Arcsin arccos arctg arcctg formülleri. Ark sinüs, ark kosinüs nedir? Arktanjant, arkkotanjant nedir

Bu makalede, belirli bir sayının arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerlerini bulma konuları tartışılmaktadır. Başlangıç ​​olarak arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant kavramları tanıtılmıştır. Bu işlevleri bulmak için Bradis'in de dahil olduğu tabloları kullanarak ana değerlerini dikkate alıyoruz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant değerleri

“Arsinüs, arkkosinüs, arktanjant, arkkotanjant değerleri” kavramlarını anlamak gerekir.

Bir sayının arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant tanımları, verilen fonksiyonların hesaplamasını anlamanıza yardımcı olacaktır. Bir açının trigonometrik fonksiyonlarının değeri a sayısına eşitse otomatik olarak bu açının değeri kabul edilir. Eğer a bir sayı ise bu fonksiyonun değeridir.

Daha net bir anlayış için bir örneğe bakalım.

Eğer π 3'e eşit bir açının ark kosinüsüne sahipsek, kosinüs tablosuna göre kosinüsün buradan değeri 1 2'ye eşit olur. Bu açı sıfırdan pi'ye kadar olan aralıkta yer alır; bu, 1 2'nin ark kosinüs değerinin π x 3 olacağı anlamına gelir. Bu trigonometrik ifade r cos (1 2) = π 3 olarak yazılır.

Açı bir derece ya da radyan olabilir. π 3 açısının değeri 60 derecelik bir açıya eşittir (konuyla ilgili daha fazla ayrıntı Dereceleri radyana ve geriye dönüştürme). Ark kosinüsü 1 2 olan bu örnek 60 derecelik bir değere sahiptir. Bu trigonometrik gösterim bir r c cos 1 2 = 60 °'ye benziyor

Arcsin, arccos, arctg ve arctg'nin temel değerleri

Sayesinde sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu, 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 derece hassas açı değerlerimiz mevcuttur. Tablo oldukça kullanışlıdır ve buradan yay fonksiyonları için arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantın temel değerleri olarak adlandırılan bazı değerleri alabilirsiniz.

Temel açıların sinüs tablosu açı değerleri için aşağıdaki sonuçları sunar:

günah (- π 2) = - 1, günah (- π 3) = - 3 2, günah (- π 4) = - 2 2, günah (- π 6) = - 1 2, günah 0 = 0, günah π 6 = 1 2 , günah π 4 = 2 2 , günah π 3 = 3 2 , günah π 2 = 1

Bunları hesaba katarak, - 1'den başlayıp 1 ile biten tüm standart değerlerin sayısının ark sinüsü ve ayrıca - π 2 ila + π 2 radyan arasındaki değerler, temel tanım değerini takip ederek kolayca hesaplanabilir. Bunlar arksinüsün temel değerleridir.

Ark sinüs değerlerinin rahat kullanımı için bunları tabloya gireceğiz. Zamanla bu değerleri öğrenmek zorunda kalacaksınız çünkü pratikte bunlara sık sık başvurmanız gerekecek. Aşağıda radyan ve derece açılarıyla birlikte bir ark sinüs tablosu bulunmaktadır.

Ark kosinüsün temel değerlerini elde etmek için ana açıların kosinüs tablosuna bakmanız gerekir. O zaman elimizde:

çünkü 0 = 1, çünkü π 6 = 3 2, çünkü π 4 = 2 2, çünkü π 3 = 1 2, çünkü π 2 = 0, çünkü 2 π 3 = - 1 2, çünkü 3 π 4 = - 2 2, çünkü 5 π 6 = - 3 2 , çünkü π = - 1

Tablodan sonra ark kosinüs değerlerini buluyoruz:

a r c cos (- 1) = π, arccos (- 3 2) = 5 π 6, arcocos (- 2 2) = 3 π 4, arccos - 1 2 = 2 π 3, arccos 0 = π 2, arccos 1 2 = π 3, arccos 2 2 = π 4, arccos 3 2 = π 6, arccos 1 = 0

Ark kosinüs tablosu.

Aynı şekilde tanım ve standart tablolar esas alınarak aşağıdaki arktanjant ve arkkotanjant tablosunda gösterilen arktanjant ve arkkotanjant değerleri bulunur.

a r c sin , a r c cos , ark t g ve a r c c t g

a sayısının a r c sin, a r c cos, r c t g ve r c c t g'nin tam değeri için açının değerinin bilinmesi gerekir. Bu, önceki paragrafta tartışılmıştı. Ancak fonksiyonun tam anlamını bilmiyoruz. Yay fonksiyonlarının sayısal yaklaşık değerini bulmak gerekiyorsa, şunu kullanın: T sinüs, kosinüs, teğet ve Bradis kotanjant tablosu.

Böyle bir tablo, değerler dört ondalık basamakla verildiğinden oldukça doğru hesaplamalar yapmanızı sağlar. Bu sayede sayılar dakikasına kadar doğrudur. Negatif ve pozitif sayıların a r c sin, a r c cos, a r c t g ve a r c c t g değerleri, a r c sin (- α) = - a r c sin formundaki zıt sayıların a r c sin, a r c cos, a r c t g ve a r c c t g formüllerini bulmaya indirgenir. α, a r c cos (- α) = π - a r c cos α , a r c t g (- α) = - a r c t g α , a r c c t g (- α) = π - a r c c t g α .

Bradis tablosunu kullanarak a r c sin, a r c cos, a r c t g ve a r c c t g değerlerini bulmayı düşünelim.

Eğer 0, 2857 ark sinüs değerini bulmamız gerekiyorsa sinüs tablosunu bularak değeri ararız. Bu sayının açının 16 derece 36 dakika değerine karşılık geldiğini görüyoruz. Bu, 0,2857 sayısının ark sinüsünün istenen 16 derece 36 dakikalık açı olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki şekle bakalım.

Derecelerin sağında düzeltme adı verilen sütunlar bulunur. Gerekli ark sinüsü 0,2863 ise, en yakın sayı 0,2857 olacağından 0,0006'lık aynı düzeltme kullanılır. Bu, düzeltme sayesinde 16 derece 38 dakika 2 dakikalık bir sinüs elde ettiğimiz anlamına gelir. Bradis masasını gösteren resme bakalım.

Gerekli sayının tabloda bulunmadığı ve düzeltmelerle bile bulunamadığı durumlar vardır, o zaman sinüslerin en yakın iki değeri bulunur. Gerekli sayı 0,2861573 ise 0,2860 ve 0,2863 sayıları ona en yakın değerlerdir. Bu sayılar 16 derece 37 dakika ve 16 derece 38 dakika sinüs değerlerine karşılık gelir. Daha sonra bu sayının yaklaşık değeri bir dakikaya kadar doğrulukla belirlenebilir.

Bu şekilde a r c sin, a r c cos, a r c t g ve a r c c t g değerleri bulunur.

Belirli bir sayının bilinen arkkosinüsü aracılığıyla arksinüsü bulmak için, trigonometrik formülleri uygulamanız gerekir: a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (görüntülemeniz gerekir) toplam formülleri konusuSarkkosinüs ve arksinüs, arktanjant ve arkkotanjantın toplamı).

Bilinen bir a r c sin α = - π 12 ile a r c cos α'nın değerini bulmak gerekir, ardından aşağıdaki formülü kullanarak ark kosinüsünü hesaplamak gerekir:

a r c çünkü α = π 2 - a r c sin α = π 2 - (− π 12) = 7 π 12 .

Bilinen arksinüs veya arkkosinüsü kullanarak bir a sayısının arktanjantının veya arkkotanjantının değerini bulmanız gerekiyorsa, standart formüller olmadığından uzun hesaplamalar yapmak gerekir. Bir örneğe bakalım.

Bir a sayısının ark kosinüsü π 10'a eşit olarak verilirse, bir teğet tablosu bu sayının ark tanjantını hesaplamaya yardımcı olacaktır. 10 radyanın π açısı 18 dereceyi temsil eder, ardından kosinüs tablosundan 18 derecelik kosinüsün 0,9511 değerine sahip olduğunu görürüz ve ardından Bradis tablosuna bakarız.

Arktanjant değeri olan 0,9511'i ararken açı değerinin 43 derece 34 dakika olduğunu tespit ediyoruz. Aşağıdaki tabloya bakalım.

Aslında Bradis tablosu gerekli açı değerinin bulunmasına yardımcı olur ve açı değeri verildiğinde derece sayısını belirlemenize olanak tanır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Sin, cos, tg ve ctg fonksiyonlarına her zaman arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant eşlik eder. Biri diğerinin sonucudur ve fonksiyon çiftleri trigonometrik ifadelerle çalışırken eşit derecede önemlidir.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini grafiksel olarak gösteren bir birim daire çizimini düşünün.

OA, arcos OC, arctg DE ve arcctg MK yaylarını hesaplarsak, bunların hepsi α açısının değerine eşit olacaktır. Aşağıdaki formüller, temel trigonometrik fonksiyonlar ve bunlara karşılık gelen yaylar arasındaki ilişkiyi yansıtmaktadır.

Arsinüsün özelliklerini daha iyi anlamak için fonksiyonunu dikkate almak gerekir. Takvim koordinat merkezinden geçen asimetrik bir eğri formuna sahiptir.

Arsin'in özellikleri:

Grafikleri karşılaştırırsak günah Ve arksinİki trigonometrik fonksiyonun ortak ilkeleri olabilir.

ark kosinüs

Bir sayının Arcco'su, kosinüsü a'ya eşit olan α açısının değeridir.

Eğri y = arcosx arcsin x grafiğini yansıtır, tek farkı OY ekseni üzerindeki π/2 noktasından geçmesidir.

Ark kosinüs fonksiyonuna daha detaylı bakalım:

1. Fonksiyon [-1; 1].
2. Arccos için ODZ - .
3. Grafiğin tamamı birinci ve ikinci çeyrekte yer alır ve fonksiyonun kendisi ne çift ne de tektir.
4. x = 1'de Y = 0.
5. Eğri tüm uzunluğu boyunca azalır. Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Ark kosinüsün bazı özellikleri kosinüs fonksiyonuyla örtüşmektedir.

Belki okul çocukları "kemerler" üzerine bu kadar "ayrıntılı" bir çalışmayı gereksiz bulacaktır. Ancak aksi takdirde bazı temel standart sınav görevleri öğrencileri çıkmaz sokağa sürükleyebilir.

Görev 1.Şekilde gösterilen fonksiyonları belirtiniz.

Cevap: pirinç. 1 – 4, Şekil 2 – 1.

Bu örnekte vurgu küçük şeylere yapılmıştır. Tipik olarak öğrenciler grafiklerin oluşturulması ve fonksiyonların görünümü konusunda çok dikkatsizdirler. Aslında, her zaman hesaplanan noktalar kullanılarak çizilebiliyorsa neden eğri tipini hatırlayasınız ki? Test koşullarında, basit bir görev için çizim yapmak için harcanan zamanın daha karmaşık görevleri çözmek için gerekli olacağını unutmayın.

arktanjant

arktg a sayıları, tanjantı a'ya eşit olacak şekilde α açısının değeridir.

Arktanjant grafiğini dikkate alırsak aşağıdaki özellikleri vurgulayabiliriz:

1. Grafik sonsuzdur ve (- ∞; + ∞) aralığında tanımlanır.
2. Arktanjant tek bir fonksiyondur, dolayısıyla arktan (- x) = - arktan x.
3. x = 0'da Y = 0.
4. Eğri tüm tanım aralığı boyunca artar.

Tg x ve arctg x'in kısa bir karşılaştırmalı analizini tablo halinde sunalım.

Arkotanjant

Bir sayının arkı - kotanjantı a'ya eşit olacak şekilde (0; π) aralığından bir α değeri alır.

Yay kotanjant fonksiyonunun özellikleri:

1. Fonksiyon tanımı aralığı sonsuzdur.
2. Kabul edilebilir değerlerin aralığı (0; π) aralığıdır.
3. F(x) ne çift ne de tektir.
4. Fonksiyonun grafiği tüm uzunluğu boyunca azalır.

Ctg x ve arctg x'i karşılaştırmak çok basittir, sadece iki çizim yapıp eğrilerin davranışını tanımlamanız yeterlidir.

Görev 2. Fonksiyonun grafiğini ve notasyon formunu eşleştirin.

Mantıklı düşünürsek her iki fonksiyonun da arttığı grafiklerden açıkça görülmektedir. Bu nedenle her iki figür de belirli bir arktan işlevi sergiliyor. Arktanjantın özelliklerinden x = 0'da y=0 olduğu bilinmektedir,

Cevap: pirinç. 1 – 1, şekil. 2 – 4.

Trigonometrik kimlikler arcsin, arcos, arctg ve arcctg

Daha önce kemerler ile trigonometrinin temel fonksiyonları arasındaki ilişkiyi zaten tanımlamıştık. Bu bağımlılık, örneğin bir argümanın sinüsünü arksinüsü, arkkosinüsü veya tam tersi aracılığıyla ifade etmeye izin veren bir dizi formülle ifade edilebilir. Bu tür kimliklerin bilgisi belirli örnekleri çözerken faydalı olabilir.

Arctg ve arcctg için de ilişkiler vardır:

Başka bir kullanışlı formül çifti, aynı açının arcctg ve arcctg'sinin yanı sıra arcsin ve arcos toplamının değerini ayarlar.

Problem çözme örnekleri

Trigonometri görevleri dört gruba ayrılabilir: belirli bir ifadenin sayısal değerini hesaplamak, belirli bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak, tanım alanını veya ODZ'yi bulmak ve örneği çözmek için analitik dönüşümler gerçekleştirmek.

İlk tür sorunu çözerken aşağıdaki eylem planına uymalısınız:

Fonksiyon grafikleriyle çalışırken asıl önemli olan bunların özellikleri ve eğrinin görünümü hakkında bilgi sahibi olmaktır. Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek kimlik tablolarını gerektirir. Öğrenci ne kadar çok formülü hatırlarsa, görevin cevabını bulmak o kadar kolay olur.

Diyelim ki Birleşik Devlet Sınavında aşağıdaki gibi bir denklemin cevabını bulmanız gerekiyor:

İfadeyi doğru bir şekilde dönüştürüp istediğiniz forma getirirseniz çözmek çok basit ve hızlı olur. Öncelikle arcsin x'i eşitliğin sağ tarafına taşıyalım.

Formülü hatırlıyorsanız arksin (sin α) = α, o zaman cevap arayışını iki denklemden oluşan bir sistemin çözümüne indirgeyebiliriz:

X modeli üzerindeki kısıtlama yine arcsin'in özelliklerinden kaynaklanmıştır: x [-1 için ODZ; 1]. a ≠0 olduğunda sistemin bir kısmı kökleri x1 = 1 ve x2 = - 1/a olan ikinci dereceden bir denklemdir. a = 0 olduğunda x 1'e eşit olacaktır.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Arksinüs. Arksinüs tablosu. Formül y=arcsin(x)"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler

Neyi inceleyeceğiz:
1. Arsin nedir?
2. Arksinüs gösterimi.
3. Küçük bir tarih.
4. Tanım.

6. Örnekler.

Arsin nedir?

Arkadaşlar, kosinüs denklemlerini nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik, şimdi de sinüs için benzer denklemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim. sin(x)= √3/2 olduğunu düşünün. Bu denklemi çözmek için y= √3/2 düz bir çizgi çizmeniz ve bunun sayı çemberiyle hangi noktalarda kesiştiğine bakmanız gerekir. Düz çizginin daireyi F ve G olmak üzere iki noktada kestiği görülmektedir. Bu noktalar denklemimizin çözümü olacaktır. F'yi x1, G'yi x2 olarak yeniden tanımlayalım. Bu denklemin çözümünü zaten bulduk ve şunu elde ettik: x1= π/3 + 2πk,
ve x2= 2π/3 + 2πk.

Bu denklemi çözmek oldukça basittir, ancak örneğin denklemin nasıl çözüleceği
günah(x)= 5/6. Açıkçası, bu denklemin de iki kökü olacak, ancak sayı çemberindeki çözüme hangi değerler karşılık gelecek? Sin(x)= 5/6 denklemimize daha yakından bakalım.
Denklemimizin çözümü iki nokta olacaktır: F= x1 + 2πk ve G= x2 ​​​​+ 2πk,
burada x1 AF yayının uzunluğu, x2 AG yayının uzunluğudur.
Not: x2= π - x1, çünkü AF= AC - FC, ancak FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Peki bu noktalar nelerdir?

Benzer bir durumla karşı karşıya kalan matematikçiler yeni bir sembol geliştirdiler: arcsin(x). Arsin olarak okuyun.

O halde denklemimizin çözümü şu şekilde yazılacaktır: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Ve genel formdaki çözüm: x= arcsin(5/6) + 2πk ve x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arksinüs, 5/6'ya eşit olan sinüs açısıdır (yay uzunluğu AF, AG).

Arsin'in küçük bir tarihi

Sembolümüzün kökeninin tarihi arccos'unkiyle tamamen aynıdır. Arcsin sembolü ilk olarak matematikçi Scherfer ve ünlü Fransız bilim adamı J.L. Lagrange. Biraz önce, farklı sembollerle yazmasına rağmen ark sinüs kavramı D. Bernouli tarafından düşünülmüştü.

Bu semboller ancak 18. yüzyılın sonunda genel kabul görmeye başladı. "Yay" öneki Latince "arcus"tan (yay, yay) gelir. Bu, kavramın anlamı ile oldukça tutarlıdır: arksin x, sinüsü x'e eşit olan bir açıdır (veya bir yay da diyebiliriz).

arcsine'un tanımı

Eğer |a|≤ 1 ise, arcsin(a), [- π/2; bölümünden bir sayıdır; π/2], sinüsü a'ya eşittir.

Eğer |a|≤ 1 ise sin(x)= a denkleminin bir çözümü vardır: x= arcsin(a) + 2πk ve
x= π - arcsin(a) + 2πk

Tekrar yazalım:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Arkadaşlar, iki çözümümüze dikkatlice bakın. Ne düşünüyorsunuz: bunlar genel bir formül kullanılarak yazılabilir mi? Arsinüsün önünde bir artı işareti varsa, o zaman π'nin 2πk çift sayısıyla çarpıldığını ve eksi işareti varsa çarpanın tek 2k+1 olduğunu unutmayın.
Bunu hesaba katarak sin(x)=a denklemini çözmek için genel formülü yazıyoruz:

Çözümleri daha basit bir şekilde yazmanın tercih edildiği üç durum vardır:

sin(x)=0 ise x= πk,

sin(x)=1 ise x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, bu durumda x= -π/2 + 2πk olur.

Herhangi bir -1 ≤ a ≤ 1 için eşitlik geçerlidir: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Kosinüs değerleri tablosunu tersten yazalım ve arksinüs için bir tablo elde edelim.

Örnekler

1. Hesaplayın: arcsin(√3/2).
Çözüm: Arcsin(√3/2)= x olsun, sonra sin(x)= √3/2 olsun. Tanım gereği: - π/2 ≤x≤ π/2. Tablodaki sinüs değerlerine bakalım: x= π/3, çünkü sin(π/3)= √3/2 ve –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Cevap: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Hesaplayın: arcsin(-1/2).
Çözüm: arcsin(-1/2)= x olsun, sonra sin(x)= -1/2 olsun. Tanım gereği: - π/2 ≤x≤ π/2. Tablodaki sinüs değerlerine bakalım: x= -π/6, çünkü sin(-π/6)= -1/2 ve -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Cevap: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Hesaplayın: arcsin(0).
Çözüm: arcsin(0)= x olsun, sonra sin(x)= 0 olsun. Tanım gereği: - π/2 ≤x≤ π/2. Tablodaki sinüs değerlerine bakalım: x= 0 anlamına gelir çünkü sin(0)= 0 ve - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Cevap: arcsin(0)=0.

4. Denklemi çözün: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk ve x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Tablodaki değere bakalım: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Cevap: x= -π/4 + 2πk ve x= 5π/4 + 2πk.

5. Denklemi çözün: sin(x) = 0.
Çözüm: Tanımı kullanalım, o zaman çözüm şu şekilde yazılacaktır:
x= arcsin(0) + 2πk ve x= π - arcsin(0) + 2πk. Tablodaki değere bakalım: arcsin(0)= 0.
Cevap: x= 2πk ve x= π + 2πk

6. Denklemi çözün: sin(x) = 3/5.
Çözüm: Tanımı kullanalım, o zaman çözüm şu şekilde yazılacaktır:
x= arcsin(3/5) + 2πk ve x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Cevap: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Sin(x) eşitsizliğini çözün Çözüm: Sinüs, sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatıdır. Bunun anlamı şudur: Ordinatı 0,7'den küçük olan noktaları bulmamız gerekir. y=0,7 şeklinde bir doğru çizelim. Sayı çemberini iki noktada keser. Eşitsizlik y O zaman eşitsizliğin çözümü şöyle olacaktır: -π – arcsin(0,7) + 2πk

Bağımsız çözüm için Arcsine problemleri