Bir sayı serisinin limitinin eşit olduğunu kanıtlayın. Sıra ve fonksiyon sınırı

Sabit sayı A isminde sınır diziler(xn) herhangi bir keyfi küçük pozitif sayı için iseε > 0 tüm değerleri içeren bir N sayısı var xn n>N için eşitsizliği karşılar

|x n - a|< ε. (6.1)

Aşağıdaki gibi yazın: veya x n → A.

Eşitsizlik (6.1) çift eşitsizliğe eşdeğerdir

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

yani puanlar xn n>N gibi bir sayıdan başlayarak (a-) aralığının içinde yer alır.ε, a+ ε ), yani. herhangi bir küçüklüğe düşmekε -bir noktanın komşuluğu A.

Limiti olan diziye denir yakınsak, aksi takdirde - farklı.

Fonksiyon limiti kavramı, dizi limiti kavramının bir genellemesidir, çünkü bir dizinin limiti, bir tamsayı bağımsız değişkeninin x n = f(n) fonksiyonunun limiti olarak düşünülebilir. N.

f(x) fonksiyonu verilsin ve A - sınır noktası bu fonksiyonun tanım alanı D(f), yani. herhangi bir komşuluğu D(f) kümesinin aşağıdaki noktalardan başka noktalarını içeren böyle bir nokta A. Nokta A D(f) kümesine ait olabilir veya olmayabilir.

Tanım 1.A sabit sayısına denir sınır işlevler f(x) en x→a, eğer argüman değerlerinin herhangi bir dizisi (xn) içinse A karşılık gelen diziler (f(x n)) aynı A limitine sahiptir.

Bu tanım denir Heine'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlayarak, veya " sıra dilinde”.

Tanım 2. A sabit sayısına denir sınır işlevler f(x) en x→a, eğer keyfi olarak küçük bir pozitif sayı belirterek ε, böyle bir δ bulunabilir>0 (ε'ya bağlı olarak)), ki bu herkes içindir X, yatıyorSayının ε-komşulukları A yani İçin X eşitsizliğin sağlanması
0 < x-a< ε f(x) fonksiyonunun değerleri şu şekilde olacaktır:ε-A sayısının mahallesi, yani.|f(x)-A|< ε.

Bu tanım denir Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlayarak, veya “ε - δ dilinde “.

Tanım 1 ve 2 eşdeğerdir. Eğer f(x) fonksiyonu x →bir var sınır, A'ya eşit, bu formda yazılır

. (6.3)

Herhangi bir yaklaşım yöntemi için (f(x n)) dizisinin sınırsız artması (veya azalması) durumunda X senin sınırına kadar A o zaman f(x) fonksiyonunun sahip olduğunu söyleyeceğiz. sonsuz sınır, ve forma yazın:

Limiti sıfır olan bir değişkene (yani dizi veya fonksiyon) denir sonsuz derecede küçük.

Limiti sonsuza eşit olan değişkene denir sonsuz büyüklükte.

Uygulamada limiti bulmak için aşağıdaki teoremler kullanılır.

Teorem 1 . Her sınır mevcutsa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Yorum. 0/0 gibi ifadeler, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - örneğin iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük niceliğin oranı belirsizdir ve bu tür bir limitin bulunmasına "belirsizliklerin ortaya çıkarılması" adı verilir.

Teorem 2. (6.7)

onlar. özellikle sabit bir üslü kuvvete dayalı olarak limite gidilebilir, ;

(6.8)

(6.9)

Teorem 3.

(6.10)

(6.11)

Nerede e » 2.7 - doğal logaritmanın tabanı. Formüllere (6.10) ve (6.11) ilk denir harika sınır ve ikinci dikkate değer sınır.

Formül (6.11)'in sonuçları pratikte de kullanılır:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

özellikle limit,

eğer x → a ve aynı zamanda x > a, sonra x yazın→a + 0. Eğer özellikle a = 0 ise, 0+0 sembolü yerine +0 yazın. Benzer şekilde eğer x→a ve aynı zamanda x a-0. Sayılar ve buna göre çağrılırlar sağ sınır Ve sol sınır işlevler f(x) bu noktada A. f(x) fonksiyonunun x→ şeklinde bir limitinin olması içina gerekli ve yeterlidir, böylece . f(x) fonksiyonu çağrılır sürekli bu noktada x 0 eğer limit

. (6.15)

Koşul (6.15) şu şekilde yeniden yazılabilir:

yani bir fonksiyonun işareti altındaki limite geçiş, belirli bir noktada sürekli olması durumunda mümkündür.

Eşitlik (6.15) ihlal edilirse şunu söyleriz: en x = xo işlev f(x) sahip olmak açıklık y = 1/x fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun tanım alanı kümedir R x = 0 hariç. x = 0 noktası D(f) kümesinin bir sınır noktasıdır, çünkü onun herhangi bir komşuluğunda, yani. 0 noktasını içeren herhangi bir açık aralıkta D(f)'den noktalar vardır, ancak kendisi bu kümeye ait değildir. f(x o)= f(0) değeri tanımlı değildir, dolayısıyla x o = 0 noktasında fonksiyon bir süreksizliğe sahiptir.

f(x) fonksiyonu çağrılır noktada sağda sürekli x o eğer limit

Ve noktada solda sürekli x o, eğer limit

Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği x-o bu noktada hem sağa hem de sola doğru sürekliliğine eşdeğerdir.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için x-oÖrneğin sağda öncelikle sonlu bir limitin olması, ikinci olarak da bu limitin f(xo)'ya eşit olması gerekir. Dolayısıyla bu iki koşuldan en az birinin sağlanamaması durumunda fonksiyon süreksizliğe sahip olacaktır.

1. Eğer limit mevcutsa ve f(xo)'ye eşit değilse, o zaman şunu söylerler: işlev f(x) bu noktada x o var birinci türden kopma, veya sıçramak.

2. Limit ise+∞ veya -∞ veya mevcut değilse, o zaman şunu söylüyorlar: nokta x-o fonksiyonun süreksizliği var ikinci tür.

Örneğin, fonksiyon y = karyola x, x'te→ +0'ın +∞'a eşit bir sınırı vardırBu, x=0 noktasında ikinci türden bir süreksizliğin olduğu anlamına gelir. Fonksiyon y = E(x) (tam sayı kısmı) X) tam apsisli noktalarda birinci türden süreksizlikler veya sıçramalar vardır.

Aralığın her noktasında sürekli olan fonksiyona denir sürekli V. Sürekli bir fonksiyon katı bir eğri ile temsil edilir.

Bir miktarın sürekli büyümesiyle ilgili birçok sorun, ikinci dikkate değer sınıra yol açmaktadır. Bu tür görevler örneğin şunları içerir: bileşik faiz yasasına göre mevduatların büyümesi, ülke nüfusunun büyümesi, radyoaktif maddelerin bozulması, bakterilerin çoğalması vb.

düşünelim Ya.I. Perelman örneği, sayının yorumunu vererek e Bileşik faiz probleminde. Sayı e bir sınır var . Tasarruf bankalarında her yıl sabit sermayeye faiz parası eklenir. Katılım daha sık yapılırsa, faiz oluşumunda daha büyük bir miktar söz konusu olduğundan sermaye daha hızlı büyür. Tamamen teorik, çok basitleştirilmiş bir örneği ele alalım. Bankaya 100 denye yatırılsın. birimler yıllık %100 esasına göre. Faiz parası sabit sermayeye ancak bir yıl sonra eklenirse bu süre içinde 100 den. birimler 200 para birimine dönüşecek. Şimdi bakalım 100 Deniz neye dönüşecek. sabit sermayeye her altı ayda bir faiz parası eklenirse birim. Altı ay sonra 100 den. birimler 100'e çıkacak× 1,5 = 150 ve altı ay sonra - 150× 1,5 = 225 (den. birim). Katılım yılın her 1/3'ünde yapılırsa, bir yıl sonra 100 den. birimler 100'e dönüşecek× (1 +1/3) 3" 237 (den. birim). Faiz parası ekleme şartlarını 0,1 yıla kadar, 0,01 yıla kadar, 0,001 yıla kadar vb. artıracağız. Sonra 100 den. birimler bir yıl sonra şöyle olacak:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. birim),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. birim),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. birim).

Faiz ekleme koşullarında sınırsız bir azalma ile birikmiş sermaye süresiz olarak büyümez, ancak yaklaşık 271'e eşit belirli bir sınıra yaklaşır. Yıllık% 100 yatırılan sermaye, tahakkuk eden faiz olsa bile 2,71 katından fazla artamaz. limit nedeniyle her saniye sermayeye eklendi

Örnek 3.1.Bir sayı serisinin limit tanımını kullanarak x n =(n-1)/n dizisinin 1'e eşit bir limite sahip olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.Ne olursa olsun bunu kanıtlamamız gerekiyor.ε > 0, ne alırsak alalım, bunun için her n N için eşitsizliğin geçerli olduğu bir N doğal sayısı vardır.|x n -1|< ε.

Herhangi bir e > 0 alalım. Çünkü ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, o zaman N'yi bulmak için 1/n eşitsizliğini çözmek yeterlidir< e. Dolayısıyla n>1/ e ve bu nedenle N, 1/'nin tamsayı kısmı olarak alınabilir. e , N = E(1/ e ). Böylece limitin olduğunu kanıtlamış olduk.

Örnek 3.2 . Ortak bir terimle verilen bir dizinin limitini bulun .

Çözüm.Toplam teoreminin limitini uygulayalım ve her terimin limitini bulalım. ne zaman→ ∞ her terimin pay ve paydası sonsuza eğilimlidir ve bölüm limit teoremini doğrudan uygulayamayız. Bu nedenle önce dönüştürüyoruz xn, birinci terimin pay ve paydasını şuna bölmek: n 2 ve ikincisi N. Daha sonra bölümün limitini ve toplam teoreminin limitini uygulayarak şunu buluruz:

Örnek 3.3. . Bulmak .

Çözüm. .

Burada derecenin limiti teoremini kullandık: Bir derecenin limiti, tabanın limitinin derecesine eşittir.

Örnek 3.4 . Bulmak ( ).

Çözüm.Formda belirsizlik olduğundan farkların limiti teoremini uygulamak imkansızdır. ∞-∞ . Genel terimin formülünü dönüştürelim:

Örnek 3.5 . f(x)=2 1/x fonksiyonu veriliyor. Hiçbir sınırın olmadığını kanıtlayın.

Çözüm.Bir fonksiyonun limitinin 1 numaralı tanımını bir dizi boyunca kullanalım. 0'a yakınsayan bir ( x n ) dizisini ele alalım; f(x n)= değerinin farklı diziler için farklı davrandığını gösterelim. xn = 1/n olsun. Açıkçası, o zaman sınır Şimdi şu şekilde seçelim xn ortak terimi x n = -1/n olan ve yine sıfıra yaklaşan bir dizi. Bu nedenle herhangi bir sınır yoktur.

Örnek 3.6 . Hiçbir sınırın olmadığını kanıtlayın.

Çözüm.x 1 , x 2 ,..., x n ,... bir dizi olsun;
. (f(x n)) = (sin x n) dizisi farklı x n → ∞ için nasıl davranır?

Eğer x n = p n ise, sin x n = sin p hepsi için n = 0 N ve limit ise
x n =2 p n+ p /2, bu durumda sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = hepsi için 1 N ve dolayısıyla sınır. Yani mevcut değil.

Çevrimiçi limitleri hesaplamak için widget

Üst pencerede sin(x)/x yerine limitini bulmak istediğiniz fonksiyonu girin. Alt pencerede x'in yöneldiği sayıyı girin ve Hesapla düğmesini tıklayın, istediğiniz limiti elde edin. Sonuç penceresinde sağ üst köşedeki Adımları göster seçeneğine tıklarsanız ayrıntılı bir çözüm elde edersiniz.

Fonksiyon girme kuralları: sqrt(x) - karekök, cbrt(x) - küp kök, exp(x) - üs, ln(x) - doğal logaritma, sin(x) - sinüs, cos(x) - kosinüs, tan (x) - tanjant, cot(x) - kotanjant, arksin(x) - arksinüs, arkkos(x) - arkkosinüs, arktan(x) - arktanjant. İşaretler: * çarpma, / bölme, ^ üs, bunun yerine sonsuzluk Sonsuzluk. Örnek: fonksiyon sqrt(tan(x/2)) olarak girilir.

Bir dizinin sonlu limitinin tanımı verilmiştir. İlgili özellikler ve eşdeğer tanım tartışılmaktadır. A noktasının dizinin limiti olmadığını belirten bir tanım verilmiştir. Tanım kullanılarak bir limitin varlığının kanıtlandığı örnekler ele alınmıştır.

Burada bir dizinin sonlu limitinin tanımına bakacağız. Bir dizinin sonsuza yakınsaması durumu “Sonsuz büyük bir dizinin tanımı” sayfasında tartışılmıştır.

Tanım .
(xn), eğer herhangi bir pozitif sayı için ε > 0 ε'ya bağlı olarak bir N ε doğal sayısı vardır, öyle ki tüm doğal sayılar için n > N ε eşitsizliği
| x n - a|< ε .
Sıra sınırı şu şekilde gösterilir:
.
Veya adresinde.

Eşitsizliği dönüştürelim:
;
;
.

Açık aralığa (a - ε, a + ε) denir ε - a noktasının komşuluğu.

Limiti olan diziye denir yakınsak dizi. Sıranın da olduğu söyleniyor yakınsar a. Limiti olmayan diziye denir.

farklı

Tanımdan, eğer bir dizinin bir limiti a varsa, a noktasının hangi ε-komşuluğunu seçersek seçelim, bunun dışında dizinin yalnızca sonlu sayıda elemanı olabilir veya hiç olmayabilir (boş küme). . Ve herhangi bir ε-komşusu sonsuz sayıda eleman içerir. Aslında belirli bir ε sayısını verdikten sonra elimizde ε sayısı bulunur.

Yani sayıların yer aldığı dizinin tüm elemanları tanım gereği a noktasının ε-komşuluğunda yer alır.
(1) .

İlk elemanlar herhangi bir yere yerleştirilebilir. Yani, ε-komşuluğu dışında elementlerden, yani sonlu bir sayıdan fazlası olamaz.

Ayrıca farkın monoton bir şekilde sıfıra doğru yönelmesi, yani her zaman azalması gerekmediğini de not ediyoruz. Monoton olmayan bir şekilde sıfırlanma eğiliminde olabilir: yerel maksimumlara sahip olarak artabilir veya azalabilir. Bununla birlikte, n arttıkça bu maksimumlar sıfıra doğru yönelmelidir (muhtemelen aynı zamanda monoton olarak da değil).

Varlık ve evrensellik mantıksal sembolleri kullanılarak limitin tanımı şu şekilde yazılabilir: a'nın bir limit olmadığını belirlemekŞimdi a sayısının dizinin limiti olmadığı yönündeki ters ifadeyi düşünün. a numarası dizinin limiti değil
.

, eğer herhangi bir n doğal sayısı için böyle bir doğal m varsa
(2) .

> n a sayısı dizinin limiti değil, şu anlama geliyor
a noktasının böyle bir ε - mahallesini seçebilirsiniz, bunun dışında dizinin sonsuz sayıda elemanı olacaktır.

Bir örneğe bakalım. Ortak elemanlı bir dizi verilsin
(3)
Bir noktanın herhangi bir komşuluğu sonsuz sayıda eleman içerir. Ancak bu nokta dizinin limiti değildir, çünkü noktanın herhangi bir komşuluğu aynı zamanda sonsuz sayıda eleman içerir. ε = ε = olan bir noktanın komşuluğunu alalım 1 . (-1, +1) Bu aralık olacak > 2 .

N'si çift olan ilk eleman dışındaki tüm elemanlar bu aralığa aittir. Ancak tek n'li tüm öğeler bu aralığın dışındadır çünkü x n eşitsizliğini sağlarlar.
.

Tek elemanların sayısı sonsuz olduğundan seçilen mahallenin dışında da sonsuz sayıda eleman olacaktır. Dolayısıyla nokta dizinin limiti değildir.

Şimdi bunu (2) numaralı ifadeye sıkı sıkıya bağlı kalarak göstereceğiz. Bu nokta (3) dizisinin bir limiti değildir, çünkü herhangi bir doğal n için eşitsizliğin geçerli olduğu tek bir sayı vardır.

Herhangi bir a noktasının bu dizinin limiti olamayacağı da gösterilebilir. Her zaman a noktasının ne 0 ne de 2 noktasını içermeyen bir ε komşuluğunu seçebiliriz. Ve seçilen mahallenin dışında dizinin sonsuz sayıda elemanı olacaktır.
Eşdeğer tanımε - komşuluk kavramını genişletirsek, bir dizinin limitinin eşdeğer bir tanımını verebiliriz. Eğer ε-komşuluğu yerine a noktasının herhangi bir komşuluğunu içeriyorsa eşdeğer bir tanım elde edeceğiz. 1 Bir noktanın komşuluğunun belirlenmesi 2 a noktasının mahallesi

Bu noktayı içeren herhangi bir açık aralığa denir. Matematiksel olarak mahalle şu şekilde tanımlanır: burada ε

ve ε
- keyfi pozitif sayılar. O zaman limitin tanımı aşağıdaki gibi olacaktır.

Sıra sınırının eşdeğer tanımı

- keyfi pozitif sayılar. a sayısına dizinin limiti denir
.

, eğer herhangi bir komşuluğu için, sayıların bulunduğu dizinin tüm elemanları bu mahalleye ait olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa.

Yukarıda sunulan bir dizinin limitinin iki tanımının eşdeğer olduğunu kanıtlayalım.

İlk tanıma göre a sayısı dizinin limiti olsun. Bu, herhangi bir pozitif sayı ε için aşağıdaki eşitsizliklerin geçerli olduğu bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir:
(4) .

İkinci tanımla a sayısının dizinin limiti olduğunu gösterelim. Yani herhangi bir pozitif sayı için ε şeklinde bir fonksiyonun var olduğunu göstermemiz gerekir. 1 ve ε 2 aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
(5) .

İki pozitif sayımız olsun: ε 1 ve ε 2 .
.
Ve bunların en küçüğü ε olsun: .

Daha sonra ; ; 1 ve ε 2 .
.

Bunu (5)'te kullanalım: 1 ve ε 2 aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:
(5) .

Ancak eşitsizlikler tatmin edicidir.
.
O zaman eşitsizlik (5) de sağlanır.
Yani, herhangi bir pozitif sayı için (5) eşitsizliklerinin karşılandığı bir fonksiyon bulduk ε

İlk kısım kanıtlandı.

Şimdi a sayısı ikinci tanıma göre dizinin limiti olsun. Bu, herhangi bir pozitif sayı için ε şeklinde bir fonksiyonun olduğu anlamına gelir.

İlk tanıma göre a sayısının dizinin limiti olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için koymanız gerekir.

Daha sonra aşağıdaki eşitsizlikler geçerli olduğunda:

(1) .
Bu, ile ilk tanıma karşılık gelir.
.

.
Tanımların denkliği kanıtlanmıştır.
.

.
Örnekler
.
Burada belirli bir a sayısının bir dizinin limiti olduğunu kanıtlamamız gereken birkaç örneğe bakacağız. Bu durumda, keyfi bir pozitif sayı ε belirtmeniz ve eşitsizliğin herkes için karşılanacağı şekilde bir N/ε fonksiyonu tanımlamanız gerekir.
.

Örnek 1

Bunu kanıtla.
.

Bizim durumumuzda;
(1) .
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım. O zaman ve ise
.

Daha sonra
.
Tanımların denkliği kanıtlanmıştır.
.

Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.
Örnekler
.
.

Örnek 2

Bir dizinin limitinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:
Bir dizinin limitinin tanımını yazalım:
.
Bizim durumumuzda; = 1, 2, 3, ... Pozitif sayıları girin ve:
.

Bizim durumumuzda;
(1) .
Yani, herhangi bir pozitif için, aşağıdakilerden büyük veya ona eşit olan herhangi bir doğal sayıyı alabiliriz:
.
Örnek 3
.

Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.
, notasyonunu tanıtıyoruz.
.
Farkı dönüştürelim:
.

Doğal n için

sahibiz:
.

Bizim durumumuzda;
(1) .
Eşitsizliklerin özelliklerini kullanalım. O zaman ve ise
.

Daha sonra
.
Örnek 3
.

Bu, sayının verilen dizinin limiti olduğu anlamına gelir:
.
Örnekler
.
Farkı dönüştürelim:
.

Pozitif sayıları girin ve:
O zaman ve ise
Aynı zamanda

Matematik dünyayı inşa eden bilimdir. Hem bilim adamları hem de sıradan insanlar - kimse onsuz yapamaz. Önce küçük çocuklara sayma, sonra toplama, çıkarma, çarpma ve bölme öğretilir; ortaokula gelindiğinde harf sembolleri devreye girer ve lisede artık bunlardan kaçınılamaz.

Ancak bugün bilinen tüm matematiğin neye dayandığından bahsedeceğiz. "Sıra sınırları" adı verilen bir sayı topluluğu hakkında.

Diziler nedir ve limitleri nerededir?

“Sıra” kelimesinin anlamını yorumlamak zor değildir. Bu, birisinin veya bir şeyin belirli bir sırada veya sırada yer aldığı şeylerin bir düzenlemesidir. Örneğin hayvanat bahçesine bilet kuyruğu bir dizidir. Ve sadece bir tane olabilir! Örneğin mağazadaki sıraya bakarsanız, bu bir sıradır. Ve eğer bu kuyruktan bir kişi aniden ayrılırsa, o zaman bu farklı bir kuyruk, farklı bir düzendir.

"Sınır" kelimesi de kolayca yorumlanır - bu bir şeyin sonudur. Ancak matematikte dizilerin sınırları, sayı dizisinin yöneldiği sayı doğrusu üzerindeki değerlerdir. Neden çabalıyor ve bitmiyor? Çok basit, sayı doğrusunun sonu yok ve ışınlar gibi çoğu dizinin yalnızca bir başlangıcı var ve şöyle görünüyor:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Dolayısıyla bir dizinin tanımı doğal argümanın bir fonksiyonudur. Daha basit bir deyişle, bu belirli bir kümenin bir dizi üyesidir.

Sayı dizisi nasıl oluşturulur?

Basit bir sayı dizisi örneği şu şekilde görünebilir: 1, 2, 3, 4, …n…

Çoğu durumda, pratik amaçlar için, diziler sayılardan oluşturulur ve dizideki her bir sonraki üyenin, X olarak gösterelim, kendi adı vardır. Örneğin:

x1 dizinin ilk üyesidir;

x 2 dizinin ikinci terimidir;

x 3 üçüncü terimdir;

x n n'inci terimdir.

Pratik yöntemlerde sıra, belirli bir değişkenin bulunduğu genel bir formülle verilir. Örneğin:

X n =3n ise sayı dizisi şu şekilde görünecektir:

Genel olarak dizileri yazarken yalnızca X değil, herhangi bir Latin harfini kullanabileceğinizi hatırlamakta fayda var. Örneğin: y, z, k, vb.

Dizilerin parçası olarak aritmetik ilerleme

Dizilerin sınırlarını aramadan önce, herkesin ortaokulda karşılaştığı böyle bir sayı dizisi kavramının derinliklerine dalmanız tavsiye edilir. Aritmetik ilerleme, bitişik terimler arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir.

Problem: “a 1 = 15 olsun ve sayı serisinin ilerleme adımı d = 4 olsun. Bu serinin ilk 4 terimini oluşturun"

Çözüm: a 1 = 15 (koşula göre), ilerlemenin (sayı serisi) ilk terimidir.

ve 2 = 15+4=19 ilerlemenin ikinci terimidir.

ve 3 =19+4=23 üçüncü terimdir.

ve 4 =23+4=27 dördüncü terimdir.

Ancak bu yöntemi kullanarak örneğin 125'e kadar büyük değerlere ulaşmak zordur. Özellikle bu gibi durumlar için uygulamaya uygun bir formül türetildi: a n =a 1 +d(n-1). Bu durumda 125 =15+4(125-1)=511 olur.

Dizi türleri

Çoğu sekans sonsuzdur, hayatınızın geri kalanında hatırlamaya değer. İki ilginç sayı serisi türü vardır. Birincisi a n =(-1) n formülüyle verilir. Matematikçiler bu diziye sıklıkla flaşör adını verirler. Neden? Sayı serisini kontrol edelim.

1, 1, -1, 1, -1, 1 vb. Böyle bir örnekle dizilerdeki sayıların kolaylıkla tekrarlanabileceği açıkça ortaya çıkıyor.

Faktöriyel dizi. Tahmin etmesi kolaydır; diziyi tanımlayan formül bir faktöriyel içerir. Örneğin: a n = (n+1)!

Daha sonra sıra şöyle görünecek:

a 2 = 1x2x3 = 6;

ve 3 = 1x2x3x4 = 24 vb.

Aritmetik ilerlemeyle tanımlanan bir diziye, tüm terimleri için -1 eşitsizliği sağlanırsa sonsuz azalan dizi denir

ve 3 = - 1/8 vb.

Aynı sayıdan oluşan bir dizi bile var. Yani n=6 sonsuz sayıda altılı sayılardan oluşur.

Sıra Limitinin Belirlenmesi

Dizi limitleri matematikte uzun süredir mevcuttur. Elbette kendi yetkin tasarımlarını hak ediyorlar. Artık sıra limitlerinin tanımını öğrenmenin zamanı geldi. Öncelikle doğrusal bir fonksiyonun limitine ayrıntılı olarak bakalım:

Tüm limitler lim olarak kısaltılır.
Bir limitin gösterimi, lim kısaltmasından, yani belirli bir sayıya, sıfıra veya sonsuza yönelen herhangi bir değişkenin yanı sıra fonksiyonun kendisinden oluşur.

Bir dizinin limitinin tanımının şu şekilde formüle edilebileceğini anlamak kolaydır: bu, dizinin tüm üyelerinin sonsuz olarak yaklaştığı belirli bir sayıdır. Basit bir örnek: a x = 4x+1. O zaman dizinin kendisi şöyle görünecek.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Dolayısıyla bu dizi sonsuza kadar artacaktır yani x→∞ kadar limiti sonsuza eşittir ve şu şekilde yazılmalıdır:

Benzer bir dizi alırsak ancak x 1'e eğilimliyse şunu elde ederiz:

Ve sayı dizisi şu şekilde olacaktır: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, vb. Her seferinde bire daha yakın olan sayıyı değiştirmeniz gerekir (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Bu seriden fonksiyonun limitinin beş olduğu açıktır.

Bu bölümden sayısal dizinin limitinin ne olduğunu, basit problemleri çözmenin tanımını ve yöntemini hatırlamakta fayda var.

Dizilerin limiti için genel tanım

Sayı dizisinin limitini, tanımını ve örneklerini inceledikten sonra daha karmaşık bir konuya geçebilirsiniz. Kesinlikle dizilerin tüm sınırları, genellikle ilk yarıyılda analiz edilen tek bir formülle formüle edilebilir.

Peki bu harf, modül ve eşitsizlik işaretleri kümesi ne anlama geliyor?

∀ evrensel bir niceleyicidir ve “herkes için”, “her şey için” vb. ifadelerin yerine geçer.

∃ varoluşsal bir niceleyicidir, bu durumda doğal sayılar kümesine ait bir N değerinin olduğu anlamına gelir.

N'yi takip eden uzun dikey çubuk, verilen N kümesinin "öyle" olduğu anlamına gelir. Pratikte “öyle ki”, “öyle ki” vb. anlamına gelebilir.

Materyali güçlendirmek için formülü yüksek sesle okuyun.

Sınırın belirsizliği ve kesinliği

Yukarıda tartışılan dizilerin limitini bulma yöntemi, kullanımı basit olmasına rağmen pratikte o kadar rasyonel değildir. Bu fonksiyonun sınırını bulmaya çalışın:

Farklı “x” değerlerini değiştirirsek (her seferinde artar: 10, 100, 1000, vb.), o zaman payda ∞, paydada da ∞ elde ederiz. Bu oldukça garip bir kesirle sonuçlanır:

Peki bu gerçekten böyle mi? Bu durumda bir sayı dizisinin limitini hesaplamak oldukça kolay görünmektedir. Her şeyi olduğu gibi bırakmak mümkün olacaktır çünkü cevap hazırdır ve makul koşullar altında alınmıştır, ancak bu tür durumlar için özel olarak başka bir yol daha vardır.

Öncelikle kesrin payındaki en yüksek dereceyi bulalım - bu 1'dir, çünkü x, x 1 olarak temsil edilebilir.

Şimdi paydanın en yüksek derecesini bulalım. Ayrıca 1.

Hem payı hem de paydayı değişkene en yüksek dereceye kadar bölelim. Bu durumda kesri x 1'e bölün.

Daha sonra, değişken içeren her bir terimin hangi değere yöneldiğini bulacağız. Bu durumda kesirler dikkate alınır. X→∞ olduğundan her kesrin değeri sıfıra doğru yönelir. Çalışmanızı yazılı olarak teslim ederken aşağıdaki dipnotları vermelisiniz:

Bu, aşağıdaki ifadeyle sonuçlanır:

Elbette x içeren kesirler sıfır olmadı! Ancak değerleri o kadar küçüktür ki, hesaplamalarda dikkate alınmamasına tamamen izin verilir. Aslında bu durumda x hiçbir zaman 0'a eşit olmayacaktır çünkü sıfıra bölemezsiniz.

Mahalle nedir?

Profesörün, açıkça eşit derecede karmaşık bir formülle verilen karmaşık bir diziyi elinde bulundurduğunu varsayalım. Profesör cevabı buldu ama doğru mu? Sonuçta bütün insanlar hata yapar.

Auguste Cauchy bir zamanlar dizilerin sınırlarını kanıtlamanın mükemmel bir yolunu buldu. Onun yöntemine mahalle manipülasyonu adı verildi.

Diyelim ki belirli bir a noktası var ve bu noktanın sayı doğrusu üzerinde her iki yöndeki komşuluğu ε'ya (“epsilon”) eşit. Son değişken mesafe olduğundan değeri her zaman pozitiftir.

Şimdi bir x n dizisi tanımlayalım ve dizinin onuncu teriminin (x 10) a'nın yakınında olduğunu varsayalım. Bu gerçeği matematik dilinde nasıl yazabiliriz?

Diyelim ki x 10 a noktasının sağında, o zaman x 10 -a mesafesi<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Şimdi yukarıda tartışılan formülü pratikte açıklamanın zamanı geldi. Herhangi bir limiti için ε>0 eşitsizliği geçerliyse ve tüm komşuluğun kendi doğal sayısı N varsa, belirli bir sayıyı bir dizinin bitiş noktası olarak adlandırmak doğru olur, öyle ki dizinin daha yüksek sayılara sahip tüm üyeleri |x n - a| dizisinin içinde olmalıdır< ε.

Böyle bir bilgiyle dizi sınırlarını çözmek ve hazır bir cevabı kanıtlamak veya çürütmek kolaydır.

Teoremler

Dizilerin limitlerine ilişkin teoremler teorinin önemli bir bileşenidir ve bunlar olmadan pratik yapmak imkansızdır. Çözme veya kanıtlama sürecini büyük ölçüde kolaylaştırabilecek yalnızca dört ana teorem vardır:

Bir dizinin limitinin benzersizliği. Herhangi bir dizinin yalnızca bir limiti olabilir veya hiç limiti olmayabilir. Yalnızca bir ucu olabilecek bir kuyrukla aynı örnek.
Bir sayı dizisinin bir sınırı varsa, bu sayıların dizisi de sınırlıdır.
Dizilerin toplamının (fark, çarpım) limiti, limitlerinin toplamına (fark, çarpım) eşittir.
İki diziyi bölme bölümünün limiti, ancak ve ancak paydanın kaybolmaması durumunda limitlerin bölümüne eşittir.

Dizilerin kanıtı

Bazen bir sayısal dizinin belirli bir limitini kanıtlamak için ters bir problemi çözmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.

Formülde verilen dizinin limitinin sıfır olduğunu kanıtlayın.

Yukarıda tartışılan kurala göre, herhangi bir dizi için |x n - a| eşitsizliği<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Belirli bir sayının varlığını göstermek ve dizinin bir limitinin varlığını kanıtlamak için n'yi "epsilon" aracılığıyla ifade edelim.

Bu noktada “epsilon” ve “en”in pozitif sayılar olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını unutmamak gerekir. Artık lisede eşitsizliklerle ilgili kazanılan bilgileri kullanarak daha fazla dönüşüme devam etmek mümkün.

n > -3 + 1/ε olduğu nasıl ortaya çıkıyor? Doğal sayılardan bahsettiğimizi hatırlamakta fayda var, köşeli parantez içine alınarak sonuç yuvarlanabilir. Böylece a = 0 noktasının “epsilon” komşuluğunun herhangi bir değeri için başlangıç eşitsizliğini sağlayacak bir değerin bulunduğu kanıtlanmıştır. Buradan a sayısının belirli bir dizinin limiti olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Q.E.D.

Bu kullanışlı yöntem, ilk bakışta ne kadar karmaşık olursa olsun, sayısal bir dizinin limitini kanıtlamak için kullanılabilir. Önemli olan görevi gördüğünüzde paniğe kapılmamak.

Ya da belki orada değildir?

Pratikte bir tutarlılık sınırının varlığı gerekli değildir. Gerçekten sonu olmayan sayı dizilerine kolaylıkla rastlayabilirsiniz. Örneğin aynı “yanıp sönen ışık” x n = (-1) n. Döngüsel olarak tekrarlanan yalnızca iki rakamdan oluşan bir dizinin limitinin olamayacağı açıktır.

Aynı hikaye, tek sayıdan oluşan, kesirli olan, hesaplamalar sırasında herhangi bir sıranın belirsizliği olan (0/0, ∞/∞, ∞/0 vb.) dizilerle tekrarlanır. Ancak yanlış hesaplamaların da meydana geldiğini unutmamak gerekir. Bazen kendi çözümünüzü tekrar kontrol etmek dizi sınırını bulmanıza yardımcı olabilir.

Monotonik dizi

Yukarıda birkaç dizi örneği ve bunları çözme yöntemleri tartışılmıştı; şimdi daha spesifik bir durumu ele almaya çalışalım ve buna "monotonik dizi" adını verelim.

Tanım: Herhangi bir dizi, eğer katı xn eşitsizliği geçerliyse, haklı olarak monoton artan olarak adlandırılabilir.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Bu iki koşulun yanı sıra benzer katı olmayan eşitsizlikler de vardır. Buna göre x n ≤ x n +1 (azalan olmayan dizi) ve x n ≥ x n +1 (artan olmayan dizi).

Ancak bunu örneklerle anlamak daha kolaydır.

x n = 2+n formülüyle verilen dizi aşağıdaki sayı dizisini oluşturur: 4, 5, 6 vb. Bu monoton olarak artan bir dizidir.

Ve x n =1/n alırsak şu diziyi elde ederiz: 1/3, ¼, 1/5, vb. Bu monoton olarak azalan bir dizidir.

Yakınsak ve sınırlı bir dizinin limiti

Sınırlı dizi, limiti olan bir dizidir. Yakınsak bir dizi, sonsuz küçük bir limite sahip bir sayı dizisidir.

Dolayısıyla sınırlı bir dizinin limiti herhangi bir gerçek veya karmaşık sayıdır. Yalnızca bir sınırın olabileceğini unutmayın.

Yakınsak bir dizinin limiti sonsuz küçük (gerçek veya karmaşık) bir miktardır. Bir dizi diyagramı çizerseniz, belirli bir noktada birleşiyor gibi görünecek, belirli bir değere dönüşme eğiliminde olacaktır. Bu nedenle adı - yakınsak dizi.

Monotonik bir dizinin limiti

Böyle bir dizinin bir sınırı olabilir veya olmayabilir. Öncelikle limitin ne zaman var olduğunu anlamakta fayda var; limitin yokluğunu ispatlamaya buradan başlayabilirsiniz.

Monotonik diziler arasında yakınsak ve ıraksak olanlar ayırt edilir. Yakınsak, x kümesi tarafından oluşturulan ve bu kümede gerçek veya karmaşık bir limiti olan bir dizidir. Iraksak, kümesinde sınırı olmayan (ne gerçek ne de karmaşık) bir dizidir.

Ayrıca, geometrik gösterimde üst ve alt limitleri yakınsa, dizi yakınsar.

Yakınsak bir dizinin limiti birçok durumda sıfır olabilir, çünkü herhangi bir sonsuz küçük dizinin bilinen bir limiti (sıfır) vardır.

Hangi yakınsak diziyi alırsanız alın, bunların hepsi sınırlıdır, ancak tüm sınırlı diziler yakınsak değildir.

İki yakınsak dizinin toplamı, farkı ve çarpımı da bir yakınsak dizidir. Ancak bölüm, eğer tanımlanmışsa yakınsak da olabilir!

Sınırlı çeşitli eylemler

Sıra sınırları (çoğu durumda) rakamlar ve sayılar kadar önemlidir: 1, 2, 15, 24, 362 vb. Bazı işlemlerin sınırlarla gerçekleştirilebildiği ortaya çıktı.

İlk olarak, rakamlar ve sayılar gibi herhangi bir dizinin sınırları da toplanıp çıkarılabilir. Dizilerin limitlerine ilişkin üçüncü teoreme dayanarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir: Dizilerin toplamının limiti, limitlerinin toplamına eşittir.

İkinci olarak, dizilerin limitlerine ilişkin dördüncü teoreme göre aşağıdaki eşitlik doğrudur: n'inci sayıdaki dizilerin çarpımının limiti, bunların limitlerinin çarpımına eşittir. Aynı durum bölme için de geçerlidir: Limitin sıfır olmaması koşuluyla, iki dizinin bölümünün limiti, limitlerinin bölümüne eşittir. Sonuçta, eğer dizilerin limiti sıfıra eşitse, sonuç sıfıra bölünme olacaktır ki bu imkansızdır.

Sıra miktarlarının özellikleri

Sayısal dizinin limiti zaten ayrıntılı olarak tartışılmış gibi görünüyor, ancak "sonsuz derecede küçük" ve "sonsuz derecede büyük" sayılar gibi ifadelerden birden fazla kez bahsediliyor. Açıkçası, eğer x→∞ olmak üzere 1/x dizisi varsa, o zaman böyle bir kesir sonsuz küçüktür ve eğer aynı dizi ancak limit sıfıra doğru yöneliyorsa (x→0), o zaman kesir sonsuz büyük bir değer haline gelir. Ve bu miktarların kendine has özellikleri vardır. Herhangi bir küçük veya büyük değere sahip bir dizinin limitinin özellikleri aşağıdaki gibidir:

Herhangi bir sayıdaki küçük niceliklerin toplamı da küçük bir nicelik olacaktır.
Herhangi bir sayıdaki büyük niceliklerin toplamı sonsuz büyük bir nicelik olacaktır.
Keyfi olarak küçük miktarların ürünü sonsuz küçüktür.
Herhangi bir sayıdaki büyük sayıların çarpımı sonsuz büyüktür.
Eğer orijinal dizi sonsuz büyük bir sayıya yöneliyorsa, tersi de sonsuz küçük olacak ve sıfıra doğru yönelecektir.

Aslında, eğer basit bir algoritma biliyorsanız, bir dizinin limitini hesaplamak o kadar da zor bir iş değildir. Ancak tutarlılığın sınırları azami dikkat ve azim gerektiren bir konudur. Elbette bu tür ifadelerin çözümünün özünü basitçe kavramak yeterlidir. Küçükten başlayarak zamanla büyük boyutlara ulaşabilirsiniz.

Limitler tüm matematik öğrencilerine pek çok sorun yaşatır. Bir limiti çözmek için bazen çok sayıda hile kullanmanız ve çeşitli çözüm yöntemleri arasından tam olarak belirli bir örnek için uygun olanı seçmeniz gerekir.

Bu yazıda yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını anlamanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu yanıtlamaya çalışacağız: Yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu nedenle aynı zamanda açıklamalarla birlikte limit çözme konusunda birkaç ayrıntılı örnek vereceğiz.

Matematikte limit kavramı

İlk soru şu: Bu sınır nedir ve neyin sınırı? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey bu. Ama önce limitin en genel tanımı:

Diyelim ki bazı değişken değerler var. Değişim sürecindeki bu değer sınırsız olarak belirli bir sayıya yaklaşıyorsa A , O A – bu değerin sınırı.

Belirli bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için f(x)=y böyle bir sayıya limit denir A , işlevin ne zaman yöneldiği X belli bir noktaya doğru yönelen A . Nokta A fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir.

Kulağa hantal gelebilir ama çok basit bir şekilde yazılmıştır:

Lim- İngilizce'den sınır- sınır.

Limitin belirlenmesine ilişkin geometrik bir açıklama da var ancak konunun teorik yönünden ziyade pratik tarafıyla ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X bir değere eğilimlidir; bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz derecede yaklaştığı anlamına gelir.

Spesifik bir örnek verelim. Görev sınırı bulmaktır.

Bu örneği çözmek için değeri yerine koyarız x=3 bir fonksiyona dönüşür. Şunu elde ederiz:

Bu arada, eğer ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun.

Örneklerde X herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuz olabilir. İşte bir örnek: X sonsuza doğru yönelir:

Sezgisel olarak paydadaki sayı ne kadar büyük olursa fonksiyonun alacağı değer o kadar küçük olur. Yani sınırsız büyümeyle X Anlam 1/x azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır.

Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, çaba göstereceğiniz değeri fonksiyona koymanız yeterlidir. X . Ancak bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar açık değildir. Sınırlar dahilinde türde belirsizlikler var 0/0 veya sonsuzluk/sonsuzluk . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hilelere başvur!

İçerideki belirsizlikler

Sonsuzluk/sonsuzluk formunun belirsizliği

Bir sınır olsun:

Fonksiyonun yerine sonsuzu koymaya çalışırsak hem payda hem de paydada sonsuzluk elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmenin belli bir sanat unsurunun olduğunu söylemekte fayda var: işlevi belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde nasıl dönüştürebileceğinize dikkat etmeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda pay ve paydayı şuna böleriz: X son sınıfta. Ne olacak?

Yukarıda tartışılan örnekten, paydasında x bulunan terimlerin sıfıra yöneleceğini biliyoruz. O halde limitin çözümü:

Tür belirsizliklerini çözmek için sonsuzluk/sonsuzluk pay ve paydayı şuna böl: X en yüksek derecede.

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Başka bir belirsizlik türü: 0/0

Her zaman olduğu gibi, değerleri fonksiyona koymak x=-1 verir 0 pay ve paydada. Biraz daha yakından baktığınızda payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım:

Azaltalım ve elde edelim:

Dolayısıyla, tür belirsizliğiyle karşı karşıya kalırsanız 0/0 – pay ve paydayı çarpanlarına ayırın.

Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için bazı fonksiyonların limitlerini içeren bir tablo sunuyoruz:

L'Hopital'in kuralı içeride

Her iki belirsizlik türünü de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir?

Limitte belirsizlik varsa belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alın.

L'Hopital kuralı şuna benzer:

Önemli nokta : Pay ve payda yerine pay ve paydanın türevlerinin bulunması gereken limit.

Ve şimdi - gerçek bir örnek:

Tipik bir belirsizlik var 0/0 . Pay ve paydanın türevlerini alalım:

Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde çözülür.

Bu bilgiyi pratikte faydalı bir şekilde uygulayabileceğinizi ve "yüksek matematikte limitlerin nasıl çözüleceği" sorusunun cevabını bulabileceğinizi umuyoruz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ve bu iş için kesinlikle zamanınız yoksa hızlı ve detaylı çözüm için bizimle iletişime geçin.

Bugün sınıfta bakacağız katı sıralama Ve bir fonksiyonun limitinin kesin tanımı ve ayrıca teorik nitelikteki ilgili sorunları çözmeyi öğrenirler. Makale öncelikle matematiksel analiz teorisini incelemeye başlayan ve yüksek matematiğin bu bölümünü anlamada zorluklarla karşılaşan doğa bilimleri ve mühendislik uzmanlıklarının birinci sınıf öğrencilerine yöneliktir. Ayrıca materyale lise öğrencileri için oldukça erişilebilir.

Sitenin var olduğu yıllar boyunca, yaklaşık olarak şu içeriğe sahip bir düzine mektup aldım: “Matematiksel analizi iyi anlamıyorum, ne yapmalıyım?”, “Matematiği hiç anlamıyorum, ben Eğitimimi bırakmayı düşünüyorum” vb. Ve aslında, ilk oturumdan sonra öğrenci grubunu sık sık zayıflatan da matandır. Durum neden böyle? Konu hayal edilemeyecek kadar karmaşık olduğu için mi? Hiç de bile! Matematiksel analiz teorisi kendine özgü olduğu kadar zor değil. Ve onu olduğu gibi kabul edip sevmelisin =)

En zor durumla başlayalım. İlk ve en önemli şey, çalışmalarınızdan vazgeçmek zorunda olmamanızdır. Doğru anlayın, bırakın, her zaman zamanında yapılacaktır;-) Elbette, bir veya iki yıl içinde seçtiğiniz uzmanlıktan dolayı kendinizi hasta hissederseniz, o zaman evet, bunu düşünmelisiniz (ve kızmayın!) faaliyet değişikliği hakkında. Ama şimdilik devam etmeye değer. Ve lütfen "Hiçbir şey anlamıyorum" ifadesini unutun - HİÇBİR ŞEKİLDE hiçbir şey anlamıyorsunuz.

Teori kötüyse ne yapmalı? Bu arada bu sadece matematiksel analiz için geçerli değil. Teori kötüyse, önce CİDDİ şekilde uygulamaya odaklanmanız gerekir. Bu durumda iki stratejik görev aynı anda çözülür:

– Öncelikle teorik bilginin önemli bir kısmı uygulama yoluyla ortaya çıktı. İşte bu yüzden birçok insan teoriyi anlıyor... – bu doğru! Hayır, hayır, bunu düşünmüyorsun =)

– Ve ikinci olarak, pratik beceriler büyük olasılıkla sizi sınava “çekecektir”, hatta... ama bu kadar heyecanlanmayalım! Her şey gerçektir ve her şey oldukça kısa sürede “yükseltilebilir”. Matematiksel analiz, yüksek matematiğin en sevdiğim bölümüdür ve bu nedenle size yardım etmeden duramadım:

1. dönemin başında genellikle sıra limitleri ve fonksiyon limitleri işlenir. Bunların ne olduğunu anlamıyor musunuz ve nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz? Makaleyle başlayın Fonksiyon sınırları Kavramın kendisinin “parmaklarda” incelendiği ve en basit örneklerin analiz edildiği. Daha sonra konuyla ilgili bir ders de dahil olmak üzere diğer dersler üzerinde çalışın. diziler içinde Aslında bunun üzerine zaten katı bir tanım formüle ettim.

Eşitsizlik işaretleri ve modülün yanı sıra hangi sembolleri biliyorsunuz?

– uzun bir dikey çubuk şu şekilde okunur: “Öyle”, “Öyle”, “Öyle” ya da “Öyle”, bizim durumumuzda açıkçası bir sayıdan bahsediyoruz - dolayısıyla "öyle ki";

– dan büyük tüm “en”ler için;

– modül işareti mesafe anlamına gelir yani bu giriş bize değerler arasındaki mesafenin epsilon'dan daha az olduğunu söylüyor.

Peki, ölümcül derecede zor mu? =)

Uygulamada ustalaştıktan sonra sizi bir sonraki paragrafta görmeyi sabırsızlıkla bekliyorum:

Ve aslında biraz düşünelim - dizinin katı bir tanımı nasıl formüle edilir? ...Dünyada akla gelen ilk şey pratik ders: "Bir dizinin limiti, dizi üyelerinin sonsuza kadar yaklaştığı sayıdır."

Tamam yazalım alt dizi :

bunu anlamak zor değil alt dizi -1 sayısına ve çift sayılı terimlere sonsuz yaklaşma – “bir”e.

Ya da belki iki sınır vardır? Peki o zaman neden herhangi bir dizide bunlardan on ya da yirmi tane olmasın? Bu şekilde çok uzağa gidebilirsin. Bu bağlamda şunu varsaymak mantıklıdır. eğer bir dizinin bir limiti varsa o zaman benzersizdir.

Not : Dizinin sınırı yoktur, ancak ondan her biri kendi sınırına sahip olan iki alt dizi ayırt edilebilir (yukarıya bakın).

Dolayısıyla yukarıdaki tanımın savunulamaz olduğu ortaya çıkıyor. Evet, aşağıdaki gibi durumlarda işe yarar (pratik örneklerin basitleştirilmiş açıklamalarında tam olarak doğru kullanmadım) ama şimdi kesin bir tanım bulmamız gerekiyor.

İkinci girişim: "Bir dizinin limiti, dizinin TÜM üyelerinin yaklaştığı sayıdır, belki de onlarınki hariç. son miktarlarda." Bu gerçeğe daha yakın ama yine de tam olarak doğru değil. Yani örneğin dizi Terimlerin yarısı sıfıra hiç yaklaşmıyor - sadece ona eşitler =) Bu arada, "yanıp sönen ışık" genellikle iki sabit değer alır.

Formülasyonu açıklığa kavuşturmak zor değil ama sonra başka bir soru ortaya çıkıyor: Tanım matematiksel sembollerle nasıl yazılır? Durum çözülene kadar bilim dünyası bu sorunla uzun süre mücadele etti. ünlü ustaözünde klasik matematiksel analizi tüm titizliğiyle resmileştirdi. Cauchy ameliyatı önerdi çevre , teoriyi önemli ölçüde geliştirdi.

Bir noktayı düşünün ve onun keyfi-çevre:

"Epsilon"un değeri her zaman pozitiftir ve ayrıca bunu kendimiz seçme hakkımız var. Bu mahallede çok sayıda üyenin olduğunu varsayalım. (hepsi şart değil) bir dizi. Mesela onuncu dönemin mahallede olduğu gerçeği nasıl yazılır? Sağ tarafta olsun. O zaman ve noktaları arasındaki mesafe “epsilon”dan az olmalıdır: . Ancak “x onda biri” “a” noktasının solunda yer alıyorsa fark negatif olacağından buna işaret eklenmesi gerekir. modül: .

Tanım: Bir sayıya bir dizinin limiti denir, eğer herhangi biri içinçevresi (önceden seçilmiş)öyle bir doğal sayı var ki TÜM dizinin daha yüksek sayılara sahip üyeleri mahallenin içinde olacaktır:

Veya kısaca: eğer

Yani “epsilon” değeri ne kadar küçük alırsak alalım, er ya da geç dizinin “sonsuz kuyruğu” TAMAMEN bu mahallede olacaktır.

Örneğin dizinin "sonsuz kuyruğu" noktanın herhangi bir keyfi küçük mahallesine TAMAMEN girecektir. Yani bu değer tanım gereği dizinin limitidir. Limiti sıfıra eşit olan bir diziye ne ad verildiğini hatırlatmama izin verin. sonsuz küçük.

Unutulmamalıdır ki bir dizi için artık “sonsuz kuyruk” demek mümkün değildir. içeri girecek“- tek sayılı üyeler aslında sıfıra eşittir ve “hiçbir yere gitmez” =) Bu nedenle tanımda “görünecek” fiili kullanılmıştır. Ve tabii ki bunun gibi bir dizinin üyeleri de "hiçbir yere gitmiyor." Bu arada, sayının sınırı olup olmadığını kontrol edin.

Şimdi dizinin limitinin olmadığını göstereceğiz. Örneğin, noktanın bir mahallesini düşünün. Daha sonra TÜM terimlerin belirli bir mahallede sona ereceği böyle bir sayının olmadığı kesinlikle açıktır - tek terimler her zaman "eksi bire" "dışarı atlayacaktır". Benzer sebepten dolayı bu noktada herhangi bir sınır bulunmamaktadır.

Malzemeyi pratikle pekiştirelim:

Örnek 1

Dizinin limitinin sıfır olduğunu kanıtlayın. Bu sayıyı belirledikten sonra dizinin tüm üyelerinin noktanın keyfi olarak küçük herhangi bir mahallesinde olmasının garanti edileceğini belirtin.

Not : Birçok dizi için gerekli doğal sayı değere bağlıdır; dolayısıyla gösterime bağlıdır.

Çözüm: dikkate almak keyfi hiç var mı sayı – öyle ki daha yüksek sayılara sahip TÜM üyeler bu mahallede olacak:

Gerekli sayının varlığını göstermek için bunu ile ifade ederiz.

Herhangi bir “en” değeri için modül işareti kaldırılabilir:

Sınıfta tekrarladığım eşitsizliklerle “okul” eylemlerini kullanıyoruz Doğrusal eşitsizlikler Ve İşlev Etki Alanı. Bu durumda önemli bir durum “epsilon” ve “en”in pozitif olmasıdır:

Soldaki doğal sayılardan bahsettiğimiz ve sağ taraf da genellikle kesirli olduğundan yuvarlatılması gerekiyor:

Not : Bazen güvenli tarafta olmak için sağa bir birim eklenir, ancak gerçekte bu aşırıdır. Nispeten konuşursak, eğer sonucu aşağı yuvarlayarak zayıflatırsak, en yakın uygun sayı ("üç") yine de orijinal eşitsizliği karşılayacaktır.

Şimdi eşitsizliğe bakıyoruz ve başlangıçta ne düşündüğümüzü hatırlıyoruz keyfi-mahalle, yani "epsilon" şuna eşit olabilir: herhangi biri pozitif bir sayı.

Çözüm: bir noktanın keyfi olarak küçük herhangi bir komşuluğu için değer bulundu . Dolayısıyla sayı, tanımı gereği bir dizinin limitidir. Q.E.D.

Bu arada, elde edilen sonuçtan Doğal bir model açıkça görülebilmektedir: Mahalle ne kadar küçükse, sayı da o kadar büyüktür ve bundan sonra dizinin TÜM üyeleri bu mahallede olacaktır. Ancak “epsilon” ne kadar küçük olursa olsun, büyük de olsa içeride ve dışarıda her zaman bir “sonsuz kuyruk” olacaktır. sonüye sayısı.

İzlenimleriniz nasıl? =) Biraz tuhaf olduğuna katılıyorum. Ama kesinlikle! Lütfen her şeyi tekrar okuyun ve düşünün.

Benzer bir örneğe bakalım ve diğer teknik tekniklerle tanışalım:

Örnek 2

Çözüm: bir dizinin tanımı gereği şunu kanıtlamak gerekir: (yüksek sesle söyleyin!!!).

düşünelim keyfi-nokta ve kontrolün mahallesi, var mı doğal sayı - öyle ki daha büyük sayılar için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Böyle bir şeyin varlığını göstermek için “en”i “epsilon” aracılığıyla ifade etmek gerekir. Modül işareti altındaki ifadeyi basitleştiriyoruz:

Modül eksi işaretini yok eder:

Payda herhangi bir "en" için pozitiftir, bu nedenle çubuklar çıkarılabilir:

Karıştır:

Şimdi karekökü çıkarmamız gerekiyor, ancak sorun şu ki bazı "epsilonlar" için sağ taraf negatif olacaktır. Bu sıkıntıyı önlemek için hadi güçlendirelim modüle göre eşitsizlik:

Bu neden yapılabilir? Göreceli olarak konuşursak, öyle görünüyorsa, o zaman koşul da yerine getirilecektir. Modül şunları yapabilir: sadece arttır aranan numara ve bu bize de yakışacak! Kabaca söylemek gerekirse, yüzüncü uygunsa iki yüzüncü de uygundur! Tanıma göre göstermeniz gerekir sayının varlığının gerçeği(en azından bazıları), bundan sonra dizinin tüm üyeleri -mahallede olacaktır. Bu arada sağ tarafın son yuvarlamasından da bu yüzden korkmuyoruz.

Kökün çıkarılması:

Ve sonucu yuvarlayın:

Çözüm: Çünkü "epsilon" değeri keyfi olarak seçildi, ardından değerin bulunduğu noktanın keyfi olarak küçük herhangi bir komşuluğu için öyle ki tüm büyük sayılar için eşitsizlik geçerli . Böylece, tanımı gereği. Q.E.D.

tavsiye ederim özellikle Eşitsizliklerin güçlendirilmesini ve zayıflatılmasını anlamak, matematiksel analizde tipik ve çok yaygın bir tekniktir. İzlemeniz gereken tek şey şu veya bu eylemin doğruluğudur. Yani örneğin eşitsizlik hiçbir durumda mümkün değil gevşetmek, diyelim ki bir çıkarıyoruz:

Yine şartlı olarak: eğer sayı tam olarak uyuyorsa, önceki sayı artık uymayabilir.

Bağımsız bir çözüm için aşağıdaki örnek:

Örnek 3

Bir dizinin tanımını kullanarak şunu kanıtlayın:

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Eğer sıra sonsuz büyüklükte, o zaman limitin tanımı da benzer şekilde formüle edilir: bir noktaya, eğer herhangi biri varsa, dizinin limiti denir, istediğin kadar büyük Sayıda, daha büyük tüm sayılar için eşitsizliğin karşılanacağı bir sayı vardır. Numara aranır “artı sonsuzluk” noktasının civarı:

Başka bir deyişle, aldığımız değer ne kadar büyük olursa olsun, dizinin "sonsuz kuyruğu" zorunlu olarak noktanın -komşusuna gidecek ve solda yalnızca sonlu sayıda terim kalacaktır.

Standart örnek:

Ve kısaltılmış gösterim: , if

Bu durumda tanımı kendiniz yazın. Doğru versiyon dersin sonundadır.

Pratik örneklere kafa yorduktan ve bir dizinin limitinin tanımını çözdükten sonra, matematik literatürüne ve/veya ders defterinize dönebilirsiniz. Bohan'ın 1. cildini indirmenizi tavsiye ederim (daha basit - yazışma öğrencileri için) ve Fichtenholtz (daha detaylı ve ayrıntılı olarak). Diğer yazarların yanı sıra, kursu teknik üniversitelere yönelik olan Piskunov'u öneriyorum.

Dizinin limiti, kanıtları ve sonuçlarıyla ilgili teoremleri dikkatli bir şekilde incelemeye çalışın. İlk başta teori "bulanık" görünebilir, ancak bu normaldir - sadece buna alışmanız gerekir. Hatta çoğu kişi bunun tadına varacak!

Bir fonksiyonun limitinin kesin tanımı

Aynı şeyle başlayalım - bu kavramı nasıl formüle edebiliriz? Bir fonksiyonun limitinin sözel tanımı çok daha basit bir şekilde formüle edilir: “bir sayı, eğer “x” eğilimindeyse, bir fonksiyonun limitidir. (hem sol hem sağ) karşılık gelen fonksiyon değerleri şu eğilimdedir » (bkz. çizim). Her şey normal gibi görünüyor ama kelimeler kelimedir, anlam anlamdır, simge simgedir ve katı matematiksel gösterim yeterli değildir. Ve ikinci paragrafta bu sorunu çözmeye yönelik iki yaklaşımla tanışacağız.

Noktanın olası istisnası dışında, fonksiyonun belirli bir aralıkta tanımlanmasına izin verin. Eğitim literatüründe genel olarak buradaki işlevin kabul edildiği kabul edilmektedir. Olumsuz tanımlanmış:

Bu seçim vurguluyor bir fonksiyonun limitinin özü: "X" sonsuz yakın yaklaşımlar ve karşılık gelen fonksiyon değerleri sonsuz yakınİle . Başka bir deyişle, limit kavramı noktalara “kesin yaklaşmayı” ifade etmez, ancak sonsuz yakın yaklaşım fonksiyonun noktada tanımlı olup olmaması önemli değildir.

Bir fonksiyonun limitinin ilk tanımının iki dizi kullanılarak formüle edilmesi şaşırtıcı değildir. Birincisi, kavramlar ilişkilidir ve ikinci olarak, fonksiyonların limitleri genellikle dizi limitlerinden sonra incelenir.

Sırayı göz önünde bulundurun puan (çizimde değil), aralığa ait ve farklı, Hangi yakınsarİle . Daha sonra karşılık gelen fonksiyon değerleri, üyeleri ordinat ekseninde bulunan sayısal bir dizi de oluşturur.

Heine'ye göre bir fonksiyonun limiti herhangi biri için nokta dizileri (ait ve ondan farklı) noktaya yakınsayan, karşılık gelen fonksiyon değerleri dizisi de yakınsar.

Eduard Heine Alman matematikçidir. ...Ve böyle düşünmeye gerek yok, Avrupa'da tek bir eşcinsel var - Gay-Lussac =)

Limitin ikinci tanımı oluşturuldu... evet evet haklısınız. Ama önce tasarımını anlayalım. Noktanın keyfi bir komşuluğunu düşünün (“siyah” mahalle). Önceki paragrafa göre, giriş şu anlama gelir: biraz değer fonksiyon “epsilon” mahallesinin içinde yer alıyor.

Şimdi verilen -mahalleye karşılık gelen -mahalleyi buluyoruz (zihinsel olarak soldan sağa ve sonra yukarıdan aşağıya siyah noktalı çizgiler çizin). Değerin seçildiğini unutmayın bu durumda daha küçük bölümün uzunluğu boyunca - daha kısa olan sol bölümün uzunluğu boyunca. Dahası, aşağıdaki tanımdan dolayı bir noktanın “ahududu” komşuluğu bile azaltılabilir. varoluş gerçeği önemlidir bu mahalle. Ve benzer şekilde notasyon, bazı değerlerin "delta" komşuluğu içinde olduğu anlamına gelir.

Cauchy fonksiyon limiti: Bir sayıya, bir fonksiyonun bir noktadaki limiti denir. herhangi biri için önceden seçilmiş komşu (istediğiniz kadar küçük), var-noktanın mahallesi, ÇOK, şu: YALNIZCA değerler OLARAK (ait) bu alana dahil: (kırmızı oklar)– BU YÜZDEN HEMEN karşılık gelen fonksiyon değerlerinin -mahalleye girmesi garanti edilir: (mavi oklar).

Açıklık sağlamak adına biraz doğaçlama yaptığım konusunda sizi uyarmalıyım, bu yüzden aşırı kullanmayın =)

Kısa giriş: , eğer

Tanımın özü nedir? Mecazi anlamda konuşursak, -komşuluğu sonsuz derecede azaltarak, fonksiyon değerlerine sınırlarına kadar "eşlik ediyoruz" ve onlara başka bir yere yaklaşma alternatifi bırakmıyoruz. Oldukça sıradışı ama yine katı! Fikri tam olarak anlamak için ifadeleri tekrar okuyun.

! Dikkat: yalnızca formüle etmeniz gerekiyorsa Heine'nin tanımı ya da sadece Cauchy tanımı lütfen unutma önemliön yorumlar: "Belirli bir aralıkta tanımlanmış bir fonksiyonu, olası bir nokta hariç, düşünün". Bunu en başta bir kez söyledim ve her seferinde tekrarlamadım.

İlgili matematiksel analiz teoremine göre, Heine ve Cauchy tanımları eşdeğerdir, ancak ikinci seçenek en ünlüsüdür. (Elbette!), buna "dil sınırı" da denir:

Örnek 4

Limit tanımını kullanarak şunu kanıtlayın: