İnsan faaliyetinin diğer alanlarında veya doğada olduğu gibi ekonomide de sürekli olarak doğru bir şekilde tahmin edilemeyen olaylarla uğraşmak zorundayız. Bu nedenle, bir ürünün satış hacmi, önemli ölçüde değişebilen talebe ve dikkate alınması neredeyse imkansız olan bir dizi başka faktöre bağlıdır. Bu nedenle, üretimi organize ederken ve satışları gerçekleştirirken, bu tür faaliyetlerin sonucunu ya kendi önceki deneyiminize ya da diğer insanların benzer deneyimlerine ya da büyük ölçüde deneysel verilere dayanan sezgilere dayanarak tahmin etmeniz gerekir.
Söz konusu olayı bir şekilde değerlendirebilmek için bu olayın kaydedildiği koşulları dikkate almak veya özel olarak düzenlemek gerekir.
Söz konusu olayı tanımlamak için belirli koşulların veya eylemlerin uygulanmasına denir. deneyim veya deney.
Olayın adı rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilir veya çıkmayabilir.
Olayın adı güvenilir zorunlu olarak belirli bir deneyimin sonucu olarak ortaya çıkıyorsa ve imkansız, eğer bu deneyimde ortaya çıkamıyorsa.
Örneğin 30 Kasım'da Moskova'ya kar yağması tesadüfi bir olaydır. Günlük gün doğumu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir. Ekvatorda kar yağışı imkansız bir olay sayılabilir.
Olasılık teorisindeki ana görevlerden biri, bir olayın meydana gelme olasılığının niceliksel bir ölçüsünü belirleme görevidir.
Olayların cebiri
Olaylar aynı deneyimde bir arada gözlemlenemiyorsa uyumsuz olarak adlandırılır. Dolayısıyla satılık bir mağazada aynı anda iki ve üç arabanın bulunması birbiriyle bağdaşmayan iki olaydır.
Miktar olaylar, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır
Olayların toplamına bir örnek, mağazada iki üründen en az birinin bulunmasıdır.
iş olaylar tüm bu olayların aynı anda meydana gelmesinden oluşan bir olaydır
Bir mağazada iki ürünün aynı anda ortaya çıkmasından oluşan olay, aşağıdaki olayların ürünüdür: - bir ürünün ortaya çıkması, - başka bir ürünün ortaya çıkması.
Olaylar, eğer deneyimde en az bir tanesinin gerçekleşeceği kesinse, tam bir olaylar grubu oluşturur.
Örnek. Limanda gemilerin kabulü için iki iskele bulunmaktadır. Üç olay dikkate alınabilir: - Rıhtımlarda gemi bulunmaması, - Rıhtımlardan birinde bir geminin bulunması, - İki rıhtımda iki geminin bulunması. Bu üç olay tam bir olaylar grubunu oluşturur.
Zıt Tam bir grup oluşturan iki benzersiz olası olaya denir.
Zıt olaylardan biri ile gösterilirse, karşıt olay genellikle ile gösterilir.
Olay olasılığının klasik ve istatistiksel tanımları
Testlerin (deneylerin) eşit derecede olası sonuçlarının her birine temel sonuç denir. Genellikle harflerle belirtilirler. Örneğin bir zar atılıyor. Kenarlardaki noktaların sayısına bağlı olarak toplam altı temel sonuç olabilir.
Temel sonuçlardan daha karmaşık bir olay yaratabilirsiniz. Böylece çift sayıda puan olayı üç sonuçla belirlenir: 2, 4, 6.
Söz konusu olayın meydana gelme olasılığının niceliksel ölçüsü olasılıktır.
Bir olayın olasılığının en yaygın kullanılan tanımları şunlardır: klasik Ve istatistiksel.
Olasılığın klasik tanımı, olumlu bir sonuç kavramıyla ilişkilidir.
Sonuç denir uygun Belirli bir olaya, eğer bu olayın gerçekleşmesi bu olayın gerçekleşmesini gerektiriyorsa.
Yukarıdaki örnekte, söz konusu olayın - yuvarlanan tarafta çift sayıda noktanın - üç olumlu sonucu vardır. Bu durumda genel
olası sonuçların sayısı. Bu, bir olayın olasılığının klasik tanımının burada kullanılabileceği anlamına gelir.
Klasik tanım olumlu sonuçların sayısının olası sonuçların toplam sayısına oranına eşittir
olayın olasılığı nerede, olaya uygun sonuçların sayısı, olası sonuçların toplam sayısı.
Ele alınan örnekte
Olasılığın istatistiksel tanımı, deneylerde bir olayın göreceli olarak ortaya çıkma sıklığı kavramıyla ilişkilidir.
Bir olayın göreceli görülme sıklığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
bir dizi deneyde (testlerde) bir olayın meydana gelme sayısı nerede?
İstatistiksel tanım. Bir olayın olasılığı, deney sayısındaki sınırsız artışla bağıl frekansın sabitlendiği (ayarlandığı) sayıdır.
Pratik problemlerde, bir olayın olasılığı yeterince fazla sayıda denemenin bağıl sıklığı olarak alınır.
Bir olayın olasılığının bu tanımlarından eşitsizliğin her zaman karşılandığı açıktır.
Formül (1.1)'e dayalı bir olayın olasılığını belirlemek için, olumlu sonuçların sayısını ve olası sonuçların toplam sayısını bulmak için kullanılan kombinatorik formüller sıklıkla kullanılır.
Şu tarihte: Herhangi bir rastgele olayın meydana gelme olasılığını değerlendirirken, ilgilendiğimiz olayın meydana gelme olasılığının () diğer olayların nasıl geliştiğine bağlı olup olmadığını iyi anlamak çok önemlidir.
Klasik şemada, tüm sonuçlar eşit derecede olası olduğunda, bizi ilgilendiren bireysel olayın olasılık değerlerini zaten bağımsız olarak tahmin edebiliriz. Olay birkaç temel sonuçtan oluşan karmaşık bir koleksiyon olsa bile bunu yapabiliriz. Peki ya birkaç rastgele olay aynı anda ya da ardışık olarak meydana gelirse? Bu, ilgilendiğimiz olayın gerçekleşme olasılığını nasıl etkiler?
Zarı birkaç kez atarsam ve altının gelmesini istersem ve şanssızlığa devam edersem, bu, olasılık teorisine göre şansım yaver gitmek üzere olduğu için bahsimi artırmam gerektiği anlamına mı gelir? Ne yazık ki olasılık teorisi böyle bir şeyi ifade etmiyor. Zar yok, kart yok, madeni para yok hatırlayamıyorum geçen sefer bize gösterdikleri şey. Bugün şansımı ilk kez mi yoksa onuncu kez mi test ettiğim onlar için hiç önemli değil. Zarı her tekrarladığımda tek bir şey biliyorum: ve bu sefer altı alma olasılığı yine altıda bir. Elbette bu, ihtiyacım olan sayının hiçbir zaman gelmeyeceği anlamına gelmiyor. Bu sadece ilk atıştan ve diğer atışlardan sonraki kaybımın bağımsız olaylar olduğu anlamına gelir.
A ve B olaylarına denir bağımsız bunlardan birinin uygulanması başka bir olayın olasılığını hiçbir şekilde etkilemiyorsa. Örneğin, iki silahtan ilkiyle hedefi vurma olasılıkları, hedefin diğer silahla vurulup vurulmadığına bağlı olmadığından “ilk silah hedefi vurdu” ve “ikinci silah hedefi vurdu” olayları bağımsız.
Eğer iki A ve B olayı bağımsızsa ve her birinin olasılığı biliniyorsa, hem A olayının hem de B olayının (AB ile gösterilir) aynı anda meydana gelme olasılığı aşağıdaki teorem kullanılarak hesaplanabilir.
Bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremi
P(AB) = P(A)*P(B)- olasılık eşzamanlı ikisinin başlangıcı bağımsız olaylar eşittir iş bu olayların olasılıkları.Örnek.Birinci ve ikinci silah ateşlendiğinde hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir: p 1 =0,7;
p2 =0,8. Her iki silahın aynı anda tek salvoyla vurulma olasılığını bulun.Çözüm:
Daha önce de gördüğümüz gibi, A (ilk silahla vuruldu) ve B (ikinci silahla vuruldu) olayları bağımsızdır, yani. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.
Örnek.Başlangıçtaki olaylar bağımsız değilse tahminlerimize ne olur? Önceki örneği biraz değiştirelim.
Bir yarışmada iki atıcı hedefe ateş eder ve içlerinden biri isabetli atış yaparsa rakip sinirlenmeye başlar ve sonuçları kötüleşir. Bu günlük durumu bir matematik problemine nasıl dönüştürebilir ve çözmenin yollarını nasıl özetleyebiliriz? Olayların gelişimi için iki seçeneği bir şekilde ayırmanın, esasen iki senaryo, iki farklı görev yaratmanın gerekli olduğu sezgisel olarak açıktır. İlk durumda, eğer rakip ıskalarsa senaryo gergin sporcu için daha uygun olacak ve doğruluğu daha yüksek olacaktır. İkinci durumda rakip şansını iyi değerlendirmişse ikinci sporcunun hedefi vurma olasılığı azalır. Olayların gelişimine ilişkin olası senaryoları (genellikle hipotez olarak adlandırılır) ayırmak için sıklıkla bir "olasılık ağacı" diyagramı kullanırız. Bu diyagram anlam bakımından muhtemelen daha önce ele aldığınız karar ağacına benzer. Her dal, olayların gelişimi için ayrı bir senaryoyu temsil eder, ancak şimdi sözde kendi anlamı vardır.
koşullu
olasılıklar (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Bu şema ardışık rastgele olayları analiz etmek için çok uygundur. Bir önemli soruyu daha açıklığa kavuşturmak kalıyor: olasılıkların başlangıç değerleri nerede?
Örnek.gerçek durumlar ? Sonuçta olasılık teorisi sadece madeni para ve zarlarla çalışmıyor mu? Genellikle bu tahminler istatistiklerden alınır ve istatistiksel bilgi mevcut olmadığında kendi araştırmamızı yaparız. Ve çoğu zaman buna veri toplamakla değil, gerçekte hangi bilgiye ihtiyacımız olduğu sorusuyla başlamamız gerekir.
Diyelim ki yüz bin nüfuslu bir şehirde, önemli bir ürün olmayan yeni bir ürünün, örneğin renkli saç bakımı için bir balsamın pazar hacmini tahmin etmemiz gerekiyor. "Olasılık ağacı" diyagramını ele alalım. Bu durumda her bir “dal” üzerindeki olasılık değerini yaklaşık olarak tahmin etmemiz gerekir.
Yani, pazar kapasitesi tahminlerimiz:
3) sadece %10'u boyalı saçlar için balsam kullanıyor,
4) Bunlardan sadece %10'u yeni bir ürünü deneme cesaretini toplayabiliyor,
5) Bunların %70'i genellikle her şeyi bizden değil rakiplerimizden satın alıyor.
p2 =0,8. Her iki silahın aynı anda tek salvoyla vurulma olasılığını bulun. Olasılıkların çarpımı kanununa göre ilgilendiğimiz olayın olasılığını A = (bir şehir sakini bu yeni merhemi bizden alır) = 0,00045 olarak belirleriz.
Bu olasılık değerini şehir sakinlerinin sayısıyla çarpalım. Sonuç olarak sadece 45 potansiyel müşterimiz var ve bu ürünün bir şişesinin birkaç ay dayandığını düşünürsek ticaret pek canlı değil.
Yine de değerlendirmelerimizin bazı faydaları var.
Öncelikle farklı iş fikirlerinin tahminlerini karşılaştırabiliriz; diyagramlarda farklı “çatallara” sahip olacaklar ve elbette olasılık değerleri de farklı olacaktır.
İkincisi, daha önce de söylediğimiz gibi, rastgele bir değişkene rastgele denmez çünkü hiçbir şeye bağlı değildir. Sadece o bire bir aynı anlamı önceden bilinmemektedir. Ortalama alıcı sayısının artırılabileceğini biliyoruz (örneğin yeni bir ürünün reklamını yaparak). Bu nedenle, çabalarımızı olasılık dağılımının bize özellikle uymadığı "çatallara", etkileyebileceğimiz faktörlere odaklamak mantıklıdır.
Tüketici davranışı araştırmasının başka bir niceliksel örneğine bakalım.
Örnek. Gıda pazarını günde ortalama 10.000 kişi ziyaret ediyor. Bir pazar ziyaretçisinin süt ürünleri pavyonuna girme olasılığı 1/2'dir.
Bu pavyonun günde ortalama 500 kg çeşitli ürünün satıldığı biliniyor.
Pavyondaki ortalama alışverişin sadece 100 gr olduğunu söyleyebilir miyiz? Tartışma.
Tabii ki değil. Pavyona giren herkesin oradan bir şey satın almadığı açık.
Bu tahminleri elde ettiğimizde işimiz basitleşiyor. Pazara gelen 10.000 kişiden 5.000'i süt ürünleri pavyonuna gidecek; ortalama alım ağırlığı ise 500 gram olacak. Neler olup bittiğinin tam bir resmini oluşturmak için, koşullu "dallanma" mantığının, akıl yürütmemizin her aşamasında sanki "belirli" bir durumla çalışıyormuşuz gibi net bir şekilde tanımlanması gerektiğini belirtmek ilginçtir. olasılıklarla.
Kendi kendine test görevleri
1. Her biri birbirinden bağımsız çalışan, seri bağlı n adet elemandan oluşan bir elektrik devresi olsun.
Her elemanın başarısızlık olasılığı p bilinmektedir. Devrenin tüm bölümünün düzgün çalışma olasılığını belirleyin (olay A).
2. Öğrenci 25 sınav sorusundan 20'sini bilir. Öğrencinin kendisine sınav görevlisi tarafından verilen üç soruyu bilme olasılığını bulun.
3. Üretim, her birinde ekipmanın çalıştığı ve bir sonraki aydaki arıza olasılıklarının sırasıyla p 1, p 2, p 3 ve p 4'e eşit olduğu dört ardışık aşamadan oluşur. Bir ay içinde ekipman arızası nedeniyle üretimin durmaması olasılığını bulun.
olasılık- Rastgele bir olayın meydana gelme olasılığını yansıtan 0 ile 1 arasında bir sayı; burada 0, olayın meydana gelme olasılığının tamamen yokluğudur ve 1, söz konusu olayın kesinlikle meydana geleceği anlamına gelir.
E olayının olasılığı 1'e kadar bir sayıdır.
Birbirini dışlayan olayların olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.
ampirik olasılık- Geçmişteki bir olayın göreceli sıklığı olarak hesaplanan ve geçmiş verilerin analizinden elde edilen olasılık.
Çok nadir olayların olasılığı ampirik olarak hesaplanamaz.
öznel olasılık- geçmiş verilere bakılmaksızın bir olayın kişisel öznel değerlendirmesine dayanan olasılık. Hisse satın alma ve satma kararı veren yatırımcılar genellikle subjektif olasılıkları göz önünde bulundurarak hareket ederler.
önceki olasılık -
Olasılık kavramına göre bir olayın meydana gelme ihtimali 1'dir. Bir olayın meydana gelme ihtimali olasılık ile şu şekilde ifade edilir: P/(1-P).
Örneğin bir olayın olasılığı 0,5 ise olayın gerçekleşme olasılığı 2 üzerinden 1'dir çünkü 0,5/(1-0,5).
Bir olayın meydana gelmeme ihtimali (1-P)/P formülü kullanılarak hesaplanır.
Tutarsız olasılık- örneğin, A şirketinin hisselerinin fiyatı, olası E olayını %85 oranında dikkate alırken, B şirketinin hisselerinin fiyatı yalnızca %50'yi dikkate alır. Buna tutarsız olasılık denir. Hollanda Bahis Teoremine göre tutarsız olasılık kar fırsatları yaratır.
Koşulsuz olasılık“Olayın gerçekleşme olasılığı nedir?” sorusunun cevabıdır.
Koşullu olasılık- "B olayı gerçekleşirse A olayının olasılığı nedir?" sorusunun cevabı budur. Koşullu olasılık P(A|B) olarak gösterilir.
Ortak olasılık- A ve B olaylarının aynı anda meydana gelme olasılığı. P(AB) olarak gösterilir.
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Olasılıkları özetleme kuralı:
A olayının veya B olayının olma olasılığı
P (A veya B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
A ve B olayları birbirini dışlıyorsa, o zaman
P (A veya B) = P(A) + P(B)
Bağımsız etkinlikler- A ve B olayları şu durumda bağımsızdır:
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
Yani olasılık değerinin bir olaydan diğerine sabit olduğu bir sonuç dizisidir.
Yazı tura atılması böyle bir olaya örnektir; sonraki her atışın sonucu bir öncekinin sonucuna bağlı değildir.
Bağımlı Olaylar- Bunlar, birinin meydana gelme olasılığının diğerinin meydana gelme olasılığına bağlı olduğu olaylardır.
Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı:
A ve B olayları bağımsız ise, o zaman
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Toplam olasılık kuralı:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)
S ve S" birbirini dışlayan olaylardır
beklenen değer Rastgele bir değişken, bir rastgele değişkenin olası sonuçlarının ortalamasıdır. X olayı için beklenti E(X) olarak gösterilir.
Diyelim ki, belli bir olasılıkla birbirini dışlayan olayların 5 değeri var (örneğin, bir şirketin geliri şu kadar ve şu kadardı). Matematiksel beklenti, tüm sonuçların olasılıklarıyla çarpımının toplamı olacaktır:
Bir rastgele değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin beklentisinden sapmalarının karelerinin beklentisidir:
s 2 = E( 2 ) (6)
Koşullu beklenen değer - S olayının zaten gerçekleşmiş olması koşuluyla, rastgele bir X değişkeninin beklenen değeri.
Pek çok insanın ilgisini çeken bir konu hakkında konuşalım. Bu yazımda bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır sorusuna cevap vereceğim. Böyle bir hesaplama için formüller vereceğim ve bunun nasıl yapıldığını daha açık hale getirmek için birkaç örnek vereceğim.
Olasılık nedir
Şu veya bu olayın meydana gelme olasılığının, bir sonucun nihai olarak ortaya çıkması konusunda belirli bir güven olduğu gerçeğiyle başlayalım. Bu hesaplama için, ilgilendiğiniz olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini, koşullu olasılıklar olarak adlandırılan yöntemler üzerinden belirlemenizi sağlayan bir toplam olasılık formülü geliştirilmiştir. Bu formül şuna benzer: P = n/m, harfler değişebilir ama bu işin özüne etki etmez.
Olasılık örnekleri
Basit bir örnek kullanarak bu formülü analiz edip uygulayalım. Diyelim ki belli bir olay (P) var, bu bir zar atışı, yani eşkenar zar olsun. Ve bundan 2 puan alma olasılığının ne olduğunu hesaplamamız gerekiyor. Bunu yapmak için, bizim durumumuzda olumlu olayların sayısına (n) ihtiyacınız var - toplam olay sayısı (m) için 2 puan kaybı. 2 puanlık bir atış yalnızca tek bir durumda gerçekleşebilir, eğer zarda 2 puan varsa, aksi takdirde toplam daha büyük olacaktır, bundan n = 1 sonucu çıkar. Daha sonra, zardaki diğer sayıların atış sayısını sayarız. zar, 1 zar başına - bunlar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6'dır, dolayısıyla 6 uygun durum vardır, yani m = 6. Şimdi formülü kullanarak basit bir hesaplama yapıyoruz: P = 1/ 6 ve zardaki 2 puanın 1/6 olduğunu, yani olayın olasılığının çok düşük olduğunu buluyoruz.
Bir kutudaki renkli topları kullanan bir örneğe de bakalım: 50 beyaz, 40 siyah ve 30 yeşil. Yeşil top çekme olasılığının ne olduğunu belirlemeniz gerekiyor. Yani bu renkten 30 top olduğuna göre yani sadece 30 pozitif olay olabileceğine göre (n=30), tüm olayların sayısı 120, m=120 (tüm topların toplam sayısına göre), formülü kullanarak yeşil top çekme olasılığının P = 30/120 = 0,25 yani 100'ün %25'ine eşit olacağını hesaplıyoruz. Aynı şekilde yeşil top çekme olasılığını da hesaplayabilirsiniz. farklı renk (siyah %33, beyaz %42 olacaktır).
Olasılıklara göre hareket etme ihtiyacı, bazı olayların olasılıkları bilindiğinde ortaya çıkar ve bu olaylarla ilişkili diğer olayların olasılıklarını hesaplamak gerekir.
Olasılıkların eklenmesi, rastgele olayların bir kombinasyonunun veya mantıksal toplamının olasılığını hesaplamanız gerektiğinde kullanılır.
Olayların toplamı A Ve B belirtmek A + B veya A ∪ B. İki olayın toplamı, yalnızca ve yalnızca olaylardan en az birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olaydır. Bu şu anlama geliyor A + B– yalnızca gözlem sırasında meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olay A veya olay B veya aynı anda A Ve B.
Eğer olaylar A Ve B birbiriyle tutarsız ise ve olasılıkları veriliyorsa, olasılıkların toplanmasıyla bu olaylardan birinin bir deneme sonucunda ortaya çıkma olasılığı hesaplanır.
Olasılık toplama teoremi. Birbiriyle bağdaşmayan iki olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
Örneğin avlanırken iki el ateş edilir. Etkinlik A– İlk atışta ördeğe vurmak, olay İÇİNDE– ikinci atıştan vuruş, olay ( A+ İÇİNDE) – birinci veya ikinci atışta veya iki atışta yapılan vuruş. Yani eğer iki olay A Ve İÇİNDE– uyumsuz olaylar, o zaman A+ İÇİNDE- Bu olaylardan en az birinin veya iki olayın meydana gelmesi.
Örnek 1. Bir kutuda aynı büyüklükte 30 top vardır: 10'u kırmızı, 5'i mavi ve 15'i beyaz. Renkli (beyaz olmayan) bir topun bakmadan alınma olasılığını hesaplayın.
Çözüm. hadiseyi varsayalım A- “kırmızı top alınır” ve olay İÇİNDE- “Mavi top alındı.” Daha sonra olay “renkli (beyaz değil) bir topun alınmasıdır”. Olayın olasılığını bulalım A:
ve olaylar İÇİNDE:
Olaylar A Ve İÇİNDE– karşılıklı olarak uyumsuzdur, çünkü bir top alınırsa farklı renkteki topların alınması imkansızdır. Bu nedenle olasılıkların toplamını kullanıyoruz:
Birkaç uyumsuz olay için olasılıkların eklenmesine ilişkin teorem. Eğer olaylar tam bir olaylar dizisi oluşturuyorsa, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir:
Zıt olayların olasılıklarının toplamı da 1'e eşittir:
Zıt olaylar tam bir olaylar dizisi oluşturur ve tam bir olaylar dizisinin olasılığı 1'dir.
Zıt olayların olasılıkları genellikle küçük harflerle gösterilir P Ve Q. özellikle,
Zıt olayların olasılığına ilişkin aşağıdaki formüller buradan gelir:
Örnek 2. Atış poligonunda hedef 3 bölgeye ayrılmıştır. Belirli bir atıcının birinci bölgedeki hedefe atış yapma olasılığı 0,15, ikinci bölgede 0,23, üçüncü bölgede ise 0,17'dir. Atıcının hedefi vurma olasılığını ve atıcının hedefi ıskalama olasılığını bulun.
Çözüm: Atıcının hedefi vurma olasılığını bulun:
Atıcının hedefi ıskalama olasılığını bulalım:
Olasılıkların hem toplanması hem de çarpımını kullanmanız gereken daha karmaşık problemler için "Olasılıkların toplanması ve çarpımını içeren çeşitli problemler" sayfasına bakın.
Karşılıklı eşzamanlı olayların olasılıklarının eklenmesi
Bir olayın meydana gelmesi aynı gözlemde ikinci bir olayın meydana gelmesini dışlamıyorsa iki rastgele olaya ortak olay adı verilir. Örneğin bir zar atıldığında olay A 4 sayısının piyasaya sürüldüğü düşünülüyor ve etkinlik İÇİNDE– çift sayıyı yuvarlamak. 4 çift sayı olduğundan iki olay uyumludur. Uygulamada, karşılıklı eşzamanlı olaylardan birinin meydana gelme olasılığının hesaplanmasında sorunlar vardır.
Ortak olaylar için olasılık toplama teoremi. Ortak olaylardan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına, yani her iki olayın ortak gerçekleşme olasılığının çıkarılmasına, yani olasılıkların çarpımına eşittir. Ortak olayların olasılıklarına ilişkin formül aşağıdaki biçimdedir:
Olaylardan bu yana A Ve İÇİNDE uyumlu, etkinlik A+ İÇİNDEüç olası olaydan biri meydana gelirse meydana gelir: veya AB. Uyumsuz olayların toplanması teoremine göre aşağıdaki gibi hesaplıyoruz:
Etkinlik A iki uyumsuz olaydan birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelecektir: veya AB. Ancak birbiriyle bağdaşmayan birden fazla olaydan bir olayın meydana gelme olasılığı, tüm bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
Aynı şekilde:
(6) ve (7) numaralı ifadeleri (5) numaralı ifadede değiştirerek, ortak olaylar için olasılık formülünü elde ederiz:
Formül (8) kullanılırken olayların dikkate alınması gerekir. A Ve İÇİNDE Belki:
- karşılıklı olarak bağımsız;
- karşılıklı bağımlı.
Birbirinden bağımsız olaylar için olasılık formülü:
Birbirine bağlı olaylar için olasılık formülü:
Eğer olaylar A Ve İÇİNDE tutarsızsa, bu durumda tesadüfleri imkansız bir durumdur ve bu nedenle, P(AB) = 0. Uyumsuz olaylar için dördüncü olasılık formülü şöyledir:
Örnek 3. Otomobil yarışlarında, ilk arabayı kullandığınızda kazanma şansınız daha yüksektir, ikinci arabayı kullandığınızda ise kazanma şansınız daha yüksektir. Bulmak:
- her iki arabanın da kazanma olasılığı;
- en az bir arabanın kazanma olasılığı;
1) İlk arabanın kazanma olasılığı ikinci arabanın sonucuna bağlı değildir, dolayısıyla olaylar A(ilk araba kazanır) ve İÇİNDE(ikinci araba kazanacak) – bağımsız etkinlikler. Her iki arabanın da kazanma olasılığını bulalım:
2) İki arabadan birinin kazanma olasılığını bulun:
Olasılıkların hem toplanması hem de çarpımını kullanmanız gereken daha karmaşık problemler için "Olasılıkların toplanması ve çarpımını içeren çeşitli problemler" sayfasına bakın.
Olasılıkların toplamı problemini kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın.
Örnek 4.İki madeni para atılıyor. Etkinlik A- ilk madeni paranın üzerindeki armanın kaybı. Etkinlik B- ikinci madalyonun üzerindeki armanın kaybı. Bir olayın olasılığını bulun C = A + B .
Olasılıkların Çarpılması
Olasılık çarpımı, olayların mantıksal çarpımının olasılığının hesaplanması gerektiğinde kullanılır.
Bu durumda rastgele olayların bağımsız olması gerekir. Bir olayın meydana gelmesi ikinci olayın meydana gelme olasılığını etkilemiyorsa iki olaya karşılıklı bağımsız denir.
Bağımsız olaylar için olasılık çarpımı teoremi.İki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı A Ve İÇİNDE bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örnek 5. Para art arda üç kez atılıyor. Armanın üç kez de görünme olasılığını bulun.
Çözüm. Armanın ilk, ikinci ve üçüncü atışta görünme olasılığı. Armanın üç kez de görünme olasılığını bulalım:
Olasılık çarpım problemlerini kendi başınıza çözün ve ardından çözüme bakın
Örnek 6. Dokuz yeni tenis topu içeren bir kutu var. Oynamak için üç top alınır ve oyundan sonra geri konur. Top seçimi yapılırken oynanan toplar, oynanmayan toplardan ayırt edilmez. Üç oyun sonunda kutuda oynanmamış top kalmama olasılığı nedir?
Örnek 7. Kesilmiş alfabe kartlarına Rus alfabesinin 32 harfi yazılmıştır. Beş kart rastgele arka arkaya çekilir ve görünüm sırasına göre masaya yerleştirilir. Harflerin "son" kelimesini oluşturma olasılığını bulun.
Örnek 8. Tam bir kart destesinden (52 sayfa) aynı anda dört kart çıkarılır. Bu kartların dördünün de farklı türden olma olasılığını bulun.
Örnek 9.Örnek 8'deki görevin aynısı, ancak her kart çıkarıldıktan sonra desteye geri gönderilir.
Olasılıkların hem toplamasını hem de çarpmasını kullanmanız ve ayrıca çeşitli olayların çarpımını hesaplamanız gereken daha karmaşık problemler, "Olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili çeşitli problemler" sayfasında bulunabilir.
Birbirinden bağımsız olaylardan en az birinin meydana gelme olasılığı, zıt olayların olasılıklarının çarpımının 1'den çıkarılmasıyla, yani aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Örnek 10. Kargo üç ulaşım yöntemiyle teslim edilir: nehir, demiryolu ve karayolu taşımacılığı. Kargonun nehir taşımacılığıyla teslim edilme olasılığı 0,82, demiryoluyla 0,87, karayoluyla 0,90'dır. Kargonun üç taşıma türünden en az biriyle teslim edilme olasılığını bulun.
