1. Omkrets. En cirkel är en sluten platt krökt linje, vars alla punkter är på lika avstånd från en punkt (O), kallad cirkelns mittpunkt (fig. 27).
Cirkeln ritas med en kompass. För att göra detta placeras kompassens vassa ben i mitten, och den andra (med en penna) roteras runt den första tills pennans ände ritar en hel cirkel. Avståndet från centrum till valfri punkt på cirkeln kallas dess radie. Av definitionen följer att alla radier i en cirkel är lika med varandra.
Ett rät linjesegment (AB) som förbinder två punkter i en cirkel och passerar genom dess centrum kallas diameter. Alla diametrar av en cirkel är lika med varandra; diametern är lika med två radier.
Hur hittar man omkretsen av en cirkel? I nästan vissa fall kan omkretsen hittas genom direkt mätning. Detta kan till exempel göras när man mäter omkretsen av relativt små föremål (hink, glas etc.). För att göra detta kan du använda ett måttband, fläta eller sladd.
Inom matematiken används tekniken att indirekt bestämma omkretsen. Den består av att beräkna med hjälp av en färdig formel, som vi nu ska härleda.
Om vi tar flera stora och små runda föremål (mynt, glas, hink, fat, etc.) och mäter omkretsen och diametern på vart och ett av dem, får vi två siffror för varje föremål (ett som mäter omkretsen och ett annat är längden på diametern). Naturligtvis, för små föremål kommer dessa siffror att vara små, och för stora - stora.
Men om vi i vart och ett av dessa fall tar förhållandet mellan de två erhållna siffrorna (omkrets och diameter), kommer vi med noggrann mätning att hitta nästan samma antal. Låt oss beteckna cirkelns omkrets med bokstaven MED, diameter längd bokstav D, då kommer deras förhållande att se ut C: D. Faktiska mätningar åtföljs alltid av oundvikliga felaktigheter. Men efter att ha slutfört det angivna experimentet och gjort de nödvändiga beräkningarna får vi för förhållandet C: D ungefär följande siffror: 3,13; 3,14; 3.15. Dessa siffror skiljer sig väldigt lite från varandra.
Inom matematiken har man genom teoretiska överväganden konstaterat att det önskade förhållandet C: Dändras aldrig och det är lika med en oändlig icke-periodisk bråkdel, vars ungefärliga värde, exakt med tio tusendelar, är lika med 3,1416 . Det betyder att varje cirkel är lika många gånger längre än dess diameter. Detta nummer betecknas vanligtvis med den grekiska bokstaven π (pi). Då kommer förhållandet mellan omkretsen och diametern att skrivas enligt följande: C: D = π . Vi kommer att begränsa detta antal till endast hundradelar, d.v.s. ta π = 3,14.
Låt oss skriva en formel för att bestämma omkretsen.
Därför att C: D= π , Det
C = πD
dvs omkretsen är lika med produkten av talet π per diameter.
Uppgift 1. Hitta omkretsen ( MED) av ett runt rum om dess diameter är D= 5,5 m.
Med hänsyn till ovanstående måste vi öka diametern med 3,14 gånger för att lösa detta problem:
5,5 3,14 = 17,27 (m).
Uppgift 2. Hitta radien för ett hjul vars omkrets är 125,6 cm.
Denna uppgift är motsatsen till den föregående. Låt oss hitta hjulets diameter:
125,6: 3,14 = 40 (cm).
Låt oss nu hitta hjulets radie:
40:2 = 20 (cm).
2. Arean av en cirkel. För att bestämma arean av en cirkel kan man rita en cirkel med en given radie på papper, täcka den med genomskinligt rutigt papper och sedan räkna cellerna inuti cirkeln (fig. 28).
Men denna metod är obekväm av många skäl. För det första, nära cirkelns kontur, erhålls ett antal ofullständiga celler, vars storlek är svår att bedöma. För det andra kan du inte täcka ett stort föremål (en rund rabatt, en pool, en fontän, etc.) med ett pappersark. För det tredje, efter att ha räknat cellerna, får vi fortfarande ingen regel som tillåter oss att lösa ett annat liknande problem. På grund av detta kommer vi att agera annorlunda. Låt oss jämföra cirkeln med någon figur som vi känner till och gör så här: skär en cirkel ur papper, skär den på mitten först längs diametern, skär sedan varje halva på mitten, varje fjärdedel på mitten, etc., tills vi skär cirkeln, till exempel, i 32 delar formade som tänder (bild 29).
Sedan viker vi dem som visas i figur 30, det vill säga först arrangerar vi 16 tänder i form av en såg, och sedan sätter vi 15 tänder i de resulterande hålen och slutligen skär vi den sista kvarvarande tanden på mitten längs radien och fäst en del till vänster, den andra - höger. Då får du en figur som liknar en rektangel.
Längden på denna figur (bas) är ungefär lika med halvcirkelns längd och höjden är ungefär lika med radien. Då kan arean av en sådan figur hittas genom att multiplicera siffrorna som uttrycker längden på halvcirkeln och längden på radien. Om vi betecknar arean av en cirkel med bokstaven S, omkretsen av en bokstav MED, radiebokstav r, då kan vi skriva formeln för att bestämma arean av en cirkel:
som lyder så här: Arean av en cirkel är lika med längden på halvcirkeln multiplicerat med radien.
Uppgift. Hitta arean på en cirkel vars radie är 4 cm Hitta först längden på cirkeln, sedan längden på halvcirkeln och multiplicera den med radien.
1) Omkrets MED = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).
2) Halvcirkelns längd C / 2 = 25,12: 2= 12,56 (cm).
3) Cirkelns area S = C / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (sq. cm).
§ 118. Yta och volym av en cylinder.
Uppgift 1. Hitta den totala ytan på en cylinder vars basdiameter är 20,6 cm och höjd 30,5 cm.
Följande har en cylinderform (Fig. 31): en hink, ett glas (ej facetterat), en kastrull och många andra föremål.
Hela ytan på en cylinder (som hela ytan på en rektangulär parallellepiped) består av en sidoyta och områdena av två baser (fig. 32).
För att tydligt föreställa dig vad vi pratar om måste du noggrant göra en modell av en cylinder av papper. Om vi subtraherar två baser från denna modell, det vill säga två cirklar, och skär sidoytan på längden och viker ut den, så blir det helt klart hur man beräknar cylinderns totala yta. Sidoytan kommer att vecklas ut till en rektangel, vars bas är lika med cirkelns längd. Därför kommer lösningen på problemet att se ut så här:
1) Omkrets: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).
2) Lateral yta: 64,684 30,5 = 1972,862 (cm2).
3) Area av en bas: 32,342 10,3 = 333,1226 (sq.cm).
4) Hel cylinderyta:
1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (sq. cm) ≈ 2639 (sq. cm).
Uppgift 2. Hitta volymen på en järntunna formad som en cylinder med dimensioner: basdiameter 60 cm och höjd 110 cm.
För att beräkna volymen på en cylinder måste du komma ihåg hur vi beräknade volymen av en rektangulär parallellepiped (det är användbart att läsa § 61).
Vår volymmått kommer att vara kubikcentimeter. Först måste du ta reda på hur många kubikcentimeter som kan placeras på basytan och multiplicera sedan det hittade talet med höjden.
För att ta reda på hur många kubikcentimeter som kan läggas på basytan måste du beräkna cylinderns basarea. Eftersom basen är en cirkel måste du hitta cirkelns yta. Sedan, för att bestämma volymen, multiplicera den med höjden. Lösningen på problemet har formen:
1) Omkrets: 60 3,14 = 188,4 (cm).
2) Cirkelns area: 94,2 30 = 2826 (sq. cm).
3) Cylindervolym: 2826 110 = 310 860 (cc. cm).
Svar. Fatvolym 310,86 kubikmeter. dm.
Om vi betecknar volymen av en cylinder med bokstaven V, basarea S, cylinderhöjd H, sedan kan du skriva en formel för att bestämma volymen på en cylinder:
V = S H
som lyder så här: Volymen av en cylinder är lika med arean av basen multiplicerat med höjden.
§ 119. Tabeller för beräkning av en cirkels omkrets efter diameter.
När man löser olika produktionsproblem är det ofta nödvändigt att beräkna omkretsen. Låt oss föreställa oss en arbetare som producerar runda delar enligt de diametrar som anges för honom. Varje gång han vet diametern måste han beräkna omkretsen. För att spara tid och försäkra sig mot misstag vänder han sig till färdiga tabeller som anger diametrarna och motsvarande omkretslängder.
Vi kommer att presentera en liten del av sådana tabeller och berätta hur du använder dem.
Låt det vara känt att cirkelns diameter är 5 m. Vi tittar i tabellen i den vertikala kolumnen under bokstaven D nummer 5. Detta är längden på diametern. Bredvid detta nummer (till höger, i kolumnen som heter "Omkrets") ser vi numret 15.708 (m). På exakt samma sätt finner vi att if D= 10 cm, då är omkretsen 31,416 cm.
Med samma tabeller kan du även utföra omvända beräkningar. Om du känner till en cirkels omkrets kan du hitta motsvarande diameter i tabellen. Låt omkretsen vara cirka 34,56 cm. Låt oss i tabellen hitta siffran som ligger närmast detta. Detta blir 34,558 (skillnad 0,002). Diametern som motsvarar denna omkrets är cirka 11 cm.
Tabellerna som nämns här finns i olika uppslagsböcker. I synnerhet kan de hittas i boken "Fyrsiffriga matematiska tabeller" av V. M. Bradis. och i den aritmetiska problemboken av S. A. Ponomarev och N. I. Sirneva.
Oavsett vilken sfär av ekonomin en person arbetar, medvetet eller omedvetet använder han matematisk kunskap som samlats under många århundraden. Vi stöter på enheter och mekanismer som innehåller cirklar varje dag. Ett hjul har en rund form, pizza, många grönsaker och frukter bildar en cirkel när de skärs, liksom tallrikar, koppar och mycket mer. Men inte alla vet hur man korrekt beräknar omkretsen.
För att beräkna omkretsen av en cirkel måste du först komma ihåg vad en cirkel är. Detta är uppsättningen av alla punkter på planet på samma avstånd från detta. En cirkel är ett geometriskt ställe av punkter på ett plan som ligger inuti en cirkel. Av ovanstående följer att omkretsen av en cirkel och omkretsen är en och samma.
Metoder för att hitta en cirkels omkrets
Förutom den matematiska metoden för att hitta omkretsen av en cirkel, finns det också praktiska.
- Ta ett rep eller sladd och linda det en gång.
- Mät sedan repet, det resulterande numret blir omkretsen.
- Rulla det runda föremålet en gång och räkna längden på banan. Om föremålet är väldigt litet kan du linda in det med garn flera gånger, linda sedan upp tråden, mät och dividera med antalet varv.
- Hitta det önskade värdet med hjälp av formeln:
L = 2πr = πD ,
där L är den erforderliga längden;
π – konstant, ungefär lika med 3,14 r – cirkelns radie, avståndet från dess centrum till valfri punkt;
D är diametern, den är lika med två radier.
Använd formeln för att hitta omkretsen av en cirkel
- Exempel 1: Ett löpband löper runt en cirkel med en radie på 47,8 meter. Hitta längden på detta löpband, ta π = 3,14.
L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(m)
Svar: 300 meter
- Exempel 2. Ett cykelhjul som har svängt 10 gånger har färdats 18,85 meter. Hitta hjulets radie.
18,85: 10 =1,885 (m) är hjulets omkrets.
1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6 (m) – önskad diameter
Svar: hjuldiameter 0,6 meter
Det fantastiska numret pi
Trots formelns uppenbara enkelhet är det av någon anledning svårt för många att komma ihåg det. Tydligen beror detta på det faktum att formeln innehåller ett irrationellt tal π, som inte finns i formlerna för arean av andra figurer, till exempel en kvadrat, triangel eller romb. Du behöver bara komma ihåg att detta är en konstant, det vill säga en konstant som betyder förhållandet mellan omkretsen och diametern. För cirka 4 tusen år sedan märkte människor att förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess radie (eller diameter) är detsamma för alla cirklar.
De gamla grekerna approximerade talet π med bråket 22/7. Under lång tid beräknades π som medelvärdet mellan längden av inskrivna och omskrivna polygoner i en cirkel. Under det tredje århundradet e.Kr. utförde en kinesisk matematiker en beräkning för en 3072-gon och fick ett ungefärligt värde på π = 3,1416. Man måste komma ihåg att π alltid är konstant för varje cirkel. Dess beteckning med den grekiska bokstaven π dök upp på 1700-talet. Detta är den första bokstaven i de grekiska orden περιφέρεια - cirkel och περίμετρος - omkrets. På 1700-talet bevisades det att denna kvantitet är irrationell, det vill säga att den inte kan representeras i formen m/n, där m är ett heltal och n är ett naturligt tal.
En cirkel består av många punkter som är på lika avstånd från mitten. Detta är en platt geometrisk figur, och det är inte svårt att hitta dess längd. En person möter en cirkel och en cirkel varje dag, oavsett vilket område han arbetar inom. Många grönsaker och frukter, anordningar och mekanismer, tallrikar och möbler är runda till formen. En cirkel är den uppsättning punkter som ligger inom cirkelns gränser. Därför är figurens längd lika med cirkelns omkrets.
Figurens egenskaper
Förutom det faktum att beskrivningen av begreppet cirkel är ganska enkel, är dess egenskaper också lätta att förstå. Med deras hjälp kan du beräkna dess längd. Den inre delen av cirkeln består av många punkter, bland vilka två - A och B - kan ses i rät vinkel. Detta segment kallas diametern, det består av två radier.
Inom cirkeln finns punkter X sådana, som inte ändras och förhållandet AX/BX är inte lika med enhet. I en cirkel måste detta villkor vara uppfyllt, annars har denna figur inte formen av en cirkel. Varje punkt som utgör en figur är föremål för följande regel: summan av de kvadratiska avstånden från dessa punkter till de andra två överstiger alltid halva längden av segmentet mellan dem.
Grundläggande cirkeltermer
För att kunna ta reda på längden på en figur måste du känna till de grundläggande termerna för den. Huvudparametrarna i figuren är diameter, radie och ackord. Radien är det segment som förbinder cirkelns centrum med valfri punkt på dess kurva. Storleken på ett korda är lika med avståndet mellan två punkter på figurens kurva. Diameter - avstånd mellan punkter, passerar genom mitten av figuren.
Grundläggande formler för beräkningar
Parametrarna används i formlerna för att beräkna dimensionerna av en cirkel:
Diameter i beräkningsformler
Inom ekonomi och matematik finns det ofta ett behov av att hitta en cirkels omkrets. Men i vardagen kan man stöta på detta behov, till exempel när man bygger ett staket runt en rund pool. Hur beräknar man en cirkels omkrets efter diameter? Använd i det här fallet formeln C = π*D, där C är det önskade värdet, D är diametern.
Till exempel är poolens bredd 30 meter, och staketstolparna är planerade att placeras på ett avstånd av tio meter från den. I det här fallet är formeln för att beräkna diametern: 30+10*2 = 50 meter. Det erforderliga värdet (i detta exempel, stängslets längd): 3,14*50 = 157 meter. Om staketstolparna står på ett avstånd av tre meter från varandra kommer totalt 52 av dem att behövas.
Radieberäkningar
Hur beräknar man omkretsen av en cirkel från en känd radie? För att göra detta, använd formeln C = 2*π*r, där C är längden, r är radien. Radien i en cirkel är halva diametern, och denna regel kan vara användbar i vardagen. Till exempel när det gäller att förbereda en paj i en glidande form.
För att förhindra att den kulinariska produkten blir smutsig är det nödvändigt att använda ett dekorativt omslag. Hur skär man en papperscirkel av lämplig storlek?
De som är lite bekanta med matematik förstår att i det här fallet måste du multiplicera talet π med två gånger radien på den använda formen. Till exempel är formens diameter 20 centimeter, respektive dess radie är 10 centimeter. Med hjälp av dessa parametrar hittas den önskade storleken på cirkeln: 2*10*3, 14 = 62,8 centimeter.
Praktiska beräkningsmetoder
Om det inte är möjligt att hitta omkretsen med formeln, bör du använda tillgängliga metoder för att beräkna detta värde:
- Om ett runt föremål är litet, kan dess längd hittas med hjälp av ett rep lindat runt det en gång.
- Storleken på ett stort föremål mäts enligt följande: ett rep läggs ut på en plan yta och en cirkel rullas längs den en gång.
- Moderna elever och skolbarn använder miniräknare för beräkningar. Online kan du ta reda på okända kvantiteter med hjälp av kända parametrar.
Runda föremål i mänsklighetens historia
Den första rundformade produkten som människan uppfann var hjulet. De första strukturerna var små runda stockar monterade på en axel. Sedan kom hjul av träekrar och fälgar. Gradvis tillsattes metalldelar till produkten för att minska slitaget. Det var för att ta reda på längden på metallremsorna för hjulklädseln som forskare från tidigare århundraden letade efter en formel för att beräkna detta värde.
Ett keramikhjul har formen av ett hjul, de flesta delar i komplexa mekanismer, konstruktioner av vattenkvarnar och spinnhjul. Runda föremål finns ofta i konstruktion - ramar av runda fönster i romansk arkitektonisk stil, hyttventiler i fartyg. Arkitekter, ingenjörer, forskare, mekaniker och designers ställs varje dag i sin yrkesverksamhet inför behovet av att beräkna dimensionerna på en cirkel.
Cirkelräknare är en tjänst speciellt utformad för att beräkna geometriska dimensioner av former online. Tack vare denna tjänst kan du enkelt bestämma vilken parameter som helst av en figur baserat på en cirkel. Till exempel: Du vet volymen på en boll, men du måste få dess area. Inget kan vara lättare! Välj lämpligt alternativ, ange ett numeriskt värde och klicka på knappen Beräkna. Tjänsten visar inte bara resultaten av beräkningar, utan tillhandahåller också formlerna som de gjordes med. Med vår tjänst kan du enkelt beräkna radie, diameter, omkrets (cirkelns omkrets), arean av en cirkel och en boll och volymen av en boll.
Beräkna radie
Problemet med att beräkna radievärdet är ett av de vanligaste. Anledningen till detta är ganska enkel, för att känna till denna parameter kan du enkelt bestämma värdet på någon annan parameter i en cirkel eller boll. Vår sida är byggd exakt på detta schema. Oavsett vilken initial parameter du har valt, beräknas först radievärdet och alla efterföljande beräkningar baseras på det. För större noggrannhet i beräkningarna använder webbplatsen Pi, avrundad till 10:e decimal.
Beräkna diameter
Att beräkna diameter är den enklaste typen av beräkning som vår miniräknare kan utföra. Det är inte alls svårt att få diametervärdet manuellt för detta behöver du inte tillgripa Internet alls. Diametern är lika med radievärdet multiplicerat med 2. Diameter är den viktigaste parametern i en cirkel, som extremt ofta används i vardagen. Absolut alla borde kunna räkna ut och använda det rätt. Med hjälp av funktionerna på vår webbplats kommer du att beräkna diametern med stor noggrannhet på en bråkdel av en sekund.
Ta reda på omkretsen
Du kan inte ens föreställa dig hur många runda föremål det finns runt omkring oss och vilken viktig roll de spelar i våra liv. Förmågan att beräkna omkretsen är nödvändig för alla, från en vanlig förare till en ledande konstruktionsingenjör. Formeln för att beräkna omkretsen är mycket enkel: D=2Pr. Beräkningen kan enkelt göras antingen på ett papper eller med hjälp av denna onlineassistent. Fördelen med det senare är att det illustrerar alla beräkningar med bilder. Och utöver allt annat är den andra metoden mycket snabbare.
Beräkna arean av en cirkel
Cirkelområdet - som alla parametrar som anges i den här artikeln - är grunden för den moderna civilisationen. Att kunna beräkna och känna till arean av en cirkel är användbart för alla segment av befolkningen utan undantag. Det är svårt att föreställa sig ett område av vetenskap och teknik där det inte skulle vara nödvändigt att känna till området för en cirkel. Formeln för beräkning är återigen inte svår: S=PR 2. Den här formeln och vår online-kalkylator hjälper dig att ta reda på området för vilken cirkel som helst utan någon extra ansträngning. Vår sida garanterar hög noggrannhet av beräkningar och deras blixtsnabba utförande.
Beräkna arean av en sfär
Formeln för att beräkna arean av en boll är inte mer komplicerad än formlerna som beskrivs i föregående stycken. S=4Pr2. Denna enkla uppsättning bokstäver och siffror har gett människor möjligheten att ganska exakt beräkna arean av en boll i många år. Var kan detta tillämpas? Ja överallt! Till exempel vet du att jordens yta är 510 100 000 kvadratkilometer. Det är meningslöst att lista var kunskap om denna formel kan tillämpas. Omfattningen av formeln för att beräkna arean av en sfär är för bred.
Beräkna volymen på bollen
För att beräkna bollens volym, använd formeln V = 4/3 (Pr 3). Den användes för att skapa vår onlinetjänst. Webbplatsen gör det möjligt att beräkna volymen av en boll på några sekunder om du känner till någon av följande parametrar: radie, diameter, omkrets, area av en cirkel eller area av en boll. Du kan också använda den för omvända beräkningar, till exempel för att veta volymen på en boll och få värdet på dess radie eller diameter. Tack för att du tar en snabb titt på funktionerna i vår cirkelräknare. Vi hoppas att du gillade vår sida och redan har bokmärkt sidan.
Omkretsen av en cirkel indikeras med bokstaven C och beräknas med formeln:
C = 2πR,
Där R - cirkelns radie.
Härledning av formeln som uttrycker omkretsen
Bana C och C' är längderna av cirklar med radier R och R'. Låt oss skriva in en vanlig n-gon i var och en av dem och beteckna deras omkrets med P n och P" n, och deras sidor med a n och a" n. Genom att använda formeln för att beräkna sidan av en vanlig n-gon a n = 2R sin (180°/n) får vi:
P n = n a n = n 2R sin (180°/n),
P" n = n a" n = n 2R" sin (180°/n).
Därför,
Pn/P"n = 2R/2R". (1)
Denna likhet är giltig för alla värden på n. Vi kommer nu att öka antalet n utan gräns. Eftersom P n → C, P" n → C", n → ∞, då är gränsen för förhållandet P n / P" n lika med C / C". Å andra sidan, på grund av likheten (1), är denna gräns lika med 2R/2R". Alltså C/C" = 2R/2R". Av denna likhet följer att C/2R = C"/2R" , dvs. Förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter är samma antal för alla cirklar. Detta nummer betecknas vanligtvis med den grekiska bokstaven π ("pi").
Från likheten C / 2R = π får vi formeln för att beräkna omkretsen av en cirkel med radien R:
C = 2πR.
Cirkulär bågelängd
Eftersom längden på hela cirkeln är 2πR, är längden l av en båge på 1° lika med 2πR / 360 = πR / 180.
Det är därför längden l av en cirkelbåge med gradmåttet α uttrycks med formeln
1 = (πR/180) a.
