Bir noktanın birim segment koordinat ışın koordinatları. Ölçek

Bu makale koordinat ışını ve koordinat çizgisi gibi kavramların analizine ayrılmıştır. Her bir kavram üzerinde duracağız ve örneklere ayrıntılı olarak bakacağız. Bu makale sayesinde bir öğretmenin yardımına ihtiyaç duymadan bilginizi tazeleyebilir veya konuya aşina olabilirsiniz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koordinat ışını kavramını tanımlayabilmek için ışının ne olduğu hakkında fikir sahibi olmanız gerekir.

Tanım 1

kiriş- bu, koordinat ışınının kökenine ve hareket yönüne sahip geometrik bir şekildir. Düz çizgi genellikle yatay olarak gösterilir ve sağa doğru yönü gösterir.

Örnekte O'nun ışının başlangıcı olduğunu görüyoruz.

Örnek 1

Koordinat ışını aynı şemaya göre tasvir edilmiştir, ancak önemli ölçüde farklıdır. Bir başlangıç ​​noktası belirliyoruz ve tek bir segmenti ölçüyoruz.

Örnek 2

Tanım 2

Birim segmenti 0'dan ölçüm için seçilen noktaya olan mesafedir.

Örnek 3

Tek bir segmentin sonundan itibaren birkaç vuruş yapmanız ve işaretlemeler yapmanız gerekir.

Kirişle yaptığımız manipülasyonlar sayesinde koordinat haline geldi. Konturları 1'den başlayarak doğal sayılarla etiketleyin; örneğin, 2, 3, 4, 5...

Örnek 4

Tanım 3

sonsuza kadar sürebilecek bir ölçektir.

Çoğunlukla O noktasından başlayan bir ışın olarak tasvir edilir ve tek bir birim parça çizilir. Şekilde bir örnek gösterilmektedir.

Örnek 5

Her durumda ölçeği ihtiyacımız olan sayıya kadar devam ettirebileceğiz. Sayıları mümkün olduğu kadar rahat bir şekilde - kirişin altına veya üstüne yazabilirsiniz.

Örnek 6

Işın koordinatlarını görüntülemek için hem büyük hem de küçük harfler kullanılabilir.

Bir koordinat çizgisini tasvir etme ilkesi pratik olarak bir ışını tasvir etmekten farklı değildir. Çok basit - bir ışın çizin ve onu düz bir çizgiye ekleyerek ona bir okla gösterilen pozitif bir yön verin.

Örnek 7

Kirişi ters yönde çizerek düz bir çizgiye kadar uzatın

Örnek 8

Yukarıdaki örneğe göre tekli segmentleri bir kenara koyun

Sol tarafa 1, 2, 3, 4, 5... doğal sayılarını zıt işaretli olarak yazın. Örneğe dikkat edin.

Örnek 9

Yalnızca orijini ve tekli segmentleri işaretleyebilirsiniz. Nasıl görüneceğine ilişkin örneğe bakın.

Örnek 10

Tanım 4

- 0 olarak alınan belirli bir referans noktası, birim parça ve belirli bir hareket yönü ile gösterilen düz bir çizgidir.

Koordinat çizgisi üzerindeki noktalar ile gerçek sayılar arasındaki yazışma

Bir koordinat çizgisi birçok nokta içerebilir. Gerçek sayılarla doğrudan ilişkilidirler. Bu birebir yazışma olarak tanımlanabilir.

Tanım 5

Koordinat doğrusu üzerindeki her nokta tek bir gerçek sayıya karşılık gelir ve her gerçek sayı da koordinat doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir.

Kuralı daha iyi anlayabilmek için koordinat doğrusu üzerinde bir nokta işaretlemeli ve bu işarete hangi doğal sayının karşılık geldiğini görmelisiniz. Bu nokta orijine denk geliyorsa sıfır olarak işaretlenecektir. Nokta başlangıç ​​noktasıyla çakışmıyorsa, gerekli sayıda birim parçayı belirtilen işarete ulaşana kadar erteleriz. Altında yazan sayı bu noktaya karşılık gelecektir. Aşağıdaki örneği kullanarak size bu kuralı net bir şekilde göstereceğiz.

Örnek 11

Birim parçaları çizerek bir nokta bulamıyorsak, birim parçanın onda birini, yüzde birini veya binde birini oluşturan noktaları da işaretlememiz gerekir. Bu kuralı detaylı olarak incelemek için bir örnek kullanılabilir.

Birkaç benzer parçayı bir kenara bırakarak, yalnızca bir tam sayı değil, aynı zamanda hem pozitif hem de negatif kesirli bir sayı da elde edebiliriz.

İşaretli bölümler koordinat çizgisi üzerinde gerekli noktayı bulmamıza yardımcı olacaktır. Bunlar tam veya kesirli sayılar olabilir. Ancak düz bir çizgi üzerinde tek doğru parçaları kullanarak bulunması çok zor olan noktalar vardır. Bu noktalar ondalık kesirlere karşılık gelir. Böyle bir noktayı aramak için tek bir parçayı, onda birini, yüzde birini, binde birini, on binde birini ve diğer kısımlarını bir kenara ayırmanız gerekecek. Koordinat doğrusu üzerindeki bir nokta irrasyonel π (= 3, 141592...) sayısına karşılık gelir.

Gerçek sayılar kümesi kesirli olarak yazılabilen tüm sayıları içerir. Bu, kuralı tanımlamamızı sağlar.

Tanım 6

Koordinat çizgisi üzerindeki her nokta belirli bir gerçek sayıya karşılık gelir. Farklı noktalar farklı gerçek sayıları tanımlar.

Bu yazışma benzersizdir; her nokta belirli bir gerçek sayıya karşılık gelir. Ancak bu aynı zamanda ters yönde de çalışır. Koordinat doğrusu üzerinde belirli bir gerçek sayıyla ilişkili olacak belirli bir noktayı da belirtebiliriz. Sayı bir tam sayı değilse, belirli bir yöndeki onda bir ve yüzde birlerin yanı sıra birkaç birim parçayı işaretlememiz gerekir. Örneğin 400350 sayısı koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir ve bu noktaya orijinden pozitif yönde 400 birim parça, bir birimin onda birini oluşturan 3 parça ve binde birini oluşturan 5 parça çizilerek ulaşılabilir.

Yani bir birim segment ve onun onuncu, yüzüncü vb. parçaları, koordinat çizgisinin son ondalık kesirlere karşılık gelecek noktalarına ulaşmamızı sağlar (önceki örnekte olduğu gibi). Ancak koordinat çizgisi üzerinde ulaşamadığımız ama bir birim parçanın sonsuz küçük bir kesrine kadar gittikçe küçülenleri kullanarak istediğimiz kadar yaklaşabileceğimiz noktalar vardır. Bu noktalar sonsuz periyodik ve periyodik olmayan ondalık kesirlere karşılık gelir. Birkaç örnek verelim. Koordinat doğrusu üzerindeki bu noktalardan biri 3.711711711...=3,(711) sayısına karşılık gelir. Bu noktaya yaklaşmak için 3 birim parça ayırmanız gerekir; bir birim parçanın 7 onda biri, 1 yüzde biri, 1 binde biri, 7 on binde biri, 1 yüz binde biri, 1 milyonda biri vb. Koordinat doğrusu üzerindeki bir başka nokta da pi'ye (π=3.141592...) karşılık gelir.

Gerçel sayılar kümesinin elemanlarının tümü sonlu ve sonsuz ondalık kesirler şeklinde yazılabilen sayılar olduğundan, bu paragrafta yukarıda sunulan tüm bilgiler, her noktaya belirli bir gerçek sayı atadığımızı ifade etmemizi sağlar. Koordinat çizgisinin farklı noktalarının farklı gerçek sayılara karşılık geldiği açıktır.

Bu yazışmaların birebir olduğu da oldukça açık. Yani, bir koordinat çizgisi üzerinde belirli bir noktaya bir gerçek sayı atayabiliriz, ancak aynı zamanda belirli bir gerçek sayıyı kullanarak, belirli bir gerçek sayının karşılık geldiği bir koordinat çizgisi üzerinde belirli bir noktayı da gösterebiliriz. Bunu yapmak için, geri sayımın başlangıcından itibaren istenen yönde belirli sayıda birim segmentin yanı sıra bir birim segmentin onda biri, yüzde biri vb. kesirlerini bir kenara ayırmamız gerekecek. Örneğin 703.405 sayısı koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir ve bu noktaya orijinden itibaren pozitif yönde 703 birim parça, bir birimin onda birini oluşturan 4 parça ve bir birimin binde birini oluşturan 5 parça çizilerek ulaşılabilir. .

Yani koordinat doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçel sayı vardır ve her gerçel sayının da koordinat doğrusu üzerinde bir nokta şeklinde yeri vardır. Koordinat çizgisinin sıklıkla çağrılmasının nedeni budur. sayı doğrusu.

Koordinat çizgisi üzerindeki noktaların koordinatları

Koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelen sayıya ne denir bu noktanın koordinatı.

Bir önceki paragrafta her reel sayının koordinat doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık geldiğini, dolayısıyla bir noktanın koordinatının o noktanın koordinat doğrusu üzerindeki konumunu benzersiz olarak belirlediğini söylemiştik. Başka bir deyişle, bir noktanın koordinatı, koordinat doğrusu üzerinde bu noktayı benzersiz şekilde tanımlar. Öte yandan, koordinat doğrusu üzerindeki her nokta tek bir gerçek sayıya, yani bu noktanın koordinatına karşılık gelir.

Geriye söylenecek tek şey kabul edilen gösterimle ilgili. Noktanın koordinatı, noktayı temsil eden harfin sağında parantez içinde yazılır. Örneğin, M noktasının koordinatı -6 ise, M(-6) yazabilirsiniz ve formun gösterimi, koordinat doğrusu üzerindeki M noktasının koordinatı olduğu anlamına gelir.

Referanslar.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik: 5. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Işın düzdür ve bir tarafta sınırlıdır. Bu tanımı öğrenirseniz daha iyi anlaşılacaktır. ışın özellikleri:

• Bir başlangıcı var ama sonu yok
• Yönü var
• Sonsuz, yani boyutu yoktur.

Kirişin doğru belirlenmesi tartışmalı bir konudur. En doğru seçenek iki noktadır, örneğin OA. Ayrıca ilk nokta ışının başlangıcını gösterir. Fakat aynı zamanda parçaları ve düz çizgileri de belirtirler, dolayısıyla genellikle başlangıcı O noktasında olan bir ışın yazarlar.

Pirinç. 1. Işın.

Açılar

Açılar ışınlardan oluşan tek şekildir. Açı nedir?

Bu, başlangıcı bir noktada bulunan iki ışından oluşan geometrik bir şekildir. Şekillerde açılar ışınlardan değil parçalardan oluşur.

Açının her iki tarafı çakışırsa bir durum ortaya çıkabilir, o zaman açının 0 derece olduğunu söylerler. Ayrıca açının her iki tarafı da düz bir çizgi oluşturduğunda açının 180 dereceye eşit olduğu söylenebilir. Bu açıya açılmamış denir ve ışınlar birincil ve ikincildir.

Açı, bir ışının diğerine göre dönüşünü yansıtır.

Işınları koordine edin

Işınların başka bir kullanımı çeşitli koordinat sistemlerindedir. 5.sınıf matematik dersinde ilk konu koordinat doğrusu çalışmasıdır. Bunlar 180 derece dönme açısına sahip iki ışındır. Işınların başlangıcı sıfır noktası veya raporun başlangıcı olarak belirlenir. Negatif koordinatlar raporun başlangıcının soluna, pozitif koordinatlar ise sağına yerleştirilir. Koordinat doğrusuna verilen diğer isim: sayı doğrusu.

Pirinç. 2. Işını koordine edin.

Koordinat ışınını kullanarak kesirleri karşılaştırmak ve böylece eşitsizlikleri çözmek uygundur.

Koordinat ışınları kullanılarak bir koordinat düzlemi de oluşturulur. Kartezyen koordinat sistemi olarak adlandırılan sistem iki koordinat doğrusundan veya 4 ışından oluşur. Böyle bir sistem, bir noktanın düzlemdeki konumunu belirlemenize, fonksiyonların grafiklerini çizmenize ve çeşitli denklem türlerini grafiksel olarak çözmenize olanak tanır.

Kartezyen sistemin yanı sıra kutupsal bir koordinat sistemi de vardır. Kutup sistemi açı ve koordinat çizgisi kavramlarını kullanır. Koordinat çizgisi noktanın konumunu belirler ve açı, eksen üzerindeki yükseklik derecesini belirler.

Kutupsal koordinat sistemi insanlık tarihinin en eskilerinden biridir. Öyle oldu ki, eski denizciler tam da bu sistemi kullanarak dünyamızın bilinmeyen genişliklerini fethettiler. Kartezyen sistem çok daha sonra ortaya çıktı. Ancak yere yönlendirmek daha uygundur. Kartezyen sistemin hem matematikte hem de diğer disiplinlerde kullanımı daha kolaydır: fizik, ısı mühendisliği, hidrolik ve programlama.

Kartezyen sistem dört ışınla 4 çeyreğe bölünmüştür; her birinde bir noktanın konumu koordinatların işaretiyle belirlenir. Koordinatlar apsis ve koordinatlara bölünmüştür. Başka bir deyişle x ve y. Örneğin (3, 4) noktasının iki pozitif koordinatı vardır, bu da onun ilk çeyrekte olacağı anlamına gelir. Her iki negatif koordinat da üçüncü çeyreğe karşılık gelir; negatif x ile pozitif y ikinci çeyrektir ve pozitif x ile negatif y dördüncü çeyrektir.

Kartezyen koordinat sistemlerinde bir nokta oluşturmak için, koordinata karşılık gelen sayısal ışının bölünmesinden bir dikmenin yükseltilmesi gerekir. İki koordinat var, bu da iki dikin olacağı anlamına geliyor. Bunların kesiştiği nokta istenilen nokta olacaktır.

Sayı doğrusu, üzerinde sayıların veya sayı aralıklarının yazılı olduğu bir ışındır. Sayı doğrusu kesirleri, bir problemin resimlerini karşılaştırmak ve bir fonksiyonun ODZ'sini bulmak için kullanılır. İkincisi en yaygın olanıdır.

Düz çizgi üzerindeki küme parantezi köklerin ulaşamayacağı alanı gösterir. Denklem çözüldükten sonra bulunan kökler sayı doğrusu üzerinde işaretlenir. Geçersiz değerlerin küme parantezinin içine giren kökler çözümden hariç tutulur.

Bir noktanın koordinatı sayı doğrusundaki “adresi”, sayı doğrusu ise sayıların yaşadığı ve adrese göre her sayının bulunabileceği “şehir”dir.

Sitede daha fazla ders

Doğal serinin ne olduğunu hatırlayalım. Bunların hepsi, birbiri ardına, yani arka arkaya duran nesneleri saymak için kullanılabilecek sayılardır. Bu sayı dizisi 1 ile başlar ve komşu sayılar arasında eşit aralıklarla sonsuza kadar devam eder. 1 ekleyin - ve bir sonraki sayıyı, 1 tane daha - ve yine bir sonraki sayıyı elde ederiz. Ve bu seriden hangi sayıyı alırsak alalım, onun sağında 1 ve solunda 1'de komşu doğal sayılar vardır. Bunun tek istisnası 1 sayısıdır: bir sonraki doğal sayı oradadır, ancak bir önceki doğal sayı yoktur. 1 en küçük doğal sayıdır.

Doğal serilerle pek çok ortak noktaya sahip olan bir geometrik şekil vardır. Tahtaya yazılan dersin konusuna bakıldığında bu figürün bir ışın olduğunu tahmin etmek hiç de zor değil. Ve aslında ışının bir başlangıcı vardır ama sonu yoktur. Ve devam ettirilebilir ve devam ettirilebilir, ancak defter veya tahta biter ve devam edecek başka yer kalmaz.

Bu benzer özellikleri kullanarak, doğal sayı dizileri ile geometrik şekil olan ışın arasında ilişki kuralım.

Işının başlangıcında bir boşluk bırakılması tesadüf değildir: doğal sayıların yanına, iyi bilinen 0 sayısı yazılmalıdır. Artık doğal seride bulunan her doğal sayının, ışın üzerinde iki komşusu vardır - biri daha küçük, diğeri daha büyük. Sıfırdan sadece bir adım +1 alarak 1 sayısını, bir sonraki adım +1'i alarak 2 sayısını elde edebilirsiniz... Böyle adım atarak tüm doğal sayıları tek tek elde edebiliriz. Tahtada sunulan ışına bu şekilde koordinat ışını denir. Bunu daha basit bir şekilde söyleyebilirsiniz - sayısal bir ışınla. En küçük sayıya sahiptir - adı verilen 0 sayısı başlangıç ​​noktası , sonraki her sayı bir öncekiyle aynı mesafededir, ancak en büyük sayı yoktur, tıpkı ne bir ışının ne de doğal bir serinin sonu olmadığı gibi. Sayımın başlangıcı ile takip eden 1 sayısı arasındaki mesafenin, sayısal ışının herhangi iki komşu sayısı arasındaki mesafeyle aynı olduğunu bir kez daha vurgulamak isterim. Bu mesafeye denir tek bölüm . Böyle bir ışın üzerinde herhangi bir sayıyı işaretlemek için, başlangıç ​​noktasından tam olarak aynı sayıda birim parçayı ayırmanız gerekir.

Örneğin bir ışın üzerinde 5 sayısını işaretlemek için başlangıç ​​noktasından itibaren 5 birim parça ayırıyoruz. Işın üzerinde 14 sayısını işaretlemek için sıfırdan 14 birim parça ayırdık.

Bu örneklerde görebileceğiniz gibi, farklı çizimlerde birim bölümler farklı olabilir(), ancak bir ışın üzerinde tüm birim bölümler() birbirine eşittir(). (belki resimlerde slaytlarda değişiklik olacak, duraklamalar onaylanacaktır)

Bildiğiniz gibi geometrik çizimlerde noktaları Latin alfabesinin büyük harfleriyle adlandırmak gelenekseldir. Bu kuralı tahtadaki çizime uygulayalım. Her koordinat ışınının bir başlangıç ​​noktası vardır; sayısal ışın üzerinde bu nokta 0 sayısına karşılık gelir ve bu noktaya genellikle O harfi denir. Ayrıca bu ışının bazı sayılarına karşılık gelen yerlerde birkaç nokta işaretleyeceğiz. Artık her ışın noktasının kendine özel bir adresi var. A(3), ... (her iki kirişte de 5-6 nokta). Işın üzerindeki bir noktaya karşılık gelen sayıya (nokta adresi denir) denir. koordinat puan. Ve ışının kendisi de bir koordinat ışınıdır. Bir koordinat ışını veya sayısal bir ışın - anlam değişmez.

Görevi tamamlayalım - sayı doğrusu üzerindeki noktaları koordinatlarına göre işaretleyin. Bu görevi defterinizde kendiniz tamamlamanızı tavsiye ederim. M(3), T(10), U(7).

Bunu yapmak için önce bir koordinat ışınını oluşturuyoruz. Yani orijini O(0) noktası olan bir ışın. Şimdi tek bir segment seçmeniz gerekiyor. Tam olarak ihtiyacımız olan şey bu seçmek böylece gerekli tüm noktalar çizime uyacaktır. En büyük koordinat artık 10'dur. Kirişin başlangıcını sayfanın sol kenarından 1-2 hücre uzağa yerleştirirseniz, 10 cm'den fazla uzatılabilir. Daha sonra 1 cm'lik bir birim segment alın, bunu ışın üzerinde işaretleyin ve 10 sayısı ışının başlangıcından 10 cm uzakta yer alır. T Noktası bu sayıya karşılık gelir (...)

Ancak koordinat ışınında H (15) noktasını işaretlemeniz gerekiyorsa başka bir birim segment seçmeniz gerekecektir. Sonuçta, artık önceki örnekte olduğu gibi çalışmayacak çünkü dizüstü bilgisayar gerekli görünür uzunluktaki kirişe sığmayacak. 1 hücre uzunluğunda tek bir segment seçebilir ve sıfırdan gerekli noktaya kadar 15 hücre sayabilirsiniz.

Tek segment. ? Tek bir segment farklı uzunluklara sahip olabilir. Örneğin birim segmenti iki hücreye eşit olan bir koordinat ışınını oluşturmamız gerekiyor. Bunu yapmak için şunları yapmanız gerekir: bir ışın oluşturun (yukarıda tartışılan kurallara göre), O noktasından iki hücre sayın, noktayı işaretleyin ve ona koordinat 1 verin, 0'dan 1'e olan mesafe, iki hücreye eşittir, birim segmenti. O. 0. 1. Aşağıda birim segmenti beş hücreye eşit olan bir koordinat ışınıdır. O.0.1.

Sunumlu arşivin boyutu 107 KB'dir.

diğer sunumların özeti

“Matematik 5. sınıf “Sıradan kesirler” - Kesirlerde çıkarma. Kesirlerin azaltılması. Kesirlerin farkı. Daire. Paydaları aynı olan kesirler. Paylaşımlar. Kesirleri karşılaştırın. Kesirlerin eklenmesi. Kesir nedir? Daha büyük payda. Kesirleri bölme kuralı. Kesir. Bir dairenin parçası. Kesirleri ekleyin. Sayı. Bir parça bul. Ders. İş. Düşünülen örnek. Karpuz. Farkı bulun. Eşit olmayan kesirler. Sıradan kesirler. Kesirleri bölme. Kesirlerin çarpılması.

“Denklemleri çözme görevleri” - Denklemler. Trafik ışıklarını açalım. Ivan Tsarevich için test. Isın. Bağımsız çalışma. Masha'nın satın alma için ne kadar ödediği. Ev ödevlerini kontrol ediyorum. Oyun "Sihirli Sayı". Soruları cevapla. Sivrisinek ailesi. Duruşma. Beden eğitimi dakikası.

““İfadeleri Basitleştirmek” 5. Sınıf” - İfadeleri basitleştirin. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın. Dağıtım kanunu. Hangi ifadeler basitleştirilebilir? Bir ifade nasıl dönüştürülür? İfadelerin basitleştirilmesi. Görev. Denklem çözme. Harf kısmı aynı olan terimlere benzer denir. İfadelerin anlamlarını uygun bir şekilde bulun. Benzer terimlerin altını çizin. Bu ifadelerde neyin eksik olduğunu belirleyin.

““Yüzde” 5. sınıf” - Yüzde, bir sayının yüzde birlik kısmıdır. Sorunu çözün. Sayıların yüzdesi. Hadi kontrol edelim. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma. Bul onu. Yüzdelerden yüzde bulma. 56 sayısını %20 artırın. Yüzdeleri ondalık sayı olarak yazınız. Her zaman bütünü bir veya %100 olarak alırız. Faiz. Tanım. Yüzdeler ondalık sayı olarak nasıl ifade edilir? Bu kesri 100 ile çarpmanız gerekiyor. Yüzde kullanarak ondalık sayı nasıl yazılır?

“Üçgenler ve çeşitleri” - Yaratıcı çalışma. Üçgen türü. Üçgenler. Birincil güncelleme. Bulmacayı çözün. Geometrik dönem. Üçgenler açılarına göre gruplara ayrılabilir. Üçgen ve elemanları. Zirveler. İki noktadan kaç doğru çizilebilir? İki eşit taraf. Etrafımızdaki üçgenler.