Geometrik şekillerin özelliklerini inceleyerek bir takım teoremleri kanıtladık. Bunu yaparken kural olarak daha önce kanıtlanmış teoremlere dayandık. Geometrinin ilk teoremlerinin dayandığı deliller nelerdir? Bu sorunun cevabı şudur: Geometrik şekillerin özelliklerine ilişkin bazı ifadeler başlangıç noktası olarak kabul edilir, diğer teoremler bunlara dayanarak kanıtlanır ve genel olarak tüm geometri inşa edilir. Bu tür başlangıç konumlarına denir aksiyomlar.
Bazı aksiyomlar ilk bölümde formüle edilmişti (her ne kadar orada aksiyom olarak adlandırılmamış olsalar da). Örneğin, bu bir aksiyomdur
Özellikle vurgulanmasa da diğer birçok aksiyom aslında akıl yürütmemizde kullanıldı. Böylece, bir segmenti diğerinin üzerine yerleştirerek iki segmenti karşılaştırdık. Böyle bir örtüşmenin olasılığı aşağıdaki aksiyomdan kaynaklanmaktadır:
İki açının karşılaştırılması benzer bir aksiyoma dayanmaktadır:
Bütün bu aksiyomlar açıkça ortadadır ve şüphe götürmez. “Aksiyom” kelimesinin kendisi de Yunanca “değerli, değerli” anlamına gelen “axios” kelimesinden gelir. Ders kitabının sonunda geometri dersimizde benimsenen planimetri aksiyomlarının tam bir listesini sunuyoruz.
İlk konumlar - aksiyomlar - ilk kez formüle edildiğinde ve daha sonra diğer ifadeler mantıksal akıl yürütme yoluyla temellerine göre kanıtlandığında, geometrinin inşasına yönelik bu yaklaşım, eski zamanlarda ortaya çıkmış ve eski Yunanlıların ünlü "İlkeler" eserinde ana hatlarıyla belirtilmiştir. bilim adamı Öklid. Öklid'in aksiyomlarından bazıları (bazılarına varsayımlar) ve artık geometri derslerinde kullanılmaktadır ve “Elementler”de sunulan geometrinin kendisine denir. Öklid geometrisi. Bir sonraki paragrafta geometrinin en ünlü aksiyomlarından biriyle tanışacağız.
Paralel çizgiler aksiyomu
Rastgele bir düz çizgi a ve onun üzerinde yer almayan bir M noktası düşünelim (Şekil 110, a). M noktasından a çizgisine paralel bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, M noktasından geçen iki düz çizgi çizin: ilk olarak a düz çizgisine dik olan c düz çizgisi ve ardından c düz çizgisine dik olan b düz çizgisi (Şekil 110, (b). A ve b düz çizgileri birbirine dik olduğundan c düz çizgisi paraleldir.
Pirinç. 110
Yani M noktasından a doğrusuna paralel bir b doğrusu geçiyor. Şu soru ortaya çıkıyor: M noktasından a düz çizgisine paralel başka bir çizgi çizmek mümkün mü?
Bize öyle geliyor ki, b düz çizgisi M noktası etrafında çok küçük bir açıyla bile "döndürülürse", o zaman a düz çizgisiyle kesişecektir (Şekil 110.6'da b" doğrusu). Başka bir deyişle, bize öyle geliyor ki M noktasından geçen (b'den farklı), a doğrusuna paralel başka bir düz çizgi çizmek imkansızdır. Bu ifadeyi kanıtlamak mümkün mü?
Bu sorunun uzun bir geçmişi var. Öklid'in "Elementler"i bir postüla (Euclid'in beşinci postülası) içerir; bundan, belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilene paralel yalnızca bir düz çizginin çizilebileceği sonucu çıkar. Pek çok matematikçi, eski çağlardan başlayarak, Öklid'in beşinci önermesini kanıtlamaya, yani onu diğer aksiyomlardan çıkarmaya çalışmıştır. Ancak bu girişimler her seferinde başarısızlıkla sonuçlandı. Ve ancak geçen yüzyılda, belirli bir noktadan belirli bir çizgiye paralel geçen bir çizginin benzersizliği hakkındaki ifadenin Öklid'in geri kalan aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamayacağı, ancak kendisinin bir aksiyom olduğu nihayet açıklığa kavuşturuldu.
Büyük Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1792-1856) bu zor sorunun çözümünde büyük rol oynadı.
Başka bir başlangıç noktası olarak şunu kabul ediyoruz: paralel çizgiler aksiyomu.
Doğrudan aksiyom veya teoremlerden türetilen ifadelere denir. sonuçlar. Örneğin, 1 ve 2 numaralı ifadeler (bkz. s. 35), ikizkenar üçgenin açıortayına ilişkin teoremin sonuçlarıdır.
Paralel doğrular aksiyomunun bazı sonuçlarını ele alalım.
Aslında, a ve b düz çizgilerinin paralel olmasına ve c düz çizgisinin a düz çizgisiyle M noktasında kesişmesine izin verin (Şekil 111, a). c doğrusunun b doğrusuyla da kesiştiğini ispatlayalım. Eğer c çizgisi b çizgisiyle kesişmeseydi, o zaman b çizgisine paralel iki çizgi (a ve c çizgileri) M noktasından geçerdi (Şekil 111, b). Ancak bu, paralel doğrular aksiyomuyla çelişir ve dolayısıyla c doğrusu b doğrusuyla kesişir.
Pirinç. 111
Aslında, a ve b düz çizgilerinin c düz çizgisine paralel olmasına izin verin (Şekil 112, a). Bir || olduğunu kanıtlayalım. B. A ve b çizgilerinin paralel olmadığını, yani bir M noktasında kesiştiklerini varsayalım (Şekil 112.6). Daha sonra M noktasından c doğrusuna paralel iki doğru geçmektedir (a ve b doğruları).
Pirinç. 112
Ancak bu paralel doğrular aksiyomuyla çelişir. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, yani a ve b doğruları paraleldir.
İki paralel doğru ve bir enine çizginin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler
Her teoremin iki kısmı vardır: durum Ve çözüm. Teoremin koşulu verilendir, sonuç ise kanıtlanması gerekendir.
Örneğin, iki düz çizginin paralelliği için kriteri ifade eden bir teoremi ele alalım: eğer iki düz çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde, yatay açılar eşitse, o zaman düz çizgiler paraleldir.
Bu teoremde koşul, ifadenin ilk kısmıdır: "iki doğru çapraz olarak kesiştiğinde, yatış açıları eşittir" (bu verilmiştir) ve sonuç ise ikinci kısımdır: "doğrular paraleldir" (bunun için gereklidir) kanıtlanması gerekiyor).
Bu teoremin tersi, koşulun teoremin sonucu olduğu ve sonucun teoremin koşulu olduğu bir teoremdir. Paragraf 25'teki üç teoremin tersi olan teoremleri kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
A ve b paralel çizgilerinin MN sekantıyla kesişmesine izin verin. Çapraz olarak uzanan açıların, örneğin 1 ve 2'nin eşit olduğunu kanıtlayalım (Şekil 113).
Pirinç. 113
1 ve 2 açılarının eşit olmadığını varsayalım. MN ışınından 2 açısına eşit bir PMN açısı çıkaralım, böylece ∠PMN ve ∠2, MR ve b doğrularının MN sekantıyla kesiştiği noktada çapraz açılar olur. Yapı itibarıyla bu çapraz açılar eşittir, dolayısıyla MR || B. M noktasından b doğrusuna paralel iki doğrunun (a ve MP doğruları) geçtiğini gördük. Ancak bu paralel doğrular aksiyomuyla çelişir. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu ve ∠1 = ∠2 olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Yorum
Bu teoremi ispatlarken, adı verilen bir akıl yürütme yöntemini kullandık. çelişki yoluyla kanıt yoluyla.
A ve b paralel çizgileri MN kesenini çapraz olarak kestiğinde, 1 ve 2 yatma açılarının eşit olmadığını, yani kanıtlanması gerekenin tam tersini varsaydık. Bu varsayıma dayanarak akıl yürütme yoluyla paralel doğrular aksiyomuyla çelişkiye ulaştık. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu ve dolayısıyla ∠1 = ∠2 olduğu anlamına gelir.
Bu akıl yürütme şekli matematikte sıklıkla kullanılır. Bunu daha önce örneğin paragraf 12'de üçte bire dik iki doğrunun kesişmediğini ispatlarken kullanmıştık. Paralel doğrular aksiyomundan 1 0 ve 2 0 sonuçlarını kanıtlamak için paragraf 28'de aynı yöntemi kullandık.
Sonuçlar
Aslında, bir || b, c ⊥ a, yani ∠1 = 90° (Şekil 114). C doğrusu a doğrusuyla kesişiyor, yani b doğrusu da aynı şekilde kesişiyor. Paralel a ve b çizgileri bir enine c ile kesiştiğinde eşit çapraz açılar oluşur: ∠1=∠2. ∠1 = 90° olduğuna göre ∠2 = 90°, yani c ⊥ b, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Pirinç. 114
Teorem
Kanıt
A ve b paralel çizgilerinin bir c keseniyle kesişmesine izin verin. Karşılık gelen açıların, örneğin 1 ve 2'nin eşit olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 102). || b ise çapraz açılar 1 ve 3 eşittir.
2 ve 3 numaralı açılar dikey olarak eşittir. ∠1 = ∠3 ve ∠2 = ∠3 eşitliklerinden ∠1 = ∠2 sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.
Teorem
Kanıt
A ve b paralel çizgilerinin bir c keseniyle kesişmesine izin verin (bkz. Şekil 102). Örneğin ∠1 + ∠4 = 180° olduğunu kanıtlayalım. || b ise karşılık gelen 1 ve 2 açıları eşittir. 2 ve 4 numaralı açılar bitişiktir, yani ∠2 + ∠4 = 180°. ∠1 = ∠2 ve ∠2 + ∠4 = 180° eşitliklerinden ∠1 + ∠4 = 180° sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.
Yorum
Belirli bir teorem kanıtlanırsa, bunun tersi ifade takip etmez. Üstelik bunun tersi her zaman doğru değildir. Basit bir örnek verelim. Açıların dikey olması durumunda eşit olduklarını biliyoruz. Bunun tersi olan "eğer açılar eşitse dikeydirler" ifadesi elbette yanlıştır.
Kenarları sırasıyla paralel veya dik olan açılar
Kenarları paralel olan açılarla ilgili teoremi kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
∠AOB ve ∠A 1 O 1 B 1 verilen açılar olsun ve OA || Ç 1 A 1 , OB || Yaklaşık 1'de 1. AOB açısı geliştirilirse, A 1 O 1 B 1 açısı da geliştirilir (nedenini açıklayın), yani bu açılar eşittir. ∠AOB gelişmemiş bir açı olsun. AOB ve A 1 O 1 B 1 açılarının olası konum durumları Şekil 115, a ve b'de gösterilmektedir. O 1 B 1 düz çizgisi O 1 A 1 çizgisiyle kesişir ve bu nedenle ona paralel olan OA çizgisiyle bir M noktasında kesişir. OB ve O 1 B 1 paralel çizgileri OM sekantıyla kesişir, dolayısıyla aşağıdakilerden biri O 1 B 1 ve OA düz çizgilerinin kesişiminde oluşan açılar (Şekil 115'teki açı 1), AOB açısına (çapraz açılar gibi) eşittir. OA ve O 1 A 1 paralel çizgileri O 1 M sekantıyla kesişir, bu nedenle ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Şekil 115, a) veya ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Şek. 115, b). ∠1 = ∠AOB eşitliğinden ve son iki eşitlikten ya ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (bkz. Şekil 115, a) ya da ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° çıkar. (bkz. Şekil 115, b). Teorem kanıtlandı.
Pirinç. 115
Şimdi kenarları birbirine dik olan açılarla ilgili teoremi kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
∠AOB ve ∠A 1 O 1 B 1'e açılar verilsin, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . AOB açısı ters veya düzse, A 1 O 1 B 1 açısı ters veya düzdür (nedenini açıklayın), yani bu açılar eşittir. ∠AOB olsun< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
İki durum mümkündür (Şekil 116).
1 0. ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0. ∠AOB > 90° (bkz. Şekil 116, b). OS ışınını AOS açısı AOB açısına komşu olacak şekilde çizelim. AOC açısı dardır ve kenarları A 1 O 1 B 1 açısının kenarlarına uygun şekilde diktir. Bu nedenle, ya ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ya da ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . İlk durumda, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, ikinci durumda, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Teorem kanıtlandı.
Görevler
196. Verilen bir ABC üçgeni. C köşesinden AB kenarına paralel kaç doğru çizilebilir?
197. p doğrusu üzerinde olmayan bir noktadan geçen dört düz çizgi çiziliyor. Bu doğrulardan kaç tanesi p doğrusuyla kesişiyor? Olası tüm durumları göz önünde bulundurun.
198. a ve b doğruları p doğrusuna diktir, c doğrusu a doğrusuyla kesişir. C doğrusu b doğrusuyla kesişiyor mu?
199. p doğrusu ABC üçgeninin AB kenarına paraleldir. BC ve AC doğrularının r doğrusuyla kesiştiğini kanıtlayın.
200. Şekil 117'de MS || p ve PQ || Güneş. p doğrusunun AB, AE, AC, BC ve PQ doğrularıyla kesiştiğini kanıtlayın.
Pirinç. 117
201. İki paralel çizgi bir çapraz çizgiyle kesiştiğinde çapraz açıların toplamı 210°'ye eşittir. Bu açıları bulun.
202. Şekil 118'de a, b ve c doğruları d doğrusu ile kesişmektedir, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. a, b ve c doğrularından hangileri paraleldir?
Pirinç. 118
203. Aşağıdaki durumlarda, iki paralel a ve b çizgisi bir c çapraz çizgisiyle kesiştiğinde oluşan tüm açıları bulun:
a) açılardan biri 150°'dir;
b) Açılardan biri diğerinden 70° büyüktür.
204. AB doğru parçasının uçları a ve b paralel çizgileri üzerinde yer alır. Bu doğru parçasının O ortasından geçen düz çizgi a ve b doğrularını C ve D noktalarında keser. CO = OD olduğunu kanıtlayın.
205. Şekil 119'daki verileri kullanarak ∠1'i bulun.
Pirinç. 119
206. ∠ABC = 70° ve ABCD = 110°. AB ve CD'yi yönlendirebilir mi:
a) paralel;
b) kesişiyor mu?
207. Problem 206'daki soruları ∠ABC = 65° ve ∠BCD = 105° ise cevaplayın.
208. İki paralel doğru bir çaprazla kesiştiğinde tek taraflı iki açı arasındaki fark 50°'dir. Bu açıları bulun.
209. Şekil 120'de || b, c || d, ∠4 = 45°. 1, 2 ve 3 açılarını bulun.
Pirinç. 120
210. A ve B bloklarının üzerine atılan bir ipliğin uçlarında iki P 1 ve P 2 gövdesi asılıdır (Şekil 121). Üçüncü cisim P3, C noktasında aynı ipe asılır ve P1 ve P2 cisimlerini dengeler. (Bu durumda, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 olduğunu kanıtlayın.
Pirinç. 121
211. İki paralel çizgi bir çapraz çizgiyle kesişiyor. Aşağıdakileri kanıtlayın: a) zıt açıların açıortayları paraleldir; b) Tek taraflı açıların açıortayları diktir.
212. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 yüksekliklerini içeren düz çizgiler H noktasında kesişiyor, B açısı geniş, ∠C = 20°. ABB açısını bulun.
Sorunlara cevaplar
196. Tek bir düz çizgi.
197. Üç veya dört.
201. 105°, 105°.
203. b) Dört açı 55°, diğer dört açı ise 125°'dir.
206. a) Evet; B: Evet.
207.a) Hayır; B: Evet.
208. 115° ve 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Talimat. CP 3 kirişinin devamını düşünün.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
7. sınıf öğrencisi "G" MBOU "OK "Lyceum No. 3" Gavrilov Dmitry tarafından tamamlandı
Aksiyom
Yunanca “değerli, layık” anlamına gelen “axios” kelimesinden gelir. Anında ikna edici olması nedeniyle mantıksal kanıt olmaksızın kabul edilen bir konum, teorinin gerçek başlangıç noktasıdır. (Sovyet ansiklopedik sözlüğü)
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Paralel çizgiler aksiyomu 7. sınıf öğrencisi “G” MBOU “OK “Lyceum No. 3” Gavrilov Dmitry 2015-2016 akademik yılı (öğretmen Konareva T.N.) tarafından doldurulmuştur.
Bilinen tanımlar ve gerçekler. Cümleyi tamamla. 1. Doğru x'e, a ve b doğrularına göre enine denir, eğer... 2. İki düz çizgi kesiştiğinde, bir çapraz oluşur... gelişmemiş açılar. 3. AB ve CD doğruları B D doğrusu ile kesişiyorsa, BD doğrusuna... denir... 4. B ve D noktaları AC kesenine göre farklı yarım düzlemlerde yer alıyorsa, BAC ve DCA açılarına... denir. 5. B ve D noktaları AC kesenine göre aynı yarım düzlemde bulunuyorsa, BAC ve DCA açılarına denir... 6. Bir çiftin iç açıları eşitse diğer çiftin iç açıları denir. eşittir... D C A C B D A B
Görev kontrol ediliyor. 1. ...eğer onları iki noktada keserse 2, 8 3. ... sekant 4. ... çapraz uzanan 5. ... tek taraflı 6. ... eşit
Eşleşme a) a b m 1) a | | b, iç çapraz açılar eşit olduğundan b) 2) a | | b, karşılık gelen açılar eşit olduğundan c) a b 3) a | | b, tek taraflı iç açıların toplamı 180° 50° 130° 45° 45° m a b m a 150° 150° olduğundan
Geometri aksiyomları hakkında
Aksiyom, Yunanca "değerli, değerli" anlamına gelen "axios" kelimesinden gelir. Anında ikna edici olması nedeniyle mantıksal kanıt olmaksızın kabul edilen bir konum, teorinin gerçek başlangıç konumudur. Sovyet ansiklopedik sözlüğü
Bir düz çizgi herhangi iki noktadan geçer ve bir düzlem üzerinde yer alan herhangi iki noktadan yalnızca bir tane düz çizgi çizilebilir?
Herhangi bir ışın üzerinde, başlangıcından itibaren, verilene eşit bir bölüm bırakılabilir ve dahası, ışının başlangıcından itibaren belirli bir uzunlukta kaç bölüm bırakılabilir?
Belirli bir yöndeki herhangi bir ışından, belirli bir gelişmemiş açıya eşit bir açı çizmek mümkündür ve belirli bir ışından belirli bir yarı düzleme, belirli bir açıya eşit kaç açı çizilebilir?
aksiyomlar teoremler mantıksal akıl yürütme ünlü makale “Principia” Öklid geometrisi Geometrinin mantıksal yapısı
Paralel çizgiler aksiyomu
M a M noktasından a c b a ┴ c b ┴ c a II c çizgisine paralel bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayalım.
M noktasından a çizgisine paralel başka bir çizgi çizmek mümkün müdür? a M in 1 Bunu kanıtlamak mümkün mü?
Antik çağlardan beri pek çok matematikçi bu ifadeyi kanıtlamaya çalışmıştır ve Öklid'in Elementler kitabında bu ifadeye beşinci postülat adı verilmektedir. Öklid'in beşinci varsayımını kanıtlama girişimleri başarısız oldu ve ancak 19. yüzyılda, belirli bir noktadan belirli bir çizgiye paralel geçen bir çizginin benzersizliği hakkındaki ifadenin Öklid'in geri kalan aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamayacağı nihayet açıklığa kavuşturuldu. , ancak kendisi bir aksiyomdur. Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski bu sorunun çözümünde büyük rol oynadı.
Öklid'in beşinci varsayımı 1792-1856 Nikolai İvanoviç
"Belirli bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan yalnızca o çizgiye paralel bir doğru geçer." "Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel bir doğru çizilebilir." Bu ifadelerden hangisi bir aksiyomdur? Yukarıdaki ifadeler nasıl farklıdır?
Belirli bir doğrunun üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru geçer. Aksiyomlardan veya teoremlerden türetilen ifadelere sonuç denir. Sonuç 1. Bir doğru iki paralel çizgiden birini keserse, diğerini de keser. a II b , c b ⇒ c a Paralellik aksiyomu ve sonuçları. a A Sonuç 2. Eğer iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler. a II c, b II c a II b a b c c b
Bilginin pekiştirilmesi. Test Doğru ifadeleri “+” işaretiyle, hatalı ifadeleri “-” işaretiyle işaretleyin. Seçenek 1 1. Aksiyom, geometrik şekillerin özellikleri hakkında kanıt gerektiren matematiksel bir ifadedir. 2. Herhangi iki noktadan geçen bir doğru vardır. 3. Herhangi bir ışın üzerinde, başlangıçtan itibaren, verilene eşit ve istediğiniz sayıda parça çizebilirsiniz. 4. Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel olan sadece bir doğru geçer. 5. İki doğru üçüncüye paralelse birbirlerine paraleldirler. Seçenek 2 1. Aksiyom, geometrik şekillerin özellikleri hakkında kanıt olmadan kabul edilen matematiksel bir ifadedir. 2. Düz bir çizgi herhangi iki noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer. 3. Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan sadece o doğruya paralel iki doğru geçmektedir. 4. Bir doğru iki paralel çizgiden biriyle kesişiyorsa, diğer doğruya diktir. 5. Bir doğru iki paralel çizgiden birini keserse, diğerini de keser.
Test cevapları Seçenek 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” Seçenek 2 “+” “+” “-” “-” “+”
“Geometri macerayla doludur çünkü her problemin arkasında bir düşünce serüveni yatar. Bir problemi çözmek, bir macera yaşamak anlamına geliyor.” (V.Proizvolov)
1. İki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler:
Eğer A||C Ve B||C, O A||B.
2. İki çizgi üçüncü çizgiye dikse paraleldirler:
Eğer A⊥C Ve B⊥C, O A||B.
Çizgilerin paralelliğinin geri kalan işaretleri, iki düz çizginin üçüncüsü ile kesiştiğinde oluşan açılara dayanmaktadır.
3. Tek taraflı iç açıların toplamı 180° ise çizgiler paraleldir:
∠1 + ∠2 = 180° ise, o zaman A||B.
4. Karşılık gelen açılar eşitse çizgiler paraleldir:
∠2 = ∠4 ise, o zaman A||B.
5. İç çapraz açılar eşitse çizgiler paraleldir:
∠1 = ∠3 ise, o zaman A||B.
Paralel çizgilerin özellikleri
Paralel doğruların özelliklerine ters ifadeler onların özellikleridir. İki paralel çizginin üçüncü bir çizgiyle kesişmesiyle oluşan açıların özelliklerine dayanırlar.
1. İki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesiştiğinde, bunların oluşturduğu tek taraflı iç açıların toplamı 180°'ye eşittir:
Eğer A||B∠1 + ∠2 = 180°.
2. İki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesiştiğinde, bunların oluşturduğu karşılık gelen açılar eşittir:
Eğer A||B ise ∠2 = ∠4 olur.
3. İki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesiştiğinde oluşturdukları çapraz açılar eşittir:
Eğer A||B ise ∠1 = ∠3 olur.
Aşağıdaki özellik, öncekilerin her biri için özel bir durumdur:
4. Düzlemdeki bir doğru iki paralel çizgiden birine dikse, diğerine de diktir:
Eğer A||B Ve C⊥A, O C⊥B.
Beşinci özellik paralel doğrular aksiyomudur:
5. Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru çizilebilir.
