Üçgenin dört harika noktası. Araştırma projesi dikkat çekici üçgen noktaları kenarortayların 4 dikkat çekici kesişme noktası

giriiş

Çevremizdeki dünyanın nesnelerinin çeşitli bilimler tarafından incelenen belirli özellikleri vardır.

Geometri, çeşitli şekilleri ve özelliklerini inceleyen bir matematik dalıdır; kökleri uzak geçmişe dayanmaktadır.

Elementler'in dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire çizmek." Çözümden, üçgenin iç açılarının üç açıortayının bir noktada - yazılı dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. Başka bir Öklid probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada, çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği sonucu çıkar. Elementler, üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez (Yunanca "orthos" kelimesi "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet tarafından biliniyordu. Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı.

Yukarıdaki dört noktaya özel ilgi gösterildi ve 18. yüzyıldan beri bunlara üçgenin “dikkate değer” veya “özel” noktaları denildi. Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu.

1765'te Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevre merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını, daha sonra "Euler düz çizgisi" olarak adlandırıldığını kanıtladı. 19. yüzyılın yirmili yıllarında, Fransız matematikçiler J. Poncelet, C. Brianchon ve diğerleri bağımsız olarak şu teoremi oluşturdular: ortancaların tabanları, yüksekliklerin tabanları ve diklik merkezini bir üçgenin köşelerine bağlayan yükseklik bölümlerinin orta noktaları aynı daire üzerinde uzanın. Bu daireye “dokuz noktalı daire” veya “Feuerbach dairesi” veya “Euler dairesi” denir. K. Feuerbach, bu dairenin merkezinin Euler düz çizgisi üzerinde olduğunu tespit etti.

“Daha önce hiç bu kadar geometrik bir dönemde yaşamadığımızı düşünüyorum. Etraftaki her şey geometridir.” Büyük Fransız mimar Le Corbusier'in 20. yüzyılın başında söylediği bu sözler, zamanımızı çok doğru bir şekilde karakterize ediyor. İçinde yaşadığımız dünya, evlerin ve sokakların, dağların ve tarlaların geometrisi, doğanın ve insanın yaratımlarıyla doludur.

“Üçgenin dikkat çekici noktaları” olarak adlandırılan noktalar ilgimizi çekti.

Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra, bir üçgenin dikkat çekici noktalarının tanımlarını ve özelliklerini kendimiz belirledik. Ancak işimiz burada bitmedi ve bu noktaları kendimiz araştırmak istedik.

Bu yüzden hedef verildi iş – bir üçgenin bazı dikkat çekici noktalarını ve çizgilerini incelemek, edinilen bilgiyi problem çözmeye uygulamak. Bu hedefe ulaşma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Çeşitli bilgi ve literatür kaynaklarından eğitim materyallerinin seçimi ve incelenmesi;

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve çizgilerinin temel özelliklerinin incelenmesi;

Bu özelliklerin genelleştirilmesi ve gerekli teoremlerin ispatı;

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını içeren problemlerin çözümü.

BölümBEN. Dikkat çekici üçgen noktaları ve çizgileri

1.1 Üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası

Dik açıortay, bir parçanın ortasından ona dik olarak geçen bir çizgidir. Dik açıortayın özelliğini karakterize eden teoremi zaten biliyoruz: Bir parçaya dik açıortayın her noktası, uçlarından eşit uzaklıktadır ve bunun tersi de geçerlidir; eğer bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaysa, o zaman dik açıortay üzerinde yer alır.

Çokgene yazılı denir tüm köşeleri daireye aitse bir daireye dönüştürün. Çevresi çokgenin çevrelediği daireye denir.

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlanabilir. Merkezi, dik açıortayların üçgenin kenarlarına kesişme noktasıdır.

O noktası AB ve BC üçgeninin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası olsun.

Çözüm: dolayısıyla, eğer O noktası üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası ise, o zaman OA = OC = OB, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır, yani çevrel dairenin merkezidir.

Sonuçlar

sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.

Benzer şekilde kanıtlanmıştır A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

Böylece:

Bu özelliğe sinüs teoremi denir.

Matematikte, tamamen farklı tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar.

Örnek. A1, B1, C1 sırasıyla ∆ABC BC, AC, AB kenarlarının orta noktaları olsun. AB1C1, A1B1C, A1BC1 üçgenlerinin etrafında tanımlanan dairelerin bir noktada kesiştiğini gösterin. Ayrıca bu nokta ∆ABC etrafında çevrelenen bir dairenin merkezidir.

Genelleme.∆ABC AC, BC, AC kenarlarında rastgele A 1, B 1, C 1 noktaları alırsak, AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 üçgenleri etrafında çevrelenen daireler bir noktada kesişir .

1.2 Üçgen açıortayların kesişme noktası

Bunun tersi de doğrudur: Bir nokta, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, açıortay üzerinde bulunur.

Bir köşenin yarısını aynı harflerle işaretlemek faydalıdır:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

O noktası, A ve B açılarının ortaortaylarının kesişme noktası olsun. A açısının ortaortayı üzerinde bulunan noktanın özelliğine göre, OF=OD=r olsun. B açısının açıortayı üzerinde bulunan noktanın özelliğine göre OE=OD=r olur. Dolayısıyla, OE=OD= OF=r= O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani. O, yazılı dairenin merkezidir. (O noktası tek noktadır).

Çözüm: dolayısıyla, eğer O noktası bir üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası ise, o zaman OE=OD= OF=r, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarına eşit uzaklıkta olup, bu da onun yazılı çemberin merkezi olduğu anlamına gelir. Bir üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası O noktası üçgenin dikkat çekici bir noktasıdır.

Sonuçlar:

AOF ve AOD üçgenlerinin hipotenüs ve dar açı boyunca eşitliğinden (Şekil 1) şu sonuç çıkar: A.F. = Reklam . OBD ve OBE üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: BD = OLMAK , COE ve COF üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: İLE F = C.E. . Böylece çembere bir noktadan çizilen teğet parçalar eşittir.

AF=AD= z, BD=BE= sen, CF=CE= X

a=x+y (1), B=x+z (2), c=x+y (3).

+ (2) – (3), o zaman şunu elde ederiz: a+B-с=X+ sen+ X+ z- z- sen = a+B-с= 2X =

x=( B + C -a)/2

Benzer şekilde: (1) + (3) – (2), o zaman şunu elde ederiz: y = (a + c –B)/2.

Benzer şekilde: (2) + (3) – (1), o zaman şunu elde ederiz: z= (bir +B - C)/2.

Bir üçgenin açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

1.3 Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası (merkez)

Kanıt 1. ABC üçgeninin sırasıyla BC, CA ve AB kenarlarının orta noktaları A1, B1 ve C1 olsun (Şekil 4).

G, iki medyan AA 1 ve BB 1'in kesişme noktası olsun. Önce AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için AG ve BG segmentlerinin P ve Q orta noktalarını alın. Bir üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre, B 1 A 1 ve PQ parçaları AB tarafının yarısına eşit ve ona paraleldir. Bu nedenle, A 1 B 1 dörtgeni bir PQ paralelkenardır. Daha sonra PA 1 ve QB 1 köşegenlerinin kesişme noktası G noktası her birini ikiye böler. Bu nedenle, P ve G noktaları AA 1 ortancasını üç eşit parçaya böler ve Q ve G noktaları da BB 1 ortancasını üç eşit parçaya böler. Yani bir üçgenin iki kenarortayının kesişimindeki G noktası, köşeden itibaren her birini 2:1 oranında böler.

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasına denir merkez veya ağırlık merkezi üçgen. Bu isim, homojen üçgen plakanın ağırlık merkezinin bu noktada bulunmasından kaynaklanmaktadır.

1.4 Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası (ortomerkez)

1,5 Torricelli noktası

Yol ABC üçgeni ile verilmiştir. Bu üçgenin Torricelli noktası, bu üçgenin kenarlarının 120° açıyla görülebildiği O noktasıdır; AOB, AOC ve BOC açıları 120°'ye eşittir.

Bir üçgenin tüm açılarının 120°'den küçük olması durumunda Torricelli noktasının var olduğunu kanıtlayalım.

ABC üçgeninin AB tarafında bir ABC" eşkenar üçgeni oluşturuyoruz (Şekil 6, a) ve onun etrafında bir daire tanımlıyoruz. AB doğru parçası bu dairenin 120°'lik bir yayına karşılık geliyor. Sonuç olarak bu yayın A dışındaki noktaları ve B, AB doğru parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin AC tarafında bir ACB eşkenar üçgeni oluşturacağız (Şekil 6, a) ve onun etrafında bir daire tanımlayacağız. . Karşılık gelen yayın noktaları, A ve C'den farklı olarak, AC parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Üçgenin açılarının 120°'den küçük olması durumunda, bu yaylar bir iç O noktasında kesişir. Bu durumda, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Bu nedenle ∟BOC = 120°. Bu nedenle O noktası istenilen noktadır.

Bir üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin 120°'ye eşit olması durumunda, dairesel yayların kesişme noktası B noktası olacaktır (Şekil 6, b). Bu durumda Torricelli'nin noktası mevcut değildir, çünkü bu noktadan AB ve BC kenarlarının görülebildiği açılardan bahsetmek imkansızdır.

Bir üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin, 120°'den büyük olması durumunda (Şekil 6, c), karşılık gelen daire yayları kesişmez ve Torricelli'nin noktası da mevcut değildir.

Torricelli noktası, Fermat'ın (bunu II. Bölüm'de ele alacağız), verilen üç noktaya olan uzaklıkları toplamı en küçük olan noktayı bulma problemi ile ilişkilidir.

1.6 Dokuz noktalı daire

Aslında A 3 B 2, AHC üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2, ABC üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla B 2 A 2 || AB. CC 1 ┴ AB olduğundan A 3 B 2 A 2 = 90°. Benzer şekilde A 3 C 2 A 2 = 90°. Bu nedenle A 2, B 2, C 2, A 3 noktaları A 2 A 3 çapında aynı daire üzerinde yer alır. AA 1 ┴BC olduğuna göre A 1 noktası da bu çembere aittir. Böylece A 1 ve A 3 noktaları A2B2C2 üçgeninin çevrel çemberi üzerinde yer alır. Benzer şekilde B 1 ve B 3, C 1 ve C 3 noktalarının da bu çember üzerinde olduğu gösterilmiştir. Bu, dokuz noktanın tamamının aynı çember üzerinde olduğu anlamına gelir.

Bu durumda dokuz noktadan oluşan dairenin merkezi, yüksekliklerin kesişme merkezi ile çevrelenen dairenin merkezi arasında ortada yer alır. Aslında, ABC üçgeninde (Şekil 9), O noktası çevrel çemberin merkezi olsun; G – medyanların kesişme noktası. H yüksekliklerin kesiştiği noktadır. O, G, H noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu ve dokuz nokta N'den oluşan dairenin merkezinin OH parçasını ikiye böldüğünü kanıtlamanız gerekir.

Merkezi G noktasında ve katsayısı -0,5 olan bir homojenlik düşünün. ABC üçgeninin A, B, C köşeleri sırasıyla A 2, B 2, C 2 noktalarına gidecektir. ABC üçgeninin rakımları A 2 B 2 C 2 üçgeninin rakımlarına girecek ve dolayısıyla H noktası O noktasına gidecektir. Dolayısıyla O, G, H noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alacaktır.

OH doğru parçasının N orta noktasının dokuz noktalı çemberin merkezi olduğunu gösterelim. Aslında C 1 C 2 dokuz noktadan oluşan bir çemberin akorudur. Dolayısıyla bu kirişin dik açıortay'ı bir çaptır ve OH ile N'nin ortasında kesişir. Benzer şekilde, B 1 B 2 kirişinin dik açıortay'ı da bir çaptır ve OH ile aynı N noktasında kesişir. Yani N, kirişin merkezidir. dokuz noktalı daire. Q.E.D.

Aslında P, ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde keyfi bir nokta olsun; D, E, F - P noktasından üçgenin kenarlarına düşen dik çizgilerin tabanları (Şekil 10). D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim.

AP dairenin merkezinden geçiyorsa, D ve E noktalarının B ve C köşeleriyle çakıştığını unutmayın. Aksi takdirde, ABP veya ACP açılarından biri dar, diğeri geniş olur. Buradan D ve E noktalarının BC doğrusunun karşıt taraflarında yer alacağı ve D, E ve F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlamak için ∟CEF =∟BED olduğunu kontrol etmek yeterlidir.

Çapı CP olan bir çember tanımlayalım. ∟CFP = ∟CEP = 90° olduğuna göre E ve F noktaları bu çember üzerinde yer alır. Bu nedenle, ∟CEF =∟CPF, bir dairenin bir yayının oluşturduğu yazılı açılardır. Sonra, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. BP çapında bir çember tanımlayalım. ∟BEP = ∟BDP = 90° olduğuna göre F ve D noktaları bu çember üzerinde yer alır. Bu nedenle ∟BPD =∟BED. Bu nedenle, sonunda ∟CEF =∟BED sonucunu elde ederiz. Bu, D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu anlamına gelir.

BölümIISorun çözme

Bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin konumuyla ilgili problemlerle başlayalım. Bunları çözmek bir yandan daha önce işlenen konuları hatırlamanızı sağlar, diğer yandan gerekli geometrik kavramları geliştirerek sizi daha karmaşık problemleri çözmeye hazırlar.

Görev 1. ABC üçgeninin A ve B açılarında (∟A

Çözüm. CD yükseklik ve CE açıortay olsun, o zaman

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Bu nedenle ∟DCE =.

Çözüm. ABC üçgeninin ortaortaylarının kesişme noktası O olsun (Şekil 1). Büyük açının üçgenin büyük kenarının karşısında yer alması gerçeğinden yararlanalım. AB BC ise ∟A

Çözüm. ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası O olsun (Şekil 2). Eğer AC ∟B ise. BC çapında bir daire F ve G noktalarından geçecektir. İki kirişten küçük olanın, daha küçük yazılı açının dayandığı daire olduğunu göz önünde bulundurarak, CG'yi elde ederiz.

Kanıt. ABC üçgeninin AC ve BC kenarlarında çaplarda olduğu gibi daireler oluşturuyoruz. A 1, B 1, C 1 noktaları bu çemberlere aittir. Bu nedenle, bir dairenin aynı yayına dayalı açılar olarak ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 kenarları birbirine dik olan açılardır. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1, bir dairenin aynı yayının gördüğü açılardır. Bu nedenle, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, yani. CC1, B 1 C 1 A 1 açısının açıortayıdır. Benzer şekilde AA 1 ve BB 1'in B 1 A 1 C 1 ve A 1 B 1 C 1 açılarının ortaortayları olduğu gösterilmiştir.

Köşeleri belirli bir dar üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan dikkate alınan üçgen, klasik ekstrem problemlerden birine bir cevap sağlar.

Çözüm. Verilen dar üçgen ABC olsun. Yanlarında A 1 , B 1 , C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olacağı A 1 B 1 C 1 noktalarını bulmanız gerekir (Şekil 4).

Önce C 1 noktasını sabitleyelim ve A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu A 1 ve B 1 noktalarını arayalım (C 1 noktasının belirli bir konumu için).

Bunu yapmak için, D ve E noktalarının AC ve BC düz çizgilerine göre C1 noktasına simetrik olduğunu düşünün. O zaman B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E ve dolayısıyla A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresi, DB 1 A 1 E kesikli çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. B 1, A 1 noktaları DE doğrusu üzerinde yer aldığında bu kesikli çizginin uzunluğunun en küçük olacağı açıktır.

Şimdi C 1 noktasının konumunu değiştireceğiz ve karşılık gelen A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu konumu arayacağız.

D noktası AC'ye göre C1'e simetrik olduğundan, CD = CC 1 ve ACD = ACC 1 olur. Benzer şekilde CE=CC 1 ve BCE=BCC 1. Bu nedenle CDE üçgeni ikizkenardır. Yan tarafı CC 1'e eşittir. DE tabanı çevreye eşittir P A 1 B 1 C 1 üçgeni. DCE açısı, ABC üçgeninin ACB çift açısına eşittir ve bu nedenle C1 noktasının konumuna bağlı değildir.

Belirli bir tepe açısına sahip bir ikizkenar üçgende, kenar ne kadar küçükse taban da o kadar küçüktür. Bu nedenle çevrenin en küçük değeri P CC 1'in en düşük değeri durumunda elde edilir. Bu değer eğer CC 1 ABC üçgeninin yüksekliği ise alınır. Böylece, AB tarafındaki gerekli C1 noktası, C köşesinden çizilen yüksekliğin tabanıdır.

Öncelikle C1 noktasını değil, A1 noktasını veya B1 noktasını sabitleyebileceğimizi ve A1 ve B1'in ABC üçgeninin karşılık gelen yüksekliklerinin tabanları olduğunu elde edebileceğimizi unutmayın.

Bundan, belirli bir ABC dar üçgeninde yazılı olan en küçük çevre uzunluğuna sahip gerekli üçgenin, köşeleri ABC üçgeninin yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgen olduğu sonucu çıkar.

Çözüm.Üçgenin açıları 120°'den küçükse Steiner probleminde gerekli noktanın Torricelli noktası olduğunu kanıtlayalım.

ABC üçgenini C köşesi etrafında 60° açıyla döndürelim, Şekil 1. 7. A’B’C üçgenini elde ediyoruz. ABC üçgeninde rastgele bir O noktası alalım. Dönerken bir O' noktasına gidecektir. OO'C üçgeni eşkenardır çünkü CO = CO' ve ∟OCO' = 60°, dolayısıyla OC = OO'. Dolayısıyla OA + OB + OC uzunluklarının toplamı, AO + OO' + O'B' kesikli çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. A, O, O', B' noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa bu kesikli çizginin uzunluğunun en küçük değeri alacağı açıktır. Eğer O bir Torricelli noktası ise bu böyledir. Aslında, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Dolayısıyla A, O, O' noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Benzer şekilde, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Dolayısıyla O, O', B' noktaları aynı doğru üzerindedir. Bu, tüm A, O, O', B' noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu anlamına gelir.

Çözüm

Bir üçgenin geometrisi, temel matematiğin diğer bölümleriyle birlikte, genel olarak matematiğin güzelliğini hissetmeyi mümkün kılar ve birisi için "büyük bilime" giden yolun başlangıcı olabilir.

Geometri muhteşem bir bilimdir. Tarihi bin yıldan daha eskiye dayanır, ancak onunla her buluşma, küçük bir keşfin heyecan verici yeniliğini, yaratıcılığın inanılmaz neşesini (hem öğrenciye hem de öğretmene) hediye etme ve zenginleştirme kapasitesine sahiptir. Aslına bakılırsa, temel geometrideki herhangi bir problem özünde bir teoremdir ve çözümü mütevazı (ve bazen çok büyük) bir matematiksel zaferdir.

Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.

Bu çalışmada bir üçgenin açıortayları, kenarortayları, dik açıortayları ve yükseklikleri ele alınmış, üçgenin dikkate değer nokta ve doğru sayıları genişletilmiş, teoremler formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Bu teoremlerin uygulanmasına ilişkin bir takım problemler çözülmüştür.

Sunulan materyal hem temel derslerde hem de seçmeli derslerde, ayrıca merkezi sınavlara ve matematik olimpiyatlarına hazırlıkta kullanılabilir.

Referanslar

Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.

Kiselyov A.P. Temel geometri. – M.: Eğitim, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.

Latotin L.A., Chebotaravsky B.D. Matematik 9. – Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.

Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. – M.: Nauka, 1986. – Bölüm 1.

Scanavi M.I. Çözümlerle ilgili sorunlar. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.

Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.

Silchenkov İlya

ders materyalleri, animasyonlu sunum

İndirmek:

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com




Slayt başlıkları:

Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren parçadır ve bu kenarın yarısına eşittir. Ayrıca teoreme göre bir üçgenin orta çizgisi, kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.

Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Bir üçgenin dikkate değer noktaları Kenarortayların kesişme noktası (üçgenin ağırlık merkezi); Açıortayların kesişme noktası, yazılı dairenin merkezi; Dik açıortayların kesişme noktası; Yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez); Euler'in düz çizgisi ve dokuz noktalı çemberi; Gergonne ve Nagel noktaları; Point Fermat-Torricelli;

Medyan kesişme noktası

Bir üçgenin ortancası, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasını karşı tarafın ortasıyla birleştiren bir segmenttir.

I. Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her kenarortay, tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında bölünür.

Kanıt:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. ABC üçgeninin iki ortancası AA 1 ve B B1'in kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu üçgenin orta çizgisi A 1 B 1'i çizelim. 2. A 1 B 1 segmenti AB kenarına paraleldir ve 1/2 AB = A 1 B 1 yani AB = 2A1B1 (üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre), dolayısıyla 1 = 4 ve 3 = 2 (çünkü bunlar AB ve A 1 B 1 paralel çizgileri ve 1, 4 için BB 1 ve 3, 2 3 için AA 1 ile iç çapraz açılardır. Sonuç olarak, AOB ve A 1 OB 1 üçgenleri iki açıda benzerdir ve bu nedenle bunların kenarlar orantılıdır, yani AO ve A 1 O, BO ve B 1 O, AB ve A 1 B 1 kenarlarının oranları eşittir. Ancak AB = 2A 1 B 1, dolayısıyla AO = 2A 1 O ve BO = 2B 1. O. Böylece, BB 1 ve AA 1 ortancalarının kesişimindeki O noktası, köşeden sayılarak her birini 2:1 oranında böler. Teorem diğer iki ortanca için de benzer şekilde kanıtlanabilir.

Kütle merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu yüzden medyanların kesişme noktasının üçgenin ağırlık merkezi olduğunu söylüyorlar. Homojen üçgen plakanın kütle merkezi aynı noktada bulunmaktadır. Böyle bir plaka, pimin ucu üçgenin ağırlık merkezine tam olarak çarpacak şekilde bir pim üzerine yerleştirilirse, o zaman plaka dengede olacaktır. Ayrıca medyanların kesişme noktası, medyan üçgeninin yazılı dairesinin merkezidir. Medyanların kesişme noktasının ilginç bir özelliği, kütle merkezinin fiziksel kavramıyla ilişkilidir. Bir üçgenin köşelerine eşit kütleler yerleştirirseniz merkezlerinin tam olarak bu noktaya düşeceği ortaya çıktı.

Açıortay kesişme noktası

Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açılarından birinin tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan açıortayın bir parçasıdır.

Bir üçgenin açıortayları kenarlarından eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.

Kanıt:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. 3. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktasının kenarlarından eşit uzaklıkta olması ve bunun tersinin de geçerli olmasından yararlanalım: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde yer alır. Daha sonra OK=OL ve OK=OM. Bu, OM=OL anlamına gelir, yani O noktası ABC üçgeninin kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle C açısının CC1 açıortayında yer alır. 4. Sonuç olarak ABC üçgeninin üç açıortayı da O noktasında kesişir. K L M Teorem kanıtlanmıştır. 2.Bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizin.

Dik açıortayların kesişme noktası

Dik açıortay, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.

Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.

Kanıt:

B C A m n 1. ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına m ve n orta dikmelerinin kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. O 2. Bir parçaya dik açıortaydaki her noktanın bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu teoremini kullanarak: parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır ve şunu elde ederiz: OB = OA ve OB = OC. 3. Bu nedenle OA = OC, yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır. 4. Sonuç olarak, ABC üçgeninin kenarlarına ait m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir. Teorem kanıtlanmıştır. R

Yüksekliklerin (veya uzantılarının) kesişme noktası

Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen dikmedir.

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları, üçgenin içinde veya dışında olabilen bir noktada kesişir.

Kanıt:

AA 1, BB 1 ve CC 1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ABC üçgeninin her bir köşesinden karşı kenara paralel bir düz çizgi çizin. A 2 B 2 C 2 üçgenini elde ediyoruz. 2. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında AB=A 2 C ve AB=CB 2, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A 2 C=CB 2. Benzer şekilde C 2 A=AB 2 ve C 2 B=BA 2. Ek olarak, yapıdan da anlaşılacağı üzere CC 1, A 2 B 2'ye diktir, AA 1, B 2 C 2'ye diktir ve BB 1, A 2 C 2'ye diktir (paralel doğrular ve kesantlar teoreminin sonucundan) ). Dolayısıyla, AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri, A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Bu nedenle bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.

Hedefler:
- Öğrencilerin “Bir üçgenin dört dikkat çekici noktası” konusundaki bilgilerini özetlemek, bir üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını oluşturma becerilerini geliştirmeye yönelik çalışmalara devam etmek;

Öğrencileri bir üçgenin içine yazılan ve onun etrafında çevrelenen daireye ilişkin yeni kavramlarla tanıştırın;

Araştırma becerilerini geliştirin;
- Öğrencilerde kalıcılığı, doğruluğu ve düzeni geliştirin.
Görev: Geometri konusuna yönelik bilişsel ilgiyi genişletin.
Teçhizat: tahta, çizim araçları, renkli kalemler, yatay kağıt üzerindeki üçgen modeli; bilgisayar, multimedya projektörü, ekran.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı (1 dakika)
Öğretmen: Bu derste her biriniz kendinizi bir araştırma mühendisi gibi hissedecek; uygulamalı çalışmayı tamamladıktan sonra kendinizi değerlendirebileceksiniz. Çalışmanın başarılı olabilmesi için ders esnasında model ile yapılan tüm eylemlerin çok doğru ve düzenli bir şekilde yapılması gerekmektedir. Size başarılar diliyorum.
2.
Öğretmen: defterinize açık bir açı çizin
S. Bir açının açıortayını oluşturmak için hangi yöntemleri biliyorsunuz?

Bir açının ortaortasının belirlenmesi. İki öğrenci tahtada açıortayları (önceden hazırlanmış modelleri kullanarak) iki şekilde oluşturur: cetvel veya pergel kullanarak. Aşağıdaki iki öğrenci bu ifadeleri sözlü olarak kanıtlamaktadır:
1. Bir açının açıortay noktaları hangi özelliklere sahiptir?
2. Açının içinde kalan ve açının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktalar hakkında ne söylenebilir?
Öğretmen: bir ABC dörtgen üçgeni çizin ve herhangi bir yöntemle A açısı ile C açısının ortaortaylarını ve bunların noktalarını oluşturun.

kesişim - O noktası. VO ışını hakkında hangi hipotezi öne sürebilirsiniz? BO ışınının ABC üçgeninin açıortay olduğunu kanıtlayın. Bir üçgenin tüm açıortaylarının konumu hakkında bir sonuç formüle edin.
3. Üçgen modeliyle çalışma (5-7 dakika).
Seçenek 1 - dar üçgen;
Seçenek 2 - sağ üçgen;
Seçenek 3 - geniş üçgen.
Öğretmen: Üçgen modeline iki açıortay çizin ve onları sarı daire içine alın. Kesişme noktasını işaretleyin

açıortay noktası K. 1 numaralı slayta bakınız.
4. Dersin ana aşamasına hazırlık (10-13 dakika).
Öğretmen: AB doğru parçasını defterinize çizin. Bir doğru parçasına dik bir açıortay oluşturmak için hangi araçlar kullanılabilir? Dik açıortayın belirlenmesi. İki öğrenci tahtada dik bir açıortay oluşturuyor

(önceden hazırlanmış modellere göre) iki şekilde: cetvelle, pusulayla. Aşağıdaki iki öğrenci bu ifadeleri sözlü olarak kanıtlamaktadır:
1. Bir doğru parçasına dik açıortay noktalarının özellikleri nelerdir?
2. AB doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktalar hakkında ne söylenebilir? Öğretmen: Defterinize bir ABC dik üçgeni çizin ve ABC üçgeninin herhangi iki kenarına dik açıortayları çizin.

O kesişim noktasını işaretleyin. Üçüncü tarafa O noktasından geçen bir dik çizin. Ne fark ediyorsunuz? Bunun doğru parçasının dik açıortayı olduğunu kanıtlayın.
5. Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).Öğretmen: Üçgen modeli üzerinde, üçgenin iki kenarına dik açılar çizin ve bunları yeşil renkle daire içine alın. Ortaya dik diklerin kesişme noktasını bir O noktasıyla işaretleyin. 2 numaralı slayta bakın.

6. Dersin ana aşamasına hazırlık (5-7 dakika).Öğretmen: geniş bir ABC üçgeni çizin ve iki yükseklik oluşturun. Kesişme noktalarını O olarak etiketleyin.
1. Üçüncü yükseklik hakkında ne söylenebilir (üçüncü yükseklik tabanın ötesine uzatılırsa O noktasından geçecektir)?

2. Tüm yüksekliklerin bir noktada kesiştiği nasıl kanıtlanır?
3. Bu yükseklikler hangi yeni şekli oluşturuyor ve içinde neler var?
7. Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).
Öğretmen: Üçgen modeline göre üç yükseklik oluşturun ve bunları mavi renkle daire içine alın. Yüksekliklerin H noktasıyla kesiştiği noktayı işaretleyin. 3 numaralı slayta bakın.

İkinci ders

8. Dersin ana aşamasına hazırlık (10-12 dakika).
Öğretmen: Dar bir ABC üçgeni çizin ve tüm kenarortaylarını oluşturun. Kesişme noktalarını O olarak etiketleyin. Bir üçgenin kenarortayları hangi özelliğe sahiptir?

9. Üçgen modeliyle çalışma (5 dakika).
Öğretmen: Üçgen modeline göre üç kenarortay oluşturun ve bunları kahverengi daire içine alın.

Medyanların kesişme noktasını bir T noktasıyla işaretleyin. 4 numaralı slayta bakın.
10. İnşaatın doğruluğunun kontrol edilmesi (10-15 dakika).
1. K noktası hakkında ne söylenebilir? / K noktası ortaortayların kesişme noktasıdır, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır /
2. K noktasından üçgenin yarım kenarına kadar olan mesafeyi model üzerinde gösterin. Hangi şekli çizdin? Bu nasıl konumlanıyor?

tarafa mı kesildi? Basit bir kalemle cesurca vurgulayın. (5 numaralı slayta bakın).
3. Düzlemin aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktasına eşit uzaklıktaki nokta nedir? Sarı bir kalem kullanarak merkezi K olan ve yarıçapı basit bir kalemle işaretlenen mesafeye eşit olan bir daire çizin. (6 numaralı slayta bakın).
4. Ne fark ettiniz? Bu daire üçgene göre nasıl konumlandırılır? Bir üçgenin içine bir daire yazdınız. Böyle bir çevreye ne ad verebilirsiniz?

Öğretmen üçgenin içindeki yazılı dairenin tanımını verir.
5. O noktası hakkında ne söylenebilir? \Noktası O dik açıortayların kesişme noktasıdır ve üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır\. A, B, C ve O noktalarını birleştirerek hangi şekil oluşturulabilir?
6. Yeşili kullanarak bir daire (O; OA) oluşturun. (7 numaralı slayta bakın).
7. Ne fark ettiniz? Bu daire üçgene göre nasıl konumlandırılır? Böyle bir çevreye ne ad verebilirsiniz? Bu durumda üçgeni nasıl çağırabiliriz?

Öğretmen bir üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin tanımını verir.
8. O, H ve T noktalarına bir cetvel takın ve bu noktalardan kırmızı bir çizgi çizin. Bu çizgiye düz denir

Euler (8 numaralı slayta bakın).
9. OT ve TN'yi karşılaştırın. FROM:TN=1'i kontrol edin: 2. (9 numaralı slayta bakın).
10. a) Üçgenin kenarortaylarını bulun (kahverengi). Medyanların tabanlarını mürekkeple işaretleyin.

Bu üç nokta nerede?
b) Üçgenin (mavi) yüksekliklerini bulun. Yüksekliklerin tabanlarını mürekkeple işaretleyin. Bu noktalardan kaç tane var? \ Seçenek 1-3; Seçenek 2-2; Seçenek 3-3\.c) Köşelerden yüksekliklerin kesişme noktasına kadar olan mesafeyi ölçün. Bu mesafeleri adlandırın (AN,

VN, SN). Bu bölümlerin orta noktalarını bulun ve bunları mürekkeple vurgulayın. Bunlardan kaç tanesi

puan? \1 seçenek-3; Seçenek 2-2; Seçenek 3-3\.
11. Mürekkeple kaç noktanın işaretlendiğini sayın? \ 1 seçenek - 9; Seçenek 2-5; Seçenek 3-9\. Belirle

noktalar D 1, D 2,…, D 9. (10 numaralı slayta bakın). Bu noktaları kullanarak bir Euler çemberi oluşturabilirsiniz. Çemberin merkezi E noktası OH doğru parçasının ortasındadır. Kırmızı bir daire (E; ED 1) çiziyoruz. Bu daire, düz bir çizgi gibi, adını büyük bilim insanından almıştır. (11 numaralı slayta bakın).
11. Euler hakkında sunum (5 dakika).
12. Özet(3 dakika). Puan: “5” - tam olarak sarı, yeşil ve kırmızı daireleri ve Euler düz çizgisini elde ederseniz. “4” - eğer daireler 2-3 mm hatalıysa. “3” - eğer daireler 5-7 mm hatalıysa.

8.sınıf geometri dersi konumsal öğrenme modeline göre tasarlanmıştır.

Ders hedefleri:

• “Bir üçgenin dikkat çekici dört noktası” konulu teorik materyalin incelenmesi;
• Öğrencilerin düşünme, mantık, konuşma, hayal gücünün gelişimi, çalışmayı analiz etme ve değerlendirme yeteneği;
• Grup çalışması becerilerinin geliştirilmesi;
• Yapılan işin kalitesi ve sonuçlarına ilişkin sorumluluk duygusunu geliştirmek.

Teçhizat:

• grup adlarına sahip kartlar;
• her grup için görevlerin bulunduğu kartlar;
• Grup çalışmalarının sonuçlarının kaydedilmesi için A-4 kağıdı;
• epigraf tahtaya yazılmıştır.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı.

2. Dersin amaç ve konusunu belirlemek.

Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.

Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymadı? Ancak üçgenin kendisi pek çok ilginç ve gizemli şeyle doludur.

Üçgenin merkezi yeri dikkat çekici noktalar olarak adlandırılan noktalar tarafından işgal edilmiştir.

Dersin sonunda noktaların neden dikkat çekici olarak adlandırıldığını ve öyle olup olmadığını söyleyebileceğinizi düşünüyorum.

Dersimizin konusu nedir? "Üçgenin dört dikkat çekici noktası." Dersin epigrafı K. Weierstrass'ın şu sözleri olabilir: "Kısmen şair olmayan bir matematikçi, matematikte asla mükemmelliğe ulaşamaz" (bu epigraf tahtaya yazılmıştır).

Dersin konusunun anlatımına, epigrafa bakın ve dersteki çalışmanızın hedeflerini belirlemeye çalışın. Dersin sonunda bunları ne kadar iyi tamamladığınızı kontrol edeceğiz.

3. Öğrencilerin bağımsız çalışması.

Bağımsız çalışmaya hazırlanıyor

Derste çalışmak için altı gruptan birini seçmelisiniz: “Kuramcılar”, “Yaratıcılık”, “Mantık Tasarımcıları”, “Uygulayıcılar”, “Tarihçiler”, “Uzmanlar”.

Brifing

Her gruba görev kartları verilir. Görev net değilse öğretmen ek açıklamalar yapar.

"Teorisyenler"

Ödev: “Bir üçgenin dört dikkate değer noktası” konusunu incelerken gerekli temel kavramları tanımlayın (bir üçgenin yüksekliği, bir üçgenin ortancası, bir üçgenin açıortayı, dik açıortay, iç daire, çevrel daire), bir ders kitabı kullanabilirsiniz; Ana kavramları bir kağıda yazın.

"Tarihçiler"

bisektörler yazılı dairenin merkezi dikler çevrelenmiş dairenin merkezi. Principia üç tane bile söylemiyor yüksekliklerüçgenler adı verilen bir noktada kesişir ortomerkez medyan ağırlık merkezi

XIX yüzyılın 20'li yıllarında. Fransız matematikçiler J. Poncelet, C. Brianchon ve diğerleri bağımsız olarak şu teoremi oluşturdular: ortancaların tabanları, yüksekliklerin tabanları ve diklik merkezini bir üçgenin köşelerine bağlayan yükseklik bölümlerinin orta noktaları aynı daire üzerinde yer alır.

Bu daireye “dokuz noktalı daire” veya “Feuerbach dairesi” veya “Euler dairesi” denir. K. Feuerbach, bu dairenin merkezinin “Euler düz çizgisi” üzerinde bulunduğunu tespit etti.

Ödev: Makaleyi analiz edin ve çalışılan materyali yansıtan tabloyu doldurun.

	Nokta adı		Ne kesişiyor

"Yaratılış"

Ödev: “Bir üçgenin dikkat çekici dört noktası” (örneğin, üçgen, nokta, kenarortay, vb.) konusunda senkronizasyon/şarkılar bulun.

Syncwine yazma kuralı:

İlk satırda konu tek kelimeyle (genellikle bir isim) adlandırılır.

İkinci satır konunun iki kelimeyle (2 sıfat) açıklamasıdır.

Üçüncü satır, bu konu çerçevesindeki eylemin üç kelimeyle (fiiller, ulaçlar) açıklamasıdır.

Dördüncü satır ise konuya yönelik tutumu gösteren 4 kelimelik bir cümledir.

Son satır, konunun özünü tekrarlayan tek kelimelik bir eşanlamlıdır (metafor).

"Mantık yapıcılar"

Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir köşesini karşı tarafın orta noktasına bağlayan bir segmenttir. Herhangi bir üçgenin üç medyanı vardır.

Açıortay, köşe noktasından karşı tarafla kesişme noktasına kadar herhangi bir açıdaki açıortayın bir bölümüdür. Herhangi bir üçgenin üç açıortayı vardır.

Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara veya uzantısına çizilen diktir. Herhangi bir üçgenin üç yüksekliği vardır.

Bir parçanın dik açıortayı, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir. Herhangi bir üçgenin üç dik açıortayı vardır.

Ödev: Üçgen kağıtlar kullanarak kenarortayların, yüksekliklerin, açıortayların ve açıortayların kesişim noktalarını katlayarak oluşturun. Bunu tüm sınıfa açıklayın.

"Uygulamalar"

Elementler'in dördüncü kitabında Öklid, "Belirli bir üçgene bir daire çizme" sorununu çözüyor. Çözümden şu sonucu çıkıyor: üç bisektörlerÜçgenin iç açıları bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi. Başka bir Öklid probleminin çözümünden şu sonuç çıkıyor: dikler, üçgenin kenarlarının orta noktalarına geri döndürülmüş, aynı zamanda bir noktada kesişiyor - çevrelenmiş dairenin merkezi. Principia, bir üçgenin üç yüksekliğinin bir noktada kesiştiğini söylemez. ortomerkez(Yunanca “orthos” kelimesi düz, doğru anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimed, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu. Üçgenin dördüncü tekil noktası kesişim noktasıdır medyan. Arşimed öyle olduğunu kanıtladı ağırlık merkezi(barycenter) üçgenin. 18. yüzyıldan başlayarak yukarıdaki dört noktaya özellikle dikkat edildi. Bunlara "dikkat çekici" veya "üçgenin özel noktaları" deniyordu.

Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. .

Ödev: Önerilen materyali analiz edin ve birimler arasındaki anlamsal bağlantıları yansıtan bir şema bulun, açıklayın, bir kağıda çizin ve tahtada gösterin.

Üçgenin dikkat çekici noktaları

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

Çizim 1 Çizim 2 Çizim 3 Çizim 4

____________ ___________ ______________ ____________

(açıklama)

"Uzmanlar"

Ödev: Her grubun çalışmasını değerlendireceğiniz bir tablo yapın, grupların çalışmalarını değerlendireceğiniz parametreleri seçin, puanları belirleyin.

Parametreler şu şekilde olabilir: her öğrencinin kendi grubunun çalışmasına katılımı, savunmaya katılımı, materyalin ilginç sunumu, netliğin sunumu vb.

Konuşmanızda her grubun etkinliklerindeki olumlu ve olumsuz yönleri not etmelisiniz.

4. Grup performansı.(Her biri 2-3 dakika)

Çalışmanın sonuçları panoya asıldı

5. Dersi özetlemek.

Dersin başında belirlediğiniz hedeflere bakın. Her şeyi tamamlamayı başardın mı?

Bugünkü ders için seçilen epigrafa katılıyor musunuz?

6. Ev ödevi.

1) Bugünkü dersteki materyali kullanarak iğnenin ucunda belirli bir noktada duran üçgenin dengede olduğundan emin olun.

2) Dikkate değer 4 noktanın tümünü farklı üçgenlerde çizin.