Basit trigonometrik denklemleri çözmek için formüller. Trigonometrik Denklemler Nasıl Çözülür?

Görev No.1

Mantık basit: Trigonometrik fonksiyonların artık daha karmaşık bir argümana sahip olmasına rağmen, daha önce yaptığımız gibi yapacağız!

Eğer formdaki bir denklemi çözecek olsaydık:

O zaman aşağıdaki cevabı yazacağız:

Veya (o zamandan beri)

Ama şimdi rolümüz şu ifadeyle oynanıyor:

O zaman şunu yazabiliriz:

Sizinle amacımız, sol tarafın herhangi bir "kirlilik" olmadan basit bir şekilde durmasını sağlamaktır!

Yavaş yavaş onlardan kurtulalım!

Öncelikle paydayı kaldıralım: Bunu yapmak için eşitliğimizi şununla çarpın:

Şimdi her iki parçayı da bölerek bundan kurtulalım:

Şimdi sekizden kurtulalım:

Ortaya çıkan ifade, 2 çözüm serisi olarak yazılabilir (ayırt ediciyi topladığımız veya çıkardığımız ikinci dereceden bir denklemle analoji yaparak)

En büyük negatif kökü bulmamız gerekiyor! Bunları halletmemiz gerektiği açık.

Önce ilk bölüme bakalım:

Alırsak sonuç olarak pozitif rakamlar alacağımız açık ama bunlar bizi ilgilendirmiyor.

Yani bunu olumsuz olarak algılamanız gerekiyor. Bırak olsun.

Kök ne zaman daha dar olacaktır:

Ve en büyük olumsuzu bulmalıyız!! Bu, burada olumsuz yöne gitmenin artık bir anlam ifade etmediği anlamına geliyor. Ve bu serinin en büyük negatif kökü şuna eşit olacaktır:

Şimdi ikinci seriye bakalım:

Ve yine yerine: koyarız, sonra:

İlgilenmiyorum!

O zaman daha fazla arttırmanın anlamı yok! Hadi azaltalım! O halde:

Uyar!

Bırak olsun. Daha sonra

O zaman - en büyük olumsuz kök!

Cevap:

Görev No.2

Karmaşık kosinüs argümanından bağımsız olarak tekrar çözüyoruz:

Şimdi sol tarafta tekrar ifade ediyoruz:

Her iki tarafı da çarpın

Her iki tarafı da ikiye böl

Geriye kalan tek şey onu sağa hareket ettirip işaretini eksiden artıya değiştirmek.

Yine biri ile diğeri ile olmak üzere 2 dizi kök elde ediyoruz.

En büyük negatif kökü bulmamız gerekiyor. İlk bölüme bakalım:

İlk negatif kökü elde edeceğimiz açıktır, bu 1 serideki en büyük negatif köke eşit olacaktır.

İkinci seri için

İlk negatif kök de elde edilecek ve eşit olacaktır. O zamandan beri denklemin en büyük negatif köküdür.

Cevap: .

Görev No.3

Karmaşık teğet argümanına bakılmaksızın çözüyoruz.

Şimdi, karmaşık görünmüyor, değil mi?

Daha önce olduğu gibi sol tarafta ifade ediyoruz:

Bu harika, burada yalnızca bir dizi kök var! En büyük negatifi tekrar bulalım.

Eğer onu bırakırsan ortaya çıkacağı açıktır. Ve bu kök eşittir.

Cevap:

Şimdi aşağıdaki sorunları kendiniz çözmeye çalışın.

Ev ödevi veya bağımsız olarak çözebileceğiniz 3 görev.

1. Denklemi çözün.
   
2. Denklemi çözün.
   Pi-shi-th-mümkün olan en küçük kökün cevabı.
3. Denklemi çözün.
   Pi-shi-th-mümkün olan en küçük kökün cevabı.

Hazır? Kontrol edelim. Çözüm algoritmasının tamamını ayrıntılı olarak açıklamayacağım; bana öyle geliyor ki yukarıda zaten yeterince dikkat çekilmiş.

Peki her şey yolunda mı? Ah, o iğrenç sinüsler, her zaman bir tür sorunla karşılaşırlar!

Artık basit trigonometrik denklemleri çözebilirsiniz!

Çözümlere ve yanıtlara göz atın:

Görev No.1

Hadi ifade edelim

O zamandan beri koyarsak en küçük pozitif kök elde edilir

Cevap:

Görev No.2

En küçük pozitif kök elde edilir.

Eşit olacak.

Cevap: .

Görev No.3

Aldığımızda, sahip olduğumuzda.

Cevap: .

Bu bilgi sınavda karşılaşacağınız birçok problemi çözmenize yardımcı olacaktır.

Eğer “5” notu için başvuruyorsanız, o zaman makaleyi okumaya devam etmeniz yeterli olacaktır. orta seviye bu ders daha karmaşık trigonometrik denklemlerin çözümüne ayrılacaktır (görev C1).

ORTA SEVİYE

Bu yazımda anlatacağım daha karmaşık trigonometrik denklemleri çözme ve köklerinin nasıl seçileceği. Burada aşağıdaki konulara değineceğim:

1. Başlangıç ​​seviyesi için trigonometrik denklemler (yukarıya bakın).

Daha karmaşık trigonometrik denklemler ileri düzey problemlerin temelini oluşturur. Hem denklemin genel halini çözmeyi hem de bu denklemin belirli bir aralığa ait köklerini bulmayı gerektirir.

Trigonometrik denklemleri çözmek iki alt göreve indirgenir:

1. Denklemin çözümü
2. Kök seçimi

İkincisinin her zaman gerekli olmadığı, ancak çoğu örnekte seçimin hala gerekli olduğu unutulmamalıdır. Ancak gerekli değilse, o zaman size sempati duyabiliriz - bu, denklemin kendi içinde oldukça karmaşık olduğu anlamına gelir.

C1 problemlerini analiz etme deneyimim, bunların genellikle aşağıdaki kategorilere ayrıldığını göstermektedir.

Artan karmaşıklığa sahip dört görev kategorisi (eski adıyla C1)

1. Çarpanlara ayırmaya indirgenen denklemler.
2. Denklemler forma indirgendi.
3. Bir değişken değiştirilerek çözülen denklemler.
4. İrrasyonellik veya payda nedeniyle ek kök seçimi gerektiren denklemler.

Basitçe söylemek gerekirse: yakalanırsanız ilk üç türün denklemlerinden biri, o zaman kendinizi şanslı sayın. Onlar için, kural olarak, belirli bir aralığa ait kökleri de seçmeniz gerekir.

4. tip bir denklemle karşılaşırsanız, o zaman daha az şanslısınız: onu daha uzun süre ve daha dikkatli bir şekilde düzeltmeniz gerekir, ancak çoğu zaman ek kök seçimi gerektirmez. Yine de bir sonraki makalede bu tür denklemleri analiz edeceğim ve bu makaleyi ilk üç türdeki denklemlerin çözümüne ayıracağım.

Çarpanlara ayırmaya indirgenen denklemler

Bu tür denklemleri çözmek için hatırlamanız gereken en önemli şey şudur:

Uygulamada görüldüğü gibi, kural olarak bu bilgi yeterlidir. Bazı örneklere bakalım:

Örnek 1. İndirgeme ve çift açılı sinüs formülleri kullanılarak çarpanlara ayırmaya indirgenmiş denklem

• Denklemi çöz
• Bu denklemin kesimin üzerinde bulunan tüm köklerini bulun

Burada söz verdiğim gibi indirgeme formülleri işe yarıyor:

O zaman denklemim şöyle görünecek:

O zaman denklemim aşağıdaki formu alacaktır:

Kısa görüşlü bir öğrenci şöyle diyebilir: Şimdi her iki tarafı da azaltacağım, en basit denklemi bulacağım ve hayatın tadını çıkaracağım! Ve acı bir şekilde yanılacak!

Peki ne yapmalı? Evet, çok basit, her şeyi bir tarafa taşıyın ve ortak faktörü çıkarın:

Bunu faktörlere ayırdık, yaşasın! Şimdi karar verelim:

İlk denklemin kökleri vardır:

Ve ikincisi:

Bu, problemin ilk kısmını tamamlıyor. Şimdi kökleri seçmeniz gerekiyor:

Boşluk şu şekilde:

Veya şu şekilde de yazılabilir:

Peki, kökleri alalım:

Öncelikle ilk bölümle çalışalım (ve en hafif tabirle daha basit!)

Aralığımız tamamen negatif olduğundan negatif olmayanları almaya gerek yoktur, yine negatif olmayan kökler verecektir.

Hadi alalım o zaman - çok fazla, çarpmıyor.

Bırak öyle olsun, bir daha vurmadım.

Bir kez daha dene - o zaman - evet, başardım! İlk kök bulundu!

Tekrar ateş ediyorum: sonra tekrar vuruyorum!

Peki, bir kez daha: : - bu zaten bir uçuş.

Yani ilk seriden aralığa ait 2 kök vardır: .

İkinci seriyle çalışıyoruz (inşa ediyoruz) kurala göre iktidara):

Yetersiz atış!

Yine kaçırdım!

Yine kaçırdım!

Anladım!

Uçuş!

Dolayısıyla benim aralığım aşağıdaki köklere sahiptir:

Bu, diğer tüm örnekleri çözmek için kullanacağımız algoritmadır. Bir örnek daha ile birlikte pratik yapalım.

Örnek 2. İndirgeme formülleri kullanılarak çarpanlara ayırmaya indirgenmiş denklem

• Denklemi çöz

Çözüm:

Yine meşhur indirgeme formülleri:

Tekrar kesmeye çalışmayın!

İlk denklemin kökleri vardır:

Ve ikincisi:

Şimdi yine kök arayışı.

İkinci bölümle başlayacağım, önceki örnekten zaten her şeyi biliyorum! Bakın ve aralığa ait köklerin aşağıdaki gibi olduğundan emin olun:

Şimdi ilk bölüm ve daha basit:

Eğer - uygunsa

Bu da uygunsa

Zaten bir uçuşsa.

O zaman kökler aşağıdaki gibi olacaktır:

Bağımsız çalışma. 3 denklem.

Peki teknik sizin için açık mı? Trigonometrik denklemleri çözmek artık o kadar da zor görünmüyor mu? Ardından aşağıdaki sorunları hızlı bir şekilde kendiniz çözün, ardından diğer örnekleri çözeceğiz:

1. Denklemi çöz
   Bu denklemin aralığın üzerinde kalan tüm köklerini bulun.
2. Denklemi çöz
   Kesiğin üzerinde bulunan denklemin köklerini belirtin
3. Denklemi çöz
   Bu denklemin aralarında kalan tüm köklerini bulun.

Denklem 1.

Ve yine indirgeme formülü:

İlk kök serisi:

İkinci kök dizisi:

Boşluk seçimine başlıyoruz

Cevap: , .

Denklem 2. Bağımsız çalışmayı kontrol etmek.

Faktörlere göre oldukça zor bir gruplandırma (çift açılı sinüs formülünü kullanacağım):

sonra veya

Bu genel bir çözümdür. Şimdi kökleri seçmemiz gerekiyor. Sorun şu ki, kosinüsü dörtte bire eşit olan bir açının tam değerini söyleyemeyiz. Bu nedenle ark kosinüsünden öylece kurtulamıyorum - çok yazık!

O zaman yapabileceğim şey bunu çözmek.

Bir tablo oluşturalım: aralık:

Acı verici araştırmalar sonucunda, denklemimizin belirtilen aralıkta bir kökü olduğu konusunda hayal kırıklığı yaratan bir sonuca ulaştık: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Denklem 3: Bağımsız çalışma testi.

Korkutucu görünen bir denklem. Ancak çift açılı sinüs formülü uygulanarak oldukça basit bir şekilde çözülebilir:

2'ye düşürelim:

Birinci terimi ikinciyle, üçüncüyü dördüncüyle gruplandıralım ve ortak çarpanları çıkaralım:

İlk denklemin köklerinin olmadığı açıktır, şimdi ikinciyi ele alalım:

Genel olarak, bu tür denklemlerin çözümü üzerinde biraz daha sonra duracaktım, ancak ortaya çıktığı için yapacak bir şey yok, çözmem gerekiyor...

Formun denklemleri:

Bu denklem her iki tarafı da şuna bölerek çözülür:

Dolayısıyla denklemimizin tek bir kök serisi vardır:

Aralığa ait olanları bulmamız gerekiyor: .

Daha önce yaptığım gibi tekrar bir tablo oluşturalım:

Cevap: .

Denklemler forma indirgenmiştir:

Pekala, şimdi denklemlerin ikinci kısmına geçmenin zamanı geldi, özellikle de yeni türdeki trigonometrik denklemlerin çözümünün nelerden oluştuğunu zaten anlattım. Ancak denklemin şu şekilde olduğunu tekrarlamakta fayda var

Her iki tarafı kosinüse bölerek çözüldü:

1. Denklemi çöz
   Kesiğin üzerinde bulunan denklemin köklerini belirtin.
2. Denklemi çöz
   Aralarındaki denklemin köklerini belirtin.

Örnek 1.

İlki oldukça basit. Sağa doğru ilerleyin ve çift açılı kosinüs formülünü uygulayın:

Evet! Formun denklemi: . Her iki parçayı da bölüyorum

Kök taraması yapıyoruz:

Açıklık:

Cevap:

Örnek 2.

Her şey oldukça önemsiz: Sağdaki parantezleri açalım:

Temel trigonometrik kimlik:

Çift açının sinüsü:

Sonunda şunu elde ederiz:

Kök taraması: aralık.

Cevap: .

Peki tekniği beğendin mi, çok karmaşık değil mi? Umarım değildir. Hemen bir rezervasyon yapabiliriz: Saf halleriyle, hemen teğet denklemine indirgenen denklemler oldukça nadirdir. Tipik olarak bu geçiş (kosinüse bölme) daha karmaşık bir problemin yalnızca bir parçasıdır. İşte pratik yapmanız için bir örnek:

• Denklemi çöz
• Bu denklemin kesimin üzerinde bulunan tüm köklerini bulun.

Kontrol edelim:

Denklem hemen çözülebilir; her iki tarafı da şu şekilde bölmek yeterlidir:

Kök taraması:

Cevap: .

Öyle ya da böyle, az önce incelediğimiz türden denklemlerle henüz karşılaşmadık. Ancak bunu bir gün olarak adlandırmak için henüz çok erken: hala çözemediğimiz bir denklem "katmanı" daha kaldı. Bu yüzden:

Değişkenleri değiştirerek trigonometrik denklemleri çözme

Burada her şey şeffaf: Denkleme yakından bakıyoruz, olabildiğince basitleştiriyoruz, yerine koyma yapıyoruz, çözüyoruz, ters yerine koyma yapıyoruz! Kelimelerle her şey çok kolaydır. Uygulamalı olarak görelim:

Örnek.

• Denklemi çözün: .
• Bu denklemin kesimin üzerinde bulunan tüm köklerini bulun.

İşte burada değişimin kendisi bize kendini gösteriyor!

O zaman denklemimiz şuna dönüşecek:

İlk denklemin kökleri vardır:

Ve ikincisi şöyle:

Şimdi aralığa ait kökleri bulalım.

Cevap: .

Birlikte biraz daha karmaşık bir örneğe bakalım:

• Denklemi çöz
• Verilen denklemin üstte ve aralarında yer alan köklerini belirtin.

Burada değiştirme hemen görülmüyor, üstelik çok da açık değil. Önce düşünelim: Ne yapabiliriz?

Mesela hayal edebiliriz

Ve aynı zamanda

O zaman denklemim şu şekli alacak:

Ve şimdi dikkat, odaklanın:

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Aniden sen ve ben ikinci dereceden bir denklem bağıntısımız var! Hadi bir değişiklik yapalım, sonra şunu elde ederiz:

Denklemin aşağıdaki kökleri vardır:

Hoş olmayan ikinci kök dizisi, ancak hiçbir şey yapılamaz! Aralıktaki kökleri seçiyoruz.

şunu da dikkate almamız lazım

O zamandan beri ve o zamandan beri

Cevap:

Sorunları kendiniz çözmeden önce bunu pekiştirmek için işte size başka bir alıştırma:

• Denklemi çöz
• Bu denklemin aralarında kalan tüm köklerini bulun.

Burada gözlerinizi açık tutmalısınız: Artık sıfır olabilecek paydalarımız var! Bu nedenle köklere özellikle dikkat etmeniz gerekiyor!

Öncelikle uygun bir oyuncu değişikliği yapabilmem için denklemi yeniden düzenlemem gerekiyor. Şimdi tanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yeniden yazmaktan daha iyi bir şey düşünemiyorum:

Şimdi temel trigonometrik özdeşliği kullanarak kosinüsten sinüse geçeceğim:

Ve son olarak her şeyi ortak bir paydada buluşturacağım:

Artık denkleme geçebilirim:

Ama en (yani, en).

Artık her şey değiştirilmeye hazır:

Sonra veya

Ancak, eğer öyleyse, o zaman aynı anda olduğunu unutmayın!

Kim bundan muzdarip? Teğet ile ilgili sorun, kosinüs sıfıra eşit olduğunda tanımlanmamış olmasıdır (sıfıra bölme meydana gelir).

Böylece denklemin kökleri şöyle olur:

Şimdi aralıktaki kökleri eliyoruz:

Dolayısıyla denklemimizin aralıkta tek kökü vardır ve eşittir.

Görüyorsunuz: bir paydanın ortaya çıkması (tıpkı teğet gibi, köklerde bazı zorluklara yol açar! Burada daha dikkatli olmanız gerekir!).

Sen ve ben trigonometrik denklemleri analiz etmeyi neredeyse bitirdik; iki problemi kendi başınıza çözmek için çok az şey kaldı. İşte buradalar.

1. Denklemi çöz
   Bu denklemin kesimin üzerinde bulunan tüm köklerini bulun.
2. Denklemi çöz
   Kesimin üzerinde bulunan bu denklemin köklerini belirtin.

Karar verilmiş? Çok zor değil mi? Kontrol edelim:

1. Azaltma formüllerine göre çalışıyoruz:

   Denklemde yerine koyarız:

   Değiştirmeyi kolaylaştırmak için her şeyi kosinüslerle yeniden yazalım:

   Artık yenisini yapmak çok kolay:

   Denklemin çözümü olmadığından bunun yabancı bir kök olduğu açıktır. Daha sonra:

   Aralıkta ihtiyacımız olan kökleri arıyoruz

   Cevap: .

2. 
   Burada değiştirme hemen görülebilir:

   Sonra veya

   	- uyuyor!	- uyuyor!
   	- uyuyor!	- uyuyor!
   	- çok fazla!	- ayrıca çok fazla!

   Cevap:

Eh, artık bu kadar! Ancak trigonometrik denklemleri çözmek burada bitmiyor; denklemlerin irrasyonellik veya çeşitli "karmaşık paydalar" içerdiği en zor durumlarda geride kalıyoruz. Bu tür görevlerin ileri seviye için nasıl çözüleceğine bir makalede bakacağız.

İLERİ SEVİYE

Önceki iki makalede tartışılan trigonometrik denklemlere ek olarak, daha dikkatli analiz gerektiren başka bir denklem sınıfını ele alacağız. Bu trigonometrik örnekler ya irrasyonellik ya da bir payda içeriyor, bu da analizlerini zorlaştırıyor. Ancak sınav kağıdının C bölümünde bu denklemlerle karşılaşabilirsiniz. Bununla birlikte, her bulutun bir umut ışığı vardır: Bu tür denklemler için, kural olarak, köklerinin hangisinin belirli bir aralığa ait olduğu sorusu artık sorulmaz. Lafı fazla uzatmayalım, doğrudan trigonometrik örneklere geçelim.

Örnek 1.

Denklemi çözün ve parçaya ait kökleri bulun.

Çözüm:

Sıfıra eşit olmaması gereken bir paydamız var! O zaman bu denklemi çözmek sistemi çözmekle aynıdır.

Denklemlerin her birini çözelim:

Ve şimdi ikincisi:

Şimdi diziye bakalım:

Bu durumda paydamız sıfırlandığı için bu seçeneğin bize uymadığı açıktır (ikinci denklemin kökleri formülüne bakın)

Eğer öyleyse, o zaman her şey yolunda ve payda sıfır değil! O halde denklemin kökleri aşağıdaki gibidir: , .

Şimdi aralığa ait kökleri seçiyoruz.

O halde kökler aşağıdaki gibidir:

Görüyorsunuz, paydanın biçimindeki küçük bir bozukluğun ortaya çıkması bile denklemin çözümünü önemli ölçüde etkiledi: paydayı geçersiz kılan bir dizi kökü attık. Mantıksız trigonometrik örneklerle karşılaşırsanız işler daha da karmaşık hale gelebilir.

Örnek 2.

Denklemi çözün:

Çözüm:

En azından kökleri almanıza gerek yok ve bu iyi! Mantıksızlığa aldırış etmeden önce denklemi çözelim:

Peki hepsi bu mu? Hayır, ne yazık ki bu çok kolay olurdu! Kökün altında yalnızca negatif olmayan sayıların görünebileceğini unutmamalıyız. Daha sonra:

Bu eşitsizliğin çözümü:

Şimdi geriye ilk denklemin köklerinin bir kısmının yanlışlıkla eşitsizliğin geçerli olmadığı bir yere gelip gelmediğini bulmak kalıyor.

Bunu yapmak için tabloyu tekrar kullanabilirsiniz:

Böylece köklerimden biri “düştü”! Eğer onu bırakırsan ortaya çıkıyor. O zaman cevap şu şekilde yazılabilir:

Cevap:

Görüyorsunuz, kök daha da fazla dikkat gerektiriyor! Hadi bunu daha karmaşık hale getirelim: Şimdi kökümün altında bir trigonometrik fonksiyonum olsun.

Örnek 3.

Daha önce olduğu gibi: önce her birini ayrı ayrı çözeceğiz, sonra ne yaptığımızı düşüneceğiz.

Şimdi ikinci denklem:

Şimdi en zor şey, ilk denklemdeki kökleri yerine koyarsak aritmetik kök altında negatif değerlerin elde edilip edilmediğini bulmaktır:

Sayı radyan olarak anlaşılmalıdır. Bir radyan yaklaşık olarak derece olduğundan, radyan derece mertebesindedir. Burası ikinci çeyreğin köşesi. İkinci çeyreğin kosinüsünün işareti nedir? Eksi. Peki ya sinüs? Artı. Peki ifade hakkında ne söyleyebiliriz:

Sıfırdan az!

Bu, denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Artık zamanı geldi.

Bu sayıyı sıfırla karşılaştıralım.

Kotanjant, 1 çeyrekte azalan bir fonksiyondur (bağımsız değişken ne kadar küçükse, kotanjant o kadar büyük olur). radyan yaklaşık derecedir. Aynı zamanda

o zamandan beri ve bu nedenle
,

Cevap: .

Daha da karmaşık hale gelebilir mi? Lütfen! Kökün hala trigonometrik bir fonksiyon olması ve denklemin ikinci kısmının yine trigonometrik bir fonksiyon olması daha zor olacaktır.

Trigonometrik örnekler ne kadar fazla olursa o kadar iyidir, aşağıya bakın:

Örnek 4.

Sınırlı kosinüs nedeniyle kök uygun değil

Şimdi ikincisi:

Aynı zamanda kökün tanımı gereği:

Birim çemberi, yani sinüsün sıfırdan küçük olduğu çeyrekleri hatırlamamız gerekiyor. Bu çeyrekler nelerdir? Üçüncü ve dördüncü. Daha sonra ilk denklemin üçüncü veya dördüncü çeyrekte yer alan çözümleriyle ilgileneceğiz.

İlk seri, üçüncü ve dördüncü çeyreğin kesişiminde yer alan kökleri verir. İkinci seri - taban tabana zıt - birinci ve ikinci çeyreğin sınırında yatan köklere yol açar. Dolayısıyla bu seri bize uygun değil.

Cevap: ,

Ve tekrar "Zor mantıksızlık" ile trigonometrik örnekler. Trigonometrik fonksiyonu tekrar kökün altında bulmakla kalmıyoruz, aynı zamanda artık paydada da var!

Örnek 5.

Hiçbir şey yapılamaz - eskisi gibi yaparız.

Şimdi paydayla çalışıyoruz:

Trigonometrik eşitsizliği çözmek istemiyorum, bu yüzden kurnazca bir şey yapacağım: Kök dizimi alıp eşitsizliğin yerine koyacağım:

Eğer - çift ise, o zaman elimizde:

çünkü görüşün tüm açıları dördüncü çeyrekte yer alıyor. Ve yine kutsal soru: Dördüncü çeyrekteki sinüsün işareti nedir? Negatif. Daha sonra eşitsizlik

-tek ise, o zaman:

Açı hangi çeyrektedir? Burası ikinci çeyreğin köşesi. Sonra tüm köşeler yine ikinci çeyreğin köşeleri. Buradaki sinüs pozitiftir. Tam da ihtiyacın olan şey! Yani seri:

Uyar!

İkinci kök serisini de aynı şekilde ele alıyoruz:

Eşitsizliğimizi yerine koyarız:

Eğer - hatta o zaman

İlk çeyreğin kornerleri. Buradaki sinüs pozitiftir, yani seri uygundur. Şimdi eğer - tekse, o zaman:

çok yakışıyor!

Şimdi cevabı yazıyoruz!

Cevap:

Bu belki de en emek yoğun vakaydı. Şimdi size kendi başınıza çözebileceğiniz problemler sunuyorum.

Eğitim

1. Segmente ait denklemin tüm köklerini çözün ve bulun.

Çözümler:

1. 
   İlk denklem:
   veya
   Kökün ODZ'si:

   İkinci denklem:

   Aralığa ait köklerin seçimi

   Cevap:

Veya
veya
Ancak

Şunu düşünelim: . Eğer - hatta o zaman
- uymuyor!
Eğer - tek ise: - uygun!
Bu, denklemimizin aşağıdaki kök serisine sahip olduğu anlamına gelir:
veya
Aralıktaki köklerin seçimi:

	- uygun değil	- uyuyor
	- uyuyor	- çok fazla
	- uyuyor	birçok

Cevap: , .

Veya
O zamandan beri teğet tanımlı değil. Bu kök dizisini hemen atıyoruz!

İkinci bölüm:

Aynı zamanda DZ'ye göre;

İlk denklemde bulunan kökleri kontrol ediyoruz:

Eğer işaret:

Teğetin pozitif olduğu ilk çeyrek açılar. Uymuyor!
Eğer işaret:

Dördüncü çeyrek köşesi. Burada teğet negatiftir. Uyar. Cevabını yazıyoruz:

Cevap: , .

Bu makalede karmaşık trigonometrik örneklere birlikte baktık, ancak denklemleri kendiniz çözmelisiniz.

ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Trigonometrik denklem, bilinmeyenin kesinlikle trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklemdir.

Trigonometrik denklemleri çözmenin iki yolu vardır:

İlk yol formül kullanmaktır.

İkinci yol trigonometrik çemberden geçer.

Açıları ölçmenizi, sinüslerini, kosinüslerini vb. bulmanızı sağlar.

Trigonometrik bir denklemin çözümü iki adımdan oluşur: denklem dönüşümü en basitine ulaşmak için türü (yukarıya bakın) ve çözümortaya çıkan en basit trigonometrik denklem. Yedi tane var Trigonometrik denklemlerin çözümü için temel yöntemler.

1. Cebirsel yöntem.

(değişken değiştirme ve ikame yöntemi).

2. Çarpanlara ayırma.

Örnek 1. Denklemi çözün: günah X+çünkü X = 1 .

Çözüm Denklemin tüm terimlerini sola taşıyalım:

Günah X+çünkü X – 1 = 0 ,

İfadeyi dönüştürüp çarpanlarına ayıralım

Denklemin sol tarafı:

Örnek 2. Denklemi çözün:çünkü 2 X+ günah Xçünkü X = 1.

Çözüm: cos2 X+ günah Xçünkü X– günah 2 X– çünkü 2 X = 0 ,

Günah Xçünkü X– günah 2 X = 0 ,

Günah X· (çünkü X– günah X ) = 0 ,

Örnek 3. Denklemi çözün:çünkü 2 X–cos 8 X+ çünkü 6 X = 1.

Çözüm: cos2 X+ çünkü 6 X= 1 + çünkü 8 X,

2 çünkü 4 Xçünkü 2 X= 2cos² 4 X ,

Çünkü 4 X · (çünkü 2 X– çünkü 4 X) = 0 ,

Çünkü 4 X · 2 günah 3 X günah X = 0 ,

1). çünkü 4 X= 0, 2). günah 3 X= 0, 3). günah X = 0 ,

4. Yarım açıya geçiş.

Bir örnek kullanarak bu yönteme bakalım:

ÖRNEK Denklemi çöz: 3 günah X– 5 çünkü X = 7.

Çözüm: 6 günah ( X/ 2) çünkü ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 günah ( X/ 2) çünkü ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan² ( X/ 2) – 3 ten rengi ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Yardımcı açının tanıtılması.

Formun bir denklemini düşünün:

A günah X + Bçünkü X = C ,

Nerede A, B, C– katsayılar;X– bilinmiyor.

Artık denklemin katsayıları sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani: her birinin modülü (mutlak değeri) bunlardan en fazla 1'i, ve karelerinin toplamı 1'dir. O zaman belirtebiliriz buna göre onları Nasıl çünkü ve günah (burada - sözde yardımcı açı), Vedenklemimizi al

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometride problem çözme. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant konularını zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler, bir değişkenin trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemlerdir.

En basit trigonometrik denklemlerin çözüm şeklini tekrarlayalım:

1)Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Eğer |a|≤ 1 ise sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1 ise sin(x) = a ve cos(x) = a denklemlerinin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tam sayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Değerler tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

O halde x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n – eksi bir üssü n.

Trigonometrik denklemlere daha fazla örnek.

Çözüm:

A) Bu sefer doğrudan denklemin köklerini hesaplamaya geçelim:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) Bunu şu şekilde yazıyoruz: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Bunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

Denklemimizi genel formda çözelim: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k'da k=0, x= π/16'da verilen parçadayız.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vuruyoruz.
k=2 için, x= π/16+ π=17π/16, ancak burada vurmadık, bu da büyük k için de açıkça vuramayacağımız anlamına geliyor.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanacağız: t=tg(x).

Yer değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-1 ve t=1/3

O halde tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi elde ederiz, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şu şekilde olacaktır: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 çünkü 2 (x) - 3 çünkü(x) -2 = 0

t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e bölün: Sıfıra eşitse kosinüse bölemezsiniz, durumun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bir çelişki elde ederiz, böylece güvenli bir şekilde bölebiliriz sıfır.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Ortak çarpanı çıkaralım: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk'de Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün. Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. a katsayısının neye eşit olduğuna bakın, eğer a=0 ise denklemimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formunu alacaktır, bunun çözümünün bir örneği önceki slaytta verilmiştir.

2. Eğer a≠0 ise denklemin her iki tarafını kosinüs kareye bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirip denklemi elde ederiz:

Örnek no.:3'ü çözün

Denklemin her iki tarafını da kosinüs karesine bölelim:

t=tg(x) değişkenini değiştiriyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-3 ve t=1

O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Örnek No.:4'ü çözün

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

Şu tür denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Örnek no.:5'i çözün

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değişimini tanıtalım

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökler olacaktır: t=-2 ve t=1/2

Sonra şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yay(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için problemler.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; π].

3) Denklemi çözün: bebek karyolası 2 (x) + 2 bebek karyolası (x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür:

Herhangi bir trigonometrik denklem aşağıdaki türlerden birine indirgenmelidir:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

burada \(t\) x içeren bir ifadedir, \(a\) bir sayıdır. Bu tür trigonometrik denklemlere denir en basit. () veya özel formüller kullanılarak kolayca çözülebilirler:

Basit trigonometrik denklemlerin çözümüne ilişkin bilgi grafiklerine buradan bakın: ve.

Cevap: \(\left[ \begin(toplandı)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(toplandı)\right.\) \(k,n∈Z\)

Trigonometrik denklemlerin kökleri formülündeki her sembolün ne anlama geldiğine bakın.

Dikkat!\(\sin⁡x=a\) ve \(\cos⁡x=a\) denklemlerinin, eğer \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) ise çözümü yoktur. Herhangi bir x için sinüs ve kosinüs \(-1\)'den büyük veya eşit ve \(1\)'den küçük veya eşit olduğundan:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Örnek . \(\cos⁡x=-1,1\) denklemini çözün.
Çözüm: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Cevap : Çözüm yok.

Örnek . Trigonometrik denklemi \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) çözün.
Çözüm:

Trigonometrik denklemleri en basitine indirgemek yaratıcı bir iştir; burada denklemleri çözmek için her ikisini de ve özel yöntemleri kullanmanız gerekir:
- Yöntem (Birleşik Devlet Sınavında en popüler olanı).
- Yöntem.
- Yardımcı argümanların yöntemi.

İkinci dereceden trigonometrik denklemi çözmenin bir örneğini ele alalım

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Değiştirmeyi \(t=\cos⁡x\) yapalım.
	Denklemimiz tipik hale geldi. kullanarak çözebilirsiniz.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Ters değiştirme yapıyoruz.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	İlk denklemi sayı çemberini kullanarak çözüyoruz. İkinci denklemin çözümü yok çünkü \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ve herhangi bir x için ikiye eşit olamaz.
	Bu noktalarda yer alan tüm sayıları yazalım.

ODZ çalışmasıyla trigonometrik bir denklemin çözülmesine bir örnek:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Bir kesir var ve bir kotanjant var; bu da onu yazmamız gerektiği anlamına geliyor. Kotanjantın aslında bir kesir olduğunu size hatırlatmama izin verin: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Bu nedenle, ctg\(x\) için ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Sayı çemberi üzerinde “çözüm olmayanları” işaretleyelim.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Denklemdeki paydayı ctg\(x\) ile çarparak kurtulalım. Yukarıda ctg\(x ≠0\) yazdığımız için bunu yapabiliriz.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sinüs için çift açı formülünü uygulayalım: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Elleriniz kosinüse bölmek için uzanıyorsa geri çekin! Kesinlikle sıfıra eşit değilse değişkenli bir ifadeyle bölebilirsiniz (örneğin: \(x^2+1.5^x\)). Bunun yerine \(\cos⁡x\)'i parantezlerin dışına koyalım.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Denklemi ikiye “bölelim”.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	İlk denklemi sayı çemberini kullanarak çözelim. İkinci denklemi \(2\)'ye bölün ve \(\sin⁡x\)'i sağ tarafa taşıyın.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Ortaya çıkan kökler ODZ'ye dahil edilmez. Bu nedenle yanıt olarak bunları yazmayacağız. İkinci denklem tipiktir. Bunu \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ile bölelim denklemin çözümü olamaz çünkü bu durumda \(\cos⁡x=1\) veya \(\cos⁡ x=-1\)).
	Yine bir daire kullanıyoruz.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Bu kökler ODZ tarafından hariç tutulmaz, dolayısıyla bunları cevaba yazabilirsiniz.

Sınıf: 10

“Denklemler sonsuza kadar sürecek.”

A.Einstein

Ders hedefleri:

• eğitici:
  • trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemlerin anlaşılmasının derinleştirilmesi;
  • Trigonometrik denklemleri çözmek için yöntemleri ayırt etme ve doğru seçme becerilerini geliştirmek.
• eğitici:
  • eğitim sürecine bilişsel ilginin beslenmesi;
  • belirli bir görevi analiz etme yeteneğini geliştirmek;
  • sınıftaki psikolojik iklimin iyileştirilmesine katkıda bulunur.
• Gelişimsel:
  • bağımsız bilgi edinme becerisinin gelişimini teşvik etmek;
  • öğrencilerin kendi bakış açılarını tartışma yeteneklerini teşvik etmek;

Teçhizat: temel trigonometrik formüller, bilgisayar, projektör, ekran içeren poster.

1 ders

I. Referans bilgilerinin güncellenmesi

Denklemleri sözlü olarak çözün:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6)sinx = ;
7) tx = ;
8) çünkü 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k;

Z'ye.

II. Yeni materyal öğrenme

– Bugün daha karmaşık trigonometrik denklemlere bakacağız. Bunları çözmenin 10 yoluna bakalım. Daha sonra pekiştirme için iki ders olacak ve bir sonraki ders için bir test yapılacak. “Ders İçin” standında, testte yer alacak olanlara benzer görevler bulunmaktadır; bunları testten önce çözmeniz gerekir. (Testten bir gün önce bu görevlerin çözümlerini standa asın).

Öyleyse trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını düşünmeye devam edelim. Bu yöntemlerden bazıları muhtemelen size zor gelecektir, bazıları ise kolay görünecektir, çünkü... Denklem çözmek için bazı teknikleri zaten biliyorsunuz.

Sınıftaki dört öğrenciye bireysel bir görev verildi: trigonometrik denklemleri çözmenin 4 yolunu anlamak ve size göstermek.

(Konuşan öğrenciler önceden slaytlar hazırlamışlardır. Sınıfın geri kalanı denklem çözmenin ana adımlarını bir deftere yazar.) 1 öğrenci:

1 yol. Denklemleri çarpanlarına ayırarak çözme

günah 4x = 3 çünkü 2x
Denklemi çözmek için çift açılı sinüs formülünü kullanırız sin 2 = 2 sin cos
2 günah 2x çünkü 2x – 3 çünkü 2x = 0,

cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse, bu faktörlerin çarpımı sıfıra eşittir.
2x = + k, k Z veya sin 2x = 1,5 – çözüm yok çünkü | günah| 1
x = + k; Z'ye.

Cevap: x = + k, k Z. Yöntem 2. Trigonometrik fonksiyonların toplamını veya farkını çarpıma dönüştürerek denklem çözme

çünkü 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Denklemi çözmek için sin– sin = 2 sin сos formülünü kullanırız.

çünkü 3x + 2 sin çünkü = 0,

сos 3x – 2 sin x çünkü 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Ortaya çıkan denklem iki denklemden oluşan bir diziye eşdeğerdir:

İkinci denklemin çözüm kümesi tamamen birinci denklemin çözüm kümesine dahil edilmiştir. Araç

Cevap:

3 öğrenci. 3 yollu. Trigonometrik fonksiyonların çarpımını toplama dönüştürerek denklem çözme

günah 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Denklemi çözmek için formülü kullanırız

Cevap:

4 öğrenci. 4 yollu. İkinci dereceden denklemlere indirgenen denklemlerin çözümü

3 günah x – 2 çünkü 2 x = 0,
3 günah x – 2 (1 – günah 2 x) = 0,
2 günah 2 x + 3 günah x – 2 = 0,

Günah x = t olsun, burada | t |. İkinci dereceden denklem 2t 2 + 3t – 2 = 0'ı elde ederiz,

D = 9 + 16 = 25.

Böylece . koşulu karşılamıyor | t |.

Yani günah x = . Bu yüzden .

Cevap:

III. A. N. Kolmogorov'un ders kitabından öğrenilenlerin pekiştirilmesi

1. Sayı 164(a), 167(a) (ikinci dereceden denklem)
2. Sayı 168 (a) (çarpanlara ayırma)
3. Sayı 174 (a) (toplamın çarpıma dönüştürülmesi)
4. (çarpımı toplama dönüştürün)

(Dersin sonunda doğrulama için bu denklemlerin çözümünü ekranda gösterin)

№ 164 (A)

2 günah 2 x + günah x – 1 = 0.
Günah x = t olsun, | t | 1. Sonra
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Nerede

Cevap: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

tg x = 1 olsun, o zaman 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 denklemini elde ederiz.

Cevap:

№ 168 (A)

Cevap:

№ 174 (A)

Denklemi çözün:

Cevap:

Ders 2 (ders-konuşma)

IV. Yeni materyal öğrenme(devam)

– Öyleyse trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını incelemeye devam edelim.

5 yollu. Homojen trigonometrik denklemleri çözme

Formun denklemleri a günah x + b çünkü x = 0 a ve b'nin bazı sayılar olduğu denklemlere sin x veya cos x'e göre birinci dereceden homojen denklemler denir.

Denklemi düşünün

günah x – çünkü x = 0. Denklemin her iki tarafını da cos x'e bölelim. Bu yapılabilir, çünkü kök kaybı meydana gelmez; , Eğer çünkü x = 0, O günah x = 0. Ancak bu, temel trigonometrik özdeşlikle çelişiyor günah 2 x+cos 2 x = 1.

Aldık ten rengi x – 1 = 0.

ten rengi x = 1,

Formun denklemleri bir günah 2 x + bcos 2 x + c sin x çünkü x = 0 , Nerede a, b, c – bazı sayılara sin x veya cos x'e göre ikinci dereceden homojen denklemler denir.

Denklemi düşünün

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Denklemin her iki tarafını da cos x'e bölelim, kök kaybolmaz çünkü çünkü x = 0 bu denklemin kökü değil.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

tg x = t olsun. D = 9 – 8 = 1.

O halde tg x = 2 veya tg x = 1 olur.

Sonuç olarak, x = arktan 2 + , x =

Cevap: arktg 2 + ,

Başka bir denklemi düşünün: 3 sin 2 x – 3 sin x çünkü x + 4 çünkü 2 x = 2.
Denklemin sağ tarafını 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) formuna dönüştürelim. Sonra şunu elde ederiz:
3sin 2 x – 3sin x çünkü x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x çünkü x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 çünkü 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Daha önce analiz ettiğimiz 2. denklemi elde ettik).

Cevap: arktan 2 + k,

6 yollu. Doğrusal Trigonometrik Denklemleri Çözme

Doğrusal bir trigonometrik denklem, formun bir denklemidir a günah x + b çünkü x = c a, b, c bazı sayılardır.

Denklemi düşünün günah x + çünkü x= – 1.
Denklemi şu şekilde yeniden yazalım:

Bunu göz önünde bulundurarak şunu elde ederiz:

Cevap:

7 yollu. Ek bir argüman sunmak

İfade a çünkü x + b sin x dönüştürülebilir:

(Bu dönüşümü zaten trigonometrik ifadeleri basitleştirirken kullanmıştık)

Ek bir argüman sunalım - açı öyle ki

Daha sonra

Denklemi düşünün: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Ev ödevi: 164-170 (c, d).