Tüm bilimlerin kraliçesi olan matematik üzerinde çalışırken, bir noktada herkes kesirlerle karşılaşır. Bu kavram (kesirlerin türleri veya onlarla yapılan matematiksel işlemler gibi) hiç de karmaşık olmasa da, onu dikkatli bir şekilde ele almanız gerekir çünkü okul dışındaki gerçek hayatta çok faydalı olacaktır. Öyleyse kesirler hakkındaki bilgimizi tazeleyelim: Nedirler, ne işe yararlar, türleri nelerdir ve onlarla çeşitli aritmetik işlemler nasıl yapılır.

Majesteleri kesri: nedir bu

Matematikte kesirler, her biri bir birimin bir veya daha fazla kısmından oluşan sayılardır. Bu tür kesirlere sıradan veya basit de denir. Kural olarak yatay veya eğik çizgiyle ayrılmış iki sayı olarak yazılırlar, buna "kesirli" çizgi denir. Örneğin: ½, ¾.

Bu sayıların büyüğü veya birincisi paydır (sayıdan kaç parça alındığını gösterir), alttaki veya ikincisi ise paydadır (birimin kaç parçaya bölündüğünü gösterir).

Kesir çubuğu aslında bölme işareti olarak işlev görür. Örneğin 7:9=7/9

Geleneksel olarak ortak kesirler birden küçüktür. Ondalık sayılar bundan daha büyük olabilir.

Kesirler ne içindir? Evet, her şey için çünkü gerçek dünyada tüm sayılar tam sayı değildir. Örneğin, kafeteryadaki iki kız öğrenci birlikte lezzetli bir çikolata satın aldı. Tatlıyı paylaşmak üzereyken bir arkadaşlarıyla tanıştılar ve ona da ikram etmeye karar verdiler. Ancak artık çikolatanın 12 kareden oluştuğunu göz önünde bulundurarak doğru şekilde bölmek gerekiyor.

İlk başta kızlar her şeyi eşit olarak bölmek istediler, sonra her biri dört parça alacaktı. Ancak iyice düşündükten sonra arkadaşlarına çikolatanın 1/3'ünü değil 1/4'ünü ikram etmeye karar verdiler. Ve kız öğrenciler kesirleri iyi çalışmadıkları için böyle bir durumda ellerinde ikiye bölünmesi çok zor olan 9 parçanın elde edileceğini hesaba katmadılar. Oldukça basit olan bu örnek, bir sayının bir bölümünü doğru şekilde bulmanın ne kadar önemli olduğunu göstermektedir. Ancak hayatta bu tür daha birçok vaka var.

Kesir türleri: sıradan ve ondalık

Tüm matematiksel kesirler iki büyük kategoriye ayrılır: sıradan ve ondalık. Bunlardan ilkinin özellikleri önceki paragrafta anlatılmıştı, bu yüzden şimdi ikinciye dikkat etmeye değer.

Ondalık, bir sayının kesirlerinin virgülle ayrılmış olarak, tire veya eğik çizgi olmadan yazılı olarak yazılan konumsal gösterimidir. Örneğin: 0,75, 0,5.

Aslında ondalık kesir sıradan bir kesirle aynıdır, ancak paydası her zaman bir ve ardından sıfır gelir; adı da buradan gelir.

Virgülden önceki sayı bir tamsayı kısmıdır ve ondan sonraki her şey bir kesirdir. Herhangi bir basit kesir ondalık sayıya dönüştürülebilir. Böylece önceki örnekte belirtilen ondalık kesirler her zamanki gibi yazılabilir: ¾ ve ½.

Hem ondalık hem de sıradan kesirlerin pozitif veya negatif olabileceğini belirtmekte fayda var. Başlarında “-” işareti varsa bu kesir negatif, “+” ise pozitif kesirdir.

Sıradan kesirlerin alt türleri

Bu tür basit kesirler vardır.

Ondalık kesrin alt türleri

Basit bir kesirden farklı olarak ondalık kesir yalnızca 2 türe ayrılır.

• Son - virgülden sonra sınırlı (sonlu) sayıda basamağa sahip olması nedeniyle bu adı almıştır: 19.25.
• Sonsuz kesir, virgülden sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir sayıdır. Örneğin 10'u 3'e böldüğümüzde sonuç 3,333 sonsuz kesir olacaktır...

Kesirleri Ekleme

Kesirlerle çeşitli aritmetik işlemler yapmak sıradan sayılardan biraz daha zordur. Ancak temel kuralları anlarsanız onlarla herhangi bir örneği çözmek zor olmayacaktır.

Örneğin: 2/3+3/4. Bunların en küçük ortak katı 12 olacağından her paydada bu sayının olması gerekir. Bunu yapmak için ilk kesrin payını ve paydasını 4 ile çarpıyoruz, 8/12 çıkıyor, ikinci terim için de aynısını yapıyoruz ama sadece 3 - 9/12 ile çarpıyoruz. Artık örneği kolaylıkla çözebilirsiniz: 8/12+9/12= 17/12. Ortaya çıkan kesir yanlış bir birimdir çünkü pay paydadan büyüktür. 17:12 = 1 ve 5/12'ye bölünerek doğru karışıma dönüştürülebilir ve dönüştürülmelidir.

Karışık kesirler eklenirken önce tam sayılarla, sonra kesirlerle işlemler yapılır.

Örnek bir ondalık kesir ve bir normal kesir içeriyorsa, her ikisini de basit hale getirip ardından aynı paydaya getirip eklemek gerekir. Örneğin 3,1+1/2. 3.1 sayısı, 3 ve 1/10'un karışık kesri veya yanlış kesir - 31/10 olarak yazılabilir. Terimlerin ortak paydası 10 olacaktır, yani 1/2'nin payını ve paydasını dönüşümlü olarak 5 ile çarpmanız gerekir, 5/10 elde edersiniz. O zaman her şeyi kolaylıkla hesaplayabilirsiniz: 31/10+5/10=35/10. Elde edilen sonuç uygunsuz indirgenebilir bir kesirdir, onu 5: 7/2 = 3 ve 1/2 veya ondalık - 3,5 oranında azaltarak normal forma getiriyoruz.

2 ondalık kesir eklerken virgülden sonra aynı sayıda rakamın olması önemlidir. Durum böyle değilse, gerekli sayıda sıfır eklemeniz yeterlidir, çünkü ondalık kesirlerde bu ağrısız bir şekilde yapılabilir. Örneğin, 3,5+3,005. Bu sorunu çözmek için ilk sayıya 2 sıfır ekleyip ardından birer birer eklemeniz gerekir: 3.500+3.005=3.505.

Kesirlerde Çıkarma

Kesirleri çıkarırken, eklerken yaptığınızın aynısını yapmalısınız: ortak bir paydaya azaltın, bir payı diğerinden çıkarın ve gerekirse sonucu karışık kesire dönüştürün.

Örneğin: 16/20-5/10. Ortak payda 20 olacaktır. İkinci kesri bu paydaya getirmeniz gerekiyor, onun her iki kısmını da 2 ile çarparak 10/20 elde edersiniz. Artık örneği çözebilirsiniz: 16/20-10/20= 6/20. Ancak bu sonuç indirgenebilir kesirler için geçerli olduğundan her iki tarafı da 2'ye bölmek gerekir ve sonuç 3/10 olur.

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri bölme ve çarpma, toplama ve çıkarmaya göre çok daha basit işlemlerdir. Gerçek şu ki, bu görevleri yerine getirirken ortak bir payda aramaya gerek yok.

Kesirleri çarpmak için her iki payı da birer birer çarpmanız ve ardından her iki paydayı da çarpmanız yeterlidir. Kesir indirgenebilir bir miktar ise, ortaya çıkan sonucu azaltın.

Örneğin: 4/9x5/8. Alternatif çarpma işleminden sonra sonuç 4x5/9x8=20/72 olur. Bu kesir 4'e kadar azaltılabilir, dolayısıyla örnekteki son cevap 5/18'dir.

Kesirler nasıl bölünür

Kesirleri bölmek de basit bir işlemdir; aslında mesele yine de onları çarpmaktır. Bir kesri diğerine bölmek için ikinciyi ters çevirip birinciyle çarpmanız gerekir.

Örneğin 5/19 ve 5/7 kesirlerini bölmek. Örneği çözmek için ikinci kesrin paydasını ve payını değiştirip çarpmanız gerekir: 5/19x7/5=35/95. Sonuç 5 azaltılabilir - 7/19 çıkıyor.

Bir kesri asal sayıya bölmeniz gerekiyorsa teknik biraz farklıdır. Başlangıçta bu sayıyı uygunsuz bir kesir olarak yazmalı ve ardından aynı şemaya göre bölmelisiniz. Örneğin 2/13:5 2/13:5/1 şeklinde yazılmalıdır. Şimdi 5/1'i çevirip elde edilen kesirleri çarpmanız gerekiyor: 2/13x1/5= 2/65.

Bazen karışık kesirleri bölmeniz gerekir. Onlara tam sayılarda olduğu gibi davranmalısınız: onları bileşik kesirlere dönüştürün, böleni ters çevirin ve her şeyi çarpın. Örneğin, 8 ½: 3. Her şeyi bileşik kesirlere dönüştürün: 17/2: 3/1. Bunu 3/1 çevirme ve çarpma takip eder: 17/2x1/3= 17/6. Şimdi uygunsuz kesri doğru olana - 2 tam ve 5/6 - dönüştürmeniz gerekiyor.

Yani kesirlerin ne olduğunu ve onlarla çeşitli aritmetik işlemleri nasıl gerçekleştirebileceğinizi anladıktan sonra, bunu unutmamaya çalışmalısınız. Sonuçta, insanlar bir şeyi eklemek yerine her zaman parçalara ayırmaya daha yatkındır, bu nedenle bunu doğru şekilde yapabilmeniz gerekir.

Kesirler

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Kesirler lisede pek sıkıntı yaratmaz. Şu an için. Ta ki rasyonel üslü ve logaritmalı kuvvetlerle karşılaşıncaya kadar. Ve orada... Hesap makinesine basarsınız ve basarsınız ve hesap makinesi bazı sayıların tam ekranını gösterir. Üçüncü sınıftaki gibi kafanla düşünmek zorundasın.

Sonunda kesirleri bulalım! Peki, bunlarla ne kadar kafan karışabilir!? Üstelik her şey basit ve mantıklı. Bu yüzden, kesirler nedir?

Kesir türleri. Dönüşümler.

Üç tür kesir vardır.

1. Ortak kesirler , Örneğin:

Bazen yatay çizgi yerine eğik çizgi koyarlar: 1/2, 3/4, 19/5, vb. Burada bu yazımı sıklıkla kullanacağız. En üstteki numara aranır pay, daha düşük - payda. Eğer bu isimleri sürekli karıştırıyorsanız (olur...), kendinize şu cümleyi söyleyin: " Zzzzz Unutma! Zzzzz payda - bak zzzzz ah!" Bak, her şey hatırlanacak.)

Yatay veya eğimli çizgi şu anlama gelir: bölümüstteki sayıyı (pay) aşağıya (payda) doğru. Bu kadar! Kısa çizgi yerine bölme işareti koymak oldukça mümkündür - iki nokta.

Tam bölünme mümkün olduğunda bu yapılmalıdır. Yani “32/8” kesri yerine “4” sayısını yazmak çok daha keyifli. Onlar. 32 basitçe 8'e bölünür.

32/8 = 32: 8 = 4

"4/1" kesirinden bahsetmiyorum bile. Bu da sadece "4". Tamamen bölünemiyorsa kesir olarak bırakıyoruz. Bazen tam tersi işlemi yapmanız gerekir. Tam sayıyı kesire dönüştürün. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

2. Ondalık Sayılar , Örneğin:

Bu formda “B” görevlerinin cevaplarını yazmanız gerekecektir.

3. Karışık sayılar , Örneğin:

Lisede karışık sayılar pratikte kullanılmaz. Onlarla çalışabilmek için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Ancak bunu kesinlikle yapabilmeniz gerekiyor! Aksi takdirde bir problemde böyle bir sayıyla karşılaşırsınız ve donarsınız... Bir anda. Ancak bu prosedürü hatırlayacağız! Biraz daha aşağıda.

En çok yönlü ortak kesirler. Onlarla başlayalım. Bu arada, eğer bir kesir her türlü logaritmayı, sinüsü ve diğer harfleri içeriyorsa, bu hiçbir şeyi değiştirmez. Bir anlamda her şey Kesirli ifadelere sahip eylemlerin sıradan kesirli eylemlerden hiçbir farkı yoktur!

Bir kesrin temel özelliği.

O zaman hadi gidelim! Başlangıç ​​olarak sizi şaşırtacağım. Tüm kesir dönüşümleri tek bir özellik tarafından sağlanır! Buna denir bir kesrin temel özelliği. Hatırlamak: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesir değişmez. Onlar:

Yüzün morarıncaya kadar yazmaya devam edebileceğin açık. Sinüs ve logaritmaların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin, bunlarla daha ayrıntılı olarak ilgileneceğiz. Önemli olan tüm bu çeşitli ifadelerin aynı kesir . 2/3.

Bütün bu dönüşümlere ihtiyacımız var mı? Ve nasıl! Şimdi kendiniz göreceksiniz. Başlangıç ​​olarak kesrin temel özelliğini kullanalım. kesirlerin azaltılması. Bu basit bir şey gibi görünebilir. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün, işte bu kadar! Hata yapmak imkansızdır! Ama... insan yaratıcı bir varlıktır. Her yerde hata yapabilirsiniz! Hele ki 5/10 gibi bir kesri değil, her türlü harften oluşan kesirli bir ifadeyi azaltmanız gerekiyorsa.

Ekstra çalışma yapmadan kesirlerin doğru ve hızlı bir şekilde nasıl azaltılacağı özel Bölüm 555'te okunabilir.

Normal bir öğrenci pay ve paydayı aynı sayıya (veya ifadeye) bölme zahmetine girmez! Yukarıda ve aşağıda aynı olan her şeyin üstünü çiziyor! Tipik bir hatanın, deyim yerindeyse, bir gafın gizlendiği yer burasıdır.

Örneğin, ifadeyi basitleştirmeniz gerekir:

Burada düşünecek bir şey yok, üstteki “a” harfinin ve alttaki “2” harfinin üzerini çizin! Şunu elde ederiz:

Her şey doğru. Ama gerçekten bölünmüşsün Tümü pay ve Tümü payda "a"dır. Sadece üstünü çizmeye alışkınsanız, aceleyle ifadedeki "a" harfinin üstünü çizebilirsiniz.

ve tekrar al

Bu kategorik olarak doğru olmazdı. Çünkü burada Tümü"a" üzerindeki pay zaten paylaşılmamış! Bu oran azaltılamaz. Bu arada, böyle bir azalma öğretmen için ciddi bir zorluktur. Bu affedilmez! Hatırlıyor musun? Küçültürken bölmeniz gerekir Tümü pay ve Tümü payda!

Kesirlerin azaltılması hayatı çok daha kolaylaştırır. Bir yerde bir kesir elde edeceksiniz, örneğin 375/1000. Artık onunla çalışmaya nasıl devam edebilirim? Hesap makinesi olmadan mı? Çarp, diyelim, topla, karesini al!? Ve eğer çok tembel değilseniz ve dikkatlice beşe, beşe daha ve hatta kısaltılırken... kısaltırsanız, kısacası. Hadi 3/8'i alalım! Çok daha hoş, değil mi?

Bir kesrin ana özelliği, sıradan kesirleri ondalık sayılara ve bunun tersini dönüştürmenize olanak tanır hesap makinesi olmadan! Bu Birleşik Devlet Sınavı için önemli, değil mi?

Kesirler bir türden diğerine nasıl dönüştürülür?

Ondalık kesirlerle her şey basittir. Nasıl duyulursa öyle yazılır! 0,25 diyelim. Bu sıfır virgül yirmi beş yüzde bir. O halde şunu yazıyoruz: 25/100. Azaltıyoruz (pay ve paydayı 25'e bölüyoruz), normal kesri elde ediyoruz: 1/4. Tüm. Bu olur ve hiçbir şey azalmaz. 0.3 gibi. Bu onda üç, yani. 3/10.

Tamsayılar sıfır değilse ne olur? Önemli değil. Kesirin tamamını yazıyoruz virgül olmadan payda ve paydada - duyulanlar. Örneğin: 3.17. Bu üç virgül bin yedidir. Payda 317, paydada 100 yazarsak 317/100 elde ederiz. Hiçbir şey azalmaz, bu her şey demektir. Cevap bu. İlköğretim Watson! Bütün söylenenlerden, yararlı bir sonuç: herhangi bir ondalık kesir ortak bir kesire dönüştürülebilir .

Ancak bazı kişiler hesap makinesi olmadan sıradan ondalık sayıya ters dönüşümü yapamazlar. Ve bu gerekli! Birleşik Devlet Sınavının cevabını nasıl yazacaksınız!? Dikkatlice okuyun ve bu süreçte uzmanlaşın.

Ondalık kesrin özelliği nedir? Onun paydası Her zaman maliyeti 10 veya 100 veya 1000 veya 10000 vb. Ortak kesirinizin paydası böyleyse sorun yok. Örneğin 4/10 = 0,4. Veya 7/100 = 0,07. Veya 12/10 = 1,2. Peki ya “B” bölümündeki görevin cevabı 1/2 olursa? Cevap olarak ne yazacağız? Ondalık sayılar gerekli...

Hatırlayalım bir kesrin temel özelliği ! Matematik, pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmanıza olumlu bir şekilde izin verir. Bu arada, herhangi bir şey! Sıfır hariç elbette. O halde gelin bu özelliği lehimize kullanalım! Payda neyle çarpılabilir, yani? 2 yani 10 mu, 100 mü yoksa 1000 mi (daha küçükse daha iyidir elbette...)? Tabii ki saat 5'te. Paydayı çarpmaktan çekinmeyin (bu biz gerekli) 5 ile. Ancak bu durumda payın da 5 ile çarpılması gerekir. Bu zaten matematik talepler! 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5 elde ederiz. Bu kadar.

Ancak her türlü payda karşımıza çıkıyor. Örneğin 3/16 kesiriyle karşılaşabilirsiniz. 100 veya 1000 yapmak için 16'yı neyle çarpmanız gerektiğini bulmaya çalışın... Çalışmıyor mu? Daha sonra 3'e 16'ya bölebilirsiniz. Hesap makinesinin yokluğunda, ilkokulda öğretildiği gibi bir kağıt parçası üzerinde köşeyle bölmeniz gerekecektir. 0,1875 elde ediyoruz.

Ayrıca çok kötü paydalar da var. Örneğin 1/3 kesirini iyi bir ondalık sayıya dönüştürmenin bir yolu yoktur. Hem hesap makinesinde hem de bir kağıt parçasında şunu elde ederiz: 0,3333333... Bu, 1/3'ün tam bir ondalık kesir olduğu anlamına gelir tercüme etmiyor. 1/7, 5/6 vb. ile aynı. Çevrilemeyen birçoğu var. Bu bizi başka bir yararlı sonuca getiriyor. Her kesir ondalık sayıya dönüştürülemez !

Bu arada, bu kendi kendini test etmek için yararlı bir bilgidir. "B" bölümünde cevabınızda ondalık kesir yazmalısınız. Ve örneğin 4/3'ü elde ettiniz. Bu kesir ondalık sayıya dönüşmez. Bu, yol boyunca bir yerde hata yaptığınız anlamına gelir! Geri dönün ve çözümü kontrol edin.

Böylece sıradan ve ondalık kesirleri bulduk. Geriye kalan tek şey karışık sayılarla uğraşmak. Onlarla çalışmak için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Nasıl yapılır? Bir altıncı sınıf öğrencisini yakalayıp ona sorabilirsiniz. Ancak altıncı sınıf öğrencisi her zaman elinizin altında olmayacak... Bunu kendiniz yapmak zorunda kalacaksınız. Zor değil. Kesirli kısmın paydasını tam kısımla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir. Bu ortak kesrin payı olacaktır. Payda ne olacak? Payda aynı kalacaktır. Kulağa karmaşık geliyor ama gerçekte her şey basit. Bir örneğe bakalım.

Diyelim ki problemdeki sayıyı görünce dehşete düştünüz:

Sakince, paniğe kapılmadan düşünüyoruz. Parçanın tamamı 1. Birimdir. Kesirli kısım 3/7'dir. Dolayısıyla kesirli kısmın paydası 7'dir. Bu payda adi kesrin paydası olacaktır. Payını sayıyoruz. 7'yi 1 ile (tamsayı kısmı) çarpıyoruz ve 3'ü (kesirli kısmın payı) ekliyoruz. 10 alıyoruz. Bu ortak kesrin payı olacak. Bu kadar. Matematiksel gösterimde daha da basit görünüyor:

Açık mı? O halde başarınızı güvence altına alın! Sıradan kesirlere dönüştürün. 10/7, 7/2, 23/10 ve 21/4 almalısınız.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya dönüştürmek olan ters işlem, lisede nadiren gereklidir. Peki öyleyse... Eğer lisede değilseniz özel Bölüm 555'e bakabilirsiniz. Bu arada burada bileşik kesirleri de öğreneceksiniz.

Eh, neredeyse hepsi bu. Kesir türlerini hatırladınız ve anladınız Nasıl bunları bir türden diğerine aktarın. Geriye şu soru kalıyor: Ne için yap? Bu derin bilgiyi nerede ve ne zaman uygulamalı?

Cevaplıyorum. Herhangi bir örneğin kendisi gerekli eylemleri önerir. Örnekte sıradan kesirler, ondalık sayılar ve hatta karışık sayılar birbirine karıştırılırsa, her şeyi sıradan kesirlere dönüştürürüz. Her zaman yapılabilir. Eğer 0,8 + 0,3 gibi bir şey söylüyorsa, o zaman herhangi bir çeviri yapmadan bu şekilde sayarız. Neden ekstra çalışmaya ihtiyacımız var? Uygun olan çözümü seçiyoruz biz !

Eğer görev tamamen ondalık kesirlerden oluşuyorsa, ama um... bazı kötü olanlar, sıradan olanlara gidin ve deneyin! Bak her şey yoluna girecek. Örneğin 0,125 sayısının karesini almanız gerekecek. Hesap makinesi kullanmaya alışmadıysanız bu o kadar kolay değil! Bir sütundaki sayıları çarpmanın yanı sıra virgülü nereye koyacağınızı da düşünmeniz gerekir! Kesinlikle kafanızda işe yaramayacak! Peki ya sıradan bir kesire geçersek?

0,125 = 125/1000. Bunu 5 oranında azaltıyoruz (bu yeni başlayanlar içindir). 25/200 alıyoruz. Bir kez daha 5'e kadar. 5/40 elde ederiz. Ah, hala küçülüyor! 5'e geri dönelim! 1/8 elde ederiz. Kolayca karesini alabiliriz (aklımızda!) ve 1/64 elde edebiliriz. Tüm!

Bu dersi özetleyelim.

1. Üç tür kesir vardır. Ortak, ondalık ve karışık sayılar.

2. Ondalık sayılar ve karışık sayılar Her zaman sıradan kesirlere dönüştürülebilir. Ters aktarım her zaman değil mevcut.

3. Bir görevde kullanılacak kesir türünün seçimi, görevin kendisine bağlıdır. Bir görevde farklı kesir türleri varsa en güvenilir şey sıradan kesirlere geçmektir.

Artık pratik yapabilirsiniz. Öncelikle bu ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bunun gibi yanıtlar almalısınız (karmaşa içinde!):

Burada bitirelim. Bu dersimizde kesirlerle ilgili önemli noktalarda hafızamızı tazeledik. Ancak yenilenecek özel bir şey olmadığı da olur...) Birisi tamamen unutmuşsa veya henüz ustalaşmamışsa... O zaman özel bir Bölüm 555'e gidebilirsiniz. Tüm temel bilgiler burada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birçoğu aniden her şeyi anlamak başlıyorlar. Ve kesirleri anında çözerler).

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Matematik hakkında konuşurken kesirleri hatırlamadan edemiyoruz. Çalışmalarına çok fazla dikkat ve zaman ayrılmıştır. Kesirlerle çalışmanın belirli kurallarını öğrenmek için kaç örnek çözmeniz gerektiğini, kesrin temel özelliğini nasıl ezberlediğinizi ve uyguladığınızı unutmayın. Özellikle örneklerde ikiden fazla terim varsa, ortak paydayı bulmak için ne kadar çaba harcandı!

Ne olduğunu hatırlayalım ve kesirlerle çalışmanın temel bilgileri ve kuralları hakkında biraz bilgi tazeleyelim.

kesirlerin tanımı

Belki de en önemli şeyle, tanımla başlayalım. Kesir, bir birimin bir veya daha fazla kısmından oluşan bir sayıdır. Kesirli sayı yatay veya eğik çizgiyle ayrılmış iki sayı olarak yazılır. Bu durumda, üstteki (veya birinci) pay, alttaki (ikinci) ise payda olarak adlandırılır.

Paydanın birimin kaç parçaya bölündüğünü, payın ise alınan pay veya parça sayısını gösterdiğini belirtmekte fayda var. Çoğu zaman kesirler, eğer uygunsa, birden küçüktür.

Şimdi bu sayıların özelliklerine ve onlarla çalışırken kullanılan temel kurallara bakalım. Ancak “rasyonel kesrin temel özelliği” gibi bir kavramı incelemeden önce kesir türlerinden ve özelliklerinden bahsedelim.

Kesirler nedir?

Bu tür sayıların birkaç türü vardır. Öncelikle bunlar sıradan ve ondalık sayılardır. Birincisi, daha önce yatay veya eğik çizgi kullanarak belirttiğimiz kayıt türünü temsil eder. İkinci tür kesirler, sayının tamsayı kısmı ilk önce belirtildiğinde ve ardından ondalık noktadan sonra kesirli kısım belirtildiğinde, konumsal gösterim adı verilen kullanılarak gösterilir.

Burada matematikte hem ondalık hem de sıradan kesirlerin eşit olarak kullanıldığını belirtmekte fayda var. Kesirin ana özelliği yalnızca ikinci seçenek için geçerlidir. Ayrıca sıradan kesirler normal ve yanlış sayılara ayrılır. Birincisi için pay her zaman paydadan küçüktür. Böyle bir kesrin birden küçük olduğunu da unutmayın. Uygun olmayan bir kesirde ise tam tersine pay, paydadan büyüktür ve kesirin kendisi birden büyüktür. Bu durumda ondan bir tamsayı çıkarılabilir. Bu yazıda sadece sıradan kesirleri ele alacağız.

Kesirlerin Özellikleri

Kimyasal, fiziksel veya matematiksel herhangi bir olgunun kendine has özellikleri ve özellikleri vardır. Kesirli sayılar bir istisna değildi. Üzerinde belirli işlemlerin gerçekleştirilebileceği önemli bir özelliğe sahiptirler. Bir kesrin temel özelliği nedir? Kural, pay ve paydanın aynı rasyonel sayıyla çarpılması veya bölünmesi durumunda, değeri orijinalin değerine eşit olacak yeni bir kesir elde edeceğimizi belirtir. Yani 3/6 kesirli sayısının iki kısmını 2 ile çarparak yeni bir 6/12 kesri elde ederiz ve bunlar eşit olacaktır.

Bu özelliğe dayanarak, kesirleri azaltabilir ve belirli bir sayı çifti için ortak paydaları seçebilirsiniz.

Operasyonlar

Kesirler daha karmaşık görünse de toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi temel matematik işlemlerini gerçekleştirmek için de kullanılabilirler. Ayrıca kesirlerin azaltılması gibi özel bir eylem de vardır. Doğal olarak bu eylemlerin her biri belirli kurallara göre gerçekleştirilir. Bu yasaları bilmek kesirlerle çalışmayı daha kolay, daha kolay ve daha ilginç hale getirir. Bu nedenle bundan sonra bu tür sayılarla çalışırken temel kuralları ve eylem algoritmasını dikkate alacağız.

Ancak toplama, çıkarma gibi matematiksel işlemlerden bahsetmeden önce ortak paydaya indirgeme gibi bir işleme bakalım. Bir kesrin hangi temel özelliğinin var olduğuna dair bilginin işe yaradığı yer burasıdır.

Ortak payda

Bir sayıyı ortak paydaya indirgemek için öncelikle iki paydanın en küçük ortak katını bulmanız gerekir. Yani her iki paydaya da kalansız olarak bölünebilen en küçük sayıdır. LCM'yi (en küçük ortak kat) bulmanın en kolay yolu, bir paydayı, ardından ikincisini bir satıra yazmak ve aralarında eşleşen sayıyı bulmaktır. LCM bulunamazsa yani bu sayıların ortak katı yoksa bunları çarpmanız gerekir ve ortaya çıkan değer LCM olarak kabul edilir.

Yani LCM'yi bulduk, şimdi ek bir faktör bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, LCM'yi dönüşümlü olarak kesirlerin paydalarına bölmeniz ve elde edilen sayıyı her birinin üzerine yazmanız gerekir. Daha sonra pay ve paydayı elde edilen ek faktörle çarpmalı ve sonuçları yeni bir kesir olarak yazmalısınız. Aldığınız sayının bir önceki sayıya eşit olduğundan şüpheniz varsa kesrin temel özelliğini hatırlayın.

Ek

Şimdi doğrudan kesirli sayılar üzerinde matematiksel işlemlere geçelim. En basitinden başlayalım. Kesirleri eklemek için çeşitli seçenekler vardır. İlk durumda, her iki sayı da aynı paydaya sahiptir. Bu durumda geriye kalan tek şey payları toplamaktır. Ancak payda değişmez. Örneğin 1/5 + 3/5 = 4/5.

Kesirlerin farklı paydaları varsa, bunları ortak bir paydaya indirgemeli ve ancak o zaman toplama işlemi yapmalısınız. Bunu biraz daha yukarı nasıl yapacağımızı tartıştık. Bu durumda kesrin temel özelliği kullanışlı olacaktır. Kural, sayıları ortak bir paydaya getirmenize izin verecektir. Değer hiçbir şekilde değişmeyecektir.

Alternatif olarak fraksiyonun karıştırılması da mümkündür. O zaman önce tüm parçaları, sonra kesirli olanları bir araya getirmelisiniz.

Çarpma işlemi

Herhangi bir hile gerektirmez ve bu işlemi gerçekleştirmek için bir kesrin temel özelliğini bilmek gerekli değildir. Öncelikle pay ve paydaları birbiriyle çarpmak yeterlidir. Bu durumda payların çarpımı yeni pay, paydalar da yeni payda olacaktır. Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok.

Sizden gereken tek şey çarpım tablosu bilgisi ve dikkattir. Ayrıca sonucu aldıktan sonra bu sayının azaltılıp azaltılamayacağını mutlaka kontrol etmelisiniz. Kesirlerin nasıl azaltılacağından biraz sonra bahsedeceğiz.

Çıkarma

Gerçekleştirirken, eklerken olduğu gibi aynı kurallara göre yönlendirilmelisiniz. Yani paydası aynı olan sayılarda, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmak yeterlidir. Kesirlerin paydaları farklıysa bunları ortak bir paydaya indirgemeli ve ardından bu işlemi yapmalısınız. Ek olarak, cebirsel kesirlerin temel özelliklerinin yanı sıra LCM'leri ve kesirlerin ortak çarpanlarını bulma becerilerini de kullanmanız gerekecektir.

Bölüm

Ve bu sayılarla çalışırken son, en ilginç işlem bölme işlemidir. Oldukça basittir ve kesirlerle, özellikle de toplama ve çıkarma işlemleriyle nasıl çalışılacağı konusunda çok az bilgisi olan kişiler için bile herhangi bir özel zorluğa neden olmaz. Bölme işleminde, karşılıklı kesirle çarpma kuralının aynısı uygulanır. Çarpma işleminde olduğu gibi kesirin temel özelliği bu işlem için kullanılmayacaktır. Hadi daha yakından bakalım.

Sayıları bölerken temettü değişmeden kalır. Bölen kesir tersine döner, yani pay ve payda yer değiştirir. Daha sonra sayılar birbiriyle çarpılır.

Kesinti

Böylece, kesirlerin tanımını ve yapısını, türlerini, bu sayılarla ilgili işlem kurallarını zaten inceledik ve cebirsel bir kesirin ana özelliğini bulduk. Şimdi küçültme gibi bir operasyondan bahsedelim. Bir kesri azaltmak, onu dönüştürme işlemidir; yani pay ve paydayı aynı sayıya bölmek. Böylece fraksiyon özellikleri değişmeden azaltılır.

Genellikle matematiksel bir işlem gerçekleştirirken ortaya çıkan sonuca dikkatlice bakmalı ve ortaya çıkan kesri azaltmanın mümkün olup olmadığını öğrenmelisiniz. Nihai sonucun her zaman azaltma gerektirmeyen kesirli bir sayı içerdiğini unutmayın.

Diğer işlemler

Son olarak kesirli sayılarla ilgili tüm işlemleri listelemediğimizi, yalnızca en iyi bilinen ve gerekli olanlardan bahsettiğimizi belirtmek isteriz. Kesirler de karşılaştırılabilir, ondalık sayılara dönüştürülebilir ve bunun tersi de geçerlidir. Ancak bu makalede bu işlemleri dikkate almadık çünkü matematikte yukarıda sunduğumuz işlemlerden çok daha az sıklıkla gerçekleştiriliyorlar.

sonuçlar

Onlarla kesirli sayılar ve işlemler hakkında konuştuk. Ana mülkü de inceledik ama şunu da belirtelim ki tüm bu konular tarafımızdan ele alınmıştır. Biz sadece en iyi bilinen ve kullanılan kuralları verdik ve bize göre en önemli tavsiyeleri verdik.

Bu makale, yeni bilgiler vermek ve kafanızı muhtemelen hiçbir zaman işinize yaramayacak sonsuz kural ve formüllerle doldurmak yerine, kesirler hakkında unuttuğunuz bilgileri tazelemeyi amaçlamaktadır.

Makalede sunulan materyalin basit ve özlü bir şekilde sizin için yararlı olacağını umuyoruz.

Ayrıntılı olarak tartışıldı bir kesrin temel özelliği formülasyonu verilmiş, ispatı ve açıklayıcı örneği verilmiştir. Kesirleri azaltırken ve kesirleri yeni bir paydaya indirirken bir kesrin temel özelliğinin uygulanması da dikkate alınır.

Sayfada gezinme.

Kesirin temel özelliği - formülasyon, kanıt ve açıklayıcı örnekler

Bir kesrin temel özelliğini gösteren bir örneğe bakalım. Diyelim ki 9 "büyük" kareye bölünmüş bir karemiz var ve bu "büyük" karelerin her biri 4 "küçük" kareye bölünmüş durumda. Böylece orijinal karenin 4 9 = 36 “küçük” kareye bölündüğünü de söyleyebiliriz. 5 “büyük” kareyi boyayalım. Bu durumda 4·5=20 “küçük” kare gölgelenecektir. İşte örneğimize karşılık gelen bir çizim.

Taralı kısım orijinal karenin 5/9'u veya aynı şekilde orijinal karenin 20/36'sıdır, yani 5/9 ve 20/36 kesirleri eşittir: veya. Bu eşitliklerden ve ayrıca 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 ve 36:4=9 eşitliklerinden şu sonuç çıkar: ve .

Demonte malzemeyi birleştirmek için örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

Bazı ortak kesirlerin pay ve paydası 62 ile çarpıldı, ardından elde edilen kesrin pay ve paydası 2'ye bölündü. Ortaya çıkan kesir orijinal kesire eşit mi?

Çözüm.

Bir kesrin payını ve paydasını herhangi bir doğal sayıyla, özellikle de 62 ile çarpmak, kesrin temel özelliği nedeniyle orijinaline eşit olan bir kesir verir. Kesirin temel özelliği, elde edilen kesrin pay ve paydasını 2'ye böldükten sonra elde edilen kesrin orijinal kesre eşit olacağını belirtmemizi sağlar.

Cevap:

Evet, ortaya çıkan kesir orijinal kesire eşittir.

Bir kesrin temel özelliğinin uygulanması

Bir kesirin temel özelliği esas olarak iki durumda kullanılır: birincisi kesirleri yeni bir paydaya indirirken ve ikinci olarak kesirleri azaltırken.

Bir kesri yeni bir paydaya indirgemek, orijinal kesri eşit bir kesirle, ancak daha büyük pay ve paydayla değiştirmek anlamına gelir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için, kesrin hem payı hem de paydası bir doğal sayı ile çarpılır ve kesirin temel özelliğine göre orijinaline eşit ancak eşit bir kesir elde edilir. farklı bir pay ve payda. Vilenkin N.Ya'yı gerçekleştirirken kesirleri yeni bir paydaya düşürmeden yapmak imkansızdır. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.

Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir

Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.site'nin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.

Bir birimin kesirleri ve şu şekilde temsil edilir: \frac(a)(b).

Kesir payı (a)- Kesir çizgisinin üzerinde yer alan ve birimin bölündüğü hisse sayısını gösteren sayı.

Kesir paydası (b)- Kesir çizgisinin altında bulunan ve birimin kaç parçaya bölündüğünü gösteren sayı.

Gösteriyi Gizle

Bir kesrin temel özelliği

ad=bc ise iki kesir \frac(a)(b) Ve \frac(c)(d) eşit kabul edilir. Örneğin kesirler eşit olacak \frac35 Ve \frac(9)(15), 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 olduğundan, \frac(12)(7) Ve \frac(24)(14) 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 olduğundan.

Kesirlerin eşitliği tanımından kesirlerin eşit olacağı sonucu çıkar \frac(a)(b) Ve \frac(am)(bm)çünkü a(bm)=b(am), doğal sayılarla çarpmanın ilişkisel ve değişmeli özelliklerinin kullanımının açık bir örneğidir.

Araç \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- böyle görünüyor bir kesrin temel özelliği.

Yani orijinal kesrin pay ve paydasını aynı doğal sayıyla çarparak veya bölerek verilen kesre eşit bir kesir elde ederiz.

Bir kesirin azaltılması yeni kesrin orijinaline eşit olduğu ancak payı ve paydası daha küçük olan bir kesirin değiştirilmesi işlemidir.

Kesirlerin temel özelliklerine göre kesirleri azaltmak gelenekseldir.

Örneğin, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(pay ve payda 3 sayısına bölünür); elde edilen kesir yine 5'e bölünerek azaltılabilir, yani \frac(15)(20)=\frac 34.

İndirgenemez kesir formun bir kısmıdır \frac 34 burada pay ve payda karşılıklı asal sayılardır. Bir kesri azaltmanın asıl amacı kesri indirgenemez hale getirmektir.

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Örnek olarak iki kesri ele alalım: \frac(2)(3) Ve \frac(5)(8) farklı paydaları olan 3 ve 8. Bu kesirleri ortak paydaya getirmek için öncelikle kesrin payını ve paydasını çarparız. \frac(2)(3) 8'e kadar. Aşağıdaki sonucu elde ederiz: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Daha sonra kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz. \frac(5)(8) 3'e kadar. Sonuç olarak şunu elde ederiz: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Böylece orijinal kesirler ortak bir paydaya (24) indirgenir.

Sıradan kesirler üzerinde aritmetik işlemler

Sıradan kesirlerin eklenmesi

a) Paydalar aynı ise, birinci kesrin payı ikinci kesrin payına eklenir ve payda aynı kalır. Örnekte görebileceğiniz gibi:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Farklı paydalar için kesirler önce ortak bir paydaya indirgenir ve daha sonra paylar kural a'ya göre toplanır:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Kesirleri çıkarma

a) Paydalar aynıysa, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı aynı bırakın:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Kesirlerin paydaları farklı ise önce kesirler ortak paydaya getirilir, sonra a) maddesindeki gibi işlemler tekrarlanır.

Ortak Kesirlerin Çarpılması

Kesirlerin çarpılması aşağıdaki kurala uyar:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

yani pay ve paydaları ayrı ayrı çarparlar.

Örneğin:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Kesirleri bölme

Kesirler şu şekilde bölünür:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

yani bir kesir \frac(a)(b) bir kesirle çarpılır \frac(d)(c).

Örnek: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Karşılıklı sayılar

ab=1 ise b sayısı karşılıklı sayı a numarası için

Örnek: 9 sayısı için karşılıklılık şöyledir: \frac(1)(9), Çünkü 9\cdot\frac(1)(9)=1, 5 sayısı için - \frac(1)(5), Çünkü 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Ondalık Sayılar

Ondalık Paydası 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n olan uygun kesir denir.

Örneğin: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Paydası 10^n olan düzensiz sayılar veya karışık sayılar da aynı şekilde yazılır.

Örneğin: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Paydası 10'un belirli bir üssü olan herhangi bir sıradan kesir, ondalık kesir olarak temsil edilir.

Örnek: 5, 100'ün böleni olduğundan kesirlidir \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Ondalık sayılarda aritmetik işlemler

Ondalık Sayıları Ekleme

İki ondalık kesir eklemek için bunları birbirinin altında aynı rakamlar ve virgülün altında virgül olacak şekilde düzenlemeniz ve ardından kesirleri sıradan sayılar gibi eklemeniz gerekir.

Ondalık Sayıları Çıkarma

Ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.

Ondalık Sayıların Çarpılması

Ondalık sayıları çarparken verilen sayıları virgüllere dikkat etmeden (doğal sayılar gibi) çarpmak yeterlidir ve ortaya çıkan cevapta her iki faktörde de virgülden sonraki rakam sayısı kadar rakamı sağdaki virgül ayırır. toplamda.

2,7'yi 1,3 ile çarpalım. Elimizde 27 \cdot 13=351 var. Sağdaki iki rakamı virgülle ayırıyoruz (birinci ve ikinci rakamlarda virgülden sonra bir rakam var; 1+1=2). Sonuç olarak 2,7 \cdot 1,3=3,51 elde ederiz.

Ortaya çıkan sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az rakam içeriyorsa, eksik sıfırlar öne yazılır, örneğin:

10, 100, 1000 ile çarpmak için ondalık noktayı 1, 2, 3 rakamını sağa kaydırmanız gerekir (gerekirse sağa belirli sayıda sıfır atanır).

Örneğin: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.

Ondalık bölme

Ondalık kesirin bir doğal sayıya bölünmesi, bir doğal sayının bir doğal sayıya bölünmesiyle aynı şekilde yapılır. Bölümdeki virgül, tam parçanın bölünmesi tamamlandıktan sonra konur.

Bölünmenin tam sayı kısmı bölenden küçükse cevap sıfır tam sayıdır, örneğin:

Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölmeye bakalım. Diyelim ki 2,576'yı 1,12'ye bölmemiz gerekiyor. Öncelikle kesrin bölenini ve bölenini 100 ile çarpalım, yani bölen ve bölendeki virgülünü, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydıralım (bu örnekte, iki). O zaman 257.6 kesirini 112 doğal sayısına bölmeniz gerekir, yani sorun daha önce ele alınan duruma indirgenir:

Bir sayıyı diğerine bölerken son ondalık kesrin her zaman elde edilemediği görülür. Sonuç sonsuz bir ondalık kesirdir. Bu gibi durumlarda sıradan kesirlere geçiyoruz.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).