Bizim için en önemli şey bir cismin yer değiştirmesini hesaplayabilmektir, çünkü yer değiştirmeyi bilerek cismin koordinatlarını da bulabiliriz ve bu mekaniğin asıl görevidir. Düzgün ivmeli hareket sırasında yer değiştirme nasıl hesaplanır?
Yer değiştirmeyi belirleme formülünü elde etmenin en kolay yolu grafik yöntemini kullanmaktır.
§ 9'da doğrusal düzgün hareket durumunda cismin yer değiştirmesinin sayısal olarak hız grafiğinin altında bulunan şeklin (dikdörtgen) alanına eşit olduğunu gördük. Bu, düzgün şekilde hızlandırılan hareket için doğru mu?
X koordinat ekseni boyunca meydana gelen bir cismin eşit şekilde hızlandırılmış hareketi ile hız zaman içinde sabit kalmaz, ancak aşağıdaki formüllere göre zamanla değişir:
Dolayısıyla hız grafikleri Şekil 40'ta gösterilen forma sahiptir. Bu şekildeki 1. satır "pozitif" ivmeli harekete (hız artışları), 2. satır ise "negatif" ivmeli harekete (hız düşüşleri) karşılık gelir. Her iki grafik de o anda vücudun bir hıza sahip olduğu durumu ifade eder.
Düzgün ivmeli hareketin hız grafiğinde küçük bir bölüm seçelim (Şekil 41) ve a noktalarından eksene dik olan parçanın uzunluğu sayısal olarak hareketin gerçekleştiği küçük zaman dilimine eşittir. hız, a noktasındaki değerinden, noktasındaki değerine değişti. Bölümün altında grafiklerin dar bir şerit olduğu ortaya çıktı
Segmente sayısal olarak eşit olan süre yeterince küçükse, bu süre zarfında hızdaki değişiklik de küçüktür. Bu süre zarfındaki hareketin tek biçimli olduğu düşünülebilir ve bu durumda şerit dikdörtgenden çok az farklı olacaktır. Bu nedenle şeridin alanı, segmente karşılık gelen süre boyunca vücudun yer değiştirmesine sayısal olarak eşittir.
Ancak hız grafiğinin altında yer alan şeklin tüm alanı bu kadar dar şeritlere bölünebilir. Sonuç olarak, tüm zaman boyunca yer değiştirme sayısal olarak yamuğun alanına eşittir, geometriden bilindiği gibi yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir. Bizim durumumuzda, yamuğun tabanlarından birinin uzunluğu sayısal olarak diğerinin uzunluğuna eşittir - V. Yüksekliği sayısal olarak eşittir: yer değiştirme şuna eşittir:
Bu formülde (1a) ifadesini yerine koyalım, o zaman
Payı payda terimine ve terime bölerek şunu elde ederiz:
İfadeyi (16) formül (2) ile değiştirerek şunu elde ederiz (bkz. Şekil 42):
Formül (2a), ivme vektörünün koordinat ekseni ile aynı yönde yönlendirilmesi durumunda kullanılır ve formül (26), ivme vektörünün yönü bu eksenin yönünün tersi olduğunda kullanılır.
Başlangıç hızı sıfır ise (Şekil 43) ve ivme vektörü koordinat ekseni boyunca yönlendirilmişse, formül (2a)'dan şu sonuç çıkar:
İvme vektörünün yönü koordinat ekseninin yönünün tersi ise, formül (26)'dan şu sonuç çıkar:
(buradaki “-” işareti, ivme vektörünün yanı sıra yer değiştirme vektörünün de seçilen koordinat eksenine ters yönde yönlendirildiği anlamına gelir).
Formül (2a) ve (26)'daki ve miktarlarının hem pozitif hem de negatif olabileceğini hatırlayalım - bunlar vektörlerin izdüşümleridir ve
Artık yer değiştirmeyi hesaplamak için formüller elde ettiğimize göre, cismin koordinatlarını hesaplamak için bir formül elde etmek bizim için kolaydır. Bir cismin belirli bir andaki koordinatını bulmak için, cismin yer değiştirme vektörünün koordinat eksenine izdüşümünü başlangıç koordinatına eklememiz gerektiğini gördük (bkz. § 8):
(Çünkü) ivme vektörü koordinat ekseniyle aynı yönde yönlendiriliyorsa ve
ivme vektörünün yönü koordinat ekseninin yönüne zıt ise.
Bunlar, doğrusal, eşit ivmeli hareket sırasında herhangi bir anda bir cismin konumunu bulmanızı sağlayan formüllerdir. Bunu yapmak için vücudun başlangıç koordinatını, başlangıç hızını ve ivmesini bilmeniz gerekir a.
Problem 1. Hızı 72 km/saat olan bir otomobilin sürücüsü kırmızı trafik ışığını gördü ve frene bastı. Bundan sonra araba hızlanarak hareket etmeye başladı.
Fren başladıktan sonra araç saniyeler içinde ne kadar yol katedecektir? Araba tamamen durmadan önce ne kadar yol kat eder?
Çözüm. Koordinatların orijini için yol üzerinde arabanın yavaşlamaya başladığı noktayı seçiyoruz. Koordinat eksenini arabanın hareket yönüne yönlendireceğiz (Şekil 44) ve zaman sayımının başlangıcını sürücünün frene bastığı ana göre değerlendireceğiz. Arabanın hızı X ekseniyle aynı yönde, arabanın ivmesi ise bu eksen yönünün tersi yöndedir. Bu nedenle, hızın X eksenine izdüşümü pozitif, ivme izdüşümü ise negatiftir ve arabanın koordinatı formül (36) kullanılarak bulunmalıdır:
Değerleri bu formülde yerine koymak
Şimdi arabanın tamamen durmadan önce ne kadar yol kat edeceğini bulalım. Bunu yapmak için seyahat süresini bilmemiz gerekir. Formülü kullanarak öğrenebilirsiniz
Araba durduğu anda hızı sıfır olduğuna göre
Arabanın tamamen durmadan önce kat edeceği mesafe, arabanın o andaki koordinatlarına eşittir
Görev 2. Hız grafiği Şekil 45'te gösterilen cismin yer değiştirmesini belirleyin. Cismin ivmesi a'ya eşittir.
Çözüm. İlk başta cismin hızının modülü zamanla azaldığından, ivme vektörü yönün tersi yönde yönlendirilir. Yer değiştirmeyi hesaplamak için formülü kullanabiliriz
Grafikten hareket süresinin bu nedenle olduğu açıktır:
Alınan cevap, Şekil 45'te gösterilen grafiğin, bir cismin önce bir yönde, sonra aynı mesafe kadar ters yöndeki hareketine karşılık geldiğini ve bunun sonucunda cismin başlangıç noktasına ulaştığını göstermektedir. Böyle bir grafik, örneğin dikey olarak yukarı doğru fırlatılan bir cismin hareketiyle ilgili olabilir.
Problem 3. Bir cisim a ivmesi ile düzgün ivmelenen düz bir çizgi boyunca hareket ediyor. Vücudun birbirini takip eden iki eşit zaman diliminde kat ettiği mesafeler arasındaki farkı bulun;
Çözüm. Cismin X ekseni olarak hareket ettiği düz çizgiyi ele alalım. Eğer A noktasında (Şekil 46) cismin hızı eşitse, zaman içindeki yer değiştirmesi şuna eşittir:
B noktasında cismin bir hızı vardır ve sonraki zaman periyodundaki yer değiştirmesi şuna eşittir:
2. Şekil 47'de üç cismin hareket hızı grafikleri gösterilmektedir. Bu cisimlerin hareketinin doğası nedir? A ve B noktalarına karşılık gelen zaman anlarında cisimlerin hareket hızları hakkında ne söylenebilir? Bu cisimlerin ivmelerini belirleyin ve hareket denklemlerini (hız ve yer değiştirme formüllerini) yazın.
3. Şekil 48'de gösterilen üç cismin hız grafiklerini kullanarak aşağıdaki görevleri tamamlayın: a) Bu cisimlerin ivmelerini belirleyin; b) telafi etmek
her cisim için hızın zamana bağımlılığı formülü: c) Grafik 2 ve 3'e karşılık gelen hareketler hangi açılardan benzer ve farklıdır?
4. Şekil 49'da üç cismin hareket hızı grafikleri gösterilmektedir. Bu grafikleri kullanarak: a) OA, OB ve OS bölümlerinin koordinat eksenlerinde neye karşılık geldiğini belirleyin; 6) cisimlerin hareket ettiği ivmeleri bulun: c) her cisim için hareket denklemlerini yazın.
5. Bir uçak kalkış sırasında pisti 15 saniyede geçmekte ve yerden havalandığı anda 100 m/sn hıza ulaşmaktadır. Uçak ne kadar hızlı hareket ediyordu ve pistin uzunluğu ne kadardı?
6. Araba trafik ışıklarında durdu. Yeşil sinyal yandıktan sonra ivmelenerek hareket etmeye başlar ve hızı 16 m/sn'ye ulaşıncaya kadar hareket eder, daha sonra sabit hızla hareketine devam eder. Yeşil sinyal göründükten 15 saniye sonra araba trafik ışıklarından ne kadar uzakta olacak?
7. Hızı 1000 m/sn olan bir mermi sığınağın duvarını delip geçtikten sonra 200 m/sn hıza sahip oluyor. Merminin duvarın kalınlığındaki hareketinin düzgün ivmeli olduğunu varsayarak duvarın kalınlığını bulun.
8. Roket ivmelenerek hareket ediyor ve zamanın bir noktasında 900 m/sn hıza ulaşıyor. Bundan sonra hangi yolu izleyecek?
9. Uzay aracı sürekli olarak ivmeyle düz bir çizgide hareket ediyor olsaydı, fırlatıldıktan 30 dakika sonra Dünya'dan ne kadar uzakta olurdu?
Düzgün hareket– bu sabit hızda harekettir, yani hız değişmediğinde (v = sabit) ve hızlanma veya yavaşlama meydana gelmediğinde (a = 0).
Düz çizgi hareketi- bu düz bir çizgideki harekettir, yani doğrusal hareketin yörüngesi düz bir çizgidir.
- Bu, vücudun herhangi bir eşit zaman diliminde eşit hareketler yaptığı bir harekettir. Örneğin, belirli bir zaman aralığını birer saniyelik aralıklara bölersek, vücut bu zaman aralıklarının her birinde düzgün hareketle aynı mesafeyi kat edecektir.
Düzgün doğrusal hareketin hızı zamana bağlı değildir ve yörüngenin her noktasında vücudun hareketiyle aynı şekilde yönlendirilir. Yani yer değiştirme vektörü hız vektörü ile aynı doğrultudadır. Bu durumda herhangi bir zaman periyodundaki ortalama hız anlık hıza eşittir:
Düzgün doğrusal hareket hızı bir cismin herhangi bir zaman periyodundaki hareketinin bu t aralığının değerine oranına eşit fiziksel bir vektör miktarıdır:
V(vektör) = s(vektör) / t
Böylece düzgün doğrusal hareketin hızı, maddesel bir noktanın birim zamanda ne kadar hareket ettiğini gösterir.
Hareketli düzgün doğrusal hareket aşağıdaki formülle belirlenir:
s(vektör) = V(vektör) t
Kat edilen mesafe doğrusal harekette yer değiştirme modülüne eşittir. OX ekseninin pozitif yönü hareket yönüyle çakışıyorsa, hızın OX eksenine izdüşümü hızın büyüklüğüne eşit ve pozitiftir:
v x = v, yani v > 0
Yer değiştirmenin OX eksenine izdüşümü şuna eşittir:
s = vt = x – x 0
burada x 0 cismin başlangıç koordinatıdır, x cismin son koordinatıdır (veya cismin herhangi bir andaki koordinatıdır)
Hareket denklemi yani cisim koordinatlarının x = x(t) zamanına bağımlılığı şu şekli alır:
OX ekseninin pozitif yönü cismin hareket yönünün tersi ise, o zaman cismin hızının OX eksenine izdüşümü negatif olur, hız sıfırdan küçüktür (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:
4. Eşit derecede değişen hareket.
Düzgün doğrusal hareket- Bu, düzensiz hareketin özel bir durumudur.
Düzensiz hareket- bu, bir vücudun (maddi noktanın) eşit zaman dilimlerinde eşit olmayan hareketler yaptığı bir harekettir. Örneğin bir şehir otobüsü, hareketi esas olarak hızlanma ve yavaşlamadan oluştuğu için dengesiz bir şekilde hareket eder.
Eşit derecede değişen hareket- bu, bir vücudun hızının (maddi nokta) herhangi bir eşit zaman diliminde eşit olarak değiştiği bir harekettir.
Düzgün hareket sırasında bir cismin ivmelenmesi büyüklük ve yön bakımından sabit kalır (a = sabit).
Düzgün hareket eşit şekilde hızlandırılabilir veya eşit şekilde yavaşlayabilir.
Düzgün hızlandırılmış hareket- bu, bir cismin (maddi noktanın) pozitif ivmeli hareketidir, yani böyle bir hareketle vücut sabit ivmeyle hızlanır. Düzgün ivmeli hareket durumunda, cismin hızının modülü zamanla artar ve ivmenin yönü, hareket hızının yönü ile çakışır.
Eşit yavaş çekim- bu, bir vücudun (maddi noktanın) negatif ivmeli hareketidir, yani böyle bir hareketle vücut eşit şekilde yavaşlar. Düzgün yavaş çekimde hız ve ivme vektörleri zıttır ve hız modülü zamanla azalır.
Mekanikte, herhangi bir doğrusal hareket hızlandırılır, bu nedenle yavaş hareket, hızlandırılmış hareketten yalnızca hızlanma vektörünün koordinat sisteminin seçilen eksenine izdüşümünün işaretinde farklılık gösterir.
Ortalama değişken hız Vücudun hareketinin, bu hareketin yapıldığı zamana bölünmesiyle belirlenir. Ortalama hızın birimi m/s'dir.
Anlık hız belirli bir zamanda veya yörüngenin belirli bir noktasında bir cismin (maddi nokta) hızıdır, yani ortalama hızın Δt zaman periyodunda sonsuz bir azalmayla yöneldiği sınırdır:
V=lim(^t-0) ^s/^t
Anlık hız vektörü Düzgün alternatif hareket, yer değiştirme vektörünün zamana göre birinci türevi olarak bulunabilir:
V(vektör) = s’(vektör)
Hız vektör projeksiyonu OX ekseninde:
bu, koordinatın zamana göre türevidir (hız vektörünün diğer koordinat eksenlerine izdüşümleri benzer şekilde elde edilir).
Hızlanma bir cismin hızındaki değişim oranını, yani Δt zaman periyodunda sonsuz bir azalmayla hızdaki değişimin yöneldiği sınırı belirleyen bir niceliktir:
a(vektör) = lim(t-0) ^v(vektör)/^t
Düzgün değişen hareketin hızlanma vektörü hız vektörünün zamana göre birinci türevi veya yer değiştirme vektörünün zamana göre ikinci türevi olarak bulunabilir:
a(vektör) = v(vektör)" = s(vektör)"
0'ın vücudun ilk andaki hızı (başlangıç hızı), vücudun belirli bir andaki hızı (son hız) olduğu düşünülürse, t hız değişiminin meydana geldiği zaman dilimidir. , ivme formülü aşağıdaki gibi olacaktır:
a(vektör) = v(vektör)-v0(vektör)/t
Buradan düzgün hız formülü herhangi bir zamanda:
v(vektör) = v 0 (vektör) + a(vektör)t
Bir cisim, doğrusal Kartezyen koordinat sisteminin OX ekseni boyunca, cismin yörüngesiyle çakışacak şekilde doğrusal olarak hareket ederse, hız vektörünün bu eksene izdüşümü aşağıdaki formülle belirlenir:
v x = v 0x ± a x t
İvme vektörünün izdüşümünün önündeki “-” (eksi) işareti düzgün yavaş hareketi ifade eder. Hız vektörünün diğer koordinat eksenlerine izdüşümü için denklemler benzer şekilde yazılmıştır.
Düzgün harekette ivme sabit olduğundan (a = sabit), ivme grafiği 0t eksenine (zaman ekseni, Şekil 1.15) paralel bir düz çizgidir.
Pirinç. 1.15. Vücut ivmesinin zamana bağımlılığı.
Hızın zamana bağımlılığı grafiği düz bir çizgi olan doğrusal bir fonksiyondur (Şekil 1.16).
Pirinç. 1.16. Vücut hızının zamana bağımlılığı.
Hız-zaman grafiği(Şekil 1.16) şunu göstermektedir:
Bu durumda yer değiştirme sayısal olarak 0abc şeklinin alanına eşittir (Şekil 1.16).
Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir. 0abc yamuğunun tabanları sayısal olarak eşittir:
Yamuğun yüksekliği t'dir. Böylece, yamuğun alanı ve dolayısıyla yer değiştirmenin OX eksenine izdüşümü şuna eşittir:
Düzgün yavaş hareket durumunda, ivme projeksiyonu negatiftir ve yer değiştirme projeksiyonu formülünde ivmenin önüne bir “-” (eksi) işareti konur.
Yer değiştirme projeksiyonunu belirlemek için genel formül:
Çeşitli ivmelerde bir cismin hızına karşı zamana karşı grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.17. v0 = 0 için yer değiştirme-zaman grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.18.
Pirinç. 1.17. Farklı hızlanma değerleri için vücut hızının zamana bağlılığı.
Pirinç. 1.18. Vücut hareketinin zamana bağımlılığı.
Belirli bir t 1 zamanında vücudun hızı, grafiğe teğet ile zaman ekseni v = tg α arasındaki eğim açısının tanjantına eşittir ve yer değiştirme aşağıdaki formülle belirlenir:
Vücudun hareket zamanı bilinmiyorsa, iki denklemden oluşan bir sistemi çözerek başka bir yer değiştirme formülü kullanabilirsiniz:
Kareler farkının kısaltılmış çarpımı için formül yer değiştirme projeksiyonunun formülünü elde etmemize yardımcı olacaktır:
Cismin herhangi bir andaki koordinatı, başlangıç koordinatının ve yer değiştirme izdüşümünün toplamı tarafından belirlendiğinden, o zaman vücut hareketi denklemişöyle görünecek:
x(t) koordinatının grafiği de bir paraboldür (yer değiştirme grafiği gibi), ancak genel durumda parabolün tepe noktası orijin ile çakışmaz. ne zaman bir x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).
Yörünge(Geç Latince yörüngelerden - hareketle ilgili), bir cismin (maddi nokta) hareket ettiği çizgidir. Hareketin yörüngesi düz (vücut bir yönde hareket eder) ve kavisli olabilir, yani mekanik hareket doğrusal ve eğrisel olabilir.
Düz çizgi yörüngesi bu koordinat sisteminde düz bir çizgidir. Örneğin, bir arabanın dönüşlerin olmadığı düz bir yoldaki yörüngesinin düz olduğunu varsayabiliriz.
Eğrisel hareket cisimlerin bir daire, elips, parabol veya hiperbol içindeki hareketidir. Eğrisel harekete bir örnek, hareket eden bir arabanın tekerleği üzerindeki bir noktanın hareketi veya bir arabanın dönüşteki hareketidir.
Hareket zor olabilir. Örneğin, bir cismin yolculuğunun başlangıcındaki yörüngesi doğrusal olabilir, ardından kavisli olabilir. Örneğin, yolculuğun başında bir araba düz bir yolda hareket eder, sonra yol "sarılmaya" başlar ve araba kavisli bir yönde hareket etmeye başlar.
Yol
Yol yörüngenin uzunluğudur. Yol skaler bir büyüklüktür ve SI sisteminde metre (m) cinsinden ölçülür. Yol hesaplaması birçok fizik probleminde yapılır. Bazı örnekler bu eğitimin ilerleyen kısımlarında ele alınacaktır.
Vektörü taşı
Vektörü taşı(veya sadece hareketli) vücudun başlangıç konumunu sonraki konumuna bağlayan yönlendirilmiş bir düz çizgi parçasıdır (Şekil 1.1). Yer değiştirme vektörel bir büyüklüktür. Yer değiştirme vektörü, hareketin başlangıç noktasından bitiş noktasına doğru yönlendirilir.
Hareket vektör modülü(yani hareketin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren parçanın uzunluğu) kat edilen mesafeye eşit veya kat edilen mesafeden daha az olabilir. Ancak yer değiştirme vektörünün büyüklüğü hiçbir zaman kat edilen mesafeden büyük olamaz.
Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü, yol yörüngeyle çakıştığında kat edilen mesafeye eşittir (bkz. bölümler ve ), örneğin bir araba düz bir yol boyunca A noktasından B noktasına hareket ederse. Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü, maddi bir nokta kavisli bir yol boyunca hareket ettiğinde kat edilen mesafeden daha azdır (Şekil 1.1).
Pirinç. 1.1. Yer değiştirme vektörü ve kat edilen mesafe.
Şek. 1.1:
Başka bir örnek. Araba bir kez daire çizerse, hareketin başladığı noktanın hareketin bittiği noktayla çakışacağı ve ardından yer değiştirme vektörünün sıfıra eşit olacağı ve kat edilen mesafenin şuna eşit olacağı ortaya çıkar: dairenin uzunluğu. Böylece yol ve hareket iki farklı konsept.
Vektör toplama kuralı
Yer değiştirme vektörleri, vektör toplama kuralına göre geometrik olarak eklenir (üçgen kuralı veya paralelkenar kuralı, bkz. Şekil 1.2).
Pirinç. 1.2. Yer değiştirme vektörlerinin eklenmesi.
Şekil 1.2, S1 ve S2 vektörlerini toplama kurallarını göstermektedir:
a) Üçgen kuralına göre toplama
b) Paralelkenar kuralına göre toplama
Hareket vektör projeksiyonları
Fizikteki problemleri çözerken, yer değiştirme vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri sıklıkla kullanılır. Yer değiştirme vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleri, bitiş ve başlangıç koordinatlarındaki farklılıklarla ifade edilebilir. Örneğin, maddi bir nokta A noktasından B noktasına hareket ederse, o zaman yer değiştirme vektörü (bkz. Şekil 1.3).
OX eksenini, vektör bu eksenle aynı düzlemde olacak şekilde seçelim. A ve B noktalarından (yer değiştirme vektörünün başlangıç ve bitiş noktalarından) dik açıları OX ekseniyle kesişinceye kadar indirelim. Böylece A ve B noktalarının X eksenine izdüşümlerini elde etmiş oluyoruz. A ve B noktalarının izdüşümlerini sırasıyla A x ve B x olarak gösterelim. OX eksenindeki A x B x segmentinin uzunluğu yer değiştirme vektör projeksiyonu OX ekseninde, yani
S x = A x B x
ÖNEMLİ!
Matematiği çok iyi bilmeyenler için şunu hatırlatayım: Bir vektörü, bir vektörün herhangi bir eksene izdüşümüyle (örneğin S x) karıştırmayın. Bir vektör her zaman üzerinde bir ok bulunan bir harf veya birkaç harfle gösterilir. Bazı elektronik belgelerde ok yerleştirilmez, çünkü bu durum elektronik belge oluştururken zorluklara neden olabilir. Bu gibi durumlarda, mektubun yanında "vektör" kelimesinin yazılabileceği veya başka bir şekilde bunun sadece bir bölüm değil, bir vektör olduğunu size gösterebilecekleri makalenin içeriğine göre yönlendirin.
Pirinç. 1.3. Yer değiştirme vektörünün projeksiyonu.
Yer değiştirme vektörünün OX eksenine izdüşümü, vektörün sonu ve başlangıcı koordinatları arasındaki farka eşittir, yani
S x = x – x 0
Yer değiştirme vektörünün OY ve OZ eksenlerindeki izdüşümleri benzer şekilde belirlenir ve yazılır:
S y = y – y 0 S z = z – z 0
Burada x 0 , y 0 , z 0 başlangıç koordinatlarıdır veya cismin başlangıç konumunun (maddi nokta) koordinatlarıdır; x, y, z - son koordinatlar veya gövdenin sonraki konumunun koordinatları (malzeme noktası).
Vektörün yönü ile koordinat ekseninin yönü çakışırsa (Şekil 1.3'teki gibi) yer değiştirme vektörünün izdüşümünün pozitif olduğu kabul edilir. Vektörün yönü ile koordinat ekseninin yönü çakışmıyorsa (tersi), vektörün izdüşümü negatiftir (Şekil 1.4).
Yer değiştirme vektörü eksene paralel ise, projeksiyonunun modülü, Vektörün kendi modülüne eşittir. Yer değiştirme vektörü eksene dik ise, projeksiyonunun modülü sıfıra eşittir (Şekil 1.4).
Pirinç. 1.4. Hareket vektörü projeksiyon modülleri.
Bir miktarın sonraki ve başlangıç değerleri arasındaki farka bu miktardaki değişim denir. Yani yer değiştirme vektörünün koordinat eksenine izdüşümü karşılık gelen koordinattaki değişime eşittir. Örneğin, cismin X eksenine dik olarak hareket ettiği durumda (Şekil 1.4), cismin X eksenine göre HAREKET ETMEDİĞİ ortaya çıkar. Yani cismin X ekseni boyunca hareketi sıfırdır.
Düzlemdeki vücut hareketine bir örnek verelim. Cismin başlangıç konumu koordinatları x 0 ve y 0 olan A noktasıdır, yani A(x 0, y 0). Cismin son konumu x ve y koordinatlarına sahip B noktasıdır, yani B(x, y). Cisim yer değiştirme modülünü bulalım.
A ve B noktalarından OX ve OY koordinat eksenlerine dik açıları indiriyoruz (Şekil 1.5).
Pirinç. 1.5. Bir cismin düzlem üzerinde hareketi.
Yer değiştirme vektörünün OX ve OY eksenleri üzerindeki izdüşümlerini belirleyelim:
S x = x – x 0 S y = y – y 0
Şek. Şekil 1.5'ten ABC üçgeninin bir dik üçgen olduğu açıktır. Bundan, sorunu çözerken kişinin kullanabileceği sonucu çıkar Pisagor teoremi burada yer değiştirme vektörünün modülünü bulabilirsiniz, çünkü
AC = s x CB = s y
Pisagor teoremine göre
S 2 = S x 2 + S y 2
Yer değiştirme vektörünün modülünü, yani vücudun A noktasından B noktasına kadar olan yolunun uzunluğunu nerede bulabilirsiniz:
Ve son olarak, bilginizi pekiştirmenizi ve kendi takdirinize bağlı olarak birkaç örnek hesaplamanızı öneririm. Bunu yapmak için koordinat alanlarına bazı sayılar girin ve HESAPLA düğmesine tıklayın. Tarayıcınızın JavaScript komut dosyalarının yürütülmesini desteklemesi ve tarayıcı ayarlarınızda komut dosyası yürütmenin etkinleştirilmesi gerekir, aksi takdirde hesaplama yapılmayacaktır. Gerçek sayılarda tam sayı ve kesirli kısımlar bir noktayla (örneğin 10,5) ayrılmalıdır.
Fren mesafesini bilmek, arabanın başlangıç hızını nasıl belirler ve başlangıç hızı, hızlanma, zaman gibi hareket özelliklerini bilmek, arabanın hareketini nasıl belirler? Bugünkü dersin konusu hakkında bilgi sahibi olduktan sonra cevapları alacağız: “Düzgün ivmeli hareket sırasında hareket, düzgün ivmeli hareket sırasında koordinatların zamana bağlılığı”
Eşit şekilde hızlandırılmış hareketle grafik, ivme projeksiyonu sıfırdan büyük olduğundan yukarıya doğru giden düz bir çizgiye benzer.
Düzgün doğrusal hareketle alan, sayısal olarak vücudun hareketinin izdüşümü modülüne eşit olacaktır. Bu gerçeğin sadece düzgün hareket durumu için değil aynı zamanda herhangi bir hareket için de genelleştirilebileceği, yani grafiğin altındaki alanın yer değiştirme projeksiyonunun modülüne sayısal olarak eşit olduğu gösterilebileceği ortaya çıktı. Bu kesinlikle matematiksel olarak yapılır, ancak grafiksel bir yöntem kullanacağız.
Pirinç. 2. Düzgün hızlandırılmış hareket için hız-zaman grafiği ()
Düzgün ivmeli hareket için hız-zaman izdüşümünün grafiğini küçük zaman aralıklarına (Δt) bölelim. O kadar küçük olduklarını varsayalım ki hız pratik olarak aralarında değişmedi, yani şekildeki doğrusal bağımlılığın grafiğini koşullu olarak bir merdivene dönüştüreceğiz. Her adımda hızın pratikte değişmediğine inanıyoruz. Δt zaman aralıklarını sonsuz küçük hale getirdiğimizi hayal edelim. Matematikte şöyle derler: Sınıra geçiş yapıyoruz. Bu durumda, böyle bir merdivenin alanı, V x (t) grafiği ile sınırlanan yamuk alanıyla süresiz olarak çakışacaktır. Bu, düzgün ivmeli hareket durumunda, yer değiştirme projeksiyonunun modülünün sayısal olarak V x (t) grafiğiyle sınırlanan alana eşit olduğunu söyleyebileceğimiz anlamına gelir: apsis ve ordinat eksenleri ve apsise indirilen dik, yani Şekil 2'de gördüğümüz yamuk OABC'nin alanıdır.
Sorun fiziksel bir problemden matematiksel bir probleme dönüşüyor - yamuğun alanını bulmak. Bu, fizikçilerin şu veya bu fenomeni tanımlayan bir model oluşturduğunda ve ardından matematik devreye girip bu modeli denklemler, yasalarla zenginleştirdiğinde - modeli bir teoriye dönüştüren bir şey - standart bir durumdur.
Yamuğun alanını buluyoruz: yamuk dikdörtgendir, eksenler arasındaki açı 90 0 olduğundan yamuğu iki rakama böleriz - bir dikdörtgen ve bir üçgen. Açıkçası, toplam alan bu rakamların alanlarının toplamına eşit olacaktır (Şekil 3). Alanlarını bulalım: dikdörtgenin alanı kenarların çarpımına eşittir, yani V 0x t, sağ üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşit olacaktır - 1/2AD BD, projeksiyonların değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: 1/2t (V x - V 0x) ve düzgün hızlandırılmış hareket sırasında zaman içinde hızdaki değişim yasasını hatırlayarak: V x (t) = V 0x + a x t, hız projeksiyonlarındaki farkın a x ivme projeksiyonunun t süresine çarpımına eşit olduğu oldukça açıktır, yani V x - V 0x = a x t.
Pirinç. 3. Yamuk alanının belirlenmesi ( Kaynak)
Yamuğun alanının sayısal olarak yer değiştirme projeksiyonunun modülüne eşit olduğu gerçeğini dikkate alarak şunu elde ederiz:
S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2
Eşit ivmeli hareket sırasında yer değiştirmenin zamana bağımlılığı yasasını vektör biçiminde elde ettik;
(t) = t + t2/2
Yer değiştirme projeksiyonu için zamanı değişken olarak içermeyen başka bir formül türetelim. Denklem sistemini çözerek zamanı ortadan kaldıralım:
S x (t) = V 0 x + a x t 2/2
V x (t) = V 0 x + a x t
Zamanın bizim için bilinmediğini varsayalım, o zaman zamanı ikinci denklemden ifade edeceğiz:
t = V x - V 0x / a x
Ortaya çıkan değeri ilk denklemde yerine koyalım:
Bu hantal ifadeyi alalım, karesini alalım ve benzerlerini verelim:
Hareket zamanını bilmediğimiz durumlarda hareketin izdüşümü için çok uygun bir ifade elde ettik.
Frenleme başladığında arabanın başlangıç hızı V 0 = 72 km/saat, son hızı V = 0, ivmelenme a = 4 m/s 2 olsun. Fren mesafesinin uzunluğunu öğrenin. Kilometreyi metreye çevirip formüldeki değerleri yerine koyarsak fren mesafesinin şöyle olacağını buluruz:
S x = 0 - 400(m/s) 2 / -2 · 4 m/s 2 = 50 m
Aşağıdaki formülü analiz edelim:
S x = (V 0 x + V x) / 2 t
Yer değiştirme projeksiyonu, başlangıç ve son hız projeksiyonlarının yarı toplamının hareket zamanı ile çarpımından elde edilir. Ortalama hız için yer değiştirme formülünü hatırlayalım
S x = V av · t
Düzgün ivmeli hareket durumunda ortalama hız şöyle olacaktır:
Va av = (V 0 + V k) / 2
Düzgün ivmeli hareket mekaniğinin ana problemini çözmeye, yani koordinatın zamanla değiştiği yasayı elde etmeye yaklaştık:
x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2
Bu yasanın nasıl kullanılacağını öğrenmek için tipik bir sorunu analiz edelim.
Durağan halden hareket eden bir araba 2 m/s2'lik bir ivme kazanır. Arabanın 3 saniyede ve üçüncü saniyede kat ettiği mesafeyi bulun.
Verilen: V 0 x = 0
Yer değiştirmenin zamanla değiştiğini belirten yasayı yazalım.
düzgün ivmeli hareket: S x = V 0 x t + a x t 2/2. 2 sn< Δt 2 < 3.
Sorunun ilk sorusunu verileri yerine koyarak yanıtlayabiliriz:
t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - bu kat edilen yoldur
c araba 3 saniyede.
2 saniyede ne kadar yol kat ettiğini bulalım:
S x (2 s) = a x t 2/2 = 2 2 2/2 = 4 (m)
Yani sen ve ben arabanın iki saniyede 4 metre yol kat ettiğini biliyoruz.
Şimdi bu iki mesafeyi bildiğimizde üçüncü saniyede kat ettiği yolu bulabiliriz:
S 2x = S 1x + S x (2 sn) = 9 - 4 = 5 (m)
Ders kitaplarında ve öğretim yardımcılarında (örneğin), başlangıç hızının projeksiyonu yapılırken hız grafiğinin belirli bir örneğini kullanarak doğrusal düzgün ivmeli hareketin (RUM) projeksiyonu için bir formül türetilir. v x> 0 ve ivme bir x> 0 ve X ekseninin yönü hareket yönü ile çakışıyor. Bu durumda, yer değiştirme projeksiyonunun büyüklüğünün yamuk alanına eşit olduğu kabul edilir. Ancak, örneğin ne zaman olduğu dikkate alınmaz. v x> 0 ve bir x < 0 получается не трапеция, а два треугольника, расположенных по разные стороны оси времени.
PRUD sırasında yer değiştirmenin projeksiyonu için elde edilen formüller vektör formuna dönüştürülmez. Görünüşe göre, yazarlar bunun herhangi bir (düz çizgi olması gerekmeyen) itme kolu için geçerli olan formüllere yol açacağını anlıyorlar. Yer değiştirme formülünün türetilmesini iticiye bağlamak, iticiyi ivmeyle eşdoğrusal olmayan bir başlangıç hızıyla analiz ederken, hareketi her seferinde düzgün ve doğrusal, eşit şekilde hızlandırılmış olarak ayrıştırmanın gerekli olduğu gerçeğine yol açar (örneğin, yerçekiminin etkisi altında bir cismin eğrisel hareketini analiz ederken, homojen bir elektrik alanındaki bir yükün eğrisel hareketi).
Makale Rodnye Berega konut kompleksinin desteğiyle hazırlandı. Kaliteli ve güvenilir bir daire satın almaya karar verirseniz en iyi çözüm, Rodnye Bereg konut kompleksinin web sitesini ziyaret etmektir. "St. Petersburg'daki konut kompleksi" bağlantısına tıklayarak monitör ekranından ayrılmadan hayallerinizdeki daireyi uygun fiyata seçebilirsiniz. Şu anda yürürlükte olan fiyatlar ve promosyonlar hakkında daha ayrıntılı bilgi www.berega.spb.ru web sitesinde bulunabilir.
Bunu önlemek için, herhangi bir (sadece düz çizgide değil) gaz kolundaki hareket için geçerli olan bir vektör formülü türetmeyi öneriyoruz. Vücudun başlangıç hızıyla eşit şekilde hızlandırılmış hareket yapmasına izin verin υ 0 ve hızlanma A . Bu hareketin hız ile düzgün hareketten oluştuğu düşünülebilir. υ 0 ve başlangıç hızıyla eşit şekilde hızlandırılmış hareket υ 0 = 0 ve ivme A .
Hareketli S zaman içinde düzgün hareketle T eşittir υ 0 T. Sıfır başlangıç hızıyla gaz kelebeği kontrolünde hareket açıkça yalnızca hızlanmaya bağlı olabilir A ve zaman T yani bazı işlevler F( A,T). Dolayısıyla bu iki hareketin toplamı için şunu yazabiliriz:
S = υ 0 T + F( A,T). (1)
Zaman içinde T vücut hıza ulaşacak υ = υ 0 + A T.
Bir işlevi tanımlamak için F( A,T) Hareketin filme alındığını ve ters sırada gösterildiğini varsayalım. Bu durumda aynı anda beden imajı T ve aynı ivmeyle A bir hamle yapacak S varış = – S başlangıç hızıyla υ varış = – υ = –(υ 0 + A T).
Formül (1) örneği: S varış = υ varış. T + F( A,T) ifadeleri dikkate alınarak, S varış. υ varış:
–S = –(υ 0 + A T)T + F( A,T) ⇒ S = υ 0 T + A T 2 – F( A,T). (2)
Aynı nicelik için (1) ve (2) ifadesinin sağ taraflarını eşitleyelim S : υ 0 T + F( A,T) =υ 0 T + A T 2 – F( A,T).
Bu denklemi çözersek şunu elde ederiz: F( A,T)= 2/2'de.
Şimdi düzgün ivmeli hareket için formül (1) şu şekilde yazılabilir: S = υ 0 T + A T 2 /2.
Edebiyat
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fizik-9. – M.: Eğitim, 1999.
- Kabardey O.F. Fizik. – M.: AST-Basın Okulu, 2009.
