Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Shembuj zgjidhjesh.
Ekuacione diferenciale me ndryshore të ndashme

Ekuacionet diferenciale (DE). Këto dy fjalë zakonisht tmerrojnë një person mesatar. Ekuacionet diferenciale duket se janë diçka penguese dhe e vështirë për t'u zotëruar për shumë studentë. Uuuuuu... ekuacione diferenciale, si mund t'i mbijetoj gjithë kësaj?!

Ky mendim dhe ky qëndrim është thelbësisht i gabuar, sepse në fakt EKUACIONET DIFERENCIALE - ESHTE E THJESHTE DHE EDHE ARGETUESE. Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të mësuar se si të zgjidhni ekuacionet diferenciale? Për të studiuar me sukses difuzionet, duhet të jeni të mirë në integrimin dhe diferencimin. Sa më mirë të studiohen temat Derivat i një funksioni të një ndryshoreje Dhe Integrali i pacaktuar, aq më e lehtë do të jetë për të kuptuar ekuacionet diferenciale. Unë do të them më shumë, nëse keni aftësi pak a shumë të mira integruese, atëherë tema është pothuajse e zotëruar! Sa më shumë integrale të llojeve të ndryshme që mund të zgjidhni, aq më mirë. Pse? Do të duhet të integroheni shumë. Dhe diferenconi. Gjithashtu rekomandoj shumë mësoni të gjeni.

Në 95% të rasteve, letrat e testimit përmbajnë 3 lloje të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë: ekuacionet e ndashme të cilat do t'i shikojmë në këtë mësim; ekuacionet homogjene Dhe ekuacionet lineare johomogjene. Për ata që fillojnë të studiojnë shpërndarësit, ju këshilloj të lexoni mësimet pikërisht në këtë mënyrë, dhe pasi të keni studiuar dy artikujt e parë, nuk do të dëmtojë të konsolidoni aftësitë tuaja në një punëtori shtesë - ekuacionet që reduktohen në homogjene.

Ekzistojnë lloje edhe më të rralla të ekuacioneve diferenciale: ekuacionet diferenciale totale, ekuacionet e Bernulit dhe disa të tjera. Më e rëndësishmja nga dy llojet e fundit janë ekuacionet në diferencialet totale, pasi përveç këtij ekuacioni diferencial po shqyrtoj materialin e ri - integrimin e pjesshëm.

Nëse ju kanë mbetur vetëm një ose dy ditë, Kjo për përgatitje ultra të shpejtë ka kurs blitz në format pdf.

Pra, pikë referimi janë vendosur - le të shkojmë:

Së pari, le të kujtojmë ekuacionet e zakonshme algjebrike. Ato përmbajnë variabla dhe numra. Shembulli më i thjeshtë: . Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion të zakonshëm? Kjo do të thotë të gjesh grup numrash, të cilat plotësojnë këtë ekuacion. Është e lehtë të vërehet se ekuacioni i fëmijëve ka një rrënjë të vetme: . Vetëm për argëtim, le të kontrollojmë dhe zëvendësojmë rrënjën e gjetur në ekuacionin tonë:

– fitohet barazia e saktë, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Difuzorët janë projektuar pothuajse në të njëjtën mënyrë!

Ekuacioni diferencial rendit të parë në rastin e përgjithshëm përmban:
1) ndryshore e pavarur;
2) ndryshore e varur (funksion);
3) derivati ​​i parë i funksionit: .

Në disa ekuacione të rendit të parë mund të mos ketë "x" dhe/ose "y", por kjo nuk është e rëndësishme - e rëndësishme për të shkuar në dhomën e kontrollit ishte derivati ​​i parë, dhe nuk kishte derivatet e rendit më të lartë – , etj.

Çfarë do të thotë? Zgjidhja e një ekuacioni diferencial do të thotë të gjesh grup i të gjitha funksioneve, të cilat plotësojnë këtë ekuacion. Një grup i tillë funksionesh shpesh ka formën (– një konstante arbitrare), e cila quhet zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit diferencial.

Shembulli 1

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Municion i plotë. Ku të filloni zgjidhje?

Para së gjithash, ju duhet të rishkruani derivatin në një formë paksa të ndryshme. Kujtojmë emërtimin e rëndë, i cili ndoshta shumë prej jush dukej qesharak dhe i panevojshëm. Kjo është ajo që rregullon në difuzorët!

Në hapin e dytë, le të shohim nëse është e mundur variabla të ndara?Çfarë do të thotë të ndash variabla? Përafërsisht, në anën e majtë ne duhet të largohemi vetëm "grekët", A në anën e djathtë organizojnë vetëm "X". Ndarja e variablave kryhet duke përdorur manipulime "shkollë": vendosja e tyre jashtë kllapave, transferimi i termave nga një pjesë në pjesë me një ndryshim të shenjës, transferimi i faktorëve nga pjesa në pjesë sipas rregullit të proporcionit, etj.

Diferenciale dhe janë shumëzues të plotë dhe pjesëmarrës aktivë në armiqësi. Në shembullin në shqyrtim, variablat ndahen lehtësisht duke hedhur faktorët sipas rregullit të proporcionit:

Variablat janë të ndara. Në anën e majtë ka vetëm "Y", në anën e djathtë - vetëm "X".

Faza tjetër është integrimi i ekuacionit diferencial. Është e thjeshtë, ne vendosim integrale në të dyja anët:

Natyrisht, ne duhet të marrim integrale. Në këtë rast ato janë tabelare:

Siç e kujtojmë, çdo antiderivativ i caktohet një konstante. Këtu ka dy integrale, por mjafton të shkruhet një herë konstanta (pasi konstante + konstante është ende e barabartë me një konstante tjetër). Në shumicën e rasteve vendoset në anën e djathtë.

Në mënyrë strikte, pasi të merren integralet, ekuacioni diferencial konsiderohet i zgjidhur. E vetmja gjë është që "y"-ja jonë nuk shprehet përmes "x", domethënë paraqitet zgjidhja në një të nënkuptuar formë. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial në formë të nënkuptuar quhet integrali i përgjithshëm i ekuacionit diferencial. Kjo është, ky është një integral i përgjithshëm.

Përgjigja në këtë formë është mjaft e pranueshme, por a ka një alternativë më të mirë? Le të përpiqemi të marrim zgjidhje e përgjithshme.

Ju lutem, mbani mend teknikën e parë, është shumë e zakonshme dhe përdoret shpesh në detyra praktike: nëse një logaritëm shfaqet në anën e djathtë pas integrimit, atëherë në shumë raste (por jo gjithmonë!) këshillohet gjithashtu të shkruhet konstantja nën logaritëm.

Kjo është, NË VEND TË hyrjet zakonisht shkruhen .

Pse është e nevojshme kjo? Dhe për ta bërë më të lehtë shprehjen e "lojës". Përdorimi i vetive të logaritmeve . Në këtë rast:

Tani logaritmet dhe modulet mund të hiqen:

Funksioni është paraqitur në mënyrë eksplicite. Kjo është zgjidhja e përgjithshme.

Përgjigju: zgjidhje e përgjithshme: .

Përgjigjet për shumë ekuacione diferenciale janë mjaft të lehta për t'u kontrolluar. Në rastin tonë, kjo bëhet mjaft thjeshtë, ne marrim zgjidhjen e gjetur dhe e dallojmë atë:

Pastaj ne e zëvendësojmë derivatin në ekuacionin origjinal:

– fitohet barazia e saktë, që do të thotë se zgjidhja e përgjithshme plotëson ekuacionin, që është ajo që duhet të kontrollohet.

Duke dhënë vlera të ndryshme konstante, mund të merrni një numër të pafundëm zgjidhje private ekuacioni diferencial. Është e qartë se ndonjë nga funksionet , , etj. plotëson ekuacionin diferencial.

Ndonjëherë quhet zgjidhja e përgjithshme familja e funksioneve. Në këtë shembull, zgjidhja e përgjithshme është një familje funksionesh lineare, ose më saktë, një familje e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.

Pas një shqyrtimi të plotë të shembullit të parë, është e përshtatshme t'i përgjigjemi disa pyetjeve naive në lidhje me ekuacionet diferenciale:

1)Në këtë shembull, ne ishim në gjendje të veçonim variablat. A mund të bëhet gjithmonë kjo? Jo, jo gjithmonë. Dhe akoma më shpesh, variablat nuk mund të ndahen. Për shembull, në ekuacione homogjene të rendit të parë, fillimisht duhet ta zëvendësoni. Në llojet e tjera të ekuacioneve, për shembull, në një ekuacion linear johomogjen të rendit të parë, duhet të përdorni teknika dhe metoda të ndryshme për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme. Ekuacionet me ndryshore të ndashme, të cilat i konsiderojmë në mësimin e parë, janë lloji më i thjeshtë i ekuacioneve diferenciale.

2) A është gjithmonë e mundur të integrohet një ekuacion diferencial? Jo, jo gjithmonë. Është shumë e lehtë të dalësh me një ekuacion "të zbukuruar" që nuk mund të integrohet, përveç kësaj, ka integrale që nuk mund të merren. Por DE të tilla mund të zgjidhen përafërsisht duke përdorur metoda speciale. D'Alembert dhe Cauchy garantojnë... ...po, përgjoj. Për të lexuar shumë vetëm tani, gati shtova "nga bota tjetër".

3) Në këtë shembull, ne morëm një zgjidhje në formën e një integrali të përgjithshëm . A është gjithmonë e mundur të gjesh një zgjidhje të përgjithshme nga një integral i përgjithshëm, domethënë të shprehësh "y" në mënyrë eksplicite? Jo, jo gjithmonë. Për shembull: . Epo, si mund të shprehesh “greqisht” këtu?! Në raste të tilla, përgjigja duhet të shkruhet si një integral i përgjithshëm. Për më tepër, ndonjëherë është e mundur të gjendet një zgjidhje e përgjithshme, por është shkruar aq e rëndë dhe e ngathët sa është më mirë të lihet përgjigja në formën e një integrali të përgjithshëm.

4) ...ndoshta kjo është e mjaftueshme tani për tani. Në shembullin e parë që hasëm një pikë tjetër e rëndësishme, por për të mos i mbuluar "bedelet" me një ortek informacionesh të reja, do ta lë deri në mësimin tjetër.

Ne nuk do të nxitojmë. Një tjetër telekomandë e thjeshtë dhe një zgjidhje tjetër tipike:

Shembulli 2

Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që plotëson kushtin fillestar

Zgjidhje: sipas gjendjes, ju duhet të gjeni zgjidhje private DE që plotëson një kusht fillestar të caktuar. Quhet edhe ky formulim i pyetjes Problem cauchy.

Së pari gjejmë një zgjidhje të përgjithshme. Nuk ka asnjë ndryshore "x" në ekuacion, por kjo nuk duhet të ngatërrohet, gjëja kryesore është që ajo ka derivatin e parë.

Ne e rishkruajmë derivatin në formën e kërkuar:

Natyrisht, variablat mund të ndahen, djemtë në të majtë, vajzat në të djathtë:

Le të integrojmë ekuacionin:

Përftohet integrali i përgjithshëm. Këtu kam vizatuar një konstante me një yll, fakti është se shumë shpejt ajo do të kthehet në një konstante tjetër.

Tani ne përpiqemi të transformojmë integralin e përgjithshëm në një zgjidhje të përgjithshme (shprehni "y" në mënyrë eksplicite). Le të kujtojmë gjërat e vjetra të mira nga shkolla: . Në këtë rast:

Konstanta në tregues duket disi e paqartë, kështu që zakonisht zbret në tokë. Në detaje, kështu ndodh. Duke përdorur vetinë e shkallëve, ne e rishkruajmë funksionin si më poshtë:

Nëse është një konstante, atëherë është gjithashtu një konstante, le ta ripërcaktojmë atë me shkronjën:

Mos harroni se "shkatërrimi" i një konstante është teknikë e dytë, e cila përdoret shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale.

Pra, zgjidhja e përgjithshme është: . Kjo është një familje e bukur funksionesh eksponenciale.

Në fazën përfundimtare, ju duhet të gjeni një zgjidhje të veçantë që plotëson kushtin e dhënë fillestar. Kjo është gjithashtu e thjeshtë.

Cila është detyra? Nevoja për të marrë të tilla vlera e konstantës në mënyrë që kushti të plotësohet.

Mund të formatohet në mënyra të ndryshme, por kjo ndoshta do të jetë mënyra më e qartë. Në zgjidhjen e përgjithshme, në vend të "X" ne zëvendësojmë një zero, dhe në vend të "Y" ne zëvendësojmë një dy:



Kjo është,

Versioni standard i dizajnit:

Tani ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur të konstantës në zgjidhjen e përgjithshme:
– kjo është zgjidhja e veçantë që na nevojitet.

Përgjigju: zgjidhje private:

Le të kontrollojmë. Kontrollimi i një zgjidhjeje private përfshin dy faza:

Së pari ju duhet të kontrolloni nëse zgjidhja e caktuar e gjetur përmbush vërtet kushtin fillestar? Në vend të "X" ne zëvendësojmë një zero dhe shohim se çfarë ndodh:
- po, vërtet është marrë një dy, që do të thotë se është plotësuar kushti fillestar.

Faza e dytë është tashmë e njohur. Marrim zgjidhjen e veçantë që rezulton dhe gjejmë derivatin:

Ne zëvendësojmë në ekuacionin origjinal:

– fitohet barazia e saktë.

Përfundim: zgjidhja e caktuar u gjet saktë.

Le të kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 3

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhja: Ne e rishkruajmë derivatin në formën që na nevojitet:

Ne vlerësojmë nëse është e mundur të ndahen variablat? Mund. Ne e zhvendosim termin e dytë në anën e djathtë me një ndryshim të shenjës:

Dhe ne i transferojmë shumëzuesit sipas rregullit të proporcionit:

Variablat janë të ndara, le të integrojmë të dyja pjesët:

Më duhet t'ju paralajmëroj, dita e gjykimit po afron. Nëse nuk keni studiuar mirë integrale të pacaktuara, kanë zgjidhur disa shembuj, atëherë nuk ka ku të shkojë - do të duhet t'i zotëroni ato tani.

Integrali i anës së majtë është i lehtë për t'u gjetur, ne trajtojmë integralin e kotangjentës duke përdorur teknikën standarde që kemi parë në mësim Integrimi i funksioneve trigonometrike vitin e kaluar:

Në anën e djathtë kemi një logaritëm dhe, sipas rekomandimit tim të parë teknik, konstanta duhet të shkruhet edhe nën logaritëm.

Tani ne përpiqemi të thjeshtojmë integralin e përgjithshëm. Meqenëse kemi vetëm logaritme, është mjaft e mundur (dhe e nevojshme) t'i heqim qafe ato. Duke përdorur vetitë e njohura I “paketojmë” logaritmet sa më shumë që të jetë e mundur. Do ta shkruaj me shumë detaje:

Paketimi është përfunduar për t'u copëtuar barbarisht:

A është e mundur të shprehet "lojë"? Mund. Është e nevojshme që të dy pjesët të jenë katrore.

Por ju nuk keni nevojë ta bëni këtë.

Këshilla e tretë teknike: nëse për të marrë një zgjidhje të përgjithshme është e nevojshme të ngrihet në një fuqi ose të zërë rrënjë, atëherë në shumicën e rasteve duhet të përmbaheni nga këto veprime dhe ta lini përgjigjen në formën e një integrali të përgjithshëm. Fakti është se zgjidhja e përgjithshme do të duket thjesht e tmerrshme - me rrënjë të mëdha, shenja dhe mbeturina të tjera.

Prandaj, ne e shkruajmë përgjigjen në formën e një integrali të përgjithshëm. Konsiderohet praktikë e mirë ta paraqisni atë në formën , domethënë në anën e djathtë, nëse është e mundur, të lini vetëm një konstante. Nuk është e nevojshme ta bëni këtë, por është gjithmonë e dobishme për të kënaqur profesorin ;-)

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

! Shënim: Integrali i përgjithshëm i çdo ekuacioni mund të shkruhet në më shumë se një mënyrë. Kështu, nëse rezultati juaj nuk përkon me përgjigjen e njohur më parë, kjo nuk do të thotë që e keni zgjidhur gabim ekuacionin.

Integrali i përgjithshëm është gjithashtu mjaft i lehtë për t'u kontrolluar, gjëja kryesore është të jesh në gjendje të gjesh derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite. Le të dallojmë përgjigjen:

Ne i shumëzojmë të dy termat me:

Dhe ndajeni me:

Ekuacioni origjinal diferencial është marrë saktësisht, që do të thotë se integrali i përgjithshëm është gjetur saktë.

Shembulli 4

Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që plotëson kushtin fillestar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Më lejoni t'ju kujtoj se algoritmi përbëhet nga dy faza:
1) gjetja e një zgjidhjeje të përgjithshme;
2) gjetja e zgjidhjes së veçantë të kërkuar.

Kontrolli kryhet gjithashtu në dy hapa (shih mostrën në shembullin nr. 2), ju duhet:
1) sigurohuni që zgjidhja e caktuar e gjetur plotëson kushtin fillestar;
2) kontrolloni nëse një zgjidhje e caktuar në përgjithësi plotëson ekuacionin diferencial.

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Shembulli 5

Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial , duke plotesuar kushtin fillestar. Kryeni kontrollin.

Zgjidhja: Së pari, le të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme. Ne ndajmë variablat:

Le të integrojmë ekuacionin:

Integrali në të majtë është tabelor, integrali në të djathtë është marrë Metoda e nënshtrimit të një funksioni nën shenjën diferenciale:

Është marrë integrali i përgjithshëm; Mund. I varim logaritmet në të dyja anët. Meqenëse janë pozitive, shenjat e modulit janë të panevojshme:

(Shpresoj që të gjithë ta kuptojnë transformimin, gjëra të tilla duhet të dihen tashmë)

Pra, zgjidhja e përgjithshme është:

Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë që korrespondon me kushtin fillestar të dhënë.
Në zgjidhjen e përgjithshme, në vend të "X" ne zëvendësojmë zeron, dhe në vend të "Y" ne zëvendësojmë logaritmin e dy:

Dizajni më i njohur:

Vlerën e gjetur të konstantës e zëvendësojmë me zgjidhjen e përgjithshme.

Përgjigje: zgjidhje private:

Kontrollo: Së pari, le të kontrollojmë nëse kushti fillestar plotësohet:
- gjithçka po gumëzhin.

Tani le të kontrollojmë nëse zgjidhja e caktuar e gjetur plotëson fare ekuacionin diferencial. Gjetja e derivatit:

Le të shohim ekuacionin origjinal: – paraqitet në diferenciale. Ka dy mënyra për të kontrolluar. Është e mundur të shprehet diferenciali nga derivati ​​i gjetur:

Le të zëvendësojmë zgjidhjen specifike të gjetur dhe diferencialin që rezulton në ekuacionin origjinal :

Ne përdorim identitetin bazë logaritmik:

Fitohet barazia e saktë, që do të thotë se zgjidhja e caktuar është gjetur saktë.

Metoda e dytë e kontrollit është e pasqyruar dhe më e njohur: nga ekuacioni Le të shprehim derivatin, për ta bërë këtë ne i ndajmë të gjitha pjesët me:

Dhe në DE të transformuar zëvendësojmë zgjidhjen e pjesshme të fituar dhe derivatin e gjetur. Si rezultat i thjeshtimeve, duhet të merret edhe barazia e saktë.

Shembulli 6

Zgjidhja e ekuacionit diferencial. Paraqisni përgjigjen në formën e një integrali të përgjithshëm.

Ky është një shembull për ta zgjidhur vetë, zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të orës së mësimit.

Çfarë vështirësish presin kur zgjidhen ekuacionet diferenciale me variabla të ndashëm?

1) Nuk është gjithmonë e qartë (veçanërisht për një "çajinik") që variablat mund të ndahen. Le të shqyrtojmë një shembull të kushtëzuar: . Këtu duhet të hiqni faktorët nga kllapat: dhe të ndani rrënjët: . Është e qartë se çfarë duhet bërë më pas.

2) Vështirësitë me vetë integrimin. Integralet shpesh nuk janë më të thjeshtat, dhe nëse ka të meta në aftësitë e gjetjes integral i pacaktuar, atëherë do të jetë e vështirë me shumë shpërndarës. Për më tepër, logjika "meqenëse ekuacioni diferencial është i thjeshtë, atëherë të paktën le të jenë më të ndërlikuara integralet" është e popullarizuar në mesin e përpiluesve të koleksioneve dhe manualeve të trajnimit.

3) Transformimet me një konstante. Siç e kanë vënë re të gjithë, konstantja në ekuacionet diferenciale mund të trajtohet mjaft lirshëm dhe disa transformime nuk janë gjithmonë të qarta për një fillestar. Le të shohim një shembull tjetër të kushtëzuar: . Këshillohet që të shumëzoni të gjithë termat me 2: . Konstanta që rezulton është gjithashtu një lloj konstante, e cila mund të shënohet me: . Po, dhe meqenëse ka një logaritëm në anën e djathtë, atëherë këshillohet që konstantja të rishkruhet në formën e një konstante tjetër: .

Problemi është se ata shpesh nuk shqetësohen me indekset dhe përdorin të njëjtën shkronjë. Si rezultat, procesverbali i vendimit merr formën e mëposhtme:

Çfarë lloj herezie? Këtu ka gabime! Në mënyrë të rreptë, po. Megjithatë, nga pikëpamja përmbajtësore, nuk ka gabime, sepse si rezultat i transformimit të një konstante të ndryshueshme, përsëri fitohet një konstante e ndryshueshme.

Ose një shembull tjetër, supozoni se gjatë zgjidhjes së ekuacionit fitohet një integral i përgjithshëm. Kjo përgjigje duket e shëmtuar, kështu që këshillohet të ndryshoni shenjën e secilit term: . Formalisht, këtu ka një gabim tjetër - duhet të shkruhet në të djathtë. Por joformalisht nënkuptohet se "minus ce" është ende një konstante ( e cila po aq lehtë mund të marrë çdo kuptim!), kështu që vendosja e një "minus" nuk ka kuptim dhe mund të përdorni të njëjtën shkronjë.

Do të përpiqem të shmang një qasje të pakujdesshme dhe do të caktoj ende indekse të ndryshme për konstante kur i konvertoj ato.

Shembulli 7

Zgjidhja e ekuacionit diferencial. Kryeni kontrollin.

Zgjidhja: Ky ekuacion lejon ndarjen e variablave. Ne ndajmë variablat:

Le të integrojmë:

Nuk është e nevojshme të përcaktohet konstantja këtu si një logaritëm, pasi asgjë e dobishme nuk do të vijë nga kjo.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Kontrollo: Diferenco përgjigjen (funksioni i nënkuptuar):

Ne shpëtojmë nga thyesat duke i shumëzuar të dy termat me:

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se integrali i përgjithshëm është gjetur saktë.

Shembulli 8

Gjeni një zgjidhje të veçantë të DE.
,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. E vetmja sugjerim është se këtu do të merrni një integral të përgjithshëm, dhe, thënë më saktë, duhet të krijoni për të gjetur jo një zgjidhje të veçantë, por integral i pjesshëm. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

6.1. KONCEPTE DHE PËRKUFIZIMET THEMELORE

Kur zgjidhen probleme të ndryshme në matematikë dhe fizikë, biologji dhe mjekësi, mjaft shpesh nuk është e mundur të vendoset menjëherë një marrëdhënie funksionale në formën e një formule që lidh variablat që përshkruajnë procesin në studim. Zakonisht duhet të përdorni ekuacione që përmbajnë, përveç ndryshores së pavarur dhe funksionit të panjohur, edhe derivatet e saj.

Përkufizimi. Quhet një ekuacion që lidh një ndryshore të pavarur, një funksion të panjohur dhe derivatet e tij të rendit të ndryshëm diferencial.

Zakonisht shënohet një funksion i panjohur y(x) ose thjesht y, dhe derivatet e saj - y", y" etj.

Emërtime të tjera janë gjithashtu të mundshme, për shembull: nëse y= x(t), atëherë x"(t), x""(t)- derivatet e tij, dhe t- ndryshore e pavarur.

Përkufizimi. Nëse një funksion varet nga një ndryshore, atëherë ekuacioni diferencial quhet i zakonshëm. Pamje e përgjithshme ekuacioni diferencial i zakonshëm:

ose

Funksionet F Dhe f mund të mos përmbajë disa argumente, por që ekuacionet të jenë diferenciale, prania e një derivati ​​është thelbësore.

Përkufizimi.Rendi i ekuacionit diferencial quhet rendi i derivatit më të lartë të përfshirë në të.

Për shembull, x 2 y"- y= 0, y" + mëkat x= 0 janë ekuacione të rendit të parë, dhe y"+ 2 y"+ 5 y= x- ekuacioni i rendit të dytë.

Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale, përdoret operacioni i integrimit, i cili shoqërohet me shfaqjen e një konstante arbitrare. Nëse zbatohet veprimi i integrimit n herë, atëherë, padyshim, zgjidhja do të përmbajë n konstante arbitrare.

6.2. EKUACIONET DIFERENCIALE TË RENDIT TË PARË

Pamje e përgjithshme ekuacioni diferencial i rendit të parë përcaktohet nga shprehja

Ekuacioni mund të mos përmbajë në mënyrë eksplicite x Dhe y, por domosdoshmërisht përmban y”.

Nëse ekuacioni mund të shkruhet si

atëherë marrim një ekuacion diferencial të rendit të parë të zgjidhur në lidhje me derivatin.

Përkufizimi. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial të rendit të parë (6.3) (ose (6.4)) është bashkësia e zgjidhjeve , Ku ME- konstante arbitrare.

Grafiku i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial quhet kurba integrale.

Dhënia e një konstante arbitrare ME vlera të ndryshme, mund të merren zgjidhje të pjesshme. Në një avion xOy zgjidhja e përgjithshme është një familje kurbash integrale që korrespondojnë me secilën zgjidhje të veçantë.

Nëse vendosni një pikë A (x 0 , y 0), nëpër të cilën duhet të kalojë kurba integrale, atëherë, si rregull, nga një grup funksionesh Mund të veçohet një - një zgjidhje private.

Përkufizimi.Vendim privat e një ekuacioni diferencial është zgjidhja e tij që nuk përmban konstante arbitrare.

Nëse është një zgjidhje e përgjithshme, pastaj nga gjendja

ju mund të gjeni një konstante ME. Gjendja quhet gjendje fillestare.

Problemi i gjetjes së një zgjidhjeje të veçantë për ekuacionin diferencial (6.3) ose (6.4) që plotëson kushtin fillestar në thirrur Problem cauchy. A ka gjithmonë një zgjidhje ky problem? Përgjigja gjendet në teoremën e mëposhtme.

Teorema e Cauchy-t(teorema e ekzistencës dhe unike e një zgjidhjeje). Lëreni ekuacionin diferencial y"= f(x,y) funksionin f(x,y) dhe ajo

derivat i pjesshëm të përcaktuara dhe të vazhdueshme në disa

rajoni D, që përmban një pikë Pastaj në zonë D ekziston

e vetmja zgjidhje e ekuacionit që plotëson kushtin fillestar në

Teorema e Cauchy-t thotë se në kushte të caktuara ekziston një kurbë unike integrale y= f (x), duke kaluar nëpër një pikë Pikat në të cilat kushtet e teoremës nuk plotësohen

Cauchies quhen e veçantë. Në këto pika prishet f(x, y) ose.

Ose disa kthesa integrale ose asnjëra nuk kalon nëpër një pikë të vetme.

Përkufizimi. Nëse zgjidhja (6.3), (6.4) gjendet në formën f(x, y, C)= 0, nuk lejohet në raport me y, atëherë thirret integrali i përgjithshëm ekuacioni diferencial.

Teorema e Cauchy-t garanton vetëm se ekziston një zgjidhje. Meqenëse nuk ka asnjë metodë të vetme për të gjetur një zgjidhje, ne do të shqyrtojmë vetëm disa lloje të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë që mund të integrohen në kuadraturat.

Përkufizimi. Ekuacioni diferencial quhet të integrueshme në kuadratura, nëse gjetja e zgjidhjes së tij zbret në integrimin e funksioneve.

6.2.1. Ekuacione diferenciale të rendit të parë me ndryshore të ndashme

Përkufizimi. Një ekuacion diferencial i rendit të parë quhet ekuacion me variabla të ndashëm,

Ana e djathtë e ekuacionit (6.5) është prodhim i dy funksioneve, secili prej të cilëve varet vetëm nga një ndryshore.

Për shembull, ekuacioni është një ekuacion me ndarje

me variabla
dhe ekuacioni

nuk mund të paraqitet në formën (6.5).

Duke pasur parasysh atë , e rishkruajmë (6.5) në formë

Nga ky ekuacion marrim një ekuacion diferencial me variabla të ndara, në të cilin diferencialet janë funksione që varen vetëm nga ndryshorja përkatëse:

Duke integruar term pas termi, kemi

ku C = C 2 - C 1 - konstante arbitrare. Shprehja (6.6) është integrali i përgjithshëm i ekuacionit (6.5).

Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit (6.5) me, mund të humbasim ato zgjidhje për të cilat: Në të vërtetë, nëse në

Se padyshim është një zgjidhje e ekuacionit (6.5).

Shembulli 1. Gjeni një zgjidhje për ekuacionin që plotëson

kusht: y= 6 në x= 2 (y(2) = 6).

Zgjidhje. Ne do të zëvendësojmë y" pastaj . Shumëzojini të dyja anët me

dx, pasi që gjatë integrimit të mëtejshëm është e pamundur të largohet dx në emërues:

dhe më pas duke i ndarë të dyja pjesët me marrim ekuacionin,

të cilat mund të integrohen. Le të integrojmë:

Pastaj ; duke fuqizuar, marrim y = C. (x + 1) - ob-

zgjidhje e përgjithshme.

Duke përdorur të dhënat fillestare, ne përcaktojmë një konstante arbitrare, duke i zëvendësuar ato në zgjidhjen e përgjithshme

Më në fund arrijmë y= 2(x + 1) është një zgjidhje e veçantë. Le të shohim disa shembuj të tjerë të zgjidhjes së ekuacioneve me ndryshore të ndashme.

Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit

Zgjidhje. Duke pasur parasysh atë , marrim .

Duke integruar të dyja anët e ekuacionit, ne kemi

ku

Shembulli 3. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit Zgjidhje. Të dyja anët e ekuacionit i ndajmë në ata faktorë që varen nga një ndryshore që nuk përkon me variablin nën shenjën diferenciale, d.m.th. dhe të integrohen. Pastaj marrim

dhe në fund

Shembulli 4. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit

Zgjidhje. Duke ditur se çfarë do të marrim. Seksioni

variablat lim. Pastaj

Duke u integruar, ne marrim

Komentoni. Në shembujt 1 dhe 2, funksioni i kërkuar është y shprehur në mënyrë eksplicite (zgjidhje e përgjithshme). Në shembujt 3 dhe 4 - në mënyrë implicite (integral i përgjithshëm). Në të ardhmen, forma e vendimit nuk do të specifikohet.

Shembulli 5. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit Zgjidhje.

Shembulli 6. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit , të kënaqshme

gjendje y(e)= 1.

Zgjidhje. Le ta shkruajmë ekuacionin në formë

Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me dx dhe ne marrim

Duke integruar të dyja anët e ekuacionit (integrali në anën e djathtë merret me pjesë), marrim

Por sipas kushtit y= 1 në x= e. Pastaj

Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura ME për zgjidhjen e përgjithshme:

Shprehja që rezulton quhet zgjidhje e pjesshme e ekuacionit diferencial.

6.2.2. Ekuacione diferenciale homogjene të rendit të parë

Përkufizimi. Quhet ekuacioni diferencial i rendit të parë homogjene, nëse mund të paraqitet në formë

Le të paraqesim një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni homogjen.

1. Në vend të kësaj y le të prezantojmë një funksion të ri Pastaj dhe prandaj

2.Përsa i përket funksionit u ekuacioni (6.7) merr formën

domethënë, zëvendësimi redukton një ekuacion homogjen në një ekuacion me ndryshore të ndashme.

3. Duke zgjidhur ekuacionin (6.8), fillimisht gjejmë u dhe më pas y= ux.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin Zgjidhje. Le ta shkruajmë ekuacionin në formë

Ne bëjmë zëvendësimin:
Pastaj

Ne do të zëvendësojmë

Shumëzoni me dx: Ndani sipas x dhe me radhë Pastaj

Pasi kemi integruar të dyja anët e ekuacionit mbi variablat përkatëse, kemi

ose, duke u kthyer te ndryshoret e vjetra, më në fund marrim

Shembulli 2.Zgjidhe ekuacionin Zgjidhje.Le Pastaj

Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me x2: Le të hapim kllapat dhe të riorganizojmë termat:

Duke kaluar te variablat e vjetër, arrijmë në rezultatin përfundimtar:

Shembulli 3.Gjeni zgjidhjen e ekuacionit duke pasur parasysh se

Zgjidhje.Kryerja e një zëvendësimi standard marrim

ose

ose

Kjo do të thotë se zgjidhja e veçantë ka formën Shembulli 4. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit

Zgjidhje.

Shembulli 5.Gjeni zgjidhjen e ekuacionit Zgjidhje.

Punë e pavarur

Gjeni zgjidhje të ekuacioneve diferenciale me ndryshore të ndashme (1-9).

Gjeni një zgjidhje për ekuacionet diferenciale homogjene (9-18).

6.2.3. Disa aplikime të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë

Problemi i kalbjes radioaktive

Shpejtësia e zbërthimit të Ra (radiumit) në çdo moment të kohës është proporcionale me masën e tij të disponueshme. Gjeni ligjin e zbërthimit radioaktiv të Ra nëse dihet se në momentin fillestar kishte Ra dhe gjysma e jetës së Ra është 1590 vjet.

Zgjidhje. Le të jetë në çast masa Ra x= x(t) g, dhe Atëherë shkalla e zbërthimit Ra është e barabartë me

Sipas kushteve të problemit

Ku k

Duke ndarë variablat në ekuacionin e fundit dhe duke integruar, marrim

ku

Për të përcaktuar C përdorim kushtin fillestar: kur .

Pastaj dhe, për rrjedhojë,

Faktori i proporcionalitetit k përcaktohet nga kushti shtesë:

ne kemi

Nga këtu dhe formulën e kërkuar

Problemi i shkallës së riprodhimit bakterial

Shkalla e riprodhimit të baktereve është proporcionale me numrin e tyre. Në fillim kishte 100 baktere. Brenda 3 orësh numri i tyre u dyfishua. Gjeni varësinë e numrit të baktereve në kohë. Sa herë do të rritet numri i baktereve brenda 9 orëve?

Zgjidhje. Le x- numri i baktereve në të njëjtën kohë t. Pastaj, sipas kushtit,

Ku k- koeficienti i proporcionalitetit.

Nga këtu Nga gjendja dihet se . Do të thotë,

Nga kushti shtesë . Pastaj

Funksioni që kërkoni:

Pra, kur t= 9 x= 800, pra brenda 9 orësh numri i baktereve u rrit 8 herë.

Problemi i rritjes së sasisë së enzimës

Në kulturën e majave të birrës, shkalla e rritjes së enzimës aktive është proporcionale me sasinë e saj fillestare. x. Sasia fillestare e enzimës a dyfishuar brenda një ore. Gjeni varësinë

x(t).

Zgjidhje. Sipas kushtit, ekuacioni diferencial i procesit ka formën

nga këtu

Por . Do të thotë, C= a dhe pastaj

Dihet gjithashtu se

Prandaj,

6.3. EKUACIONET DIFERENCIALE TË RENDIT TË DYTË

6.3.1. Konceptet themelore

Përkufizimi.Ekuacioni diferencial i rendit të dytë quhet relacion që lidh variablin e pavarur, funksionin e dëshiruar dhe derivatet e tij të parë dhe të dytë.

Në raste të veçanta, x mund të mungojë në ekuacion, në ose y". Megjithatë, një ekuacion i rendit të dytë duhet të përmbajë domosdoshmërisht y." Në rastin e përgjithshëm, një ekuacion diferencial i rendit të dytë shkruhet si:

ose, nëse është e mundur, në formën e zgjidhur në lidhje me derivatin e dytë:

Ashtu si në rastin e një ekuacioni të rendit të parë, për një ekuacion të rendit të dytë mund të ketë zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta. Zgjidhja e përgjithshme është:

Gjetja e një zgjidhjeje të veçantë

në kushte fillestare - dhënë

numrat) quhet Problem cauchy. Gjeometrikisht, kjo do të thotë se ne duhet të gjejmë kurbën integrale në= y (x), duke kaluar nëpër një pikë të caktuar dhe duke pasur një tangjente në këtë pikë e cila është

përputhet me drejtimin e boshtit pozitiv kau këndi i specifikuar. e. (Fig. 6.1). Problemi Cauchy ka një zgjidhje unike nëse ana e djathtë e ekuacionit (6.10), pandërprerë

është i ndërprerë dhe ka derivate të pjesshme të vazhdueshme në lidhje me uh, uh" në ndonjë lagje të pikënisjes

Për të gjetur konstante përfshirë në një zgjidhje private, sistemi duhet të zgjidhet

Oriz. 6.1. Kurba integrale

Udhëzimet

Nëse ekuacioni paraqitet në formën: dy/dx = q(x)/n(y), klasifikojini si ekuacione diferenciale me ndryshore të ndashme. Ato mund të zgjidhen duke shkruar kushtin në diferenciale si më poshtë: n(y)dy = q(x)dx. Pastaj integroni të dyja palët. Në disa raste, zgjidhja shkruhet në formën e integraleve të marra nga funksionet e njohura. Për shembull, në rastin e dy/dx = x/y, marrim q(x) = x, n(y) = y. Shkruajeni në formën ydy = xdx dhe integrojeni. Duhet të jetë y^2 = x^2 + c.

Në lineare ekuacionet lidhni ekuacionet me "të parën". Një funksion i panjohur me derivatet e tij hyn në një ekuacion të tillë vetëm në shkallën e parë. Linear ka formën dy/dx + f(x) = j(x), ku f(x) dhe g(x) janë funksione në varësi të x. Zgjidhja shkruhet duke përdorur integrale të marra nga funksione të njohura.

Ju lutemi vini re se shumë ekuacione diferenciale janë ekuacione të rendit të dytë (që përmbajnë derivate të dytë, për shembull, ekuacioni i lëvizjes së thjeshtë harmonike është shkruar në formë të përgjithshme: md 2x/dt 2 = –kx). Ekuacione të tilla kanë, në , zgjidhje të veçanta. Ekuacioni i lëvizjes së thjeshtë harmonike është një shembull i diçkaje mjaft të rëndësishme: ekuacionet diferenciale lineare që kanë një koeficient konstant.

Nëse ka vetëm një ekuacion linear në kushtet e problemit, atëherë ju janë dhënë kushte shtesë përmes të cilave mund të gjeni një zgjidhje. Lexoni me kujdes problemin për të gjetur këto kushte. Nëse variablave x dhe y tregojnë distancën, shpejtësinë, peshën - mos ngurroni të vendosni kufirin x≥0 dhe y≥0. Është shumë e mundur që x ose y fsheh numrin e mollëve, etj. - atëherë vlerat mund të jenë vetëm . Nëse x është mosha e djalit, është e qartë se ai nuk mund të jetë më i vjetër se babai i tij, kështu që tregoni këtë në kushtet e problemit.

Burimet:

• si të zgjidhim një ekuacion me një ndryshore

Problemet në llogaritjet diferenciale dhe integrale janë elementë të rëndësishëm në konsolidimin e teorisë së analizës matematikore, një degë e matematikës së lartë që studiohet në universitete. Diferenciale ekuacioni zgjidhur me metodën e integrimit.

Udhëzimet

Llogaritja diferenciale eksploron vetitë e . Dhe anasjelltas, integrimi i një funksioni lejon vetitë e dhëna, d.m.th. derivatet ose diferencialet e një funksioni për ta gjetur atë vetë. Kjo është zgjidhja e ekuacionit diferencial.

Çdo gjë është një marrëdhënie midis një sasie të panjohur dhe të dhënave të njohura. Në rastin e një ekuacioni diferencial, roli i të panjohurës luhet nga një funksion dhe roli i sasive të njohura luhet nga derivatet e tij. Përveç kësaj, marrëdhënia mund të përmbajë një variabël të pavarur: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, ku x është një e panjohur ndryshorja, y (x) është funksioni që do të përcaktohet, rendi i ekuacionit është rendi maksimal i derivatit (n).

Një ekuacion i tillë quhet ekuacion diferencial i zakonshëm. Nëse marrëdhënia përmban disa ndryshore të pavarura dhe derivate të pjesshme (diferenciale) të funksionit në lidhje me këto ndryshore, atëherë ekuacioni quhet ekuacion diferencial i pjesshëm dhe ka formën: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0. , ku z(x, y) është funksioni i kërkuar.

Pra, për të mësuar se si të zgjidhni ekuacionet diferenciale, duhet të jeni në gjendje të gjeni antiderivativë, d.m.th. zgjidh problemin anasjelltas me diferencimin. Për shembull: Zgjidheni ekuacionin e rendit të parë y’ = -y/x.

ZgjidhjeZëvendëso y’ me dy/dx: dy/dx = -y/x.

Reduktoni ekuacionin në një formë të përshtatshme për integrim. Për ta bërë këtë, shumëzojini të dyja anët me dx dhe ndani me y:dy/y = -dx/x.

Integroni: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Kjo zgjidhje quhet ekuacion i përgjithshëm diferencial. C është një konstante grupi i vlerave të së cilës përcakton grupin e zgjidhjeve të ekuacionit. Për çdo vlerë specifike të C, zgjidhja do të jetë unike. Kjo zgjidhje është një zgjidhje e pjesshme e ekuacionit diferencial.

Zgjidhja e shumicës së ekuacioneve të rendit më të lartë gradë nuk ka një formulë të qartë për gjetjen e rrënjëve katrore ekuacionet. Megjithatë, ka disa metoda reduktimi që ju lejojnë të transformoni një ekuacion të shkallës më të lartë në një formë më vizuale.

Udhëzimet

Metoda më e zakonshme për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës më të lartë është zgjerimi. Kjo qasje është një kombinim i zgjedhjes së rrënjëve të numrave të plotë, pjesëtuesve të termit të lirë dhe ndarjes pasuese të polinomit të përgjithshëm në formën (x – x0).

Për shembull, zgjidhni ekuacionin x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Zgjidhje: Termi i lirë i këtij polinomi është -3, prandaj pjesëtuesit e tij të plotë mund të jenë numrat ±1 dhe ±3. Zëvendësoni ato një nga një në ekuacion dhe zbuloni nëse merrni identitetin: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Rrënja e dytë x = -1. Pjestojeni me shprehjen (x + 1). Shkruani ekuacionin që rezulton (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Shkalla është reduktuar në të dytën, prandaj, ekuacioni mund të ketë edhe dy rrënjë të tjera. Për t'i gjetur ato, zgjidhni ekuacionin kuadratik: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminuesi është një vlerë negative, që do të thotë se ekuacioni nuk ka më rrënjë reale. Gjeni rrënjët komplekse të ekuacionit: x = (-2 + i·√11)/2 dhe x = (-2 – i·√11)/2.

Një metodë tjetër për zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës më të lartë është ndryshimi i variablave për ta bërë atë kuadratik. Kjo qasje përdoret kur të gjitha fuqitë e ekuacionit janë çift, për shembull: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Tani gjeni rrënjët e ekuacionit origjinal: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Këshilla 10: Si të përcaktoni ekuacionet Redox

Një reaksion kimik është një proces i transformimit të substancave që ndodh me një ndryshim në përbërjen e tyre. Ato substanca që reagojnë quhen substanca fillestare, ndërsa ato që formohen si rezultat i këtij procesi quhen produkte. Ndodh që gjatë një reaksioni kimik, elementët që përbëjnë substancat fillestare të ndryshojnë gjendjen e tyre të oksidimit. Kjo do të thotë, ata mund të pranojnë elektronet e dikujt tjetër dhe të japin të tyret. Në të dyja rastet, tarifa e tyre ndryshon. Reaksione të tilla quhen reaksione redoks.

Le të kujtojmë detyrën që na hasi gjatë gjetjes së integraleve të caktuar:

ose dy = f(x)dx. Zgjidhja e saj:

dhe vjen deri te llogaritja e integralit të pacaktuar. Në praktikë, më shpesh haset një detyrë më komplekse: gjetja e funksionit y, nëse dihet se plotëson një relacion të formës

Kjo marrëdhënie lidh variablin e pavarur x, funksion i panjohur y dhe derivatet e tij deri në rend n përfshirëse, quhen .

Një ekuacion diferencial përfshin një funksion nën shenjën e derivateve (ose diferencialeve) të një rendi ose një tjetër. Rendi më i lartë quhet rendi (9.1) .

Ekuacionet diferenciale:

- porosia e parë,

Urdhri i dytë

- urdhri i pestë, etj.

Funksioni që plotëson një ekuacion diferencial të caktuar quhet zgjidhja e tij , ose integrale . Zgjidhja e tij do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij. Nëse për funksionin e kërkuar y arritëm të marrim një formulë që jep të gjitha zgjidhjet, atëherë themi se kemi gjetur zgjidhjen e përgjithshme të saj , ose integral i përgjithshëm .

Zgjidhje e përgjithshme përmban n konstante arbitrare dhe duket si

Nëse fitohet një relacion që lidhet x, y Dhe n konstante arbitrare, në një formë që nuk lejohet në lidhje me y -

atëherë një lidhje e tillë quhet integrali i përgjithshëm i ekuacionit (9.1).

Problem cauchy

Çdo zgjidhje specifike, d.m.th., çdo funksion specifik që plotëson një ekuacion diferencial të caktuar dhe nuk varet nga konstante arbitrare, quhet zgjidhje e veçantë. , ose një integral i pjesshëm. Për të marrë zgjidhje të veçanta (integrale) nga ato të përgjithshme, konstanteve duhet t'u jepen vlera numerike specifike.

Grafiku i një zgjidhjeje të caktuar quhet kurbë integrale. Zgjidhja e përgjithshme, e cila përmban të gjitha zgjidhjet e pjesshme, është një familje kurbash integrale. Për një ekuacion të rendit të parë, kjo familje varet nga një konstante arbitrare, për ekuacionin n-rendi i - nga n konstante arbitrare.

Problemi Cauchy është gjetja e një zgjidhjeje të veçantë për ekuacionin n-të rendit, të kënaqshme n Kushtet fillestare:

me të cilat përcaktohen n konstante c 1, c 2,..., c n.

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë

Për një ekuacion diferencial të rendit të parë që është i pazgjidhur në lidhje me derivatin, ai ka formën

ose për të lejuar relativisht

Shembulli 3.46. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit

Zgjidhje. Duke u integruar, ne marrim

ku C është një konstante arbitrare. Nëse i caktojmë vlera numerike specifike për C, marrim zgjidhje të veçanta, për shembull,

Shembulli 3.47. Konsideroni një shumë në rritje të parave të depozituara në bankë që i nënshtrohen llogaritjes prej 100 r interesi i përbërë në vit. Le të jetë Yo shuma fillestare e parave, dhe Yx - në fund x vjet. Nëse interesi llogaritet një herë në vit, marrim

ku x = 0, 1, 2, 3,.... Kur interesi llogaritet dy herë në vit, marrim

ku x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Gjatë llogaritjes së interesit n një herë në vit dhe nëse x merr vlerat vijuese 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., pastaj

Përcaktoni 1/n = h, atëherë barazia e mëparshme do të duket si kjo:

Me zmadhim të pakufizuar n(në ) në limit vijmë te procesi i rritjes së shumës së parave me akumulim të vazhdueshëm interesi:

Kështu është e qartë se me ndryshim të vazhdueshëm x ligji i ndryshimit të ofertës monetare shprehet me një ekuacion diferencial të rendit të parë. Ku Y x është një funksion i panjohur, x- ndryshore e pavarur, r- konstante. Le ta zgjidhim këtë ekuacion për ta bërë këtë, ne e rishkruajmë atë si më poshtë;

ku , ose , ku P tregon e C.

Nga kushtet fillestare Y(0) = Yo, gjejmë P: Yo = Pe o, nga ku, Yo = P. Prandaj, zgjidhja ka formën:

Le të shqyrtojmë problemin e dytë ekonomik. Modelet makroekonomike përshkruhen gjithashtu nga ekuacione diferenciale lineare të rendit të parë, duke përshkruar ndryshimet në të ardhurat ose produktin Y si funksione të kohës.

Shembulli 3.48. Le të rritet e ardhura kombëtare Y në një normë proporcionale me vlerën e saj:

dhe le të jetë deficiti në shpenzimet qeveritare në përpjesëtim të drejtë me të ardhurat Y me koeficientin e proporcionalitetit q. Një deficit shpenzimi çon në një rritje të borxhit kombëtar D:

Kushtet fillestare Y = Yo dhe D = Do në t = 0. Nga ekuacioni i parë Y= Yoe kt. Duke zëvendësuar Y, marrim dD/dt = qYoe kt. Zgjidhja e përgjithshme ka formën
D = (q/ k) Yoe kt +С, ku С = konst, i cili përcaktohet nga kushtet fillestare. Duke zëvendësuar kushtet fillestare, marrim Do = (q/ k)Yo + C. Pra, më në fund,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

kjo tregon se borxhi kombëtar po rritet me të njëjtin ritëm relativ k, njësoj si të ardhurat kombëtare.

Le të shqyrtojmë ekuacionet diferenciale më të thjeshta n rend, këto janë ekuacione të formës

Zgjidhja e përgjithshme e tij mund të merret duke përdorur n herë integrimet.

Shembulli 3.49. Shqyrtoni shembullin y """ = cos x.

Zgjidhje. Duke u integruar, ne gjejmë

Zgjidhja e përgjithshme ka formën

Ekuacionet diferenciale lineare

Ato përdoren gjerësisht në ekonomi, le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të tilla. Nëse (9.1) ka formën:

atëherë quhet linear, ku janë dhënë funksione рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x). Nëse f(x) = 0, atëherë (9.2) quhet homogjene, përndryshe quhet johomogjene. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (9.2) është e barabartë me shumën e cilësdo zgjidhje të veçantë të tij y(x) dhe zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen që i korrespondon:

Nëse koeficientët р o (x), р 1 (x),..., р n (x) janë konstante, atëherë (9.2)

(9.4) quhet ekuacion diferencial linear me koeficientë konstante të rendit n .

Për (9.4) ka formën:

Pa humbje të përgjithshme, mund të vendosim p o = 1 dhe të shkruajmë (9.5) në formë

Ne do të kërkojmë një zgjidhje për (9.6) në formën y = e kx, ku k është një konstante. Kemi: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. Duke zëvendësuar shprehjet që rezultojnë në (9.6), do të kemi:

(9.7) është një ekuacion algjebrik, i panjohuri i tij është k, quhet karakteristik. Ekuacioni karakteristik ka shkallë n Dhe n rrënjët, ndër të cilat mund të jenë të shumëfishta dhe komplekse. Le të jenë k 1 , k 2 ,..., k n reale dhe të dallueshme, atëherë - zgjidhje të veçanta (9.7) dhe të përgjithshme

Konsideroni një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante:

Ekuacioni i tij karakteristik ka formën

(9.9)

diskriminuesi i tij D = p 2 - 4q, në varësi të shenjës së D, janë të mundshme tre raste.

1. Nëse D>0, atëherë rrënjët k 1 dhe k 2 (9.9) janë reale dhe të ndryshme, dhe zgjidhja e përgjithshme ka formën:

Zgjidhje. Ekuacioni karakteristik: k 2 + 9 = 0, prej nga k = ± 3i, a = 0, b = 3, zgjidhja e përgjithshme ka formën:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë përdoren gjatë studimit të një modeli ekonomik të tipit ueb me inventarë të mallrave, ku shkalla e ndryshimit të çmimit P varet nga madhësia e inventarit (shih paragrafin 10). Nëse oferta dhe kërkesa janë funksione lineare të çmimit, d.m.th

a është një konstante që përcakton shpejtësinë e reagimit, atëherë procesi i ndryshimit të çmimit përshkruhet nga ekuacioni diferencial:

Për një zgjidhje të caktuar mund të marrim një konstante

çmim ekuilibër kuptimplotë. Devijimi plotëson ekuacionin homogjen

(9.10)

Ekuacioni karakteristik do të jetë si më poshtë:

Në rast se termi është pozitiv. Le të shënojmë . Rrënjët e ekuacionit karakteristik k 1,2 = ± i w, prandaj zgjidhja e përgjithshme (9.10) ka formën:

ku C dhe janë konstante arbitrare, ato përcaktohen nga kushtet fillestare. Ne morëm ligjin e ndryshimit të çmimit me kalimin e kohës:

Ekuacioni diferencial i zakonshëm është një ekuacion që lidh një ndryshore të pavarur, një funksion të panjohur të kësaj ndryshoreje dhe derivatet (ose diferencialet) e saj të renditjeve të ndryshme.

Rendi i ekuacionit diferencial quhet rendi i derivatit më të lartë që gjendet në të.

Përveç atyre të zakonshme, studiohen edhe ekuacionet diferenciale të pjesshme. Këto janë ekuacione që lidhen me variabla të pavarur, një funksion i panjohur i këtyre variablave dhe derivateve të tij të pjesshme në lidhje me të njëjtat variabla. Por ne vetëm do të shqyrtojmë ekuacionet diferenciale të zakonshme prandaj, për hir të shkurtësisë, do ta lëmë fjalën "i zakonshëm".

Shembuj të ekuacioneve diferenciale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ekuacioni (1) është i rendit të katërt, ekuacioni (2) është i rendit të tretë, ekuacionet (3) dhe (4) janë të rendit të dytë, ekuacioni (5) është i rendit të parë.

Ekuacioni diferencial n Rendi i th nuk duhet domosdoshmërisht të përmbajë një funksion të qartë, të gjithë derivatet e tij nga i pari në n- renditja e th dhe ndryshorja e pavarur. Mund të mos përmbajë derivate të qartë të urdhrave të caktuar, një funksion ose një ndryshore të pavarur.

Për shembull, në ekuacionin (1) nuk ka qartë derivate të rendit të tretë dhe të dytë, si dhe një funksion; në ekuacionin (2) - derivati ​​i rendit të dytë dhe funksioni; në ekuacionin (4) - ndryshorja e pavarur; në ekuacionin (5) - funksionet. Vetëm ekuacioni (3) përmban në mënyrë eksplicite të gjitha derivatet, funksionin dhe variablin e pavarur.

Zgjidhja e një ekuacioni diferencial thirret çdo funksion y = f(x), kur zëvendësohet në ekuacion ai kthehet në një identitet.

Procesi i gjetjes së një zgjidhjeje për një ekuacion diferencial quhet i tij integrimin.

Shembulli 1. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit diferencial.

Zgjidhje. Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formën . Zgjidhja është gjetja e funksionit nga derivati ​​i tij. Funksioni origjinal, siç dihet nga llogaritja integrale, është një antiderivativ për, d.m.th.

Kjo është ajo zgjidhje për këtë ekuacion diferencial . Duke ndryshuar në të C, do të marrim zgjidhje të ndryshme. Ne zbuluam se ka një numër të pafund zgjidhjesh për një ekuacion diferencial të rendit të parë.

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial n Rendi i saj është zgjidhja e tij, e shprehur në mënyrë eksplicite në lidhje me funksionin e panjohur dhe përmban n konstante arbitrare të pavarura, d.m.th.

Zgjidhja e ekuacionit diferencial në shembullin 1 është e përgjithshme.

Zgjidhja e pjesshme e ekuacionit diferencial quhet një zgjidhje në të cilën konstantave arbitrare u jepen vlera numerike specifike.

Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial dhe një zgjidhje të veçantë për .

Zgjidhje. Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit një numër herë të barabartë me rendin e ekuacionit diferencial.

,

.

Si rezultat, ne morëm një zgjidhje të përgjithshme -

të një ekuacioni diferencial të rendit të tretë të dhënë.

Tani le të gjejmë një zgjidhje të veçantë në kushtet e specifikuara. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat e tyre në vend të koeficientëve arbitrarë dhe merrni

.

Nëse, përveç ekuacionit diferencial, kushti fillestar jepet në formën , atëherë një problem i tillë quhet Problem cauchy . Zëvendësoni vlerat dhe në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit dhe gjeni vlerën e një konstante arbitrare C, dhe pastaj një zgjidhje të veçantë të ekuacionit për vlerën e gjetur C. Kjo është zgjidhja e problemit Cauchy.

Shembulli 3. Zgjidh problemin e Cauchy-t për ekuacionin diferencial nga Shembulli 1 subjekti te .

Zgjidhje. Le të zëvendësojmë vlerat nga gjendja fillestare në zgjidhjen e përgjithshme y = 3, x= 1. Ne marrim

Ne shkruajmë zgjidhjen e problemit Cauchy për këtë ekuacion diferencial të rendit të parë:

Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale, edhe ato më të thjeshta, kërkon aftësi të mira integrimi dhe derivati, duke përfshirë funksionet komplekse. Kjo mund të shihet në shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 4. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial.

Zgjidhje. Ekuacioni është shkruar në një formë të tillë që ju mund të integroni menjëherë të dyja palët.

.

Ne aplikojmë metodën e integrimit me ndryshim të ndryshores (zëvendësim). Le të jetë atëherë.

Kërkohet të merret dx dhe tani - vëmendje - ne e bëjmë këtë sipas rregullave të diferencimit të një funksioni kompleks, pasi x dhe ka një funksion kompleks (“mollë” është nxjerrja e një rrënje katrore ose, e njëjta gjë, ngritja në fuqi “gjysma”, dhe “mishi i grirë” është vetë shprehja nën rrënjë):

Ne gjejmë integralin:

Kthimi te ndryshorja x, marrim:

.

Kjo është zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial të shkallës së parë.

Për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale do të kërkohen jo vetëm aftësi nga seksionet e mëparshme të matematikës së lartë, por edhe aftësi nga matematika fillore, domethënë nga shkolla. Siç është përmendur tashmë, në një ekuacion diferencial të çdo rendi mund të mos ketë një ndryshore të pavarur, domethënë një ndryshore x. Njohuritë për përmasat nga shkolla që nuk janë harruar (megjithatë, në varësi të kujt) nga shkolla do të ndihmojnë në zgjidhjen e këtij problemi. Ky është shembulli tjetër.