Dört harika üçgen. "Üçgenin Harika Noktaları" Projesi

Bir üçgende dört dikkat çekici nokta vardır: kenarortayların kesişme noktası. Açıortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası ve dik açıortayların kesişme noktası. Her birine bakalım.

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası

Teorem 1

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasında: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Orta çizgiyi $A_1B_1$ ele alalım (Şekil 1).

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlandı.

Üçgen açıortayların kesişme noktası

Teorem 2

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasında: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $AM,\BP,\CK$ onun açıortaylarıdır. $O$ noktası $AM\ ve\BP$ ortaortaylarının kesişme noktası olsun. Bu noktadan üçgenin kenarlarına dikler çizelim (Şekil 2).

Şekil 2. Üçgen ortaylar

Teorem 3

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OX=OZ,\ OX=OY$. Bu nedenle $OY=OZ$. Bu, $O$ noktasının $ACB$ açısının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $CK$ açıortayı üzerinde bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Teorem 4

Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgeninin dik açıortayları $n,\ m,\ p$ olarak verilsin. $O$ noktası $n\ ve\ m$ dik açıortaylarının kesişme noktası olsun (Şekil 3).

Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları

Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.

Teorem 5

Bir parçaya dik açıortayın her noktası, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OB=OC,\ OB=OA$. Bu nedenle $OA=OC$. Bu, $O$ noktasının $AC$ doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $p$ dik açıortayında bulunduğu anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası

Teorem 6

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun yüksekliğidir. Üçgenin her köşesinden, köşenin karşısındaki kenara paralel bir düz çizgi çizelim. Yeni bir $A_2B_2C_2$ üçgeni elde ediyoruz (Şekil 4).

Şekil 4. Üçgen yükseklikleri

$AC_2BC$ ve $B_2ABC$ ortak kenarlı paralelkenarlar olduğundan, $AC_2=AB_2$, yani $A$ noktası $C_2B_2$ kenarının ortasıdır. Benzer şekilde, $B$ noktasının $C_2A_2$ kenarının orta noktası olduğunu ve $C$ noktasının $A_2B_2$ kenarının orta noktası olduğunu buluruz. Yapıdan şunu elde ederiz: $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Dolayısıyla $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$, $A_2B_2C_2$ üçgeninin dik açıortaylarıdır. O halde Teorem 4'e göre $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini elde ederiz.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu

"Magnitogorsk Devlet Üniversitesi"

Fizik ve Matematik Fakültesi

Cebir ve Geometri Bölümü

Kurs

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Tamamlayan: 41. grup öğrencisi

Vakhrameeva A.M.

Bilimsel süpervizör

Velikih A.S.

Magnitogorsk 2014

giriiş

Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen adeta geometrinin sembolü olmuştur; ama o sadece bir sembol değil, geometrinin bir atomudur.

Bir üçgen neden geometrinin bir atomu olarak düşünülebilir? Çünkü önceki kavramlar - nokta, düz çizgi ve açı - bir dizi ilişkili teorem ve problemle birlikte belirsiz ve soyut soyutlamalardır. Bu nedenle, bugün okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir.

Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.

Bu, üçgenin geometrisi derinlemesine incelenmeden okul geometrisi çalışmasının gerçekleştirilemeyeceği anlamına gelir; Bir çalışma nesnesi olarak üçgenin çeşitliliği ve dolayısıyla onu incelemek için çeşitli yöntemlerin kaynağı olduğu göz önüne alındığında, üçgenin dikkat çekici noktalarının geometrisini incelemek için materyal seçmek ve geliştirmek gereklidir. Üstelik, bu materyali seçerken, kişi kendisini yalnızca yazılı dairenin merkezi (iki açıortayların kesişme noktası), orta açının merkezi gibi Devlet eğitim standardı tarafından okul müfredatında öngörülen dikkate değer noktalarla sınırlamamalıdır. çevrel daire (ortaortayların kesişme noktası), kenarortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası. Ancak üçgenin doğasına derinlemesine nüfuz etmek ve onun tükenmezliğini kavramak için, üçgenin mümkün olduğunca çok dikkat çekici noktası hakkında fikir sahibi olmak gerekir. Geometrik bir nesne olarak üçgenin tükenmezliğine ek olarak, bir çalışma nesnesi olarak üçgenin en şaşırtıcı özelliğine dikkat etmek gerekir: Bir üçgenin geometrisinin incelenmesi, özelliklerinden herhangi birinin incelenmesiyle başlayabilir, bunu esas alarak; daha sonra üçgeni inceleme metodolojisi, üçgenin diğer tüm özelliklerinin bu temele dayanabileceği şekilde oluşturulabilir. Başka bir deyişle, üçgeni incelemeye nereden başlarsanız başlayın, bu muhteşem figürün istediğiniz derinliğine her zaman ulaşabilirsiniz. Ancak daha sonra - bir seçenek olarak - üçgenin dikkat çekici noktalarını inceleyerek çalışmaya başlayabilirsiniz.

Dersin amacı bir üçgenin dikkat çekici noktalarını incelemektir. Bu hedefe ulaşmak için aşağıdaki görevleri çözmek gerekir:

· Açıortay, ortanca, yükseklik, dik açıortay kavramlarını ve özelliklerini inceleyin.

· Okulda çalışılmayan Gergonne noktasını, Euler çemberini ve Euler çizgisini düşünün.

1. BÖLÜM. Üçgenin açıortayı, üçgenin yazılı çemberinin merkezi. Bir üçgenin açıortayının özellikleri. Gergonna noktası

1 Bir üçgenin yazılı dairesinin merkezi

Bir üçgenin dikkat çekici noktaları, konumu üçgen tarafından benzersiz bir şekilde belirlenen ve üçgenin kenarlarının ve köşelerinin alınma sırasına bağlı olmayan noktalardır.

Bir üçgenin açıortayı, bir köşeyi karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir üçgenin açıortay kısmıdır.

Teorem. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası, kenarlarından eşit uzaklıkta (yani üçgenin kenarlarını içeren çizgilerden eşit uzaklıkta). Tersine: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur.

Kanıt. 1) BAC açısının açıortayı üzerinde rastgele bir M noktası alın, AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgileri çizin ve MK = ML olduğunu kanıtlayın. Dik üçgenleri düşünün ?AMK ve ?AML. Hipotenüs ve dar açı bakımından eşittirler (AM - ortak hipotenüs, geleneksel olarak 1 = 2). Bu nedenle MK=ML olur.

) M noktasının içinizde olmasına izin verin ve AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta olsun. AM ışınının BAC açıortay olduğunu kanıtlayalım. AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgilerini çizelim. AKM ve ALM dik üçgenleri hipotenüs ve kenar açısından eşittir (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak MK = ML). Dolayısıyla 1 = 2. Ancak bu, AM ışınının BAC'ın açıortayı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Bir üçgenin açıortayları bir noktada kesişir (çemberin merkezi ve merkez).

ABC üçgeninin AA1 ve BB1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizelim. Teoremine göre (Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersine: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıktaki her nokta açıortay üzerinde bulunur) OK = OM ve OK = deriz. OL. Bu nedenle OM = OL, yani O noktası ACB kenarlarından eşit uzaklıktadır ve dolayısıyla bu açının CC1 açıortayında yer alır. Bu nedenle üç açıortay da ?ABC O noktasında kesişiyor ve bunun kanıtlanması gerekiyor.

daire açıortay üçgen çizgisi

1.2 Bir üçgenin açıortayının özellikleri

Herhangi bir açının açıortay BD'si (Şekil 1.1) ?ABC, karşı kenarı üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılı AD ve CD parçalarına böler.

ABD = DBC ise AD: DC = AB: BC olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

CE'yi gerçekleştirelim || BD, AB kenarının devamı ile E noktasındaki kesişim noktasına kadar. Daha sonra, birkaç paralel çizgiyle kesişen çizgiler üzerinde oluşan bölümlerin orantılılığı teoremine göre şu oranı elde edeceğiz: AD: DC = AB: BE. Bu orandan kanıtlanması gereken orana geçmek için BE = BC denklemini bulmak yeterlidir. ?TÜM ikizkenarlar. Bu üçgende E = ABD (paralel çizgilerle karşılık gelen açılar olarak) ve ALL = DBC (aynı paralel çizgilerle çapraz açılar olarak).

Ancak koşula göre ABD = DBC; bu, E = ALL anlamına gelir ve dolayısıyla eşit açıların karşısında bulunan BE ve BC kenarları eşittir.

Şimdi yukarıda yazılan orandaki BE'yi BC ile değiştirerek ispatlanması gereken oranı elde ediyoruz.

20 Bir üçgenin iç ve komşu açılarının orta açıları birbirine diktir.

Kanıt. BD, ABC'nin açıortayı olsun (Şekil 1.2) ve BE, belirtilen iç açıya bitişik dış CBF'nin açıortayı olsun, ?ABC. O halde ABD = DBC ='yi belirtirsek ?, CBE = EBF = ?, sonra 2 ? + 2?= 1800 ve dolayısıyla ?+ ?= 900. Ve bu BD anlamına mı geliyor? OLMAK.

30 Bir üçgenin bir dış açısının açıortayı, karşı kenarı dışarıdan bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

(Şek.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Bir üçgenin herhangi bir açısının açıortayı, karşı kenarı üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılı parçalara böler.

Kanıt. düşünelim ?ABC. Kesinlik sağlamak için CAB açıortayının BC kenarını D noktasında kesmesine izin verin (Şekil 1.4). BD: DC = AB: AC olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, C noktasından AB çizgisine paralel bir çizgi çizin ve bu AD çizgisinin kesişme noktasını E ile belirtin. O halde DAB=DEC, ABD=ECD ve dolayısıyla ?DAB~ ?DEC, üçgenlerin benzerliğinin ilk kriterine dayanmaktadır. Ayrıca, AD ışını bir açıortay CAD olduğundan CAE = EAB = AEC olur ve bu nedenle, ?ECA ikizkenarları. Dolayısıyla AC=CE olur. Ancak bu durumda benzerlikten ?DAB ve ?DEC, BD: DC=AB: CE =AB: AC sonucunu takip eder ve kanıtlanması gereken de budur.

Bir üçgenin dış açısının açıortayı, bu açının tepe noktasının karşısındaki tarafın uzantısıyla kesişirse, ortaya çıkan kesişme noktasından karşı tarafın uçlarına kadar olan bölümler, üçgenin bitişik kenarlarıyla orantılıdır.

Kanıt. düşünelim ?ABC. F, CA kenarının uzantısı üzerinde bir nokta olsun; D, BAF dış üçgeninin açıortayının CB kenarının uzantısı ile kesişme noktası olsun (Şekil 1.5). DC:DB=AC:AB olduğunu gösterelim. Aslında, C noktasından AB doğrusuna paralel bir doğru çizelim ve bu doğrunun DA doğrusu ile kesişme noktasını E ile gösterelim. Daha sonra ADB üçgeni ~ ?EDC ve dolayısıyla DC:DB=EC:AB. Ve o zamandan beri ?EAC= ?KÖTÜ= ?CEA, daha sonra ikizkenar olarak ?CEA tarafı AC=EC ve dolayısıyla DC:DB=AC:AB, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

3 Açıortayın özelliklerini kullanarak problem çözme

Problem 1. O, şeklinde yazılı bir dairenin merkezi olsun. ?ABC, CAB = ?. COB = 900 + olduğunu kanıtlayın? /2.

Çözüm. O yazılı olanın merkezi olduğundan ?Bir dairenin ABC'si (Şekil 1.6), BO ve CO ışınları sırasıyla ABC ve BCA'nın ortaortaylarıdır. Ve sonra COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, kanıtlanması gereken şey buydu.

Problem 2. O'nun anlatılanların merkezi olmasına izin verin. ?Bir çemberin ABC'si, H, BC kenarına çizilen yüksekliğin tabanıdır. CAB açıortayının aynı zamanda açıortay olduğunu kanıtlayın? Ah.

AD, CAB'nin açıortayı olsun, AE çevrelenenin çapı olsun ?Bir dairenin ABC'si (Şekil 1.7, 1.8). Eğer ?ABC akuttur (Şekil 1.7) ve dolayısıyla ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ AC yayları ve ?BHA ve ?ECA dikdörtgen (BHA =ECA = 900), o zaman ?ah~ ?ECA ve dolayısıyla CAO = CAE =HAB. Ayrıca, BAD ve CAD koşula göre eşittir, yani HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Şimdi ABC = 900 olsun. Bu durumda AH yüksekliği AB kenarına denk geliyorsa, O noktası AC hipotenüsüne ait olacaktır ve dolayısıyla problemin ifadesinin geçerliliği açıktır.

ABC > 900 olduğu durumu ele alalım (Şekil 1.8). Burada ABCE dörtgeni bir daire içine yazılmıştır ve dolayısıyla AEC = 1800 - ABC'dir. Öte yandan ABH = 1800 - ABC, yani. AEC = ABH. Ve o zamandan beri ?BHA ve ?ECA dikdörtgendir ve dolayısıyla HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, bu durumda HAD = HAB +BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. BAC ve ACB'nin geniş olduğu durumlar benzer şekilde ele alınır. ?

4 Noktalı Gergonna

Gergonne noktası, üçgenin köşelerini bu köşelerin karşısındaki kenarların teğet noktalarına ve üçgenin yazılı dairesine bağlayan doğruların kesişme noktasıdır.

ABC üçgeninin iç çemberinin merkezi O noktası olsun. İç çemberin BC, AC ve AB üçgeninin kenarlarına sırasıyla D, E ve F noktalarında değmesine izin verin. Gergonne noktası AD, BE ve CF doğru parçalarının kesişme noktasıdır. O noktası yazılı dairenin merkezi olsun ?ABC. İç çemberin BC, AC ve AB üçgeninin kenarlarına sırasıyla D, E ve F noktalarında değmesine izin verin. Gergonne noktası AD, BE ve CF doğru parçalarının kesişme noktasıdır.

Bu üç doğru parçasının aslında bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Çemberin merkezinin açıortayların kesişme noktası olduğuna dikkat edin. ?ABC ve iç çemberin yarıçapları OD, OE ve OF'dir ?üçgenin kenarları. Böylece, üç çift eşit üçgenimiz var (AFO ve AEO, BFO ve BDO, CDO ve CEO).

AF?BD çalışıyor mu? CE ve AE? OLMAK? CF eşittir, çünkü BF = BD, CD = CE, AE = AF, dolayısıyla bu çarpımların oranı eşittir ve Ceva teoremine göre (A1, B1, C1 noktaları BC, AC ve AB taraflarında olsun? ABC sırasıyla AA1, BB1 ve CC1 doğru parçalarının bir noktada kesişmesine izin verin.

(üçgenin etrafında saat yönünde dönüyoruz)), segmentler bir noktada kesişiyor.

Yazılı dairenin özellikleri:

Bir dairenin tüm kenarlarına değmesi durumunda üçgenin içine yazıldığı söylenir.

Herhangi bir üçgenin içine bir daire yazılabilir.

Verilenler: ABC - bu üçgen, O - açıortayların kesişme noktası, M, L ve K - dairenin üçgenin kenarlarına teğet noktaları (Şekil 1.11).

Kanıt: O, ABC'de yazılı bir dairenin merkezidir.

Kanıt. O noktasından sırasıyla AB, BC ve CA kenarlarına OK, OL ve OM dikmelerini çizelim (Şekil 1.11). O noktası ABC üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıkta olduğundan OK = OL = OM olur. Bu nedenle, OK yarıçaplı O merkezli bir daire K, L, M noktalarından geçer. ABC üçgeninin kenarları, OK, OL ve OM yarıçaplarına dik oldukları için bu daireye K, L, M noktalarında dokunur. Bu, ABC üçgeninde OK yarıçaplı O merkezli bir çemberin yazılı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin içine yazılan dairenin merkezi, açıortaylarının kesişme noktasıdır.

ABC verilsin, O, içine yazılan dairenin merkezi olsun, D, E ve F, dairenin kenarlarla temas noktaları olsun (Şekil 1.12). ? AEO = ? Hipotenüs ve kenardaki AOD (EO = OD - yarıçap olarak, AO - toplam). Üçgenlerin eşitliğinden ne çıkar? OAD = ? O.A.E. Yani AO, EAD açısının açıortayıdır. Aynı şekilde O noktasının üçgenin diğer iki açıortayında olduğu kanıtlanır.

Teğet noktasına çizilen yarıçap, teğete diktir.

Kanıt. Çevreleyen (O; R) belirli bir daire olsun (Şekil 1.13), düz bir a çizgisi ona P noktasında değiyor. OP yarıçapının a'ya dik olmamasına izin verin. O noktasından teğete dik bir OD çizelim. Teğetin tanımı gereği, P noktası ve özellikle D noktası dışındaki tüm noktalar çemberin dışında yer alır. Bu nedenle dik OD'nin uzunluğu, eğik OP'nin R uzunluğundan daha büyüktür. Bu, eğik özelliğe aykırıdır ve sonuçta ortaya çıkan çelişki, ifadeyi kanıtlar.

BÖLÜM 2. Üçgenin dikkat çekici 3 noktası, Euler çemberi, Euler düz çizgisi.

1 Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi

Bir segmente dik açıortay, segmentin ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.

Teorem. Bir parçanın dik açıortayının her noktası o parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik olan ortaorta üzerinde yer alır.

Kanıt. Düz çizgi m, AB doğru parçasına dik açıortay olsun ve O noktası da parçanın orta noktası olsun.

m düz çizgisi üzerinde keyfi bir M noktası düşünelim ve AM=BM olduğunu kanıtlayalım. M noktası O noktasıyla çakışıyorsa bu eşitlik doğrudur, çünkü O AB doğru parçasının orta noktasıdır. M ve O farklı noktalar olsun. Dikdörtgen ?OAM ve ?OBM iki ayak üzerinde eşittir (OA = OB, OM ortak ayaktır), dolayısıyla AM = BM.

) AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta keyfi bir N noktası düşünün ve N noktasının m doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın. Eğer N, AB doğrusu üzerinde bir nokta ise, AB doğru parçasının O orta noktası ile çakışır ve dolayısıyla m doğrusu üzerinde yer alır. Eğer N noktası AB doğrusu üzerinde değilse, o zaman şunu düşünün: ?AN=BN olduğundan ikizkenar olan ANB. NO segmenti bu üçgenin medyanı ve dolayısıyla yüksekliğidir. Dolayısıyla NO AB'ye diktir, bu nedenle ON ve m çizgileri çakışır ve bu nedenle N, m çizgisinin bir noktasıdır. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar. Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar bir noktada (çevrel çemberin merkezi) kesişir.

AB ve BC kenarlarına m ve n dikmelerinin kesişme noktası olan O'yu gösterelim. ?ABC. Teoremine göre (bir doğru parçasına dik olan açıortayın her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersine: parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır.) OB = OA olduğu sonucuna varırız ve OB = OC dolayısıyla: OA = OC, Yani O noktası, AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik olan p ortay üzerinde yer alır. Bu nedenle, her üç açıortay m, n ve p yanlara doğru ?ABC O noktasında kesişiyor.

Dar bir üçgen için bu nokta üçgenin içinde, geniş bir üçgen için üçgenin dışında, dik bir üçgen için hipotenüsün ortasında yer alır.

Bir üçgenin dik açıortayının özelliği:

Üçgenin iç ve dış açılarının açıortaylarının bir tepe noktasından çıktığı çizgiler, üçgenin çevrelediği dairenin taban tabana zıt noktalarından karşı tarafa dik orta yol ile kesişir.

Kanıt. Örneğin, ABC açıortayının yukarıda açıklananla kesişmesine izin verin. ?D noktasındaki ABC çemberi (Şekil 2.1). Daha sonra, yazılı ABD ve DBC eşit olduğundan, AD = yay DC olur. Ancak AC kenarına dik olan açıortay aynı zamanda AC yayını da ikiye böler, dolayısıyla D noktası da bu dik açıortaya ait olacaktır. Ayrıca, paragraf 1.3'teki özellik 30 uyarınca, ABC'ye bitişik BD ABC açıortayı olduğundan, ABC, yazılı bir dik açı her zaman çapa dayandığından, daireyi D noktasına taban tabana zıt bir noktada kesecektir.

2 Bir üçgenin çemberinin ortosantırı

Yükseklik, bir üçgenin köşesinden karşı kenarı içeren bir düz çizgiye çizilen dikmedir.

Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada (ortomerkez) kesişir.

Kanıt. Keyfi düşünün ?ABC ve yüksekliklerini içeren AA1, BB1, CC1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. Her köşeden geçelim ?ABC karşı kenara paralel bir düz çizgidir. Aldık ?A2B2C2. A, B ve C noktaları bu üçgenin orta noktalarıdır. Aslında AB=A2C ve AB=CB2, ABA2C ve ABCB2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A2C=CB2. Benzer şekilde C2A=AB2 ve C2B=BA2. Ayrıca yapıdan da anlaşılacağı üzere CC1 A2B2'ye dik, AA1 B2C2'ye dik ve BB1 A2C2'ye diktir. Böylece, AA1, BB1 ve CC1 doğruları kenarlara dik açıortaylardır. ?A2B2C2. Bu nedenle bir noktada kesişirler.

Üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkez, dar açılarda üçgenin içinde, dışında - geniş açılarda veya tepe noktasıyla çakışabilir, dikdörtgen olanlarda ise tepe noktasıyla dik açıyla çakışır.

Bir üçgenin yüksekliğinin özellikleri:

Dar bir üçgenin iki yüksekliğinin tabanlarını birleştiren bir bölüm, ortak açının kosinüsüne eşit bir benzerlik katsayısı ile verilene benzer bir üçgeni ondan keser.

Kanıt. AA1, BB1, CC1 ABC dar üçgeninin yükseklikleri olsun ve ABC = ?(Şekil 2.2). BA1A ve CC1B dik üçgenlerinin ortak noktası ?yani benzerler, yani BA1/BA = BC1/BC = cos ?. Bundan BA1/BC1=BA/BC = cos çıkar. ?, yani V ?C1BA1 ve ?Ortak alana bitişik ABC kenarları ??C1BA1~ ?ABC, benzerlik katsayısı cos'a eşit ?. Benzer şekilde kanıtlanmıştır ki ?A1CB1~ ?Benzerlik katsayısı cos BCA olan ABC ve ?B1AC1~ ?Benzerlik katsayılı ABC çünkü CAB.

Bir dik üçgenin hipotenüsüne düşen yükseklik, onu birbirine benzer ve orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Kanıt. Dikdörtgen düşünün ?ABC, sahip olduğu ?BCA = 900 ve CD yüksekliğidir (Şekil 2.3).

Daha sonra benzerlik ?ADC ve ?BDC, örneğin, AD/CD = CD/DB olduğundan, dik üçgenlerin iki bacağın orantılılığıyla benzerlik işaretinden çıkar. ADC ve BDC dik üçgenlerinin her biri, en azından iki açıdaki benzerliğe dayalı olarak orijinal dik üçgene benzer.

Yükseklik özelliklerinin kullanımını içeren problemlerin çözümü

Problem 1. Köşelerinden biri verilen geniş üçgenin tepe noktası, diğer iki köşesi geniş üçgenin diğer iki köşesi hariç tutulan yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgenin aşağıdakine benzer olduğunu kanıtlayın: benzerlik katsayısı birinci tepe noktasındaki açının kosinüsüne eşit olan üçgen.

Çözüm. Geniş bir düşünün ?Aptal CAB ile ABC. Yükseklikleri AA1, BB1, CC1 olsun (Şekil 2.4, 2.5, 2.6) ve CAB = olsun ?, ABC = ? , BCA = ?.

Bu gerçeğin kanıtı ?C1BA1~ ?Benzerlik katsayısı k = cos olan ABC (Şekil 2.4) ?, mülkiyet kanıtı 1, paragraf 2.2'de yürütülen gerekçeyi tamamen tekrarlamaktadır.

Hadi bunu kanıtlayalım ?A1CB~ ?Benzerlik katsayısı k1= cos olan ABC (Şekil 2.5) ?, A ?B1AC1~ ?ABC (Şekil 2.6) benzerlik katsayısı k2 = |cos? |.

Aslında CA1A ve CB1B dik üçgenlerinin ortak bir açısı vardır. ?ve dolayısıyla benzer. Buradan B1C/ BC = A1C / AC= cos çıkar. ?ve dolayısıyla B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, yani A1CB1 ve ABC üçgenlerinde ortak bir kenar oluşturan kenarlar ??, orantılıdır. Ve sonra, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ikinci kritere göre ?A1CB~ ?ABC, benzerlik katsayısı k1= cos ile ?. Son duruma gelince (Şekil 2.6), dik üçgenlerin dikkate alınmasından ?BB1A ve ?CC1A eşit dikey açılara sahip BAB1 ve C1AC, bunların benzer olduğu ve dolayısıyla B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |çünkü ?|, beri ??- köreltmek. Dolayısıyla B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| ve böylece üçgenlerde ?B1AC1 ve ?Eşit açı oluşturan ABC kenarları orantılıdır. Ve bu şu anlama geliyor ?B1AC1~ ?Benzerlik katsayılı ABC k2 = |cos? |.

Problem 2. Eğer O noktası bir ABC dar üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası ise ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800 olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Problem cümlesinde verilen formüllerden ilkinin geçerliliğini kanıtlayalım. Geriye kalan iki formülün geçerliliği de benzer şekilde kanıtlanmıştır. O halde ABC = olsun ?, AOC = ?. A1, B1 ve C1, sırasıyla A, B ve C köşelerinden çizilen üçgenin yüksekliklerinin tabanlarıdır (Şekil 2.7). Daha sonra BC1C dik üçgeninden BCC1 = 900 - çıkar. ?ve dolayısıyla OA1C dik üçgeninde COA1 açısı eşittir ?. Ancak AOC + COA1 açılarının toplamı = ? + ?düz bir açı verir ve bu nedenle AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Problem 3. Dar bir üçgenin yüksekliklerinin, köşeleri bu üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgenin açılarının ortaortayları olduğunu kanıtlayın.

is.2.8

Çözüm. AA1, BB1, CC1 ABC dar üçgeninin yükseklikleri olsun ve CAB = olsun ?(Şekil 2.8). Örneğin AA1 yüksekliğinin C1A1B1 açısının açıortayı olduğunu kanıtlayalım. Aslında, C1BA1 ve ABC üçgenleri benzer olduğundan (özellik 1), bu durumda BA1C1 = ?ve dolayısıyla C1A1A = 900 - ?. A1CB1 ve ABC üçgenlerinin benzerliğinden AA1B1 = 900 - sonucu çıkar. ?ve dolayısıyla C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Ancak bu, AA1'in C1A1B1 açısının açıortayı olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin diğer iki yüksekliğinin, A1B1C1 üçgeninin karşılık gelen diğer iki açısının ortaortayları olduğu kanıtlanmıştır.

3 Üçgen çemberinin ağırlık merkezi

Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir köşesini karşı kenarın orta noktasına bağlayan bir segmenttir.

Teorem. Üçgenin kenarortayları bir noktada (ağırlık merkezi) kesişir.

Kanıt. Keyfi olarak mı düşünelim? ABC.

AA1 ve BB1 kenarortaylarının kesişim noktasını O harfi ile gösterelim ve bu üçgenin A1B1 orta çizgisini çizelim. A1B1 doğru parçası AB kenarına paralel olduğundan 1 = 2 ve 3 = 4 olur. Bu nedenle, ?AOB ve ?A1OB1 iki açıda benzerdir ve dolayısıyla kenarları orantılıdır: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Ama AB=2A1B1, yani AO=2A1O ve BO=2B1O. Böylece, AA1 ve BB1 kenarortaylarının kesişimindeki O noktası, köşeden sayılarak her birini 2:1 oranında böler.

Benzer şekilde, BB1 ve CC1 medyanlarının kesişme noktasının her birini tepe noktasından sayarak 2:1 oranında böldüğü ve bu nedenle O noktasıyla çakıştığı ve ona 2:1 oranında bölündüğü kanıtlanmıştır. tepe noktasından sayma.

Bir üçgenin medyanının özellikleri:

10 Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.

Verilen: ?ABC, AA1, BB1 - medyanlar.

Kanıt: AO:OA1=VO:OB1=2:1

Kanıt. Orta çizgi A1B1||AB'nin özelliğine göre A1B1=1/2 AB orta çizgisini çizelim (Şekil 2.10). A1B1'den bu yana || AB, bu durumda 1 = 2, AB ve A1B1 paralel çizgileri ve AA1 sekantıyla çapraz olarak uzanır. 3 = 4, A1B1 ve AB paralel çizgileri ve BB1 sekantıyla çapraz olarak uzanıyor.

Buradan, ?AOB ~ ?A1OB1 iki açının eşitliği ile belirlenir, bu da kenarların orantılı olduğu anlamına gelir: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Kanıt. BD - medyan ?ABC (Şekil 2.11), BE - yüksekliği. Daha sonra ?ABD ve ?DBC'nin boyutları eşittir çünkü sırasıyla AD ve DC tabanları ve BE ortak yüksekliğine sahiptirler.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Üçgenin ortancasının devamında, üçgenin kenarının ortasından ortancaya eşit uzunlukta bir parça çıkarılırsa, bu parçanın bitiş noktası ve üçgenin köşeleri köşelerdir. paralelkenar.

Kanıt. BC kenarının orta noktası D olsun ?ABC (Şekil 2.12), E, AD doğrusu üzerinde DE=AD olacak şekilde bir noktadır. Bu durumda, ABEC dörtgeninin D noktasındaki AE ve BC köşegenleri ikiye bölündüğü için, özellik 13.4'ten ABEC dörtgeninin bir paralelkenar olduğu sonucu çıkar.

Ortancaların özelliklerini kullanarak problemleri çözme:

Problem 1. O'nun medyanların kesişme noktası olduğunu kanıtlayın ?ABC o zaman ?A.O.B. ?BOC ve ?AOC'nin boyutu eşittir.

Çözüm. AA1 ve BB1 medyan olsun ?ABC(Şekil 2.13). düşünelim ?AOB ve ?BOC. Açıkça görülüyor ki S ?AOB = S ?AB1B-S ?AB1O, S ?BOK=S ?BB1C-S ?OB1C. Ama özellik 2'ye göre elimizde S var ?AB1B=S ?BB1C, S ?AOB = S ?OB1C, yani S ?AOB = S ?BOC. Eşitlik S ?AOB = S ?AOC.

Problem 2. O noktasının içeride olduğunu kanıtlayın ?ABC ve ?A.O.B. ?BOC ve ?AOC'nin alanı eşitse, O medyanların kesişme noktası mıdır? ABC.

Çözüm. düşünelim ?ABC (2.14) ve O noktasının BB1 medyanı üzerinde olmadığını varsayalım. O zaman OB1 medyan olduğundan ?AOC sonra S ?AOB1 = S ?B1OC ve S koşuluna göre ?AOB = S ?BOC, sonra S ?AB1OB = S ?BOB1C. Ama bu olamaz çünkü S ?ABB1 = S ?B1BC. Ortaya çıkan çelişki, O noktasının BB1 medyanı üzerinde olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde O noktasının diğer iki medyana ait olduğu kanıtlanmıştır. ?ABC. Buradan O noktasının gerçekten üç medyanın kesişme noktası olduğu sonucu çıkıyor? ABC.

Problem 3. Aşağıdakileri kanıtlayın: ?ABC kenarları AB ve BC eşit değilse, bu durumda onun ortayağı BD BM ortancası ile BH yüksekliği arasında yer alır.

Kanıt. hakkında anlatalım ?ABC bir dairedir ve açıortay BD'yi K noktasında daireyle kesişinceye kadar uzatır. AC doğru parçasına dik olan orta nokta, medyanla ortak bir M noktasına sahip olan K noktasından (paragraf 2.1'deki özellik 1) geçecektir. Ancak BH ve MK doğru parçaları paralel olduğundan ve B ve K noktaları AC doğrusunun karşıt taraflarında yer aldığına göre, BK ve AC doğru parçalarının kesişme noktası HM doğru parçasına aittir ve bu gerekliliği kanıtlar.

Problem 4.B ?ABC kenarortayı BM, AB kenarının yarısı kadardır ve onunla 400 derecelik bir açı oluşturur.

Çözüm. Medyan BM'yi uzunluğu kadar M noktasının ötesine uzatalım ve D noktasını elde edelim (Şekil 2.15). AB = 2BM olduğuna göre AB = BD yani ABD üçgeni ikizkenardır. Dolayısıyla KÖTÜ = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. ABCD dörtgeni bir paralelkenardır çünkü köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Bu, CBD = ADB = 700 anlamına gelir. O halde ABC = ABD + CBD =1100 Cevap 1100'dür.

Problem 5. ABC kenarları a, b, c'ye eşittir. c kenarına çizilen medyan mc'yi hesaplayın (Şekil 2.16).

Çözüm. ACBP paralelkenarına ABC'yi oluşturarak medyanı ikiye katlayalım ve bu paralelkenara Teorem 8'i uygulayalım: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, yani. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, buradan şunu buluyoruz:

2.4 Euler çemberi. Euler çizgisi

Teorem. Medyanların tabanları, rastgele bir üçgenin yükseklikleri ve üçgenin köşelerini diklik merkezi ile birleştiren bölümlerin orta noktaları, yarıçapı, etrafında çevrelenen dairenin yarıçapının yarısına eşit olan aynı daire üzerinde yer alır. üçgen. Bu daireye dokuz noktalı daire veya Euler dairesi denir.

Kanıt. Ortadaki?MNL'yi alalım (Şekil 2.17) ve onun etrafında bir W çemberi tanımlayalım. LQ segmenti dikdörtgensel?AQB'deki ortancadır, yani LQ=1/2AB. MN=1/2AB segmenti, çünkü MN - orta çizgi? ABC. Buradan yamuk QLMN'nin ikizkenar olduğu sonucu çıkar. W çemberi bir ikizkenar yamuk L, M, N'nin 3 köşesinden geçtiği için dördüncü Q köşe noktasından da geçecektir. Benzer şekilde P'nin W'ye, R'nin W'ye ait olduğu kanıtlanmıştır.

X, Y, Z noktalarına geçelim. XL doğru parçası orta çizgi olan AHB olarak BH'ye diktir. BH segmenti AC'ye diktir ve AC, LM'ye paralel olduğundan BH, LM'ye diktir. Bu nedenle XLM=P/2. Aynı şekilde XNM= P/2.

LXNM dörtgeninde, iki zıt açı dik açıdır, dolayısıyla onun etrafında bir daire tanımlanabilir. Bu W çemberi olacak. Yani X W'ye ait, aynı şekilde Y de W'ye ait, Z de W'ye ait.

Ortadaki?LMN,?ABC'ye benzer. Benzerlik katsayısı 2'dir. Dolayısıyla dokuz noktalı dairenin yarıçapı R/2'dir.

Euler çemberinin özellikleri:

Dokuz noktalı dairenin yarıçapı, ?ABC etrafında çevrelenen dairenin yarıçapının yarısına eşittir.

Dokuz noktalı çember ABC'nin çevrelediği çembere homotetiktir ve bu katsayı ne kadardır? ½ ve H noktasındaki homotetik merkez.

Teorem. Ortomerkez, ağırlık merkezi, çevrel merkez ve dokuz noktalı daire merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Euler'in düz çizgisi.

Kanıt. H ABC ortomerkez olsun (Şekil 2.18) ve O çevrelenen dairenin merkezi olsun. Yapı itibarıyla, dik açıortaylar?ABC medyan?MNL'nin yüksekliklerini içerir, yani O aynı anda ortomerkez?LMN'dir. ?LMN ~ ?ABC, benzerlik katsayıları 2, yani BH=2ON.

H ve O noktalarından geçen düz bir çizgi çizelim. İki benzer üçgen elde ediyoruz:NOG ve?BHG. BH=2ON olduğundan BG=2GN olur. İkincisi, G noktasının ABC'nin ağırlık merkezi olduğu anlamına gelir. G noktası için HG:GO=2:1 oranı sağlanır.

Ayrıca TF dik açıortay olsun ve MNL ve F bu dikin HO çizgisiyle kesişme noktası olsun. Benzer ?TGF ve ?STK'yı ele alalım. G noktası ?MNL'nin ağırlık merkezidir, dolayısıyla ?TGF ve ?NGO'nun benzerlik katsayısı 2'ye eşittir. Dolayısıyla OG=2GF ve HG=2GO olduğundan HF=FO ve F, HO segmentinin ortasıdır.

Aynı mantığı karşı taraf?MNL'ye dik açıortay için de yaparsak, bu durumda HO doğru parçasının da ortasından geçmesi gerekir. Ancak bu, F noktasının dik açıortayların (MNL) noktası olduğu anlamına gelir. Bu nokta Euler çemberinin merkezidir. Teorem kanıtlandı.

ÇÖZÜM

Bu çalışmada, okulda incelenen üçgenin 4 harika noktasına ve bu noktaların birçok problemi çözebileceğimiz özelliklerine baktık. Gergonne noktası, Euler çemberi ve Euler düz çizgisi de dikkate alındı.

KULLANILAN KAYNAKLARIN LİSTESİ

1.Geometri 7-9. Ortaokullar için ders kitabı // Atanasyan L.S., Butuzov V.F. ve diğerleri - M.: Eğitim, 1994.

2.Amelkin V.V. Düzlemde geometri: Teori, problemler, çözümler: Ders kitabı. Matematik üzerine bir el kitabı // V.V. Rabtsevich, V.L. Timokhovich - Mn .: “Asar”, 2003.

.V.S. Bolodurin, O.A. Vakhmyanina, T.S. Izmailova // Temel geometri kılavuzu. Orenburg, OGPI, 1991.

.Prasolov V.G. Planimetride sorunlar. - 4. baskı, eklenmiş - M.: Moskova Sürekli Matematik Eğitimi Merkezi yayınevi, 2001.

Sverdlovsk Bölgesi Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı.

Yekaterinburg Belediye Eğitim Kurumu.

Eğitim kurumu – MOUSOSH No. 212 “Ekaterinburg Kültür Lisesi”

Eğitim alanı – matematik.

Konu - geometri.

Üçgenin dikkat çekici noktaları

Referans: 8. sınıf öğrencisi

Selitsky Dmitry Konstantinovich.

Bilimsel süpervizör:

Rabkanov Sergey Petrovich.

Ekaterinburg, 2001

giriiş 3

Açıklayıcı kısım:

Ortomerkez 4

Merkez 5

Ağırlık merkezi 7

Çevre merkezi 8

Euler hattı 9

Pratik kısım:

Ortosentrik üçgen 10

Sonuç 11

Referanslar 11

Giriiş.

Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Sürekli yeni özellikleri keşfediliyor. Bir üçgenin bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek çok zaman alacaktır. “Üçgenin dikkat çekici noktaları” olarak adlandırılan şeyler ilgimi çekti. Bu tür noktalara örnek olarak açıortayların kesişme noktası verilebilir. Dikkat çekici olan şu ki, uzayda rastgele üç nokta alıp bunlardan bir üçgen oluşturursanız ve açıortaylar çizerseniz, bu açıortaylar bir noktada kesişecektir! Rastgele puanlar aldığımız için bu mümkün değil gibi görünüyor, ancak bu kural her zaman geçerlidir. Diğer “dikkate değer noktalar” da benzer özelliklere sahiptir.

Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra kendime beş harika noktanın ve bir üçgenin tanımlarını ve özelliklerini belirledim. Ancak işim burada bitmedi; bu noktaları kendim araştırmak istedim.

Bu yüzden hedef Bu çalışma, bir üçgenin dikkat çekici bazı özelliklerinin incelenmesi ve ortosentrik bir üçgenin incelenmesidir. Bu hedefe ulaşma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Bir öğretmenin yardımıyla edebiyat seçimi

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve çizgilerinin temel özelliklerinin incelenmesi

Bu özelliklerin genelleştirilmesi

Ortosentrik üçgen içeren bir problemin çizilmesi ve çözülmesi

Bu araştırma çalışmasında elde edilen sonuçları sundum. Tüm çizimleri bilgisayar grafiklerini (vektör grafik editörü CorelDRAW) kullanarak yaptım.

Ortocenter. (Yüksekliklerin kesişme noktası)

Yüksekliklerin bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Hadi sizi zirvelerden geçirelim A, İÇİNDE Ve İLEüçgen ABC zıt kenarlara paralel düz çizgiler. Bu çizgiler bir üçgen oluşturur A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . üçgenin yüksekliği ABCüçgenin kenarlarına dik açıortaylardır A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . bu nedenle bir noktada kesişirler - üçgenin çevrel çemberinin merkezinde A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına diklik merkezi denir ( H).

Merkez, yazılı dairenin merkezidir.

(Ortaortayların kesişme noktası)

Bir üçgenin açılarının ortaortaylarının olduğunu kanıtlayalım. ABC bir noktada kesişir. Önemli noktayı düşünün HAKKINDA açıortay kesişimleri A Ve İÇİNDE. A açısının açıortayının herhangi bir noktası doğrulardan eşit uzaklıktadır AB Ve klima ve açıortayın herhangi bir noktası İÇİNDE düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB Ve Güneş yani nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta klima Ve Güneş, yani açının ortaortasında yer alır İLE. nokta HAKKINDA düz çizgilerden eşit uzaklıkta AB, Güneş Ve SA yani merkezi olan bir daire var HAKKINDA, bu çizgilere teğettir ve teğet noktaları uzantılarında değil, yanlarda bulunur. Aslında köşelerdeki açılar A Ve İÇİNDEüçgen AOB keskin dolayısıyla projeksiyon noktası HAKKINDA doğrudan AB segmentin içinde yer alıyor AB.

Partiler için Güneş Ve SA kanıt benzerdir.

Icenter'ın üç özelliği vardır:

Açıortayın devamı ise İLE bir üçgenin çevrel çemberi ile kesişir ABC bu noktada M, O yüksek lisans=OG=MO.

Eğer AB- ikizkenar üçgenin tabanı ABC, ardından açının kenarlarına teğet olan daire DIA noktalarda A Ve İÇİNDE, noktadan geçer HAKKINDA.

Bir noktadan geçen bir çizgi ise HAKKINDA kenara paralel AB, yanları geçiyor Güneş Ve SA noktalarda A 1 Ve İÇİNDE 1 , O A 1 İÇİNDE 1 =A 1 İÇİNDE+AB 1 .

Ağırlık merkezi. (Orta refüjlerin kesişme noktası)

Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Bunun için şu noktayı göz önünde bulundurun M medyanların kesiştiği yer AA 1 Ve BB 1 . hadi bir üçgen çizelim BB 1 İLE orta hat A 1 A 2 , paralel BB 1 . Daha sonra A 1 M:AM=İÇİNDE 1 A 2 :AB 1 =İÇİNDE 1 A 2 :İÇİNDE 1 İLE=VA 1 :GÜNEŞ=1:2, yani medyan kesişme noktası BB 1 Ve AA 1 ortancayı böler AA 1 1:2 oranında. Benzer şekilde medyanların kesişme noktası SS 1 Ve AA 1 ortancayı böler AA 1 1:2 oranında. Bu nedenle medyanların kesişme noktası AA 1 Ve BB 1 medyanların kesişme noktasıyla çakışıyor AA 1 Ve SS 1 .

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgenler eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Aslında bunu kanıtlamak yeterlidir R– medyanın herhangi bir noktası AA 1 bir üçgende ABC, sonra üçgenlerin alanları AVR Ve AKP eşittir. Sonuçta ortancalar AA 1 Ve RA 1 üçgenlerde ABC Ve RVS bunları eşit alanlı üçgenlere bölün.

Tersi ifade de doğrudur: eğer bir noktada R, üçgenin içinde yatıyor ABC, üçgenlerin alanı AVR, HRV Ve SAR o zaman eşittir R– medyanların kesişme noktası.

Kesişme noktasının bir özelliği daha vardır: Herhangi bir malzemeden bir üçgen keserseniz, üzerine medyanlar çizerseniz, medyanların kesişme noktasına bir çubuk bağlarsanız ve süspansiyonu bir tripod üzerine sabitlerseniz, model (üçgen) şu şekilde olacaktır: bir denge durumu, dolayısıyla kesişme noktası üçgenin ağırlık merkezinden başka bir şey değildir.

Sınırlandırılmış dairenin merkezi.

Üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktanın olduğunu, yani üçgenin üç köşesinden geçen bir dairenin olduğunu ispatlayalım. Noktalardan eşit uzaklıktaki noktaların yeri A Ve İÇİNDE, segmente diktir AB, ortasından geçerek (segmente dik açıortay) AB). Önemli noktayı düşünün HAKKINDA segmentlere dik olanların açıortaylarının kesiştiği yer AB Ve Güneş. Nokta HAKKINDA noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İÇİNDE ve ayrıca noktalardan İÇİNDE Ve İLE. bu nedenle noktalardan eşit uzaklıkta A Ve İLE, yani aynı zamanda segmente dik açıortay üzerinde de bulunur klima.

Merkez HAKKINDAçevrel daire yalnızca üçgen dar olduğunda üçgenin içinde yer alır. Üçgen dik açılı ise nokta HAKKINDA hipotenüsün ortasıyla çakışıyorsa ve tepe noktasındaki açı ise İLEönce künt sonra düz AB noktaları ayırır HAKKINDA Ve İLE.

Matematikte, tamamen farklı şekillerde tanımlanan nesnelerin aynı olduğu ortaya çıkar. Bunu bir örnekle gösterelim.

İzin vermek A 1 , İÇİNDE 1 ,İLE 1 – kenarların orta noktaları Güneş,SA ve AB. Üçgenlerin sınırlı dairelerinin olduğu kanıtlanabilir AB 1 İLE, A 1 Güneş 1 Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin çevrel merkezidir ABC. Yani, görünüşte tamamen farklı iki noktamız var: dik açıortayların üçgenin kenarlarına kesişme noktası ABC ve üçgenlerin çevrel çemberlerinin kesişme noktası AB 1 İLE 1 , A 1 Güneş Ve A 1 İÇİNDE 1 İLE 1 . ancak bu iki noktanın çakıştığı ortaya çıktı.

Euler'in düz çizgisi.

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının en şaşırtıcı özelliği, bazılarının birbirine belirli ilişkilerle bağlı olmasıdır. Örneğin ağırlık merkezi M, ortomerkez N ve çevrel çemberin merkezi HAKKINDA Aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası OH parçasını böler, böylece ilişki geçerli olur OM:MN=1:2. Bu teorem 1765 yılında İsviçreli bilim adamı Leonardo Euler tarafından kanıtlandı.

Ortosentrik üçgen.

Ortosentrik üçgen(dik üçgen) bir üçgendir ( MNİLE), köşeleri bu üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan ( ABC). Bu üçgenin birçok ilginç özelliği var. Bir tanesini verelim.

Mülk.

Kanıtlamak:

Üçgenler AKM, CMN Ve BKNüçgene benzer ABC;

Dik üçgenin açıları MNKşunlardır: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.

Kanıt:

Sahibiz ABçünkü A, AKçünkü A. Buradan, sabah/AB = AK/AC.

Çünkü üçgenlerde ABC Ve AKM köşe A– ortak iseler benzerdirler ve bundan şu sonuca varırız: L AKM = L C. Bu yüzden L BKM = L C. Sonraki elimizde L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – - - L C, yani SK– açıortay MNK. Bu yüzden, L MNK= π – 2 L C. Geriye kalan eşitlikler de benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Çözüm.

Bu araştırma çalışmasının sonunda aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

Üçgenin dikkate değer noktaları ve çizgileri şunlardır:

ortomerkez bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıdır;

ve merkezüçgen, açıortayların kesişme noktasıdır;

ağırlık merkezi bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasıdır;

çevre merkezi– ortaorta dikmelerinin kesişme noktasıdır;

Euler'in düz çizgisi- bu, ağırlık merkezinin, diklik merkezinin ve çevrelenen dairenin merkezinin bulunduğu düz çizgidir.

Ortosentrik bir üçgen, belirli bir üçgeni üç benzer üçgene böler.

Bu çalışmayı yaptıktan sonra üçgenin özellikleri hakkında çok şey öğrendim. Bu çalışma benim için matematik alanındaki bilgilerimi geliştirmem açısından önemliydi. Gelecekte bu ilginç konuyu geliştirmeyi planlıyorum.

Referanslar.

Kiselyov A.P. Temel geometri. – M.: Eğitim, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar.

– M.: Nauka, 1978.

Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. – M.: Nauka, 1986. – Bölüm 1.

Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.

Scanavi M.I. Çözümlerle ilgili sorunlar. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.

Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası

Teorem 1

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasında: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.

Kanıt.

$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Orta çizgiyi $A_1B_1$ ele alalım (Şekil 1).

Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki

Teorem kanıtlandı.

Üçgen açıortayların kesişme noktası

Teorem 2

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasında: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.

Kanıt.

Şekil 2. Üçgen ortaylar

Teorem 3

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Teorem 4

Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.

Kanıt.

$ABC$ üçgeninin dik açıortayları $n,\ m,\ p$ olarak verilsin. $O$ noktası $n\ ve\ m$ dik açıortaylarının kesişme noktası olsun (Şekil 3).

Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları

Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.

Teorem 5

Bir parçaya dik açıortayın her noktası, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.

Teorem kanıtlandı.

Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası

Teorem 6

Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.

Kanıt.

Şekil 4. Üçgen yükseklikleri

Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.

Baranova Elena

Bu çalışma, üçgenin dikkat çekici noktalarını, bunların özelliklerini ve dokuz noktalı daire ve Euler düz çizgisi gibi desenlerini inceliyor. Euler düz çizgisinin ve dokuz noktalı dairenin keşfinin tarihsel arka planı verilmektedir. Projemin pratik uygulama yönü önerildi.

İndirmek:

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

"ÜÇGENİN HARİKA NOKTALARI." (Uygulamalı ve temel matematik soruları) Elena Baranova 8. sınıf, MKOU “Ortaokul No. 20” Poz. Novoizobilny, Dukhanina Tatyana Vasilievna, matematik öğretmeni, Belediye Eğitim Kurumu "Ortaokul No. 20" Novoizobilny köyü 2013. Belediye devlet eğitim kurumu "Ortaokul No. 20"

Amaç: Üçgeni dikkat çekici noktaları açısından inceleyin, sınıflandırmalarını ve özelliklerini inceleyin. Hedefler: 1. Gerekli literatürü inceleyin 2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin 3.. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının özelliklerini öğrenin 4. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını oluşturabilme. 5. Dikkat çekici noktaların kapsamını keşfedin. Çalışmanın amacı - matematik bölümü - geometri Çalışmanın konusu - üçgen Uygunluk: üçgen ve dikkat çekici noktalarının özellikleri hakkındaki bilginizi genişletin. Hipotez: üçgen ve doğa arasındaki bağlantı

Açıortayların kesişme noktası Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası üçgenin kenarlarından eşit uzaklıktadır. OM=OA=OB

Yüksekliklerin kesişme noktası Köşeleri yüksekliklerin tabanları olan bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıyla çakışır.

Kenarortayların kesişme noktası Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu, her kenarortayı tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında böler. Kenarortayların kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgen eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Medyanların kesişme noktasının önemli bir özelliği, başlangıcı medyanların kesişme noktası ve uçları üçgenlerin köşeleri olan vektörlerin toplamının sıfıra eşit olmasıdır M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3

Torricelli noktası Not: Üçgenin tüm açıları 120°'den küçükse Torricelli noktası vardır.

Dokuz noktadan oluşan daire B1, A1, C1 – yükseklik tabanları; A2, B2, C2 – ilgili tarafların orta noktaları; A3, B3, C3, AN, VN ve CH segmentlerinin orta noktalarıdır.

Euler düz çizgisi Medyanların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası, dokuz noktadan oluşan bir dairenin merkezi tek bir düz çizgi üzerinde yer alır ve buna, bu modeli belirleyen matematikçinin onuruna Euler düz çizgisi adı verilir.

Dikkat çekici noktaların keşfinin tarihinden biraz kesit 1765 yılında Euler, bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ile yükseklik tabanlarının aynı daire üzerinde bulunduğunu keşfetti. Üçgenin dikkat çekici noktalarının en şaşırtıcı özelliği, bazılarının birbirine belirli bir oranda bağlı olmasıdır. M ortancalarının kesişme noktası, H yüksekliklerinin kesişme noktası ve O çevrel çemberinin merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası OH parçasını OM: OH = 1 ilişkisi olacak şekilde böler: 2 geçerlidir Bu teorem 1765 yılında Leonhard Euler tarafından kanıtlanmıştır.

Geometri ve doğa arasındaki bağlantı. Bu pozisyonda potansiyel enerji en küçük değere sahip olacak ve MA+MB+MC segmentlerinin toplamı en küçük olacak ve Torricelli noktasından başlayan bu segmentlerin üzerinde yer alan vektörlerin toplamı sıfıra eşit olacaktır.

Sonuçlar Yüksekliklerin, kenarortayların, açıortayların ve dik açıortayların bildiğim harika kesişme noktalarına ek olarak, bir üçgenin harika noktaları ve çizgileri de olduğunu öğrendim. Bu konuda edindiğim bilgileri eğitim faaliyetlerimde kullanabileceğim, teoremleri belirli problemlere bağımsız olarak uygulayabileceğim ve öğrenilen teoremleri gerçek bir durumda uygulayabileceğim. Matematik öğrenmede üçgenin harika nokta ve çizgilerini kullanmanın etkili olduğuna inanıyorum. Bunları bilmek birçok görevin çözümünü önemli ölçüde hızlandırır. Önerilen materyal hem matematik derslerinde hem de 5-9. sınıflardaki öğrenciler için ders dışı etkinliklerde kullanılabilir.

İndirmek:

Önizlemeyi kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve oturum açın: