Dağıtımın çarpıklığı ve basıklığı. Excel'de ampirik bir dağılımın çarpıklığını ve basıklığını hesaplamak

Değişim serileri analiz edilirken, dağılımın merkezden uzaklığı ve eğimi özel göstergelerle karakterize edilir. Ampirik dağılımlar, kural olarak, dağılımın merkezinden sağa veya sola kaydırılır ve asimetriktir. Normal dağılım, fonksiyonun paritesinden dolayı aritmetik ortalamaya göre kesinlikle simetriktir.

Dağıtımın çarpıklığı Bazı faktörlerin bir yönde diğerine göre daha güçlü hareket etmesi veya olgunun gelişme sürecinin bazı nedenlerin hakim olacağı şekilde olması nedeniyle ortaya çıkar. Ayrıca bazı olayların doğası gereği asimetrik bir dağılım söz konusudur.

Asimetrinin en basit ölçüsü aritmetik ortalama, mod ve medyan arasındaki farktır:

Dağıtımın kaymasının (asimetrisinin) yönünü ve büyüklüğünü belirlemek için hesaplanır asimetri katsayısı üçüncü dereceden normalleştirilmiş bir momenttir:

As= 3 / 3, burada  3 üçüncü dereceden merkezi momenttir;  3 – standart sapmanın küpü. 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

Sol taraflı asimetri için asimetri katsayısı (Gibi<0), при правосторонней (As>0) .

Dağılımın üst kısmı sola kaydırılırsa ve dalın sağ kısmı soldan daha uzun çıkarsa bu tür bir asimetri söz konusudur. sağ taraflı, aksi takdirde solak .

Simetrik ve asimetrik serilerde mod, medyan ve aritmetik ortalama arasındaki ilişki, asimetri ölçüsü olarak daha basit bir gösterge kullanmamıza olanak tanır asimetri katsayısı Pearson :

Ka = ( –Mo)/. Eğer K a >0 ise asimetri sağ taraftadır, eğer K a<0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

Asimetri, üçüncü dereceden merkezi moment kullanılarak daha doğru bir şekilde belirlenebilir:

, burada 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

Eğer > 0 ise asimetri anlamlı kabul edilebilir: < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

Simetrik bir dağılımın ordinat boyunca normal bir dağılımdan sapma derecesini karakterize etmek için, zirvenin göstergesi, dağılımın dikliği denir. aşırı :

Örn = ( 4 / 4) – 3, burada:  4 – dördüncü dereceden merkezi moment.

Normal bir dağılım için Ex = 0, yani.  4 / 4 = 3.  4 = (m 4 – 4m 3 m 1 + 6m 2 m 2 1 – 3 m 4 1)* k 4 .

Yüksek tepe eğrileri pozitif basıklığa sahipken düşük tepe eğrileri negatif basıklığa sahiptir (Şekil D.2).

Popülasyonun heterojenliğini, dağılımın asimetrisini ve ampirik dağılımın normal yasaya yakınlığını belirlemek için istatistiksel analizde basıklık ve çarpıklık göstergeleri gereklidir. Asimetri ve basıklık göstergelerinin sıfırdan önemli sapmaları nedeniyle nüfusun homojen olduğu ve dağılımın normale yakın olduğu düşünülemez. Gerçek eğrilerin teorik olanlarla karşılaştırılması, elde edilen istatistiksel sonuçların matematiksel olarak doğrulanmasına, sosyo-ekonomik olayların dağılımının türünü ve doğasını belirlemeye, incelenen olayların meydana gelme olasılığını tahmin etmeye olanak tanır.

4.7. Ampirik (gerçek) dağılımın teorik normal dağılıma yakınlığının gerekçesi. Normal dağılım (Gauss-Laplace yasası) ve özellikleri. "Üç Sigma Kuralı." Uyum iyiliği kriterleri (Pearson veya Kolgomogorov kriteri örneğini kullanarak).

Değişen karakteristiklerin frekans ve değerlerindeki değişimde belli bir bağlantıyı fark edebilirsiniz. Niteliğin değeri arttıkça frekanslar önce artar, belli bir maksimum değere ulaştıktan sonra ise azalır. Değişim serilerindeki frekanslardaki bu tür düzenli değişikliklere denir. dağıtım modelleri.

Bir dağılım modelini tanımlamak için, varyasyon serisinin yeterince büyük sayıda birim içermesi ve serilerin niteliksel olarak homojen popülasyonları temsil etmesi gerekir.

Gerçek verilere dayalı olarak oluşturulan bir dağıtım poligonu ampirik (gerçek) dağılım eğrisi, yalnızca nesnel (genel) değil, aynı zamanda incelenen olgunun özelliği olmayan öznel (rastgele) dağılım koşullarını da yansıtır.

Pratik çalışmada dağıtım yasası, ampirik dağılımı teorik olanlardan biriyle karşılaştırarak ve aralarındaki fark veya yazışma derecesini değerlendirerek bulunur. Teorik dağılım eğrisi Rastgele faktörlerin etkisini hesaba katmadan, değişen özelliklerin değerlerine bağlı olarak genel frekans dağılım modelini (dağılım yoğunluğunu) saf haliyle yansıtır.

İstatistikte çeşitli teorik dağılım türleri yaygındır: normal, binom, Poisson vb. Teorik dağılımların her birinin kendine özgü özellikleri ve kapsamı vardır.

Normal dağılım kanunu Birçok rastgele faktörün etkileşimi sırasında meydana gelen eşit olasılıklı olayların dağılımının karakteristiği. Normal dağılım yasası, dağılım parametrelerini tahmin etmek, örnek gözlemlerin temsil edilebilirliğini ve kütle olguları arasındaki ilişkiyi ölçmek için istatistiksel yöntemlerin temelini oluşturur. Gerçek dağılımın normal dağılıma ne kadar iyi karşılık geldiğini kontrol etmek için, gerçek dağılım frekanslarını normal dağılım yasasının teorik frekans karakteristiğiyle karşılaştırmak gerekir. Bu frekanslar normalleştirilmiş sapmaların bir fonksiyonudur. Bu nedenle ampirik dağılım serisinin verilerine dayanarak normalleştirilmiş sapmalar t hesaplanır. Daha sonra karşılık gelen teorik frekanslar belirlenir. Bu ampirik dağılımı düzleştirir.

Normal dağılım veya Gauss-Laplace yasası denklemle tanımlanır
burada y t normal dağılım eğrisinin ordinatıdır veya normal dağılımın x değerinin frekansıdır (olasılığı); – bireysel x değerlerinin matematiksel beklentisi (ortalama değer). Eğer değerler (x – ) standart sapma  cinsinden ölçün (ifade edin), yani. standartlaştırılmış (normalleştirilmiş) sapmalarda t = (x – )/ ise formül şu formu alacaktır:
. Sosyo-ekonomik olayların saf haliyle normal dağılımı nadirdir, ancak nüfusun homojenliği korunursa gerçek dağılımlar genellikle normale yakındır. Çalışılan büyüklüklerin dağılım şekli, ampirik dağılımın teorik normal dağılım yasasına uygunluğunun kontrol edilmesiyle ortaya çıkar. Bunu yapmak için gerçek dağılım normal eğri ile hizalanır ve hesaplanır. onay kriterleri .

Normal dağılım, bireysel değerlerin gruplanma merkezini ve eğrinin şeklini belirleyen iki önemli parametre ile karakterize edilir: aritmetik ortalama ve standart sapma . Normal dağılım eğrileri, dağıtım merkezinin x ekseni üzerindeki konumuna göre farklılık gösterir ve bu merkezin etrafındaki dağılım seçeneği  (Şekil 4.1 ve 4.2). Normal dağılım eğrisinin bir özelliği, dağılımın merkezine göre simetrisidir - ortasının her iki tarafında, apsis eksenine asimptotik olarak yaklaşan, eşit şekilde azalan iki dal oluşur. Bu nedenle normal bir dağılımda ortalama, mod ve medyan aynıdır: = Mo = Ben.

  X

Normal dağılım eğrisi t = 1'de iki bükülme noktasına (dışbükeylikten içbükeyliğe geçiş) sahiptir, yani. seçenekler ortalamadan saptığında (x – ), standart sapmaya  eşittir. İçinde  normal dağılıma sahip olup %68,3'tür. 2 – %95,4, dahilinde 3 – Gözlem sayısının veya dağılım serisinin frekanslarının %99,7'si. Pratikte 3'yi aşan sapmalar hemen hemen yoktur, bu nedenle verilen ilişkiye “ üç sigma kuralı ».

Teorik frekansları hesaplamak için formül kullanılır:

.

Büyüklük
t'nin bir fonksiyonudur veya alıntıları tabloda verilen özel bir tablodan belirlenen normal dağılımın yoğunluğudur. 4.2.

Normal dağılım yoğunluk değerleri Tablo 4.2

Şekil 2'deki grafik. 4.3 ampirik (2) ve normal (1) dağılımların yakınlığını açıkça göstermektedir.

Pirinç. 4.3. Posta hizmeti şubelerinin sayıya göre dağılımı

işçiler: 1 – normal; 2 – ampirik

Ampirik dağılımın normal dağılım yasasına yakınlığını matematiksel olarak doğrulamak için, hesaplayın onay kriterleri .

Kolmogorov kriteri - ampirik dağılımın normale yakınlık derecesinin değerlendirilmesine olanak tanıyan bir uyum iyiliği kriteri. A. N. Kolmogorov, ampirik ve teorik normal dağılımlar arasındaki yazışmayı belirlemek için bu serilerin birikmiş frekansları veya frekansları arasındaki maksimum farkı kullanmayı önerdi. Ampirik dağılımın normal dağılım yasasına karşılık geldiği hipotezini test etmek için uyum iyiliği kriteri = D/ hesaplanır
Burada D, kümülatif (birikimli) ampirik ve teorik frekanslar arasındaki maksimum farktır, n, popülasyondaki birimlerin sayısıdır. Özel bir tablo kullanılarak P() belirlenir - 'ye ulaşma olasılığı; bir varyasyon karakteristiği normal bir yasaya göre dağıtılırsa, o zaman Rastgele nedenlerden dolayı, ampirik ve teorik birikmiş frekanslar arasındaki maksimum farklılık gerçekte gözlemlenenden daha az olmayacaktır. P() değerine bağlı olarak belirli sonuçlara varılır: P() olasılığı yeterince büyükse, o zaman gerçek dağılımın normal yasaya karşılık geldiği hipotezi doğrulanmış sayılabilir; P() olasılığı küçükse, sıfır hipotezi reddedilir ve gerçek ve teorik dağılımlar arasındaki tutarsızlıkların önemli olduğu kabul edilir.

Uyum iyiliği kriteri için olasılık değerleri  Tablo 4.3

Pearson kriterleri 2 (“ki-kare”) - Ampirik dağılımın normale yakınlık derecesinin değerlendirilmesine olanak tanıyan uyum iyiliği kriteri:
burada f i, f" i belirli bir aralıktaki ampirik ve teorik dağılımların frekanslarıdır. Gözlemlenen ve teorik frekanslar arasındaki fark ne kadar büyük olursa, kriter o kadar büyük olur  2. Frekanslardaki farklılıkların önemini ayırt etmek Rastgele örneklerden kaynaklanan farklılıklardan  2 kriterine göre ampirik ve teorik dağılımlar,  2 calc kriterinin hesaplanan değeri, karşılık gelen serbestlik derecesi sayısı ve belirli bir anlamlılık düzeyi ile tablodaki  2 tablosuyla karşılaştırılır. seviye P( 2 hesap > 2 tablo) =  olacak şekilde seçilir. H–ben, Nerede H– grup sayısı; ben– teorik frekansları hesaplarken karşılanması gereken koşulların sayısı. Formülü kullanarak normal dağılım eğrisinin teorik frekanslarını hesaplamak için
üç parametreyi bilmeniz gerekiyor , , f olduğundan serbestlik derecesi sayısı h–3'tür.  2 hesap > 2 sekmesi ise, yani.  2 kritik bölgeye düştüğünde ampirik ve teorik frekanslar arasındaki fark önemlidir ve örnek verilerdeki rastgele dalgalanmalarla açıklanamaz. Bu durumda sıfır hipotezi reddedilir. Eğer  2 hesaplama  2 tablo ise, yani. hesaplanan kriter, şansa bağlı olarak ortaya çıkabilecek maksimum olası frekans farklılığını aşmıyorsa, bu durumda dağılımların uygunluğuna ilişkin hipotez kabul edilir. Pearson kriteri önemli sayıda gözlem (n50) ile etkilidir ve tüm aralıkların frekansları en az beş birimden oluşmalı (daha küçük bir sayı ile aralıklar birleştirilir) ve aralık (grup) sayısı da aynı olmalıdır. büyük olmalıdır (h>5), çünkü  2 tahmini serbestlik derecesinin sayısına bağlıdır.

Romanovsky kriteri - ampirik dağılımın normale yakınlık derecesinin değerlendirilmesine olanak tanıyan bir uyum iyiliği kriteri V.I. Romanovsky, ampirik dağılımın normal dağılım eğrisine yakınlığını aşağıdakilerle ilgili olarak değerlendirmeyi önerdi:

, burada h grupların sayısıdır.

Oran 3'ten büyükse ampirik ve normal dağılımların frekansları arasındaki tutarsızlık rastgele kabul edilemez ve normal dağılım yasası hipotezi reddedilmelidir. Oranın 3'ten küçük veya eşit olması durumunda veri dağılımının normal olduğu hipotezini kabul edebiliriz.

Rastgele bir değişkenin dağılımının şekli hakkında yaklaşık bir fikir elde etmek için, dağılım serisinin (çokgen ve histogram), fonksiyonun veya dağılım yoğunluğunun bir grafiği çizilir. İstatistiksel araştırma pratiğinde çok farklı dağılımlarla karşılaşılır. Homojen popülasyonlar kural olarak tek tepe dağılımlarıyla karakterize edilir. Multivertex, incelenen popülasyonun heterojenliğini gösterir. Bu durumda daha homojen grupların belirlenebilmesi için verilerin yeniden gruplandırılması gerekmektedir.

Rastgele bir değişkenin dağılımının genel doğasını belirlemek, homojenlik derecesinin değerlendirilmesinin yanı sıra asimetri ve basıklık göstergelerinin hesaplanmasını da içerir. Matematiksel beklentinin medyana eşit olduğu simetrik bir dağılımda; asimetrinin olmadığı düşünülebilir. Ancak asimetri ne kadar belirgin olursa, dağıtım merkezinin özellikleri (matematiksel beklenti ve medyan) arasındaki sapma da o kadar büyük olur.

Rastgele bir değişkenin dağılımının en basit asimetri katsayısı dikkate alınabilir; matematiksel beklenti burada medyandır ve rastgele değişkenin standart sapmasıdır.

Sağ taraflı asimetri durumunda, sol taraflı asimetri. If , asimetrinin düşük, if - orta ve yüksek - olduğu kabul edilir. Aşağıdaki şekilde sağ ve sol taraftaki asimetrinin geometrik bir gösterimi gösterilmektedir. Karşılık gelen sürekli rastgele değişken türlerinin dağılım yoğunluğunun grafiklerini gösterir.

Çizim. Sürekli rastgele değişkenlerin dağılımlarının yoğunluk grafiklerinde sağ ve sol taraftaki asimetrinin gösterimi.

Rastgele bir değişkenin dağılımının başka bir asimetri katsayısı daha vardır. Tek sıranın sıfır olmayan merkezi momentinin, rastgele değişkenin dağılımında bir asimetriye işaret ettiği kanıtlanabilir. Önceki göstergede birinci dereceden momente benzer bir ifade kullanmıştık. Ancak genellikle bu diğer asimetri katsayısında üçüncü dereceden merkezi moment kullanılır. , bu katsayının boyutsuz hale gelmesi için standart sapmanın küpüne bölünür. Ortaya çıkan asimetri katsayısı: . Bu asimetri katsayısı için, sağ taraflı asimetri durumunda birincisi için sol taraflı - .

Rastgele bir değişkenin basıklığı

Rastgele bir değişkenin dağılımının basıklığı, değerlerinin dağılımın merkezine yakın konsantrasyon derecesini karakterize eder: konsantrasyon ne kadar yüksek olursa, dağılımının yoğunluk grafiği o kadar yüksek ve dar olacaktır. Basıklık (keskinlik) göstergesi şu formül kullanılarak hesaplanır: , burada 4. derecenin merkezi momentidir ve 4. kuvvete yükseltilmiş standart sapmadır. Pay ve paydanın kuvvetleri aynı olduğundan basıklık boyutsuz bir niceliktir. Bu durumda basıklığın olmaması yani sıfır basıklığın normal dağılımı alması standart olarak kabul edilir. Ancak normal bir dağılım için olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle basıklık hesaplama formülünde bu kesirden 3 sayısı çıkarılır.

Dolayısıyla normal bir dağılım için basıklık sıfırdır: . Basıklık sıfırdan büyükse; , bu durumda dağılım normalden daha fazla zirveye ulaşır. Basıklık sıfırdan küçükse; bu durumda dağılım normalden daha az zirveye ulaşır. Negatif basıklığın sınır değeri; Pozitif basıklığın büyüklüğü sonsuz büyüklükte olabilir. Normal dağılımla karşılaştırıldığında rastgele değişkenlerin tepe ve düz tepeli dağılım yoğunluklarının grafiklerinin nasıl göründüğü şekilde gösterilmiştir.

Çizim. Rastgele değişkenlerin normal dağılımla karşılaştırıldığında zirve ve düz tepeli yoğunluk dağılımlarının gösterimi.

Bir rastgele değişkenin dağılımının asimetrisi ve basıklığı onun normal yasadan ne kadar saptığını gösterir. Büyük asimetriler ve basıklık için normal dağılıma yönelik hesaplama formülleri kullanılmamalıdır. Belirli bir rastgele değişkene ilişkin verilerin analizinde normal dağılım formüllerinin kullanımında asimetri ve basıklığın kabul edilebilirlik düzeyinin ne olduğu araştırmacı tarafından bilgi ve deneyimine dayanarak belirlenmelidir.

Bir rastgele değişkenin dağılımının çarpıklığı ve basıklığı.

090309-matmetody.txt

Asimetrinin özellikleri.

Asimetrinin ana ölçüsü asimetri katsayısıdır. Yani frekans dağılım grafiğinin ortalama değere göre simetrik formdan sapma derecesi. S indeksli A harfi ile gösterilir ve formüle göre hesaplanır (Şekil 8). Asimetri katsayısı eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar değişir. Asimetri, katsayı sıfırdan büyük olduğunda sol taraftadır (pozitif) - As>0 ve sağ taraftadır (negatif) - As<0. При левосторонней ассиметрии чаще встречаются значения ниже среднего арифметического. При правой, соответственно чаще всего встречаются значения, превосходящие среднее арифметическое. Для симметричных распределений коэффициент ассиметрии равен нулю, а мода, медиана и среднее арифметическое значение совпадают между собой.

Basıklığın özellikleri.

Formül kullanılarak hesaplanan basıklık (veya zirve) katsayısını karakterize eder.

Tepe dağılımı pozitif basıklık ile karakterize edilir, düz tepe dağılımı negatif basıklık ile karakterize edilir ve orta tepe dağılımı sıfır basıklık ile karakterize edilir.

İlk önce, ikincisi,

Eğer sen...(genellikle aralık).

Grafik yöntemi(Q- Q Arsalar, R-RArsalar).

Nerede N- numune boyutu.

Bir rastgele değişkenin normal dağılımının özellikleri.

090309-matmetody.txt

Normal dağılım.

Normal bir dağılım, özelliklerin aşırı değerlerinin nispeten nadir olması ve aritmetik ortalamaya yakın olanların nispeten yaygın olmasıyla karakterize edilir. Normal dağılım eğrisi çan şeklindedir. Bu, medyan, mod ve aritmetik ortalamanın değerleri birbiriyle örtüşen tek modlu bir dağılımdır, çarpıklık ve basıklık katsayıları sıfırdan ikiye (kabul edilebilir) aralığındadır, ancak ideal olarak sıfıra eşittir.

19. yüzyılın ikinci yarısından itibaren psikolojide ölçme ve hesaplama yöntemleri aşağıdaki prensibe dayalı olarak geliştirilmiştir. Bağımsız isebelirli bir özelliğin görsel değişkenliği, birçok nedenin etkisinin bir sonucudur, ardından tüm tezahür çeşitlerinin frekans dağılımıgenel popülasyondaki bu özellik normal eğriye karşılık gelirdağıtımlar. Bu normal dağılım yasasıdır.

Normal dağılım yasasının, birden fazla kez değineceğimiz çok önemli sonuçları vardır. Şimdi, eğer belirli bir özelliği incelerken onu bir denek örneklemi üzerinde ölçtüysek ve normalden farklı bir dağılım elde ettiysek, bunun ya örneklemin genel popülasyonu temsil etmediği ya da ölçümlerin yanlış olduğu anlamına geldiğini not ediyoruz. eşit aralıklar ölçeğinde yapılmıştır.

İLE
Her psikolojik (veya daha genel anlamda biyolojik) özellik, genel popülasyondaki dağılımına karşılık gelir. Çoğu zaman normaldir ve parametreleriyle karakterize edilir: ortalama (M) ve standart sapma (o). Yalnızca bu iki değer, denklem (5.1) ile verilen, aynı şekle sahip sonsuz sayıda normal eğriyi birbirinden ayırır. Ortalama, eğrinin sayı ekseni üzerindeki konumunu belirtir ve bir başlangıç ​​noktası görevi görür. standart ölçüm değeri. Standart sapma bu eğrinin genişliğini belirler, ölçü birimlerine bağlıdır ve ölçüm ölçeği(Şekil 5.3).

Şekil 5.3. Normal eğri ailesi, 1. dağılım 2. dağılımdan standart sapma ile farklılık gösterir (σ 1< σ 2), 2-е от 3-го средним арифметическим (M 2 < M 3)

^-dönüşümünü (formül 4.8'e göre) tüm olası özellik ölçümlerine uygularsak, normal dağılımların tamamı tek bir eğriye indirgenebilir. Bu durumda her özelliğin ortalaması 0 ve standart sapması 1 olacaktır. 5.4 için normal dağılım grafiği çizilmiştir. M= 0 ve a = 1. işte bubirim normal dağılım, DSÖ-Sürü standart olarak kullanılır - standart. Hadi düşünelim önemli özellikler.

Birim normal dağılım için ölçü birimi standart sapmadır.

Eğri Z eksenine kenarlardan asimptotik olarak yaklaşır, asla ona dokunmaz.

Eğri M=0 civarında simetriktir. Asimetrisi ve basıklığı sıfırdır.

Eğrinin karakteristik bir kıvrımı vardır: bükülme noktası M'den tam olarak bir σ uzaklıkta yer alır.

Eğri ile Z ekseni arasındaki alan 1'dir.

Son özellik adı açıklıyor Bekar normal dağılımlıdır ve son derece önemlidir. Bu özellik sayesinde eğrinin altındaki alan bir olasılık veya göreceli olarak yorumlanırsıklık. Aslında, eğrinin altındaki alanın tamamı, karakteristiğin tüm değişkenlik aralığından (-oo'dan +oo'ya kadar) herhangi bir değer alma olasılığına karşılık gelir. Sıfır noktasının solunda veya sağında birim normal eğrinin altındaki alan 0,5'tir. Bu, genel popülasyonun yarısının 0'dan büyük ve yarısının 0'dan küçük bir karakteristik değere sahip olduğu gerçeğine karşılık gelir. Genel popülasyonda karakteristik değerlerin göreceli görülme sıklığı, Z\ ile Zi karşılık gelen noktalar arasında kalan eğrinin altındaki alana eşittir. Herhangi bir normal dağılımın şu şekilde birim normal dağılıma indirgenebileceğini tekrar belirtelim: z- dönüşümler.

Dolayısıyla, farklı normal dağılım eğrilerinin en önemli ortak özelliği, standart sapma birimleriyle ifade edilen, özelliğin aynı iki değeri arasındaki eğrinin altındaki alanın aynı oranda olmasıdır.

Herhangi bir normal dağılım için değer aralıkları ile eğrinin altındaki alan arasında aşağıdaki karşılıkların bulunduğunu hatırlamakta fayda vardır:

Tek bir normal dağılım, herhangi bir normal dağılım için standart sapma ile popülasyondaki göreceli vaka sayısı arasında açık bir ilişki kurar. Örneğin, bir birim normal dağılımın özelliklerini bilerek aşağıdaki soruları cevaplayabiliriz. Genel nüfusun ne kadarının mülkiyet ifadesi - \O+1o'ya kadar? Veya genel nüfusun rastgele seçilmiş bir temsilcisinin ortalama değerden daha büyük bir mülk yoğunluğuna sahip olma olasılığı nedir? İlk durumda, cevap tüm nüfusun% 68,26'sı olacaktır, çünkü -1'den +1'e kadar birim normal dağılım alanının 0,6826'sı vardır. İkinci durumda cevap: (100-99,72)/2 = %0,14.

Herhangi bir pozitif noktanın sağında eğrinin altında kalan alanı belirlemenizi sağlayan özel bir tablo bulunmaktadır. z (Ek 1). Bunu kullanarak, herhangi bir aralıktaki nitelik değerlerinin ortaya çıkma olasılığını belirleyebilirsiniz. Bu, test verilerinin yorumlanmasında yaygın olarak kullanılır.

Popülasyondaki özelliklerin normal dağılıma sahip olduğu yönündeki ilk varsayıma rağmen, bir örnekten elde edilen gerçek veriler nadiren normal dağılım gösterir. Üstelik verilerin hem örneklemdeki hem de evrendeki dağılımının niteliğine ilişkin herhangi bir varsayım olmaksızın analiz edilmesine olanak tanıyan birçok yöntem geliştirilmiştir. Bu koşullar bazen normal dağılımın psikolojiyle hiçbir ilgisi olmayan içi boş bir matematiksel soyutlama olduğu yönünde yanlış bir inanca yol açmaktadır. Ancak daha sonra göreceğimiz gibi normal dağılımın uygulanmasının en az üç önemli yönü vardır:

Test ölçeklerinin geliştirilmesi.

Karar vermek için örnekleme dağılımının normalliğinin kontrol edilmesi
özelliğin hangi ölçekte ölçüleceğine ilişkin kararlar - metrik veya geleneksel
özel

Özellikle riski belirlerken hipotezlerin istatistiksel olarak test edilmesi
yanlış karar vermek.

Standart normal dağılım. Dağılımların standardizasyonu.

(Standardizasyonla ilgili 12 numaralı sorunun tamamı için aşağıya bakınız)

091208-matmetody.txt

Standardizasyon psikodiagnostik yöntemler (bununla ilgili daha fazla bilgi 17 numaralı soruda)

Nüfus ve örnek.

091208-matmetody.txt

Genel popülasyonlar.

Herhangi bir psikodiagnostik teknik, belirli bir geniş insan kategorisini incelemek için tasarlanmıştır. Bu kümeye popülasyon denir.

Belirli bir kişide belirli bir özelliğin ifade derecesini belirlemek için, bu kalitenin tüm nüfusa nasıl dağıldığını bilmeniz gerekir. Genel nüfusu araştırmak neredeyse imkansızdır, bu nedenle genel nüfustan, yani genel nüfusun temsili bir kısmından bir örnek çıkarmaya başvururlar. Örneklem için temel gereklilik işte bu temsiliyettir (aksi halde buna "temsil edilebilirlik" denir). Bu gereksinimin tam olarak eşleşmesini sağlamak mümkün değildir. İdeale ancak belirli yöntemleri kullanarak yaklaşabilirsiniz. Başlıcaları 1) rastgelelik ve 2) modellemedir.

1) Rastgele örnekleme, deneklerin rastgele dahil edileceğini varsayar. Herhangi bir kalıp oluşmaması için önlemler alınıyor.

2) Modelleme yaparken öncelikle test sonuçlarını etkileyebilecek özellikler seçilir. Genellikle bunlar, derecelendirmelerin ayırt edildiği demografik özelliklerdir: yaş aralıkları, eğitim düzeyleri vb. Bu verilere dayanarak, genel nüfusun bir matris modeli oluşturulur.

Tipik olarak yöntemler 200 ila 800 kişiden oluşan bir örneklem üzerinde standartlaştırılır.

Psikodiagnostik yöntemlerin standardizasyonu, bireysel bir test sonucunu büyük bir grubun sonuçlarıyla karşılaştırmanıza olanak tanıyan bir ölçek elde etme prosedürüdür.

Araştırma genellikle gerçekleri kullanarak doğrulamayı gerektiren bazı varsayımlarla başlar. Bu varsayım - bir hipotez - belirli bir nesne kümesindeki fenomenlerin veya özelliklerin bağlantısıyla ilişkili olarak formüle edilir.

Bu tür varsayımları gerçeklere karşı test etmek için, bunların taşıyıcılarının karşılık gelen özelliklerini ölçmek gerekir. Ancak tüm ergenlerde saldırganlığı ölçmek mümkün olmadığı gibi, tüm kadın ve erkeklerde kaygıyı ölçmek de imkansızdır. Bu nedenle, araştırma yapılırken ilgili insan popülasyonlarının yalnızca nispeten küçük bir temsilci grubuyla sınırlıdır.

Nüfus- bu, bir araştırma hipotezinin formüle edildiği nesnelerin tamamıdır.

İlk örnekte, bu tür genel popülasyonların tamamı erkek ve tamamı kadındır. İkincisi ise şiddet sahneleri içeren televizyon programlarını izleyen tüm gençlerdir. Araştırmacının çalışmanın sonuçlarına dayanarak sonuçlar çıkaracağı genel popülasyonun boyutu daha mütevazı olabilir.

Bu nedenle, genel nüfus, sonsuz sayıda insan olmasa da, kural olarak, sürekli araştırma için erişilemeyen bir dizi potansiyel konudur.

Örnek- bu, genel popülasyondan özelliklerini incelemek için özel olarak seçilmiş, sayısı sınırlı (psikolojide - konular, katılımcılar) bir grup nesnedir. Buna göre, genel popülasyonun özelliklerinin bir örneklem kullanılarak incelenmesine denir. örnekleme çalışması. Neredeyse tüm psikolojik çalışmalar seçicidir ve sonuçları genel popülasyona uzanır.

Bu nedenle, bir hipotez formüle edildikten ve karşılık gelen popülasyonlar belirlendikten sonra araştırmacı, bir örneği organize etme sorunuyla karşı karşıya kalır. Örneklem, örnek çalışmanın sonuçlarının genelleştirilmesini haklı çıkaracak şekilde olmalıdır - genelleme, bunların genel popülasyona genişletilmesi. Atama için ana kriterleraraştırma bulgularının geçerliliği- bu numunenin temsililiğidir ve(ampirik) sonuçların istatistiksel güvenilirliği.

Numunenin temsililiği- başka bir deyişle, temsil edilebilirliği, numunenin, incelenen fenomeni genel popülasyondaki değişkenlikleri açısından oldukça tam olarak temsil etme yeteneğidir.

Elbette, incelenen olgunun tüm kapsamı ve değişkenlik nüansları ile ilgili tam bir resmini yalnızca genel nüfus verebilir. Dolayısıyla örneklemin sınırlı olması ölçüsünde temsiliyet de her zaman sınırlıdır. Araştırma bulgularının genelleme sınırlarının belirlenmesinde temel kriter ise örneklemin temsil gücüdür. Ancak yine de araştırmacı için yeterli temsili bir örneklem elde edilmesini mümkün kılan teknikler mevcuttur. (15.soru bu sorunun devamıdır)

Temel örnekleme yöntemleri.

İle. 13 (20) (14.soru bu sorunun başlangıcıdır)

İlk ve ana teknik basit rastgele (rastgele)seçim. Nüfusun her üyesinin örneğe dahil edilmek için diğerleriyle eşit şansa sahip olmasını sağlayacak koşulların sağlanmasını içerir. Rastgele seçim, genel popülasyonun çeşitli temsilcilerinin örneğe dahil edilebilmesini sağlar. Bu durumda seçim sırasında herhangi bir desenin ortaya çıkmaması için özel önlemler alınır. Bu da, sonuçta, örnekte incelenen özelliğin, tamamı olmasa da, mümkün olan maksimum çeşitlilikte temsil edileceğini ummamızı sağlar.

Temsil edilebilirliği sağlamanın ikinci yolu ise katmanlı rastgele seçim, veya popülasyonun özelliklerine göre seçim. İncelenen mülkün değişkenliğini etkileyebilecek niteliklerin (bu cinsiyet, gelir düzeyi veya eğitim vb. olabilir) ön tespitini içerir. Daha sonra genel popülasyonda bu niteliklerde farklılık gösteren grup (tabaka) sayısının yüzde oranı belirlenir ve örneklemdeki karşılık gelen grupların aynı yüzde oranı sağlanır. Daha sonra denekler, basit rastgele seçim ilkesine göre numunenin her bir alt grubuna seçilir.

İstatistiksel güvenilirlik, veya istatistiksel anlamlılık, bir çalışmanın sonuçları istatistiksel çıkarım yöntemleri kullanılarak belirlenir. Bu yöntemleri bu kitabın ikinci bölümünde ayrıntılı olarak ele alacağız. Şimdi sadece sayı için belirli gereksinimleri olduğunu not ediyoruz veya numune boyutu.

Ne yazık ki gerekli numune boyutunun önceden belirlenmesine yönelik katı kurallar yoktur. Dahası, araştırmacı genellikle gerekli ve yeterli sayı hakkındaki sorunun cevabını çok geç alır - ancak önceden araştırılmış bir numunenin verilerini analiz ettikten sonra. Ancak en genel öneriler şu şekilde formüle edilebilir:

□ Bir teşhis tekniği geliştirilirken en büyük örneklem büyüklüğü gereklidir - 200'den 1000-2500 kişiye kadar.

2 numunenin karşılaştırılması gerekiyorsa toplam sayıları şu şekilde olmalıdır:
en az 50 kişi olmak; karşılaştırılan örneklerin sayısı
yaklaşık olarak aynı olsun.

P Herhangi bir özellik arasındaki ilişki araştırılıyorsa örneklem büyüklüğü en az 30-35 kişi olmalıdır.

□ Daha fazla değişkenlik incelenmekte olan özellik ne kadar büyük olmalıdır
numune boyutu. Bu nedenle değişkenlik arttırılarak azaltılabilir.
örneğin cinsiyete, yaşa vb. göre homojenliği. Aynı zamanda,
Doğal olarak, sonuçları genelleştirme olasılıkları azalır.

Bağımlı ve bağımsız örnekler. Yaygın bir araştırma durumu, araştırmacının ilgisini çeken bir özelliğin daha fazla karşılaştırma amacıyla iki veya daha fazla örnek üzerinde çalışılmasıdır. Bu numuneler, organizasyon prosedürlerine bağlı olarak farklı oranlarda olabilir. Bağımsızgeçerli örnekler Bir örnekteki herhangi bir konunun seçilme olasılığının, başka bir örnekteki herhangi bir konunun seçimine bağlı olmaması gerçeğiyle karakterize edilir. Aykırı, bağımlı örnekler bir örnekteki her deneğin belirli bir kritere göre başka bir örnekteki bir denek ile eşleştirilmesiyle karakterize edilir.

Genel olarak, bağımlı örnekler, deneklerin karşılaştırılan örneklere ikili olarak seçilmesini içerir ve bağımsız örnekler, deneklerin bağımsız seçimini ifade eder.

"Kısmen bağımlı" (veya "kısmen bağımsız") numune durumlarının kabul edilemez olduğuna dikkat edilmelidir: bu, tahmin edilemeyecek şekilde temsiliyetlerini ihlal eder.

Sonuç olarak, iki psikolojik araştırma paradigmasının ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Sözde R-metodoloji belirli bir etkinin, faktörün veya başka bir özelliğin etkisi altında belirli bir özelliğin (psikolojik) değişkenliğinin incelenmesini içerir. Örnek çok- konu sayısı . Başka bir yaklaşım Q-metodoloji,çeşitli uyaranların (koşullar, durumlar vb.) etkisi altında bir konunun (bireyin) değişkenliğinin incelenmesini içerir. Şu duruma karşılık gelir: örnek birçok teşvik var .

Numunenin anormal değerler açısından kontrol edilmesi.

Normalliği test etmek için, ölçülen bir değişkenin örnekleme dağılımının normalden farklı olup olmadığını belirlemek amacıyla çeşitli prosedürler kullanılır. Böyle bir karşılaştırma ihtiyacı, niteliğin hangi ölçekte (sıralı veya metrik) temsil edildiğinden şüphe ettiğimizde ortaya çıkar. Ve bu tür şüpheler çok sık ortaya çıkıyor, çünkü kural olarak, incelenen özelliği hangi ölçekte ölçmenin mümkün olacağını önceden bilmiyoruz (tabii ki açıkça aday ölçüm durumları hariç).

Bir özelliğin hangi ölçekte ölçüldüğünü belirlemenin önemi, en az iki nedenden dolayı fazla tahmin edilemez. buna bağlı İlk önce, başlangıçtaki ampirik bilgilerin (özellikle bireysel farklılıklar hakkında) dikkate alınmasının bütünlüğü, ikincisi, Birçok veri analizi yönteminin kullanılabilirliği. Araştırmacı sıralı bir ölçekte ölçüm yapmaya karar verirse, o zaman kaçınılmaz olarak sonraki sıralama, konular, çalışılan gruplar, özellikler arasındaki ilişkiler vb. arasındaki farklar hakkındaki orijinal bilgilerin bir kısmının kaybına yol açar. Ek olarak, metrik veriler, analiz yöntemleri önemli ölçüde genişler ve sonuç olarak araştırma sonuçlarını daha derin ve anlamlı hale getirir.

Karakteristiğin metrik ölçekte ölçüldüğü gerçeğini destekleyen en ikna edici argüman, numune dağılımının normale uygunluğudur. Bu normal dağılım yasasının bir sonucudur. Eğer sen...Boroch dağılımı normal olandan farklı değildir, bu şu anlama gelir:ölçülen özellik metrik ölçeğe yansıdı(genellikle aralık).

Normalliği test etmenin birçok farklı yolu vardır; okuyucunun bu testleri bilgisayar programlarını kullanarak gerçekleştireceğini varsayarak yalnızca birkaçını kısaca açıklayacağız.

Grafik yöntemi(Q- Q Arsalar, R-RArsalar). Ya niceliksel grafikler ya da birikmiş frekansların grafiklerini oluştururlar. Kantil grafikleri (Q- Q Arsalar) aşağıdaki gibi inşa edilir. İlk olarak, incelenen özelliğin ampirik değerleri, 5., 10., ..., 95. yüzdelik dilime karşılık gelecek şekilde belirlenir. Daha sonra bu yüzdelik dilimlerin her biri için normal dağılım tablosundan Z-puanları (teorik) belirlenir. Ortaya çıkan iki sayı dizisi, grafikteki noktaların koordinatlarını belirtir: niteliğin ampirik değerleri apsis ekseninde çizilir ve karşılık gelen teorik değerler ordinat ekseninde çizilir. Normal bir dağılım için tüm noktalaraynı çizgiye veya yakınına basın. Noktalardan düz çizgiye olan mesafe ne kadar büyük olursa, dağılım o kadar az normale karşılık gelir. Birikmiş frekansların grafikleri (PPArsalar) benzer şekilde inşa edilirler. Birikmiş göreceli frekansların değerleri apsis ekseni üzerinde eşit aralıklarla, örneğin 0,05; 0,1; ...; 0.95. Daha sonra, z puanlarına dönüştürülen birikmiş frekansın her bir değerine karşılık gelen, incelenen özelliğin ampirik değerleri belirlenir. İlenormal dağılım tablosu teorik birikimi belirlerölçülen frekanslar (eğrinin altındaki alan) ordinat üzerinde çizilen hesaplanan r değerlerinin her biri için. Dağıtım isenormale karşılık gelir, grafikte elde edilen noktalar aynı üzerinde bulunurdoğrudan.

Çarpıklık ve basıklık kriterleri. Bu kriterler, çarpıklık ve basıklığın ampirik değerlerinin normal dağılıma karşılık gelen sıfır değerlerden izin verilen sapma derecesini belirler. Kabul edilebilir sapma derecesi, bu istatistiklerin normal parametrelerden önemli ölçüde farklı olmadığını düşünmemize izin veren derecedir. İzin verilen sapmaların miktarı, asimetri ve basıklığın standart hataları olarak adlandırılan hatalar tarafından belirlenir. Asimetri formülü (4.10) için standart hata aşağıdaki formülle belirlenir:

Nerede N- numune boyutu.

Çarpıklık ve basıklık örnek değerleri, standart hatalarını aşmadıkları takdirde sıfırdan önemli ölçüde farklıdır. Bu durum örnekleme dağılımının normal yasaya uygun olduğunun bir işareti olarak değerlendirilebilir. Bilgisayar programlarının asimetri, basıklık göstergelerini ve bunlara karşılık gelen standart hataları diğer, daha karmaşık formülleri kullanarak hesapladığı unutulmamalıdır.

Kolmogorov-Smirnov istatistiksel normallik testi Ampirik dağılımın normal dağılıma uygunluk derecesini belirlemek için en uygun olanı kabul edilir. Belirli bir örneğin normal dağılıma sahip bir popülasyona ait olma olasılığını tahmin etmenizi sağlar. Eğer bu olasılık R< 0,05 ise bu ampirik dağılım normalden önemli ölçüde farklılık gösterir ve eğer R> 0,05 ise bu ampirik dağılımın yaklaşık olarak normal dağılıma karşılık geldiği sonucuna varırlar.

Normallikten sapma nedenleri. Bir özelliğin örnek dağılımının şeklinin normal formdan sapmasının genel nedeni çoğunlukla ölçüm prosedürünün bir özelliğidir: kullanılan ölçek, değişkenlik aralığının farklı kısımlarında ölçülen özelliğe eşit olmayan bir duyarlılığa sahip olabilir. .

ÖRNEK Belirli bir yeteneğin ciddiyetinin, ayrılan sürede tamamlanan görevlerin sayısına göre belirlendiğini varsayalım. Görevler basitse veya süre çok uzunsa bu ölçüm prosedürü, bu görevlerin oldukça zor olduğu konuların yalnızca bir kısmı için yeterli duyarlılığa sahip olacaktır. Ve konuların çok büyük bir kısmı, görevlerin tamamını veya neredeyse tamamını çözecektir. Sonuç olarak, belirgin sağ taraflı asimetriye sahip bir dağılım elde edeceğiz. Elbette, daha karmaşık görevler ekleyerek veya belirli bir görev dizisini tamamlamak için gereken süreyi azaltarak ampirik normalleştirme yoluyla ölçümün kalitesini daha sonra geliştirmek mümkündür. Ölçüm prosedürünü aşırı derecede karmaşıklaştırırsak, deneklerin çoğu az sayıda görevi çözdüğünde ve ampirik dağılım sol taraflı bir asimetri elde ettiğinde tam tersi bir durum ortaya çıkacaktır.

Bu nedenle, sağ veya sol taraftaki asimetri veya çok büyük basıklık (0'dan büyük) gibi normal formdan sapmalar, mod bölgesindeki (frekans dağılım grafiğinin üst kısmı) ölçüm prosedürünün nispeten düşük hassasiyeti ile ilişkilidir. ).

Sapmanın sonuçları itibaren normallik. Normal yasaya tam olarak karşılık gelen ampirik bir dağılım elde etme görevinin araştırma pratiğinde sıklıkla karşılaşılmadığına dikkat edilmelidir. Tipik olarak bu tür durumlar, ampirik dağılımı "düzeltmek" için ampirik veya doğrusal olmayan normalleştirme uygulandığında yeni bir ölçüm prosedürünün veya test ölçeğinin geliştirilmesiyle sınırlıdır. çoğunluktanormalliğe uygunluk veya uygunsuzluk durumları işin doğası gereğidir.araştırmacının dikkate alması gereken, ölçülen özelliğin özelliğiVeri analizi için istatistiksel prosedürlerin seçimi.

Genel olarak ampirik dağılımda normalden önemli bir sapma varsa, özelliğin metrik ölçekte ölçüldüğü varsayımından vazgeçilmelidir. Ancak şu soru açık kalıyor: Bu sapmanın öneminin ölçüsü nedir? Ayrıca farklı veri analizi yöntemlerinin normallikten sapmalara karşı farklı hassasiyetleri vardır. Genellikle, bu sorunun beklentilerini haklı çıkarırken, modern istatistiğin "kurucu babalarından" biri olan R. Fisher'ın ilkesine atıfta bulunulur: "Normalden sapmalarBu türden olanlar, çok fark edilmedikleri sürece, yalnızca büyük boyutlarda tespit edilebilirler.yeni örnekler; istatistiksel değerlendirmede tek başlarına çok az fark yaratırlarria ve diğer konular."Örneğin, psikolojik araştırmalar için küçük ama tipik örneklerle (50 kişiye kadar), Kolmogorov-Smirnov kriteri, normallikten "gözle" çok belirgin sapmaları bile belirlemede yeterince hassas değildir. Aynı zamanda, metrik verileri analiz etmeye yönelik bazı prosedürler, normal dağılımdan sapmalara tamamen izin verir (bazıları daha büyük ölçüde, diğerleri daha az ölçüde). Gelecekte materyali sunarken, gerekirse normallik gereksiniminin katılık derecesini de şart koşacağız.

Psikodiagnostik tekniklerin standardizasyonu için temel kurallar.

091208-matmetody.txt

Standardizasyon psikodiagnostik yöntemler bireysel bir test sonucunu büyük bir grubun sonuçlarıyla karşılaştırmanıza olanak tanıyan bir ölçek elde etme prosedürüdür.

Test ölçekleri, bireysel bir test sonucunun, bir standardizasyon örneğinden elde edilen test normlarıyla karşılaştırılarak değerlendirilmesi amacıyla geliştirilmiştir. Standardizasyon örneklemesi Bir test ölçeğinin geliştirilmesi için özel olarak oluşturulmuştur - bu testin kullanılması planlanan genel popülasyonu temsil etmesi gerekir. Daha sonra test yapılırken hem test edilen kişinin hem de standardizasyon örneğinin aynı genel popülasyona ait olduğu varsayılır.

Bir test ölçeği geliştirirken başlangıç ​​prensibi, ölçülen özelliğin genel popülasyonda normal yasaya uygun olarak dağıldığı varsayımıdır. Buna göre standardizasyon numunesi üzerindeki test ölçeğinde bu özelliğin ölçülmesinin de normal bir dağılım sağlaması gerekmektedir. Durum böyleyse, test ölçeği metriktir, daha doğrusu eşit aralıklardır. Durum böyle değilse, o zaman özellik en iyi ihtimalle sipariş ölçeğine yansıtılabilir. Doğal olarak, çoğu standart test ölçeği metriktir; bu, normal dağılımın özelliklerini dikkate alarak test sonuçlarını daha ayrıntılı olarak yorumlamanıza ve herhangi bir istatistiksel analiz yöntemini doğru şekilde uygulamanıza olanak tanır. Dolayısıyla standardın temel sorunutest testi dağılımını gösteren bir ölçek geliştirmektir.Standardizasyon numunesindeki test göstergelerinin azaltılması,normal dağılım.

İlk test puanları, belirli test sorularına verilen yanıtların sayısı, çözülen problemlerin süresi veya sayısı vb.'dir. Bunlara ayrıca birincil veya "ham" puanlar da denir. Standardizasyonun sonucu test normlarıdır - "ham" notları standart test ölçeklerine dönüştürmek için bir tablo.

Temel amacı bireysel test sonuçlarını yorumlanmaya uygun bir biçimde sunmak olan birçok standart test ölçeği vardır. Bu ölçeklerden bazıları Şekil 1’de sunulmaktadır. 5.5. Ortak noktaları normal dağılıma uygunluktur ve yalnızca iki göstergede farklılık gösterirler: ortalama değer ve ölçeğin ayrıntı düzeyini belirleyen ölçek (standart sapma - o).

Genel standardizasyon sırası(test standartlarının geliştirilmesi - “ham” notları standart test puanlarına dönüştürmek için tablolar) aşağıdaki gibidir:

Geliştirildiği genel nüfus belirlenir
metodoloji ve temsili bir standardizasyon örneği oluşturulur;

Testin birincil versiyonunun uygulanmasının sonuçlarına dayanarak bir dağılım
“ham” tahminlerin belirlenmesi;

Ortaya çıkan dağılımın normale uygunluğunu kontrol edin
kon;

“ham” tahminlerin dağılımı normale karşılık geliyorsa, pro-
taciz edilmiş doğrusal standardizasyon;

"ham" tahminlerin dağılımı normale karşılık gelmiyorsa, o zaman
iki seçenek mümkündür:

Doğrusal standardizasyondan önce ampirik bir norm üretilir -
lizasyon;

Doğrusal olmayan normalleştirmeyi gerçekleştirin.

"Ham" tahminlerin dağılımı, bu bölümün ilerleyen kısımlarında ele alacağımız özel kriterler kullanılarak normal yasaya uygunluk açısından kontrol edilir.

Doğrusal standardizasyon standart test göstergelerine karşılık gelen “ham” tahmin aralıklarının sınırlarının belirlenmesinde yatmaktadır. Bu sınırlar, ortalama "ham" puanlara test ölçeğine karşılık gelen standart sapma paylarının eklenmesiyle (veya bundan çıkarılmasıyla) hesaplanır.

Test standartları - “ham” noktaları duvarlara dönüştürmek için tablo

Bu test normları tablosu kullanılarak, bireysel sonuç (“ham” puan), ölçülen özelliğin ciddiyetinin yorumlanmasına olanak tanıyan bir duvar ölçeğine dönüştürülür.

Ampirik normalleştirme“Ham” puanların dağılımı normalden farklı olduğunda kullanılır. Test görevlerinin içeriğinin değiştirilmesinden oluşur. Örneğin, "ham" puan, ayrılan sürede sınava girenlerin çözdüğü problemlerin sayısıysa ve sağ taraflı asimetriye sahip bir dağılım elde edilirse, bu, sınava girenlerin çok büyük bir kısmının daha fazla çözdüğü anlamına gelir. görevlerin yarısından fazlası. Bu durumda ya daha zor görevleri eklemek ya da çözüm süresini kısaltmak gerekir.

Doğrusal olmayan normalleştirmeÖrneğin zaman ve kaynaklar açısından ampirik normalleştirme imkansızsa veya istenmiyorsa kullanılır. Bu durumda, "ham" tahminlerin standart tahminlere dönüştürülmesi, standart ölçeğin normal dağılımındaki grupların yüzdelik sınırlarına karşılık gelen orijinal dağılımdaki grupların yüzdelik sınırlarının bulunmasıyla gerçekleştirilir. Standart ölçeğin her aralığı, standardizasyon örneğinin aynı yüzdesini içeren "ham" derecelendirme ölçeğinin bir aralığı ile ilişkilidir. Payların değerleri, standart ölçeğin belirli bir aralığına karşılık gelen r-tahminleri arasında yer alan birim normal eğrinin altındaki alan tarafından belirlenir.

Örneğin, alt sınır duvarı 10'a hangi "ham" puanın karşılık gelmesi gerektiğini belirlemek için öncelikle bu sınırın hangi r değerine karşılık geldiğini bulmanız gerekir. (z = 2). Daha sonra normal dağılım tablosunu (Ek 1) kullanarak normal eğri altında kalan alanın ne kadarının bu değerin (0,023) sağında olduğunu belirlemek gerekir. Bundan sonra standardizasyon örneğinin “ham” puanlarının en yüksek değerlerinin %2,3'ünü hangi değerin kestiği belirlenir. Bulunan değer 9. ve 10. duvarların sınırına karşılık gelecektir.

Psikodiagnostiklerin belirtilen temelleri, test için matematiksel olarak sağlam gereksinimleri formüle etmemize olanak tanır. Test prosedürü uygun olmalıdırtutmak:

standardizasyon örneğinin açıklaması;

ortalamayı gösteren “ham” puanların dağılımının özellikleri ve
standart sapma;

standart ölçeğin adı, özellikleri;

test normları - “ham” puanları ölçek puanlarına dönüştürmek için tablolar.

Z-puanı ölçeği. (???)

091208-matmetody.txt

Standartlaştırılmış (veya standart) sapma genellikle Z harfiyle gösterilir. (Defterdeki Şekil 1) Z puanları elde edilir.

Normal dağılımlar arasında özel bir yer, standart veya birim normal dağılım olarak adlandırılan dağılım tarafından işgal edilir. Bu dağılım aritmetik ortalamanın sıfır ve standart sapmanın 1 olması koşuluyla elde edilir. Normal dağılım uygundur çünkü herhangi bir dağılım standardizasyonla ona indirgenebilir.

Standardizasyon işlemi şu şekildedir: aritmetik ortalama her bir parametre değerinden çıkarılır. Bu işleme merkezleme denir. Ve ortaya çıkan fark standart sapmaya bölünür. Bu işleme normalleştirme denir.

İle. 47 (54) (orada ölçeklerin bulunduğu resme bakın)

izleme2.htm

Dolayısıyla, belirli bir deneğin puanını ortalamadan çıkarırsak ve farkı standart sapmaya bölersek, bireysel puanı standart sapmanın bir kesri olarak ifade edebiliriz. Bu şekilde elde edilen tanısal paylara Z-skoru adı verilmektedir. Z puanı herhangi bir standart ölçeğin temelidir. Z-puanlarının en ilgi çekici özelliği, ortalama ve standart sapmadan bağımsız olarak, grubun tüm sonuçları arasında denek sonucunun göreceli konumunu karakterize etmesidir. Ayrıca z-puanları birimden bağımsızdır. Z-puanlarının bu iki özelliği sayesinde, çeşitli yollarla ve davranış örneğinin çeşitli yönleriyle elde edilen sonuçları karşılaştırmak için kullanılabilirler.

Stanin ölçeği
Duvar ölçeği
T ölçeği
IQ ölçeği

Z-puanı ölçeğinden türetilen ölçekler.

izleme2.htm (Standardizasyon ve standart sapma konusunda da iyi bir başlangıç ​​var)

Z-puanının dezavantajı ise kesirli ve negatif değerlerle uğraşmak zorunda olmanızdır.. Bu nedenle genellikle kullanımı daha uygun olan standart ölçeklere dönüştürülür. Geleneksel olarak ve teşhiste diğerlerinden daha sık olarak aşağıdaki ölçekler kullanılır:

Stanin ölçeği
Duvar ölçeği
T ölçeği
IQ ölçeği

İle. 47 (54) (orada ölçeklerin bulunduğu resme bakın)

0028.htm 7. Psikolojik anketin standardizasyonu

Test göstergelerinin normalleştirilmesi.

Psikolojik anketin pratik olarak kullanılabilmesi için; Rastgele seçilmiş bir konu tarafından tamamlanmasına dayalı olarak yeni durumlardaki davranışına ilişkin bir tahminde bulunmak için (bu anketin geçerlilik kriterlerini kullanarak), normatif bir örnek üzerindeki göstergeleri normalleştirmek gerekir. Yalnızca istatistiksel standartların kullanılması, belirli bir konudaki belirli bir psikolojik niteliğin ciddiyetindeki artışı veya azalışı yargılamayı mümkün kılar. Uygulamalı psikoloji için normlar önemli olsa da, psikolojik araştırmalar için ham ölçümleri doğrudan kullanmak en kolay yoldur.

Belirli bir konunun performansı, yeterli bir normatif grubun performansıyla karşılaştırılmalıdır. Bu, o bireyin gruba göre durumunu ortaya çıkaran bir dönüşüm yoluyla gerçekleştirilir.

Ham ölçek değerlerinin doğrusal ve doğrusal olmayan dönüşümleri. Standart göstergeler, birincil göstergelerin hem doğrusal hem de doğrusal olmayan dönüşümüyle elde edilebilir. Doğrusal dönüşümler, bir sabitin birincil göstergeden çıkarılması ve başka bir sabite bölünmesiyle elde edilir, bu nedenle birincil göstergelerin karakteristik tüm ilişkileri doğrusal olanlar için de geçerlidir. En sık kullanılanı z-skorudur (Formül 3).

Ancak final puanlarının şu veya bu ölçekteki dağılımının çoğu zaman normal olmaması nedeniyle, bu standartlaştırılmış göstergelerden yüzdelikler elde edilemez; Deneklerin yüzde kaçının verilen denek ile aynı göstergeyi aldığını tahmin edin.

Duvarlara dönüştürme ile yüzdelik normalleştirme ve duvarlara dönüştürme ile doğrusal normalleştirme aynı duvar değerlerini verirse, bu durumda dağılım standart onluk değer dahilinde normal kabul edilir.

Farklı şekillerin dağılımlarına ait sonuçların karşılaştırılabilirliğini sağlamak için doğrusal olmayan bir dönüşüm uygulanabilir.

Doğrusal olmayan bir dönüşüm kullanılarak elde edilen normalleştirilmiş standart puanlar, normal hale gelecek şekilde dönüştürülmüş bir dağılıma karşılık gelen standart puanlardır. Bunları hesaplamak için ham noktaları standart olanlara dönüştürmek için özel tablolar oluşturulur. Çeşitli derecelerde sapma durumlarının yüzdesini verirler (ortalama değerden σ birimi cinsinden). Böylece grubun sonuçlarının %50'sine ulaşmaya karşılık gelen ortalama değer 0'a eşitlenebilir. Ortalama eksi standart sapma -1'e eşitlenebilir, bu yeni değer örneklemin yaklaşık %16'sında gözlemlenecek ve değer +1 - yaklaşık %84'te.

“Konuşma terapisi gruplarının çalışması” çalışması; 2. “Okul kantinlerinde hijyen standartlarına uygunluk”; 3. "Ah iş Voyvodalık özel (ıslah) okulunun idaresi...

2.6 Çarpıklık ve basıklık

Matematiksel istatistikte, bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun geometrik formunu belirlemek için üçüncü ve dördüncü derecenin merkezi momentleriyle ilişkili iki sayısal özellik kullanılır.

Tanım 2.22 Örnek asimetri katsayısıX 1 , X 2 , …, X Nüçüncü dereceden merkezi numune momentinin standart sapmanın küpüne oranına eşit bir sayıdır S:

O zamandan beri , daha sonra asimetri katsayısı merkezi momentler aracılığıyla aşağıdaki formülle ifade edilir:

Buradan başlangıç ​​momentleri boyunca asimetri katsayısını ifade eden bir formül elde ederiz:

pratik hesaplamaları kolaylaştırır.

İlgili teorik karakteristik, teorik noktalar kullanılarak tanıtılır.

Tanım 2.23 Bir rastgele değişkenin asimetri katsayısıXaranan numaraüçüncü dereceden merkezi moment oranına eşitstandart sapmanın küpüne göre:

Rastgele bir değişken X, matematiksel beklenti μ'ye göre simetrik bir dağılıma sahipse, teorik asimetri katsayısı 0'a eşit olur, ancak olasılık dağılımı asimetrikse asimetri katsayısı sıfırdan farklıdır. Asimetri katsayısının pozitif bir değeri, rastgele değişkenin değerlerinin çoğunun matematiksel beklentinin sağında bulunduğunu, yani olasılık yoğunluk eğrisinin sağ dalının soldan daha uzun olduğunu gösterir. Asimetri katsayısının negatif bir değeri, eğrinin daha uzun kısmının solda bulunduğunu gösterir. Bu ifade aşağıdaki şekil ile gösterilmektedir.

Şekil 2.1 – Pozitif ve negatif asimetri

dağılımlar

Örnek 2.29Örnek 2.28'deki stresli durumların incelenmesinden elde edilen verilere dayanarak örnek asimetri katsayısını bulalım.

Merkezi örnek momentlerin önceden hesaplanan değerlerini kullanarak şunu elde ederiz:

.

Yuvarlama = 0,07. Asimetri katsayısının sıfırdan farklı bulunan değeri, dağılımın ortalamaya göre çarpıklığını göstermektedir. Pozitif bir değer, olasılık yoğunluk eğrisinin daha uzun dalının sağda olduğunu gösterir.

Aşağıdaki sabit, rastgele değişken değerlerinin modal değeri X modları etrafındaki dağılımını karakterize eder.

Tanım 2.24 Numunenin basıklığıX 1 , X 2 , …, X Naranan numara , eşit

,

Nerede– dördüncü derecenin seçici merkezi anı,

S 4 – dördüncü derece standartsapmalarS.

Basıklığın teorik kavramı örneklemenin bir benzeridir.

Tanım 2.25 Rastgele değişkenin basıklığıXaranan numara e, eşit

,

Nerede– teorik dördüncü dereceden merkezi moment,

–dördüncü derece standart sapma.

Basıklık değeri e maksimum nokta etrafındaki dağılım yoğunluk eğrisinin üst kısmının göreceli dikliğini karakterize eder. Basıklık pozitif bir sayıysa karşılık gelen dağılım eğrisi daha keskin bir zirveye sahiptir. Negatif basıklığa sahip bir dağılımın tepesi daha yumuşak ve düzdür. Aşağıdaki şekil olası durumları göstermektedir.

Şekil 2.2 – Pozitif, sıfır ve negatif basıklık değerlerine sahip dağılımlar

Çarpıklık SKES fonksiyonu ile hesaplanır. Bağımsız değişkeni, veri içeren hücrelerin aralığıdır; örneğin, eğer veriler A1'den A100'e kadar olan hücre aralığında yer alıyorsa =SKES(A1:A100).

Basıklık, argümanı sayısal veriler olan ve genellikle hücre aralığı olarak belirtilen KURTESS işlevi tarafından hesaplanır, örneğin: =KURTESS(A1:A100).

§2.3. Analiz Aracı Tanımlayıcı İstatistikler

İÇİNDE excel analiz aracını kullanarak bir numunenin tüm nokta özelliklerini tek seferde hesaplamak mümkündür Tanımlayıcı İstatistikler, içinde yer alan Analiz paketi.

Tanımlayıcı İstatistikler veri seti için temel istatistiksel özelliklerin bir tablosunu oluşturur. Bu tablo şu özellikleri içerecektir: ortalama, standart hata, dağılım, standart sapma, mod, medyan, aralık değişim aralığı, maksimum ve minimum değerler, asimetri, basıklık, popülasyon hacmi, tüm popülasyon elemanlarının toplamı, güven aralığı (güvenilirlik düzeyi) ). Alet Tanımlayıcı İstatistiklerİstatistiksel özellikleri ayrı ayrı hesaplamak için her işlevi çağırmaya gerek kalmaması nedeniyle istatistiksel analizi önemli ölçüde basitleştirir.

Aramak için Tanımlayıcı istatistikler, şöyle:

1) menüde Hizmet bir takım seç Veri Analizi;

2) listede Analiz Araçları iletişim kutusu Veri Analizi enstrüman seç Tanımlayıcı İstatistikler ve tuşuna basın TAMAM.

pencerede Tanımlayıcı İstatistikler gerekli:

· bir grupta Giriş verileri sahada Giriş aralığı veri içeren hücre aralığını belirtin;

· giriş aralığındaki ilk satır bir sütun başlığı içeriyorsa, o zaman İlk satırdaki Etiketler alanı kontrol edilmeli;

· bir grupta Çıkış Seçenekleri anahtarı etkinleştirin (kutuyu işaretleyin) Özet istatistikler, özelliklerin tam listesine ihtiyacınız varsa;

· anahtarı etkinleştirin Güvenilirlik düzeyi ve bir güven aralığı hesaplamanız gerekiyorsa güvenilirliği % olarak belirtin (varsayılan güvenilirlik %95'tir). Tıklamak TAMAM.

Sonuç olarak, yukarıdaki istatistiksel özelliklerin hesaplanan değerlerini içeren bir tablo görünecektir. Hemen bu tablonun seçimini kaldırmadan şu komutu çalıştırın: Biçim® Kolon® Otomatik genişlik seçimi.

İletişim kutusu görünümü Tanımlayıcı İstatistikler:

Pratik görevler

2.1. Standart fonksiyonları kullanarak temel nokta istatistiklerinin hesaplanması excel

Aynı voltmetre devrenin bir bölümündeki voltajı 25 kez ölçtü. Deneyler sonucunda volt cinsinden aşağıdaki voltaj değerleri elde edildi:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

Ortalamayı, örneği ve düzeltilmiş varyansı, standart sapmayı, varyasyon aralığını, modu, medyanı bulun. Çarpıklık ve basıklığı hesaplayarak normal dağılımdan sapmayı test edin.

Bu görevi tamamlamak için aşağıdaki adımları tamamlayın.

1. Deneyin sonuçlarını A sütununa yazın.

2. B1 hücresinde “Ortalama”, B2’de – “Örnek varyans”, B3’te – “Standart sapma”, B4’te – “Düzeltilmiş varyans”, B5’te – “Düzeltilmiş standart sapma”, B6’da – “Maksimum”, B7’de – “Minimum”, B8’de – “Varyasyon Açıklığı”, B9’da – “Mod”, B10’da – “Medyan”, B11’de – “Asimetri”, B12’de – “Basitlik”.

3. Bu sütunun genişliğini kullanarak ayarlayın. Otomatik seçim Genişlik.

4. C1 hücresini seçin ve formül çubuğunda “=” işaretli düğmeye tıklayın. Kullanarak İşlev Sihirbazları kategoride İstatistiksel ORTALAMA işlevini bulun, ardından veri hücresi aralığını vurgulayın ve TAMAM.

5. C2 hücresini seçin ve formül çubuğundaki = işaretini tıklayın. Kullanarak İşlev Sihirbazları kategoride İstatistiksel VAR işlevini bulun, ardından veri hücresi aralığını vurgulayın ve tıklayın. TAMAM.

6. Kalan özellikleri hesaplamak için aynı adımları kendiniz yapın.

7. C8 hücresindeki varyasyon aralığını hesaplamak için şu formülü girin: =C6-C7.

8. Tablonuzun önüne, ilgili sütunların başlıklarını yazın: "Özelliklerin adı" ve "Sayısal değerler".