Vijat paralele. Karakteristikat e projeksionit paralel përfshijnë si më poshtë: projeksionet e dy drejtëzave paralele janë paralele me njëra-tjetrën. Nëse (Fig. 78) drejtëza AB është paralele me drejtëzën CD, atëherë planet projektuese? Dhe? janë paralel me njëri-tjetrin dhe kur këto rrafshe priten me rrafshin e projeksioneve π 0, fitohen projeksionet A 0 B 0 dhe C 0 D 0 paralel me njëri-tjetrin.
Megjithatë, edhe pse A 0 B 0 || C 0 D 0 (Fig. 78), vijat për të cilat A 0 B 0 dhe C 0 D 0 janë projeksione mund të mos jenë paralele me njëra-tjetrën: për shembull, rreshti AB nuk është paralel me vijën C 1 D 1.
Nga vetitë e treguara të projeksionit paralel del se projeksionet horizontale të vijave paralele janë paralele me njëra-tjetrën, projeksionet ballore janë paralele me njëra-tjetrën dhe projeksionet e profileve janë paralele me njëra-tjetrën.
A është i vërtetë përfundimi i kundërt, d.m.th., a do të jenë paralele dy drejtëza në hapësirë nëse në vizatim projeksionet e tyre me të njëjtin emër janë paralele në çifte?
Po, nëse jepen projeksione paralele në secilin prej tre planeve të projeksionit π 1, π 2 dhe π 3. Por nëse projeksionet e drejtëzave paralele me njëra-tjetrën jepen vetëm në dy rrafshe projeksioni, atëherë paralelizmi i drejtëzave në hapësirë konfirmohet gjithmonë për drejtëzat në pozicionin e përgjithshëm dhe mund të mos konfirmohet për drejtëzat paralele me një nga rrafshet e projeksionit.
Një shembull është dhënë në Fig. 79. Edhe pse vijat e profilit AB dhe CD jepen nga projeksionet A "B", A "B" dhe CD", C "D", paralel me njëra-tjetrën, vetë vijat e drejta nuk janë paralele - kjo mund të shihet nga pozicionin relativ të projeksioneve të profilit të tyre, të ndërtuara sipas projeksioneve të dhëna.
Pra, çështja u zgjidh duke përdorur projeksione të drejta në rrafshin e projektimit në lidhje me të cilin drejtëzat e dhëna janë paralele.
Në Fig. 80 tregon një rast kur është e mundur të vërtetohet se linjat e profilit AB dhe CD nuk janë paralele me njëra-tjetrën, pa u drejtuar në ndërtimin e një projeksioni të tretë: mjafton t'i kushtohet vëmendje alternimit të përcaktimeve të shkronjave.
Nëse përmes një pike të dhënë A kërkohet të vizatohet një drejtëz paralele me një drejtëz të caktuar LM, atëherë (Fig. 81, majtas) ndërtimi reduktohet në tërheqjen e një drejteje paralele me L"M" përmes pikës A" dhe një drejtëza paralele me L"M" përmes pikës A" .
Në rastin e treguar në Fig. 81 në të djathtë, vijat paralele janë të vendosura në një plan të përbashkët projeksioni, pingul me katrorin. π 1. Prandaj, projeksionet horizontale të këtyre vijave janë të vendosura në të njëjtën linjë.
Vijat kryqëzuese.Nëse vijat e drejta kryqëzohen, atëherë projeksionet e tyre me të njëjtin emër kryqëzohen me njëra-tjetrën në një pikë që është projeksioni i pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave..
Në të vërtetë (Fig. 82), nëse pika K i përket të dy drejtëzave AB dhe CD, atëherë projeksioni i kësaj pike duhet të jetë pika e prerjes së projeksioneve të këtyre drejtëzave.
Konkluzioni se vijat e drejta në vizatim kryqëzohen me njëra-tjetrën mund të bëhet gjithmonë në lidhje me pozicioni i drejtpërdrejtë i përgjithshëm, pavarësisht nëse projeksionet janë dhënë në tre apo dy plane projeksioni. Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm është vetëm që pikat e kryqëzimit adash
projeksionet ishin në të njëjtën pingul me boshtin përkatës të projeksioneve (Fig. 83) ose, në një vizatim pa një bosht projeksionesh (Fig. 84), këto pika do të ishin në vijën e lidhjes së drejtimit të vendosur për të.. Por nëse njëra nga këto drejtëza është paralele me ndonjë nga rrafshet e projeksionit dhe vizatimi nuk tregon projeksione në këtë rrafsh, atëherë nuk mund të argumentohet se vija të tilla kryqëzohen me njëra-tjetrën, edhe nëse plotësohet kushti i mësipërm. Për shembull, në rastin e dhënë në Fig. 85, drejtëzat AB dhe CD, nga të cilat drejtëza CD është paralele me katrorin π 3, nuk kryqëzohen me njëra-tjetrën; kjo mund të konfirmohet duke ndërtuar projeksione të profilit ose duke zbatuar rregullin për ndarjen e segmenteve në këtë drejtim.
Treguar në Fig. 84 vija kryqëzuese janë të vendosura në një plan të përbashkët projektues pingul me katrorin. π 2. Prandaj, projeksionet ballore të këtyre vijave janë të vendosura në të njëjtën linjë.
Kalimi i vijave. Kalimi i vijave të drejta nuk kryqëzohen ose paralelizohen me njëra-tjetrën. Në Fig. 86 tregon dy linja kryqëzuese të pozicionit të përgjithshëm: megjithëse projeksionet me të njëjtin emër kryqëzohen me njëra-tjetrën, pikat e tyre të kryqëzimit nuk mund të lidhen me një linjë lidhjeje paralele me linjat e lidhjes L"L" dhe M"M", d.m.th. të mos kryqëzohen me njëri-tjetrin. Linjat e drejta të paraqitura në Fig. 79, 80 dhe 85, gjithashtu të kryqëzuara.
Si duhet ta konsiderojmë pikën e kryqëzimit të të njëjtave projeksione të drejtëzave kryqëzuese? Ai paraqet projeksione të dy pikave, njëra prej të cilave
i takon të parës, dhe tjetra i përket të dytës nga këto vija kryqëzuese. Për shembull, në Fig. 87, pika me projeksione K” dhe K” i përket drejtëzës AB, dhe pika me projeksione L” dhe L” i përket drejtëzës CD. Këto pika janë njësoj të largëta nga zona π 2, por distancat e tyre nga zona π 1 janë të ndryshme: pika me projeksionet L "dhe L" janë më larg nga π 1 sesa pika me projeksionet K" dhe K" (Fig. 88).
Pikat me projeksione M", M" dhe N", N" janë njësoj të largëta nga zona π 1, por distancat e këtyre pikave nga zona π 2 janë të ndryshme.
Një pikë me projeksione L" dhe L", që i përket drejtëzës CD, mbulon pikën me projeksione K" dhe K" të drejtëzës AB në raport me katrorin. π 1; drejtimi përkatës i pamjes tregohet me një shigjetë në projeksionin L". Në lidhje me katrorin π 2, pika me projeksione N" dhe N" të vijës së drejtë CD mbulon pikën me projeksionet M" dhe M" të vija e drejtë AB, drejtimi i pamjes tregohet me shigjetën më poshtë, në projeksionin N".
Emërtimet e projeksioneve të pikave "të mbyllura" vendosen në kllapat 1).
Përkufizimi i drejtëzave paralele. Paralele janë dy drejtëza që shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk priten përgjatë gjithë gjatësisë së tyre.
Vijat e drejta AB dhe CD (Fig. 57) do të jenë paralele. Fakti që ato janë paralele shprehet ndonjëherë me shkrim: AB || CD.
Teorema 34. Dy drejtëza pingul me të njëjtën të tretën janë paralele.
Jepen linjat e drejta CD dhe EF pingul me AB (Fig. 58)
CD ⊥ AB dhe EF ⊥ AB.
Duhet të vërtetojmë se CD || E.F.
Dëshmi. Nëse drejtëzat CD dhe EF nuk do të ishin paralele, ato do të kryqëzoheshin në një pikë M. Në këtë rast, dy pingule do të hidheshin nga pika M në drejtëzën AB, gjë që është e pamundur (teorema 11), pra drejtëza CD || EF (ChTD).
Teorema 35. Dy drejtëza, njëra prej të cilave është pingul dhe tjetra e prirur nga e treta, kryqëzohen gjithmonë.
Janë dhënë dy vija të drejta EF dhe CG, nga të cilat EF ⊥ AB, dhe CG është e prirur në AB (Fig. 59).
Kërkohet të vërtetohet se CG do të plotësojë linjën EF ose se CG nuk është paralel me EF.
Dëshmi. Nga pika C ndërtojmë një CD pingul me drejtëzën AB, pastaj në pikën C formohet një kënd DCG, të cilin do ta përsërisim aq shumë sa drejtëza CK të bjerë nën drejtëzën AB. Le të supozojmë se për këtë qëllim ne përsërisim këndin DCG n herë, si ajo
Në të njëjtën mënyrë, ne vizatojmë rreshtin CE në rreshtin AB n herë gjithashtu, në mënyrë që CN = nCE.
Nga pikat C, E, L, M, N ndërtojmë pingulet LL", MM", NN". Hapësira e përmbajtur ndërmjet dy segmenteve paralele CD, NN" dhe segmentit CN do të jetë n herë më e madhe se hapësira që gjendet ndërmjet dy pingul CD, EF dhe segment CE, pra DCNN" = nDCEF.
Hapësira e përfshirë në këndin DCK përmban hapësirën DCNN", prandaj,
DCK > CDNN" ose
nDCG > nDCEF, nga ku
DCG > DCEF.
Pabarazia e fundit mund të ndodhë vetëm kur drejtëza CG largohet nga hapësira DCEF gjatë vazhdimit të saj, pra kur vija CG takohet me drejtëzën EF, prandaj drejtëza CG nuk është paralele me CF (CHT).
Teorema 36. Një vijë e drejtë pingul me njërën nga paralelet është gjithashtu pingul me tjetrën.
Janë dhënë dy drejtëza paralele AB dhe CD dhe një drejtëz EF pingul me CD (Fig. 60).
AB || CD, EF ⊥ CD
Duhet të vërtetojmë se EF ⊥ AB.
Dëshmi. Nëse drejtëza AB do të ishte e prirur nga EF, atëherë dy drejtëzat CD dhe AB do të kryqëzoheshin, sepse CD ⊥ EF dhe AB janë të prirura nga EF (teorema 35), dhe drejtëzat AB dhe CD nuk do të ishin paralele, gjë që do të kundërshtonte këtë kusht. , pra, rreshti EF është pingul me CD (CHT).
Këndet e formuara nga kryqëzimi i dy vijave të drejta me një vijë të tretë të drejtë. Kur dy drejtëza AB dhe CD kryqëzohen me një drejtëz të tretë EF (Fig. 61), formohen tetë kënde α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Këtyre këndeve u jepen emra të veçantë.
Quhen katër këndet α, β, ν dhe ρ e jashtme.
Quhen katër këndet γ, δ, λ, μ e brendshme.
Quhen katër këndet β, γ, μ, ν dhe katër këndet α, δ, λ, ρ i njëanshëm, sepse shtrihen në njërën anë të vijës së drejtë EF.
Përveç kësaj, këndet, kur merren në çifte, marrin emrat e mëposhtëm:
Këndet β dhe μ quhen të përshtatshme . Përveç këtij çifti, të njëjtat kënde përkatëse do të jenë çifte këndesh:γ dhe ν, α dhe λ, δ dhe ρ.
Quhen çiftet e këndeve δ dhe μ, si dhe γ dhe λ gënjeshtra e brendshme e kryqëzuar .
Quhen çiftet e këndeve β dhe ρ, si dhe α dhe ν gënjeshtra e jashtme e kryqëzuar .
Quhen çifte këndesh γ dhe μ, si dhe δ dhe λ e brendshme e njëanshme .
Quhen çiftet e këndeve β dhe ν, si dhe α dhe ρ e jashtme e njëanshme .
Kushtet për paralelizmin e dy drejtëzave
Teorema 37. Dy drejtëza janë paralele nëse, kur kryqëzojnë një të tretë, kanë të barabarta: 1) këndet përkatëse, 2) shtrirjen e brendshme tërthore, 3) shtrirjen e jashtme tërthore dhe, së fundi, nëse 4) shumën e atyre të brendshme të njëanshme. është e barabartë me dy kënde të drejta, 5) shuma e atyre të jashtme të njëanshme është e barabartë me dy drejtëza.
Le të vërtetojmë secilën nga këto pjesë të teoremës veç e veç.
Rasti 1. Këndet përkatëse janë të barabarta(Figura 62).
E dhënë. Këndet β dhe μ janë të barabartë.
Dëshmi. Nëse drejtëzat AB dhe CD priten në pikën Q, atëherë do të fitohej trekëndëshi GQH, në të cilin këndi i jashtëm β do të ishte i barabartë me këndin e brendshëm μ, i cili do të ishte në kundërshtim me Teoremën 22, prandaj drejtëzat AB dhe CD nuk priten. ose AB || CD (CHD).
Rasti i 2-të. Këndet e brendshme të kryqëzuara janë të barabarta, pra, δ = μ.
Dëshmi. δ = β si vertikale, δ = μ sipas kushtit, pra β = μ. Domethënë, këndet përkatëse janë të barabarta, dhe në këtë rast drejtëzat janë paralele (rasti 1).
Rasti i 3-të. Këndet e jashtme të kryqëzuara janë të barabarta, pra β = ρ.
Dëshmi. β = ρ sipas kushtit, μ = ρ si vertikale, pra, β = μ, pasi këndet përkatëse janë të barabarta. Nga kjo rrjedh se AB || CD (rasti 1).
Rasti i 4-të. Shuma e të njëanshmeve të brendshme është e barabartë me dy të drejtpërdrejta ose γ + μ = 2d.
Dëshmi. β + γ = 2d si shuma e atyre ngjitur, γ + μ = 2d sipas kushtit. Prandaj, β + γ = γ + μ, nga ku β = μ. Këndet përkatëse janë të barabarta, prandaj AB || CD.
Rasti i 5-të. Shuma e të njëanshmeve të jashtme është e barabartë me dy të drejtpërdrejta, që është β + ν = 2d.
Dëshmi. μ + ν = 2d si shuma e atyre ngjitur, β + ν = 2d sipas kushtit. Prandaj, μ + ν = β + ν, prej nga μ = β. Këndet përkatëse janë të barabarta, prandaj AB || CD.
Kështu, në të gjitha rastet AB || CD (CHD).
Teorema 38(mbrapa 37). Nëse dy drejtëza janë paralele, atëherë kur ato kryqëzojnë një drejtëz të tretë, këto do të jenë të barabarta: 1) kënde të kryqëzuara të brendshme, 2) kënde të kryqëzuara të jashtme, 3) kënde përkatëse dhe janë të barabarta me dy kënde të drejta, 4) shuma e këndeve të brendshme të njëanshme dhe 5) shuma e këndeve të jashtme të njëanshme.
Jepen dy drejtëza paralele AB dhe CD, pra AB || CD (Figura 63).
Kërkohet të vërtetohet se plotësohen të gjitha kushtet e mësipërme.
Rasti 1. Le të kryqëzojmë dy drejtëza paralele AB dhe CD me një drejtëz të tretë të prirur EF. Le të shënojmë me G dhe H pikat e prerjes së drejtëzave AB dhe CD të drejtëzës EF. Nga pika O e mesit të drejtëzës GH, ne ulim një pingul me drejtëzën CD dhe e vazhdojmë derisa të presë drejtëzën AB në pikën P. Drejtëza OQ pingul me CD është gjithashtu pingul me AB (teorema 36). Trekëndëshat kënddrejtë OPG dhe OHQ janë të barabartë, sepse OG = OH nga ndërtimi, ∠ HOQ= ∠ POG si kënde vertikale, pra OP = OQ.
Nga kjo rrjedh se δ = μ, d.m.th. këndet e brendshme të kryqëzuara janë të barabarta.
Rasti i 2-të. Nëse AB || CD, pastaj δ = μ, dhe meqenëse δ = β, dhe μ = ρ, atëherë β = ρ, d.m.th. këndet e jashtme të kryqëzuara janë të barabarta.
Rasti i 3-të. Nëse AB || CD, pastaj δ = μ, dhe meqenëse δ = β, atëherë β = μ, pra, këndet përkatëse janë të barabarta.
Rasti i 4-të. Nëse AB || CD, pastaj δ = μ, dhe meqë δ + γ = 2d, atëherë μ + γ = 2d, d.m.th. shuma e të njëanshmeve të brendshme është e barabartë me dy të drejtpërdrejta.
Rasti i 5-të. Nëse AB || CD, pastaj δ = μ.
Meqenëse μ + ν = 2d, μ = δ = β, pra, ν + β = 2d, d.m.th. shuma e të njëanshmeve të jashtme është e barabartë me dy të drejtpërdrejta.
Nga këto teorema rrjedh pasojë. Përmes një pike mund të vizatoni vetëm një vijë të drejtë paralele me një vijë tjetër të drejtë.
Teorema 39. Dy drejtëza paralele me një të tretë janë paralele me njëra-tjetrën.
Janë dhënë tre rreshta (Fig. 64) AB, CD dhe EF, nga të cilat AB || EF, CD || E.F.
Duhet të vërtetojmë se AB || CD.
Dëshmi. Le t'i kryqëzojmë këto drejtëza me drejtëzën e katërt GH.
Nëse AB || EF, atëherë ∠ α = ∠ γ sipas rastit. Nëse CD || EF, atëherë ∠ β = ∠ γ si dhe përkatëse. Prandaj, ∠ α = ∠ β .
Nëse këndet përkatëse janë të barabarta, atëherë drejtëzat janë paralele, pra AB || CD (CHD).
Teorema 40. Këndet me të njëjtin emër me brinjë paralele janë të barabarta.
Janë dhënë këndet ABC dhe DEF me të njëjtin emër (të dyja akute ose të dyja të mprehta) brinjët e tyre janë paralele, d.m.th. AB || DE, BC || EF (Fig. 65).
Kërkohet të vërtetohet se ∠ B= ∠ E.
Dëshmi. Le të vazhdojmë anën DE derisa të kryqëzojë drejtëzën BC në pikën G, atëherë
∠ E = ∠ G si korrespondon me kryqëzimin e brinjëve paralele me BC dhe EF të drejtëzës së tretë DG.
∠ B = ∠ G si korrespondon me kryqëzimin e brinjëve paralele AB dhe DG të drejtëzës BC, prandaj,
∠ E = ∠ B (CHD).
Teorema 41. Këndet e kundërta me brinjë paralele plotësojnë njëri-tjetrin me dy kënde të drejta.
Jepen dy kënde të kundërta ABC dhe DEF (Fig. 66) me brinjë paralele, prandaj AB || DE dhe BC || E.F.
Duhet të vërtetojmë se ABC + DEF = 2d.
Dëshmi. Le të vazhdojmë drejtëzën DE derisa të kryqëzojë drejtëzën BC në pikën G.
∠B+ ∠ DGB = 2d si shuma e këndeve të brendshme të njëanshme të formuara nga kryqëzimi i paraleles AB dhe DG të drejtëzës së tretë BC.
∠ DGB = ∠ DEF si korrespondues, prandaj,
∠B+ ∠ DEF = 2d (CHD).
Teorema 42. Këndet me të njëjtin emër me brinjë pingule janë të barabarta dhe këndet e kundërta plotësojnë njëri-tjetrin deri në dy drejtëza.
Le të shqyrtojmë dy raste: kur A) këndet janë të njëjtë dhe kur B) janë të kundërt.
Rasti 1. Brinjët e dy këndeve me të njëjtin emër DEF dhe ABC (Fig. 67) janë pingul, pra DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
Duhet të vërtetojmë se ∠ DEF = ∠ ABC.
Dëshmi. Le të vizatojmë drejtëzat BM dhe BN nga pika B paralele me drejtëzat DE dhe EF në mënyrë që
BM || DE, BN || E.F.
Këto drejtëza janë gjithashtu pingul me brinjët e një këndi të caktuar ABC, d.m.th.
BM ⊥ AB dhe BN ⊥ BC.
Sepse ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, pastaj
∠ NBC = ∠ MBA (a)
Duke zbritur nga të dyja anët e barazisë (a) sipas këndit NBA, gjejmë
∠ MBN = ∠ ABC
Meqenëse këndet MBN dhe DEF janë të njëjtë dhe kanë brinjë paralele, ato janë të barabarta (teorema 40).
∠ MBN = ∠ DEF (b)
Barazitë (a) dhe (b) nënkuptojnë barazinë
∠ ABC = ∠ DEF
Rasti i 2-të. Këndet GED dhe ABC me brinjë pingule janë të kundërta.
Kërkohet të vërtetohet se ∠ GED + ∠ ABC = 2d (Fig. 67).
Dëshmi. Shuma e këndeve GED dhe DEF është e barabartë me dy kënde të drejta.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC pra
GED + ABC = 2d (CTD).
Teorema 43. Pjesët e drejtëzave paralele ndërmjet drejtëzave të tjera paralele janë të barabarta.
Jepen katër vija të drejta AB, BD, CD, AC (Fig. 68), nga të cilat AB || CD dhe BD || AC.
Duhet të vërtetojmë se AB = CD dhe BD = AC.
Dëshmi. Duke lidhur pikën C me pikën B me segmentin BC, fitojmë dy trekëndësha të barabartë ABC dhe BCD, sepse
BC - ana e përbashkët,
∠ α = ∠ β (si të kryqëzuara të brendshme nga kryqëzimi i drejtëzave paralele AB dhe CD të vijës së tretë BC),
∠ γ = ∠ δ (si të kryqëzuara të brendshme nga kryqëzimi i drejtëzave paralele BD dhe AC të drejtëzës BC).
Kështu, trekëndëshat kanë një anë të barabartë dhe dy kënde të barabarta që shtrihen mbi të.
Këndet e kundërta të barabarta α dhe β janë anët e barabarta AC dhe BD, dhe këndet e kundërta të barabarta γ dhe δ qëndrojnë brinjët e barabarta AB dhe CD, prandaj,
AC = BD, AB = CD (CHD).
Teorema 44. Vijat paralele janë në distancë të barabartë nga njëra-tjetra përgjatë gjithë gjatësisë së tyre.
Distanca e një pike nga një drejtëz përcaktohet nga gjatësia e pingulit të tërhequr nga pika në vijë. Për të përcaktuar distancën e çdo dy pikash A dhe B paralele AB nga CD, ne heqim pingulet AC dhe BD nga pikat A dhe B.
Duke pasur parasysh një drejtëz AB paralele me CD, segmentet AC dhe BD janë pingul me drejtëzën CD, d.m.th AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (Fig. 69).
Duhet të vërtetojmë se AC = BD.
Dëshmi. Linjat AC dhe BD, duke qenë të dyja pingul me CD, janë paralele, dhe për këtë arsye AC dhe BD si pjesë e paraleleve midis paraleleve janë të barabarta, d.m.th. AC = BD (CHD).
Teorema 45(mbrapa 43). Nëse pjesët e kundërta të katër drejtëzave të kryqëzuara janë të barabarta, atëherë këto pjesë janë paralele.
Jepen katër drejtëza të kryqëzuara, pjesët e kundërta të të cilave janë të barabarta: AB = CD dhe BD = AC (Fig. 68).
Duhet të vërtetojmë se AB || CD dhe BD || AC.
Dëshmi. Le të lidhim pikat B dhe C me drejtëzën BC. Trekëndëshat ABC dhe BDC janë kongruentë sepse
BC - ana e përbashkët,
AB = CD dhe BD = AC sipas kushtit.
Nga këtu
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Prandaj,
AC || BD, AB || CD (CHD).
Teorema 46. Shuma e këndeve të një trekëndëshi është e barabartë me dy kënde të drejta.
Jepet një trekëndësh ABC (Fig. 70).
Duhet të vërtetojmë se A + B + C = 2d.
Dëshmi. Le të vizatojmë një vijë të drejtë CF nga pika C paralele me anën AB. Në pikën C formohen tre kënde BCA, α dhe β. Shuma e tyre është e barabartë me dy drejtëza:
BCA+ α + β = 2d
α = B (si kënde të brendshme të kryqëzuara në kryqëzimin e drejtëzave paralele AB dhe CF të drejtëzës BC);
β = A (si këndet përkatëse në kryqëzimin e drejtëzave AB dhe CF të drejtëzës AD).
Zëvendësimi i këndeve α dhe β vlerat e tyre, marrim:
BCA + A + B = 2d (CHD).
Pasojat e mëposhtme rrjedhin nga kjo teoremë:
Përfundimi 1. Këndi i jashtëm i një trekëndëshi është i barabartë me shumën e këndeve të brendshme që nuk janë ngjitur me të.
Dëshmi. Në të vërtetë, nga vizatimi 70,
∠BCD = ∠ α + ∠ β
Meqenëse ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, atëherë
∠BCD = ∠A + ∠B.
Përfundimi 2. Në një trekëndësh kënddrejtë, shuma e këndeve akute është e barabartë me këndin e drejtë.
Në të vërtetë, në një trekëndësh kënddrejtë (Fig. 40)
A + B + C = 2d, A = d, pra
B + C = d.
Përfundimi 3. Një trekëndësh nuk mund të ketë më shumë se një kënd të drejtë ose të mpirë.
Përfundimi 4. Në një trekëndësh barabrinjës, çdo kënd është 2/3 d .
Në të vërtetë, në një trekëndësh barabrinjës
A + B + C = 2d.
Meqenëse A = B = C, atëherë
3A = 2d, A = 2/3 d.
Vijat kryqëzuese- drejtëza që kanë një pikë të përbashkët. Në diagram, projeksionet me të njëjtin emër të këtyre vijave të drejta kryqëzohen në pikat që shtrihen në të njëjtën linjë të lidhjes së projeksionit (Fig. 200, A).
Nëse projeksionet e vijave me të njëjtin emër priten, por pikat e kryqëzimit shtrihen në vija të ndryshme të lidhjes së projeksionit (Fig. 200, b), atëherë vijat nuk kryqëzohen, por kryqëzohen. Pikat e kryqëzimit të projeksioneve me të njëjtin emër (Fig. 200, b, pika 1 "Dhe 2) paraqesin projeksione të pikave të ndryshme që janë në të njëjtën rreze projektuese dhe i përkasin drejtëzave të ndryshme.
Në Fig. 201 tregon se si mund të pozicionohen dy linja kalimi AB Dhe CD në lidhje me aeroplanin V në mënyrë që projeksionet e tyre ballore a"b" Dhe c"d" të kryqëzuara dhe pika e kryqëzimit do të ishte projeksioni ballor i dy pikave njëkohësisht M Dhe N. Pika e prerjes së projeksioneve horizontale të këtyre vijave është njëkohësisht edhe projeksioni i pikës E, i shtrirë në vijë të drejtë CD, dhe pikat e shtrira në një vijë AB
Pozicioni relativ i dy pikave, projeksionet e të cilave në njërin nga rrafshet e projeksionit përputhen, mund të përcaktohet duke krahasuar koordinatat e tyre të treta. Në Fig. 201.6 projeksionet e përparme T" Dhe p" pikë M Dhe N përkoi. Koordinatat e tyre X Dhe Z kanë të njëjtën madhësi. Krahasimi i koordinatave Y këto pika ( Y N> Y M), ne shohim se pika Nështë më larg nga rrafshi K se pika M. Pika N në lidhje me aeroplanin V- pika e dukshme.
Dukshmëria e pikave E Dhe F në raport me rrafshin horizontal të projeksioneve përcaktohet duke krahasuar koordinatat e tyre Z.
Pikat, projeksionet e të cilave përkojnë, d.m.th., pikat janë në të njëjtën rreze projektuese, quhen pika konkurruese, dhe metoda e përcaktimit të dukshmërisë së elementeve gjeometrike në një diagram duke përdorur këto pika quhet metoda e pikave konkurruese.
Vijat paralele janë paraqitur në diagram në mënyrë që projeksionet e tyre me të njëjtin emër të jenë reciprokisht paralele. Kur projektohen segmente të linjës në një plan projeksioni, rrezet e projektimit formojnë dy plane projeksioni R Dhe R, pingul me këtë rrafsh dhe paralel me njëri-tjetrin (P||R). Ata kryqëzojnë rrafshin e projeksionit (Fig. 202, a, plan N) përgjatë vijave paralele - ab Dhe cd.
Prandaj, nëse drejtëzat janë paralele, projeksionet e tyre me të njëjtin emër janë paralele. Në Fig. 202, b projeksionet horizontale ab Dhe CD dhe projeksionet ballore a"b" Dhe c"d" paralelisht reciprokisht, pra drejt AB Dhe CD paralele.
Duhet të theksohet se pozicioni relativ i vijave në diagram mund të përcaktohet duke përdorur dy plane projeksioni, me përjashtim të rasteve kur njëra nga linjat ose të dyja janë paralele me ndonjë plan projeksioni. Në këto raste, për të përcaktuar pozicionin relativ të vijave, është e nevojshme të kemi imazhin e tyre në rrafshin e projeksionit me të cilin njëra nga drejtëzat ose të dyja janë paralele.
Në Fig. 203 projeksione c"d" Dhe l"q", cd Dhe lq e drejtpërdrejtë CD Dhe L.Q. kryqëzohen. Drejt CD paralel me projeksionin e profilit. Në një avion Wështë e qartë se ata janë të drejtë CD Dhe L.Q. nuk kryqëzohen, pasi projeksionet e profilit të tyre nuk kryqëzohen.
Në Fig. 204 tregon një diagram me dy vija të drejta horizontale AB Dhe CD. Projeksionet e tyre ballore a"b" Dhe c"d" dhe projeksionet e profilit a"b" Dhe c"d" paralele. Nga projeksionet në aeroplan Nështë e qartë se vijat kryqëzohen.
Në Fig. 205 tregon një diagram të dy vijave të drejta të profilit. Projeksionet e tyre ballore a"b" Dhe c"d" dhe projeksionet horizontale ab Dhe CD paralele. Në një avion Wështë e qartë se vijat kryqëzohen.
