Çözümün açıklaması. Toplam diferansiyellerde denklem Toplam diferansiyellerde denklemin tanımı

bazı işlevler. Bir fonksiyonu toplam diferansiyelinden geri getirirsek diferansiyel denklemin genel integralini buluruz. Aşağıda bunun hakkında konuşacağız Bir fonksiyonu toplam diferansiyelinden geri yükleme yöntemi.

Bir diferansiyel denklemin sol tarafı bazı fonksiyonların toplam diferansiyelidir U(x, y) = 0 Eğer koşul yerine getirilirse.

Çünkü tam diferansiyel fonksiyon U(x, y) = 0 Bu , yani koşul karşılandığında bunun belirtildiği anlamına gelir.

Daha sonra, .

Elde ettiğimiz sistemin ilk denkleminden . Sistemin ikinci denklemini kullanarak fonksiyonu buluyoruz:

Bu şekilde gerekli işlevi bulacağız U(x, y) = 0.

Örnek.

DE'nin genel çözümünü bulalım .

Çözüm.

Örneğimizde. Koşul karşılandı çünkü:

O zaman başlangıç diferansiyel denkleminin sol tarafı bazı fonksiyonların toplam diferansiyelidir. U(x, y) = 0. Bu fonksiyonu bulmamız gerekiyor.

Çünkü fonksiyonun toplam diferansiyeli U(x, y) = 0, Araç:

Şu şekilde entegre ediyoruz: X Sistemin 1. denklemi ve buna göre türevlenmesi sen sonuç:

Sistemin 2. denkleminden elde ediyoruz. Araç:

Nerede İLE- keyfi sabit.

Böylece verilen denklemin genel integrali şu şekilde olacaktır: .

İkincisi var bir fonksiyonu toplam diferansiyelinden hesaplama yöntemi. Sabit bir noktanın çizgi integralinin alınmasından oluşur (x 0, y 0) değişken koordinatlara sahip bir noktaya (x, y): . Bu durumda integralin değeri integralin yolundan bağımsızdır. Bağlantıları koordinat eksenlerine paralel olan kesikli bir çizgiyi entegrasyon yolu olarak almak uygundur.

Örnek.

DE'nin genel çözümünü bulalım .

Çözüm.

Koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz:

Dolayısıyla diferansiyel denklemin sol tarafı bazı fonksiyonların tam diferansiyelidir. U(x, y) = 0. Bu fonksiyonu noktanın eğrisel integralini hesaplayarak bulalım. (1; 1) ile (x, y). Bir entegrasyon yolu olarak kesikli bir çizgiyi alıyoruz: kesikli çizginin ilk bölümü düz bir çizgi boyunca geçiliyor y = 1 noktadan (1, 1) ile (x, 1) yolun ikinci bölümü olarak noktadan düz bir çizgi parçası alıyoruz (x, 1) ile (x, y):

Yani uzaktan kumandanın genel çözümü şuna benziyor: .

Örnek.

DE'nin genel çözümünü belirleyelim.

Çözüm.

Çünkü Bu, koşulun karşılanmadığı anlamına gelir, o zaman diferansiyel denklemin sol tarafı fonksiyonun tam diferansiyeli olmayacaktır ve ikinci çözüm yöntemini kullanmanız gerekir (bu denklem, ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklemdir).

Diferansiyel formun denklemi denir

P(x,y)dx + Q(x,y)ölmek = 0 ,

burada sol taraf, iki değişkenli herhangi bir fonksiyonun toplam diferansiyelidir.

İki değişkenin bilinmeyen fonksiyonunu (toplam diferansiyellerdeki denklemleri çözerken bulunması gereken şey budur) şu şekilde gösterelim: F ve yakında buna geri döneceğiz.

Dikkat etmeniz gereken ilk şey denklemin sağ tarafında sıfır olması, sol tarafında ise iki terimi birleştiren işaretin artı olması gerektiğidir.

İkinci olarak, bu diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerdeki bir denklem olduğunu doğrulayan bir miktar eşitliğin gözlemlenmesi gerekir. Bu kontrol, toplam diferansiyellerdeki denklemleri çözmek için kullanılan algoritmanın zorunlu bir parçasıdır (bu dersin ikinci paragrafındadır), dolayısıyla bir fonksiyon bulma süreci F oldukça emek yoğun ve ilk aşamada zaman kaybetmediğimizden emin olmak önemli.

Yani bulunması gereken bilinmeyen fonksiyon şu şekilde gösterilir: F. Tüm bağımsız değişkenler için kısmi diferansiyellerin toplamı, toplam diferansiyeli verir. Dolayısıyla denklem bir toplam diferansiyel denklem ise denklemin sol tarafı kısmi diferansiyellerin toplamıdır. Daha sonra tanım gereği

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)ölmek .

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini hesaplamak için formülü hatırlayalım:

Son iki eşitliği çözerek şunu yazabiliriz:

İlk eşitliği “y” değişkenine göre, ikinci eşitliği ise “x” değişkenine göre farklılaştırıyoruz:

bu, belirli bir diferansiyel denklemin gerçekten toplam diferansiyel denklem olması için bir koşuldur.

Toplam diferansiyellerdeki diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

Adım 1. Denklemin bir toplam diferansiyel denklem olduğundan emin olun. İfadenin yapılabilmesi için bazı fonksiyonların toplam diferansiyeliydi F(x, y) gerekli ve yeterlidir öyle ki. Başka bir deyişle, kısmi türevi almanız gerekir. X ve buna göre kısmi türev sen başka bir terim ve eğer bu türevler eşitse denklem bir toplam diferansiyel denklemdir.

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan kısmi diferansiyel denklem sistemini yazın F:

Adım 3. Sistemin ilk denklemini entegre edin - X (sen F:

,
sen.

Alternatif bir seçenek (eğer integrali bu şekilde bulmak daha kolaysa) sistemin ikinci denklemini - şu şekilde integre etmektir: sen (X sabit kalır ve integral işaretinin dışına çıkarılır). Bu şekilde fonksiyon da geri yüklenir F:

,
henüz bilinmeyen bir fonksiyonu nerede X.

Adım 4. 3. adımın sonucu (bulunan genel integral) şu şekilde farklılaştırılır: sen(alternatif olarak - göre X) ve sistemin ikinci denklemine eşitleyin:

ve alternatif bir versiyonda - sistemin ilk denklemine:

Ortaya çıkan denklemden (alternatif olarak) belirleriz

Adım 5. 4. adımın sonucu entegre etmek ve bulmaktır (alternatif olarak find ).

Adım 6. 5. adımın sonucunu 3. adımın sonucuyla, kısmi entegrasyonla geri yüklenen fonksiyonla değiştirin F. Keyfi sabit C genellikle eşittir işaretinden sonra yazılır - denklemin sağ tarafında. Böylece toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemin genel bir çözümünü elde ederiz. Daha önce de belirtildiği gibi, şu şekle sahiptir: F(x, y) = C.

Toplam diferansiyellerdeki diferansiyel denklemlerin çözüm örnekleri

Örnek 1.

Adım 1. toplam diferansiyellerdeki denklem X ifadenin sol tarafındaki bir terim

ve buna göre kısmi türev sen başka bir terim
toplam diferansiyellerdeki denklem .

Adım 2. F:

Adım 3.İle X (sen sabit kalır ve integral işaretinin dışına çıkarılır). Böylece fonksiyonu geri yüklüyoruz F:

henüz bilinmeyen bir fonksiyonu nerede sen.

Adım 4. sen

Adım 5.

Adım 6. F. Keyfi sabit C :
.

Burada ortaya çıkma olasılığı en yüksek olan hata hangisidir? En yaygın hatalar, bir fonksiyon çarpımının olağan integrali için değişkenlerden biri üzerinden kısmi integral almak ve parçalarla veya yerine geçen bir değişkenle integral almaya çalışmak ve ayrıca iki faktörün kısmi türevini bir fonksiyonun türevi olarak almaktır. fonksiyonların çarpımını bulun ve ilgili formülü kullanarak türevi arayın.

Şunu unutmamak gerekir: Değişkenlerden birine göre kısmi integral hesaplanırken, diğeri sabittir ve integralin işaretinden çıkarılır ve değişkenlerden birine göre kısmi türev hesaplanırken diğeri aynı zamanda bir sabittir ve ifadenin türevi, “etkili” değişkenin türevinin sabitle çarpımı olarak bulunur.

Arasında toplam diferansiyellerdeki denklemler Üstel fonksiyona sahip örnekler bulmak alışılmadık bir durum değildir. Bu bir sonraki örnek. Çözümünün alternatif bir seçenek kullanması da dikkat çekicidir.

Örnek 2. Diferansiyel denklemi çözün

Adım 1. Denklemin olduğundan emin olalım. toplam diferansiyellerdeki denklem . Bunu yapmak için kısmi türevi buluyoruz. X ifadenin sol tarafındaki bir terim

ve buna göre kısmi türev sen başka bir terim
. Bu türevler eşittir, yani denklem toplam diferansiyellerdeki denklem .

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan bir kısmi diferansiyel denklem sistemi yazalım. F:

Adım 3. Sistemin ikinci denklemini integralleyelim: sen (X sabit kalır ve integral işaretinin dışına çıkarılır). Böylece fonksiyonu geri yüklüyoruz F:

henüz bilinmeyen bir fonksiyonu nerede X.

Adım 4. 3. adımın sonucunu (bulunan genel integral) şuna göre farklılaştırıyoruz: X

ve sistemin ilk denklemine eşitleyin:

Ortaya çıkan denklemden şunları belirleriz:
.

Adım 5. 4. adımın sonucunu entegre ediyoruz ve şunu buluyoruz:
.

Adım 6. 5. adımın sonucunu 3. adımın sonucuna - kısmi entegrasyonla geri yüklenen fonksiyona - koyarız F. Keyfi sabit C eşittir işaretinden sonra yazın. Böylece toplamı elde ederiz toplam diferansiyellerde diferansiyel denklem çözme :
.

Aşağıdaki örnekte alternatif bir seçenekten ana seçeneğe dönüyoruz.

Örnek 3. Diferansiyel denklemi çözün

Adım 1. Denklemin olduğundan emin olalım. toplam diferansiyellerdeki denklem . Bunu yapmak için kısmi türevi buluyoruz. sen ifadenin sol tarafındaki bir terim

ve buna göre kısmi türev X başka bir terim
. Bu türevler eşittir, yani denklem toplam diferansiyellerdeki denklem .

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan bir kısmi diferansiyel denklem sistemi yazalım. F:

Adım 3. Sistemin ilk denklemini integralleyelim - İle X (sen sabit kalır ve integral işaretinin dışına çıkarılır). Böylece fonksiyonu geri yüklüyoruz F:

henüz bilinmeyen bir fonksiyonu nerede sen.

Adım 4. 3. adımın sonucunu (bulunan genel integral) şuna göre farklılaştırıyoruz: sen

ve sistemin ikinci denklemine eşitleyin:

Ortaya çıkan denklemden şunları belirleriz:
.

Adım 5. 4. adımın sonucunu entegre ediyoruz ve şunu buluyoruz:

Örnek 4. Diferansiyel denklemi çözün

Adım 2. Fonksiyonu oluşturan bir kısmi diferansiyel denklem sistemi yazalım. F:

Adım 3. Sistemin ilk denklemini integralleyelim - İle X (sen sabit kalır ve integral işaretinin dışına çıkarılır). Böylece fonksiyonu geri yüklüyoruz F:

henüz bilinmeyen bir fonksiyonu nerede sen.

Adım 4. 3. adımın sonucunu (bulunan genel integral) şuna göre farklılaştırıyoruz: sen

ve sistemin ikinci denklemine eşitleyin:

Ortaya çıkan denklemden şunları belirleriz:
.

Adım 5. 4. adımın sonucunu entegre ediyoruz ve şunu buluyoruz:

Örnek 5. Diferansiyel denklemi çözün

Toplam diferansiyellerde bir diferansiyel denklemin nasıl tanınacağını gösterir. Çözüm yöntemleri verilmiştir. Toplam diferansiyellerde bir denklemin iki şekilde çözülmesine bir örnek verilmiştir.

İçerik

giriiş

Toplam diferansiyellerde birinci dereceden bir diferansiyel denklem şu şekilde bir denklemdir:
(1) ,
denklemin sol tarafı bir U fonksiyonunun toplam diferansiyelidir (x, y) x, y değişkenlerinden:
.
Aynı zamanda.

Eğer böyle bir U fonksiyonu bulunursa (x, y) ise denklem şu şekli alır:
dÜ (x, y) = 0.
Genel integrali:
sen (x, y) = C,
burada C bir sabittir.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem türevi cinsinden yazılırsa:
,
o zaman onu şekle sokmak kolaydır (1) . Bunu yapmak için denklemi dx ile çarpın.
(1) .

Daha sonra . Sonuç olarak, diferansiyeller cinsinden ifade edilen bir denklem elde ederiz:

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemin özelliği (1) Denklem için
(2) .

Toplam diferansiyellerde bir denklem olsaydı, ilişkinin geçerli olması gerekli ve yeterlidir:

Kanıt Ayrıca ispatta kullanılan tüm fonksiyonların tanımlı olduğunu ve x ve y değişkenlerinin bazı değer aralıklarında karşılık gelen türevlerine sahip olduğunu varsayıyoruz. x noktası

0 , y 0.
da bu bölgeye aittir. (1) Koşulun gerekliliğini kanıtlayalım (2) (x, y):
.
Denklemin sol tarafı olsun
;
.
bazı U fonksiyonlarının diferansiyelidir
;
.
Daha sonra (2) İkinci türev türev alma sırasına bağlı olmadığından, o zaman

Bunu takip ediyor..
Gereklilik koşulu (2) :
(2) .
kanıtlanmış. (x, y) Koşulun yeterliliğini kanıtlayalım (2)
.
Koşul sağlansın (x, y) Böyle bir U fonksiyonunu bulmanın mümkün olduğunu gösterelim.
(3) ;
(4) .
diferansiyeli şöyledir: (3) Bu, böyle bir U fonksiyonunun olduğu anlamına gelir. 0 denklemleri karşılayan:
;
;
(5) .
Böyle bir fonksiyon bulalım. Denklemin integralini alalım (2) :

.
x'ten x'e göre (4) y'nin bir sabit olduğunu varsayarak x'e:
.
X'in bir sabit olduğunu varsayarak y'ye göre türev alıyoruz ve uyguluyoruz 0 Denklem
;
;
.
halinde idam edilecek (5) :
(6) .
y üzerinden y üzerinden entegre et
.
sana:

Yerine koy (6) Böylece diferansiyeli olan bir fonksiyon bulduk. Yeterliliği kanıtlanmıştır. Formülde (x, y), sen Ayrıca ispatta kullanılan tüm fonksiyonların tanımlı olduğunu ve x ve y değişkenlerinin bazı değer aralıklarında karşılık gelen türevlerine sahip olduğunu varsayıyoruz.(x 0, y 0)

bir sabittir - U fonksiyonunun değeri

x noktasında
(1) .
. (2) :
(2) .
Herhangi bir değer atanabilir.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklem nasıl tanınır?

Denklemin toplam diferansiyellerde olup olmadığını kontrol edin:
.

Burada
, .
X sabitini dikkate alarak y'ye göre türev alıyoruz:

.
Haydi farklılaşalım

.
Çünkü:
,
o zaman verilen denklem toplam diferansiyellerdedir.

Toplam diferansiyellerde diferansiyel denklemleri çözme yöntemleri

Sıralı diferansiyel ekstraksiyon yöntemi

Toplam diferansiyellerdeki bir denklemi çözmenin en basit yöntemi, diferansiyelin sıralı olarak izole edilmesi yöntemidir. Bunu yapmak için diferansiyel formda yazılmış farklılaşma formüllerini kullanırız:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Bu formüllerde u ve v, değişkenlerin herhangi bir birleşiminden oluşan keyfi ifadelerdir.

Örnek 1

Denklemi çözün:
.

Daha önce bu denklemin toplam diferansiyellerde olduğunu bulmuştuk. Hadi dönüştürelim:
(P1) .
Diferansiyeli sırayla izole ederek denklemi çözeriz.
;
;
;
;

.
halinde idam edilecek (P1):
;
.

Ardışık entegrasyon yöntemi

Bu yöntemde U fonksiyonunu arıyoruz. (x, y), denklemleri karşılayan:
(3) ;
(4) .

Denklemin integralini alalım (3) x cinsinden, y sabiti dikkate alındığında:
.
burada φ (y)- belirlenmesi gereken keyfi bir y fonksiyonu. İntegral sabitidir. Denklemde yerine koy (4) :
.
Buradan:
.
İntegral aldığımızda φ'yi buluruz (y) ve dolayısıyla U (x, y).

Örnek 2

Denklemi toplam diferansiyellerde çözün:
.

Daha önce bu denklemin toplam diferansiyellerde olduğunu bulmuştuk. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
, .
İşlev U aranıyor (x, y) diferansiyeli denklemin sol tarafıdır:
.
Daha sonra:
(3) ;
(4) .
Denklemin integralini alalım (3) x cinsinden, y sabiti dikkate alındığında:
(P2)
.
y'ye göre farklılaştırın:

.
yerine koyalım (4) :
;
.
İntegral alalım:
.
yerine koyalım (P2):

.
Denklemin genel integrali:
sen (x, y) = sabit.
İki sabiti tek bir sabitte birleştiriyoruz.

Bir eğri boyunca entegrasyon yöntemi

İlişkiyle tanımlanan U fonksiyonu:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
noktaları birleştiren eğri boyunca bu denklemin integrali alınarak bulunabilir Yeterliliği kanıtlanmıştır. Ve (x, y):
(7) .
Çünkü
(8) ,
o zaman integral yalnızca başlangıçtaki koordinatlara bağlıdır Yeterliliği kanıtlanmıştır. ve son (x, y) noktalardır ve eğrinin şekline bağlı değildir. İtibaren (7) Ve (8) şunu buluyoruz:
(9) .
burada x 0 ve sen 0 - kalıcı. Bu nedenle U Yeterliliği kanıtlanmıştır.- ayrıca sabit.

Kanıtta böyle bir U tanımının bir örneği elde edildi:
(6) .
Burada entegrasyon ilk önce noktadan itibaren y eksenine paralel bir doğru parçası boyunca gerçekleştirilir. (x 0, y 0) asıl noktaya (x 0, y). (x 0, y) asıl noktaya (x, y) .

Daha sonra noktadan itibaren x eksenine paralel bir doğru parçası boyunca entegrasyon gerçekleştirilir. (x 0, y 0) Ve (x, y) Daha genel olarak, bir eğrinin bağlantı noktalarının denklemini temsil etmeniz gerekir.
parametrik formda: X 1 = s(t1) ;;
parametrik formda: sen 1 = s(t1) 1 = r(t1);
0 = s(t 0) 0 = r(t0) x = s 0 = r(t0);
(T) 1 ; 0 y = r

ve t üzerinde integral (x 0, y 0) Ve (x, y) t'den
parametrik formda: t'ye. 1 = s(t1) Entegrasyonu gerçekleştirmenin en kolay yolu bir segment bağlantı noktaları üzerindendir;
. 0 = 0 Bu durumda: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = (x - x 0) dt 1; ölmek.
1 = (y - y 0) dt 1 0 ile 1 .
Yer değiştirmeden sonra t'nin integralini elde ederiz.

Ancak bu yöntem oldukça zahmetli hesaplamalara yol açmaktadır.
Kullanılan literatür:

V.V. Stepanov, Diferansiyel denklemler dersi, "LKI", 2015. Tanım 8.4.

Formun diferansiyel denklemi
Nerede

toplam diferansiyel denklem denir.
.

Böyle bir denklemin sol tarafının bazı fonksiyonların toplam diferansiyeli olduğuna dikkat edin.

Genel olarak denklem (8.4) şu şekilde temsil edilebilir:

Denklem (8.5) yerine denklemi dikkate alabiliriz.
çözümü denklem (8.4)'ün genel integralidir. Dolayısıyla denklem (8.4)'ü çözmek için fonksiyonu bulmak gerekir.

(8.6)

. Denklemin (8.4) tanımına uygun olarak, elimizde
İşlev

Formun diferansiyel denklemi bu koşullardan birini (8.6) karşılayan bir fonksiyon arayacağız: .

- bağımsız olarak keyfi bir işlev
İşlev

(8.7)

ifadenin ikinci koşulu (8.6) karşılanacak şekilde tanımlanır
İfade (8.7)'den fonksiyon belirlenir
. Bunu ifadede yerine koyarsak

ve orijinal denklemin genel integralini elde edin. Sorun 8.3.

Denklemi Entegre Et
.

Burada
Dolayısıyla bu denklem toplam diferansiyellerdeki diferansiyel denklem türüne aittir. İşlev

bunu formda arayacağız

Diğer tarafta,
Bazı durumlarda durum

yerine getirilmeyebilir. Daha sonra bu tür denklemler, genel durumda yalnızca bir fonksiyon olan entegre faktör olarak adlandırılan faktörle çarpılarak söz konusu türe indirgenir. .

veya Bazı denklemlerin yalnızca aşağıdakilere bağlı bir entegrasyon faktörü varsa

, o zaman formülle belirlenir ilişki nerede .

sadece bir fonksiyon olmalı Benzer şekilde, entegrasyon faktörü yalnızca şunlara bağlıdır:

, formülle belirlenir
ilişki nerede .

ilişki nerede Verilen ilişkilerde ilk durumda değişkenin yokluğu ve ikincisinde - değişken

, belirli bir denklem için bir integral faktörünün varlığının bir işaretidir. Sorun 8.4.

Bu denklemi toplam diferansiyellerdeki bir denkleme dönüştürün.

İlişkiyi düşünün:

Konu 8.2. Doğrusal diferansiyel denklemler Tanım 8.5
. Diferansiyel denklem İstenilen fonksiyona göre doğrusal ise doğrusal olarak adlandırılır , onun türevi

istenilen fonksiyonun çarpımını ve türevini içermez.

(8.8)

Doğrusal diferansiyel denklemin genel formu aşağıdaki ilişkiyle temsil edilir:
(8.8) ile ilgili ise sağ taraf
, o zaman böyle bir denkleme doğrusal homojen denir. Sağ tarafın olması durumunda

Denklemin (8.8) karesel olarak integrallenebileceğini gösterelim.

İlk aşamada doğrusal bir homojen denklem ele alıyoruz.

Böyle bir denklem ayrılabilir değişkenleri olan bir denklemdir. Gerçekten mi,

;

Son ilişki doğrusal bir homojen denklemin genel çözümünü belirler.

Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü bulmak için bir sabitin türevini değiştirme yöntemi kullanılır. Yöntemin fikri, doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünün, karşılık gelen homojen denklemin çözümüyle aynı formda olması, ancak keyfi bir sabit olmasıdır. bazı işlevlerle değiştirildi
belirlenecek. Yani elimizde:

(8.9)

(8.8) ilişkisinde karşılık gelen ifadelerin yerine konulması
Ve
, alıyoruz

Son ifadeyi (8.9) ilişkisinde değiştirerek, doğrusal homojen olmayan denklemin genel integralini elde ederiz.

Böylece, doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümü iki kareleme ile belirlenir: doğrusal homojen bir denklemin genel çözümü ve doğrusal homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümü.

Sorun 8.5. Denklemi Entegre Et

Dolayısıyla orijinal denklem, doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemlerin türüne aittir.

İlk aşamada doğrusal homojen denklemin genel çözümünü bulacağız.

;

İkinci aşamada, formda bulunan doğrusal homojen olmayan denklemin genel çözümünü belirliyoruz.

Formun diferansiyel denklemi
- fonksiyon belirlenecek.

Yani elimizde:

İlişkileri yerine koymak Ve elde ettiğimiz orijinal doğrusal homojen olmayan denklemde:

;

Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümü şu şekilde olacaktır:

Sol tarafın bir $F fonksiyonunun toplam diferansiyeli olduğu $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ standart formuna sahip olmak \left( x,y\right)$'a toplam diferansiyel denklem denir.

Toplam diferansiyellerdeki denklem her zaman $dF\left(x,y\right)=0$ şeklinde yeniden yazılabilir; burada $F\left(x,y\right)$, $dF\left(x,) şeklinde bir fonksiyondur. y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Denklemin her iki tarafını da entegre edelim $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; sıfırın sağ tarafının integrali keyfi bir sabit $C$'a eşittir. Dolayısıyla, bu denklemin örtülü biçimdeki genel çözümü $F\left(x,y\right)=C$ şeklindedir.

Belirli bir diferansiyel denklemin toplam diferansiyellerde bir denklem olabilmesi için $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ koşulunun sağlanması gerekli ve yeterlidir. memnun ol. Belirtilen koşul karşılanırsa, $F\left(x,y\right)$ işlevi vardır ve bunun için şunu yazabiliriz: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, bundan iki ilişki elde ederiz : $\frac(\ kısmi F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ve $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

İlk $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ilişkisini $x$ üzerinde entegre ederiz ve $F\left(x,y\right)=\int elde ederiz P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, burada $U\left(y\right)$, $y$'ın keyfi bir fonksiyonudur.

İkinci $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ilişkisini sağlayacak şekilde seçelim. Bunu yapmak için, $F\left(x,y\right)$ için elde edilen ilişkiyi $y$'a göre farklılaştırırız ve sonucu $Q\left(x,y\right)$'a eşitleriz. Şunu elde ederiz: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\sağ)$.

Diğer çözüm ise:

son eşitlikten $U"\left(y\right)$'ı buluyoruz;
$U"\left(y\right)$'ı entegre edin ve $U\left(y\right)$'ı bulun;
$U\left(y\right)$'ı $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) eşitliğinde değiştirin $ ve son olarak $F\left(x,y\right)$ fonksiyonunu elde ederiz.

Farkı buluyoruz:

$U"\left(y\right)$'ı $y$ üzerinden entegre ederiz ve $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$'ı buluruz.

Sonucu bulun: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Genel çözümü $F\left(x,y\right)=C$ biçiminde yazıyoruz:

Belirli bir çözüm bulun $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, burada $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 dolar:

Kısmi çözüm şu şekildedir: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.