Trigonometride birçok formülün türetilmesi ezberlemekten daha kolaydır. Çift açının kosinüsü harika bir formül! Dereceleri azaltmak için formüller ve yarım açılar için formüller elde etmenizi sağlar.
Yani çift açının kosinüsüne ve trigonometrik birime ihtiyacımız var:
Hatta benzerler: çift açılı kosinüs formülünde kosinüs ve sinüsün kareleri arasındaki farktır ve trigonometrik birimde bunların toplamıdır. Kosinüsü trigonometrik birimden ifade edersek:
ve onu çift açının kosinüsüne koyarsak şunu elde ederiz:
Bu başka bir çift açılı kosinüs formülüdür:
Bu formül indirgeme formülünü elde etmenin anahtarıdır:
Yani sinüs derecesini azaltma formülü şöyledir:
İçinde alfa açısı yarı yarıya alfa açısıyla değiştirilirse ve iki alfa çift açısı bir alfa açısıyla değiştirilirse, sinüs için yarım açı formülünü elde ederiz:
Artık sinüsü trigonometrik birimden ifade edebiliriz:
Bu ifadeyi çift açılı kosinüs formülünde yerine koyalım:
Çift açının kosinüsü için başka bir formülümüz var:
Bu formül, kosinüsün gücünü ve kosinüsün yarım açısını azaltacak formülü bulmanın anahtarıdır.
Dolayısıyla kosinüs derecesini azaltma formülü şöyledir:
α'yı α/2 ile ve 2α'yı α ile değiştirirsek, kosinüsün yarı argümanının formülünü elde ederiz:
Teğet sinüsün kosinüse oranı olduğundan teğet formülü şöyledir:
Kotanjant kosinüsün sinüse oranıdır. Bu nedenle kotanjant formülü şöyledir:
Elbette trigonometrik ifadelerin basitleştirilmesi sürecinde her seferinde yarım açının formülünü çıkarmanın veya bir dereceyi azaltmanın bir anlamı yok. Önünüze formüllerin olduğu bir kağıt koymak çok daha kolaydır. Sadeleştirme daha hızlı ilerleyecek ve görsel hafıza ezberlemeyi etkinleştirecek.
Ancak yine de bu formülleri birkaç kez türetmeye değer. O zaman sınav sırasında kopya kağıdı kullanmanın mümkün olmadığı durumlarda, ihtiyaç duyulması halinde kopya kağıdını kolayca alacağınızdan kesinlikle emin olacaksınız.
Şimdi çok açılı trigonometrik fonksiyonların grafiğinin nasıl çizileceği sorusuna bakacağız. ωx, Nerede ω - bazı pozitif sayılar.
Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için y = günah ωx Bu fonksiyonu daha önce incelediğimiz fonksiyonla karşılaştıralım. y = günah x. Diyelim ki ne zaman x = x 0 işlev y = günah x 0'a eşit değeri alır. Daha sonra
y 0 = günah X 0 .
Bu ilişkiyi şu şekilde dönüştürelim:
Bu nedenle fonksiyon y = günah ωx en X = X 0 / ω aynı değeri alır en 0 işleviyle aynı olan y = günah x en x = X 0 . Bu şu anlama gelir: işlev y = günah ωx anlamlarını tekrarlıyor ω işlevden kat daha sık y = günah x. Bu nedenle fonksiyonun grafiği y = günah ωx fonksiyonun grafiğinin "sıkıştırılmasıyla" elde edilir y = günah x V ω x ekseni boyunca kere.
Örneğin bir fonksiyonun grafiği y = günah 2x bir sinüzoidin “sıkıştırılmasıyla” elde edilir y = günah x x ekseni boyunca iki kez.
Bir fonksiyonun grafiği y = günah x / 2 sinüzoid y = sin x'in iki kez "gerilmesiyle" (veya şu şekilde "sıkıştırılmasıyla") elde edilir: 1 / 2 kez) x ekseni boyunca.
Fonksiyondan beri y = günah ωx anlamlarını tekrarlıyor ω
işlevden kat daha sık
y = günah x, o zaman periyodu ω
fonksiyonun süresinden kat daha az y = günah x. Örneğin, fonksiyonun periyodu y = günah 2x eşittir 2π/2 = π
ve fonksiyonun periyodu y = günah x / 2
eşittir π
/
X/ 2
= 4π .
Fonksiyonun davranışını incelemek ilginçtir y = günah baltası programda çok kolay bir şekilde oluşturulabilecek animasyon örneğini kullanarak Akçaağaç:
Çok açılı diğer trigonometrik fonksiyonların grafikleri de benzer şekilde oluşturulur. Şekil fonksiyonun grafiğini göstermektedir y = çünkü 2x kosinüs dalgasının "sıkıştırılmasıyla" elde edilen y = çünkü x x ekseni boyunca iki kez.
Bir fonksiyonun grafiği y = çünkü x / 2 kosinüs dalgasının "gerilmesiyle" elde edilir y = çünkü x x ekseni boyunca iki katına çıkar.
Şekilde fonksiyonun grafiğini görüyorsunuz y = ten rengi 2x, tanjantoidlerin "sıkıştırılmasıyla" elde edilir y = ten rengi x apsis ekseni boyunca iki kez.
Bir fonksiyonun grafiği y = tg X/ 2 , tanjantoidlerin "gerilmesiyle" elde edilir y = ten rengi x x ekseni boyunca iki katına çıkar.
Ve son olarak programın gerçekleştirdiği animasyon Akçaağaç:
Egzersizler
1. Bu fonksiyonların grafiklerini oluşturun ve bu grafiklerin koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaların koordinatlarını belirtin. Bu fonksiyonların periyotlarını belirleyiniz.
A). y = günah 4x/ 3 G). y = ten rengi 5x/ 6 Ve). y = çünkü 2x/ 3
B). y=cos 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3
V). y = ten rengi 4x/ 3 e). y = günah 2x/ 3
2. Görevlerin periyotlarını belirleyin y = günah (πх) Ve y = tg (πх/2).
3. -1'den +1'e kadar (bu iki sayı dahil) tüm değerleri alan ve 10'uncu periyotla periyodik olarak değişen iki fonksiyon örneği verin.
4 *. 0'dan 1'e kadar tüm değerleri alan (bu iki sayı dahil) ve bir nokta ile periyodik olarak değişen fonksiyonlara iki örnek verin π/2.
5. Tüm gerçek değerleri alan ve periyot 1 ile periyodik olarak değişen iki fonksiyon örneği verin.
6 *. Tüm negatif değerleri ve sıfırı kabul eden, ancak pozitif değerleri kabul etmeyen, 5 periyotla periyodik olarak değişen fonksiyonlara iki örnek verin.
Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler belirtilmiştir trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.
Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.
Sayfada gezinme.
Temel trigonometrik kimlikler
Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.
Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.
Azaltma formülleri
Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.
Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.
Toplama formülleri
Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.
İkili, üçlü vb. formüller. açı
İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.
Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı
Yarım açı formülleri
Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.
Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.
Derece azaltma formülleri
Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller trigonometrik fonksiyonların doğal kuvvetlerinden birinci dereceden sinüs ve kosinüslere, ancak çoklu açılara geçişi kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.
Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller
Ana amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.
Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller
Trigonometrik fonksiyonların ürününden bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.
Evrensel trigonometrik ikame
Trigonometrinin temel formüllerine ilişkin incelememizi, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eden formüllerle tamamlıyoruz. Bu değiştirme çağrıldı evrensel trigonometrik ikame. Kolaylığı, tüm trigonometrik fonksiyonların, kökleri olmadan rasyonel olarak yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilmesi gerçeğinde yatmaktadır.
Referanslar.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
- Bashmakov M. I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir
Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. Sitenin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.
