Kuvvet momenti formülü denilen şeye. Atalet momenti ve açısal ivmeyi kullanma

Eksen etrafındaki kuvvet momenti eksenin bu düzlemle kesişme noktasına göre, bir eksene dik bir düzlem üzerine bir kuvvetin izdüşümü momentidir

Eğer kuvvet eksene dik düzlemi eksene doğru bakıldığında saat yönünün tersine döndürme eğilimindeyse eksen etrafındaki moment pozitiftir.

İki durumda eksene göre kuvvetin momenti 0'dır:

Kuvvet eksene paralel ise

Kuvvet ekseni geçerse

Eğer etki çizgisi ve eksen aynı düzlemde yer alıyorsa kuvvetin eksene göre momenti 0'a eşittir.

27. Kuvvetin bir eksene göre momenti ile kuvvetin bir noktaya göre vektör momenti arasındaki ilişki.

Mz(F)=Mo(F)*cosαKuvvetin eksene göre momenti, eksenin noktasına göre kuvvet momenti vektörünün bu eksene izdüşümüne eşittir.

28. Bir kuvvetler sistemini belirli bir merkeze getirmeyle ilgili statiğin ana teoremi (Poinsot teoremi). Kuvvetler sisteminin ana vektörü ve ana momenti.

Genel durumda, herhangi bir uzaysal kuvvet sistemi, vücudun bir noktasına (indirgeme merkezi) uygulanan ve bu kuvvetler sisteminin ana vektörüne eşit bir kuvvet ve bir çift kuvvetten oluşan eşdeğer bir sistemle değiştirilebilir. Momenti seçilen adduksiyon merkezine göre tüm kuvvetlerin ana momentine eşittir.

Kuvvet sisteminin ana vektörü vektör denir R, bu kuvvetlerin vektör toplamına eşittir:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F Ben.

Düzlemsel bir kuvvet sistemi için ana vektörü bu kuvvetlerin etki düzleminde yer alır.

Kuvvetler sisteminin ana noktası O merkezine göre vektör denir L O, bu kuvvetlerin O noktasına göre vektör momentlerinin toplamına eşittir:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F Ben).

Vektör R O merkezinin seçimine ve vektöre bağlı değildir L Merkezin konumu değiştiğinde O genellikle değişebilir.

Poinsot teoremi: Rastgele bir uzaysal kuvvetler sistemi, katı cismin durumunu bozmadan, kuvvet sisteminin ana vektörüne sahip bir kuvvet ve ana momente sahip bir kuvvet çifti ile değiştirilebilir. Ana vektör, katı bir cisme etki eden tüm kuvvetlerin geometrik toplamıdır ve kuvvetlerin etki düzleminde bulunur. Ana vektör, koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri aracılığıyla dikkate alınır.

Katı bir cismin bir noktasına uygulanan kuvvetleri belirli bir merkeze getirmek için şunlar gereklidir: 1) kuvvetin modülünü değiştirmeden kuvveti kendisine paralel olarak belirli bir merkeze aktarmak; 2) belirli bir merkeze, vektör momenti yeni merkeze göre aktarılan kuvvetin vektör momentine eşit olan bir kuvvet çifti uygulanır; bu çifte bağlı çift denir.

Ana anın indirgeme merkezi seçimine bağımlılığı. Yeni indirgeme merkezine göre ana moment, eski indirgeme merkezine göre ana momentin geometrik toplamına ve yeni indirgeme merkezini eskisine ana vektörle bağlayan yarıçap vektörünün vektör çarpımına eşittir.

29 Uzaysal kuvvetler sisteminin azaltılmasının özel durumları

Katı bir cisme uygulanan kuvvetler sistemi dengelidir. 30. Dinamizmin azaltılması.

Mekanikte dinamiğe, kuvvetin kuvvet çiftinin hareket düzlemine dik olduğu katı bir gövdeye etki eden böyle bir kuvvetler ve kuvvet çiftleri () kümesi denir. Bir kuvvet çiftinin vektör momentini kullanarak dinamizmi, bir kuvvet ile kuvveti kuvvet çiftinin vektör momentine paralel olan bir çiftin birleşimi olarak da tanımlayabiliriz. Merkezi sarmal eksen denklemi

Koordinatların orijini olarak alınan indirgeme merkezinde, koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleri olan ana vektörün ve izdüşümleri olan ana momentin elde edildiğini varsayalım. Kuvvetler sistemi O 1 indirgeme merkezine getirilirken (Şekil). .30), ana vektör ve ana moment, Vektörler ve bir linama oluşturan bir dina elde edilir. paraleldir ve bu nedenle yalnızca k 0 skaler faktöründe farklılık gösterebilir. Ana momentlerden bu yana ilişkiyi sağladık

Bu da omuz tarafından uygulanan kuvvetin çarpımına eşittir.

Kuvvet momenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: F Nerede - kuvvet, ben

- güçlü omuz.- bu, kuvvetin etki hattından vücudun dönme eksenine kadar olan en kısa mesafedir. Aşağıdaki şekil bir eksen etrafında dönebilen katı bir gövdeyi göstermektedir. Bu cismin dönme ekseni şeklin düzlemine diktir ve O harfi ile gösterilen noktadan geçer. Kuvvetin omuzu ft işte mesafe - kuvvet,, dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine kadar. Bu şekilde tanımlanır. İlk adım, kuvvetin etki çizgisini çizmek, ardından cismin dönme ekseninin geçtiği O noktasından kuvvetin etki çizgisine dik bir çizgi çizmektir. Bu dikin uzunluğunun belirli bir kuvvetin kolu olduğu ortaya çıkar.

Kuvvet momenti, bir kuvvetin dönme hareketini karakterize eder. Bu eylem hem güce hem de kaldıraca bağlıdır. Kaldıraç ne kadar büyük olursa, istenen sonucu, yani aynı kuvvet momentini elde etmek için o kadar az kuvvet uygulanması gerekir (yukarıdaki şekle bakın). Bu nedenle bir kapıyı menteşelerin yakınına iterek açmak, kolu kavramaktan çok daha zordur ve somunu uzun bir anahtarla sökmek kısa bir anahtarla çözmekten çok daha kolaydır.

SI kuvvet momenti birimi, kolu 1 m - Newton metreye (Nm) eşit olan 1 N'lik bir kuvvet momenti olarak alınır.

Anların kuralı.

Sabit bir eksen etrafında dönebilen katı bir cisim, kuvvet momenti eşitse dengededir. M1 saat yönünde döndürmek kuvvet momentine eşittir M 2 saat yönünün tersine döndürür:

Momentler kuralı, 1687'de Fransız bilim adamı P. Varignon tarafından formüle edilen mekaniğin teoremlerinden birinin sonucudur.

Birkaç kuvvet.

Bir cismin üzerine aynı düz çizgi üzerinde yer almayan 2 eşit ve zıt yönlü kuvvet etki ediyorsa, bu durumda böyle bir cisim dengede değildir, çünkü bu kuvvetlerin herhangi bir eksene göre ortaya çıkan momenti sıfıra eşit değildir, çünkü her iki kuvvetin de aynı yöne yönlendirilmiş momentleri vardır. Bir cismin üzerine aynı anda etki eden iki kuvvete ne ad verilir? birkaç kuvvet. Vücut bir eksene sabitlenmişse, bir çift kuvvetin etkisi altında dönecektir. Serbest bir cisme birkaç kuvvet uygulanırsa kendi ekseni etrafında dönecektir. Vücudun ağırlık merkezinden geçen şekil B.

Bir kuvvet çiftinin momenti, kuvvet çiftinin düzlemine dik olan herhangi bir eksene göre aynıdır. Toplam an Mçiftleri her zaman kuvvetlerden birinin çarpımına eşittir F bir mesafeye - kuvvet, denilen kuvvetler arasındaki çiftin omuz, hangi segment olursa olsun - kuvvet, ve çiftin omuz ekseninin konumunu paylaşır:

Bileşkesi sıfır olan birkaç kuvvetin momenti, birbirine paralel tüm eksenlere göre aynı olacaktır, bu nedenle tüm bu kuvvetlerin vücut üzerindeki etkisi, aynı kuvvete sahip bir çift kuvvetin etkisi ile değiştirilebilir. an.

Birkaç kuvvetin anı

Herhangi bir noktaya (merkeze) göre kuvvet momenti, sayısal olarak kuvvet modülü ile kolun çarpımına eşit olan bir vektördür; Belirtilen noktadan kuvvetin etki çizgisine kadar olan en kısa mesafeye ve seçilen noktadan geçen düzleme dik olarak ve kuvvetin etrafındaki kuvvet tarafından gerçekleştirilen "dönüş" yönündeki kuvvetin etki çizgisine dik olarak yönlendirilir. nokta saat yönünün tersine gerçekleşiyor gibi görünüyor. Kuvvet momenti dönme eylemini karakterize eder.

Eğer HAKKINDA– kuvvet momentinin bulunduğu nokta F, o zaman kuvvet momenti sembolüyle gösterilir M o (F). Gösterelim ki kuvvetin uygulama noktası F yarıçap vektörü tarafından belirlenir R, o zaman ilişki geçerlidir

M o (F)=r×F. (3.6)

Bu orana göre kuvvetin momenti vektörün vektör çarpımına eşittir r, F vektörüne göre.

Aslında vektör çarpımının modülü şuna eşittir:

M o ( F)=RF günah= Fh, (3.7)

Kuvvet momenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: H- güçlü omuz. Ayrıca vektörün M o (F) vektörlerden geçen düzleme dik olarak yönlendirilir R Ve F, vektörün en kısa dönüşünün olduğu yönde R vektörün yönüne F saat yönünün tersine gerçekleştiği görülmektedir. Böylece formül (3.6), kuvvet momentinin modülünü ve yönünü tamamen belirler. F.

Bazen formül (3.7)'yi şu şekilde yazmak yararlı olabilir:

M o ( F)=2S, (3.8)

Kuvvet momenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: S– üçgenin alanı OAV.

İzin vermek X, sen, z kuvvet uygulama noktasının koordinatlarıdır ve Döviz, Fy, Fz– Koordinat eksenlerine kuvvet projeksiyonları. O zaman eğer nokta HAKKINDA orijinde bulunduğundan kuvvet momenti şu şekilde ifade edilir:

Buradan, kuvvet momentinin koordinat eksenlerine izdüşümlerinin aşağıdaki formüllerle belirlendiği anlaşılmaktadır:

M Öküz(F)=yF z -zF y,

M oy(F)=zF x -xF z ,

M oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Şimdi kuvvetin bir düzleme izdüşümü kavramını tanıtalım.

Güç verilsin F ve biraz uçak. Kuvvet vektörünün başından ve sonundan bu düzleme dikler bırakalım.

Kuvvetin bir düzleme yansıması isminde vektör başlangıcı ve sonu, kuvvetin başlangıcının izdüşümüne ve kuvvetin sonunun bu düzleme izdüşümüne denk gelir.

Eğer uçağı söz konusu uçak olarak alırsak xOy, daha sonra kuvvet projeksiyonu F Bu düzlemde bir vektör olacak Fxy.

kuvvet anı Fxy noktaya göre HAKKINDA(eksen kesişme noktaları z uçakla xOy), eğer alırsak, formül (3.9) kullanılarak hesaplanabilir. z=0, Fz=0. Aldık

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Böylece moment eksen boyunca yönlendirilir z ve eksene izdüşümü z kuvvet momentinin aynı ekseni üzerindeki izdüşümü ile tam olarak çakışır F noktaya göre HAKKINDA. Başka bir deyişle,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Açıkçası, kuvveti yansıtırsak aynı sonucu elde edebiliriz. F paralel herhangi bir düzleme xOy. Bu durumda eksenin kesişme noktası z düzlemle farklı olacaktır (yeni kesişme noktasını şu şekilde belirtiriz: HAKKINDA 1). Ancak eşitliğin (3.11) sağ tarafında yer alan tüm büyüklükler X, en, Fx, Fy değişmeden kalacaktır ve bu nedenle yazılabilir

M Oz(F)=M Ö 1z ( Fxy).

Başka bir deyişle, Bir noktaya göre kuvvet momentinin bu noktadan geçen bir eksene izdüşümü, eksen üzerindeki noktanın seçimine bağlı değildir. . Bu nedenle aşağıda sembolü yerine M Oz(F) sembolünü kullanacağız Mz(F). Bu anın projeksiyonuna denir eksene göre kuvvet momenti z. Bir kuvvetin bir eksen etrafındaki momentini, kuvveti yansıtarak hesaplamak genellikle daha uygundur. F eksene dik bir düzlemde ve değerin hesaplanması Mz(Fxy).

Formül (3.7)'ye uygun olarak ve projeksiyonun işaretini dikkate alarak şunu elde ederiz:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Burada H*– güçlü omuz Fxy noktaya göre HAKKINDA. Bir gözlemci z ekseninin pozitif yönünden kuvvetin olduğunu görürse Fxy vücudu bir eksen etrafında döndürme eğilimindedir z saat yönünün tersine çevrildiğinde “+” işareti, aksi halde “-” işareti alınır.

Formül (3.12), eksen etrafındaki kuvvet momentini hesaplamak için aşağıdaki kuralı formüle etmeyi mümkün kılar. Bunu yapmak için ihtiyacınız olan:

· eksen üzerinde rastgele bir nokta seçin ve eksene dik bir düzlem oluşturun;

· bu düzleme bir kuvvet yansıtın;

· h* kuvvet projeksiyonunun kolunu belirleyin.

Eksene göre kuvvet momenti, uygun işaretle alınan kuvvetin omzuna izdüşümü modülünün çarpımına eşittir (yukarıda belirtilen kurala bakın).

Formül (3.12)'den şu sonuç çıkar: İki durumda eksene göre kuvvet momenti sıfırdır:

· kuvvetin eksene dik bir düzleme izdüşümü sıfır olduğunda, yani. kuvvet ve eksen paralel olduğunda ;

omuz projeksiyonu ne zaman H* sıfıra eşittir, yani eylem çizgisi eksenle kesiştiğinde .

Bu vakaların her ikisi de tek bir vakada birleştirilebilir: Bir kuvvetin bir eksene göre momenti ancak ve ancak kuvvetin ve eksenin etki çizgisi aynı düzlemdeyse sıfırdır .

Görev 3.1. Bir noktaya göre hesaplama HAKKINDA kuvvet anı F noktaya uygulanan A ve yanları çapraz olarak yönlendirilmiş bir küp yüzü A.

Bu tür problemleri çözerken öncelikle kuvvet momentlerinin hesaplanması tavsiye edilir. F koordinat eksenlerine göre X, sen, z. Nokta koordinatları A kuvvet uygulaması F irade

Kuvvet projeksiyonları F koordinat eksenlerinde:

Bu değerleri eşitliklere (3.10) koyarsak, şunu buluruz:

, , .

Kuvvet anları için aynı ifadeler F koordinat eksenlerine göre formül (3.12) kullanılarak elde edilebilir. Bunu yapmak için kuvveti tasarlıyoruz F eksene dik bir düzlemde X Ve en. Açıkça görülüyor ki . Yukarıda belirtilen kuralı uygulayarak beklendiği gibi aynı ifadeleri elde ederiz:

, , .

Anın modülü eşitlikle belirlenir

.

Şimdi çiftlerin anı kavramını tanıtalım. Önce çifti oluşturan kuvvetlerin momentlerinin toplamının keyfi bir noktaya göre neye eşit olduğunu bulalım. İzin vermek HAKKINDA uzayda keyfi bir noktadır ve F Ve F" - bir çifti oluşturan kuvvetler.

Daha sonra Mö(F)= OA × F, M o (F")= doğum günü × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ doğum günü × F",

ama o zamandan beri F=-F", O

M o (F)+ M o (F")= OA × F- doğum günü × F=(OA-doğum günü)× F.

Eşitliğin dikkate alınması OA-OB=BA sonunda şunu buluyoruz:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

Buradan, çifti oluşturan kuvvetlerin momentlerinin toplamı, momentlerin alındığı noktanın konumuna bağlı değildir .

Vektör çizimleri VA × F ve denir çift ​​anı . Bir çiftin anı sembolüyle gösterilir E(F, F"), Ve

E(F, F")=VA × f= AB × F",

veya kısacası,

M=VA × f= AB × F". (3.13)

Bu eşitliğin sağ tarafını dikkate aldığımızda şunu görüyoruz: Bir çiftin momenti, çiftin düzlemine dik bir vektördür ve modül olarak çiftin bir kuvvetinin modülünün çiftin kolu ile çarpımına eşittir (yani hareket çizgileri arasındaki en kısa mesafe). çifti oluşturan kuvvetler) ve çiftin "dönüşünün" saat yönünün tersine görülebildiği yönde yönlendirilir . Eğer H– çiftin omzu, o zaman E(F, F")=h×F.

Tanımın kendisinden, bir kuvvet çiftinin momentinin serbest bir vektör olduğu ve eylem çizgisinin tanımlanmadığı açıktır (bu açıklamanın ek gerekçesi bu bölümün 2. ve 3. Teoremlerinden gelmektedir).

Bir kuvvet çiftinin dengeli bir sistem (sıfıra eşdeğer kuvvetler sistemi) oluşturabilmesi için çiftin momentinin sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir. Gerçekten de bir çiftin momenti sıfır ise, M=h×F, o zaman F=0, yani güç yok ya da bir çiftin omzu H sıfıra eşittir. Ancak bu durumda çiftin kuvvetleri tek bir düz çizgide hareket edecektir; büyüklük olarak eşit oldukları ve zıt yönlere yönlendirildikleri için aksiyom 1'e göre dengeli bir sistem oluşturacaklar. Tersine, eğer iki kuvvet F1 Ve F2 bir çift oluşturan dengelenir, ardından aynı aksiyom 1'e dayanarak tek bir düz çizgide hareket ederler. Ancak bu durumda paritenin kaldıracı H sıfıra eşittir ve bu nedenle M=h×F=0.

Çift teoremleri

Çiftlerin eşdeğer dönüşümlerinin mümkün olmasını sağlayan üç teoremi kanıtlayalım. Her bakımdan bunların herhangi bir katı cisim üzerinde hareket eden çiftleri kastettikleri unutulmamalıdır.

Teorem 1. Aynı düzlemde bulunan iki çiftin yerini, bu iki çiftin momentlerinin toplamına eşit bir moment olacak şekilde, aynı düzlemde bulunan bir çift alabilir.

Bu teoremi kanıtlamak için iki çifti düşünün ( F1,F" 1) Ve ( F2,F" 2) ve tüm kuvvetlerin uygulama noktalarını eylem çizgileri boyunca noktalara taşıyın A Ve İÇİNDE sırasıyla. Aksiyom 3'e göre kuvvetleri topladığımızda şunu elde ederiz:

R=F1+F2 Ve R"=F" 1+F" 2,

Ancak F1=-F" 1 Ve F2=-F" 2.

Buradan, R=-R" yani kuvvet R Ve R" bir çift oluşturun. Bu çiftin momentini (3.13) formülünü kullanarak bulalım:

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Çifti oluşturan kuvvetler, hareket çizgileri boyunca aktarıldığında, çiftin ne omuzu ne de dönme yönü değişir, dolayısıyla çiftin momenti de değişmez. Araç,

BA×F 1 =M(F1,F" 1)=M1, VA× F2 = M(F2,F" 2)=M2

ve formül (3.14) şu formu alacaktır

M=M1 +M2, (3.15)

bu da yukarıda formüle edilen teoremin geçerliliğini kanıtlar.

Bu teoreme iki açıklama yapalım.

1. Çiftleri oluşturan kuvvetlerin etki çizgileri paralel çıkabilir. Bu durumda teorem geçerliliğini korur, ancak bunu kanıtlamak için paralel kuvvetlerin toplamı kuralını kullanmak gerekir.

2. Eklemeden sonra şu ortaya çıkabilir: M(R, R")=0; Daha önce yapılan açıklamaya dayanarak, iki çiftin toplanması ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

Teorem 2. Geometrik olarak eşit momentlere sahip iki çift eşdeğerdir.

Cesedi uçakta bırakalım BENçift ​​( F1,F" 1) an ile M1. Bu çiftin yerine başka bir çiftin gelebileceğini gösterelim ( F2,F" 2), düzlemde bulunan II keşke onun anı M2 eşittir M1(tanıma göre (bkz. 1.1) bu, çiftlerin ( F1,F" 1) Ve ( F2,F" 2) eşdeğerdir). Öncelikle şunu belirtelim ki uçaklar BEN Ve II paralel olmalıdır, özellikle çakışabilirler. Gerçekten de anların paralelliğinden M1 Ve M2(bizim durumumuzda M1=M2) momentlere dik olan çiftlerin etki düzlemlerinin de paralel olduğu sonucu çıkar.

Yeni bir çift tanıtalım ( F3,F"3) ve bir çift ( F2,F" 2) vücuda, her iki çifti de düzleme yerleştirerek II. Bunu yapmak için aksiyom 2'ye göre bir çift seçmeniz gerekir ( F3,F"3) an ile M3 böylece uygulanan kuvvetler sistemi ( F2,F" 2, F3,F"3) dengeliydi. Bu, örneğin şu şekilde yapılabilir: koymak F3=-F" 1 Ve F"3 =-F1 ve bu kuvvetlerin uygulama noktalarını projeksiyonlarla birleştirin A 1 ve İÇİNDE 1 puan A Ve İÇİNDE uçağa II. İnşaata uygun olarak aşağıdakilere sahip olacağız: M3 = -M1 veya buna göre M1 = M2,

M2 + M3 = 0.

Önceki teoremin ikinci açıklamasını dikkate alarak şunu elde ederiz ( F2,F" 2, F3,F"3)=0. Böylece çiftler ( F2,F" 2) Ve ( F3,F"3) karşılıklı olarak dengelidir ve vücuda bağlılıkları onun durumunu ihlal etmez (aksiyom 2), böylece

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F"3). (3.16)

Öte yandan kuvvetler F1 Ve F3 ve ayrıca F" 1 Ve F"3 bir yöne yönlendirilen paralel kuvvetlerin toplamı kuralına göre toplanabilir. Modül olarak tüm bu kuvvetler birbirine eşittir, dolayısıyla sonuçları R Ve R" dikdörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasına uygulanmalıdır ABB 1 A 1; ayrıca büyüklükleri eşittir ve zıt yönlere yönlendirilirler. Bu, sıfıra eşdeğer bir sistem oluşturdukları anlamına gelir. Bu yüzden,

(F1,F" 1, F3,F"3)=(R, R")=0.

Artık yazabiliriz

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F"3)=(F3,F"3). (3.17)

(3.16) ve (3.17) bağıntılarını karşılaştırarak ( F1,F" 1)=(F2,F" 2), kanıtlanması gereken şey buydu.

Bu teoremden, bir çift kuvvetin etki düzleminde hareket ettirilip paralel bir düzleme aktarılabileceği sonucu çıkar; Son olarak, bir çiftte, yalnızca çiftin dönme yönünü ve moment modülünü koruyarak kuvvetleri ve kaldıracı aynı anda değiştirebilirsiniz ( F 1 H 1 =F 2 H 2).

Aşağıda bu tür eşdeğer çift dönüşümlerinden kapsamlı olarak yararlanacağız.

Teorem 3. Kesişen düzlemlerde bulunan iki çift, momenti verilen iki çiftin momentlerinin toplamına eşit olan bir çifte eşdeğerdir.

Çiftlerin ( F1,F" 1) Ve ( F2,F" 2) kesişen düzlemlerde bulunur BEN Ve II sırasıyla. Teorem 2'nin sonucunu kullanarak her iki çifti de omuza indirgeriz AB, düzlemlerin kesişme çizgisinde bulunur BEN Ve II. Dönüştürülen çiftleri ( ile gösterelim) S 1,Soru" 1) Ve ( 2. Soru,Soru" 2). Bu durumda eşitliklerin sağlanması gerekir.

M1 = M(S 1,Soru" 1)=M(F1,F" 1) Ve M2 = M(2. Soru,Soru" 2)=M(F2,F" 2).

Aksiyoma göre noktalara uygulanan 3 kuvveti ekleyelim. A Ve İÇİNDE sırasıyla. Sonra alırız R=Ç 1 +Ç 2 Ve R"=Q" 1 +Q" 2. Bunu göz önünde bulundurarak Q" 1 = -Q 1 Ve Q"2 = -Q2, alıyoruz R=-R". Böylece iki çiftli bir sistemin bir çifte eşdeğer olduğunu kanıtlamış olduk ( R,R").

Bir an bulalım M bu çift. Formül (3.13)'e dayanarak elimizde

M(R,R")=VA× (Soru 1 + Soru 2)=VA× Soru 1 + VA× 2. Soru=

=M(S 1,Soru" 1)+M(2. Soru,Soru" 2)=M(F1,F" 1)+M(F2,F" 2)

M=M1 +M2,

onlar. teorem kanıtlanmıştır.

Elde edilen sonucun paralel düzlemlerde bulunan çiftler için de geçerli olduğuna dikkat edin. Teorem 2'ye göre bu tür çiftler bir düzleme indirgenebilir ve Teorem 1'e göre momentleri bileşen çiftlerin momentlerinin toplamına eşit olan bir çift ile değiştirilebilirler.

Yukarıda kanıtlanan çift teoremleri önemli bir sonuca varmamızı sağlar: Çiftin anı serbest bir vektördür ve çiftin kesinlikle katı bir cisim üzerindeki hareketini tamamen belirler. . Aslında, eğer iki çift aynı momentlere sahipse (dolayısıyla aynı düzlemde veya paralel düzlemlerde bulunuyorsa), o zaman birbirlerine eşdeğer olduklarını zaten kanıtlamıştık (Teorem 2). Öte yandan, kesişen düzlemlerde bulunan iki çift eşdeğer olamaz çünkü bu, bunlardan birinin ve diğerinin karşısındaki çiftin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir ki bu imkansızdır, çünkü bu tür çiftlerin momentlerinin toplamı sıfırdan farklıdır.

Bu nedenle, çiftin vücut üzerindeki mekanik hareketini tamamen yansıttığı için tanıtılan çift anı kavramı son derece kullanışlıdır. Bu anlamda anın kapsamlı bir şekilde bir çiftin katı bir cisim üzerindeki eylemini temsil ettiğini söyleyebiliriz.

Deforme olabilen cisimler için yukarıda özetlenen çift teorisi uygulanamaz. Örneğin bir çubuğun uçlarında hareket eden iki zıt çift, katı cisim statiği açısından sıfıra eşdeğerdir. Bu arada, deforme olabilen çubuk üzerindeki hareketleri burulmaya neden olur ve ne kadar büyükse moment modülü de o kadar büyük olur.

Vücuda yalnızca çift kuvvet etkidiğinde statiğin birinci ve ikinci problemlerini çözmeye geçelim.

Dönme hareketi bir tür mekanik harekettir.

Kesinlikle katı bir cismin dönme hareketi sırasında noktaları paralel düzlemlerde bulunan daireleri tanımlar. Tüm dairelerin merkezleri, dairelerin düzlemlerine dik olan ve dönme ekseni adı verilen aynı düz çizgi üzerinde bulunur. Dönme ekseni gövdenin içinde veya dışında bulunabilir. Belirli bir referans sistemindeki dönme ekseni hareketli veya sabit olabilir. Örneğin, Dünya ile ilişkili referans çerçevesinde, bir enerji santralindeki jeneratör rotorunun dönme ekseni sabittir.

Kinetik özellikler:

Katı bir cismin bir bütün olarak dönüşü, açısal derece veya radyan cinsinden ölçülen bir açı, açısal hız (rad/s cinsinden ölçülür) ve açısal ivme (ölçü birimi - rad/s²) ile karakterize edilir.

Düzgün dönüşle (saniyede T devir):

Dönme frekansı, birim zaman başına vücut devir sayısıdır.-

Dönme süresi bir tam devrimin süresidir.

Dönme periyodu T ve frekansı ilişkiyle ilişkilidir.

Dönme ekseninden R mesafesinde bulunan bir noktanın doğrusal hızı

Vücut dönüşünün açısal hızı

Kuvvet momenti (eşanlamlılar: tork, tork, tork, tork), yarıçap vektörünün vektör çarpımına eşit bir vektör fiziksel miktarıdır (tanım gereği dönme ekseninden kuvvetin uygulama noktasına kadar çizilmiştir) ve bu kuvvetin vektörü.

Açısal momentumun korunumu yasası (açısal momentumun korunumu yasası) temel korunum yasalarından biridir. Kapalı bir cisim sistemi için seçilen eksene göre tüm açısal momentumun vektör toplamı yoluyla matematiksel olarak ifade edilir ve sistem dış kuvvetler tarafından harekete geçinceye kadar sabit kalır. Buna göre kapalı bir sistemin herhangi bir koordinat sisteminde açısal momentumu zamanla değişmez.

Açısal momentumun korunumu yasası, uzayın dönmeye göre izotropisinin bir tezahürüdür.

16. Dönme hareketinin dinamiğinin denklemi. Atalet momenti.

Bir maddi noktanın dönme hareketinin dinamiğinin temel denklemi, noktanın sabit bir eksen etrafında dönmesi sırasındaki açısal ivmesinin torkla orantılı ve atalet momentiyle ters orantılı olmasıdır.

M = E*J veya E = M/J

Ortaya çıkan ifadeyi Newton'un ikinci yasasıyla öteleme yasasıyla karşılaştırdığımızda, eylemsizlik momenti J'nin dönme hareketi yapan bir cismin eylemsizliğinin bir ölçüsü olduğunu görüyoruz. Kütle gibi miktar da katkılıdır.

Atalet momenti skaler (genel olarak tensör) bir fiziksel niceliktir; bir eksen etrafında dönme hareketindeki ataletin bir ölçüsüdür, tıpkı bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi. Kütlelerin vücuttaki dağılımı ile karakterize edilir: atalet momenti, temel kütlelerin çarpımlarının, taban setine (nokta, çizgi veya düzlem) olan mesafelerinin karesi ile toplamına eşittir.

SI birimi: kg m² Tanım: I veya J.

Noktaların mesafesinin ölçüldüğü manifolda bağlı olarak birkaç atalet momenti vardır.

Atalet momentinin özellikleri:

1. Sistemin eylemsizlik momenti, parçalarının eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir.

2. Bir cismin eylemsizlik momenti, bu cismin doğasında bulunan bir niceliktir.

Katı bir cismin atalet momenti, cisimdeki kütle dağılımını karakterize eden bir miktardır ve dönme hareketi sırasında cismin ataletinin bir ölçüsüdür.

Atalet momentinin formülü:

Steiner'ın teoremi:

Bir cismin herhangi bir eksene göre atalet momenti, atalet merkezinden geçen paralel bir eksene göre atalet momentine eşittir ve m*(R*R) değerine eklenir; burada R, eksenler arasındaki mesafedir.

Mekanik bir sistemin sabit bir eksene göre atalet momenti ("eksenel atalet momenti"), sistemin tüm n maddi noktasının kütlelerinin çarpımlarının mesafelerinin kareleriyle toplamına eşit olan Ja değeridir. eksene:

Bir Ja cismin eksenel atalet momenti, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür, tıpkı bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi.

Merkezi atalet momenti (veya O noktasına göre atalet momenti) miktardır

.

Bir anlık güç kuvvetin etki düzlemindeki keyfi bir merkeze göre kuvvet modülü ile omuzun çarpımı denir.

Omuz- O merkezinden kuvvetin etki çizgisine kadar olan en kısa mesafe, ancak kuvvetin uygulama noktasına kadar değil, çünkü kuvvet kayan vektör.

An işareti:

Saat yönünde - eksi, saat yönünün tersine - artı;

Kuvvet momenti bir vektör olarak ifade edilebilir. Bu, Gimlet kuralına göre düzleme diktir.

Düzlemde birden fazla kuvvet veya kuvvet sistemi bulunuyorsa, bunların momentlerinin cebirsel toplamı bize şunu verecektir: ana nokta kuvvet sistemleri.

Kuvvetin eksene göre momentini ele alalım, kuvvetin Z eksenine göre momentini hesaplayalım;

F'yi XY'ye yansıtalım;

F xy =F cosa= ab

m 0 (F xy)=m z (F), yani m z =F xy * H= F cosa* H

Eksene göre kuvvet momenti, eksenlerin ve düzlemin kesişme noktasında alınan eksene dik bir düzlem üzerine izdüşüm anına eşittir.

Kuvvet eksene paralelse veya onu kesiyorsa m z (F)=0

Kuvvet momentinin vektör ifadesi olarak ifade edilmesi

A noktasına r a çizelim. OA x F'yi düşünün.

Bu, düzleme dik olan üçüncü m o vektörüdür. Çapraz çarpımın büyüklüğü, gölgeli üçgenin alanının iki katı kullanılarak hesaplanabilir.

Koordinat eksenlerine göre kuvvetin analitik ifadesi.

Birim vektörleri i, j, k olan Y ve Z, X eksenlerinin O noktasıyla ilişkili olduğunu varsayalım. Bunu dikkate alarak:

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y şunu elde ederiz: m o (F)=x =

Determinantını genişletelim ve şunu elde edelim:

m x =YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Bu formüller, vektör momentinin eksen üzerindeki izdüşümünü ve ardından vektör momentinin kendisini hesaplamayı mümkün kılar.

Bileşke anına ilişkin Varignon teoremi

Bir kuvvetler sisteminin bir sonucu varsa, o zaman herhangi bir merkeze göre momenti, tüm kuvvetlerin bu noktaya göre momentlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Q= -R uygularsak sistem (Q,F 1 ... F n) eşit derecede dengeli olacaktır.

Herhangi bir merkeze göre momentlerin toplamı sıfıra eşit olacaktır.

Düzlemsel kuvvetler sistemi için analitik denge koşulu

Bu, etki çizgileri aynı düzlemde bulunan düz bir kuvvet sistemidir.

Bu tip problemlerin hesaplanmasındaki amaç dış bağlantıların tepkilerini belirlemektir. Bunu yapmak için düzlem kuvvet sistemindeki temel denklemler kullanılır.

2 veya 3 moment denklemleri kullanılabilir.

Örnek

X ve Y eksenindeki tüm kuvvetlerin toplamı için bir denklem oluşturalım.