4 Hangi sayılara zıt denir. Zıt sayılar, tanım, örnekler

Zıt sayıların tanımı

Zıt sayıların tanımı:

Yalnızca işaret bakımından farklılık gösteren iki sayıya zıt sayı denir.

Zıt sayılara örnekler

Zıt sayılara örnekler.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Buradan belirli bir sayının tersinin nasıl bulunacağı açıktır: sadece sayının işaretini değiştirin.

3'ün karşısındaki sayı eksi üç sayısıdır.

Örnek. Sayılar verilerin tersidir.

Verilenler: sayılar 1; 5; 8; 9.

Verilerin zıt sayılarını bulun.

Bu görevi çözmek için verilen sayıların işaretlerini değiştirmeniz yeterlidir:

Zıt sayıların bir tablosunu oluşturalım:

Sıfırın tersi

Sıfırın karşıtı sıfır sayısının kendisidir.

Yani 0'ın tersi sayı 0'dır.

Zıt Tamsayılar

Zıt tam sayıların yalnızca işaretleri farklıdır.

Zıt tam sayılara örnekler.

10 -10
20 -20
125 -125

Zıt sayılar çifti

Zıt sayılardan bahsettiklerinde her zaman bir çift zıt sayıyı kastediyorlar.

Bir sayı başka bir sayının tersidir. Ve her sayının yalnızca bir zıt sayısı vardır.

Doğal sayıların karşısındaki sayılar

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır.

İlk beş doğal sayı için zıt sayıların bir tablosunu oluşturalım:

Zıt sayıların toplamı

Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Sonuçta, zıt sayılar yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir.

Bu örneği ele alalım. Sırayla saymanız gerekir: .

Eklenmesi gereken sayıları yeniden düzenleyebilir ve ardından kalanları çıkarabilirsiniz: .

Ancak bu her zaman uygun değildir. Örneğin bir depodaki eşyaların dengesini hesaplayabiliriz ve ara sonucu bilmemiz gerekir.

Eylemleri art arda gerçekleştirebilirsiniz: .

Bu nedenle sonucun sayıdan çıkarma olacağını biliyoruz. Bu, çıkarmamız gerektiği anlamına gelir, ancak henüz hiçbir şeyden çıkarmamız gerekmez. Çıkarılacak bir şeyimiz olduğunda şunu çıkarırız:

Ama “hile yapabiliriz” ve belirleyebiliriz. Böylece yeni bir nesne tanıtacağız - negatif sayılar.

Zaten böyle bir işlemi gerçekleştirdik - örneğin doğada "" sayısı da yoktu, ancak eylemleri kaydetmeyi kolaylaştırmak için böyle bir nesne ekledik.

Bir spor deposunda topları vermek ve almakla görevlendirildiğimizi hayal edin. Kayıt tutmamız gerekiyor. Kelimelerle yazabilirsiniz:

Verildi, Kabul Edildi, Verildi, Kabul Edildi,… (Bkz. Şekil 1.)

Pirinç. 1. Muhasebe

Kabul ediyorum, günde birçok kez veri verip almanız gerekiyorsa, kayıt yapmak pek uygun değildir.

Sayfayı biri Kabul Edildi, diğeri Verildi olmak üzere iki sütuna bölebilirsiniz. (Bkz. Şekil 2.)

Pirinç. 2. Basitleştirilmiş kayıt

Kayıt kısaldı. Ancak sorun şu: Herhangi bir anda kaç topun alındığını (veya verildiğini) nasıl anlayacağız?

Kayıt için şu düşünceyi kullanabilirsiniz: Topları depodan çıkardığımızda depodaki miktarı azalır, kabul ettiğimizde ise artar.

Peki “topu dışarı verdi” nasıl yazılır? Aşağıdaki nesneyi girebilirsiniz: .

Bu nesne, topların hareketinin gerçekleştiği sıraya göre matematiksel olarak kaydedilmesini sağlar:

Başka bir örneğe bakalım.

Telefon hesabınızda ruble var. İnternete girdin ve rubleye mal oldu. Sonuç ruble borcuydu. Operatör şunu yazabilirdi: "müşterinin ruble borcu var." Ruble koydun. Operatör borcunu kesti. Ruble hesabında ortaya çıktı.

Ancak “” ve “” işaretlerini kullanarak hem işlemleri hem de parayı hesaba kaydetmek uygundur. (Bkz. Şekil 3.)

Pirinç. 3. Uygun kayıt

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmanın sonucunu yazmak için negatif bir sayı giriyoruz: .

Negatif bir sayı eklemek, çıkarmaya eşdeğerdir: .

Negatif sayıları daha önce ele aldığımız pozitif sayılardan ayırmak için önüne eksi işareti koymaya karar verdik: .

Onlar olmadan yapabilir misin? Evet yapabilirsin. Herhangi bir durumda “geri”, “ödünç al” vb. kelimeleri kullanırız. Ama onlar, bu sözler farklı olurdu.

Ve böylece evrensel, kullanışlı bir aracımız var. Tüm bu durumlar için bir tane.

Bir arabaya benzetme yapabiliriz. Birçoğu tek tek ihtiyaç duyulmayan ancak hepsi birlikte sürüş yapmanızı sağlayan çok sayıda parçadan oluşur. Aynı şekilde negatif sayılar da diğer matematik araçlarıyla birlikte hesaplamaları basitleştirmeyi, birçok problemin çözümünü ve yazımını basitleştirmeyi mümkün kılan bir araçtır.

Böylece yeni bir nesneyi tanıttık: Negatif sayılar. Hayatta ne için kullanılırlar?

Öncelikle pozitif sayıların rollerini hatırlayalım:

Miktar: örneğin odun, litre süt. (Bkz. Şekil 4.)

Pirinç. 4. Miktar

Sıralama: Örneğin evler pozitif sayılarla numaralandırılır. (Bkz. Şekil 5.)

Pirinç. 5. Organize edin

Ad: örneğin futbolcu numarası. (Bkz. Şekil 6.)

Pirinç. 6. İsim olarak sayı

Şimdi negatif sayıların fonksiyonlarına bakalım:

Eksik miktarın belirtilmesi. Miktar asla negatif değildir. Ancak bir miktarın çıkarıldığını göstermek için negatif bir sayı kullanılır. Mesela bir şişeden döküp şeklinde yazabiliriz. (Bkz. Şekil 7.)

Pirinç. 7. Eksik miktarın belirtilmesi

Düzenleme. Bazen numaralandırma yaparken sıfır seçilir ve nesneleri sıfırın her iki tarafında da numaralandırmanız gerekir. Örneğin bodrum katındaki katların altında yer alan katlar. (Bkz. Şekil 8.) Veya seçilen sıfırın altında bir sıcaklık. (Bkz. Şekil 9.)

Pirinç. 8. Bodrum katının altında yer alan kat

Pirinç. 9. Termometre ölçeğindeki negatif sayılar

Ancak yine de negatif sayıların asıl amacı matematiksel hesaplamaları basitleştirmeye yönelik bir araç olmasıdır.

Ancak negatif sayıların bu kadar kullanışlı bir araç haline gelmesi için şunları yapmanız gerekir:

Negatif sıcaklık, sıfırın altında, sıfır sıcaklığın altında olan sıcaklıktır. Peki sıfır sıcaklık nedir? Sıcaklığı ölçmek ve kaydetmek için bir ölçü birimi ve bir referans noktası seçmeniz gerekir. Her ikisi de anlaşmadır. Santigrat ölçeğini, onu öneren bilim insanının anısına kullanırız. (Bkz. Şekil 10.)

Pirinç. 10. Anders Santigrat

Burada referans noktası olarak suyun donma noktası seçilmiştir. Aşağıdaki herhangi bir şey negatif bir değerle gösterilir. (Bkz. Şekil 11.)

Pirinç. 11.

Ancak başka bir referans noktası, başka bir sıfır alırsak, Celsius'taki negatif sıcaklığın bu diğer ölçekte pozitif olabileceği açıktır. Olan bu. Kelvin ölçeği fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Celsius ölçeğine benzer, yalnızca mümkün olan en düşük sıcaklığın değeri sıfır olarak seçilir (daha düşük olamaz). Bu değere “mutlak sıfır” denir. Santigrat cinsinden bu yaklaşık olarak . (Bkz. Şekil 12.)

Pirinç. 12. İki terazi

Yani Kelvin ölçeğinde hiçbir negatif değer yoktur.

Peki bizim yaz .

Ve buzlu olanlar .

Yani, negatif sıcaklık bir sözleşmedir, insanlar arasında buna böyle isim verilmesi konusunda yapılan bir anlaşmadır.

Sıfırdan başlayalım. Sıfır, sayılar arasında özel bir konuma sahiptir.

Daha önce tartıştığımız gibi, kolaylık olması açısından yedinin çıkarılmasını negatif bir sayı olarak gösterebiliriz. Çıkarma anlamına geldiği için işareti olarak “” işaretini bırakıyoruz. Yeni bir numara adlandıralım.

Yani “” toplamı sıfıra eşit olan bir sayıdır: . Ve herhangi bir sırayla. Bu, negatif (veya zıt) bir sayının tanımıdır.

Daha önce incelediğimiz her sayı için, işareti önündeki eksi işareti olan yeni bir negatif sayı tanıtacağız. Yani, önceki her sayının negatif ikizi ortaya çıktı. Bu tür ikizlere zıt sayılar diyoruz. (Bkz. Şekil 13.)

Pirinç. 13. Zıt sayılar

Yani tanım: Zıt sayılar, toplamı sıfıra eşit olan iki sayıdır.

Dışarıdan sadece “” işaretinde farklılık gösterirler.

Örneğin bir değişkenin önünde "" işareti varsa, bu ne anlama gelir? Bu, bu değerin negatif olduğu anlamına gelmez. Eksi işareti, bu değerin şu sayının tersi olduğu anlamına gelir: . Bu sayıların hangisinin pozitif hangisinin negatif olduğunu bilmiyoruz.

Eğer öyleyse.

Eğer (negatif sayı), o zaman (pozitif sayı).

Sıfırın karşısında hangi sayı var? Bunu zaten biliyoruz.

Sıfır dahil herhangi bir sayıya sıfır eklenirse orijinal sayı değişmeyecektir. Yani iki sıfırın toplamı sıfırdır: . Ancak toplamı sıfır olan sayılar zıt sayılardır. Yani sıfır kendinin karşıtıdır.

Böylece negatif sayıların tanımını verdik ve neden gerekli olduklarını öğrendik.

Şimdi teknolojiye biraz zaman ayıralım. Şimdilik herhangi bir sayının tersini nasıl bulacağımızı öğrenmemiz gerekiyor:

Dersin son bölümünde negatif sayıların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan kümelerin yeni adlarından ve gösterimlerinden bahsedeceğiz.

Ders

Ders türü

• yeni materyalin incelenmesi ve birincil asimilasyonu

Ders Hedefleri

Pozitif, negatif ve zıt sayıların tanımlarını öğrenin.

Alıştırmaları çözerken, denklemleri çözerken zıt sayıları bulun

Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini, mantıksal düşünmesini, matematiksel konuşmasını geliştirmek.

Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı özenli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.

Ders Hedefleri

Zıt sayıların ne olduğunu öğrenin

Sorunları çözerken bu kavramı kullanmayı öğrenin

Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.

Ders Planı

1. Giriş.

2. Teorik kısım

3. Pratik kısım.

4. Ödev.

5. İlginç gerçekler

giriiş

Resimlere bakın ve onların farklılıklarını tek kelimeyle açıklayın.

Resimler tam tersini gösteriyor.

– bunlar mutlak değeri eşit olan ancak farklı işaretlere sahip iki sayıdır, örneğin. 5 ve -5.

Teorik kısım

Öncelikle ne olduğunu hatırlayalım negatif sayılar. Bakmak video:

Koordinatları 5 ve -5 olan noktalar O noktasından eşit uzaklıkta ve onun zıt taraflarında yer almaktadır. O noktasından bu noktalara ulaşmak için aynı mesafeleri ancak zıt yönlerde gitmeniz gerekir. 5 ve -5 sayılarına denir zıt sayılar: 5, -5'in tersidir ve -5, 5'in tersidir.

Birbirinden yalnızca işaretleri farklı olan iki sayıya denir zıt sayılar.

Örneğin, 35 = +35 olduğundan zıt sayılar 35 ve -35 olacaktır, bu da 35 ve -35 sayılarının yalnızca işaret bakımından farklı olduğu anlamına gelir. Karşıt sayılar da 0,8 ve -0,8, ¾ ve -¾ olacaktır.

Zıt sayıların özellikleri

1). Her sayının karşısında yalnızca bir sayı vardır.

2). 0 sayısı kendisinin tersidir.

3). A'nın karşıt sayısı -a ile gösterilir. a = -7,8 ise -a = 7,8; a = 8,3 ise -a = -8,3; a = 0 ise -a = 0 olur.

4). "-(-15)" gösterimi -15'in karşıt sayısı anlamına gelir. -15'in tersi 15 olduğuna göre -(-15) = 15 olur. Genel olarak -(-a) = a.

Doğal sayılara, karşıtlarına ve sıfıra ne ad verilir? tamsayılar.

Karşıt sayı n sayısına göre n", n'ye eklendiğinde sıfır veren bir sayıdır.

n + n" = 0

Bu eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

n + n" - n = 0 - n veya n" = − n

Böylece, zıt sayılar aynı modüllere sahip ancak zıt işaretlere sahip.

Buna göre n'nin karşıt sayısı - n ile gösterilir. Bir sayı pozitif olduğunda, karşıt sayı negatif olacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.

1. Zıt sayılara örnekler veriniz.

2. Bunları bir koordinat çizgisine çizin.

3. -3.6'nın karşısındaki sayıyı adlandırın; 7; 0; 8/9; -1/2

Pratik kısım

Örnek

1) A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) , H( koordinat çizgisi noktalarını işaretleyin. 7). 2) Bu noktalardan O(0) noktasına göre simetrik olanları bulun ve belirtin. Simetrik noktaların koordinatları hakkında ne söylenebilir?

O(0) noktasına göre simetrik noktalar: A(2) ve B(-2), E(- 5.2) ve F(5.2)

Simetrik noktaların koordinatları- Bunlar yalnızca işaret bakımından farklılık gösteren sayılardır. Bu tür numaralara denir zıt.

Koordinat doğrusu üzerinde A(-3), B(+6), C(+4.2), D(+3), E(-4.2), F(-6) noktalarını işaretleyin. Bu sayılar hakkında ne söyleyebilirsiniz? ?

15 numaradan; 2.5; – 2,5; – 18; 0; 45; – 45 şunları seçin: a) doğal sayılar; b) tamsayılar; c) negatif sayılar; d) pozitif sayılar; e) zıt sayılar.

1) a'nın karşıt sayısını yazın.

2) Aşağıdaki durumlarda a sayısının karşısındaki sayıyı belirtin:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A = 6, -a = - 2, -a = 3,4.

1) Girişin ne anlama geldiğini unutmayın: - (- a).

2) Doğru eşitliği elde etmek için * yerine bir sayı koyun: a) - (- 5) = *; b) 3 = – *.

Ev ödevi

1). Tabloyu doldurun:

2). Bul: a) -m,

m = -8 ise,

m = -16 ise

-k = 27 ise

-k = -35 ise

eğer c = 41 ise

eğer c = -3,6 ise

3). -7,2 ile 3,6 sayıları arasında kaç tane zıt sayı çifti bulunur? Koordinat çizgisini işaretleyin.

4). Seçkin Fransız bilim adamının adını öğrenin:

Günlük hayatta pozitif ve negatif sayılarla nerede karşılaştığımızı biliyor musunuz?

Kullanılan kaynakların listesi

1. Matematik ansiklopedisi (5 cilt halinde). - M .: Sovyet Ansiklopedisi, 2002. - T. 1.
2. “En yeni okul çocukları için referans kitabı” “XXI. Yüzyılın Evi” 2008
3. “Zıt sayılar” konulu ders özeti Yazar: Petrova V.P., matematik öğretmeni (5-9. Sınıflar), Kiev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, 6. sınıf için matematik, Lise ders kitabı

§ 1 Pozitif sayı kavramı

Bu derste hangi sayılara karşıt sayılar denildiğini, karşıt sayıların nasıl bulunacağını ve ayrıca tam sayıların ve rasyonel sayıların ne olduğunu öğreneceksiniz.

Pratik çalışmalarla başlayalım. Koordinat doğrusu üzerinde A(2) ve B(-2) noktalarını işaretleyin. Simetriktirler ve bu noktaların simetri merkezi OA=OB mesafesi olduğundan O(0) koordinatlarının orijinidir.

Orijine göre simetrik olan noktaların koordinatlarının sadece işaret farkı olan sayılar olduğunu görüyoruz. Bu tür sayılara karşıt sayılar denir.

Zıt sayıların başka bir tanımı daha var. 2 ve -2 sayılarının büyüklükleri nelerdir? 2'ye eşittir. Bu nedenle, zıt sayılar aynı modüllere sahip ancak işaretleri farklı olan sayılardır.

Verilen bir sayının tersini belirtmek için o sayının önüne yazılan eksi işaretini kullanın. Yani a'nın karşıt sayısı -a olarak yazılır. Örneğin 0,24 sayısı -0,24 sayısının karşısında, -25 sayısı -(−25) sayısının karşısındadır, ancak koordinat doğrusunda -25 sayısı 25'in karşısındadır, yani -(-25) = 25 demektir. Bundan -( -a) = a ve a = -(-a) sonucu çıkar.

§ 2 Zıt sayıların özellikleri

Zıt sayıların bazı özelliklerini vurgulayalım.

Pozitif bir sayının tersi negatif, negatif bir sayının tersi ise pozitiftir. Koordinat çizgisinin zıt sayılara karşılık gelen noktaları orijinin zıt taraflarında bulunduğundan bu anlaşılabilir bir durumdur.

A sayısı b sayısının karşısındaysa, b, a'nın karşısındadır - bu, koordinat çizgisi üzerindeki noktaların simetri özelliğinden kaynaklanır.

Koordinat çizgisine dönelim. Bir koordinat çizgisi üzerinde, verilen orijine göre simetrik olan kaç nokta işaretlenebilir? Sadece bir tane. Bu, her sayının yalnızca bir karşıt sayısının olduğu anlamına gelir.

Yalnızca bir sayı kendisine zıttır - bu 0 sayısıdır, çünkü 0 = -0 (bu nedenle -0 yazmak alışılmış bir şey değildir).

Ortak bir niteliğe sahip sayılar bir küme (veya grup) oluşturur; her kümenin kendi adı vardır.

Sayma işleminde kullandığımız sayılara doğal sayılar denildiğini, bunların doğal sayılar kümesini oluşturduğunu unutmayalım.

Her doğal sayının karşıt sayısını bulabilirsiniz. Doğal sayılara, onların karşıtlarına ve 0 sayısına tamsayı denir.

Kesirli sayılar pozitif veya negatif de olabilir. Tüm tam sayılara ve tüm kesirlere rasyonel sayılar denir. Ayrıca birlikte rasyonel sayılar kümesini oluşturduklarını da söylüyorlar.

İki sayı grubunu daha vurgulayalım. Bir koordinat çizgisi alalım. Doğrunun negatif sayıların bulunduğu kısmını çıkarırsak geriye pozitif sayılara sahip ve referans noktası 0 olan bir ışın kalır. Geriye kalan sayılara negatif olmayan yani kendisinden büyük veya eşit sayılar denir. 0. Dolayısıyla pozitif olmayan sayıların tümü negatif sayılardır ve 0 sayısı yani 0'dan küçük veya ona eşit olan sayılardır.

Bugün zıt, tam sayı, rasyonel, negatif olmayan, pozitif olmayan sayıların ne olduğunu öğrendik ve verilen bir sayının tersini bulmayı öğrendik.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik 6. sınıf: I.I.'nin ders kitabı için ders planları. Zubareva, A.G. Mordkovich //yazar-derleyici L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
2. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M .: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
4. Matematik el kitabı - http://lyudmilanik.com.ua
5. Ortaokul öğrencileri için el kitabı http://shkolo.ru

Okul müfredatındaki ilginç bir kavram, hem matematiksel hem de geometrik olarak değerlendirilebilecek zıt sayılardır. Bu konuyu anlamak matematik çalışmasını basitleştirir ve bazı problemlerle hızlı bir şekilde başa çıkmanıza olanak tanır - bu nedenle hangi sayıların zıt olarak adlandırıldığına ve onlar için hangi kuralların işe yaradığına bakacağız.

Terimin özü nedir?

Zıt sayıların anlamını anlamak için bir anlığına geometriye dönelim. Bir koordinat çizgisi çizelim ve üzerine sıfır noktasını işaretleyelim ve ardından çizgiye iki işaret daha koyalım - örneğin sıfırın sağ tarafına "2" ve sol tarafına "-2". Elbette her iki noktadan da başlangıç ​​noktasına olan mesafe tamamen aynı olacaktır ve bu, ölçümlerle kolayca doğrulanabilir. "2" ve "-2" sıfırdan aynı uzaklıkta, ancak farklı yönlerde - buna göre birbirlerine tamamen zıtlar.

Önemli olan bu. Sayılar isteğe göre büyük ya da küçük, tam ya da kesirli olabilir. Ancak her birinin tam tersi olan belirli bir sayısı vardır. Tanım şu şekilde verilebilir - sıfırın her iki tarafına yerleştirilen iki noktadan gelen koordinat çizgisi üzerinde orijine eşit bir mesafe bırakılabilirse - bu noktalar veya daha doğrusu bunlara karşılık gelen sayılar zıt olacaktır.

Tanımdan hangi kurallar çıkarılabilir?

Ele alınan konuyla ilgili birkaç mutlak ifadeyi hatırlamakta fayda var:

• İki sayının zıtlıkları ilkesi her iki yönde de çalışır. Örneğin, 3 sayısı -3 sayısının karşısındadır - ve bu nedenle -3 sayısının karşısında yalnızca 3 sayısı vardır, başkası değil.
• Bir sayının iki zıttı olamaz; her zaman yalnızca bir tane vardır.
• Farklı işaretli sayılar birbirine zıt olabilir. Bir sayı pozitifse, karşıt sayının eksi işareti olacaktır - örneğin 5 ve -5. Aynı şey ters yönde de çalışır; eksi işaretli bir sayı için, artı işaretli sayının tersi her zaman olacaktır - örneğin -6 ve 6.
• İki zıt sayı aynı mutlak değere veya modüle sahiptir. Başka bir deyişle 4 sayısı için