Geometrik şekiller. Dersleri tamamlayın – Bilgi Hipermarketi

Daire tüm noktaları dairenin merkezi olarak adlandırılan belirli bir noktadan (O noktası) aynı uzaklıkta olan düz kapalı bir çizgidir.
(Daire, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan tüm noktalardan oluşan geometrik bir şekildir.)

Daire bir daire ile sınırlanan düzlemin bir parçasıdır ve O noktasına dairenin merkezi de denir.

Bir daire üzerindeki bir noktadan merkeze olan mesafeye ve dairenin merkezini noktasına bağlayan doğru parçasına yarıçap denir. daire/daire.
Hayatımızda, sanatımızda, tasarımımızda daire ve çevrenin nasıl kullanıldığını görün.

Akor - Yunanca - bir şeyi birbirine bağlayan bir tel
Çap - "ölçüm yoluyla"

YUVARLAK ŞEKİL

Açılar giderek artan miktarlarda ortaya çıkabilir ve buna bağlı olarak, tamamen kaybolana ve düzlem bir daire haline gelinceye kadar giderek artan bir dönüş elde edebilir.Bu çok basit ve aynı zamanda çok karmaşık bir durum, bundan detaylı olarak bahsetmek istiyorum. Burada hem basitliğin hem de karmaşıklığın açıların bulunmamasından kaynaklandığını belirtmek gerekir. Daire basittir çünkü dikdörtgen şekillerle karşılaştırıldığında sınırlarının basıncı eşitlenir - buradaki farklar o kadar büyük değildir. Karmaşıktır çünkü üst kısım fark edilmeden sola ve sağa, sol ve sağ ise aşağıya doğru akar.

V.Kandinsky

Antik Yunan'da daire ve çevre mükemmelliğin tacı olarak görülüyordu. Aslında daire her noktada aynı şekilde düzenlenmiştir ve bu da onun kendi başına hareket etmesine olanak sağlar. Çemberin bu özelliği, tekerleğin aksı ve göbeğinin her zaman temas halinde olması gerektiğinden tekerleği mümkün kıldı.

Bir dairenin birçok yararlı özelliği okulda incelenmektedir. En güzel teoremlerden biri şudur: Belirli bir daireyi kesen belirli bir noktadan geçen bir çizgi çizelim, sonra bu noktadan uzaklıkların çarpımına ulaşalım. bir dairenin düz bir çizgiyle kesişme noktaları, düz çizginin tam olarak nasıl çizildiğine bağlı değildir. Bu teorem yaklaşık iki bin yıllıktır.

Şek. Şekil 2'de her biri bu iki daireye değen iki daire ve bir daire zinciri ve zincirdeki iki komşu gösterilmektedir. İsviçreli geometri uzmanı Jacob Steiner yaklaşık 150 yıl önce şu ifadeyi kanıtladı: Eğer zincir üçüncü dairenin belirli bir seçimi için kapalıysa, o zaman üçüncü dairenin herhangi bir başka seçimi için de kapalı olacaktır. Bundan şu sonuç çıkıyor ki eğer zincir bir kez kapatılmazsa üçüncü çemberin hiçbir seçimi için kapatılmayacaktır. Resim yapan sanatçıyaTasvir edilen zincirin çalışması için çok çalışmak veya zincirin kapalı olduğu ilk iki dairenin konumunu hesaplamak için bir matematikçiye başvurmak gerekir.

İlk önce tekerlekten bahsettik ama tekerlekten önce bile insanlar yuvarlak kütükler kullanıyordu.- ağır yüklerin taşınması için silindirler.

Yuvarlak dışında başka bir şekle sahip silindirler kullanmak mümkün mü? Almancamühendis Franz Relo, şekli Şekil 1'de gösterilen silindirlerin de aynı özelliğe sahip olduğunu keşfetti. 3. Bu şekil, bir eşkenar üçgenin köşelerinde merkezleri olan ve diğer iki köşeyi birbirine bağlayan daire yayları çizilerek elde edilir. Bu şekle iki paralel teğet çizersek aralarındaki mesafeorijinal eşkenar üçgenin kenarının uzunluğuna eşit olacaklardır, bu nedenle bu tür silindirler yuvarlak olanlardan daha kötü değildir. Daha sonra silindir görevi görebilecek başka figürler icat edildi.

Enz. "Dünyayı keşfediyorum. Matematik", 2006

Her üçgende yalnızca bir tane bulunur ve dahası, dokuz noktalı daire. BuÜçgen için konumları belirlenen aşağıdaki üç nokta üçlüsünden geçen bir daire: yüksekliklerinin tabanları D1 D2 ve D3, kenarortaylarının tabanları D4, D5 ve D6H yüksekliklerinin kesişme noktasından köşelerine kadar olan düz parçaların D7, D8 ve D9'un orta noktaları.

Bu daire 18. yüzyılda bulundu. büyük bilim adamı L. Euler tarafından (bu yüzden sıklıkla Euler çemberi olarak da anılır), sonraki yüzyılda Almanya'daki bir eyalet spor salonundaki bir öğretmen tarafından yeniden keşfedildi. Bu öğretmenin adı Karl Feuerbach'tı (ünlü filozof Ludwig Feuerbach'ın kardeşiydi).Ek olarak K. Feuerbach, dokuz noktadan oluşan bir dairenin, herhangi bir üçgenin geometrisiyle yakından ilişkili dört noktaya daha sahip olduğunu buldu. Bunlar onun özel türden dört daireyle temas noktalarıdır. Bu dairelerden biri yazılı, diğer üçü ise dış dairedir. Üçgenin köşelerine yazılmıştır ve kenarlarına dışarıdan dokunmaktadırlar. Bu dairelerin dokuz noktalı D10, D11, D12 ve D13 dairesiyle temas noktalarına Feuerbach noktaları denir. Yani dokuz noktalı çember aslında on üç noktalı çemberdir.

Eğer iki özelliğini biliyorsanız bu daireyi oluşturmak çok kolaydır. İlk olarak, dokuz noktadan oluşan dairenin merkezi, üçgenin çevrelenmiş dairesinin merkezini H noktasına - onun ortomerkezine (yüksekliklerinin kesişme noktası) bağlayan parçanın ortasında yer alır. İkincisi, belirli bir üçgenin yarıçapı, etrafını çevreleyen dairenin yarıçapının yarısına eşittir.

Enz. Genç matematikçiler için referans kitabı, 1989

Bir dairenin şekli okültizm, büyü ve insanların ona yüklediği eski anlamlar açısından ilginçtir. Etrafımızdaki en küçük bileşenlerin tümü (atomlar ve moleküller) yuvarlak bir şekle sahiptir. Güneş yuvarlaktır, ay yuvarlaktır, gezegenimiz de yuvarlaktır. Tüm canlıların temeli olan su molekülleri de yuvarlak bir şekle sahiptir. Doğa bile yaşamını çemberler halinde yaratır. Örneğin, bir kuş yuvasını hatırlayabilirsiniz - kuşlar da onu bu biçimde yaparlar.

Kültürlerin eski düşüncelerindeki bu figür

Daire birliğin sembolüdür. Kültürler arasında birçok küçük ayrıntıda mevcuttur. Hatta biz bu forma atalarımız kadar önem vermiyoruz.

Antik çağlardan beri daire, zamanı ve sonsuzluğu simgeleyen sonsuz bir çizginin işareti olmuştur. Hıristiyanlık öncesi çağlarda güneş çarkının antik işaretiydi. Tüm noktalar eşdeğerdir, daire çizgisinin ne başı ne de sonu vardır.

Ve Masonlar için dairenin merkezi, uzay ve zamanın sonsuz dönüşünün kaynağıydı. Masonlara göre daire, tüm figürlerin sonudur; yaratılışın sırrının onun içinde olması boşuna değildir. Saat kadranının da bu şekle sahip olan şekli, kalkış noktasına vazgeçilmez bir dönüşü ifade ediyor.

Bu figürün, farklı kültürlerden birçok nesil tarafından bahşedilen derin, büyülü ve mistik bir kompozisyonu var. Peki geometride bir şekil olarak daire nedir?

Bir daire nedir

Daire kavramı çoğu zaman daire kavramıyla karıştırılmaktadır. Bu şaşırtıcı değil çünkü birbirleriyle çok yakından bağlantılılar. İsimleri bile benzer, bu da okul çocuklarının olgunlaşmamış zihinlerinde çok fazla kafa karışıklığına neden oluyor. "Kimin kim olduğunu" anlamak için bu sorulara daha detaylı bakalım.

Tanım gereği daire, kapalı ve her noktası dairenin merkezi adı verilen bir noktaya eşit uzaklıkta olan bir eğridir.

Bilmeniz gerekenler ve bir çevre oluşturmak için neler kullanabilirsiniz?

Bir daire oluşturmak için, O olarak tanımlanabilecek rastgele bir nokta seçmek yeterlidir (çoğu kaynakta dairenin merkezi bu şekilde adlandırılır, geleneksel gösterimlerden sapmayacağız). Bir sonraki adım, her birine bir iğne veya bir yazı elemanı iliştirilmiş iki parçadan oluşan bir çizim aracı olan bir pusula kullanmaktır.

Bu iki parça birbirine bir menteşe ile bağlanır ve bu, aynı parçaların uzunluğuna bağlı olarak belirli sınırlar dahilinde isteğe bağlı bir yarıçap seçmenize olanak tanır. Bu cihazın yardımıyla, pusulanın ucu rastgele bir O noktasına yerleştirilir ve sonuçta bir daireye dönüşen bir eğri zaten bir kalemle çizilmiştir.

Bir dairenin boyutları nelerdir?

Çemberin merkezini ve pusula ile çalışmanın bir sonucu olarak elde edilen eğri üzerindeki herhangi bir rastgele noktayı birleştirmek için bir cetvel kullanırsak, yarıçap adı verilen bu tür tüm segmentlerin eşit olacağını elde ederiz. Çember ve merkez üzerindeki iki noktayı cetvel kullanarak düz bir çizgiyle birleştirirsek çapını buluruz.

Bir daire aynı zamanda uzunluğunun hesaplanmasıyla da karakterize edilir. Bunu bulmak için dairenin çapını veya yarıçapını bilmeniz ve aşağıdaki şekilde sunulan formülü kullanmanız gerekir.

Bu formülde C dairenin çevresi, r dairenin yarıçapı, d çapı ve Pi 3,14 değerinde bir sabittir.

Bu arada, Pi sabiti sadece daireden hesaplandı.

Çemberin çapı ne olursa olsun, çevrenin çapa oranının aynı olduğu, yani yaklaşık 3,14 olduğu ortaya çıktı.

Bir daire ile bir daire arasındaki temel fark nedir?

Aslında daire bir çizgidir. O bir figür değil, sonu ve başlangıcı olmayan kavisli, kapalı bir çizgidir. Ve onun içinde bulunan alan boşluktur. Çemberin en basit örneği, beden eğitimi derslerinde çocukların veya yetişkinlerin ince bir bel oluşturmak için kullandıkları çember veya diğer bir deyişle hulahoptur.

Şimdi dairenin ne olduğu kavramına geldik. Bu her şeyden önce bir şekil, yani bir çizgiyle sınırlanan belirli bir nokta kümesidir. Bir daire söz konusu olduğunda bu çizgi yukarıda tartışılan dairedir. Bir dairenin, ortasında boşluk olmayan, uzayda birçok nokta bulunan bir daire olduğu ortaya çıktı. Kumaşı bir hula hoop üzerine gerersek, artık onu döndüremeyeceğiz çünkü artık bir daire olmayacak - boşluğunun yerini kumaş, bir uzay parçası alacak.

Doğrudan daire kavramına geçelim

Daire, bir daire tarafından sınırlanan bir düzlemin parçası olan geometrik bir şekildir. Aynı zamanda yukarıda bir daireyi tanımlarken tartışılan yarıçap ve çap gibi kavramlarla da karakterize edilir. Ve tamamen aynı şekilde hesaplanırlar. Bir dairenin yarıçapı ile bir dairenin yarıçapı boyut olarak aynıdır. Buna göre çap uzunluğu da her iki durumda da benzerdir.

Daire bir düzlemin parçası olduğundan alanın varlığıyla karakterize edilir. Yarıçapı ve Pi'yi kullanarak tekrar hesaplayabilirsiniz. Formül şuna benziyor (aşağıdaki resme bakın).

Bu formülde S dairenin alanı, r ise yarıçapıdır. Pi yine aynı sabittir, 3,14'e eşittir.

Çap kullanılarak da hesaplanabilen daire formülü değişerek aşağıdaki şekildeki halini alır.

Dörtte biri yarıçapın çapın 1/2'si olmasından kaynaklanmaktadır. Yarıçapın karesi alınırsa ilişkinin şu şekle dönüştüğü ortaya çıkar:

r*r = 1/2*d*1/2*d;

Daire, örneğin bir sektör gibi bireysel parçaların ayırt edilebildiği bir şekildir. Bir yay parçası ve merkezden çizilen iki yarıçapı ile sınırlanan bir dairenin parçasına benziyor.

Belirli bir sektörün alanını hesaplamanızı sağlayan formül aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Çokgen problemlerinde şekilleri kullanma

Ayrıca daire, sıklıkla diğer şekillerle birlikte kullanılan geometrik bir şekildir. Örneğin üçgen, yamuk, kare veya eşkenar dörtgen gibi. Yazılı bir dairenin alanını veya tam tersine belirli bir şeklin etrafında çevrelenmiş olanı bulmanız gereken sorunlar sıklıkla vardır.

Yazılı bir daire, çokgenin her tarafına dokunan bir dairedir. Dairenin herhangi bir çokgenin her iki tarafıyla bir temas noktası olmalıdır.

Belirli bir çokgen türü için, yazılı dairenin yarıçapının belirlenmesi, geometri dersinde açıkça açıklanan ayrı kurallara göre hesaplanır.

Bunlardan birkaçını örnek olarak verebiliriz. Çokgenlere yazılan bir dairenin formülü aşağıdaki şekilde hesaplanabilir (aşağıdaki fotoğrafta birkaç örnek gösterilmektedir).

Bir daire ile bir daire arasındaki farkı anlamanızı güçlendirecek birkaç basit gerçek hayattan örnek

Önümüzde açıksa, ambarın demir kenarı bir dairedir. Kapalıysa kapak daire görevi görür.

Bir daireye herhangi bir yüzük - altın, gümüş veya mücevher de denilebilir. Bir grup anahtarın bulunduğu halka da bir dairedir.

Ancak buzdolabının üzerindeki yuvarlak bir mıknatıs, bir tabak veya büyükannenin pişirdiği krepler bir dairedir.

Şişe veya kavanozun üstten bakıldığında boynu daire şeklinde iken bu boynu kapatan kapak üstten bakıldığında daire şeklindedir.

Bunun gibi verilebilecek pek çok örnek var ve bu tür materyallerin özümsenmesi için bunların verilmesi gerekiyor ki çocukların teori ile pratik arasındaki bağlantıyı daha iyi kavrayabilsinler.

VE daire- birbirine bağlı geometrik şekiller. bir sınır çizgisi var (eğri) daire,

Tanım. Çember, her noktası çemberin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıkta olan kapalı bir eğridir.

Bir daire oluşturmak için, dairenin merkezi olarak rastgele bir O noktası seçilir ve pusula kullanılarak kapalı bir çizgi çizilir.

Dairenin merkezinin O noktası, daire üzerindeki rastgele noktalara bağlanırsa, ortaya çıkan tüm bölümler birbirine eşit olacaktır ve bu tür bölümlere, Latince küçük veya büyük harf "er" ile kısaltılmış yarıçaplar adı verilir ( R veya R). Bir dairenin uzunluğundaki noktaların sayısı kadar yarıçap çizebilirsiniz.

Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçasına çap denir. Çap ikiden oluşur yarıçap, aynı düz çizgide uzanıyor. Çap, Latince küçük veya büyük harf “de” ( D veya D).

Kural. Çap bir daire onun ikisine eşittir yarıçap.

d = 2r
D=2R

Bir dairenin çevresi formülle hesaplanır ve dairenin yarıçapına (çapına) bağlıdır. Formül, çevrenin çapından kaç kat daha büyük olduğunu gösteren ¶ sayısını içerir. ¶ sayısının sonsuz sayıda ondalık basamağı vardır. Hesaplamalarda ¶ = 3,14 alınmıştır.

Bir dairenin çevresi Latince büyük harf “tse” ile gösterilir ( C). Bir dairenin çevresi çapıyla orantılıdır. Bir dairenin çevresini yarıçapına ve çapına göre hesaplamak için formüller:

C = ¶d
C = 2¶r

• Örnekler
• Verilen: d = 100 cm.
• Çevre: C=3.14*100cm=314cm
• Verilen: d = 25 mm.
• Çevre: C = 2 * 3,14 * 25 = 157 mm

Dairesel kesen ve dairesel yay

Her kesen (düz çizgi) bir daireyi iki noktada keser ve onu iki yaya böler. Bir daire yayının boyutu, merkez ile kesen arasındaki mesafeye bağlıdır ve kesenin daire ile birinci kesişme noktasından ikinciye kadar kapalı bir eğri boyunca ölçülür.

Yaylar daireler bölünmüş sekant kesen çapla çakışmıyorsa bir majör ve bir minöre ve eğer sekant dairenin çapı boyunca geçiyorsa iki eşit yay halinde.

Bir sekant dairenin merkezinden geçerse, daire ile kesişme noktaları arasında bulunan bölümü dairenin çapı veya dairenin en büyük akorudur.

Kesen dairenin merkezinden ne kadar uzak olursa, dairenin küçük yayının derece ölçüsü o kadar küçük olur ve dairenin daha büyük yayı ve kesen parçası olarak adlandırılan bölüm o kadar büyük olur. akor sekant çemberin merkezinden uzaklaştıkça azalır.

Tanım. Bir daire, bir dairenin içinde bulunan bir düzlemin parçasıdır.

Bir dairenin merkezi, yarıçapı ve çapı aynı anda karşılık gelen dairenin merkezi, yarıçapı ve çapıdır.

Daire bir düzlemin parçası olduğundan parametrelerinden biri de alandır.

Kural. Bir dairenin alanı ( S) yarıçapın karesinin çarpımına eşittir ( r2) ¶ sayısına kadar.

• Örnekler
• Verilen: r = 100 cm
• Daire alanı:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31.400 cm2 ≈ 3 m2
• Verilen: d = 50 mm
• Daire alanı:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1.963 mm2 ≈ 20 cm2

Bir daire içinde iki yarıçapı daire üzerinde farklı noktalara çizerseniz, dairenin iki parçası oluşur; bunlara denir sektörler. Bir daireye bir akor çizerseniz, düzlemin yay ile akor arasındaki kısmına denir. daire parçası.

Bugün tavuk yapacağız. Tavuk ne renk? Doğru, sarı. Tüm çevrelerden yalnızca sarı daireleri seçin. Daha sonra mavi daireleri ve yeşil daireleri ayrı ayrı bir kenara koyun.

Öncelikle tavuğu yapıştırıcı olmadan kağıdın üzerine koyuyoruz, böylece bebeğin ne yaptığımızı anlaması için bu aynı zamanda yapıştırıcıyla çalışırken hatalardan kaçınmaya da yardımcı olacaktır.

Büyük sarı daire tavuğun gövdesi olacaktır. Nereye koyacağız? (çocuğu bir kağıt parçası üzerinde kendisi bir yer seçmeye davet ediyoruz).

Daha küçük olan daire kafa olacaktır. Tavuğumuzun kafası nerede olacak? (Çocuğun tavuğun bakacağı yeri tekrar seçmesine izin verin: yukarı gökyüzüne ve güneşe veya aşağı çimenlere, belki tahılları gagalayacaktır. Çocuğun hayal kurmasına yardımcı olun, seçenekler sunun. Küçüklere verebilirsiniz. ipuçları ve tavsiyeler, ancak ısrar etmeyin, bırakın kendi seçimini yapsın)

Küçük siyah daire nerede? Bu göz olacak. Küçük bir üçgen gagadır, iki özdeş üçgen ise pençelerdir. Şekilleri yerlerine yerleştirin.

Tavuğumuzun neyi eksik? Doğru, kanatlar! 2 sarı dairemiz daha var, birini kenara koyacağız - bu güneş olacak ve ikincisinden kanat yapacağız. Bir daireden iki kanat yapmaya ne dersiniz? (Üç yaşından büyük çocuklar bunu halledebilir. Çocuğun daireyi elinde tutmasına izin verin, çevirin, kağıda uygulayın, belki bir cevap bulur).

Daireyi ikiye böleceğiz. Bunu yapmak için dairenin merkezini bulalım. Çemberin merkezi (ortası) nerede? (Çocuğa bir kalem verebilir ve onu çarşafın arka (renkli değil!) tarafındaki merkezi bulup işaretlemeye davet edebilirsiniz. Nokta ortada olmasa da yakınlarda bir yerde olsa bile sorun değil, bebeği övün ! Çocuk küçükse, her eylemi açıklayarak her şeyi kendiniz yapın).

Şimdi daireyi ikiye bölecek merkezden düz bir çizgi çizeceğiz. Bu çizgi boyunca dairemizi iki parçaya böleceğiz. İki kanat elde ediyorsunuz (çocuğun belirttiği noktayı (orta) mutlaka kesin, ilk olarak çocuk kendi fikrinin sizin için önemli olduğunu hissedecek ve onu dinleyeceksiniz, ikinci olarak aplik daha sanatsal olacaktır)

Daha büyük çocuklara yönelik bir ders sırasında yarım dairenin ne olduğunu açıklayabilirsiniz (veya bu rakamı hatırlayın)

Aldığımız şekillere bakın. Bu şekle yarım daire denir. Yarım daire - yarım daire (birkaç kez tekrarlayın ve adın tekrarlanmasını önerin)
Tavuğumuzun kanatları nerede olacak?

Tavuk kağıda serildi, şimdi yapıştırabilirsiniz.

Tavuk hazır.

Büyük yeşil daireler (veya 1 daire) alalım - bu bizim çimimiz olacak. Bir daireden çim yapmayı nasıl düşünüyorsunuz? Doğru, tekrar ikiye bölün (kanatlarda olduğu gibi adımları tekrarlıyoruz: çocuğun ortayı işaretlemesine izin verin, kesip alttan yapıştırın). Çimleri daha doğal hale getirmek için yuvarlak kenar boyunca küçük kesimler yapabilirsiniz.

Güneşi gökyüzüne yapıştırın.

Bulutlar farklı şekillerde yapılabilir:

1. Daireleri üst üste gelecek şekilde yapıştırın ve bir bulut oluşturun. Farklı boyutlardaki daireler bulutun şeklini daha doğal hale getirecektir.
2. Daireleri ikiye bölün ve üst üste getirin.

Biz farklı yaptık: Polya daireleri ikiye katlamak ve dairenin yalnızca yarısını yapıştırmak istedi. Zaten bu şekilde başka el sanatları da yapmıştık ve o bu seçeneği beğendi.

Kağıt tamamen kuruduğunda kalemle güneş ışınlarını ve çiçekleri çimlerin üzerine çizmeyi bitirebilirsiniz. Bunu hamuru ile yapabilirsiniz. Bebeğin kendisi için seçim yapmasına izin verin.