(2.1)'e benzer şekilde, sistem (5.1) aşağıdaki eşdeğer formda temsil edilebilir:

burada g(x), vektör argümanının yinelemeli bir vektör fonksiyonudur. Doğrusal olmayan denklem sistemleri genellikle doğrudan (5.2) biçiminde ortaya çıkar (örneğin, diferansiyel denklemlerin sayısal şemalarında), bu durumda denklemleri (5.1) sisteme (5.2) dönüştürmek için ek bir çabaya gerek yoktur. Analojiye bir denklem için basit yineleme yöntemiyle devam edersek, denklem (5.2)'ye dayalı yineleme süreci şu şekilde organize edilebilir:

• 1) bazı başlangıç ​​vektörleri x ((,) e 5 o (x 0, A)(x* e 5(x 0, A));
• 2) sonraki yaklaşımlar aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

daha sonra yineleme işlemi tamamlanır ve

Daha önce olduğu gibi, hangi koşullar altında olduğunu bulmamız gerekiyor.

Basit bir analiz yaparak bu konuyu tartışalım. İlk önce i'inci yaklaşımın hatasını e(i) = x(i) - x* olarak tanıtıyoruz. Daha sonra yazabiliriz.

Bu ifadeleri (5.3)'te yerine koyalım ve g(x* + e (/i))'yi kuvvetlerle genişletelim. e(k> vektör argümanının bir fonksiyonu olarak x* komşuluğunda (g(x) fonksiyonunun tüm kısmi türevlerinin sürekli olduğu varsayılarak). x* = g(x*) denklemini de hesaba katarsak, şunu elde ederiz:

veya matris formunda

B = (bnm)= I (x*)1 - yineleme matrisi.

Hata oranı ||e®|| yeterince küçükse, ifadenin (5.4) sağ tarafındaki ikinci terim ihmal edilebilir ve bu durumda ifade (2.16) ile çakışır. Sonuç olarak, yinelemeli sürecin (5.3) kesin çözüme yakınlaşmasının koşulu Teorem 3.1'de tanımlanmaktadır.

Basit yineleme yönteminin yakınsaması. İteratif sürecin (5.3) yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul:

ve yeterli bir koşul:

Bu koşullar pratikten ziyade teorik öneme sahiptir, çünkü x''i bilmiyoruz. (1.11)'e benzetme yaparak yararlı olabilecek bir koşul elde ederiz. x* e 5 o (x 0, A) ve g(x) fonksiyonu için Jacobian matrisi

tüm x e için var S n (x 0, a) (C(x*) = B olduğuna dikkat edin). C(x) matrisinin elemanları eşitsizliği sağlıyorsa

tüm x e 5“(x 0, A), bu durumda yeterli koşul (5.5) herhangi bir matris normu için de sağlanır.

Örnek 5.1 (basit yineleme yöntemi) Aşağıdaki denklem sistemini göz önünde bulundurun:

Bu sistemi eşdeğer formda (5.2) temsil etmenin bir olasılığı, X ilk denklemden ve x 2 ikinci denklemden:

Daha sonra yineleme şeması şu şekildedir:

Kesin çözüm x* e 5™((2, 2), 1)'dir. Başlangıç ​​vektörü x (0) = (2,2)'yi seçelim ve ? p = BT 5. Hesaplama sonuçları tabloda sunulmaktadır. 5.1.

Tablo 5.1

Bu sonuçlar yakınsamanın oldukça yavaş olduğunu göstermektedir. Yakınsamanın niceliksel bir özelliğini elde etmek için, x (1/)'nin kesin bir çözüm olduğunu düşünerek basit bir analiz yapıyoruz. Yinelemeli fonksiyonumuzun Jacobian matrisi C(x) şu şekildedir:

bu durumda B matrisi yaklaşık olarak şu şekilde tahmin edilir:

Ne (5.5) ne de (5.6) koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek kolaydır ancak 5(B) ~ 0.8 olduğundan yakınsama gerçekleşir.

Hesaplama sürecini biraz değiştirerek basit yineleme yönteminin yakınsamasını hızlandırmak çoğu zaman mümkündür. Bu değişikliğin fikri çok basit: hesaplamak N inci vektör bileşenleri x (A+1) sadece kullanılamaz (t = n,..., N), aynı zamanda bir sonraki yaklaşım vektörünün önceden hesaplanmış bileşenleri xk^ (/= 1,P - 1). Böylece, değiştirilmiş basit yineleme yöntemi aşağıdaki yineleme şemasıyla temsil edilebilir:

Eğer yinelemeli süreç (5.3) tarafından üretilen yaklaşımlar yakınsarsa, o zaman yinelemeli süreç (5.8) bilginin daha tam kullanımı nedeniyle daha hızlı yakınsama eğilimindedir.

Örnek 5.2 (değiştirilmiş basit yineleme yöntemi) Sistem (5.7) için değiştirilmiş basit yineleme şu şekilde temsil edilir:

Daha önce olduğu gibi, başlangıç ​​vektörü x (0) = (2, 2)'yi seçiyoruz ve gr = = 10-5. Hesaplama sonuçları tabloda sunulmaktadır. 5.2.

Tablo 5.2

I Hesaplamaların sırasındaki büyük değişiklik, yineleme sayısının yarıya inmesine ve dolayısıyla işlem sayısının da yarı yarıya azalmasına yol açtı.

1. f(x) = 0 denkleminin bir kökünü içeren bir parça bilinsin. f fonksiyonu bu parça (f(x)ОC 1 ) üzerinde sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Bu koşullar yerine getirilirse basit yineleme yöntemi kullanılabilir.

2. f(x) fonksiyonunu kullanarak, üç koşulu karşılayan bir j(x) fonksiyonu oluşturulur: sürekli türevlenebilir olmalıdır (j(x)ОC 1), öyle ki x denklemi = j(x), f(x)=0 denklemine eşdeğerdir; ayrıca olmalı bir bölümü tercüme et kendi içine.

j fonksiyonunun olduğunu söyleyeceğiz ( X ) segmenti çevirir [ A , B ] eğer herhangi biri içinse, kendi içine X Î [ A , B ], sen = J ( X ) aynı zamanda ait[ A , B ] ( sen Î [ A , B ]).

Üçüncü koşul j(x) fonksiyonuna uygulanır:

Yöntem formülü: x n +1 = j(xn).

3. Herhangi bir x başlangıç ​​yaklaşımı için bu üç koşul karşılanırsa 0 О yineleme dizisi x n +1 = j(x n) denklemin köküne yakınsar: () parçasında x = j(x).

Kural olarak x 0 olarak uçlardan biri seçilir.

,

burada e belirtilen doğruluktur

Sayı x n +1 yinelemeli süreci durdurma koşulu karşılandığında, denklemin kökünün yaklaşık değeri segmentinde f(x) = 0, basit yineleme yöntemiyle doğrulukla bulundu e .

Denklemin kökünü açıklığa kavuşturmak için bir algoritma oluşturun: e doğruluğu ile basit yineleme yöntemini kullanarak bir parça üzerinde x 3 + 5x – 1 = 0 .

1. Fonksiyon f(x) = x 3 +5x-1 denklemin bir kökünü içeren aralıkta sürekli türevlenebilir.

2. Basit yineleme yöntemindeki en büyük zorluk, tüm koşulları karşılayan bir j(x) fonksiyonunun oluşturulmasıdır:

Dikkate almak: .

Denklem x = j 1 (x) f(x) = 0 denklemine eşdeğerdir, ancak j 1 (x) fonksiyonu aralıkta sürekli olarak türevlenebilir değildir.

Pirinç. 2.4. j fonksiyonunun grafiği 2(x)

Öte yandan, bu nedenle. Dolayısıyla: sürekli türevlenebilir bir fonksiyondur. Denklemin x = j 2 (x) f(x) = 0 denklemine eşdeğer olduğuna dikkat edin. . Grafikten (Şekil 2.4) j 2 (x) fonksiyonunun parçayı kendisine dönüştürdüğü açıktır.

j(x) fonksiyonunun parçayı içine alması koşulu şu şekilde yeniden formüle edilebilir: j(x) fonksiyonunun tanım bölgesi ve j(x)'in değişim bölgesi olsun.

, .

j(x) fonksiyonu için tüm koşullar sağlanmıştır.

Yinelemeli süreç formülü: x n +1 = J 2(xn).

3. İlk yaklaşım: x 0 = 0.

4. Yinelemeli süreci durdurma koşulu:

Pirinç. 2.5. Basit yineleme yönteminin geometrik anlamı

.

Bu koşul karşılanırsa x n +1 – segmentteki kökün yaklaşık değeri, doğrulukla basit yinelemeyle bulundu e. Şek. 2.5. Basit yineleme yönteminin uygulaması gösterilmiştir.

Yakınsama teoremi ve hata tahmini

Bölüme izin ver denklemin bir kökünü içerir x = j(x), işlev j(x ) aralıkta sürekli türevlenebilir , bölümü çevirir kendi içine ve koşul karşılanır:

.

Daha sonra herhangi bir ilk yaklaşım için x 0 О alt dizi denklemin köküne yakınsar sen = j(x ) segmentte ve hata tahmini adil:

.

Basit yineleme yönteminin kararlılığı. Yakınsama teoreminin koşulları karşılandığında basit yineleme yönteminin algoritması kararlıdır.

Basit yineleme yönteminin karmaşıklığı. Basit yineleme yöntemini uygulamak için gereken bilgisayar belleği miktarı önemsizdir. Her adımda x n'yi saklamanız gerekir , x n +1 , Q Ve e.

Basit yineleme yöntemini uygulamak için gereken aritmetik işlem sayısını tahmin edelim. Tüm n ³ n 0 için eşitsizlik geçerli olacak şekilde n 0 = n 0 (e) sayısı için bir tahmin yazalım:

Bu tahminden, q bire ne kadar yakınsa yöntemin yakınsaması o kadar yavaş olur.

Yorum. Yakınsama teoreminin tüm koşulları karşılanacak şekilde f(x)'ten j(x)'i oluşturmanın genel bir kuralı yoktur. Genellikle aşağıdaki yaklaşım kullanılır: j(x) = x + k× f(x) fonksiyonu j fonksiyonu olarak seçilir, burada k – devamlı.

Basit yineleme yöntemini programlarken, yinelemeli süreci durdurmak genellikle iki koşulun eşzamanlı olarak yerine getirilmesini gerektirir:

Ve .

Dikkate alacağımız diğer tüm yinelemeli yöntemler, basit yineleme yönteminin özel durumlarıdır. Örneğin, ne zaman Newton yöntemi, basit yineleme yönteminin özel bir durumudur.

Yinelemeli yöntemler

Yinelemeli yöntemlerde, aşağıdaki üç aşama varsayılır: kesin bir çözüme yakınsayan yinelemeli bir sürecin ardışık yaklaşımlarını hesaplamak için yapı (yani, kesin bir çözüme yakınsayan bir vektör dizisinin oluşturulması) ; gerekli doğruluğun elde edildiği anı belirlememizi sağlayan bu sürecin yakınsama kriterinin belirlenmesi; Gerekli doğruluğu elde etmek için gereken işlem sayısını azaltmak amacıyla yinelemeli sürecin yakınsama hızı ve optimizasyonunun incelenmesi.

İteratif yöntemler, yöntemin yakınsaması kanıtlanırsa önceden belirlenmiş bir doğrulukla çözüm elde edilmesini mümkün kılar. Yinelemeli yöntemler, bir vektör dizisinin limiti olarak elde edildiğinden kesin olarak doğru bir çözüm sağlamaz. Direkt yöntem genel olarak kesin çözüm verir ancak tüm bilgisayarlarda oluşan yuvarlama hataları nedeniyle buna ulaşılamaz ve a priori Bu çözümün gerçek çözümden ne kadar farklı olduğunu değerlendirmek bile zordur. Yukarıdakilerle bağlantılı olarak, yinelemeli yöntemler bazen doğrudan yöntemlere göre daha yüksek doğrulukta bir çözüm elde edilmesine olanak sağlar.

Doğrusal denklemleri çözmek için birkaç yinelemeli yöntemi ele alalım.

Basit yineleme yöntemi

Basit yineleme yönteminde, doğrusal cebirsel denklem sistemi (2.1) Balta = b formun eşdeğer bir sistemine indirgenir

(2.9) sisteminin çözümü ve dolayısıyla orijinal sistemin (2.1) çözümü, bir vektör dizisinin aşağıdaki noktadaki limiti olarak aranır:

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

çözüm vektörünün ilk yaklaşımı nerede.

Basit yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşul aşağıdaki teorem ile belirlenir.

TEOREM 1. Eğer matrisin herhangi bir normu, söz konusu vektörün normuyla tutarlı olarak birden () küçükse, o zaman basit yineleme yöntemindeki dizi, sistemin (2.9) tam çözümüne daha az olmayan bir hızla yakınsar. herhangi bir başlangıç ​​yaklaşımı için payda ile geometrik ilerlemenin hızından daha fazladır.

KANIT. Teoremi kanıtlamak için bir hata tanıtıyoruz. İlişkiden eşitliği (2.10) çıkararak elde ederiz. Normlara dönersek,

Eşitsizliği unutmayın önceki ifadeden matris normunun ve vektörün tutarlılığının koşulu gelir. Eğer O halde, herhangi bir başlangıç ​​hatası vektörü için (ya da herhangi bir başlangıç ​​vektörü için), hata normu, payda ile geometrik bir ilerlemeden daha yavaş olmayan bir şekilde sıfıra doğru yönelir.

Normu matrisin normu olarak seçersek veya daha sonra basit yineleme yönteminin yakınsaması sorununu çözmek için Teorem 1'in sonucunu kullanabilirsiniz: basit yineleme yöntemi, matris için aşağıdaki koşullardan biri karşılanırsa yakınsar:

, ben =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

Bir sistemi getirmenin en basit ve en yaygın yolu Balta = b Yinelemeler için uygun olan (2.9)'u oluşturmak için diyagonal elemanların seçilmesi gerekir; i-th denklem şu şekilde çözülür: i-th bilinmiyor:

, ben = 1, 2, …, n, (2.12)

ve basit yineleme yöntemi şu şekilde yazılacaktır:

Matris daha sonra şöyle görünür

.

Bu matrisin bir elemanı şu şekilde yazılabilir: Kronecker sembolü nerede? Bu durumda, basit yineleme yönteminin yakınsaması için yeterli koşul, matrisin köşegen elemanlarının baskınlığı koşulu olarak formüle edilebilir. A(2.11)'den çıkan ve matrisin gösterimi, yani.

ben = 1, 2, …, n.

Yineleme yöntemi için yakınsama koşulunun dikkate alınan biçimlerinin yalnızca yeterli olduğunu bir kez daha vurgulayalım. Bunların yerine getirilmesi yöntemin yakınsamasını garanti eder, ancak genel durumda bunların başarısızlığı basit yineleme yönteminin ıraksadığı anlamına gelmez. Basit yineleme yönteminin yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul, tamsayı kısmının (matrisin maksimum modülo özdeğeri olduğu) koşuludur. A); bu durum bilgisayar uygulamalarında nadiren kullanılır.

Çözüm hatasını tahmin etme sorusuna geçelim. Bir çözümün hatasını tahmin etmek için iki ilişki ilgi çekicidir: birincisi hata normunu birbirini takip eden iki yaklaşım arasındaki farkın normuna bağlar ve yalnızca hesaplama sürecinde hatayı tahmin etmek için kullanılabilir; ikincisi hata normunu sistemdeki (2.9) ilk yaklaşım vektörünün ve serbest terimin vektörünün normlarına bağlar. Gerekli ilişkiler aşağıdaki iki teorem ile verilmektedir.

TEOREM 2. Matrisin herhangi bir normu, söz konusu vektörün normuyla tutarlıysa X

. (2.13)

KANIT. Eşitlikten eşitliği (2.10) çıkaralım:

Her iki taraftan yaklaşık değeri çıkararak bu ilişkiyi forma dönüştürüyoruz

Normlara geçerek şunu elde ederiz:

Teoremin koşullarına göre, o zaman

Bunu takip eden ilişkiyi kullanarak sonunda şunu elde ediyoruz:

TEOREM 3. Matrisin herhangi bir normu, söz konusu vektörün normuyla tutarlıysa X, birden () küçükse, aşağıdaki hata tahmini gerçekleşir:

İki yorum yapalım. İlk olarak bağıntı (2.13) şu şekilde yazılabilir:

ilk iki yinelemenin sonuçlarına dayanarak bir hata tahmini elde etmemizi sağlar. İlk olarak, yineleme yöntemini kullanırken, bazen hesaplama hatasının bir tahmini olarak iki ardışık yaklaşım arasındaki farkın normunun kullanılması tavsiye edilir. Hataya ilişkin ilişkilerden genel durumda bunun doğru olmadığı anlaşılmaktadır. Norm birliğe yakınsa, katsayı oldukça büyük olabilir.

Ardışık yinelemelerdeki hatalar ilişkiyle ilişkilidir.

onlar. hata adım boyunca doğrusal olarak değişir. Yöntemin olduğu söyleniyor doğrusal yakınsama veya yakınsamanın birinci mertebesi. Ancak gerekli doğruluğu elde etmek için gereken yineleme sayısı, değere ve ilk yaklaşıma bağlıdır.

Böylece, örnek olarak basit yineleme yöntemini kullanarak, yinelemeli yöntemlerin üç aşaması gösterilmektedir: formül (1.10) ile oluşturulan bir vektör dizisinin oluşturulması; Teorem 1'i kullanarak yakınsama koşulunun belirlenmesi ve Teorem 2 ve 3'ü kullanarak yakınsama oranının tahmin edilmesi.

Seidel yöntemi

Basit yineleme yöntemi, yinelemeli sürecin yakınsamasını iyileştirmenin görünüşte bariz olasılığını kullanmaz - yeni hesaplanan vektör bileşenlerinin hesaplamaya anında dahil edilmesi. Bu özellik yinelemeli Seidel yönteminde kullanılır. Sistem (2.9) için yinelemeli süreç aşağıdaki ilişkiye göre yerine getirilir:

ben = 1, 2, …, n (2.14)

veya sistem için (1.1)

Ayrıntılara girmeden, Seidel yineleme yönteminin genellikle basit yineleme yönteminden daha hızlı yakınsamaya yol açtığını not ediyoruz. Bununla birlikte, Seidel yineleme yönteminin basit yineleme yöntemine göre daha yavaş yakınsadığı ve hatta basit yineleme yönteminin yakınsadığı ancak Seidel yineleme yönteminin ıraksadığı durumlar olabilir.

Dikkat Seidel'in yöntemi yakınsar eğer matris A pozitif tanımlı ve simetrik.

Seidel yineleme yönteminin, özel olarak oluşturulmuş bir matris ve (2.10) ilişkisine sahip bir vektör ile bazı basit yineleme yöntemlerine eşdeğer olduğunu gösterelim. Bunun için sistemi (2.14) F matrisin katsayılarının üst üçgen matrisi olacak şekilde yazıyoruz ve sistemi E birim matrisi olacak şekilde yeniden yazıyoruz. Matris (E-N)- köşegen elemanları bire eşit olan alt üçgen matris. Sonuç olarak bu matrisin determinantı sıfırdan farklıdır (bire eşittir) ve ters matrise sahiptir. Daha sonra

Bu ilişkiyi çözüm (2.10) ile karşılaştırarak, Seidel yineleme yönteminin aslında basit yineleme yöntemine eşdeğer olduğu sonucuna varabiliriz, şu anlamda Seidel yineleme yönteminin yakınsamasına ilişkin koşul ve kriteri oluşturmak için teoremleri kullanabiliriz basit yineleme yöntemi için verilen Sistem (2.12) için yineleme süreci de daha genel bir biçimde yazılmıştır:

Basit yineleme yöntemi, orijinal denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesine dayanır:

Kökün ilk yaklaşımı bilinsin x = x 0. Bunu denklemin (2.7) sağ tarafına koyarsak yeni bir yaklaşım elde ederiz. , o zaman benzer şekilde şunu elde ederiz vesaire.:

. (2.8)

Yinelemeli süreç her koşulda denklemin köküne yaklaşmaz X. Bu sürece daha yakından bakalım. Şekil 2.6 tek yönlü yakınsak ve ıraksak sürecin grafiksel yorumunu göstermektedir. Şekil 2.7 iki yönlü yakınsak ve ıraksak süreçleri göstermektedir. Iraksak bir süreç, argüman ve fonksiyonun değerlerinde hızlı bir artış ve ilgili programın anormal şekilde sonlandırılmasıyla karakterize edilir.

İki yönlü bir süreçle döngüleme, yani aynı fonksiyon ve argüman değerlerinin sonsuz tekrarı mümkündür. Döngü, ıraksak bir süreci yakınsak bir süreçten ayırır.

Hem tek taraflı hem de iki taraflı işlemler için köke yakınsamanın, eğrinin kök yakınındaki eğimi tarafından belirlendiği grafiklerden açıkça görülmektedir. Eğim ne kadar küçük olursa yakınsama o kadar iyi olur. Bilindiği gibi bir eğrinin eğiminin tanjantı, eğrinin belirli bir noktadaki türevine eşittir.

Bu nedenle kök yakınındaki sayı ne kadar küçük olursa süreç o kadar hızlı yakınsar.

İterasyon sürecinin yakınsak olabilmesi için kök çevresinde aşağıdaki eşitsizliğin sağlanması gerekir:

Denklem (2.1)'den denklem (2.7)'ye geçiş, fonksiyonun türüne bağlı olarak çeşitli şekillerde gerçekleştirilebilir. f(x). Böyle bir geçişte fonksiyonun yakınsama koşulu (2.9) sağlanacak şekilde oluşturulması gerekir.

Denklem (2.1)'den denklem (2.7)'ye geçiş için genel algoritmalardan birini ele alalım.

Denklemin (2.1) sol ve sağ taraflarını keyfi bir sabitle çarpalım B ve bilinmeyeni her iki parçaya da ekleyin X. Bu durumda orijinal denklemin kökleri değişmeyecektir:

Gösterimi tanıtalım ve (2.10) ilişkisinden denklem (2.8)'e geçelim.

Sabitin keyfi seçimi B yakınsama koşulunun (2.9) sağlanmasını sağlayacaktır. Yinelemeli süreci sonlandırmanın kriteri koşul (2.2) olacaktır. Şekil 2.8, açıklanan gösterim yöntemini kullanan basit yineleme yönteminin grafiksel yorumunu göstermektedir (X ve Y eksenleri boyunca ölçekler farklıdır).

Formda bir fonksiyon seçilirse bu fonksiyonun türevi olacaktır. En yüksek yakınsama hızı, o zaman olacaktır. ve yineleme formülü (2.11) Newton formülüne dönüşür. Bu nedenle, Newton'un yöntemi tüm yinelemeli süreçler arasında en yüksek yakınsama derecesine sahiptir.

Basit yineleme yönteminin yazılım uygulaması bir alt rutin prosedür şeklinde yapılır. Itera'lar(PROGRAM 2.1).

Prosedürün tamamı pratik olarak bir Tekrar ... Döngüye kadar, yinelemeli sürecin durdurulması koşulunu (formül (2.2)) dikkate alarak formül (2.11)'in uygulanmasından oluşur.

Prosedür, Niter değişkenini kullanarak döngü sayısını sayarak yerleşik döngü korumasına sahiptir. Pratik derslerde programı çalıştırarak katsayı seçiminin nasıl etkileneceğinden emin olmanız gerekir. B ve kökü arama sürecinde ilk yaklaşım. Katsayıyı değiştirirken B incelenen fonksiyon için yinelemeli sürecin doğası değişir. Önce iki taraflı olur, sonra döngü yapar (Şekil 2.9). Eksen ölçekleri X Ve e farklılar. Modül b'nin daha da büyük bir değeri farklı bir sürece yol açar.

Denklemlerin yaklaşık çözümü için yöntemlerin karşılaştırılması

Denklemlerin sayısal çözümü için yukarıda açıklanan yöntemlerin bir karşılaştırması, kökü bulma işleminin PC ekranında grafiksel biçimde gözlemlenmesine olanak tanıyan bir program kullanılarak gerçekleştirildi. Bu programda yer alan prosedürler ve karşılaştırılan yöntemlerin uygulanması aşağıda verilmiştir (PROGRAM 2.1).

Pirinç. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 yineleme işleminin sonunda PC ekranının kopyalarıdır.

Tüm durumlarda, analitik çözümü x 1 = -2 ve x 2 = 3 olan ikinci dereceden denklem x 2 -x-6 = 0, incelenen fonksiyon olarak alınmıştır. Hata ve başlangıç ​​yaklaşımları, tüm yöntemler için eşit kabul edilmiştir. Kök arama sonuçları x=Şekillerde sunulan 3, aşağıdaki gibidir. Dikotomi yöntemi en yavaş - 22 yinelemeyi yakınsar, en hızlısı ise b = -0,2 - 5 yineleme ile basit yineleme yöntemidir. Burada Newton'un yönteminin en hızlı olduğu ifadesinde bir çelişki yoktur.

İncelenen fonksiyonun bu noktada türevi X= 3 -0,2'ye eşittir, yani bu durumda hesaplama pratik olarak Newton yöntemiyle denklemin kökü noktasındaki türev değeriyle gerçekleştirildi. Katsayıyı değiştirirken B yakınsama oranı düşer ve kademeli olarak yakınsama süreci önce döngüler halinde gider, sonra ıraksak hale gelir.