Ters fonksiyon arktg. Ters trigonometrik fonksiyonlar, grafikleri ve formülleri

Ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonların tersi olan matematiksel fonksiyonlardır.

Fonksiyon y=arcsin(x)

Bir α sayısının ark sinüsü, sinüsü α'ya eşit olan [-π/2;π/2] aralığındaki bir α sayısıdır.
Bir fonksiyonun grafiği
[-π/2;π/2] aralığındaki у= sin⁡(x) fonksiyonu kesinlikle artan ve süreklidir; bu nedenle, tam olarak artan ve sürekli olan ters bir fonksiyona sahiptir.
x ∈[-π/2;π/2] olan y= sin⁡(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu ark sinüs olarak adlandırılır ve y=arcsin(x) ile gösterilir, burada x∈[-1;1 ]
Yani, ters fonksiyonun tanımına göre, arksinüsün tanım bölgesi [-1;1] segmentidir ve değerler kümesi de [-π/2;π/2] segmentidir.
x ∈[-1;1] olan y=arcsin(x) fonksiyonunun grafiğinin, x∈[-π/2;π olan y= sin(⁡x) fonksiyonunun grafiğiyle simetrik olduğuna dikkat edin. /2], birinci ve üçüncü çeyrek koordinat açılarının açıortayına göre.

Fonksiyon aralığı y=arcsin(x).

Örnek No.1.

Arcsin(1/2)'yi bulun?

Arcsin(x) fonksiyonunun değer aralığı [-π/2;π/2] aralığına ait olduğundan yalnızca π/6 değeri uygundur. Dolayısıyla arcsin(1/2) =π/. 6.
Cevap:π/6

Örnek No. 2.
Arcsin(-(√3)/2)'yi bulun?

Arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] değer aralığı olduğundan yalnızca -π/3 değeri uygundur. Dolayısıyla arcsin(-(√3)/2) =- π. /3.

Fonksiyon y=arccos(x)

Bir α sayısının ark kosinüsü, kosinüsü α'ya eşit olan aralıktan bir α sayısıdır.

Bir fonksiyonun grafiği

Parçadaki y= cos(⁡x) fonksiyonu kesinlikle azalan ve süreklidir; bu nedenle tam olarak azalan ve sürekli olan ters bir fonksiyona sahiptir.
x ∈ olmak üzere y= cos⁡x fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ark kosinüs ve y=arccos(x) ile gösterilir, burada x ∈[-1;1]'dir.
Yani, ters fonksiyonun tanımına göre, ark kosinüsün tanım alanı [-1;1] segmentidir ve değerler kümesi de segmenttir.
x ∈[-1;1] olan y=arccos(x) fonksiyonunun grafiğinin, x ∈ olan y= cos(⁡x) fonksiyonunun grafiğiyle, açıortaya göre simetrik olduğuna dikkat edin. birinci ve üçüncü çeyreğin koordinat açıları.

Fonksiyon aralığı y=arccos(x).

Örnek No. 3.

Arccos'u (1/2) buldunuz mu?

Arccos(x) fonksiyonunun değer aralığı aralığa ait olduğundan yalnızca 3π/4 değeri uygundur. Dolayısıyla arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Cevap: 3π/4

Fonksiyon y=arctg(x)

Bir α sayısının arktanjantı, tanjantı α'ya eşit olan [-π/2;π/2] aralığındaki bir α sayısıdır.

Bir fonksiyonun grafiği

Teğet fonksiyonu süreklidir ve (-π/2;π/2) aralığında tam olarak artmaktadır; dolayısıyla sürekli ve kesin olarak artan bir ters fonksiyona sahiptir.
y= tan⁡(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu, burada x∈(-π/2;π/2); arktanjant olarak adlandırılır ve y=arctg(x) ile gösterilir, burada x∈R.
Yani, ters fonksiyonun tanımına göre arktanjantın tanım bölgesi (-∞;+∞) aralığıdır ve değerler kümesi de aralıktır
(-π/2;π/2).
x∈R olduğu y=arctg(x) fonksiyonunun grafiğinin, x ∈ (-π/2;π/2) olduğu y= tan⁡x fonksiyonunun grafiğiyle simetrik olduğuna dikkat edin. birinci ve üçüncü çeyreğin koordinat açılarının açıortayı.

Fonksiyon aralığı y=arctg(x).

Örnek No. 5?

Arctan((√3)/3)'ü bulun.

Arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) değer aralığı olduğundan yalnızca π/6 değeri uygundur. Dolayısıyla arctg((√3)/3) =π/6.
Örnek No. 6.
Arctg(-1)'i buldunuz mu?

Arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) değer aralığı olduğundan yalnızca -π/4 değeri uygundur. Dolayısıyla arctg(-1) = - π/4.

Fonksiyon y=arcctg(x)

Bir fonksiyonun grafiği

(0;π) aralığında kotanjant fonksiyonu kesin olarak azalır; ayrıca bu aralığın her noktasında süreklidir; dolayısıyla (0;π) aralığında bu fonksiyonun tam olarak azalan ve sürekli olan ters bir fonksiyonu vardır.
x ∈(0;π) olduğu y=ctg(x) fonksiyonunun ters fonksiyonuna arkkotanjant adı verilir ve x∈R olmak üzere y=arcctg(x) ile gösterilir.
Yani ters fonksiyonun tanımına göre arkkotanjantın tanım bölgesi R, değerler kümesi ise (0;π) aralığı olacaktır. y=arcctg(x) fonksiyonunun grafiği. burada x∈R, birinci ve üçüncü çeyreğin koordinat açılarının açıortayına göre y=ctg(x) x∈(0 ;π fonksiyonunun grafiğine simetriktir.

Fonksiyon aralığı y=arcctg(x).

Örnek No. 8.
Arcctg(-(√3)/3)'ü bulun?

Arcctg(x) x∈(0;π) değer aralığı olduğundan yalnızca 2π/3 değeri uygundur. Dolayısıyla arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Editörler: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Ters trigonometrik fonksiyonlar matematiksel analizde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak çoğu lise öğrencisi için bu tür işlevlerle ilgili görevler önemli zorluklara neden olur. Bunun temel nedeni birçok ders kitabının ve öğretim yardımcısının bu tür görevlere çok az önem vermesidir. Ve eğer öğrenciler en azından bir şekilde ters trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplama problemleriyle başa çıkarsa, bu tür fonksiyonları içeren denklemler ve eşitsizlikler çoğunlukla çocukları şaşırtacaktır. Aslında bu şaşırtıcı değil, çünkü neredeyse hiçbir ders kitabı ters trigonometrik fonksiyonlar içeren en basit denklemlerin ve eşitsizliklerin bile nasıl çözüleceğini açıklamaz.

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren çeşitli denklem ve eşitsizliklere bakalım ve bunları ayrıntılı açıklamalarla çözelim.

Örnek 1.

Denklemi çözün: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Çözüm.

Denklemden ters trigonometrik fonksiyonu ifade edelim, şunu elde ederiz:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Şimdi ark kosinüs tanımını kullanalım.

-1'den 1'e kadar olan bölüme ait olan belirli bir a sayısının yay kosinüsü, 0'dan π'ye kadar olan bölümden bir y açısıdır, öyle ki kosinüsü x sayısına eşittir. Bu nedenle şu şekilde yazabiliriz:

2x + 3 = çünkü 5π/6.

İndirgeme formülünü kullanarak elde edilen denklemin sağ tarafını yazalım:

2x + 3 = çünkü (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Sağ tarafı ortak bir paydaya indirgeyelim.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Cevap: -(6 + √3) / 4 .

Örnek 2.

Denklemi çözün: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Çözüm.

cos (arcсos x) = x olduğundan ve x [-1'e ait olduğundan; 1], o zaman bu denklem sisteme eşdeğerdir:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Sistemde yer alan denklemi çözelim.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Karedir, dolayısıyla bunu anlıyoruz

x2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Sistemde yer alan ikili eşitsizliği çözelim.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Tüm parçalara 9 eklediğimizde:

8 ≤ 4x ≤ 10. Her sayıyı 4'e bölersek şunu elde ederiz:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Şimdi aldığımız cevapları birleştirelim. Kök x = 7'nin eşitsizliğin cevabını karşılamadığını görmek kolaydır. Bu nedenle denklemin tek çözümü x = 2'dir.

Cevap: 2.

Örnek 3.

Denklemi çözün: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Çözüm.

Tüm gerçek sayılar için tg (arctg x) = x olduğundan, bu denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi önce standart forma getirip diskriminant kullanarak çözelim.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Cevap 1; 2.

Örnek 4.

Denklemi çözün: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2/2 + x/2).

Çözüm.

arcctg f(x) = arcctg g(x) olduğundan ancak ve ancak f(x) = g(x) ise, o zaman

2x – 1 = x2/2 + x/2. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözelim:

4x – 2 = x2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Vieta teoremi ile şunu elde ederiz

x = 1 veya x = 2.

Cevap 1; 2.

Örnek 5.

Denklemi çözün: arksin (2x – 15) = arksin (x 2 – 6x – 8).

Çözüm.

Arcsin f(x) = arcsin g(x) formundaki bir denklem sisteme eşdeğer olduğundan

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

o zaman orijinal denklem sisteme eşdeğerdir:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Ortaya çıkan sistemi çözelim:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

İlk denklemden, Vieta teoremini kullanarak x = 1 veya x = 7 elde ederiz. Sistemin ikinci eşitsizliğini çözerek 7 ≤ x ≤ 8 olduğunu buluruz. Bu nedenle, final için yalnızca x = 7 kökü uygundur. cevap.

Cevap: 7.

Örnek 6.

Denklemi çözün: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Çözüm.

Arccos x = t olsun, o zaman t segmente ait olur ve denklem şu şekli alır:

t 2 – 6t + 8 = 0. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi Vieta teoremini kullanarak çözün, t = 2 veya t = 4 olduğunu buluruz.

t = 4 segmente ait olmadığından t = 2 elde ederiz, yani. arccos x = 2, yani x = cos 2.

Cevap: çünkü 2.

Örnek 7.

Denklemi çözün: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Çözüm.

Arcsin x + arccos x = π/2 eşitliğini kullanalım ve denklemi şu şekilde yazalım:

(arksin x) 2 + (π/2 – arksin x) 2 = 5π 2 /36.

Arcsin x = t olsun, o zaman t [-π/2; segmentine aittir; π/2] ve denklem şu şekli alır:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Ortaya çıkan denklemi çözelim:

t2 + π2/4 – πt + t2 = 5π2/36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2/36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için her terimi 9 ile çarparsak şunu elde ederiz:

18t 2 – 9πt + π2 = 0.

Diskriminantı bulalım ve ortaya çıkan denklemi çözelim:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 veya t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 veya t = 12π/36.

İndirgemeden sonra elimizde:

t = π/6 veya t = π/3. Daha sonra

arcsin x = π/6 veya arcsin x = π/3.

Dolayısıyla x = sin π/6 veya x = sin π/3. Yani x = 1/2 veya x =√3/2.

Cevap: 1/2; √3/2.

Örnek 8.

5nx 0 ifadesinin değerini bulun; burada n, kök sayısıdır ve x 0, 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2 denkleminin negatif köküdür.

Çözüm.

-π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2 olduğundan -π ≤ 2 arcsin x ≤ π olur. Ayrıca tüm gerçek x'ler için (x + 1) 2 ≥ 0,
o zaman -(x + 1) 2 ≤ 0 ve -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Dolayısıyla denklemin her iki tarafı da aynı anda –π'ye eşitse bir çözüme sahip olabilir; denklem sisteme eşdeğerdir:

(2 yaysin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Ortaya çıkan denklem sistemini çözelim:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

İkinci denklemden x = -1, sırasıyla n = 1, sonra 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5 elde ederiz.

Cevap: -5.

Uygulamada görüldüğü gibi, ters trigonometrik fonksiyonlarla denklemleri çözme yeteneği, sınavları başarıyla geçmek için gerekli bir koşuldur. Bu nedenle Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken bu tür sorunları çözme eğitimi basit bir şekilde gerekli ve zorunludur.

Hala sorularınız mı var? Denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Dersler 32-33. Ters trigonometrik fonksiyonlar

Hedef: Ters trigonometrik fonksiyonları ve bunların trigonometrik denklemlerin çözümlerini yazmak için kullanımını göz önünde bulundurun.

I. Dersin konusunun ve amacının aktarılması

II. Yeni materyal öğrenme

1. Ters trigonometrik fonksiyonlar

Bu konuyu tartışmamıza aşağıdaki örnekle başlayalım.

örnek 1

Denklemi çözelim: a) günah x = 1/2; b) günah x = a.

a) Ordinat eksenine 1/2 değerini çizeriz ve açıları oluştururuz x 1 ve x2, bunun için günah x = 1/2. Bu durumda x1 + x2 = π, dolayısıyla x2 = π – x 1 . Trigonometrik fonksiyonların değer tablosunu kullanarak x1 = π/6 değerini buluruz, sonraSinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alalım ve bu denklemin çözümlerini yazalım:burada k ∈ Z.

b) Açıkçası, denklemi çözmek için kullanılan algoritma günah x = a önceki paragraftakiyle aynıdır. Elbette artık a değeri ordinat ekseni boyunca çizilmiştir. Bir şekilde x1 açısını belirtmeye ihtiyaç var. Bu açıyı sembolüyle belirtme konusunda anlaştık. arksin A. Daha sonra bu denklemin çözümleri şu şekilde yazılabilir:Bu iki formül tek bir formülde birleştirilebilir: burada

Geri kalan ters trigonometrik fonksiyonlar da benzer şekilde tanıtılır.

Çoğu zaman bir açının büyüklüğünü trigonometrik fonksiyonunun bilinen değerinden belirlemek gerekir. Böyle bir problem çok değerlidir; trigonometrik fonksiyonları aynı değere eşit olan sayısız açı vardır. Bu nedenle, trigonometrik fonksiyonların monotonluğuna dayanarak, açıları benzersiz şekilde belirlemek için aşağıdaki ters trigonometrik fonksiyonlar tanıtılmıştır.

a sayısının arksinüsü (arksinüs) sinüsü a'ya eşit olan, yani.

Bir sayının ark kosinüsü a(arccos a) kosinüsü a'ya eşit olan aralıktan bir a açısıdır;

Bir sayının arktanjantı a(arktg) a) - aralıktan böyle bir açıtanjantı a'ya eşit olan, yani.tg a = a.

Bir sayının arkkotanjantı a(arcctg a) kotanjantı a'ya eşit olan (0; π) aralığından bir a açısıdır; ctg a = a.

Örnek 2

Bulalım:

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımlarını dikkate alarak şunu elde ederiz:

Örnek 3

Haydi hesaplayalım

a açısı = arksin olsun 3/5, o halde tanım gereği sin a = 3/5 ve . Bu nedenle bulmamız gerekiyorçünkü A. Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak şunu elde ederiz:a ≥ 0 olduğu dikkate alınır. Yani,

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımları ve temel özelliklerine ilişkin daha tipik birkaç örnek verelim.

Örnek 4

Fonksiyonun tanımının tanım kümesini bulalım

Y fonksiyonunun tanımlanabilmesi için eşitsizliğin sağlanması gerekir.eşitsizlik sistemine eşdeğerdirİlk eşitsizliğin çözümü x aralığıdır∈ (-∞; +∞), ikinci - Bu boşluk ve eşitsizlikler sisteminin bir çözümüdür ve dolayısıyla fonksiyonun tanım alanıdır

Örnek 5

Fonksiyonun değişim alanını bulalım

Fonksiyonun davranışını ele alalım z = 2x - x2 (resme bakın).

z ∈ olduğu açıktır (-∞; 1). Argümanı dikkate aldığımızda z elde ettiğimiz tablo verilerinden ters teğet fonksiyonu belirtilen limitler dahilinde değişirBöylece değişim alanı

Örnek 6

y = fonksiyonunun olduğunu kanıtlayalım. arktg x tek. İzin vermekO halde tg a = -x veya x = - tg a = tg (- a) ve Bu nedenle, - a = arctg x veya a = - arctg X. Böylece şunu görüyoruzyani y(x) tek bir fonksiyondur.

Örnek 7

Tüm ters trigonometrik fonksiyonları ifade edelim

İzin vermek Açıkça görülüyor ki o zamandan beri

Açıyı tanıtalım Çünkü O

Aynı şekilde bu nedenle Ve

Bu yüzden,

Örnek 8

y = fonksiyonunun grafiğini oluşturalım cos(arcsin x).

a = arcsin x'i gösterelim, o zaman x = sin a ve y = cos a yani x 2 olduğunu dikkate alalım. + y2 = 1 ve x (x) üzerindeki kısıtlamalar∈ [-1; 1]) ve y (y ≥ 0). O zaman y = fonksiyonunun grafiğiçünkü(arksin x) yarım dairedir.

Örnek 9

y = fonksiyonunun grafiğini oluşturalım arccos (çünkü x).

cos fonksiyonundan beri x [-1; 1], bu durumda y fonksiyonu tüm sayısal eksende tanımlanır ve segmente göre değişir. y = olduğunu aklımızda tutalım. arkcos(cosx) = segment üzerinde x; y fonksiyonu çifttir ve periyodu 2π olan periyodiktir. Fonksiyonun bu özelliklere sahip olduğu göz önüne alındığındaçünkü x Artık grafik oluşturmak çok kolay.

Bazı yararlı eşitliklere dikkat edelim:

Örnek 10

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulalım Haydi belirtelim Daha sonra Fonksiyonu alalım Bu fonksiyonun şu noktada bir minimumu var z = π/4 ve şuna eşittir: Fonksiyonun en büyük değeri bu noktada elde edilir. z = -π/2 ve eşittir Böylece ve

Örnek 11

Denklemi çözelim

Bunu dikkate alalım O zaman denklem şöyle görünür:veya Neresi Arktanjant tanımı gereği şunu elde ederiz:

2. Basit trigonometrik denklemlerin çözülmesi

Örnek 1'e benzer şekilde en basit trigonometrik denklemlerin çözümlerini elde edebilirsiniz.

Örnek 12

Denklemi çözelim

Sinüs fonksiyonu tek olduğundan denklemi şu şekilde yazıyoruz:Bu denklemin çözümleri:nereden bulacağız?

Örnek 13

Denklemi çözelim

Verilen formülü kullanarak denklemin çözümlerini yazıyoruz:ve bulacağız

Denklemleri çözerken özel durumlarda (a = 0; ±1) olduğuna dikkat edin. günah x = a ve cos x = ve genel formülleri kullanmak yerine birim çembere dayalı çözümleri yazmak daha kolay ve kullanışlıdır:

sin x = 1 denklemi için çözüm

sin x = 0 denklemi için çözümler x = π k;

denklem için sin x = -1 çözümü

cos denklemi için x = 1 çözüm x = 2π k;

denklem için cos x = 0 çözümleri

denklem için cos x = -1 çözümü

Örnek 14

Denklemi çözelim

Bu örnekte denklemin özel bir durumu olduğundan, çözümü uygun formülü kullanarak yazacağız:nereden bulacağız?

III. Kontrol soruları (ön anket)

1. Ters trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini tanımlayın ve listeleyin.

2. Ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini verin.

3. Basit trigonometrik denklemlerin çözümü.

IV. Ders ataması

§ 15, No. 3 (a, b); 4(c,d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15(c); 16(a); 18(a,b); 19(c); 21;

§ 16, No. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16(a,b); 18(a); 19(c,d);

§ 17, No. 3 (a, b); 4(c,d); 5(a,b); 7(c,d); 9(b); 10(a,c).

V. Ödev

§ 15, No. 3 (c, d); 4(a,b); 7(c); 8(b); 12(a); 13(b); 15(g); 16(b); 18(c,d); 19(g); 22;

§ 16, No. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16(c,d); 18(b); 19(a,b);

§ 17, No. 3 (c, d); 4(a,b); 5(c,d); 7(a,b); 9(g); 10(b,d).

VI. Yaratıcı görevler

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun:

Yanıtlar:

2. Fonksiyonun aralığını bulun:

Yanıtlar:

3. Fonksiyonun grafiğini çizin:

VII. Dersleri özetlemek

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımları ve grafikleri verilmiştir. Ters trigonometrik fonksiyonları birbirine bağlayan formüllerin yanı sıra, toplamlar ve farklar için formüller.

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan ters fonksiyonları benzersiz değildir. Yani, y = denklemi günah x Belirli bir durumda sonsuz sayıda köke sahiptir. Aslında sinüsün periyodikliği nedeniyle, eğer x böyle bir kökse, o zaman öyledir x + 2πn(burada n bir tam sayıdır) aynı zamanda denklemin kökü olacaktır. Böylece, ters trigonometrik fonksiyonlar çok değerlidir. Onlarla çalışmayı kolaylaştırmak için ana anlamları kavramı tanıtıldı. Örneğin sinüsü düşünün: y = günah x. Eğer x argümanını aralıkla sınırlandırırsak, onun üzerinde y = fonksiyonu olur. günah x monoton olarak artar. Bu nedenle arksinüs adı verilen benzersiz bir ters fonksiyona sahiptir: x = arksin y.

Aksi belirtilmedikçe, ters trigonometrik fonksiyonlarla, aşağıdaki tanımlarla belirlenen ana değerlerini kastediyoruz.

Arksinüs ( y= ark sin x) sinüsün ters fonksiyonudur ( x = günahkar

Ark kosinüs ( y= arkcos x) kosinüsün ters fonksiyonudur ( x = samimi), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

Arktanjant ( y= arktan x) tanjantın ters fonksiyonudur ( x = tg y), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

Arkotanjant ( y= arkctg x) kotanjantın ters fonksiyonudur ( x = ctg y), bir tanım alanına ve bir değerler kümesine sahiptir.

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri, trigonometrik fonksiyonların grafiklerinden y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla elde edilir. Bkz. Sinüs, kosinüs, Teğet, kotanjant bölümleri.

y= ark sin x

y= arkcos x

y= arktan x

y= arkctg x

Temel formüller

Burada formüllerin geçerli olduğu aralıklara özellikle dikkat etmelisiniz.

arksin(sin x) = x en
günah(arcsin x) = x
arccos(çünkü x) = x en
cos(arccos x) = x

arktan(tg x) = x en
tg(arctg x) = x
arkctg(ctg x) = x en
ctg(arcctg x) = x

Ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili formüller

Toplam ve fark formülleri

veya

ve

ve

veya

ve

ve

en

en

en

en