Bir x rastgele değişkeninin bir dizi dağılımı verildiğinde onu bulun. “Rastgele değişkenler” konusundaki problem çözme örnekleri

X olasılık dağılımı yasası ile verilir: O zaman standart sapması eşittir ... 0,80

Çözüm:
Rastgele değişken X'in standart sapması şu şekilde tanımlanır: burada ayrı bir rastgele değişkenin varyansı Then ve formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Çözüm:
A(rastgele çekilen bir top siyahtır) toplam olasılık formülünü uygularız: İşte beyaz bir topun birinci torbadan ikinci torbaya aktarılma olasılığı; - siyah topun birinci torbadan ikinci torbaya aktarılma olasılığı; - beyaz bir topun birinci torbadan ikinci torbaya taşınması durumunda çekilen topun siyah olma koşullu olasılığı; – siyah bir topun birinci torbadan ikinci torbaya taşınması durumunda çekilen topun siyah olma koşullu olasılığı.

Ayrık rastgele değişken X olasılık dağılımı yasasıyla verilir: O zaman olasılık eşit...

Çözüm:
Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir. Daha sonra

Veya . Son denklemi çözerek iki kök elde ederiz ve

Konu: Olasılığın Belirlenmesi
12 parçadan oluşan bir partide 5 hatalı parça bulunmaktadır. Üç parça rastgele seçildi. O halde seçilen parçalar arasında uygun parça bulunmama olasılığı şuna eşittir:

Çözüm:
A olayını hesaplamak için (seçili parçalar arasında uygun parça yok), aşağıdaki formülü kullanırız: N M– A olayının gerçekleşmesini sağlayan temel sonuçların sayısı. Bizim durumumuzda, olası temel sonuçların toplam sayısı, mevcut 12 ayrıntıdan üç ayrıntının çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir.

Ve olumlu sonuçların toplam sayısı, beş parçadan üç hatalı parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir.

Banka, tüm kredilerin %44'ünü tüzel kişilere, %56'sını ise bireylere vermektedir. Tüzel kişinin krediyi zamanında geri ödememe olasılığı 0,2'dir; ve bir birey için bu olasılık 0,1'dir. O zaman bir sonraki kredinin zamanında geri ödenme olasılığı...

Çözüm:
Bir olayın olasılığını hesaplamak için A(verilen kredi zamanında geri ödenecektir) toplam olasılık formülünü uyguluyoruz: . İşte kredinin tüzel kişiye verilmiş olma ihtimali; – kredinin bir kişiye verilme olasılığı; - bir tüzel kişiye verilmişse, kredinin zamanında geri ödeneceği koşullu olasılığı; – kredinin bir kişiye verilmiş olması durumunda kredinin zamanında geri ödeneceği koşullu olasılığı. Daha sonra

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları
Ayrık bir rastgele değişken X için

Konu: Olasılığın Belirlenmesi
Zar iki kez atılır. O zaman yuvarlanan noktaların toplamının dokuzdan az olmama olasılığı...

Çözüm:
Etkinliği hesaplamak için (toplanan puanların toplamı en az dokuz olacaktır), testin olası temel sonuçlarının toplam sayısını gösteren formülü kullanırız ve M- Olayın meydana gelmesine elverişli temel sonuçların sayısı A. Bizim durumumuzda bu mümkün Temel test sonuçları, bunların olumlu olanları , , , , , , , , ve , formunun sonuçlarıdır. Buradan,

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları

olasılık dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

O zaman parametrenin değeri şuna eşit olabilir:

Çözüm:
Tanım gereği . Bu nedenle ve . Bu koşullar örneğin şu değerle karşılanır:

Konu: Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Sürekli bir rastgele değişken, bir olasılık dağılım fonksiyonu ile belirtilir:

O zaman onun varyansı...

Çözüm:
Bu rastgele değişken aralıkta eşit olarak dağıtılır. Daha sonra varyansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir. . yani

Konu: Toplam olasılık. Bayes formülleri
İlk torbada 6 siyah ve 4 beyaz top bulunmaktadır. İkinci torbada 2 beyaz ve 8 siyah top bulunmaktadır. Beyaz olduğu ortaya çıkan rastgele bir torbadan bir top alındı. O zaman bu topun ilk torbadan çekilme olasılığı...

Çözüm:
A(rastgele çekilen bir top beyazdır) toplam olasılık formülüne göre: . İşte topun ilk torbadan çekilme olasılığı; - topun ikinci torbadan çekilme olasılığı; - ilk torbadan çekildiğinde çekilen topun beyaz olma koşullu olasılığı; ikinci torbadan çekildiğinde çekilen topun beyaz olma koşullu olasılığıdır.
Daha sonra .
Şimdi Bayes formülünü kullanarak bu topun ilk torbadan çekilmesinin koşullu olasılığını hesaplayalım:

Konu: Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Ayrık rastgele değişken X olasılık dağılımı yasasıyla verilir:

O zaman onun varyansı...

Çözüm:
Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları

Çözüm:
Tanım gereği . Daha sonra
a) , ,
b) , ,
kedi , ,
d) , ,
d) , .
Buradan,

Konu: Olasılığın Belirlenmesi
Yarıçapı 4 olan bir çemberin içine rastgele bir nokta atılıyor. Bu durumda noktanın daire içine yazılan karenin dışında olma olasılığı...

Konu: Olasılığın Belirlenmesi
12 parçadan oluşan bir partide 5 hatalı parça bulunmaktadır. Üç parça rastgele seçildi. O halde seçilen parçalar arasında kusurlu parça bulunmama olasılığı şuna eşittir:

Çözüm:
Olayı hesaplamak için (seçili parçalar arasında kusurlu parça yok) formülü kullanırız; N olası temel test sonuçlarının toplam sayısıdır ve M– Olayın meydana gelmesine elverişli temel sonuçların sayısı. Bizim durumumuzda olası temel sonuçların toplam sayısı, mevcut 12 detaydan üç detayın çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir. Ve olumlu sonuçların toplam sayısı, yedi parçadan kusurlu olmayan üç parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir. Buradan,

Konu: Toplam olasılık. Bayes formülleri

Çözüm:
Bir olayın olasılığını hesaplamak için A
Daha sonra

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları
Ayrık bir rastgele değişken olasılık dağılım yasasıyla belirtilir:

O halde olasılık eşit...

Çözüm:
Formülü kullanalım . Daha sonra

Konu: Toplam olasılık. Bayes formülleri

Çözüm:
Önce olayın olasılığını hesaplayalım A
.
.

Konu: Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri

O zaman matematiksel beklentisi...

Çözüm:
Formülü kullanalım . Daha sonra .

Konu: Olasılığın Belirlenmesi

Çözüm:

Konu: Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Sürekli bir rastgele değişken olasılık dağılım yoğunluğu ile belirlenir . Daha sonra matematiksel beklenti A ve bu rastgele değişkenin standart sapması şuna eşittir:

Çözüm:
Normal dağılmış bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: , Nerede , . Bu yüzden .

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları
Ayrık bir rastgele değişken olasılık dağılım yasasıyla belirtilir:

Daha sonra değerler A Ve B eşit olabilir...

Çözüm:
Olası değerlerin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan, o zaman . Cevap bu koşulu karşılıyor: .

Konu: Olasılığın Belirlenmesi
Yarıçapı 5 olan daha küçük bir daire, yarıçapı 8 olan bir daireye yerleştiriliyor. Bu durumda büyük daireye rastgele atılan bir noktanın aynı zamanda küçük daireye de düşme olasılığı...

Çözüm:
İstenilen olayın olasılığını hesaplamak için, küçük dairenin alanı ve büyük dairenin alanı olan formülü kullanırız. Buradan, .

Konu: Toplam olasılık. Bayes formülleri
İlk torbada 3 siyah ve 7 beyaz top bulunmaktadır. İkinci torbada 4 beyaz ve 5 siyah top bulunmaktadır. Bir top birinci torbadan ikinci torbaya aktarıldı. Bu durumda ikinci torbadan rastgele çekilen bir topun beyaz olma olasılığı...

Çözüm:
Bir olayın olasılığını hesaplamak için A(rastgele çekilen bir top beyazdır) toplam olasılık formülünü uygulayın: . Beyaz bir topun birinci torbadan ikinci torbaya aktarılma olasılığı; - siyah topun birinci torbadan ikinci torbaya aktarılma olasılığı; - beyaz bir topun birinci torbadan ikinci torbaya taşınması durumunda çekilen topun beyaz olma koşullu olasılığı; – siyah bir topun birinci torbadan ikinci torbaya taşınması durumunda çekilen topun beyaz olma koşullu olasılığı.
Daha sonra

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları
Ayrık bir rastgele değişken için:

olasılık dağılım fonksiyonu şu şekildedir:

O zaman parametrenin değeri şuna eşit olabilir:

GÖREV N 10 bir hata bildir
Konu: Toplam olasılık. Bayes formülleri
Banka, tüm kredilerin% 70'ini tüzel kişilere,% 30'unu ise bireylere vermektedir. Tüzel kişinin krediyi zamanında geri ödememe olasılığı 0,15'tir; ve bir birey için bu olasılık 0,05'tir. Kredinin geri ödenmediğine dair mesaj geldi. O halde tüzel kişinin bu krediyi geri ödememe olasılığı...

Çözüm:
Önce olayın olasılığını hesaplayalım A(verilen kredi zamanında geri ödenmeyecektir) toplam olasılık formülüne göre: . İşte kredinin tüzel kişiye verilmiş olma ihtimali; – kredinin bir kişiye verilme olasılığı; - bir tüzel kişiye verilmişse, kredinin zamanında geri ödenmeyeceğine dair koşullu olasılık; – bir kişiye verilmişse kredinin zamanında geri ödenmeyeceğine dair koşullu olasılık. Daha sonra
.
Şimdi tüzel kişiliğin bu krediyi geri ödememesinin koşullu olasılığını Bayes formülünü kullanarak hesaplayalım:
.

GÖREV N 11 bir hata bildir
Konu: Olasılığın Belirlenmesi
12 parçadan oluşan bir partide 5 hatalı parça bulunmaktadır. Üç parça rastgele seçildi. O halde seçilen parçalar arasında uygun parça bulunmama olasılığı şuna eşittir:

Çözüm:
Olayı hesaplamak için (seçili parçalar arasında uygun parça yok), formülü kullanıyoruz; N olası temel test sonuçlarının toplam sayısıdır ve M– Olayın meydana gelmesine elverişli temel sonuçların sayısı. Bizim durumumuzda olası temel sonuçların toplam sayısı, mevcut 12 detaydan üç detayın çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir. Ve olumlu sonuçların toplam sayısı, beş parçadan üç hatalı parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına eşittir. Buradan,

GÖREV N 12 bir hata bildir
Konu: Rasgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Sürekli bir rastgele değişken olasılık dağılım yoğunluğuyla belirlenir:

O zaman onun varyansı...

Çözüm:
Sürekli bir rastgele değişkenin varyansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Daha sonra

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları
Ayrık bir rastgele değişken olasılık dağılım yasasıyla belirtilir:

O zaman olasılık dağılım fonksiyonu şu şekildedir...

Çözüm:
Tanım gereği . Daha sonra
a) , ,
b) , ,
kedi , ,
d) , ,
d) , .
Buradan,

Konu: Toplam olasılık. Bayes formülleri
5 beyaz ve 5 siyah top içeren üç torba ve 6 beyaz ve 4 siyah top içeren yedi torba vardır. Rastgele bir torbadan bir top çekiliyor. O zaman bu topun beyaz olma olasılığı...

Çözüm:
Bir olayın olasılığını hesaplamak için A(rastgele çekilen bir top beyazdır) toplam olasılık formülünü uygulayın: . İşte ilk torba serisinden bir topun çekilme olasılığı; - topun ikinci torba serisinden çekilme olasılığı; - ilk torba serisinden çekildiğinde çekilen topun beyaz olma koşullu olasılığı; – ikinci torba serisinden çekildiğinde çekilen topun beyaz olma koşullu olasılığı.
Daha sonra .

Konu: Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımı kanunları
Ayrık bir rastgele değişken olasılık dağılım yasasıyla belirtilir:

O halde olasılık eşit...

Konu: Olasılığın Belirlenmesi
Zar iki kez atılır. O zaman çekilen puanların toplamının 10 olma olasılığı...

Ayrık rastgele değişkenlerin en yaygın dağılım yasalarını vurgulayabiliriz:

• Binom dağılım yasası
• Poisson dağıtım yasası
• Geometrik dağılım kanunu
• Hipergeometrik dağılım kanunu

Ayrık rastgele değişkenlerin belirli dağılımları için, değerlerinin olasılıklarının yanı sıra sayısal özelliklerin (matematiksel beklenti, varyans vb.) hesaplanması belirli "formüller" kullanılarak gerçekleştirilir. Bu nedenle bu tür dağılımları ve temel özelliklerini bilmek oldukça önemlidir.

1. Binom dağılım yasası.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $P\left(X=k\right)= olasılıklarıyla $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ değerlerini alıyorsa, binom olasılık dağılım yasasına tabidir. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Aslında, $X$ rastgele değişkeni, $A$ olayının $n$ bağımsız denemelerde meydana gelme sayısıdır. $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı kanunu:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \noktalar & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(dizi)$

Böyle bir rastgele değişken için matematiksel beklenti $M\left(X\right)=np$, varyans ise $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$'dır.

Örnek . Ailenin iki çocuğu var. Bir erkek ve bir kız çocuğuna sahip olma olasılığının 0,5$'a eşit olduğunu varsayarak, ailedeki erkek çocuk sayısı olan $\xi$ rastgele değişkeninin dağılım yasasını bulun.

Rastgele değişken $\xi $ ailedeki erkek çocukların sayısı olsun. $\xi'nin alabileceği değerler:\ 0,\ ​​1,\ 2$. Bu değerlerin olasılıkları $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) formülü kullanılarak bulunabilir. )$, burada $n =2$ bağımsız denemelerin sayısıdır, $p=0,5$ bir olayın bir dizi $n$ denemede meydana gelme olasılığıdır. Şunu elde ederiz:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25,$

O halde $\xi $ rastgele değişkeninin dağılım yasası, $0,\ 1,\ 2$ değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışmadır, yani:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(dizi)$

Dağıtım yasasındaki olasılıkların toplamı $1$'a eşit olmalıdır, yani $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i))))=0,25+0,5+ 0, 25=1$.

Beklenti $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varyans $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standart sapma $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\approx $0,707.

2. Poisson dağılım yasası.

Ayrık bir rastgele değişken $X$ yalnızca $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ negatif olmayan tamsayı değerlerini alabilirse $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Yorum. Bu dağılımın özelliği, deneysel verilere dayanarak, $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ tahminlerini bulmamızdır; eğer elde edilen tahminler birbirine yakınsa, o zaman şunu elde ederiz: Rastgele değişkenin Poisson dağılım yasasına tabi olduğunu iddia etmenin nedeni.

Örnek . Poisson dağıtım yasasına tabi rastgele değişkenlerin örnekleri şunlar olabilir: yarın bir benzin istasyonunun hizmet vereceği araba sayısı; Üretilen ürünlerdeki kusurlu ürün sayısı.

Örnek . Fabrika üsse 500$ değerinde ürün gönderdi. Ürünün taşıma sırasında hasar görme olasılığı 0,002$'dır. $X$ rastgele değişkeninin hasarlı ürün sayısına eşit dağılım yasasını bulun; $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ nedir?

Ayrık rastgele değişken $X$ hasarlı ürünlerin sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken, $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ parametresiyle Poisson dağılım yasasına tabidir. Değerlerin olasılıkları $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)'ye eşittir.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Rastgele değişken $X$'ın dağılım yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(dizi)$

Böyle bir rastgele değişken için matematiksel beklenti ve varyans birbirine eşittir ve $\lambda $ parametresine eşittir, yani $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda =1$.

3. Geometrik dağılım kanunu.

Ayrık bir rastgele değişken $X$ yalnızca $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ doğal değerlerini alabiliyorsa, $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) right)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, o zaman böyle bir rastgele değişkenin $X$ geometrik olasılık dağılımı yasasına tabi olduğunu söylüyorlar. Aslında geometrik dağılım ilk başarıya kadar bir Bernoulli testidir.

Örnek . Geometrik dağılıma sahip rastgele değişkenlerin örnekleri şunlar olabilir: hedefe yapılan ilk vuruştan önceki atış sayısı; ilk arızaya kadar cihaz testlerinin sayısı; ilk tura gelene kadar atılan paranın sayısı vb.

Geometrik dağılıma tabi bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)'e eşittir. )/p^ 2$.

Örnek . Balıkların yumurtlama alanına gidiş yolunda 4$'lık bir kilit vardır. Her kilitten balık geçme olasılığı $p=3/5$'dır. Rastgele değişken $X$'ın (kilitte ilk tutulmadan önce balığın geçtiği kilitlerin sayısı) bir dizi dağılımını oluşturun. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$'ı bulun.

Rastgele değişken $X$, balığın kilitte ilk durdurulmasından önce geçtiği kilitlerin sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken, olasılık dağılımının geometrik yasasına tabidir. $X rastgele değişkeninin alabileceği değerler:$ 1, 2, 3, 4. Bu değerlerin olasılıkları şu formül kullanılarak hesaplanır: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, burada: $ p=2/5$ - balığın kilitten alıkonulma olasılığı, $q=1-p=3/5$ - balığın kilitten geçme olasılığı, $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ üzeri (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(dizi)$

Matematiksel beklenti:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dağılım:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\approx 1.377.$

Standart sapma:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. Hipergeometrik dağılım yasası.

$N$ nesneler varsa, bunların arasında $m$ nesnelerinin belirli bir özelliği vardır. $n$ nesneler geri dönmeden rastgele alınır; bunların arasında belirli bir özelliğe sahip $k$ nesneler de vardı. Hipergeometrik dağılım, örnekteki $k$ nesnelerinin belirli bir özelliğe sahip olma olasılığının tahmin edilmesini mümkün kılar. $X$ rastgele değişkeninin, belirli bir özelliğe sahip örnekteki nesnelerin sayısı olmasına izin verin. O halde $X$ rastgele değişkeninin değerlerinin olasılıkları:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Yorum. Excel $f_x$ işlev sihirbazının HYPERGEOMET istatistiksel işlevi, belirli sayıda testin başarılı olma olasılığını belirlemenize olanak tanır.

$f_x\to$ istatistiksel$\ ila $ HİPERGEOMET$\ ila $ TAMAM. Doldurmanız gereken bir iletişim kutusu görünecektir. Sütunda Sample_of_successes_in_sample sayısı$k$ değerini belirtin. örnek_boyutu$n$'a eşittir. Sütunda Number_of_successes_in_together$m$ değerini belirtin. nüfus_boyutu$N$'a eşittir.

Geometrik dağılım yasasına tabi olan ayrı bir rastgele değişken $X$'ın matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)='a eşittir. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Örnek . Bankanın kredi departmanında yüksek finans eğitimi almış 5 uzman ve yüksek hukuk eğitimi almış 3 uzman görev yapmaktadır. Banka yönetimi, niteliklerini geliştirmek için rastgele sırayla seçerek 3 uzman göndermeye karar verdi.

a) Becerilerini geliştirmek üzere gönderilebilecek yüksek mali eğitime sahip uzmanların sayısına ilişkin bir dağıtım serisi yapın;

b) Bu dağılımın sayısal özelliklerini bulun.

Rastgele değişken $X$, seçilen üç kişi arasında yüksek finansal eğitime sahip uzmanların sayısı olsun. $X'in alabileceği değerler: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Bu rastgele değişken $X$, aşağıdaki parametrelerle hipergeometrik bir dağılıma göre dağıtılır: $N=8$ - popülasyon büyüklüğü, $m=5$ - popülasyondaki başarı sayısı, $n=3$ - örneklem büyüklüğü, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - örnekteki başarı sayısı. Daha sonra $P\left(X=k\right)$ olasılıkları şu formül kullanılarak hesaplanabilir: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n)) ) $ üzerinden. Sahibiz:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\yaklaşık 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\yaklaşık 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\yaklaşık 0,179,$

Daha sonra $X$ rastgele değişkeninin dağılım serisi:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(dizi)$

Hipergeometrik dağılımın genel formüllerini kullanarak $X$ rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini hesaplayalım.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\sağ))\fazla (8-1))=((225)\fazla (448))\yaklaşık 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$

Eğitim kurumu "Belarus Devleti

Ziraat Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

Yönergeler

Yazışma Eğitimi için Muhasebe Fakültesi (NISPO) öğrencileri tarafından “Rastgele Değişkenler” konusunu incelemek

Gorki, 2013

Rastgele değişkenler

Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler

Olasılık teorisindeki temel kavramlardan biri kavramdır. rastgele değişken . Rastgele değişken test sonucunda birçok olası değerinden yalnızca birini alan ve hangisinin olduğu önceden bilinmeyen bir niceliktir.

Rastgele değişkenler var ayrık ve sürekli . Ayrık rastgele değişken (DRV) birbirinden izole edilmiş sonlu sayıda değer alabilen rastgele bir değişkendir, yani. mümkünse bu miktarın değerleri yeniden hesaplanabilir. Sürekli rastgele değişken (CRV) tüm olası değerleri sayı doğrusunda belirli bir aralığı tamamen dolduran rastgele bir değişkendir.

Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleri X, Y, Z vb. ile gösterilir. Rastgele değişkenlerin olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Kayıt
"rastgele bir değişkenin olma olasılığı" anlamına gelir X 0,28'e eşit olan 5 değerini alacaktır."

Örnek 1 . X Zarlar bir kez atılır. Bu durumda nokta sayısını belirten 1'den 6'ya kadar sayılar görünebilir. Rasgele değişkeni gösterelim X=(atılan puanların sayısı). Test sonucunda bu rastgele değişken 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olmak üzere altı değerden yalnızca birini alabilmektedir. Dolayısıyla rastgele değişken

DSV var. Örnek 2 X. Bir taş atıldığında belli bir mesafe kat eder. Rastgele değişkeni gösterelim X=(taş uçuş mesafesi). Bu rastgele değişken belirli bir aralıktan yalnızca bir değer alabilir. Bu nedenle rastgele değişken

NSV var.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası .

Mümkün olan tüm değerler biliniyorsa
rastgele değişken X ve olasılıklar
Bu değerlerin ortaya çıkması durumunda DSV'nin dağılım yasasının geçerli olduğuna inanılmaktadır. X bilinmektedir ve tablo şeklinde yazılabilir:

Noktalar dikdörtgen bir koordinat sisteminde gösterilirse DSV dağıtım yasası grafiksel olarak gösterilebilir.
,
, …,
ve bunları düz çizgi parçalarıyla bağlayın. Ortaya çıkan şekle dağıtım poligonu denir.

Örnek 3 . Temizleme amaçlı tahıl %10 yabani ot içerir. 4 tane rastgele seçildi. Rasgele değişkeni gösterelim X=(seçilen dört yabani ot arasındaki yabani otların sayısı). DSV dağıtım yasasını oluşturun X ve dağıtım poligonu.

Çözüm . Örnek koşullara göre. Daha sonra:

DSV X'in dağıtım yasasını bir tablo şeklinde yazalım ve bir dağıtım poligonu oluşturalım:

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Ayrık bir rastgele değişkenin en önemli özellikleri, özellikleriyle tanımlanır. Bu özelliklerden biri matematiksel beklenti rastgele değişken.

DSV dağıtım yasasının bilinmesine izin verin X:

Matematiksel beklenti DSV X bu miktarın her değerinin çarpımlarının karşılık gelen olasılıkla toplamıdır:
.

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi yaklaşık olarak tüm değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir. Bu nedenle pratik problemlerde bu rastgele değişkenin ortalama değeri genellikle matematiksel beklenti olarak alınır.

Örnek 8 . Atıcı 0,1, 0,45, 0,3 ve 0,15 olasılıkla 4, 8, 9 ve 10 puan alır. Tek atışta atılacak puan sayısının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm . Rasgele değişkeni gösterelim X=(alınan puan sayısı). Daha sonra . Böylece, tek atışta beklenen ortalama puan sayısı 8,2, 10 atışta ise 82'dir.

Ana özellikler matematiksel beklenti:

.

.

, Nerede
,
.

.

, Nerede X Ve e bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Fark
isminde sapma rastgele değişken X matematiksel beklentisinden. Bu fark rastgele bir değişkendir ve matematiksel beklentisi sıfırdır, yani.
.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı

Bir rastgele değişkeni karakterize etmek için matematiksel beklentiye ek olarak şunu da kullanırız: dağılım Bu, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki dağılımını (yayılmasını) tahmin etmeyi mümkün kılar. İki homojen rastgele değişkeni eşit matematiksel beklentilerle karşılaştırırken, "en iyi" değer, daha az yayılım gösteren değer olarak kabul edilir; daha az dağılım.

Varyans rastgele değişken X bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır: .

Pratik problemlerde varyansı hesaplamak için eşdeğer bir formül kullanılır.

Dispersiyonun ana özellikleri şunlardır:

.

Rastgele değişken çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerleri alabilen bir değişkendir ve buna karşılık rastgele bir değişken denir. ayrık değerlerinin kümesi sonlu veya sayılabilir ise.

Kesikli rastgele değişkenlerin yanı sıra sürekli rastgele değişkenler de vardır.

Rasgele değişken kavramını daha ayrıntılı olarak ele alalım. Uygulamada çoğu zaman belirli değerleri alabilen nicelikler vardır, ancak söz konusu deneyim, olgu veya gözlemde her birinin hangi değeri alacağını güvenilir bir şekilde tahmin etmek imkansızdır. Örneğin ertesi gün Moskova'da doğacak erkek çocuk sayısı değişebilir. Sıfıra eşit olabilir (tek bir erkek çocuk doğmayacaktır: tüm kızlar doğacak veya hiç yeni doğan olmayacak), bir, iki vb. sonlu bir sayıya kadar devam edebilir. N. Bu değerler şunları içerir: sahadaki şeker pancarı köklerinin kütlesi, bir top mermisinin uçuş menzili, bir partideki kusurlu parçaların sayısı vb. Bu tür miktarlara rastgele diyeceğiz. Deneyim veya gözlemin tüm olası sonuçlarını niceliksel bir bakış açısıyla karakterize ederler.

Ayrık rastgele değişken örnekleri nüfuslu bir bölgede gün içinde doğan çocukların sayısı, otobüs yolcularının sayısı, Moskova metrosunun günde taşıdığı yolcu sayısı vb. sonlu sayıda değere sahip olabilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin değerlerinin sayısı sonsuz ancak sayılabilir bir küme olabilir. Ancak her durumda, belirli bir sırayla numaralandırılabilirler veya daha doğrusu, rastgele bir değişkenin değerleri ile 1, 2, 3, ... doğal sayıları arasında bire bir yazışma kurulabilir. , N.

Dikkat: olasılık teorisinde yeni ve çok önemli bir kavram - dağıtım kanunu . İzin vermek X kabul edebilir N değerler: . Hepsinin farklı olduğunu (aksi halde aynı olanların birleştirilmesi gerekir) ve artan sırada sıralandığını varsayacağız. Ayrık bir rastgele değişkeni tam olarak karakterize etmek için yalnızca tüm değerleri değil aynı zamanda olasılıkları da belirtilmelidir Rastgele değişkenin değerlerin her birini aldığı, yani .

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası herhangi bir kural (işlev, tablo) çağrılır P(X), bu da rastgele bir değişkenle ilişkili her türlü olayın olasılığını bulmanızı sağlar (örneğin, bunun bir değerin örneği olması veya bir aralığa düşme olasılığı).

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını aşağıdaki tablo biçiminde ayarlamak en basit ve kullanışlıdır:

Bu tabloya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılımına yakın. Dağılım serisinin en üst satırı, ayrık rastgele değişkenin (x) tüm olası değerlerini artan sırada listeler ve alt satırda bu değerlerin olasılıkları listelenir ( P).

Olaylar bunlar uyumsuzdur ve mümkün olan tek şeydir: tam bir olaylar sistemi oluştururlar. Bu nedenle olasılıklarının toplamı bire eşittir:

.

Örnek 1.Öğrenci grubunda çekiliş düzenlendi. 1.000 RUB değerindeki iki ürün kapma şansına sahip. ve biri 3.000 rubleye mal oluyor. 100 ruble karşılığında bir bilet satın alan bir öğrenci için net kazanç miktarına ilişkin bir dağıtım kanunu hazırlayın. Toplamda 50 bilet satıldı.

Çözüm. İlgilendiğimiz rastgele değişken Xüç değer alabilir: - 100 ovmak. (öğrenci kazanmazsa ancak bilet için ödenen 100 rubleyi kaybederse), 900 ruble. ve 2900 ovmak. (gerçek kazançlar, biletin maliyetine göre 100 ruble azaltılır). İlk sonuç 50 üzerinden 47 kez tercih edilir, ikincisi 2 ve üçüncüsü ise birdir. Bu nedenle olasılıkları: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası X benziyor

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu: yapı

Bir dağılım serisi yalnızca ayrık bir rastgele değişken için oluşturulabilir (ayrık olmayan bir değişken için oluşturulamaz, yalnızca böyle bir rastgele değişkenin olası değerleri kümesi sayılamaz olduğundan üst satırda listelenemezlerse) masanın).

Dağıtım yasasının tüm rastgele değişkenler (hem ayrık hem de ayrık olmayan) için uygun olan en genel biçimi dağıtım fonksiyonudur.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu veya integral fonksiyonu fonksiyon denir rastgele değişkenin değerinin olasılığını belirleyen X sınır değerinden küçük veya ona eşit X.

Herhangi bir ayrık rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, atlamaları rastgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda meydana gelen ve bu değerlerin olasılıklarına eşit olan süreksiz bir adım fonksiyonudur.

Örnek 2. Ayrık rastgele değişken X- Bir zar atıldığında elde edilen puanların sayısı. Dağıtım fonksiyonunu hesaplayın.

Çözüm. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi Xşu forma sahiptir:

Dağıtım işlevi F(X) büyüklüğü 1/6'ya eşit 6 sıçramaya sahiptir (aşağıdaki şekilde).

Örnek 3. Torbada 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. Torbadan 3 top çekiliyor. Çekilen toplar arasındaki beyaz topların sayısı ayrık bir rastgele değişkendir X. Buna karşılık gelen bir dağıtım yasası hazırlayın.

X 0, 1, 2, 3 değerlerini alabilir. İlgili olasılıklar en kolay şekilde şu şekilde hesaplanabilir: olasılık çarpım kuralı. Ayrık bir rastgele değişkenin aşağıdaki dağılım yasasını elde ederiz:

Örnek 4. Ayrık bir rastgele değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - tek atışta isabet olasılığı 0,1 ise, dört atışta hedefe isabet eden isabet sayısı.

Çözüm. Ayrık rastgele değişken X beş farklı değer alabilir: 1, 2, 3, 4, 5. Karşılık gelen olasılıkları şunu kullanarak buluruz: Bernoulli'nin formülü . Şu tarihte:

N = 4 ,

P = 1,1 ,

Q = 1 - P = 0,9 ,

M = 0, 1, 2, 3, 4

aldık

Sonuç olarak, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası X benziyor

Ayrık bir rastgele değişkenin değerlerinin olasılıkları Bernoulli formülü kullanılarak belirlenebiliyorsa, o zaman rastgele değişkenin binom dağılımı .

Deneme sayısı yeterince büyükse, bu denemelerde ilgilenilen olayın meydana gelme olasılığı şu şekildedir: M kez kanunlara uyar Poisson dağılımı .

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu: hesaplama

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu hesaplamak için F(X), sınır değerinden küçük veya ona eşit olan tüm değerlerin olasılıklarının toplanması gerekir X.

Örnek 5. Tablo, yıl içinde feshedilen evlilik sayısının evlilik süresine bağımlılığını göstermektedir. Bir sonraki boşanmış evliliğin 5 yıldan az veya buna eşit sürme olasılığını bulun.

Çözüm. Olasılıklar, boşanan evliliklerin sayısının toplam 6010 sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Bir sonraki biten evliliğin 5 yıl sürmesi olasılığı 0,056'dır. Bir sonraki boşanmış evliliğin süresinin 5 yıl veya daha az olması olasılığı 0,186'dır. Değerine ekleyerek bunu elde ettik F(X) 4 yıl dahil süreli evlilikler için 5 yıl süreli evlilikler için olasılık.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası ile matematiksel beklenti ve dağılım arasındaki ilişki

Çoğunlukla ayrı bir rastgele değişkenin tüm değerleri bilinmez, ancak serideki bazı değerler veya olasılıklar da bilinir. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi ve (veya) varyansı, ayrı bir ders ayrılmıştır.

Burada, ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını hazırlarken yardımcı olabilecek bu dersten bazı formüller sunuyoruz ve bu tür sorunların çözümüne ilişkin örnekleri analiz edeceğiz.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin çarpımlarının ve bu değerlerin olasılıklarının toplamıdır:

(1)

Tanım gereği ayrık bir rastgele değişkenin varyansının formülü şöyledir:

Genellikle aşağıdaki dağılım formülü hesaplamalar için daha uygundur:

, (2)

Nerede .

Örnek 6. Ayrık rastgele değişken X yalnızca iki değer alabilir. Olasılıkla daha küçük bir değer alır P= 0,6. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulun X, eğer matematiksel beklentisi ve varyansının olduğu biliniyorsa .

Çözüm. Rastgele bir değişkenin daha büyük bir değer alma olasılığı X2 , 1 − 0,6 = 4'e eşittir. Matematiksel beklenti formülünü (1) kullanarak, bilinmeyenlerin ayrık rastgele değişkenimizin değerleri olduğu bir denklem yaratırız:

Dağılım formülünü (2) kullanarak, bilinmeyenlerin aynı zamanda ayrı bir rastgele değişkenin değerleri olduğu başka bir denklem yaratırız:

Elde edilen iki denklemden oluşan bir sistem

yerine koyma yöntemiyle çözünüz. Elde ettiğimiz ilk denklemden

Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyarsak, basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: ikinci dereceden denklem

,

bunun iki kökü vardır: 7/5 ve −1. İlk kök problemin koşullarını karşılamıyor çünkü X2 < X 1 . Böylece ayrık bir rastgele değişkenin alabileceği değerler Xörneğimizin koşullarına göre eşittir X1 = −1 Ve X2 = 2 .

Rastgele değişken Değişken, her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık Ve sürekli.

Ayrık rastgele değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayacak, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik derken, bir rastgele değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceğini kastediyoruz.

Örnek 1 . Ayrık rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır:

a) $n$ atışla hedefe yapılan isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) Yazı tura atıldığında düşen amblem sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemilerin sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve ikinci satırda olasılıkların $p_1,\dots ,\ p_n$ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. bu değerlere karşılık gelenler belirtilmektedir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ şu değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. O zaman $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. Ayrık bir rastgele değişken $X$'in dağılım yasasında $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ olayları tam bir olay grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $ \sum(p_i)=1$.

2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi“merkezi” anlamını belirtir. Ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır; yani : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz dili literatüründe başka bir gösterim $E\left(X\right)$ kullanılır.

Matematiksel beklentinin özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ve en büyük değerleri arasında yer alır.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ öğesinin, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük ($6$) değerleri arasında yer aldığını fark edebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. $2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin iki öğrenci grubunda olasılık teorisi sınavının ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenci çıktı, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler vardı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımını gösterecek sayısal bir karakteristiğe ihtiyaç vardır. Bu özellik dağılımdır.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı$X$ şuna eşittir:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

İngiliz edebiyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. $D\left(X\right)$ varyansı sıklıkla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülü kullanılarak hesaplanır. sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dispersiyon özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir; $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Sabitin varyansı sıfırdır, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, karesi olması koşuluyla dağılım işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenler arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Örnek 6 . Örnek $2$'dan $X$ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= değerini buluruz. 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Ayrık bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi biçiminde temsil etme yöntemi tek yöntem değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır: dağıtım fonksiyonu.

Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - azalmayan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . $2$ örneğinden $X$ ayrık rastgele değişkeninin dağıtım yasası için $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

Eğer $x\le 1$ ise, o zaman açıkça $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X dahil) olur< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Eğer $x > 6$ ise, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ 2'de< x\le 3,\\
1/2,\3'te< x\le 4,\\
2/3,\ 4'te< x\le 5,\\
5/6,\ 4'te< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrix)\right.$