Test ödevleri
Görev 1 - 10. Vektörler verilmiştir.
Vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu gösterin ve bu tabana göre vektörün koordinatlarını bulun:
Verilen vektörler ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu gösteriniz ve bu tabandaki X vektörünün koordinatlarını bulunuz.
Bu görev iki bölümden oluşmaktadır. Öncelikle vektörlerin bir temel oluşturup oluşturmadığını kontrol etmeniz gerekir. Vektörler, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfırdan farklı olması durumunda bir taban oluşturur, aksi takdirde vektörler temel değildir ve X vektörü bu tabana göre genişletilemez.
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Matrisin determinantını hesaplayalım:
Matrisin determinantı ∆ =37
Determinant sıfırdan farklı olduğundan vektörler bir taban oluşturur, dolayısıyla X vektörü bu tabana göre genişletilebilir. Onlar. eşitliği sağlayacak şekilde α 1, α 2, α 3 sayıları vardır:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Bu eşitliği koordinat formunda yazalım:
(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)
Vektörlerin özelliklerini kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ederiz:
(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)
(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)
Vektörlerin eşitliği özelliğine göre elimizde:
3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3
1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0
6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1 Ortaya çıkan denklem sistemini çözüyoruz Gauss yöntemi veya.
Cramer'in yöntemi
X = ε 1 + 2ε 2 -ε 3
Çözüm, hizmet kullanılarak alındı ve işlendi:
Temeldeki vektör koordinatları
Bu problemin yanı sıra şunları da çözüyorlar:
Matris denklemlerini çözme
Cramer yöntemi
Gauss yöntemi
Jordano-Gauss yöntemini kullanan ters matris
Cebirsel tamamlayıcılar yoluyla ters matris
Çevrimiçi matris çarpımı
Örnek 8
Vektörler verilmiştir. Vektörlerin üç boyutlu uzayda bir taban oluşturduğunu gösterin ve bu tabandaki vektörün koordinatlarını bulun.Çözüm:
Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım: 
Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.
! Önemli: vektör koordinatları mutlaka yaz sütunlara determinant, dizelerde değil. Aksi takdirde ilerideki çözüm algoritmasında karışıklık yaşanacaktır.
Şimdi teorik kısmı hatırlayalım: eğer vektörler bir taban oluşturuyorsa, o zaman herhangi bir vektör belirli bir tabana benzersiz bir şekilde genişletilebilir: tabandaki vektörün koordinatları nerededir.
Vektörlerimiz üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğundan (bu zaten kanıtlanmıştır), vektör bu temel üzerinde benzersiz bir şekilde genişletilebilir: 
, vektörün tabandaki koordinatları nerede.
Duruma göre koordinatların bulunması gerekmektedir.
Açıklama kolaylığı için parçaları değiştireceğim: 
. Bunu bulmak için bu eşitliği koordinat bazında yazmalısınız: 
Katsayılar neye göre belirleniyor? Sol taraftaki tüm katsayılar tam olarak determinanttan aktarılır 
vektörün koordinatları sağ tarafa yazılmıştır.
Sonuç, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemidir. Genellikle şu şekilde çözülür: Cramer'in formülleri, çoğu zaman problem ifadesinde bile böyle bir gereklilik vardır.
Sistemin ana belirleyicisi zaten bulundu:
Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.
Bundan sonrası bir teknik meselesidir: 
Böylece:
– vektörün tabana göre ayrıştırılması.
Cevap: 
Daha önce de belirttiğim gibi, problem doğası gereği cebirseldir. Dikkate alınan vektörlerin mutlaka uzayda çizilebilecek vektörler olması gerekmez, her şeyden önce doğrusal cebir dersinin soyut vektörleri olması gerekir. İki boyutlu vektörler için benzer bir problem formüle edilip çözülebilir; çözüm çok daha basit olacaktır. Ancak pratikte böyle bir görevle hiç karşılaşmadım, bu yüzden önceki bölümde onu atladım.
Bağımsız çözüm için üç boyutlu vektörlerle aynı problem:
Örnek 9
Vektörler verilmiştir. Vektörlerin bir taban oluşturduğunu gösteriniz ve bu tabana göre vektörün koordinatlarını bulunuz. Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözün.
Dersin sonunda tam bir çözüm ve nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.
Benzer şekilde dört boyutlu, beş boyutlu vb. düşünebiliriz. vektörlerin sırasıyla 4, 5 veya daha fazla koordinata sahip olduğu vektör uzayları. Bu vektör uzayları için aynı zamanda doğrusal bağımlılık, vektörlerin doğrusal bağımsızlığı kavramı da vardır, ortonormal bir temel de dahil olmak üzere bir temel, bir vektörün bir tabana göre genişlemesi vardır. Evet, bu tür uzaylar geometrik olarak çizilemez, ancak iki ve üç boyutlu durumların tüm kuralları, özellikleri ve teoremleri içlerinde çalışır - saf cebir. Aslında makalede zaten felsefi konulardan bahsetmek istemiştim. Üç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri, bu dersten önce ortaya çıktı.
Vektörleri sevin ve vektörler de sizi sevecek!
Çözümler ve cevaplar:
Örnek 2: Çözüm: vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından bir orantı kuralım:
Cevap:
en
Örnek 4: Kanıt: Trapezİki kenarı paralel, diğer iki kenarı paralel olmayan dörtgene dörtgen denir.
1) Karşı tarafların paralelliğini kontrol edelim ve .
Vektörleri bulalım:
Bu, bu vektörlerin eşdoğrusal olmadığı ve kenarların paralel olmadığı anlamına gelir.
2) Karşı tarafların paralelliğini kontrol edin ve .
Vektörleri bulalım:
Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
, bu, bu vektörlerin eşdoğrusal olduğu anlamına gelir ve .
Çözüm:
Bir dörtgenin iki tarafı paraleldir, ancak diğer iki tarafı paralel değildir, bu da onun tanımı gereği bir yamuk olduğu anlamına gelir. Q.E.D.
Örnek 5: Çözüm:
b) Vektörlerin karşılık gelen koordinatları için bir orantı katsayısı olup olmadığını kontrol edelim:
Sistemin çözümü yoktur, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.
Daha basit tasarım:
– ikinci ve üçüncü koordinatlar orantılı değildir; bu, vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.
Cevap:
vektörler eşdoğrusal değildir.
c) Doğrusallık açısından vektörleri inceliyoruz 
. Bir sistem oluşturalım:
Vektörlerin karşılık gelen koordinatları orantılıdır, yani
“Züppe” tasarım yönteminin başarısız olduğu nokta burasıdır.
Cevap:
Örnek 6: Çözüm: b) Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım (determinant ilk satırda yazıyor):
Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olduğu ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturmadığı anlamına gelir.
Cevap
: bu vektörler bir temel oluşturmaz
Örnek 9: Vektörler verilmiştir. Vektörlerin üç boyutlu uzayda bir taban oluşturduğunu gösterin ve bu tabandaki vektörün koordinatlarını bulun. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
Dolayısıyla vektörler doğrusal olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.
Vektörü temel vektörlerin doğrusal birleşimi olarak temsil edelim:
Koordinat olarak:
Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözelim:
Bu, sistemin benzersiz bir çözümü olduğu anlamına gelir.
Cevap:Vektörler bir temel oluşturur,
Yazışma öğrencileri için daha yüksek matematik ve daha fazlası >>>
(Ana sayfaya git)
Vektörlerin çapraz çarpımı.
Vektörlerin karışık çarpımı
Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı. Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin skaler çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına giriyormuşuz gibi görünebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az tahta bulunur. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynı materyalden neredeyse hiç karmaşık değildir. nokta çarpım hatta daha az tipik görev olacak. Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin ikna olacağı veya zaten ikna olduğu gibi, HESAPLAMALARDA HATA YAPMMAKTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)
Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa fark etmez, dersten başlayın Aptallar için vektörler vektörler hakkındaki temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden edinmek. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilirler; pratik çalışmalarda sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım;
Seni hemen ne mutlu edecek? Küçükken iki hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Şimdi dikkate alacağımız için hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. yalnızca uzaysal vektörler ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!
Vektörler grafiksel olarak yönlendirilmiş bölümlerle temsil edilebilir. Uzunluk, belirtmek için belirli bir ölçekte seçilir vektör büyüklüğü ve segmentin yönü temsil eder vektör yönü . Örneğin 1 cm'nin 5 km/saat'i temsil ettiğini varsayarsak, 15 km/saat hızla gelen kuzeydoğu rüzgarı şekilde görüldüğü gibi 3 cm uzunluğunda bir yön parçası ile temsil edilecektir.
Vektör bir düzlemde yönlendirilmiş bir bölümdür. iki vektör eşit eğer aynı şeye sahiplerse boyut Ve yön.
A noktasından B noktasına çizilen bir vektörü düşünün. Bu noktaya denir. başlangıç noktası vektör ve B noktasına denir bitiş noktası. Bu vektörün sembolik gösterimi şöyledir (“vektör AB” olarak okunur). Vektörler ayrıca U, V ve W gibi kalın harflerle de temsil edilir. Soldaki şekildeki dört vektör aynı uzunluğa ve yöne sahiptir. Bu nedenle temsil ediyorlar eşit rüzgarlar; yani 
Vektörler bağlamında eşit olduklarını belirtmek için = kullanırız.
Uzunluk veya büyüklük|| olarak ifade edilir. Vektörlerin eşit olup olmadığını belirlemek için büyüklüklerini ve yönlerini buluyoruz.
Örnek 1 u, , w vektörleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. u = = w olduğunu kanıtlayın. 
ÇözümÖncelikle uzaklık formülünü kullanarak her vektörün uzunluğunu buluyoruz:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Buradan
|u| = | = |w|.
Şekilden de görülebileceği gibi u, , ve w vektörleri aynı yöne sahip gibi görünmektedir ancak eğimlerini kontrol edeceğiz. Bulundukları çizgiler aynı eğimlere sahipse, vektörler aynı yöne sahiptir. Eğimleri hesaplıyoruz: 
u, , ve w eşit büyüklükte ve aynı yönde olduğundan,
sen = = w.
Eşit vektörlerin aynı konumu değil, yalnızca aynı büyüklüğü ve aynı yönü gerektirdiğini unutmayın. En üstteki şekil vektör eşitliğinin bir örneğini göstermektedir.
Bir kişinin doğuya 4 adım attığını ve ardından kuzeye 3 adım attığını varsayalım. Kişi daha sonra başlangıç noktasından solda gösterilen yönde 5 adım uzakta olacaktır. 4 birim uzunluğunda ve yönü sağa doğru olan bir vektör 4 adım doğuyu temsil eder ve yönü yukarı doğru olan 3 birim uzunluğunda bir vektör 3 adım kuzeyi temsil eder. Toplam Bu iki vektörden 5 adım büyüklüğünde ve gösterilen yönde bir vektör vardır. Tutar da denir sonuçta iki vektör.
Genel olarak, sıfırdan farklı iki vektör u ve v, v vektörünün başlangıç noktasının u vektörünün bitiş noktasına yerleştirilmesi ve ardından u vektörüyle aynı başlangıç noktasına ve aynı bitiş noktasına sahip bir vektör bulunmasıyla geometrik olarak toplanabilir. aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi v vektörünü işaretleyin. 
Toplam, u vektörünün A noktasından v vektörünün C uç noktasına kadar yönlendirilmiş bir parça ile temsil edilen bir vektördür. Böylece, eğer u = ve v = ise, o zaman
sen + v = + =
Vektör toplama işlemini, vektörlerin başlangıç noktalarını bir araya getirerek paralelkenar oluşturma ve paralelkenarın köşegenini bulma olarak da tanımlayabiliriz. (aşağıdaki şekilde.) Bu eklemeye bazen şu ad verilir: paralelkenar kuralı
vektörlerin eklenmesi. Vektör toplama değişmelidir. Şekilde gösterildiği gibi, u + v ve v + u vektörlerinin her ikisi de aynı yönlü çizgi parçasıyla temsil edilmektedir. 
Eğer F 1 ve F 2 kuvvetleri bir cisme etki ediyorsa, sonuçta kuvvet bu iki ayrı kuvvetin F 1 + F 2 toplamıdır. 
Örnek Birbirine dik olan bir cisme 15 newton ve 25 newtonluk iki kuvvet etki ediyor. Toplamlarını veya ortaya çıkan kuvveti ve daha büyük kuvvetle yaptığı açıyı bulun.
Çözüm Sorunun koşulunu, bu durumda sonucu temsil etmek için v veya kullanarak bir dikdörtgen çizelim. Değerini bulmak için Pisagor teoremini kullanırız:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Burada |v| v'nin uzunluğunu veya büyüklüğünü belirtir.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Yönü bulmak için OAB dik açı olduğundan şunu unutmayın:
tanθ = 15/25 = 0,6.
Bir hesap makinesi kullanarak, daha büyük kuvvetin net kuvvetle yaptığı açı olan θ'yı buluruz:
θ = ten rengi - 1 (0,6) ≈ 31°
Ortaya çıkan sonucun büyüklüğü 29,2'dir ve daha büyük bir kuvvetle 31°'lik bir açıya sahiptir.
Yan rüzgar olması durumunda pilotlar uçuş yönlerini ayarlayabilirler. Bir uçağın rüzgarı ve hızı rüzgarlarla temsil edilebilir.
Örnek 3. Uçak hızı ve yönü. Uçak 100°'lik bir azimutta 190 km/saat hızla hareket ederken rüzgar hızı 48 km/saat ve azimutu 220°'dir. Rüzgarı hesaba katarak uçağın mutlak hızını ve hareket yönünü bulun.
ÇözümÖnce bir çizim yapalım. Rüzgar temsil edilir ve uçağın hız vektörü . Ortaya çıkan hız vektörü, iki vektörün toplamı olan v'dir. v ile arasındaki θ açısına denir sürüklenme açısı
.
COA değerinin = 100° - 40° = 60° olduğunu unutmayın. O halde CBA değeri de 60°'ye eşittir (paralelkenarın karşıt açıları eşittir). Paralelkenarın tüm açılarının toplamı 360° olduğundan ve COB ile OAB aynı büyüklükte olduğundan her birinin 120° olması gerekir. İle kosinüs kuralı
OAB'de, elimizde
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Daha sonra |v| 218 km/saat'e eşittir. Buna göre sinüs kuralı
, aynı üçgende,
48
/sinθ = 218
/günah 120°,
veya
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
O zaman θ = 11°, en yakın tamsayı açısına kadar. Mutlak hız 218 km/saattir ve rüzgar dikkate alınarak hareket yönü: 100° - 11° veya 89°.
Bir w vektörü verildiğinde, toplamı w olan iki başka u ve v vektörünü bulabiliriz. u ve v vektörlerine denir bileşenler w ve onları bulma sürecine denir ayrışma veya bir vektörün vektör bileşenleriyle temsili.
Bir vektörü genişlettiğimizde genellikle dik bileşenleri ararız. Ancak çoğu zaman bir bileşen x eksenine paralel olurken diğeri y eksenine paralel olacaktır. Bu nedenle sıklıkla denir yatay
Ve dikey
vektör bileşenleri. Aşağıdaki şekilde w = vektörü, u = ve v ='nin toplamı olarak ayrıştırılmıştır. 
W'nin yatay bileşeni u ve dikey bileşeni v'dir.
Örnek 4 w vektörünün büyüklüğü 130'dur ve yataya göre 40°'lik bir eğime sahiptir. Vektörü yatay ve dikey bileşenlere ayırın.
ÇözümÖncelikle toplamı w olan yatay ve dikey u ve v vektörlerini içeren bir resim çizeceğiz. 
ABC'den |u|'yu buluyoruz ve |v|, kosinüs ve sinüs tanımlarını kullanarak:
cos40° = |u|/130 veya |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 veya |v| = 130.sin40° ≈ 84.
O halde w'nin yatay bileşeni sağa doğru 100, dikey bileşeni ise yukarıya doğru 84'tür.
Uzayın temeli uzaydaki diğer tüm vektörlerin tabana dahil edilen vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiği böyle bir vektör sistemi adını veriyorlar.
Pratikte bunların hepsi oldukça basit bir şekilde uygulanır. Temel, kural olarak, bir düzlemde veya uzayda kontrol edilir ve bunun için vektör koordinatlarından oluşan ikinci, üçüncü dereceden bir matrisin determinantını bulmanız gerekir. Aşağıda şematik olarak yazılmıştır vektörlerin temel oluşturduğu koşullar
İle b vektörünü temel vektörlere genişlet
e,e...,e[n] e,e...,e[n] vektörlerinin doğrusal kombinasyonunun aşağıdakilere eşit olduğu x, ..., x[n] katsayılarını bulmak gerekir. vektör B:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Bunun için vektör denkleminin lineer denklem sistemine dönüştürülmesi ve çözümlerinin bulunması gerekir. Bunun uygulanması da oldukça basittir.
Bulunan katsayılar x, ..., x[n] olarak adlandırılır b vektörünün koordinatları e,e...,e[n].
Konunun pratik tarafına geçelim.
Bir vektörün temel vektörlere ayrıştırılması
Görev 1. a1, a2 vektörlerinin düzlemde bir temel oluşturup oluşturmadığını kontrol edin
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Çözüm: Vektörlerin koordinatlarından bir determinant oluşturup hesaplıyoruz
Determinant sıfır değil, buradan vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, yani bir temel oluştururlar.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Çözüm: Vektörlerden oluşan determinantı hesaplıyoruz 
Determinant 13'e eşittir (sıfıra eşit değildir) - bundan a1, a2 vektörlerinin düzlemde bir temel olduğu sonucu çıkar.
---=================---
"Yüksek Matematik" disiplinindeki MAUP programından tipik örneklere bakalım.
Görev 2. a1, a2, a3 vektörlerinin üç boyutlu bir vektör uzayının temelini oluşturduğunu gösterin ve b vektörünü bu temele göre genişletin (bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözerken Cramer yöntemini kullanın).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Çözüm: Öncelikle a1, a2, a3 vektör sistemini düşünün ve A matrisinin determinantını kontrol edin.
sıfır olmayan vektörler üzerine inşa edilmiştir. Matris bir sıfır elemanı içerir, bu nedenle determinantı birinci sütunda veya üçüncü satırda bir çizelge olarak hesaplamak daha uygundur. 
Hesaplamalar sonucunda determinantın sıfırdan farklı olduğunu gördük, dolayısıyla a1, a2, a3 vektörleri doğrusal olarak bağımsızdır.
Tanım gereği vektörler R3'te bir temel oluşturur. b vektörünün zamanlamasını aşağıdakilere göre yazalım: 
Karşılık gelen koordinatları eşit olduğunda vektörler eşittir.
Bu nedenle vektör denkleminden bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz 
SLAE'yi çözelim Cramer'in yöntemi. Bunu yapmak için denklem sistemini şu şekilde yazıyoruz:
Bir SLAE'nin ana determinantı her zaman temel vektörlerden oluşan determinantına eşittir
Bu nedenle pratikte iki kez sayılmaz. Yardımcı determinantları bulmak için, ana determinantın her sütununun yerine serbest terimlerden oluşan bir sütun koyarız. Determinantlar üçgen kuralı kullanılarak hesaplanır 
Bulunan determinantları Cramer formülünde yerine koyalım 
Yani b vektörünün tabana göre açılımı b=-4a1+3a2-a3 şeklindedir. b vektörünün a1, a2, a3 tabanındaki koordinatları (-4,3, 1) olacaktır.
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Çözüm: Vektörleri temel olarak kontrol ediyoruz - vektörlerin koordinatlarından bir determinant oluşturup hesaplıyoruz 
Determinant sıfıra eşit değildir, bu nedenle vektörler uzayda bir temel oluşturur. Geriye bu temel üzerinden vektör b'nin programını bulmak kalır. Bunu yapmak için vektör denklemini yazıyoruz 
ve bir doğrusal denklem sistemine dönüştürün 
Matris denklemini yazıyoruz
Daha sonra Cramer formülleri için yardımcı determinantları buluyoruz 
Cramer formüllerini uyguluyoruz 
Yani belirli bir b vektörünün iki temel vektör b=-2a1+5a3 boyunca bir programı vardır ve tabandaki koordinatları b(-2,0, 5)'e eşittir.
