0'a böldüğünüzde ne olur? Neden sıfıra bölemezsiniz? Sıfırı bir sayıya bölmek mümkün mü? Kesirler, kuvvetler ve karmaşık işlevlerle hesaplamalar

“Sıfıra bölemezsin!” - Çoğu okul çocuğu bu kuralı soru sormadan ezberler.

Tüm çocuklar “yapamazsınız”ın ne olduğunu ve buna yanıt olarak “Neden?” diye sorarsanız ne olacağını bilir. Ama aslında bunun neden mümkün olmadığını bilmek çok ilginç ve önemli.

Mesele şu ki, aritmetiğin dört işlemi (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) aslında eşit değildir. Matematikçiler bunlardan yalnızca ikisinin geçerli olduğunu kabul eder: toplama ve çarpma. Bu işlemler ve özellikleri sayı kavramının tanımının içinde yer almaktadır. Diğer tüm eylemler şu veya bu ikisinden inşa edilir. 5 – 3 Örneğin çıkarma işlemini düşünün. Bu ne anlama geliyor 5 – 3 ? Öğrenci buna basitçe cevap verecektir: Beş nesne almanız, üçünü almanız (çıkarmanız) ve kaç tane kaldığını görmeniz gerekir. Ancak matematikçiler bu soruna tamamen farklı bakıyorlar. Çıkarma yoktur, yalnızca ekleme vardır. Bu nedenle giriş 3 bir sayıya eklendiğinde bir sayı anlamına gelir 5 bir numara vereceğim 5 – 3 . yani denklemin basitçe kısa versiyonudur: x + 3 = 5

. Bu denklemde çıkarma işlemi yoktur. Sadece bir görev var - uygun bir numara bulmak. 8: 4 Çarpma ve bölmede de aynı durum geçerlidir. Kayıt sekiz nesnenin dört eşit kümeye bölünmesi sonucu anlaşılabilir. Fakat gerçekte bu sadece denklemin kısaltılmış bir şeklidir.

4x = 8 5: 0 Sıfıra bölmenin neden imkansız (veya daha doğrusu imkansız) olduğu burada netleşiyor. Kayıt için bir kısaltmadır 0 x = 5 0 . Yani bu görev, ile çarpıldığında bir sayı bulmaktır. 5 verecek 0 . Ama şunu biliyoruz ki çarpıldığında 0 her zaman işe yarar

. Bu, kesin olarak konuşursak, tanımının bir parçası olarak sıfırın doğasında olan bir özelliktir. 0 Öyle bir sayı ki, çarpıldığında 5: 0 sıfırdan başka bir şey verecek, basitçe mevcut değil. Yani sorunumuzun çözümü yok. (Evet bu olur; her sorunun çözümü yoktur.) Yani kayıtlar

Buradaki en dikkatli okuyucular kesinlikle şunu soracaktır: Sıfırı sıfıra bölmek mümkün mü? Gerçekten de denklem 0 x = 0 başarıyla çözüldü. Örneğin, şunları alabilirsiniz: x = 0 ve sonra şunu elde ederiz: 0 0 = 0. Görünüşe göre 0: 0=0 ? Ama acele etmeyelim. almaya çalışalım x = 1. Aldık 0 1 = 0. Sağ? Araç, 0: 0 = 1 ? Ama herhangi bir numarayı alıp alabilirsiniz 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 vesaire.

Ancak herhangi bir sayı uygunsa o zaman bunlardan herhangi birini seçmemiz için hiçbir neden yoktur. Yani girişin hangi numaraya karşılık geldiğini söyleyemeyiz 0: 0 . Ve eğer öyleyse, o zaman bu girişin de hiçbir anlam ifade etmediğini kabul etmek zorunda kalıyoruz. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı. (Matematiksel analizde, problemin ek koşulları nedeniyle denklemin olası çözümlerinden birinin tercih edilebileceği durumlar vardır. 0 x = 0; Bu gibi durumlarda matematikçiler "belirsizliğin ortaya çıkmasından" bahseder, ancak aritmetikte bu tür durumlar meydana gelmez.)

Bölme işleminin özelliği budur. Daha doğrusu çarpma işlemi ve onunla ilişkili sayı sıfırdır.

Buraya kadar okuduktan sonra en titiz olanlar şunu sorabilir: Neden sıfıra bölmek mümkün değil de sıfırı çıkarmak mümkün oluyor? Bir bakıma gerçek matematiğin başladığı yer burasıdır. Bu soruyu ancak sayısal kümelerin resmi matematiksel tanımlarına ve bunlar üzerindeki işlemlere aşina olarak cevaplayabilirsiniz. O kadar da zor değil ama nedense okulda öğretilmiyor. Ama üniversitedeki matematik derslerinde size ilk olarak öğretilecek şey budur.

Okulda bile öğretmenler en basit kuralı kafamıza sokmaya çalıştılar: “Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfıra eşittir!”, – ama yine de onun etrafında sürekli olarak birçok tartışma ortaya çıkıyor. Bazı insanlar kuralı sadece hatırlar ve "neden?" sorusuyla kendilerini rahatsız etmezler. “Yapamazsın, hepsi bu, çünkü okulda öyle söylediler, kural kuraldır!” Birisi bir defterin yarısını formüllerle doldurabilir, bu kuralı veya tersine mantıksızlığını kanıtlayabilir.

Sonunda kim haklı?

Bu tartışmalar sırasında birbirine karşıt görüşlere sahip iki insan, birbirlerine koç gibi bakar ve haklı olduklarını var güçleriyle kanıtlarlar. Ancak onlara yandan bakarsanız, bir değil iki koçun boynuzlarını birbirine dayandığını görebilirsiniz. Aralarındaki tek fark birinin diğerine göre biraz daha az eğitimli olmasıdır.

Çoğu zaman bu kuralın yanlış olduğunu düşünenler mantığa şu şekilde başvurmaya çalışırlar:

Masamda iki elma var, üstüne sıfır elma koysam yani bir tane bile koymasam iki elmam kaybolmaz! Kural mantıksız!

Aslında elmalar hiçbir yerde yok olmayacak, ancak kuralın mantıksız olması nedeniyle değil, burada biraz farklı bir denklem kullanıldığı için değil: 2 + 0 = 2. Öyleyse bu sonucu hemen bir kenara bırakalım - ters amacı olmasına rağmen mantıksızdır. - mantığa çağrı yapmak.

Çarpma nedir

Başlangıçta çarpma kuralı yalnızca doğal sayılar için tanımlanmıştı: çarpma, kendisine belirli sayıda eklenen bir sayıdır, bu da sayının doğal olduğunu gösterir. Böylece çarpımlı herhangi bir sayı şu denkleme indirgenebilir:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Bu denklemden şu sonuç çıkıyor çarpmanın basitleştirilmiş bir toplama olduğunu.

Sıfır nedir

Herkes çocukluğundan beri bilir: Sıfır boşluktur. Bu boşluğun bir anlamı olmasına rağmen hiçbir şey taşımaz. Eski Doğulu bilim adamları farklı düşünüyorlardı; konuya felsefi olarak yaklaştılar, boşluk ile sonsuzluk arasında bazı paralellikler kurdular ve bu sayıda derin bir anlam gördüler. Sonuçta herhangi bir doğal sayının yanında yer alan ve boşluk anlamına gelen sıfır, onu on katıyla çarpmaktadır. Çarpmayla ilgili tüm anlaşmazlıkların nedeni budur - bu sayı o kadar çok tutarsızlık taşır ki, kafanın karışmaması zorlaşır. Ayrıca ondalık kesirlerde boş rakamları tanımlamak için sürekli olarak sıfır kullanılır, bu hem virgülden önce hem de sonra yapılır.

Boşlukla çarpmak mümkün mü?

Sıfırla çarpabilirsiniz, ancak bu işe yaramaz, çünkü ne derse desin, negatif sayıları çarparken bile yine de sıfır elde edersiniz. Bu basit kuralı hatırlamanız ve bu soruyu bir daha asla sormamanız yeterlidir. Aslında her şey ilk bakışta göründüğünden daha basittir. Eski bilim adamlarının inandığı gibi gizli anlamlar ve sırlar yoktur. Aşağıda bu çarpmanın işe yaramaz olduğuna dair en mantıklı açıklamayı vereceğiz, çünkü bir sayıyı onunla çarptığınızda yine aynı şeyi elde edersiniz - sıfır.

En başa dönersek, iki elma hakkındaki tartışmaya dönersek, 2 çarpı 0 şöyle görünür:

İki elmayı beş kez yerseniz 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 elma yersiniz
Bunlardan ikisini 3 defa yerseniz 2×3 = 2+2+2 = 6 elma yersiniz.
İki elmayı sıfır kez yerseniz hiçbir şey yenmez - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Sonuçta bir elmayı 0 kez yemek, bir tane bile yememek anlamına geliyor. Bu en küçük çocuk için bile net olacaktır. Ne derse desin sonuç 0 olacaktır, iki veya üç kesinlikle herhangi bir sayıyla değiştirilebilir ve sonuç kesinlikle aynı olacaktır. Ve basitçe söylemek gerekirse, o zaman sıfır hiçbir şeydir ve ne zaman var bir şey yok, ne kadar çoğaltırsanız çoğaltın yine aynıdır sıfır olacak. Sihir diye bir şey yoktur ve 0'ı bir milyonla çarpsanız bile hiçbir şey elma yapmaz. Sıfırla çarpma kuralının en basit, en anlaşılır ve mantıklı açıklaması budur. Tüm formüllerden ve matematikten uzak bir insan için böyle bir açıklama kafadaki uyumsuzluğun çözülmesi ve her şeyin yerli yerine oturması için yeterli olacaktır.

Bölüm

Yukarıdakilerin hepsinden başka bir önemli kural şöyledir:

Sıfıra bölünemezsin!

Bu kural da çocukluğumuzdan beri ısrarla kafamıza kazınmıştır. Kafamızı gereksiz bilgilerle doldurmadan her şeyi yapmanın imkansız olduğunu biliyoruz. Beklenmedik bir şekilde sıfıra bölmenin neden yasak olduğu sorusu sorulursa, çoğu kişinin kafası karışacak ve okul müfredatındaki en basit soruyu net bir şekilde cevaplayamayacaktır çünkü bu kuralı çevreleyen çok fazla anlaşmazlık ve çelişki yoktur.

Herkes kuralı ezberledi ve cevabın yüzeyde gizli olduğundan şüphelenmeden sıfıra bölmedi. Toplama, çarpma, bölme ve çıkarma eşit değildir; yalnızca çarpma ve toplama geçerlidir ve sayılarla yapılan diğer tüm işlemler bunlardan oluşturulur. Yani 10:2 girişi 2 * x = 10 denkleminin kısaltmasıdır. Bu, 10:0 girişinin 0 * x = 10 ile aynı kısaltma olduğu anlamına gelir. Sıfıra bölmenin bir görev olduğu ortaya çıktı. bir sayı bulun, 0 ile çarptığınızda 10 elde edersiniz. Ve biz zaten böyle bir sayının olmadığını anladık, bu da bu denklemin bir çözümü olmadığı ve önsel olarak yanlış olacağı anlamına gelir.

Sana söyleyeyim,

0'a bölünmemek için!

1 tanesini istediğiniz kadar uzunlamasına kesin,

Sadece 0'a bölmeyin!

“Sıfıra bölemezsin!” - Çoğu okul çocuğu bu kuralı soru sormadan ezberler. Tüm çocuklar “yapamazsınız”ın ne olduğunu ve buna yanıt olarak “Neden?” diye sorarsanız ne olacağını bilir. Ama aslında bunun neden mümkün olmadığını bilmek çok ilginç ve önemli.

Örneğin çıkarma işlemini düşünün. 5 – 3 ne anlama geliyor? Öğrenci buna basitçe cevap verecektir: Beş nesne almanız, üçünü almanız (çıkarmanız) ve kaç tane kaldığını görmeniz gerekir. Ancak matematikçiler bu soruna tamamen farklı bakıyorlar. Çıkarma yoktur, yalnızca ekleme vardır. Dolayısıyla 5 – 3 gösterimi, 3 sayısına eklendiğinde 5 sayısını verecek bir sayı anlamına gelir. Yani 5 – 3, denklemin kısaltılmış gösterimidir: x + 3 = 5. Çıkarma yoktur. bu denklemde. Sadece bir görev var - uygun bir numara bulmak.

Çarpma ve bölmede de aynı durum geçerlidir. Giriş 8:4, sekiz öğenin dört eşit kümeye bölünmesinin sonucu olarak anlaşılabilir. Fakat gerçekte bu sadece 4 x = 8 denkleminin kısa bir formudur.

Sıfıra bölmenin neden imkansız (veya daha doğrusu imkansız) olduğu burada netleşiyor. Kayıt 5: 0, 0 x = 5'in kısaltmasıdır. Yani bu görev, 0 ile çarpıldığında 5 verecek bir sayı bulmaktır. Ama biliyoruz ki, 0 ile çarpıldığında sonuç her zaman 0 olur. Bu sıfırın doğal bir özelliğidir, kesin olarak konuşursak, tanımının bir parçasıdır.

0 ile çarpıldığında sıfırdan başka bir şey verecek bir sayı yoktur. Yani sorunumuzun çözümü yok. (Evet, bu olur; her sorunun bir çözümü yoktur.) Bu, 5:0 girişinin belirli bir sayıya karşılık gelmediği ve hiçbir şey ifade etmediği ve dolayısıyla hiçbir anlamı olmadığı anlamına gelir. Sıfıra bölünemezsiniz denilerek bu girdinin anlamsızlığı kısaca ifade edilmiştir.

Buradaki en dikkatli okuyucular kesinlikle şunu soracaktır: Sıfırı sıfıra bölmek mümkün mü? Aslında 0 x = 0 denklemi güvenle çözülebilir. Örneğin, x = 0 alırsak 0 0 = 0 elde ederiz. Yani 0: 0=0? Ama acele etmeyelim. X = 1 almaya çalışalım. 0 1 = 0 elde ederiz. Doğru mu? Yani 0:0 = 1? Ancak bu şekilde herhangi bir sayıyı alıp 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 vb. elde edebilirsiniz.

Ancak herhangi bir sayı uygunsa o zaman bunlardan herhangi birini seçmemiz için hiçbir neden yoktur. Yani 0:0 girişinin hangi sayıya karşılık geldiğini söyleyemeyiz ve eğer öyleyse bu girdinin de hiçbir anlam ifade etmediğini kabul etmek zorunda kalıyoruz. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı. (Matematiksel analizde, problemin ek koşulları nedeniyle 0 x = 0 denkleminin olası çözümlerinden birinin tercih edilebileceği durumlar vardır; bu gibi durumlarda matematikçiler "belirsizliğin ortaya çıkarılmasından" bahseder, ancak aritmetikte bu tür durumlar meydana gelmez.)

Bölme işleminin özelliği budur. Daha doğrusu çarpma işlemi ve onunla ilişkili sayı sıfırdır.

Projeyi desteklemek için gönüllü okuyucu katkısı

Evgeniy SHIRYAEV, öğretmen ve Politeknik Müzesi Matematik Laboratuvarı başkanı, AiF'e sıfıra bölme konusunu anlattı:

1. Konunun yargı yetkisi

Katılıyorum, kuralı özellikle kışkırtıcı yapan şey yasak. Bu nasıl yapılamaz? Kim yasakladı? Peki ya sivil haklarımız?

Ne Anayasa, ne Ceza Kanunu, ne de okulunuzun tüzüğü bizi ilgilendiren fikri eyleme itiraz ediyor. Bu, yasağın hiçbir yasal geçerliliği olmadığı ve hiçbir şeyin sizi burada, AiF sayfalarında bir şeyi sıfıra bölmeye çalışmaktan alıkoymadığı anlamına gelir. Örneğin bin.

2. Öğretildiği gibi bölelim

Unutmayın, bölmeyi ilk öğrendiğinizde, ilk örnekler çarpma kontrolüyle çözülmüştü: Bölenle çarpılan sonucun, bölenle çakışması gerekiyordu. Eşleşmiyordu; karar vermediler.

Örnek 1. 1000: 0 =...

Bir an için yasak kuralı unutalım ve cevabı tahmin etmek için birkaç girişimde bulunalım.

Hatalı olanlar çekle kesilecektir. Aşağıdaki seçenekleri deneyin: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000 Her biri için kontrol aynı sonucu verecektir:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Sıfır çarpıldığında her şey kendine dönüşür ve asla bine dönüşmez. Sonucu formüle etmek kolaydır: hiçbir sayı testi geçemez. Yani sıfırdan farklı bir sayının sıfıra bölünmesi sonucu hiçbir sayı olamaz. Bu tür bir bölünme yasak değildir, ancak hiçbir sonucu da yoktur.

3. Nüans

Yasağı çürütmek için neredeyse bir fırsatı kaçırıyorduk. Evet, sıfır olmayan bir sayının 0'a bölünemeyeceğini kabul ediyoruz. Peki belki 0'ın kendisi bölebilir?

Örnek 2. 0: 0 = ...

Özel için önerileriniz nelerdir? 100 mü? Lütfen: 100'ün bölümü 0 böleni ile çarpıldığında bölen 0'a eşittir.

Daha fazla seçenek! 1? Çok uygun. Ve -23 ve 17, hepsi bu. Bu örnekte test herhangi bir sayı için pozitif olacaktır. Ve dürüst olmak gerekirse, bu örnekteki çözüme sayı değil, sayılar kümesi denmelidir. Herkes. Ve Alice'in Alice değil, Mary Ann olduğunu ve her ikisinin de bir tavşanın rüyası olduğunu kabul etmek çok uzun sürmez.

4. Peki ya yüksek matematik?

Sorun çözüldü, nüanslar dikkate alındı, noktalar yerleştirildi, her şey netleşti - sıfıra bölme örneğinin cevabı tek bir sayı olamaz. Bu tür sorunları çözmek umutsuz ve imkansızdır. Bunun anlamı... ilginç! İki tane al.

Örnek 3. 1000'i 0'a nasıl böleceğinizi bulun.

Ama hiçbir şekilde. Ancak 1000 diğer sayılara kolaylıkla bölünebilir. Görevi değiştirsek bile en azından işe yarayan şeyi yapalım. Ve sonra, görüyorsunuz, kendimizi kaptırıyoruz ve cevap kendiliğinden ortaya çıkacak. Bir dakikalığına sıfırı unutup yüze bölelim:

Yüz sıfırdan çok uzaktır. Böleni azaltarak bir adım atalım:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamikler açıktır: bölen sıfıra ne kadar yakınsa bölüm o kadar büyük olur. Eğilim, kesirlere geçerek ve payı azaltmaya devam ederek daha da gözlemlenebilir:

Geriye, bölümü istediğimiz kadar büyüterek sıfıra istediğimiz kadar yaklaşabileceğimizi belirtmek kalıyor.

Bu süreçte sıfır yoktur ve son bölüm yoktur. Sayıyı ilgilendiğimiz sayıya yakınsayan bir diziyle değiştirerek onlara doğru hareketi belirttik:

Bu, temettü için benzer bir değişiklik anlamına gelir:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Okların çift taraflı olması boşuna değil: bazı diziler sayılara yakınlaşabilir. Daha sonra diziyi sayısal limitiyle ilişkilendirebiliriz.

Bölümlerin sırasına bakalım:

Sınırsızca büyür, hiçbir sayı için çabalamaz ve hiçbirini aşmaz. Matematikçiler sayılara semboller ekler ∞ böyle bir dizinin yanına çift taraflı bir ok yerleştirebilmek için:

Limiti olan dizilerin sayılarıyla karşılaştırma üçüncü örneğe bir çözüm önermemize olanak tanır:

1000'e yakınsayan bir diziyi, 0'a yaklaşan pozitif sayılar dizisine eleman bazında böldüğümüzde, ∞'a yakınsayan bir dizi elde ederiz.

5. Ve işte iki sıfırlı nüans

Sıfıra yakınsayan iki pozitif sayı dizisinin bölünmesinin sonucu ne olur? Eğer bunlar aynı ise birim de aynıdır. Bir bölüştürme dizisi sıfıra daha hızlı yakınsarsa, o zaman özellikle sıfır limitli bir dizidir. Ve bölenin elemanları bölenin elemanlarından çok daha hızlı azaldığında, bölümün sırası büyük ölçüde artacaktır:

Belirsiz durum. İşte buna denir: tür belirsizliği 0/0 . Matematikçiler bu belirsizliğe uyan dizileri gördüklerinde, iki özdeş sayıyı birbirine bölmek için acele etmiyorlar, ancak dizilerden hangisinin sıfıra daha hızlı ve tam olarak nasıl gittiğini buluyorlar. Ve her örneğin kendine özel bir cevabı olacak!

6. Hayatta

Ohm kanunu bir devredeki akım, gerilim ve direnci ilişkilendirir. Genellikle bu biçimde yazılır:

Düzgün fiziksel anlayışı bir kenara bırakalım ve resmi olarak sağ tarafa iki sayının bölümü olarak bakalım. Elektrikle ilgili bir okul problemini çözdüğümüzü hayal edelim. Bu durum voltajı volt cinsinden ve direnci ohm cinsinden verir. Sorun belli, çözüm tek eylemde.

Şimdi süperiletkenliğin tanımına bakalım: Bu, bazı metallerin sıfır elektrik direncine sahip olma özelliğidir.

Peki, süperiletken devre problemini çözelim mi? Sadece ayarla R= 0 Eğer bu işe yaramazsa, fizik ilginç bir problem ortaya çıkarır ve bunun arkasında elbette bilimsel bir keşif vardır. Ve bu durumda sıfıra bölmeyi başaranlara Nobel Ödülü verildi. Her türlü yasağı aşabilmekte fayda var!

0 sayısı, gerçek sayılar dünyasını hayali veya negatif olanlardan ayıran belirli bir sınır olarak düşünülebilir. Belirsiz konum nedeniyle bu sayısal değere sahip birçok işlem matematiksel mantığa uymamaktadır. Sıfıra bölmenin imkansızlığı bunun en iyi örneğidir. Ve sıfır ile izin verilen aritmetik işlemler genel kabul görmüş tanımlar kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Sıfırın tarihi

Sıfır, tüm standart sayı sistemlerinde referans noktasıdır. Avrupalılar bu sayıyı nispeten yakın zamanda kullanmaya başladılar, ancak eski Hindistan'ın bilgeleri, boş sayının Avrupalı matematikçiler tarafından düzenli olarak kullanılmasından bin yıl önce sıfırı kullanıyordu. Kızılderililerden önce bile Maya sayısal sisteminde sıfır zorunlu bir değerdi. Bu Amerikalılar on ikilik sayı sistemini kullanıyordu ve her ayın ilk günü sıfırla başlıyordu. Mayalarda “sıfır”ı ifade eden işaret ile “sonsuzluğu” ifade eden işaretin tamamen örtüşmesi ilginçtir. Böylece eski Mayalar bu miktarların aynı ve bilinemez olduğu sonucuna vardılar.

Sıfırla matematiksel işlemler

Sıfırla yapılan standart matematiksel işlemler birkaç kurala indirgenebilir.

Toplama: Herhangi bir sayıya sıfır eklerseniz değeri değişmez (0+x=x).

Çıkarma: Herhangi bir sayıdan sıfırı çıkardığınızda çıkanın değeri değişmez (x-0=x).

Çarpma: Herhangi bir sayının 0 ile çarpılması 0 sonucunu verir (a*0=0).

Bölme: Sıfır, sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Bu durumda böyle bir kesrin değeri 0 olacaktır. Sıfıra bölmek yasaktır.

Üs alma. Bu işlem herhangi bir sayı ile gerçekleştirilebilir. Sıfırıncı kuvvete yükseltilen rastgele bir sayı 1'i verecektir (x 0 =1).

Sıfırın herhangi bir kuvveti 0'a eşittir (0 a = 0).

Bu durumda hemen bir çelişki ortaya çıkıyor: 0 0 ifadesi mantıklı değil.

Matematiğin paradoksları

Pek çok kişi okuldan sıfıra bölmenin imkansız olduğunu biliyor. Ancak bazı nedenlerden dolayı böyle bir yasağın nedenini açıklamak mümkün değil. Aslında sıfıra bölme formülü neden mevcut değil de bu sayıyla yapılan diğer eylemler oldukça makul ve mümkün? Bu sorunun cevabını matematikçiler veriyor.

Sorun şu ki, okul çocuklarının ilkokulda öğrendiği olağan aritmetik işlemler aslında düşündüğümüz kadar eşit değil. Tüm basit sayı işlemleri ikiye indirgenebilir: toplama ve çarpma. Bu eylemler sayı kavramının özünü oluşturur ve diğer işlemler bu ikisinin kullanımı üzerine kuruludur.

Toplama ve Çarpma

Standart bir çıkarma örneği alalım: 10-2=8. Okulda bunu basitçe düşünüyorlar: On dersten ikisini çıkarırsanız sekiz kalır. Ancak matematikçiler bu işleme tamamen farklı bakıyorlar. Sonuçta çıkarma gibi bir işlem onlar için mevcut değil. Bu örnek başka şekilde de yazılabilir: x+2=10. Matematikçiler için bilinmeyen fark, sekiz yapmak için ikiye eklenmesi gereken sayıdır. Ve burada hiçbir çıkarma işlemine gerek yok, sadece uygun sayısal değeri bulmanız yeterli.

Çarpma ve bölme aynı şekilde ele alınır. 12:4=3 örneğinde sekiz nesneyi iki eşit kümeye bölmekten bahsettiğimizi anlayabilirsiniz. Ancak gerçekte bu, 3x4 = 12'nin ters çevrilmiş formülünden başka bir şey değildir. Bu tür bölme örnekleri sayısız şekilde verilebilir.

0'a bölme örnekleri

İşte bu noktada neden sıfıra bölmenin mümkün olmadığı biraz daha netleşiyor. Çarpma ve sıfıra bölme kendi kurallarına uyar. Bu miktarın bölünmesine ilişkin tüm örnekler 6:0 = x şeklinde formüle edilebilir. Ancak bu, 6 * x=0 ifadesinin ters çevrilmiş gösterimidir. Ancak bildiğiniz gibi herhangi bir sayının 0 ile çarpılması çarpımda yalnızca 0 verir. Bu özellik sıfır değer kavramının doğasında vardır.

0 ile çarpıldığında somut bir değer veren, yani bu sorunun çözümü olmayan bir sayının olmadığı ortaya çıktı. Bu cevaptan korkmamalısınız; bu tür problemler için doğal bir cevaptır. Sadece 6:0 kaydı hiçbir anlam ifade etmiyor ve hiçbir şeyi açıklayamıyor. Kısaca bu ifade ölümsüz “sıfıra bölmek imkansızdır” sözüyle açıklanabilir.

0:0 işlemi var mı? Gerçekten 0 ile çarpma işlemi yasal ise sıfır sıfıra bölünebilir mi? Sonuçta 0x 5=0 formundaki bir denklem oldukça yasaldır. 5 rakamı yerine 0 koyabilirsiniz ürün değişmeyecektir.

Aslında 0x0=0. Ama yine de 0'a bölemezsiniz. Belirtildiği gibi bölme basitçe çarpmanın tersidir. Yani örnekte 0x5=0 ikinci faktörü belirlemeniz gerekiyorsa 0x0=5 elde ederiz. Veya 10. Veya sonsuzluk. Sonsuzluğu sıfıra bölmek - bunu nasıl buldun?

Ancak ifadeye herhangi bir sayı uyuyorsa o zaman bunun bir anlamı yoktur; sonsuz sayıda sayıdan yalnızca birini seçemeyiz. Ve eğer öyleyse, bu 0:0 ifadesinin bir anlam ifade etmediği anlamına gelir. Sıfırın kendisinin bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı.

Yüksek matematik

Sıfıra bölmek lise matematiği için baş ağrısıdır. Teknik üniversitelerde çalışılan matematiksel analiz, çözümü olmayan problemler kavramını biraz genişletmektedir. Örneğin, zaten bilinen 0:0 ifadesine, okul matematik derslerinde çözümü olmayan yenileri eklenir:

sonsuzun sonsuza bölümü: ∞:∞;
sonsuz eksi sonsuz: ∞−∞;
sonsuz güce yükseltilmiş birim: 1 ∞ ;
sonsuzun 0 ile çarpımı: ∞*0;
bazıları.

Bu tür ifadeleri temel yöntemlerle çözmek imkansızdır. Ancak yüksek matematik, bir dizi benzer örnek için ek olasılıklar sayesinde nihai çözümler sağlar. Bu özellikle limitler teorisinden kaynaklanan problemlerin ele alınmasında belirgindir.

Belirsizliğin Kilidini Açmak

Limitler teorisinde 0 değeri, koşullu sonsuz küçük bir değişkenle değiştirilir. Ve istenen değeri değiştirirken sıfıra bölmenin elde edildiği ifadeler dönüştürülür. Aşağıda sıradan cebirsel dönüşümleri kullanarak bir limiti genişletmenin standart bir örneği verilmiştir:

Örnekte görebileceğiniz gibi, bir kesri basitçe azaltmak, onun değerini tamamen rasyonel bir cevaba götürür.

Trigonometrik fonksiyonların limitleri göz önüne alındığında, ifadeleri ilk dikkate değer limite indirgenme eğilimindedir. Limit değiştirildiğinde paydanın 0 olduğu limitler dikkate alınırken ikinci bir dikkat çekici limit kullanılır.

L'Hopital yöntemi

Bazı durumlarda ifadelerin limitleri türevlerinin limitleri ile değiştirilebilir. Guillaume L'Hopital - Fransız matematikçi, Fransız matematiksel analiz okulunun kurucusu. İfadelerin limitlerinin bu ifadelerin türevlerinin limitlerine eşit olduğunu kanıtladı. Matematiksel gösterimde kuralı şuna benzer.