Krävs vektor 
Om , då kallas system (1) dåligt konditionerat. I det här fallet kan fel i matriskoefficienter och högersidor eller avrundningsfel i beräkningar förvränga lösningen avsevärt.
När man löser många problem är den högra sidan av system (1) och koefficienterna för matris A ungefär kända. I det här fallet, istället för det exakta systemet (1) har vi något annat system
Så att
Vi antar att värdena på och d är kända.
Eftersom vi istället för system (1) har system (2), kan vi bara hitta en ungefärlig lösning på system (1). Metoden för att konstruera en ungefärlig lösning av system (1) måste vara stabil för små förändringar i initialdata.
En pseudolösning av system (1) är en vektor som minimerar diskrepansen över hela utrymmet.
Låt x 1 vara någon fast vektor från , vanligtvis bestäms av problemformuleringen.
En lösning av system (1) normal med avseende på vektorn x 1 är en pseudolösning x 0 med en miniminorm, dvs.
där F är mängden av alla pseudolösningar av systemet (1).
Dessutom 
där ¾ är komponenterna i vektorn x.
För alla system av typ (1) finns en normal lösning som är unik. Problemet med att hitta en normal lösning på ett dåligt konditionerat system (1) är illa ställt.
För att hitta en ungefärlig normal lösning på system (1) använder vi regulariseringsmetoden.
Enligt denna metod konstruerar vi en utjämningsfunktion av formen
och hitta vektorn som minimerar denna funktion. Dessutom bestäms regulariseringsparametern a unikt från villkoret
Var 
.
Degenererade och dåligt konditionerade system kan vara omöjliga att särskilja med en given noggrannhet. Men om det finns information om lösbarheten av system (1), så ska i stället för villkor (5) följande villkor användas:
Komponenter 
vektorer är lösningar till ett system av linjära algebraiska ekvationer, som erhålls från villkoret för minimum av den funktionella (4)
och ser ut
där E är identitetsmatrisen,
¾Hermitisk konjugatmatris.
I praktiken kräver valet av vektor ytterligare överväganden. Om de inte finns, antag då =0.
För =0 skriver vi system (7) i formen
Var 
Den hittade vektorn kommer att vara en ungefärlig normal lösning av system (1).
Låt oss fokusera på att välja parameter a. Om a=0 förvandlas system (7) till ett dåligt konditionerat system. Om a är stort kommer system (7) att vara välkonditionerat, men den reguljära lösningen kommer inte att vara nära den önskade lösningen till system (1). Därför är för stor eller för liten a inte lämplig.
Vanligtvis i praktiken utförs beräkningar med ett antal värden på parametern a. Till exempel,
För varje värde på a, hitta elementet som minimerar funktionell (4). Det önskade värdet på regulariseringsparametern antas vara talet a för vilket likheten (5) eller (6) är tillfredsställande med den erforderliga noggrannheten.
III. TRÄNING
1. Konstruera ett system av linjära algebraiska ekvationer, bestående av tre ekvationer med tre okända, med en determinant vars värde är av storleksordningen 10 -6.
2. Konstruera ett andra system, liknande det första, men med andra fria villkor som skiljer sig från fria villkor för det första systemet med 0,00006.
3. Lös de konstruerade systemen med hjälp av regulariseringsmetoden (förutsatt att =0 och d=10 -4) och någon annan metod (till exempel Gaussmetoden).
4. Jämför erhållna resultat och dra slutsatser om användbarheten av de använda metoderna.
IV. RAPPORTENS FORMULERING
Rapporten ska innehålla:
1. Verkets titel.
2. Redogörelse för problemet.
3. Beskrivning av lösningsalgoritmen (metoden).
4. Programtext med en beskrivning.
5. Resultat av programmet.
BIBLIOGRAFISK LISTA
1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metoder för att lösa illa ställda problem. - M.: Nauka, 1979. 286 sid.
2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numeriska metoder. - M.: BINOM. Kunskapslaboratoriet, 2007 636 sid.
Laboratoriearbete nr 23
Transkript
1 6. Degenererade och dåligt konditionerade SLAEs 1 6. Degenererade och dåligt konditionerade SLAEs Låt oss nu betrakta två typer av SLAEs (27) med en kvadratisk matris A av storleken MxM: degenererat system (med noll determinant A =0); dåligt konditionerat system (determinanten A är inte lika med noll, men villkorstalet är mycket stort). Trots det faktum att dessa typer av ekvationssystem skiljer sig väsentligt från varandra (för den första finns det ingen lösning, men för den andra finns det bara en), ur datorns praktiska synvinkel finns det mycket gemensamt mellan dem. Ett degenererat system är ett system som beskrivs av en matris med nolldeterminant A =0 (singularmatris). Eftersom vissa ekvationer som ingår i ett sådant system representeras av en linjär kombination av andra ekvationer, så är i själva verket själva systemet underbestämt. Det är lätt att inse att det, beroende på den specifika typen av vektorn b på höger sida, antingen finns ett oändligt antal lösningar eller ingen. Låt oss betrakta det första fallet, när SLAE A x=b med en singulär kvadratmatris A inte har en enda lösning. Det här alternativet handlar om att konstruera en normal pseudolösning (dvs. att välja från en oändlig uppsättning lösningar den som är närmast en viss, till exempel noll, vektor). Låt oss ge ett exempel på ett sådant problem (för ett system med två ekvationer) A= , b= (37) SLAE (37) illustreras i fig. 19, som visar att de två ekvationerna som definierar systemet definierar två parallella linjer på planet (x 1, x 2). Linjer korsar inte någon punkt
2 2 6. Degenererade och dåligt konditionerade SLAEs vid en punkt av koordinatplanet, och följaktligen finns ingen lösning på systemet. Observera att SLAE, definierad av en icke-singular kvadratisk matris med storleken 2x2, definierar ett par skärande linjer på planet (se figuren nedan). Det är också värt att säga att om systemet var konsekvent, så skulle den geometriska representationen av ekvationerna vara två sammanfallande linjer som beskriver ett oändligt antal lösningar. Ris. 19. Grafisk representation av en inkompatibel SLAE Fig. 20. Diagram över sektioner av residual f(x)= A x b beroende på x 1 Det är lätt att gissa att det i det singulariska fallet som övervägs kommer att finnas oändligt många pseudolösningar av system (37) som minimerar residual A x b, och de kommer att ligga på den tredje raka linjen parallellt med två som visas i fig. 19 och ligger mitt emellan dem. Detta illustreras i fig. 20, som visar flera sektioner av restfunktionen f(x) = A x b, vilka indikerar närvaron av en familj av minima med samma djup. För att bestämma en unik lösning bör man välja den som har från hela uppsättningen av pseudolösningar
3 6. Degenererade och dåligt konditionerade SLAEs 3 enligt minsta norm. För att erhålla en framstående lösning är det således nödvändigt att numeriskt lösa ett flerdimensionellt minimeringsproblem. Men som vi kommer att se senare är ett mer effektivt sätt att använda regularisering eller ortogonala matrisuppdelningar (se 7 respektive 10). Låt oss nu övergå till dåligt konditionerade system, dvs. SLAE med matris A, vars determinant inte är lika med noll, men villkorsnumret A -1 A är stort. Trots att dåligt konditionerade system har en unik lösning, är det i praktiken ofta meningslöst att leta efter denna lösning. Låt oss betrakta egenskaperna hos dåligt konditionerade SLAE:er med två specifika exempel på mycket nära dåligt konditionerade SLAE:er med samma högra sida b och något olika matriser A och B: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Trots närheten till dessa system visar sig deras exakta lösningar vara väldigt långt från varandra, nämligen: y A = , y B = (39) Om vi kommer ihåg förekomsten av buller, d.v.s. om det alltid förekommande felet i indata, blir det tydligt att det inte är någon mening med att lösa dåligt konditionerade system med standardmetoder. Kom ihåg att problem för vilka små modellfel (matris A och vektor b) leder till stora lösningsfel kallas felaktiga. Sålunda är dåligt konditionerade SLAE ett typiskt exempel på illa ställda problem. Dessutom bör det noteras att för ett system med två ekvationer är det lätt att få en exakt lösning, men när man löser en högdimensionell SLAE (inklusive med den "exakta" algoritmen
4 4 6. Degenererade och dåligt konditionerade Gaussiska SLAE) även mindre avrundningsfel som oundvikligen ackumuleras under beräkningar leder till enorma fel i resultaten. Frågan uppstår: är det vettigt att leta efter en numerisk lösning om det i förväg är känt att det på grund av själva problemets instabilitet kan visa sig vara helt felaktigt? För att ytterligare förstå orsaken till felaktigheten är det användbart att jämföra den grafiska tolkningen av brunnens (Fig. 21) och dåligt (Fig. 22) konditionerade system av två ekvationer. Lösningen till systemet visualiseras av skärningspunkten mellan två räta linjer som representerar var och en av ekvationerna. Ris. 21. Diagram över en välkonditionerad SLAE Fig. 22. Graf över illa konditionerad SLAE Från Fig. 22 kan man se att de räta linjerna som motsvarar den dåligt konditionerade SLAE är belägna i nära anslutning till varandra (nästan parallella). I detta avseende kan små fel i placeringen av var och en av linjerna leda till betydande fel vid lokalisering av skärningspunkten (lösningar av SLAE), i motsats till fallet med ett välkonditionerat system, när små fel i linjernas lutning har liten effekt på platsen för deras skärningspunkt (Fig. 21) .
5 6. Degenererade och dåligt konditionerade SLAEs 5 Observera att den dåligt konditionerade matrisen också är typisk när man rekonstruerar experimentella data som ges av överbestämda (inkompatibla) SLAEs (till exempel vid tomografiproblem). För att lösa illa ställda problem, i synnerhet degenererade och dåligt konditionerade SLAE, har en mycket effektiv metod som kallas regularisering utvecklats. Den bygger på att ta hänsyn till ytterligare a priori-information om lösningens struktur, som mycket ofta är tillgänglig i praktiska fall.
10. QR- och SVD-nedbrytningar: "dåliga" SLAEs 1 10. QR- och SVD-sönderdelningar: "dåliga" SLAEs Bland matrisnedbrytningar spelar en speciell roll av ortogonala sådana, som har egenskapen att bevara normen för vektor. Låt oss påminna dig
7. Regularisering 1 7. Regularisering För att lösa illa ställda problem föreslog den sovjetiske matematikern Tikhonov en enkel men extremt effektiv metod som kallas regularisering och bygger på att involvera
Exempel: vägning 1 Exempel: vägning Låt oss ge en ännu enklare tolkning av det omvända problemet i samband med att bearbeta resultaten av ett experiment, till exempel vägning av objekt av två typer
Ämne Numeriska metoder för linjär algebra - - Ämne Numeriska metoder för linjär algebra Klassificering Det finns fyra huvudsektioner av linjär algebra: Lösa system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU uppkallad efter KTynystanov OM EN UNDERFARLIG LÖSNING AV ILLKONDITIONERADE SYSTEM AV LINJÄRA ALGEBRAISKA EKVATIONER Denna artikel presenterar algoritmer för två metoder för att lösa dåligt
Särskild datorworkshop med vetenskaplig forskning Nikolai Matveevich Andrushevsky, fakulteten för datavetenskap, Moscow State University Sammanfattning Workshopen är baserad på en detaljerad studie av metoden för singularvärdesupplösning av matriser och dess tillämpning
Överbestämda linjära ekvationssystem Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Överbestämda SLAE Överbestämda SLAE Betrakta SLAE Ax = b, men i fallet när det finns fler ekvationer,
System av linjära algebraiska ekvationer Grundläggande begrepp Ett system med linjära algebraiska ekvationer (SLAE) är ett system av formen a a a, a a a, a a a Det kan representeras som en matrisekvation
Ne LA examen för civilekonomer läsåret 04-0, Hitta vektorn Ne (6 4; 6 8) och Ne DEMO alternativ 0 (x; y) (för vilken Ne och x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Ekvation för en linje i rymden 1 En linje är skärningspunkten mellan två plan. Ett system av två linjära ekvationer med tre okända. En rät linje i rymden kan definieras som skärningspunkten mellan två plan. Låta
FÖRELÄSNING 6 SPEKTRALA UPPGIFTER. Nedstigningsmetoder I den senaste föreläsningen övervägdes iterativa metoder av variationstyp. För systemet Au = f, för vilket A = A, introducerades det funktionella Φ(u, u).
11. Linjär reduktion 1 11. Linjär reduktion Låt oss avsluta vårt samtal om linjära inversa problem genom att presentera ett annat tillvägagångssätt som kallas reduktion. I huvudsak är det mycket nära regularisering (i vissa
01 1. Hitta de allmänna och grundläggande lösningarna för ekvationssystemet: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, välj x och x som grundvariabler. Svar: Om vi väljer som grundvariabler
Demo 01 1. Hitta de allmänna och grundläggande lösningarna till ekvationssystemet: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, välj x och x som grundvariabler. 2. Hitta grunden för systemet
Moscow State Technical University uppkallad efter NE Bauman Faculty of Fundamental Sciences Institutionen för matematisk modellering ÀÍ Kasikov,
UDC 57.9 Igrunova S.V., kandidat för sociologiska vetenskaper, docent, docent vid institutionen för informationssystem Ryssland, Belgorod Kichigina A.K. 4:e årsstudent, Institutet för ingenjörsteknik och naturvetenskap
6 Funktionsapproximationsmetoder. Bästa uppskattningen. De approximationsmetoder som diskuterades i förra kapitlet kräver att rutnätsfunktionsnoderna strikt tillhör den resulterande interpolanten. Om du inte kräver
ELEMENT AV LINJÄR ALGEBRA KLASSIFICERING AV MATRIX OCH OPERATIONER PÅ DEM Definiera en matris Klassificering av matriser efter storlek Vad är noll- och identitetsmatriser? Under vilka förhållanden anses matriser vara lika?
) Begreppet SLAE) Cramers regel för att lösa SLAE) Gaussisk metod 4) Matrisens rangordning, Kronecker-Capelli-satsen 5) Att lösa SLAE genom matrisinversion, begreppet konditionering av matriser) Begreppet SLAE O. SLAE-system
Parallella beräkningar i tomografi Algebraiska metoder för beräkningstomografi. Beräkningstomografiproblem i diskret form Beräkningstomografiproblem i diskret form. I kontrast
FÖRELÄSNING 2 NUMERISK LÖSNING AV SLAE Som regel, när man löser de flesta praktiska problem, uppstår problemet med att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE) i form av någon hjälpdeluppgift.
Exempel på grundläggande problem i LA Gaussmetoden Vissa linjära ekvationssystem Lös ett system av linjära ekvationer med Gaussmetoden x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Lös ett system av linjära ekvationer med Gaussmetoden 6
Operations Research Definition Operation är en händelse som syftar till att uppnå ett visst mål, vilket möjliggör flera möjligheter och deras hantering Definition Operations Research en uppsättning matematiska
Föreläsning 3. 3. Newtons metod (tangenter. Låt oss sätta någon initial approximation [,b] och linjärisera funktionen f(i grannskapet med hjälp av ett segment av Taylorserien f(= f(+ f "((-. (5 Istället för ekvationen) (vi löser
Ekvationer för en linje och ett plan Ekvation för en linje på ett plan.. Allmän ekvation för en linje. Ett tecken på parallellitet och vinkelräta linjer. I kartesiska koordinater definieras varje rak linje på Oxy-planet
Moscow State Technical University uppkallad efter N.E. Bauman Fakulteten för grundläggande vetenskap Institutionen för matematisk modellering A.N. Kasikov,
Exempel på att slutföra provuppgifter under distansundervisning Testuppsats 1 (CR-1) Ämne 1. Linjär algebra Uppgift 1 Det är nödvändigt att lösa ekvationssystemet som presenteras i uppgiften i formuläret Konstanta parametrar
Moscow State Technical University uppkallad efter. N.E. Baumanfakulteten Grundvetenskapliga institutionen Högre matematik Analytisk geometri Delkurs 1. Matrisalgebra. Vector algebra föreläsning
Biljett. Matriser, handlingar på dem.. Ekvation för en parabel i det kanoniska koordinatsystemet. Biljett. Egenskaper för matrisoperationer Den relativa positionen för en linje och ett plan. Vinkeln mellan dem, parallellitetsförhållanden
3 INNEHÅLL 1. Mål och mål för disciplinen 4. Disciplinens plats i strukturen för BOP 4 3. Disciplinens struktur och innehåll 5 3.1. Disciplinens struktur 5 3.. Disciplinens innehåll 6 4. Lista över utbildnings- och metodmaterial
PRAKTISKA LEKTIONER Lektion NÖDVÄNDIGA OCH TILLRÄCKLIGA FÖRUTSÄTTNINGAR FÖR ETT OVILLKORLIGT EXTREM Uttalande av problemet Givet en två gånger kontinuerligt differentierbar funktion f (), definierad på uppsättningen X R Krävs för att undersöka
Lösningar på problem i algebra för andra terminen D.V. Gorkovets, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 Linjära vektorrum Uppgift 1. Är vektorerna i R4 linjärt beroende? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Federal State Educational Budgetary Institution of Higher Professional Education "Financial University under the Government of the Russian Federation" (Financial University) AVDELNING FÖR "MATEMATIK"
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Visa att vektorn;;) ;;) ; ;) utgör grunden för vektorn och skriv en linjär kombination av vektorn If;;) på dessa vektorer hitta X från ekvationen Visa att vektorn;)
Kronecker-Capelli-satsen. Lösa SLAE med Gauss-metoden. Matrix rang. Betrakta en rektangulär matris med m rader och kolumner: A. m m m Låt oss välja godtyckliga rader och kolumner i denna matris. Element
System av linjära ekvationer med två variabler Ett ekvationssystem av formen kallas ett system av linjära ekvationer med två variabler. Lösningen till ett ekvationssystem i två variabler är ett värdepar
LINJÄR ALGEBRA Föreläsning Linje och plan i rymden Innehåll: Ekvation av ett plan Inbördes arrangemang av plan Vektorparametrisk ekvation för en linje Ekvationer för en linje från två punkter Linje
ST PETERSBURG STATE UNIVERSITY Fakulteten för tillämpad matematik för styrprocesser A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKOY PRAKTIK OM NUMERISKA METODER MINIMERING AV KVADRATISK FUNKTION Metodisk.
0 g 6 Proceedings FORA VILLKOR NUMMER PÅ EN MATRIX SOM EN INDIKATOR PÅ STABILITET VID LÖSNING AV TILLÄMPDA PROBLEM R Tsey, MM Shumafov Adygea State University, Maikop Villkorsnummer för en matris
MATRISER, DETERMINANTER, SYSTEM AV LINJÄRA EKVATIONER Metod för att gränsa till minor för att hitta rangordningen för en matris A = m m m moll Minor k av ordningen k av en matris A är vilken som helst determinant av den k:te ordningen av denna matris,
FÖRELÄSNING 4 ITERATIVA METODER FÖR LÖSNING AV SLAE För att minska felet i samband med avrundning, tillgripa följande algoritm. Låt dig vara en exakt lösning av systemet, u en numerisk lösning Sedan introducerar vi
1. Linjära system och matriser 1. Definiera matrismultiplikation. Är denna operation kommutativ? Förklara svaret. Produkten C av matriserna A och B definieras som m p m p A B ij = A ik B kj. Operationen är inte kommutativ.
RYSKA FEDERATIONSMINISTERIET FÖR UTBILDNING OCH VETENSKAP TOMSK STATE UNIVERSITY OF CONTROL SYSTEMS AND RADIO ELECTRONICS (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikov A.A. Mitzel FEL MATEMATISKA PROBLEM
NUMERISKA METODER FÖR LINJÄR ALGEBRA Avsnittet "Numeriska metoder för linjär algebra" diskuterar numeriska metoder för att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE) och numeriska metoder för att lösa problem
ANALYTISK GEOMETRI 3 STRÖM Föreläsare P. V. Golubtsov 1.1. Vektorer. Frågelista till den första delen av tentamen 1. Formulera definitionen av linjära operationer på vektorer. Lista egenskaper för linjära operationer
System av linjära algebraiska ekvationer Betrakta ett system av m linjära algebraiska ekvationer med okända b b () m m m bm System () kallas homogent om alla dess fria termer b b b m är lika
4. Linjära ekvationssystem. Grundläggande begrepp En ekvation kallas linjär om den innehåller okända endast i första graden och inte innehåller produkter av okända, d.v.s. om den har formen + + +
Linjär algebra Föreläsning 7 Vektorer Inledning Inom matematiken finns det två typer av storheter: skalärer och vektorer En skalär är ett tal, och en vektor förstås intuitivt som ett objekt som har storlek och riktning Vektorkalkyl.
Lista över frågor till tentamen om numeriska metoder (28 maj 2018) 0.1 Numerisk integration 1. Lista metoder för att beräkna felaktiga integraler. Konstruera en kvadraturformel för att beräkna integralen
Parallella beräkningar i tomografi Enkel iterationsmetod. Metoden för snabb nedstigning. ART metod. SIRT-metoden. I den enkla iterationsmetoden är relaxationsfaktorerna τ k och matriserna H k inte beroende av antalet
Introduktion till linjär matrisalgebra. Definition. En tabell med m n tal av formen m m n n mn bestående av m rader och n kolumner kallas en matris. Elementen i matrisen är numrerade på samma sätt som elementen i determinanten
FÖRELÄSNING 7 INTERPOLATION Vid förra föreläsningen övervägdes problemet med att lösa ett överbestämt system. Ett sådant system har formen: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
TEORISKA FRÅGOR I. MATRISER, DETERMINANTER 1) Ge en definition av en matris. Vad är noll- och identitetsmatriser? Under vilka förhållanden anses matriser vara lika? Hur utförs införlivandet? När
Föreläsning 7 REDUCERA EN ANDRA ORDNINGSKURVA TILL EN KANONISK FORM. Transformation av baser och koordinater på planet Låt två rektangulära kartesiska koordinatsystem med ett gemensamt ursprung anges på planet:
Linjär algebra Modul 1. Linjära och euklidiska rum. Linjära operatorer i linjärt rymd Föreläsning 1.4 Sammanfattning Egenvektorer och egenvärden för en linjär operator, deras egenskaper.
UDC. SYNTES AV REKURSIVA DIGITALA FILTER GENOM IMPULS KARAKTERISTIKA BESTÄMMADE AV EN ELEMENTÄR MATEMATISK FUNKTION Nikitin D.A., Khanov V.Kh. Inledning I den moderna arsenalen av metoder för att syntetisera rekursiv
Kapitel 8 Funktioner och grafer Variabler och beroenden mellan dem. Två storheter kallas direkt proportionella om deras förhållande är konstant, det vill säga om =, där är ett konstant tal som inte ändras med förändringar
Gauss-metoden (metod för att eliminera okända) Två system kallas ekvivalenta (ekvivalenta) om deras lösningar sammanfaller. Du kan gå till ett likvärdigt system med hjälp av elementära transformationer
Laboratoriearbete nr 3
Lösa dåligt konditionerade system av linjära algebraiska ekvationer
Reguleringsmetod
Inmatningsparametrar: n-positivt heltal lika med ordningen n i systemet; a är en matris av n x n reella tal som innehåller matrisen av systemkoefficienter; b - en matris med n reella tal som innehåller en kolumn med fria termer i systemet (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Utdataparametrar: x – systemlösning; p-antal iterationer.
Algoritmdiagrammet visas i figur 18.
Programtext:
procedur regul(N:Heltal;a:Tmatr;b:Tvektor;var X:Tvektor; var p:heltal);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvektor; alfa,s1,s:real; max,eps:real; i,j,k,l:heltal;
Ut_Slau_T(n,a,b);
För I:=1 Att göra (får A T A)
För K:=1 Till N Gör
För J:=1 Till N Gör S:=S+A*A;
För I:=1 To N Do (får A T B)
För J:=1 Till N Gör
Börja S:=S+A*B[j];
alfa:=0; (initial alfavärde)
k:=0; (antal iterationer)
alfa:=alfa+0,01; inc(k); a2:=al;
för i:=1 till N gör a2:=a1+alfa; (får A T A+alfa)
för i:=1 till N gör b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (får A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=al; X:=b2; x0:=X; b2:=bl;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
för i:=2 till n do
om abs(b2[i]-X[i])>max då max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Figur 18 - Schema för regulariseringsmetodens algoritm
Varianter av uppgifter för att lösa dåligt konditionerade system med hjälp av regulariseringsmetoden ges i tabell 3.
Rotationsmetod (given)
Algoritmdiagrammet visas i figur 19.
Exempel. Lös ekvationssystem
Programtext:
PROCEDUR Vrash;
Var I,J,K: heltal; M,L,R: Verklig; F1:TEXT; Etikett Ml,M2;
Ut_Slau_T(nn,aa,b);
för i:=1 till Nn do
För I:=1 Till Nn-1 Börja
För K:=I+1 Till Nn Börja
If (Aa0.0) Then Goto M1;If (Aa0.0) Then Goto M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1,0*Aa/M;
M2:För J:=1 Till Nn Börja
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
För I:=Nn Ner till 1 Börja
För K:=0 Till Nn-I-1 Börja M:=M+Aa*Aa; Slutet;
Aa:=(Aa-M)/Aa; Slutet;
för i:=1 till Nn gör x[i]:=Aa;Slut;
Beräkningar enligt programmet ledde till följande resultat:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Figur 19 - Schema för Givens-metodens algoritm (rotation)
Uppgiftsalternativ
Tabell 3
|
Matris A |
Matris A |
||||||
Ämnet laboratoriearbete nr 3 för kunskapskontroll illustreras med ett kontroll- och träningsprogram.
Laboratoriearbete nr 4
Lösa olinjära ekvationer och system av olinjära ekvationer
Enkel iterationsmetod
Procedur för att utföra laboratoriearbete:
Hitta nollapproximationen av lösningen;
Omvandla systemet f(x) = 0 till formen x = Ф(x);
Kontrollera konvergensvillkoret för metoden.
Algoritmdiagrammet visas i figur 20.
Exempel. Lös systemet med en enkel iterationsmetod
Som en nollapproximation väljer vi punkten x = 1, y = 2,2, z = 2. Låt oss transformera systemet till formen
Programtext:
PROCEDUR Iteraz;
Var I,J,K,J1: heltal;
X2,X3,Eps: Real;
Eps:=0,01; X2:=0,0; K:=1;
För J:=1 Till Nn Göra Börja
För I:=1 Till Nn Göra Börja S:=S+Aa*Xx[i]; Slutet;
För J1:=1 Till Nn Börja Xx:=R; Slutet; X3:=Xx;
För I:=1 Till Nn Börja Om (Xx[i]>=X3) Då X3:=Xx[i]; Slutet;
För I:=1 Till Nn Göra Börja Xx[i]:=Xx[i]/X3; Slutet;
Xl:=X3; U:=Abs(X2-Xl); U1:=U/Abs(Xl);
Om (U1>=Eps) Då X2:=X1;
Tills ((K>=50)eller(U1
Beräkningar enligt programmet ledde till följande resultat:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Antal iterationer:5
Figur 20 - Algoritmdiagram för den enkla iterationsmetoden
Newtons metod
Programmet kan användas för att lösa system av ordning högst tiondel.
Inmatningsparametrar: n - antalet ekvationer i systemet (sammanfaller med antalet okända), n £ 10; x-matris med n reella tal som innehåller den initiala gissningen av lösningen; f är namnet på den externa proceduren f(n, x, y), som beräknar, baserat på de givna värdena x som finns i elementen i matrisen x, de aktuella värdena för funktionen f och placerar dem i elementen i arrayen y; g - namnet på den externa proceduren g(n, x, d), som beräknar matriselement från de givna värdena x från matrisen x 
, som är belägen i en grupp d med dimensionen n x n; eps - värdet av villkoret för att avsluta den iterativa processen.
Utdataparametrar: x - en matris med n reella tal (även känd som indata) innehåller det ungefärliga värdet av lösningen när subrutinen lämnas; k är antalet iterationer.
UDC 519.61:621.3
V.P. VOLOBOEV*, V.P. KLIMENKO*
OM ETT SÄTT ATT LÖSA ETT ILLIDIGT SYSTEM AV LINJÄRA ALGEBRAISKA EKVATIONER SOM BESKRIVER ETT FYSISKT OBJEKT
Institutet för problem med matematiska maskiner och system vid National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, Ukraina
Abstrakt. Det har visat sig att sannolikheten för resultaten av modellering av fysiska objekt, vars diskret modell beskrivs av ett system av linjära algebraiska ekvationer (SLAR), inte är ett resultat av dålig utformning av matrisen, utan som ett resultat av felaktigt urval förändringsbar SLAR i det stadium av vikta nivåer med hjälp av metoden för nodpotentialer eller dess analoger, och själva metoden Detta är en stor avvikelse från metoden för att korrekt ställa in uppgiften En metod för att kontrollera korrektheten av SLAR, bildad av metod för nodpotentialer, som har en intakt symmetrisk matris, har föreslagits, och det är nödvändigt att transformera den till rätt form.
Nyckelord: system, modellering, felaktig inställning, dåligt resonemang, system av linjära algebraiska ekvationer, metod för nodpotentialer, metod för korrekt inställning av uppgiften, kontroll av korrekthet.
Anteckning. Det visas att tillförlitligheten hos resultaten av modellering av fysiska objekt, vars diskreta modell beskrivs av ett system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE), inte beror på matrisens dåliga villkor, utan på det felaktiga valet av SLAE-variabler. i stadiet för att komponera ekvationer med användning av metoden för nodpotentialer eller dess analoger, och själva metoden är ett särskilt fall av metoden för korrekt formulering av problemet. En teknik föreslås för att kontrollera korrektheten av en SLAE sammanställd med metoden för nodpotentialer, som har en icke-degenererad och symmetrisk matris, och om nödvändigt konvertera den till en korrekt form.
Nyckelord: system, modellering, dåligt ställt problem, dålig konditionering, system av linjära algebraiska ekvationer, metod för nodalpotentialer, metod för korrekt formulering av problemet, kontroll av korrekthet.
Abstrakt. Uppsatsen visar att tillförlitligheten hos resultaten av simulering av de fysiska objekten, vilken diskret modell beskrivs av ett system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE) inte beror på dålig konditionerad matris utan på ett felaktigt val av variabel SLAE vid genereringsstadiet av ekvationer genom en nodpotentialmetod eller dess analoger, och metoden är ett specialfall av en metod för korrekt beskrivning av ett problem. Det föreslogs utcheckningsmetoden på en korrekthet av SLAE, gjord av en nodpotentialmetod, med icke-singular och en symmetrisk matris och om det är nödvändigt dess transformation till en korrekt form.
Nyckelord: system, simulering, felaktigt problem, dåligt konditionerat, system av linjära algebraiska ekvationer, nodpotentialmetod, metod för korrekt problemformulering, utcheckning på korrekthet.
1. Introduktion
Många problem med att modellera fysiska (tekniska) objekt beror på att lösa system av linjära algebraiska ekvationer (SLAE). Eftersom alla beräkningar vid lösning av sådana system utförs med ett ändligt antal signifikanta siffror, kan noggrannheten förloras avsevärt på grund av avrundningsfel. Ett dåligt konditionerat (ostabilt) system eller, i en mer allmän formulering, ett felaktigt ställt problem anses vara ett problem som, givet en fast nivå av indatafel och beräkningsnoggrannhet, inte garanterar någon noggrannhet i lösningen. Villkorsnumret används som en a priori sämsta uppskattning av möjliga fel vid lösning av SLAE. Som följer av litteraturen betraktas utvecklingen av metoder för att lösa illa ställda problem som ett rent matematiskt problem, där egenskaperna hos fysiska (tekniska) objekt inte beaktas, trots att den numeriska lösningen av många problem av matematisk fysik och matematisk modellering av komplexa fysikaliska processer
© Voloboev V.P., Klimenko V.P., 2014
ugglor och tekniska system är en outtömlig källa till linjära algebraproblem. För den listade klassen av problem, när man utvecklar lösningsmetoder, beaktas inte stadiet för att kompilera en SLAE, där det på ett eller annat sätt är möjligt att ta hänsyn till egenskaperna hos ett specifikt problem. Det faktum att detta steg måste beaktas bekräftas av resultaten av följande arbeten.
Först och främst är det värt att notera arbetet, som ger exempel på matriser för vilka förlusten av noggrannhet vid lösning av SLAE är liten, och värdet på villkorsnumret är enormt, det vill säga det visas att det allmänt accepterade kriteriet för A priori bedömning av noggrannheten för att lösa SLAE baserat på villkorsnumret är nödvändig, men inte tillräcklig. Ett helt nytt tillvägagångssätt för att lösa ett illa ställt problem föreslogs på gång. Det ligger i det faktum att för att öka noggrannheten för att lösa SLAE, även med ett stort värde på villkorsnumret, vid beskrivningen av en diskret modell av ett fysiskt objekt, föreslås det att korrekt komponera SLAE. Det betyder inte bara att sådana matriser finns, som redovisats i arbetet, utan också att en metod har föreslagits för att korrekt kompilera en SLAE-matris som beskriver en diskret modell av ett objekt. Metoden för att sammanställa en matris av SLAE:er betraktas i relation till problem med att modellera beteendet hos elektriska kretsar, kraftsystem, mekanikstavsystem och matematisk fysiks elliptiska ekvationer.
Kärnan i denna metod är att, till skillnad från befintliga metoder, när man bildar en SLAE, beaktas parametrarna för en diskret modell av ett fysiskt objekt genom ett riktat val av variabler. Det bör noteras att metoden endast är tillämpbar på de objekt vars diskreta modelltopologi representeras av en graf.
Detta krav uppfylls av designmodellen för den elektriska kretsen och kraftsystemet. För många problem med matematisk modellering av komplexa fysikaliska processer, tekniska system och matematisk fysik används inte representationen av topologin för en diskret modell i form av en graf. Verken visar att ovanstående begränsning tas bort genom att representera topologin för elementen i designscheman för en diskret modell av ett fysiskt objekt i form av en graf. Det finns också en metod för att representera elementens topologi i form av grafer.
I den här artikeln kommer vi att föreslå en metod för att korrigera ett felaktigt ställt problem för det fall då topologin för en diskret modell inte representeras i form av en graf. När vi utvecklar metoden tar vi hänsyn till att den allmänt accepterade metoden för att beskriva diskreta modeller av problem inom matematisk fysik och komplexa fysikaliska processer och tekniska system (nodalpotentialmetoden) är ett specialfall av metoden för att korrekt sammanställa en SLAE-matris .
2. Förhållandet mellan noggrannheten hos lösningen av SLAE som beskriver en diskret modell av objektet och metoden för att komponera ekvationer
Akademikern Voevodin V.V. visade i sitt arbete att den högsta noggrannheten av resultaten för att lösa SLAE med den Gaussiska metoden uppnås när man använder metoden med valet av huvudelementet. Ett stort antal verk har publicerats utifrån denna idé. Men att lösa praktiska problem har visat att noggrannheten i att lösa SLAE, särskilt i fallet med dåligt konditionerade matriser, avsevärt går förlorad på grund av avrundningsfel, det vill säga för att förbättra noggrannheten av resultaten i lösningsstadiet, det räcker inte. att helt enkelt använda Gaussmetoden med valet av huvudelement.
En vidareutveckling av denna idé är den metod som föreslagits i arbetet, där det föreslås, vid sammanställningen av en beskrivning av en diskret modell av ett objekt, att bilda de diagonala elementen i matrisen som de huvudsakliga. För att göra detta, när man sammanställer en beskrivning, används ytterligare information, nämligen parametrarna för den diskreta modellen. Effektiviteten av detta tillvägagångssätt, nämligen beroendet av noggrannheten hos lösningen av SLAE som beskriver den diskreta
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
En ny modell av objektet, från metoden att komponera ekvationer, kommer att demonstreras med hjälp av ett modellexempel. Nedan kommer vi att överväga att sammanställa en beskrivning av ett modellexempel med den metod som beskrivs i, med och utan att välja huvudelementet och dess lösning.
Den elektriska kretsen som visas i fig. 1 valdes som ett modellexempel. 1.
Ris. 1. Elektrisk krets
Det är känt att villkoren för SLAE som beskriver en elektrisk krets beror på spridningsintervallet för konduktivitetsvärdena (motstånd) för kretskomponenterna. Det valda intervallet av förändringar i ledningsförmågan hos komponenterna i den elektriska kretsen, lika med 15 order, säkerställer dålig konditionalitet hos SLAE och därmed, som man brukar tro, felet i problemet. Med hjälp av exemplet med beräkning av potentialen för nod 2 (spänning på komponent G2), kommer beroendet av tillförlitligheten av beräkningsresultaten på metoden för att bilda det diagonala elementet vid sammanställning av en beskrivning av den elektriska kretsen att analyseras.
Nedan finns de viktigaste bestämmelserna som krävs för att lösa ett modellexempel med hjälp av metoden för korrekt problemformulering. Konstruktionen av en matematisk modell av en elektrisk krets med denna metod är baserad på det grundläggande ekvationssystemet för den elektriska kretsen, som inkluderar komponentekvationer och ekvationer sammanställda på grundval av Kirchhoffs lagar. För modellexemplet har komponentekvationen formen
där U i är spänningen som faller över komponenten, I är strömmen som flyter genom komponenten, Gt är komponentens konduktivitet.
För att beskriva grafen för en elektrisk krets och följaktligen ekvationer baserade på Kirchhoffs lagar, används topologiska matriser av konturer och sektioner. Kretsdiagrammet sammanfaller med den elektriska kretsen. Att sammanställa topologiska matriser av konturer och sektioner innebär att man väljer ett kretsdiagramträd och ritar konturer för det valda trädet. Trädet för den elektriska kretsgrafen väljs på ett sådant sätt att alla spänningskällor ingår i trädet, och alla strömkällor ingår i ackord. Element i spänningsvektorerna U och strömmar I för kretskomponenterna är grupperade i de som ingår i trädet (index D), det vill säga grenar och ackord (index X), således:
Konturerna bildas genom att sammanfoga ackord med kretsdiagramträdet. I detta fall
den topologiska matrisen av konturer har formen
där 1 är enhetssubmatrisen för ackord, t
Betecknar transpositionen av matrisen, och den topologiska matrisen av sektioner har formen |1 -F, där 1 är enhetssubmatrisen för grenar. Som följer av , de diagonala termerna för matrisen
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
kommer att vara de viktigaste i fallet när konduktiviteterna hos trädkomponenterna i kretsarna har maximal konduktivitet. Med hänsyn till typen av topologiska matriser kan kedjeekvationerna som sammanställts på basis av Kirchhoffs lagar skrivas i matrisform enligt följande:
deras =-ґid, (3)
Variablerna i det kompilerade ekvationssystemet väljs från komponenternas spänningar och/eller strömmar som ett resultat av analys av huvudekvationssystemet. Om komponenterna som ingår i trädets grenar väljs som variabla spänningar, kan komponentekvationerna (1) och ekvationerna (3), (4) transformeras till följande form:
Gd U d - F(Gx (- FUd)) = 0.
Nedan kommer vi att presentera ekvationssammanställningen för ett modellexempel. Först görs en beskrivning av den elektriska kretsen så att de diagonala termerna i matrisen är de huvudsakliga. Detta krav är uppfyllt av uppsättningen av komponenter E1, G6, G3, G2 som ingår i trädet (i Fig. 1 är trädets grenar markerade med en fet linje). Följande vektorer av spänningar och strömmar för komponenter motsvarar det valda trädet:
och topologiska matriser
Ekvation (5), med hänsyn till (6), (7) och komponentekvationer efter transformationer, har följande form:
- (G4 + G5) (G4 + G5) G1 + G2 + G4 + G5
SLAE (8) är dåligt konditionerad, eftersom matrisens egenvärden \= 1.5857864376253, R2 = 5.0E +14+j5.0E +14, A, = 5.0E +14 - j5.0E +14. För att bestämma hur noggrannheten hos resultaten av att lösa systemet beror på valet av alternativ för att komponera ekvationerna, kommer beräkningen av potentialen Uq för nod 2 att utföras i den allmänna formen:
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
(g1+g2 +g4 +g5)-
Av analysen av beräkningsprocessen (9-11) följer att, trots det stora intervallet av förändringar i konduktivitetsvärden (15 storleksordningar), finns det inga strikta krav på den slutliga noggrannheten i representationen av tal både när komponera ekvationer och när man löser dem. För att erhålla ett tillförlitligt resultat räcker det att utföra beräkningsprocessen för att kompilera och lösa SLAE med en noggrannhet som representerar siffror till två signifikanta siffror.
Det bör noteras att i SLAE (8) är det diagonala elementet i den andra raden (kolumnen) i matrisen G+G4+G5I betydligt större (med 15 storleksordningar) än summan av de återstående termerna
rader (kolumner) | G4 + 2G51. Detta innebär att genom att ta UG = 0 kan vi förenkla SLAE
(8), upprätthålla tillförlitligheten av resultaten. I en tid präglad av manuell räkning motsvarade denna teknik att kombinera nod 2 med 3 (Fig. 1).
I det andra fallet (utan att välja det diagonala elementet som huvudelement) räcker det att välja komponenterna Ex, G6, G4, G2 i trädet (i fig. 1 är trädets grenar markerade med streckade linjer
linje). Spänningsfallet på dessa komponenter motsvarar nodpotentialerna 1, 4, 3, 2, räknat från nollnoden. Detta innebär att med ett sådant val av komponenter i trädet sammanfaller metoden för att korrekt komponera SLAE-matrisen med metoden för nodpotentialer. Följande vektorer av spänningar och strömmar för komponenter motsvarar det valda trädet och ackorden:
U D = UG UG G4, Ux = G1 UG3 UG G D G ig G4, Ix = G1 IG3 IG
UG G2 G5 ig G2 G5
och topologiska matriser
Ekvation (5), med hänsyn till (12), (13) och komponentekvationer, kommer att ta följande
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
G5 + G6 -G5 0 UG G6 0
G5 G3 + G4 + G5 -G3 Uo. = 0
0 - G3 G1 + G2 + G3 Uo2 G1E1
Ekvationssystemet (14) är dåligt konditionerat, eftersom det har följande egenvärden för matrisen: 1 = 1.0,1 =1015 +у1015,1 =1015-/1015. Som i den första versionen av exemplet kommer den potentiella UG för nod 2 att beräknas i allmän form:
(G + G + G)-----------
V 3 4 У (G + G)
+ (G1 + G2 + G3)
3 4 5" (G5 + G6)
Av analysen av beräkningsprocessen för att lösa ekvationssystemet (15-17) följer att tillförlitligheten av resultaten beror både vid sammansättning och lösning av ekvationer på den slutliga noggrannheten i representationen av tal. Så om beräkningsprocessen för att lösa systemet (15-17) utförs med en noggrannhet på mindre än 15 signifikanta siffror, blir resultatet
1015 +1015 ~ o,
och i det fall där noggrannheten är mer än 15 signifikanta siffror kommer det att vara det
1030 + 2*1015 +1030 + %+ 3/1015)
Från en jämförelse av matriser (8) och (14), samt beräkningsprocesser för att lösa ekvationssystem, följer följande slutsatser.
Metoden för nodalpotentialer är ett specialfall av metoden som föreslås i , nämligen i metoden för nodalpotentialer väljs alltid kanterna på grafen som förbinder basnoden med resten i trädet.
De diagonala elementen i en matris är större i modul än andra element, både i rader och kolumner, oavsett om matrisen är sammansatt med eller utan att välja maximala diagonaler. Den enda skillnaden är hur mycket större de diagonala elementen är än de icke-diagonala. Detta innebär att att lösa denna typ av SLAE med den Gaussiska metoden med valet av huvudelementet inte ökar noggrannheten av resultaten för denna klass av problem.
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
Det slutliga antalet signifikanta siffror som används i den Gaussiska lösningen beror avsevärt på om matrisen är konstruerad med eller utan att välja maximala diagonala element. Skillnaden mellan en version av problemet och en annan är bara att i ett skede av att komponera ekvationerna väljs i ett fall komponenten med maximal ledningsförmåga in i trädet och därmed fungerar spänningen för denna komponent som en variabel i SLAE. Konduktiviteten hos denna komponent är endast involverad i bildandet av det diagonala elementet i matrisen. I ett annat fall faller denna komponent in i ackorden. Som följer av ekvation (3) bestäms komponentspänningen genom spänningen hos trädkomponenterna. Av ekvation (4) följer att komponentens konduktivitet är involverad i bildandet av elementen i rader och kolumner, och således bestämmer kordans konduktivitet storleken på dessa matriselement.
3. Transformation av SLAE-matrisen sammanställd med metoden för nodpotentialer till en form som motsvarar den korrekta formuleringen
När man numeriskt löser problem med matematisk fysik och matematisk modellering av komplexa fysikaliska processer och tekniska system för att kompilera SLAE:er som beskriver diskreta modeller av dessa problem, används huvudsakligen metoden för nodalpotentialer eller dess analoger. En utmärkande egenskap hos denna metod är att potentialerna för designschemat för den diskreta modellen, räknat från basnoden till de återstående noderna, en enkel algoritm för att komponera ekvationer och en svagt fylld matris av SLAE används som SLAE-variabler. Priset för sådan effektivitet kan vara felaktigheten i uppgiften. Med tanke på att metoden för nodpotentialer bara är en av varianterna av metoden för att korrekt ställa problemet, kan ett felaktigt ställt problem korrigeras genom att tillämpa en matristransformation. Nedan kommer vi att överväga en algoritm för att transformera ett problem som är felaktigt sammansatt av metoden för nodpotentialer.
Av hela mängden fysiska objekt kommer endast de objekt att beaktas vars linjära diskreta modell beskrivs av en SLAE med en icke-degenererad och symmetrisk matris.
3.1. Matristransformationsalgoritm
När man utvecklar en matristransformationsalgoritm används det faktum att det j:te icke-diagonala elementet i matrisens i:te rad ingår i matrisen med ett minustecken och innehåller en diskret modellparameter som beskriver kopplingen mellan de i:te och j:te noderna i den diskreta modellen. Det diagonala elementet ingår i matrisen med ett positivt tecken, innehåller summan av icke-diagonala element och en diskret modellparameter som beskriver kopplingen mellan den i:te noden och basen. Vanligtvis, vid numrering av noder av en diskret modell, anses grundnoden vara noll.
Som följer av studien som utförts ovan uppstår felaktigheten i problemet på nivån för den kompilerade SLAE endast om minst ett av de icke-diagonala elementen i linjen är betydligt större än parametern för den diskreta modellen, som endast ingår i det diagonala elementet. Nedan finns en metod för att kontrollera korrektheten av den kompilerade SLAE.
Låt SLAE ha formen
där x är vektorn för nodpotentialer (nodalpåverkan), y är vektorn för externa flöden, A är en matris av formen
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
а11 а1і a1j a1n
аі1 а,і aj ain , (21)
aJ1 an1 аі aJJ ann
där n är matrisstorleken. Matriselementen uppfyller följande krav:
ai > 0, a.< 0, а. = а]г,1 < i < n, 1 < j < n при j Ф і. (22)
Nedan kommer vi att överväga att kontrollera riktigheten av den i-te raden i matrisen och, om nödvändigt, dess korrigering.
Först och främst bestäms den diskreta modellparametern ait, som endast ingår i det diagonala elementet i matrisens i:te rad,
Den i:te raden i matrisen anses vara korrekt sammansatt om parametern ait uppfyller villkoret
1 < j < n, при j Ф і.
Om villkoret (24) inte är uppfyllt, justeras den i:te raden. Först väljs det största av de icke-diagonala elementen. Låt detta vara det j-te elementet i den i-te raden. Det är lätt att verifiera att, på grund av matrissammansättningens särdrag (villkor (22)), parametern för den diskreta modellen, som är involverad i bildandet av element o. och a.^ av de i:te och j:te linjerna, ingår som en integrerad del i elementen aii och a. . Kärnan i att justera den i:te raden är att transformera de i:te och j:te raden i matrisen så att värdet på elementet är a. ingick endast i element aii. Det är lätt att se det, representerar variabeln xi i formuläret
X = xj + xj (25)
och att utföra följande transformation av elementen i den j:te kolumnen i SLAE-matrisen
o = ai. + ai, 1< 1 < n , (26)
vi får en ny j:te kolumn i matrisen, i vilken de transformerade elementen är a. och a. innehåller inte parametern för den diskreta modellen som bildade elementen a. och a. .
Nästa steg är att transformera den jth raden med hjälp av formeln
aji = a.i + aii, 1< l < n . (27)
Element ai i den transformerade j-strängen innehåller inte längre den diskreta modellparametern som motsvarar element ai.
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
Kontroll av SLAE-matrisens korrekthet och korrigering av felaktiga rader utförs för hela matrisen. I detta arbete övervägs endast tillvägagångssättet för att konstruera en algoritm för att konvertera en matris till rätt form. Frågor relaterade till utvecklingen av en effektiv algoritm för att konvertera en matris till en korrekt form tas inte upp i detta arbete. Nedan kommer vi att ge ett exempel på transformation av SLAE-matrisen (14), sammanställd med metoden för nodpotentialer.
3.2. Demo exempel
Först och främst bör det noteras att matrisen (14) är symmetrisk och icke-degenererad. Matriskoefficienterna uppfyller villkor (22). Nodalpotentialer motsvarar spänningsfallet över komponenterna
U4 = UG^, U3 = UG, U2 = UG
Med hänsyn till (28), kan SLAE (14) representeras enligt följande:
G5 + G6 - G5 0 U 4 0
G5 G3 + G4 + G5 - G3 U3 = 0
0 - G3 G + G2 + G3 U2 GA
Att kontrollera att en matris är korrekt inkluderar följande operationer.
Bestämning med formel (23) av den diskreta modellparametern ait, endast inkluderad
till ett diagonalt element. För den första raden i matrisen kommer det att vara G6, för den andra raden G4 och för den tredje - (Gl + G2).
Kontroll av matrisraderna för korrekthet utförs i enlighet med formel (24). Som ett resultat av denna kontroll visar det sig att den andra raden inte uppfyller korrekthetskravet, eftersom (G4 = 1) ^ (G3 = 1015) . Parametern G3 ingår också i den tredje raden i matrisen, därför, i enlighet med formel (25), väljs representationen av variabeln U3 i formen
U3 = U2 + U23, (30)
Som ett resultat av att transformera elementen i den tredje kolumnen, i enlighet med formel (26), får vi matris (29) i följande form:
G5 + G6 - G5 - G5
G5 g3 + g4 + g5 g4+g5
och efter transformering av den tredje raden, i enlighet med formel (27), kommer matrisen (31) att ha formen
(G5 + G6) - G5 - g5 U 4 0
G5 (G3 + G4 + G) (G4 + G5) U23 = 0 . (32)
G5 (G4 + g5) (G + G2 + G4+g5) U2 G E
SLAE (32) uppfyller korrekthetskravet, så justeringen anses vara klar. SLAE-variablerna (32) motsvarar SLAE-variablerna (8), det vill säga i
ISSN 1028-9763. Matematiska maskiner och system, 2014, nr 4
Som ett resultat av omvandlingen till ett träd valdes samma komponenter som i metoden för korrekt formulering av problemet. Av en jämförelse av SLAE (8) och (32) följer att de icke-diagonala elementen i matris (32) i den andra kolumnen och andra raden skiljer sig i tecken från matris (8). Detta är resultatet av det faktum att vid transformering av matrisen (14) valdes riktningen för strömmen för G3-komponenten, motsatt den riktning som valdes vid kompilering av SLAE (8). Genom att ersätta variabeln U23 med U23 = -U23 och ändra tecknen för elementen i den andra ekvationen till det motsatta får vi matris (8).
4. Slutsats
Modellering har blivit en integrerad del av mänsklighetens intellektuella aktivitet, och tillförlitligheten hos modelleringsresultat är huvudkriteriet för att utvärdera resultaten av modellering. För att säkerställa resultatens tillförlitlighet krävs nya tillvägagångssätt för utveckling av metoder och algoritmer för att beskriva komplexa objekt och deras lösningar.
I motsats till det befintliga tillvägagångssättet för att utveckla metoder för att lösa illa ställda problem, föreslår denna uppsats att bringa ett illa ställt problem (illa betingat) till en korrekt form. Det har visat sig att det inte är matrisens dåliga villkor som gör det svårt att erhålla tillförlitliga resultat när man löser SLAEs som beskriver diskreta modeller av fysiska objekt, utan det felaktiga valet av SLAE-variabler i skedet av att komponera ekvationer och nodalmetoden. potentialer och dess analoger, som används för att kompilera SLAEs som beskriver en diskret modell, är ett specialfall av metoden för korrekt formulering av problemet. En teknik föreslås för att kontrollera riktigheten av SLAE kompilerad med metoden för nodpotentialer för fallet när SLAE-matrisen är icke-singular och symmetrisk. En algoritm för att konvertera en matris till en korrekt form övervägs.
BIBLIOGRAFI
1. Kalitkin N.N. Kvantitativt villkorlighetskriterium för system med linjära algebraiska ekvationer / N.N. Kalitkin, L.F. Yukhno, L.V. Kuzmina // Matematisk modellering. - 2011. T. 23, nr 2. - P. 3 - 26.
2. Voloboev V.P. Om en metod för att modellera komplexa system / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiska maskiner och system. - 2008. - Nr 4. - S. 111 - 122.
3. Voloboev V.P. På ett sätt att modellera kraftsystem / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiska maskiner och system. - 2009. - Nr 4. - S. 106 - 118.
4. Voloboev V.P. Mekanik för stavsystem och grafteori / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiska maskiner och system. - 2012. - Nr 2. - S. 81 - 96.
5. Voloboev V.P. Finita elementmetod och grafteori / V.P. Voloboev, V.P. Klimenko // Matematiska maskiner och system. - 2013. - Nr 4. - S. 114 - 126.
6. Pukhov G.E. Utvalda frågor om teorin om matematiska maskiner / Pukhov G.E. - Kiev: Publishing House of the Academy of Sciences of the Ukrainian SSR, 1964. - 264 sid.
7. Seshu S. Linjära grafer och elektriska kretsar / S. Seshu, M.B. Reid. - M.: Högre skola, 1971. - 448 sid.
8. Zenkevich O. Finita element och approximation / O. Zenkevich, K. Morgan. - M.: Mir, 1986. -318 sid.
9. Voevodin V.V. Beräkningsgrunder för linjär algebra / Voevodin V.V. - M.: Nauka, 1977. -304 sid.
10. Teoretiska grunder för elektroteknik: en lärobok för universitet / K.S. Demirchyan, L.R. Neiman, N.V. Korovkin, V.L. Chechurin. - . - Peter, 2003. - T. 2. - 572 sid.
Låt oss återvända till SLAU igen Aх=b med kvadratisk matris A storlek MхN, vilket, till skillnad från det "goda" fallet som behandlats ovan (se avsnitt 8.D), kräver ett särskilt tillvägagångssätt. Låt oss uppmärksamma två liknande typer av SLAE:
- degenererat system (med noll determinant |A|=0);
- dåligt konditionerat system (determinanten A är inte lika med noll, men villkorstalet är mycket stort).
Trots det faktum att dessa typer av ekvationssystem skiljer sig väsentligt från varandra (för den första finns det ingen lösning, men för den andra finns det bara en), ur datorns praktiska synvinkel finns det mycket gemensamt mellan dem.
Degenererade SLAEs
Ett degenererat system är ett system som beskrivs av en matris med en nolldeterminant |A|=0(singular matris). Eftersom vissa ekvationer som ingår i ett sådant system representeras av en linjär kombination av andra ekvationer, är själva systemet i själva verket underbestämt. Det är lätt att inse att det, beroende på den specifika typen av vektorn b på höger sida, antingen finns ett oändligt antal lösningar eller inga alls. Det första alternativet handlar om att konstruera en normal pseudolösning (d.v.s. att välja från en oändlig uppsättning lösningar den som är närmast en viss, till exempel noll, vektor). Detta fall diskuterades i detalj i avsnitt. 8.2.2 (se listor 8.11-8.13).
Ris. 8.7. Grafisk representation av ett inkonsekvent system av två ekvationer med en singular matris
Låt oss överväga det andra fallet, när SLAE Aх=b med en singulär kvadratisk matris har A ingen lösning. Ett exempel på ett sådant problem (för ett system med två ekvationer) illustreras i fig. 8.7, överst på vilken matrisen skrivs in A och vektor b, och även ett försök görs (misslyckat, eftersom matris A är singular) att lösa systemet med funktionen isolera. Grafen som upptar huvuddelen av figuren visar att de två ekvationerna som definierar systemet definierar två parallella linjer på planet (x0,x1). Linjerna skär inte varandra vid någon punkt i koordinatplanet, och följaktligen finns det ingen lösning på systemet.
Notera
Observera först att en SLAE definierad av en icke-singular kvadratisk matris med storleken 2x2 definierar ett par skärande linjer i planet (se figur 8.9 nedan). För det andra är det värt att säga att om systemet var konsekvent, så skulle den geometriska representationen av ekvationerna vara två sammanfallande linjer som beskriver ett oändligt antal lösningar.
Ris. 8.8. Graf över sektioner av restfunktionen f (x) = |Ax-b|
Det är lätt att gissa att i det övervägda singularfallet med pseudolösningar av systemet som minimerar avvikelsen |Ax-b|, kommer det att finnas oändligt många, och de kommer att ligga på den tredje räta linjen, parallellt med de två som visas i fig. 8.7 och ligger mitt emellan dem. Detta illustreras i fig. 8.8, som visar flera delar av funktionen f(x)= | Ax-b |, som indikerar närvaron av en familj av minima av samma djup. Om du försöker använda den inbyggda funktionen för att hitta dem Minimera, kommer dess numeriska metod alltid att hitta någon punkt på den nämnda linjen (beroende på initialförhållandena). Därför, för att bestämma en unik lösning, bör man välja från hela uppsättningen av pseudolösningar den som har den minsta normen. Du kan försöka formulera detta flerdimensionella minimeringsproblem i Mathcad med hjälp av kombinationer av inbyggda funktioner Minimera Ett mer effektivt sätt skulle dock vara att använda regularisering (se nedan) eller ortogonala matrisupplösningar (se avsnitt 8.3).
