Aralarında bağlantı kuran iki teoremi ispatlayalım. Paralellik arasındaki bağlantıyı kuran teoremler Doğruların paralelliği ile ve arasındaki bağlantıyı kuran teoremler

Ders hedefleri:

1) “Bir çizginin ve bir düzlemin dikliği” konusundaki teorik soruları pekiştirmek;

2) bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini içeren temel problem türlerini çözme becerilerini geliştirmek.

Ders ilerlemesi

I. Organizasyon anı

Konuyu ve ders planını sağlayın.

II. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi

1) Teorik araştırma.

Bir düzleme dik bir çizgiye ilişkin teoremi formüle edin ve kanıtlayın (öğrencilerden biri tahtada hazırlanır, ardından cevabını tüm sınıfla dinler).

2) Bireysel yazılı ödevler:

İki paralel doğrunun üçüncüye (1 öğrenci) dikliği ile ilgili teoremi kanıtlayın;

Doğruların paralelliği ile düzleme dikliği arasındaki bağlantıyı kuran teoremi kanıtlayın (1 öğrenci);

Doğruların paralelliği ile düzleme dikliği arasındaki bağlantıyı kuran teoremin tersini kanıtlayın (1 öğrenci);

Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretini kanıtlayın (1 öğrenci).

3) Sorunların hazır çizimler kullanılarak bağımsız çözümü, ardından gerekiyorsa doğrulama ve tartışma.

Seviye I: No. 1, 2, 5.

Seviye II: No. 3, 4, 6.

M noktası ABC düzleminin dışında yer almaktadır.

1. Şek. 1. Kanıtlayın: AC düz çizgisi AMB düzlemine diktir.

2. Şek. 2. BMDC - dikdörtgen. Kanıtlayın: CD doğrusu ABC düzlemine diktir.

3. Şek. 3. ABCD - dikdörtgen. Kanıtlayın: AD ⊥ AM.

1-6 arası sorunların çözümü.

4. Şek. 4. Kanıtlayın: BC ⊥ DE.

5. Şek. 5. ABCD bir paralelkenardır. Kanıtlayın: MO düz çizgisi ABC düzlemine diktir.

6. Şek. 6. ABCD - eşkenar dörtgen. Kanıtlayın: BD doğrusu AMC düzlemine diktir.

Kanıt:

AC ⊥ AB (koşullara göre), AC ⊥ AM (koşullara göre),

Kanıt:

BMDC bir dikdörtgen olduğundan ∠MBC = 90° olur, bu da şu anlama gelir:

MB ⊥ (ABC) (doğrunun ve düzlemin dikliğine dayalı).

MB || DC (dikdörtgenin kenarlarının özelliklerine göre). Sonuç olarak, DC ⊥ (ABC) (doğruların paralelliği ile düzleme dikliği arasındaki bağlantıya ilişkin teoreme göre).

Kanıt:

1) ABCD bir dikdörtgen olduğundan ∠ABC = 90°, yani BC ⊥ AB, AB ⊂ (ABM)

BC ⊥ (AMB) (düz bir çizgi ile bir düzlemin dikliğine dayalı).

2) M.Ö. || AD (dikdörtgenin kenarlarının özelliklerine göre). Sonuç olarak, AD ⊥ (AMB) (doğruların paralelliği ile düzleme dikliği arasındaki bağlantıya ilişkin teoreme göre).

3) AD ⊥ AM (düzleme dik bir çizginin tanımı gereği).

4 numara (Şek. 7)

İspat: ΔСМВ ikizkenar (koşullara göre) ve MD yükseklik olduğundan, MD ortancadır (ikizkenar üçgenin yüksekliğinin özelliğine göre).

Bu, CD = BD (medyan tanımı gereği) anlamına gelir.

1) ΔABC bir ikizkenar üçgen (koşul gereği) ve AD bir medyan (tanım gereği) olduğundan, AD yüksekliktir (bir ikizkenar üçgenin medyanının özelliği gereği). Bu M.Ö. ⊥ MS anlamına gelir.

2) BC ⊥ (AMD) (düz bir çizgi ile bir düzlemin dikliğine dayalı).

3) BC ⊥ DE (düzleme dik bir düz çizginin tanımı gereği).

Kanıt:

1) AC ∩ BD = O; AO = OS, BO = OD (paralelkenarın köşegenlerinin özelliğine göre).

2) ΔBMD - ikizkenar (koşula göre) ve MO - medyan (tanım gereği), bu da MO'nun yükseklik olduğu anlamına gelir (ikizkenar üçgenin medyanının özelliği ile).

Bu nedenle MO ⊥ BD.

3) ΔAMC'de: MO ⊥ AC (2. maddeye benzer şekilde kanıtlanmıştır).

4) MO ⊥ (ABC) (düz bir çizgi ile bir düzlemin dikliğine dayalı).

6 numara (Şek. 8)

İspat: AC ⊥ BD ve AO = OS, VO = OD (eşkenar dörtgenin köşegenlerinin özelliği ile). ΔBMD ikizkenardır (koşullara göre) ve MO ortancadır (tanım gereği), bu da MO'nun yükseklik olduğu anlamına gelir (bir ikizkenar üçgenin ortancasının özelliği gereği).

Bu nedenle MO ⊥ BD.

(düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliğine dayalı olarak).

III. Sorun çözme

130 No'lu problemin (ders kitabında detaylı çözümü), 134 No'lu problemin (öğretmenin yardımıyla) tahtaya ve defterlere yazarak çözümü, güçlü bir öğrenciyi tahtaya çağırın.

(Sorunu çözmeye başlamadan önce kavramları tekrarlayın: iki nokta arasındaki mesafe ve bir noktadan bir çizgiye olan mesafe. Bu kavramların tanımlarını formüle edin.)

Verilenler: ABCD - kare; MB - düz (Şekil 9).

Bul: a) MA, MD, MS; b) ρ (M; AC), ρ (M; BD).

1) AB = BC = CD = AD = n (karenin kenarlarının özelliklerine göre).

2) ∠MBA = ∠МВС = 90° olduğundan ΔАВМ ve ΔСВМ dikdörtgendir.

Pisagor teoremine göre: Şunu elde ederiz:

3) BD bir karenin köşegeni olduğuna göre, o zaman

4) ∠MBA = ∠MBC = 90° olduğundan, o zaman

MB ⊥ (ABC) (doğrunun ve düzlemin dikliğine dayalı). Bu, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) anlamına gelir (düzleme dik bir çizginin tanımı gereği).

5) ΔMBD - dikdörtgen (MB ⊥ BD olduğundan, ∠MBD = 90°). Pisagor teoremine göre:

6) ρ (M; BD) = MB (bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin tanımı gereği). Bu, ρ (M; BD) = m anlamına gelir.

7) AO = OS, VO = OD (karenin köşegenlerinin özelliğine göre). Çünkü bu durumda ΔAMC ikizkenardır (tanım gereği) ve MO ortancadır (tanım gereği), bu da MO'nun yükseklik olduğu anlamına gelir (tabanına çizilen bir ikizkenar üçgenin ortancasının özelliği gereği). Bu nedenle MO ⊥ AC.

Doğruların paralelliği ile düzleme dikliği arasındaki bağlantıyı kuran teoremler. Teorem 2: İki doğru bir düzleme dikse birbirlerine paraleldirler. Tema 1: İki paralel çizgiden biri bir düzleme dik ise diğer doğru da bu düzleme diktir.

Sunumlu arşivin boyutu 415 KB'dir.

diğer sunumların özeti

“Doğadaki simetri örnekleri” - Jeolojide simetri. Silindirin simetrisi. Biyolojide simetri. Simetri türleri. Coğrafyada simetri. Simetrik dağılım örnekleri. Doğada simetri. Simetri nedir? Ayrık simetri. İnsanlar, birçok hayvan ve bitki ikili simetriye sahiptir. Doğal nesneler. Simetri doğanın temel bir özelliğidir. Kristalin dış şeklinin simetrisi. Fizikte simetri.

“Bölüm oluşturma görevleri” - Tetrahedron. Kaburgaların ortası. Noktalar. Nokta. Bölümlerin inşaatı. Paralel borunun kesiti. Seviye. Menü. Bir düzlemin paralel yüzlü kesiti. Kesit alanı. Bir tetrahedronun kesitini oluşturun. Doğrunun kesişme noktasını bulun. Bir küpün kesiti. Küp Bir tetrahedronun kesiti. Nokta verileri. Çokyüzlü. Gerekli bölüm. Orta. Bir düzlem kullanarak küpün bir bölümünü oluşturun.

“Sterometri aksiyomlarından elde edilen sonuçlar” - Bir küpün görüntüsünü oluşturun. Dikte. Bağımsız çalışma. Teoremi belirtin. Düzlemlerin kesişim çizgisini bulun. Stereometri aksiyomları ve bunların en basit sonuçları. Geometri üzerinde slaytlar. Cevabınızı açıklayın. Farklı uçaklar. Bir, iki, üç, dört noktadan kaç yüz geçer? Bir uçağın varlığı. Bir doğru ile bir düzlemin kesişimi. Bu düzlemlerin kesişim çizgisini adlandırın. Bir noktada kesişen düz çizgiler.

“Sterometrinin temel aksiyomları” - Eski bir Çin atasözü. Geometrik cisimler. Stereometrinin konusu. Geometri. Dört eşkenar üçgen. Aksiyomlardan elde edilen sonuçlar. Keops Piramidi. Düz bir çizginin noktaları bir düzlemde bulunur. Uzaydaki temel figürler. Uçak. Stereometride ilk dersler. Stereometri aksiyomlarından elde edilen sonuçlar. Aksiyom. Uçakların ortak bir noktası var. Kaynaklar ve bağlantılar. Uzamsal figürlerin görüntüleri. Stereometri aksiyomları.

“Paralel borulu” - Bir paralel yüzlünün içine bir tetrahedron yazılabilir. Dikdörtgen paralel borunun hacmi için formülün türetilmesi. İki köşeyi birleştiren doğru parçası. Paralelyüzlülerin zıt yüzleri paralel ve eşittir. Herhangi bir paralelyüzlü. Paralel yüzlü paket açıldığında böyle görünüyor. Dikdörtgen bir paralel borunun yüzey alanı. Dikdörtgen paralel yüzlü. "Salzburg paralel yüzlü". Paralel boru, köşegeninin ortası civarında simetriktir.

Bu bölüm, geometride ve uygulamalarında yaygın olarak kullanılan doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki bağlantıların kurulmasına ayrılmıştır.

Paralellik ve arasındaki bağlantıların varlığı hakkında

Uzayda diklik deneyimimizle kanıtlanmıştır. Aslında dikey olarak yerleştirilen sütunlar birbirine paraleldir (Şek. 394); dikey olarak yönlendirilmiş buz buz sarkıtları paraleldir (Şekil 395), dikey olarak

binaları süsleyen sütunlar (Şek. 396), vb.

Planimetrideki benzer bağlantıların içeriği iyi bilinmektedir: bir düz çizgiye iki dik birbirine paraleldir ve bunun tersi, iki paralel çizgiden birine dik bir düz çizgi de ikinciye diktir. Ancak uzaydaki düz çizgiler için bu ifadeler her zaman doğru değildir (ilgili örnekleri kendiniz vermeye çalışın). Aynı zamanda uzaydaki doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği ile ilgili durumları incelemek mümkündür.

Çizgilerin paralelliği ile düzlemlerinin dikliği arasındaki ilişkiyi daha ayrıntılı olarak ele alalım. Bu bağlantılar kullandığımız gerçek nesneler arasındaki ilişkileri yansıtır.

Teorem 1 (biri düzleme dik olan yaklaşık iki paralel çizgi).

İki paralel çizgiden biri bir düzleme dik ise, ikinci doğru bu düzleme diktir.

Yukarıdaki teorem bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin bir işaretidir, yani bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini belirlemek için kullanılır. Sadece geometride değil aynı zamanda pratik faaliyetlerde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bina duvarlarının inşaatı

çekül hattının kullanılması, bu diklik işaretinin düz bir çizgiye ve bir düzleme kullanımının açık bir örneğidir. Gerçekten de, çekül hattının dişi dikey olarak yerleştirilmiştir ve yapının kenarı ipliğe paralel ise o zaman aynı zamanda dikeydir (Şek. 398).

Teorem 1'in dikkate alınması doğal olarak şu soruyu gündeme getiriyor: Aynı düzleme dik iki çizgi paralel olacak mı? Bunun cevabı bize tecrübeyle önerilmiştir (dikey olarak monte edilmiş iki sütun paraleldir!) ve Teorem 1'in tersi olan aşağıdaki teorem ile doğrulanmıştır.

Teorem 2 (bir düzleme dik doğruların paralelliği hakkında).

İki doğru aynı düzleme dikse paraleldirler.

Yukarıdaki teorem aynı zamanda bir işarettir. Onun yardımıyla mekansal yapılardaki çizgilerin paralelliği kurulur. Sonuçta, dikeylik veya diklik

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 391

Düzlemleri kontrol etmek bazen (özellikle büyük nesnelerde) paralellikten daha kolaydır. Örneğin, bir binanın tavanını inşa ederken enine kirişlerin konumu, geometrik konfigürasyonlarda düz çizgilerin paralelliğinin tanınması vb. hakkında konuşuyoruz.

Geometride ve uygulamalarında daha az önemli olmayan şey, düzlemlerin paralelliği ile bunların düz bir çizgiye dikliği arasındaki bağlantılardır. İki düzlem ve bir düz çizgiden bahsediyoruz. Eğer iki düzlem paralel ve bunlardan biri bir doğruya dik ise, ikinci düzlem bu doğruya göre nasıl konumlanacaktır? Her ikisi de dik ise iki düzlem nasıl konumlandırılır?

direkt miyiz? Pratik deneyimler de bize bu soruların yanıtlarını verir. Tahtanın bir tarafına dik bir tahtaya çivi çakarsanız, karşı tarafa dik olacaktır (Şek. 399). Tekerlekler, tekerlek takımının aksına, düzlemleri eksene dik olacak şekilde her iki taraftan monte edilirse, bu tekerleklerin düzlemleri paralel olacaktır (Şekil 400).

Düzlemlerin paralelliği ile düz bir çizgiye diklikleri arasındaki ilişkiyi yansıtan, karşılıklı olarak ters iki ifade formüle edelim.

Teorem 3 (biri bir çizgiye dik olan paralel düzlemler hakkında).

İki paralel düzlemden biri bir doğruya dik ise, ikinci düzlem de aynı doğruya diktir.

Teorem 4 (bir doğruya dik yaklaşık iki düzlem).

İki düzlem bir düz çizgiye dikse paraleldirler.

Yukarıdaki iki teorem çifti arasındaki benzerlik dikkat çekmektedir. Bunların her biri, "düz çizgi" terimini "düzlem" terimiyle değiştirerek veya tam tersi şekilde formüle edilebilir.

Teorem 3 ve 4 de işarettir.

392 Doğruların ve düzlemlerin dikliği

Düz bir çizgi ile bir düzlemin diklik işareti (Teorem 3), destek kolonlarının zemine ve tavana göre konumu ile gösterilmektedir. Tavan ve zemin düzlemleri paralel ise kolonun zemine dik yerleştirilmesi yeterlidir;

tavana dik olsaydı

Teorem 4'te ifade edilen özelliğin pratik değeri, dikdörtgen bir betonarme döşemenin bir vinç kullanılarak yatay konumda taşınmasıyla gösterilmektedir. Bunun için kullanıyoruz

uçları A 1, A 2, A 3, A 4 noktalarına sabitlenmiş dört özdeş kablo kullanılır

plakalar ve S noktasında bir kanca ile (Şek. 402). İle

Döşeme serbestçe asılı olduğundan, kancanın takıldığı kablo, dünya yüzeyine dik ve döşemenin kütle merkezinden geçen düz bir çizgi üzerinde yer almaktadır (homojen bir döşeme için). Döşemenin kalınlığını ihmal edersek, merkezi A 1 A 2 A 3 A 4 dikdörtgeninin köşegenlerinin kesişme noktasındadır. SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4 olduğundan, S'yi köşegenlerin kesişme noktasıyla birleştiren düz çizgi döşeme düzlemine diktir (Problem 1 §18). Bu nedenle Teorem 4'e göre plaka yatay olarak yerleştirilmiştir.

Verilen örnekler, pratik problemlerin çözümünde dikkate alınan özelliklerin uygulama çeşitliliğini kapsamamaktadır. Bu özellikler aynı zamanda geometrik bilginin daha sonra derinleşmesi için de önemlidir.

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 393

Örnek 1. ABCD karesinin A köşesinden ABC düzlemine dik bir AM doğru parçası çiziliyor. İnşa etmek:

1) AC düz çizgisine dik olarak M noktasından geçen bir düzlem;

2) MC doğru parçasının ortasından ABC düzlemine dik geçen düz bir çizgi.

 Şekil 2’deki örnek durumu gösterelim. 404, a.

1) MAC düzlemini düşünün. Koşullara göre, MA düz çizgisi AC düz çizgisine diktir. İstenilen düzlemi oluşturmak için A noktasından AC düz çizgisine dik başka bir düz çizgi çizmek yeterlidir. BD düz çizgisi AC düz çizgisine dik olduğundan, istenen düz çizgi BD düz çizgisine paralel olmalıdır.

Yapı. A noktasından BD düz çizgisine paralel bir AK düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 404, b). AC düz çizgisine diktir. MAK düzlemi, doğrunun ve düzlemin diklik işaretine göre AC doğrusuna diktir (Teorem 1 § 18).

2) N, MC segmentinin ortası olsun (Şekil 405, a). İstenilen doğru MA doğrusuna paraleldir, düzleme dik doğruların paralelliği teoremi (Teorem 2). Bu gerekli bir durumdur.

Biri düzleme dik olan iki paralel doğru hakkındaki teoreme göre bu yeterlidir (Teorem 1).

Yapı. N noktasından MA düz çizgisine paralel bir çizgi çiziyoruz (Şekil 405, b). NO düz çizgisi MAC düzleminde yer aldığından ve AC doğru parçasının ortasından geçtiğinden (Thales teoremine göre), O'nun karenin düzlemiyle kesiştiği nokta karenin merkezidir. ■

Doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki bağlantılarla ilgili yukarıdaki teoremlerin kanıtını ele alalım. İki teorem çifti arasında ve çiftler halinde kendi aralarında belirtilen bağlantı

teoremlerden birinin ispatının diğerlerinin ispatını kolaylaştıracağını ummamıza izin verir. Teorem 1 ile başlayalım. İşaret-sembol formunda yazalım.

Teorem 1. Verilen: a 1 || a 2, a 1 a.

Kanıtlayın: a 2 α .

 Teoremi kanıtlamak için per- işaretini kullanacağız.

bir doğru ile bir düzlemin dikliği.

A 1 düz çizgisi ile α düzleminin kesişme noktasını O 1 ile gösterelim. Bir düzlemin paralel çizgilerle kesişmesine ilişkin teoreme göre (Teorem 6 § 8), a 1 çizgisine paralel bir a 2 çizgisi aynı zamanda O 2 noktasında da düzlem α ile kesişir (Şekil 406, a).

a 1 ve a 2 doğruları üzerinde, O 1 A 1 ve O 2 A 2 bölümleri eşit olacak şekilde, α düzleminin bir tarafında A 1 ve A 2 noktalarını alın. O 1 A 1 A 2 O 2 dörtgeni (Şekil 406, b) bir paralelkenardır, çünkü O 1 A 1 || Ö 2 A 2, Ö 1 A 1 = Ö 2 A 2. Benzer şekilde, a düzleminde keyfi bir yön için bir O 1 B 1 B 2 O 2 paralelkenarını oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, α düzlemindeki O 1 ve O 2 noktalarından, A 1 ve A 2 noktalarını seçerken aynı şekilde B 1 ve B 2 noktalarını seçtiğimiz rastgele paralel çizgiler çizeriz (Şekil 406, c). ).

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 395

Yukarıdaki yapılardan A 1 B 1 B 2 A 2 dörtgeninin bir paralelkenar olduğu anlaşılmaktadır. Aslında, doğruların paralelliği ve uzunlukların eşitliği ilişkilerinin geçişlilik özelliklerine göre A 1 A 2 ve B 1 B 2 parçaları paralel ve eşittir.

(A 1A 2 || O 1O 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 = O 1O 2, O 1O 2 = B 1B 2).

Şimdi A 1 O 1 B 1 ve A 2 O 2 B 2 üçgenlerini düşünün. Üç tarafa eşittirler: A 1 O 1 = A 2 O 2, O 1 B 1 = O 2 B 2, yapı gereği, bir paralelkenarın karşıt kenarları olarak A 1 B 1 = A 2 B 2. Bu nedenle, bu üçgenlerin karşılık gelen açıları eşittir, özellikle A 1 O 1 B 1 = A 2 O 2 B 2. Fakat A 1 O 1 B 1 açısı şartına göre düzdür. Bu nedenle A 2 O 2 B 2 açısı da düz olacaktır. Bu da, a 2 düz çizgisinin, O 2 noktasından geçen α düzleminin her bir düz çizgisine dik olduğu anlamına gelir. Tanım gereği α düzlemine diktir. ■

Teorem 2. Verilen: a 1 α, a 2 α.

Kanıt: a 1 || bir 2.

 Düz çizgiler a 1 ve a 2'nin α, O 1, O 2 düzlemine dik olmasına izin verin - bunların α düzlemiyle kesişme noktaları (Şekil 407, a). O 2 noktasından a 1 düz çizgisine paralel bir b düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 407, b). Teorem 1'e göre, b α. Düz çizgi b, düz çizgi a 2 ile çakışmazsa, o zaman düzlem α'yı düz çizgi c boyunca kesen bir düzlem β bunların içinden çizilebilir (Şekil 407, c). a 2 ve b çizgileri, bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin tanımı gereği c doğrusuna diktir. Ancak belirli bir noktadan geçen bir düzlemde, belirli bir çizgiye dik yalnızca bir çizgi çizilebilir. Ortaya çıkan çelişki, a 2 ve b doğrularının çakıştığı, yani a 1 ||a 2 olduğu anlamına gelir. ■

Teorem 3 ve 4'ün ispatı sırasıyla Teorem 1 ve 2'nin ispatı ile aynı şemaya göre gerçekleştirilir. Bunu Teorem 3 ve 4'ün ifadelerinden sonra verilen talimatları kullanarak kendiniz yapın.

Stereometri ve uygulamaları için dikkate alınan teoremlerin önemi, daha önce de belirtildiği gibi, her birinin bir işaret olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır: birinci ve üçüncüsü bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin işaretleridir, ikincisi ise bir düzlemin işaretidir. düz çizgilerin paralelliği, dördüncüsü düzlemlerin paralelliğinin bir işaretidir. Bu, düz çizgilerin ve düzlemlerin göreceli konumlarını incelerken ve yapıları gerçekleştirirken yeteneklerimizi genişletir.

Problem 1'in sonucunun genelleştirilmesi aşağıdaki teoremdir.

Teorem 5 (belirli bir düzleme dik bir çizgi hakkında).

Uzayda rastgele bir noktadan belirli bir düzleme dik olan düz bir çizgi geçer, üstelik bu yalnızca bir tanedir.

 Böyle bir doğrunun varlığına ilişkin teoremin ilk kısmı problemin çözümünde doğrulanmıştır

1. Böyle bir çizginin benzersizliğini kanıtlamak için bunun tersini varsayalım:

bir A noktasından a düzlemine dik iki farklı a 1 ve a 2 düz çizgisi geçmektedir (Şekil 408). Teorem 2'ye göre paraleldirler yani ortak noktaları yoktur.

Bu çelişki bu ifadeyi kanıtlamaktadır. ■

Önceki bölümdeki Problem 2'nin sonucu da benzer bir genellemeye sahiptir.

Teorem 6 (belirli bir çizgiye dik bir düzlem hakkında).

Uzaydaki herhangi bir noktadan belirli bir çizgiye dik olan bir düzlem geçer, üstelik bu yalnızca bir tanedir.

 Böyle bir düzlemin varlığı önceki paragraftaki 3. problemin çözümünde gerekçelendirilmiştir. Geriye teoremin koşullarını karşılayan düzlemin benzersizliğini kanıtlamak kalıyor. Bu gibi durumlarda her zaman olduğu gibi bunun tam tersini varsayalım: verilen aracılığıyla

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 397

Bu A noktasından a düz çizgisine dik iki farklı α1 ve α2 düzlemi geçer (Şekil 409). Teorem 4'e göre paraleldirler. Ancak bu düzlemlerin ortak bir A noktası vardır. Ortaya çıkan çelişki bu ifadeyi kanıtlamaktadır. ■

Örnek 2. ABCD karesinin A köşesinden karenin düzlemine dik bir doğru çiziliyor ve üzerinde S noktası alınıyor. İnşa etmek:

1) karenin O merkezinden, düzlemine dik olarak geçen düz bir çizgi;

2) AS segmentinin ortasından P'ye dik olarak geçen bir düzlem;

3) BD düz çizgisine dik olarak A noktasından geçen bir düzlem;

4) SBD düzlemine dik olarak A noktasından geçen düz bir çizgi.

 1) Koşul gereği AS doğrusu kare düzlemine diktir. Bu düzleme dik olan diğer herhangi bir çizgi, Teorem 2'ye göre AS çizgisine paralel olacaktır, yani AS çizgisinin paralelliği, istenen düz düzlemin dikliği için gerekli bir koşuldur. Bu aynı zamanda Teorem 1'e göre yeterli bir koşuldur.

Yapı. O noktasından AS düz çizgisine paralel bir OE düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 410). İki geçiş teoremine göre OE düz çizgisi karenin düzlemine diktir.

paralel doğrulardan biri düzleme diktir.

2) Koşuluna göre AS doğrusu diktir -

ABCD düzleminde. AS çizgisine dik olan herhangi bir düzlem, Teorem 4'e göre ABCD düzlemine paralel olacaktır. Arzu edilen düzlemin ABCD düzlemine paralelliği, Teorem 3'e göre yeterli bir durumdur.

Yapı. P noktasından ABCD düzlemine paralel bir düzlem çizelim.

Bunu yapmak için P noktasından düz çizgiler çizin

PK ve PL, sırasıyla AD ve AB düz çizgilerine paraleldir (Şekil 411). PKL düzlemi

Düzlemlerin paralelliğine dayalı olarak ABCD düzlemine paraleldir ve bu nedenle

aradığımız şey bu.

398 Doğruların ve düzlemlerin dikliği

3) Karenin köşegenleri diktir, yani VO AO (bkz. Şekil 410). Bu nedenle, AO düz çizgisi istenen düzlemde yer alır. O noktasından BO'ya dik başka bir OE düz çizgisi çizersek, o zaman BO düz çizgisi, doğrunun ve düzlemin dikliğine bağlı olarak AOE düzlemine dik olacaktır (Teorem 1 §18). Bu düzlem A noktasını içerir.

Yapı. O noktasından AS düz çizgisine paralel bir OE düz çizgisi çizelim. ABCD düzlemine dik olacaktır (Şekil 412). Düz çizgi OE diktir

Düz çizgi BO, düz bir çizgi ile bir düzlemin dikliğinin tanımı gereği. AOE düzlemi istenen düzlemdir.

4) ABD ve SBD üçgenlerini düşünün

(Şekil 413, a). Onlar ikizkenar çünkü

AD = AB, koşula göre ve SB = SD eşitliği, ASD ve ASB dik üçgenlerinin eşitliğinden kaynaklanır. Ortancaları SO ve AO yüksekliklerdir ve bu nedenle BD düz çizgisi, düz çizgi ile düzlemin dikliğine bağlı olarak AOS düzlemine diktir (Teorem 1). AOS dik üçgeninde, A dik açısının tepe noktasından AE yüksekliğini çiziyoruz (Şekil 413, b). Doğrudan AE istenendir. Aslında, SBD düzleminde E noktasından BD doğrusuna paralel bir EF çizgisi çizelim. Teorem 1'e göre bu çizgi AOS düzlemine dik olacaktır. Bu, AE çizgisine dik olduğu anlamına gelir. Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik kriterine göre (Teorem 1 § 18), AE doğrusu SBD düzlemine diktir. ■

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 399

9 9 Test soruları

1. Belirli bir düzleme dik olan iki doğrunun aynı düzlemde olduğu doğru mu?

2. Bir piramidin iki yan kenarı dik olabilir mi?- piramidin tabanının yeni düzlemleri mi?

3. İki kesişme noktasına dik bir düz çizgi çizmek mümkün müdür?- tövbekar uçaklar mı?

4. Yüz kişinin bacaklarının konumu arasında bir ilişki var mı?- yüzeyine ve üzerinde durduğu zemine göre mi?

5. Bir küpün tam olarak iki kenarına dik olan bir düzlemle bir bölümü var mı?

6. Aynı düzleme dik bir düzlem çizmek mümkün mü?- tam olarak iki kesişen çizgi mi?

7. İlkbaharda çatıdan sarkan buz sarkıtlarının neden birbirine paralel olduğu düşünülebilir (kalınlıkları göz ardı edilerek?- noah)?

8. Tavana tutturulmuş bir kanca bulunmaktadır. Halatlar kullanarak, platformun düzlemi olacak şekilde askıya alınması gerekir.- yatay. Bu nasıl yapılır?

9. Uzayda belirli bir noktadan üç bağlantı çizmek mümkün müdür?- Dik çizgiler mi bunlar? Dört taneye ne dersin?

10. Bir düzleme dik dört doğru ile kaç farklı düzlem tanımlanır?

Grafik egzersizleri

400 Doğruların ve düzlemlerin dikliği

2. Şek. 415 normal bir ABC üçgenini gösterir, O onun merkezidir, OS

üçgen düzlemine dik bir parça, M, N noktaları sırasıyla AB, BC kenarlarının orta noktalarıdır. Ağız-

Göreceli konumu güncelleyin: 1) düz AB ve düzlem SOC;

2) düz çizgi MN ve düzlem SOB;

3) düz AC ve MNS düzlemleri.

3. Şek. 416, merkezi O, AB ve CD olan, karşılıklı olarak dik olan bir daireyi göstermektedir

daire çapları, MB - daireye teğet, OK, BL - eşit parçalar,

dairenin düzlemine dik. Göreceli konumu ayarlayın:

1) BL düz çizgisi ve AOC düzlemi;

2) BM düz çizgisi ve LOK düzlemi;

3) BM düz çizgisi ve COK düzlemi;

4) KL düz çizgisi ve DOK düzlemi;

5) DOK ve MBL uçakları;

6) BK düz çizgisi ve CLD düzlemi.

4. Verilen verilere dayanarak bir çizim oluşturun.

1) Kenardan geçen uçak Düzenli dört yüzlü SABC'nin AB'si SC kenarına diktir.

2) AC'ye dik bir düzlem, SABCD düzgün dörtgen piramidinin AC köşegeni üzerinde bulunan M noktasından geçmektedir.

407. Bir dik açının köşesinden ABC ikizkenar dik üçgeninden bu üçgenin düzlemine dik bir doğru çiziliyor ve üzerinde bir S noktası alınıyor. İnşa etmek:

1°) AB çizgisine dik S noktasından geçen düzlem;

2°) ABC düzlemine dik olarak AS doğru parçasının ortasından geçen düz bir çizgi;

3°) BCS düzlemine paralel A noktasından geçen düzlem;

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 401

4) AC = 2 3 CS ise, ABS düzlemine dik C noktasından geçen düz bir çizgi.

408. ABC ikizkenar dik üçgeninin BC hipotenüsünün K orta noktasından bu üçgenin düzlemine dik bir düz çizgi çizilir ve üzerinde M noktası alınır.

1°) AC çizgisine dik olarak M noktasından geçen düzlem;

2°) AM segmentinin ortasından ABC düzlemine dik olarak geçen düz bir çizgi;

3°) BCM düzlemine paralel A noktasından geçen düzlem;

4) MK = CK ise, AM düz çizgisine dik olarak K noktasından geçen bir düzlem.

409. ABC düzgün üçgeninin O merkezinden üçgen düzlemine dik bir düz çizgi çizilir ve bunun üzerinde S noktası alınır.

1°) BC düz çizgisine dik O noktasından geçen düzlem;

2°) ABC düzlemine dik olarak AS doğru parçasının ortasından geçen düz bir çizgi;

3) AS segmentinin ortasından OS düz çizgisine dik olarak geçen bir düzlem;

4*) BCS düzlemine dik olarak A noktasından geçen düz bir çizgi.

410. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpü veriliyor. İnşa etmek:

Yüzün ortasından geçen 1°) düz çizgi A1 B1 C1 D1 şeridi - karşı yüze dik; 2°) tepe noktasından geçen düzlem Ve dik, BD köşegenine paraleldir;

3) AA 1 B 1 B yüzünün merkezinden BDD 1 düzlemine dik olarak geçen düz bir çizgi;

4*) ВD 1 düz çizgisine dik olarak D noktasından geçen bir düzlem.

411. SABC tetrahedronunda tüm yüzler düzgün üçgenlerdir, O noktası ABC'nin merkezidir, D BC kenarının ortasıdır, N noktası SA kenarına aittir.

1°) SO düz çizgisinin ve ABC düzleminin göreceli konumunu belirleyin.

2°) BC düz çizgisinin ve ASD düzleminin göreceli konumunu belirleyin.

3) N noktasından ABC yüzüne dik düz bir çizgi çizin.

4*) OS çizgisine dik olarak N noktasından geçen bir düzlemle tetrahedronun bir bölümünü oluşturun.

412°. 7 m yüksekliğindeki bir direkten 4 m yüksekliğindeki bir binaya iki elektrik kablosunun çekilmesi gerekir. Binadan direğe olan mesafe 10 m ise ve hesaplananın %3'ünü eklemeniz gerekir. telin sarkması için uzunluk?

413. Dikdörtgenin köşelerinden birine dikdörtgen bir alanı korumak için bir gözetleme kulesi yerleştirilmiştir. Kule üzerinde duran gözlemciden dikdörtgenin geri kalan köşelerine olan mesafeler a, b, c ve a > b > c'dir. Kulenin yüksekliği nedir?

414. Üç paralel a, b, c çizgisi aynı düzlemde yer almıyor. A çizgisi üzerinde yer alan M noktası boyunca, sırasıyla P ve Q noktalarında kesişen b ve c çizgilerine dik çizgiler çizilir. PQ çizgisinin b ve c çizgilerine dik olduğunu kanıtlayın.

415. ABC üçgeninin CD yüksekliğinde bulunan O noktası boyunca, düzlemine dik bir OM çiziliyor. CD ve OM doğrularından geçen düzlemin AB doğrusuna dik olduğunu kanıtlayın.

416*. Verilen bir α düzlemi ve bir düz çizgi a, düzlemi M noktasında kesiyor ve α'ya dik değil. α düzleminde M noktasından a doğrusuna dik bir doğrunun, üstelik sadece bir doğrunun geçtiğini kanıtlayın.

417. α düzlemine dik bir düz çizgi üzerinde, α düzleminde yer almayan iki A ve B noktası ve α düzleminde iki X ve Y noktası alınır. XA > XB olduğu bilinmektedir. Segmentleri karşılaştır

YA ve YB.

Düz doğruların ve düzlemlerin paralelliği ve dikliği arasındaki ilişki 403

Tekrarlanacak egzersizler

418. Belirli bir düz düzleme dik olan tüm düz düzlemlerin bu düzlemi oluşturduğunu kanıtlayın.

419. Yalnızca bir şablon kullanarak bir segmenti ikiye bölme: a) dik açı; b) dar açı?

420. Paralelkenarın kenarları 2 m ve 16 dm'dir; büyük kenarlar arasındaki mesafe 8 dm'dir. Küçük kenarlar arasındaki mesafeyi belirleyin.

Ana ifadeler