është kjo linjë. Kështu, problemi gjeometrik reduktohet në një problem algjebrik, ku të gjitha metodat e llogaritjes janë të zhvilluara mirë.

Rrethi është një vend gjeometrik pikash me një veti specifike (secila pikë në rreth është e barabartë nga një pikë, e quajtur qendër). Ekuacioni i një rrethi duhet të pasqyrojë këtë veti dhe të plotësojë këtë kusht.

Interpretimi gjeometrik i ekuacionit të një rrethi është vija e një rrethi.

Nëse vendosni një rreth në një sistem koordinativ, atëherë të gjitha pikat në rreth plotësojnë një kusht - distanca prej tyre në qendër të rrethit duhet të jetë e njëjtë dhe e barabartë me rrethin.

Rretho me qendër në një pikë A dhe rreze R vendoseni në rrafshin koordinativ.

Nëse qendra koordinon (a;b) , dhe koordinatat e çdo pike në rreth (x;y) , atëherë ekuacioni i rrethit ka formën:

Nëse katrori i rrezes së një rrethi është i barabartë me shumën e katrorëve të diferencave midis koordinatave përkatëse të çdo pike në rreth dhe qendrës së tij, atëherë ky ekuacion është ekuacioni i një rrethi në një sistem koordinativ të rrafshët.

Nëse qendra e rrethit përkon me origjinën, atëherë katrori i rrezes së rrethit është i barabartë me shumën e katrorëve të koordinatave të çdo pike të rrethit. Në këtë rast, ekuacioni i rrethit merr formën:

Shembuj të zgjidhjes së problemave rreth ekuacionit të një rrethi

Detyrë. Shkruani një ekuacion për një rreth të caktuar

Zgjidhje.
Le t'i drejtohemi formulës për ekuacionin e një rrethi:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Le të zëvendësojmë vlerat në formulë.
Rrezja e rrethit R = 4
Koordinatat e qendrës së rrethit (sipas gjendjes)
a = 2
b = -3

Ne marrim:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
ose
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Detyrë. A i përket një pikë ekuacionit të një rrethi?

Zgjidhje.
Nëse një pikë i përket një rrethi, atëherë koordinatat e saj plotësojnë ekuacionin e rrethit.
Për të kontrolluar nëse një pikë me koordinata të dhëna i përket një rrethi, zëvendësoni koordinatat e pikës në ekuacionin e rrethit të dhënë.

Në ekuacion ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
Le të zëvendësojmë, sipas kushtit, koordinatat e pikës A(2;3), d.m.th
x = 2
y=3

Le të kontrollojmë të vërtetën e barazisë që rezulton
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 barazia është e rreme

Pra, pika e dhënë nuk i takon ekuacioni i dhënë i një rrethi.

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Rrethi i numrave në planin koordinativ

Le të përsërisim: Rrethi njësi është një rreth numëror rrezja e të cilit është 1. R=1 C=2 π + - y x

Nëse pika M e rrethit numerik korrespondon me numrin t, atëherë i korrespondon edhe një numri të formës t+2 π k, ku k është çdo numër i plotë (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), ku k ε Z

Paraqitjet bazë Paraqitja e parë 0 π y x Paraqitja e dytë y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Le të gjejmë koordinatat e pikës M që i përgjigjen pikës. 1) 2) x y M P 45° O A

Koordinatat e pikave kryesore të paraqitjes së parë 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Të gjejmë koordinatat e pikës M që i përgjigjet pikës. 1) 2) 30°

M P Le të gjejmë koordinatat e pikës M që i përgjigjet pikës. 1) 2) 30° x y O A B

Duke përdorur vetinë e simetrisë, gjejmë koordinatat e pikave që janë shumëfisha të y x

Koordinatat e pikave kryesore të paraqitjes së dytë x y x y y x

Shembull Gjeni koordinatat e një pike në një rreth numerik. Zgjidhje: P y x

Shembull Gjeni pika me ordinatë në rrethin numerik Zgjidhje: y x ​​× y x y

Ushtrime: Gjeni koordinatat e pikave në rrethin numerik: a) , b) . Gjeni pikat me abshisë në rrethin numerik.

Koordinatat e pikave kryesore 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Koordinatat e pikave kryesore të paraqitjes së parë x y x y Koordinatat e kryesore pikat e paraqitjes së dytë

Me temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime

Materiali didaktik për algjebrën dhe fillimet e analizës në klasën e 10 (niveli i profilit) "Rrethi i numrave në planin koordinativ"

Opsioni 1.1 Gjeni pikën në rrethin e numrave: A) -2∏/3B) 72. Cila e katërta e rrethit të numrave e bën pikën 16.3.

Nëse vendosni rrethin e numrit të njësisë në planin koordinativ, atëherë mund të gjeni koordinatat për pikat e tij. Rrethi i numrave është i pozicionuar në mënyrë që qendra e tij të përputhet me origjinën e planit, d.m.th., pika O (0; 0).

Zakonisht në rrethin numër njësi shënohen pikat që i përgjigjen origjinës së rrethit

• të katërtat - 0 ose 2π, π/2, π, (2π)/3,
• tremujorët e mesëm - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• të tretat e tremujorëve - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Në planin koordinativ, me vendndodhjen e mësipërme të rrethit të njësisë në të, mund të gjeni koordinatat që korrespondojnë me këto pika të rrethit.

Koordinatat e skajeve të lagjeve janë shumë të lehta për t'u gjetur. Në pikën 0 të rrethit, koordinata x është 1, dhe koordinata y është 0. Mund ta shënojmë si A (0) = A (1; 0).

Fundi i tremujorit të parë do të vendoset në boshtin pozitiv y. Prandaj, B (π/2) = B (0; 1).

Fundi i tremujorit të dytë është në gjysmëboshtin negativ: C (π) = C (-1; 0).

Fundi i tremujorit të tretë: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Por si të gjejmë koordinatat e mesit të çerekut? Për ta bërë këtë, ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë. Hipotenuza e tij është një segment nga qendra e rrethit (ose origjina) deri në mesin e çerek rrethit. Kjo është rrezja e rrethit. Meqenëse ekziston një rreth njësi, hipotenuza është e barabartë me 1. Më pas, vizatoni një pingul nga një pikë në rreth në çdo bosht. Le të jetë drejt boshtit x. Rezultati është një trekëndësh kënddrejtë, gjatësitë e këmbëve të të cilit janë koordinatat x dhe y të pikës në rreth.

Një çerek rrethi është 90º. Dhe një e katërta është 45º. Meqenëse hipotenuza është tërhequr në mes të kuadrantit, këndi midis hipotenuzës dhe këmbës që shtrihet nga origjina është 45º. Por shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është 180º. Rrjedhimisht, këndi midis hipotenuzës dhe këmbës tjetër mbetet gjithashtu 45º. Kjo rezulton në një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh.

Nga teorema e Pitagorës marrim ekuacionin x 2 + y 2 = 1 2. Meqenëse x = y dhe 1 2 = 1, ekuacioni thjeshtohet në x 2 + x 2 = 1. Duke e zgjidhur atë, marrim x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Kështu, koordinatat e pikës M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Në koordinatat e pikave të mesit të lagjeve të tjera, vetëm shenjat do të ndryshojnë, dhe modulet e vlerave do të mbeten të njëjta, pasi trekëndëshi kënddrejtë do të kthehet vetëm. Ne marrim:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Gjatë përcaktimit të koordinatave të pjesëve të treta të katërtave të rrethit, ndërtohet edhe një trekëndësh kënddrejtë. Nëse marrim pikën π/6 dhe vizatojmë një pingul me boshtin x, atëherë këndi midis hipotenuzës dhe këmbës që shtrihet në boshtin x do të jetë 30º. Dihet se një këmbë e shtrirë përballë një këndi prej 30º është e barabartë me gjysmën e hipotenuzës. Kjo do të thotë që ne kemi gjetur koordinatën y, është e barabartë me ½.

Duke ditur gjatësinë e hipotenuzës dhe njërës prej këmbëve, duke përdorur teoremën e Pitagorës gjejmë këmbën tjetër:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Kështu T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Për pikën e të tretës së dytë të tremujorit të parë (π/3), është më mirë të vizatoni një pingul me boshtin në boshtin y. Atëherë këndi në origjinë do të jetë gjithashtu 30º. Këtu koordinata x do të jetë e barabartë me ½, dhe y, përkatësisht, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Për pikat e tjera të tremujorit të tretë, shenjat dhe renditja e vlerave të koordinatave do të ndryshojnë. Të gjitha pikat që janë më afër boshtit x do të kenë një vlerë koordinative të modulit x të barabartë me √3/2. Ato pika që janë më afër boshtit y do të kenë një vlerë të modulit y të barabartë me √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)