Paralelkenarın açısı nedir? Paralelkenarın açılarının ve alanının toplamını hesaplayın: özellikleri ve özellikleri

Paralelkenar, karşıt kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir (Şekil 233).

Rastgele bir paralelkenar için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.

Kanıt. ABCD paralelkenarında AC köşegenini çiziyoruz. ACD ve AC B üçgenleri, ortak bir AC kenarına ve ona bitişik iki eşit açı çiftine sahip olduklarından eşittir:

(AD ve BC paralel çizgileriyle çapraz açılar gibi). Bu, eşit üçgenlerin kenarlarının eşit açılara karşı olması gibi, bunun da kanıtlanması gerektiği anlamına gelir.

2. Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir:

3. Bir paralelkenarın bitişik açıları, yani bir tarafa bitişik açıların toplamı vb.

2 ve 3 numaralı özelliklerin kanıtı, paralel doğrular için açıların özelliklerinden hemen elde edilir.

4. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktalarında birbirini ortalar. Başka bir deyişle,

Kanıt. AOD ve BOC üçgenleri, AD ve BC kenarları eşit olduğundan (özellik 1) ve onlara komşu açılar (paralel çizgiler için çapraz açılar gibi) eşit olduğundan uyumludur. Buradan bu üçgenlerin karşılık gelen kenarlarının eşit olduğu sonucu çıkıyor: AO, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Bu dört özelliğin her biri bir paralelkenarı karakterize eder veya dedikleri gibi, onun karakteristik özelliğidir, yani bu özelliklerden en az birine sahip olan her dörtgen bir paralelkenardır (ve dolayısıyla diğer üç özelliğin tümüne sahiptir).

İspatı her özellik için ayrı ayrı yapalım.

1". Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde eşitse, bu bir paralelkenardır.

Kanıt. ABCD dörtgeninin sırasıyla AD ve BC, AB ve CD kenarları eşit olsun (Şekil 233). AC köşegenini çizelim. ABC ve CDA üçgenleri, üç çift eşit kenara sahip olacak şekilde eş olacaktır.

Ancak bu durumda BAC ve DCA açıları eşittir ve . BC ve AD kenarlarının paralelliği CAD ve ACB açılarının eşitliğinden kaynaklanır.

2. Bir dörtgenin karşılıklı iki açısı eşitse bu bir paralelkenardır.

Kanıt. İzin vermek . O zamandan beri AD ve BC kenarları paraleldir (doğruların paralelliğine göre).

3. Formülasyonu ve kanıtını okuyucuya bırakıyoruz.

4. Bir dörtgenin köşegenleri kesişme noktasında birbirini ortalıyorsa bu dörtgen bir paralelkenardır.

Kanıt. Eğer AO = OS, BO = OD ise (Şekil 233), bu durumda AOD ve BOC üçgenleri eşittir, çünkü O köşesinde eşit açılara (dikey!) sahiptirler ve eşit AO ve CO, BO ve DO kenar çiftleri arasında çevrelenirler. Üçgenlerin eşitliğinden AD ve BC kenarlarının eşit olduğu sonucunu çıkarıyoruz. AB ve CD kenarları da eşittir ve G karakteristiğine göre dörtgen bir paralelkenar olarak ortaya çıkar.

Dolayısıyla, belirli bir dörtgenin paralelkenar olduğunu kanıtlamak için dört özellikten herhangi birinin geçerliliğini doğrulamak yeterlidir. Okuyucu, paralelkenarın başka bir karakteristik özelliğini bağımsız olarak kanıtlamaya davet edilir.

5. Bir dörtgenin bir çift eşit, paralel kenarı varsa bu bir paralelkenardır.

Bazen bir paralelkenarın herhangi bir çift paralel kenarına tabanlar denir, daha sonra diğer ikisine yan kenarlar denir. Paralelkenarın iki kenarına dik olan ve aralarında kalan düz çizgi parçasına paralelkenarın yüksekliği denir. Şekil 2'deki paralelkenar 234'ün AD ve BC kenarlarına çizilen bir h yüksekliği vardır, ikinci yüksekliği ise segmenti ile temsil edilir.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavı 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

Ders konusu

• Paralelkenarın köşegenlerinin özellikleri.

Ders Hedefleri

• Yeni tanımlarla tanışın ve daha önce çalışılmış olanlardan bazılarını hatırlayın.
• Paralelkenarın köşegenlerinin özelliklerini belirtiniz ve kanıtlayınız.
• Problemleri çözerken şekillerin özelliklerini uygulamayı öğrenin.
• Gelişimsel – öğrencilerin dikkatini, azmini, azmini, mantıksal düşünmesini, matematiksel konuşmasını geliştirmek.
• Eğitim - ders aracılığıyla birbirlerine karşı özenli bir tutum geliştirin, yoldaşları dinleme yeteneğini, karşılıklı yardımlaşmayı ve bağımsızlığı aşılayın.

Ders Hedefleri

• Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.

Ders Planı

1. Açılış konuşmaları.
2. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.
3. Paralelkenar, özellikleri ve özellikleri.
4. Görev örnekleri.
5. Kendi kendine kontrol.

giriiş

"Büyük bir bilimsel keşif, büyük bir soruna çözüm sağlar, ancak her sorunun çözümünde bir miktar keşif vardır."

Paralelkenarın zıt kenarlarının özelliği

Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

Kanıt.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. Ve köşegenlerinin O noktasında kesişmesine izin verin.
Üçgenlerin eşitliğinin ilk kriterine göre Δ AOB = Δ COD olduğundan (∠ AOB = ∠ COD, dikey olanlar olarak, AO=OC, DO=OB, paralelkenarın köşegenlerinin özelliğine göre), AB=CD. Aynı şekilde BOC ve DOA üçgenlerinin eşitliğinden BC = DA sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.

Paralelkenarın zıt açılarının özelliği

Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir.

Kanıt.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. Ve köşegenlerinin O noktasında kesişmesine izin verin.
Bir paralelkenarın karşıt kenarlarının özelliklerine ilişkin teoremde kanıtlanmış olandan Δ ABC = üç kenardaki Δ CDA (kanıtlanmış olandan AB=CD, BC=DA, AC – genel). Üçgenlerin eşitliğinden ∠ ABC = ∠ CDA sonucu çıkar.
Ayrıca ∠ ABD = ∠ CDB'den çıkan ∠ DAB = ∠ BCD olduğu da kanıtlanmıştır. Teorem kanıtlandı.

Paralelkenarın köşegenlerinin özelliği

Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye ayrılır.

Kanıt.

Verilen paralelkenar ABCD olsun. AC köşegenini çizelim. Üzerinde ortadaki O'yu işaretleyelim. DO segmentinin devamında DO'ya eşit olan OB 1 segmentini bir kenara koyacağız.
Önceki teoreme göre AB 1 CD bir paralelkenardır. Bu nedenle AB 1 doğrusu DC'ye paraleldir. Ancak A noktasından DC'ye paralel yalnızca bir doğru çizilebilir. Bu, düz AB 1'in düz AB ile çakıştığı anlamına gelir.
Ayrıca BC 1'in BC ile çakıştığı da kanıtlanmıştır. Bu, C noktasının C1 ile çakıştığı anlamına gelir. ABCD paralelkenarı AB 1 CD paralelkenarı ile çakışıyor. Sonuç olarak, paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktasında ikiye bölünür. Teorem kanıtlandı.

Normal okullar için ders kitaplarında (örneğin, Pogorelovo'da) şu şekilde kanıtlanmıştır: köşegenler bir paralelkenarı 4 üçgene böler. Bir çifti düşünelim ve eşit olduklarını öğrenelim: tabanları zıt taraflardır, ona bitişik karşılık gelen açılar, paralel çizgilerle dikey açılar gibi eşittir. Yani çapraz bölümler çiftler halinde eşittir. Tüm.

Hepsi bu mu?
Yukarıda, kesişme noktasının, eğer varsa, köşegenleri ikiye böldüğü kanıtlanmıştır. Yukarıdaki mantık hiçbir şekilde onun varlığını kanıtlamaz. Yani, "paralelkenarın köşegenleri kesişir" teoreminin bir kısmı kanıtlanmamıştır.

İşin komik tarafı bu kısmın kanıtlanmasının çok daha zor olmasıdır. Bu arada, bu daha genel bir sonuçtan kaynaklanmaktadır: herhangi bir dışbükey dörtgenin köşegenleri kesişecektir, ancak dışbükey olmayan herhangi bir dörtgenin kesişmesi mümkün olmayacaktır.

Bir kenar ve iki bitişik açı boyunca üçgenlerin eşitliği (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti) ve diğerleri.

Thales, bir kenar boyunca iki üçgenin ve iki komşu açının eşitliği teoremine önemli bir pratik uygulama buldu. Denizdeki bir geminin mesafesini belirlemek için Milet limanına bir telemetre inşa edildi. Üç adet tahrikli A, B ve C çivisinden (AB = BC) ve CA'ya dik işaretli bir düz çizgi SC'den oluşuyordu. SK düz çizgisi üzerinde bir gemi göründüğünde, D, .B ve E noktaları aynı düz çizgi üzerinde olacak şekilde D noktasını bulduk. Çizimden de anlaşılacağı üzere yerdeki CD mesafesi gemiye olan istenilen mesafedir.

Sorular

1. Bir karenin köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür mü?
   
2. Paralelkenarın köşegenleri eşit midir?
3. Paralelkenarın zıt açıları eşit midir?
4. Paralelkenarın tanımını söyleyiniz?
5. Paralelkenarın kaç işareti var?
   
6. Eşkenar dörtgen paralelkenar olabilir mi?
   

Kullanılan kaynakların listesi

1. Kuznetsov A.V., matematik öğretmeni (5-9. Sınıflar), Kiev
2. “Birleşik Devlet Sınavı 2006. Matematik. Öğrencileri hazırlamak için eğitim ve öğretim materyalleri / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. “M. I. Skanavi tarafından düzenlenen koleksiyonun matematikteki ana rekabet problemlerini çözme”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: eğitim kurumları için ders kitabı”

Ders üzerinde çalıştık

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Modern eğitim hakkında bir soru sorabilir, bir fikri ifade edebilir veya acil bir sorunu çözebilirsiniz. Eğitim forumu Yeni düşünce ve eylemden oluşan bir eğitim konseyinin uluslararası alanda toplandığı yer. Yarattıktan blog, Yalnızca yetkin bir öğretmen olarak statünüzü geliştirmekle kalmayacak, aynı zamanda geleceğin okulunun gelişimine de önemli bir katkı sağlayacaksınız. Eğitim Liderleri Birliğiüst düzey uzmanlara kapıları açar ve onları dünyanın en iyi okullarını yaratma konusunda işbirliği yapmaya davet eder.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir. Aşağıdaki şekil ABCD paralelkenarını göstermektedir. AB kenarı CD kenarına paralel, BC kenarı ise AD kenarına paraleldir.

Tahmin edebileceğiniz gibi paralelkenar dışbükey bir dörtgendir. Paralelkenarın temel özelliklerini ele alalım.

Paralelkenarın özellikleri

1. Paralelkenarda karşılıklı açılar ve zıt kenarlar eşittir. Bu özelliği kanıtlayalım - aşağıdaki şekilde gösterilen paralelkenarı düşünün.

Çapraz BD onu iki eşit üçgene böler: ABD ve CBD. Açılar sırasıyla BC ve AD ve AB ve CD paralel çizgilerinin BD kesen noktasında çapraz olarak uzandığından, BD kenarı ve ona bitişik iki açı boyunca eşittirler. Bu nedenle AB = CD ve
M.Ö. = MS. Ve 1, 2, 3 ve 4 açılarının eşitliğinden, A açısı = açı1 + açı3 = açı2 + açı4 = C açısı sonucu çıkar.

2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür. O noktası ABCD paralelkenarının AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası olsun.

O halde AOB üçgeni ve COD üçgeni, yan ve iki komşu açı boyunca birbirine eşittir. (AB = CD çünkü bunlar paralelkenarın karşıt kenarlarıdır. Ve açı1 = açı2 ve açı3 = açı4, AB ve CD doğruları sırasıyla AC ve BD kesantlarıyla kesiştiğinde çapraz açılara benzer.) Bundan şu sonuç çıkar: AO = OC ve OB = OD, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Tüm ana özellikler aşağıdaki üç şekilde gösterilmektedir.

Bu, karşıt kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.

Mülk 1. Paralelkenarın herhangi bir köşegeni onu iki eşit üçgene böler.

Kanıt . II karakteristiğine göre (çapraz açılar ve ortak taraf).

Teorem kanıtlandı.

Mülk 2. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşit ve zıt açılar eşittir.

Kanıt .
Aynı şekilde,

Teorem kanıtlandı.

Özellik 3. Bir paralelkenarda köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Kanıt .

Teorem kanıtlandı.

Mülk 4. Paralelkenarın karşı tarafı kesen açıortayı, onu ikizkenar üçgene ve yamuğa böler. (Böl. kelimeler - köşe - iki ikizkenar? -ka).

Kanıt .

Teorem kanıtlandı.

Mülk 5. Paralelkenarda, köşegenlerin kesişme noktasından geçen, uçları zıt kenarlarda olan bir doğru parçası bu nokta tarafından ikiye bölünür.

Kanıt .

Teorem kanıtlandı.

Mülk 6. Paralelkenarın geniş açısının tepe noktasından düşen yükseklikler arasındaki açı, paralelkenarın dar açısına eşittir.

Kanıt .

Teorem kanıtlandı.

Mülk 7. Bir kenara bitişik paralelkenarın açılarının toplamı 180°'dir.

Kanıt .

Teorem kanıtlandı.

Bir açının açıortayını oluşturmak. Bir üçgenin açıortayının özellikleri.

1) Rastgele bir DE ışınını oluşturun.

2) Belirli bir ışın üzerinde, merkezi köşede olan ve aynı değerde olan rastgele bir daire çizin.
merkezi oluşturulan ışının başlangıcında olacak şekilde.

3) F ve G - dairenin belirli bir açının kenarlarıyla kesişme noktaları, H - dairenin inşa edilen ışınla kesişme noktası

Merkezi H noktasında ve yarıçapı FG'ye eşit olan bir daire oluşturun.

5) I, inşa edilen kirişin dairelerinin kesişme noktasıdır.

6) Tepe noktası ve I boyunca düz bir çizgi çizin.

IDH gerekli açıdır.
)

Mülk 1. Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlara orantılı olarak böler.

Kanıt . x, y c kenarının parçaları olsun. BC ışınına devam edelim. BC ışınında C'den AC'ye eşit bir CK parçasını çiziyoruz.